Prezentace aplikace PowerPoint - cvut.czusers.fs.cvut.cz/~hornyluk/files/Viskoelasticita.pdf · Co je to viskoelasticita • Debořino číslo. obs. De t. λ = charakteristický (relaxační)

Viskoelasticita

ČVUT v Praze, fakulta strojní,ústav mechaniky, biomechaniky a mechatronikyObor: Biomechanika a lékařské přístroje Budu vděčný za případné upozornění na nedostatky.

minimum, které bychomsi měli pamatovat

Lukáš Horný[email protected]

verze z 23. 02. 2020

mailto:[email protected]

Časově proměnná deformace a napjatost

…podmíněná vnitřní stavbou materiálu

Co je to viskoelasticita

• Molekulární řetězce a jejich konformace


• Molekulárnířetězce a jejich konformace

Natočení vazby Pote

nciá

lní e

nerg

ie


• Debořino číslo

obs

Detλ

= charakteristický (relaxační) čas procesučas pozorování

Voda λ = 10-12 sPolymer λ = 10-2 - 102 sLed λ = 109 s

• Debořino číslo

obs

Detλ

=Voda λ = 10-12 sPolymer λ = 10-2 - 102 sLed λ = 109 s


0 = (vazká) kapalná fáze ˂ De ˂ pevná (elastická) fáze = ∞

viskoelasticita

• Debořino čísloobs

Detλ

=


0 = (vazká) kapalná fáze ˂ De ˂ pevná (elastická) fáze = ∞

Viskoelasticita znamená, že z důvodu existence časově proměnných mikroprocesů pozorujeme časovou proměnnost makrostavů a jejich

změnu na makroprocesy(dojde k časové proměnnosti mechanických stavových veličin

jako jsou σ, ε)


• Pružný vs. vazký

Na čase a rychlosti nezávislý(bez paměti)(bez prodlení)

Na čase a/nebo rychlosti

závislý(s pamětí)

(s prodlením)

∞ = (elastická) pevná fáze > De > kapalná (vazká) fáze = 0

Co je to viskoelasticitaCo je to viskoelasticita


Eσ ε= σ ηε=

σ

ε

σ

ε




• Relaxace napětí

Čas Čas

σ0ε0

Defo

rmac

e

Nap

ětí

( )tσ σ=


• Tečení (creep)

Čas Čas

σ0

ε0

Okamžitá deformace

creep

( )tε ε=

Defo

rmac

e

Nap

ětí


• Rychlost deformace ( )σ σ ε=

Čas

Nap

ětí

Defo

rmac

e

Deformace

1cε =2cε =

3cε =

1 2 3c c c> >

1

2

3

ccc


• Viskoelasticita vs. elastoplasticita

Deformace Čas Plastická

deformace

Defo

rmac

e

Nap

ětí

Mez kluzu Zotavení



U polymerů se může objevit mez kluzu (tečení)

U kovů se objevují zpevnění a deformace závislé na historii



Viskoplasticita

elasto

Viskoelasticita jako konstitutivní teoriemateriálu, konstituuje vztah pro závislost

mezi stavovými veličinami během mechanického děje

Viskoelasticita jako konstitutivní teorie

• Materiálový model znamená mít

( )=σ σ ε

( ), 0f =σ ε

( ),= σ σ ε ε

( ), ,..., , ,... 0f =σ σ ε ε

Explicitní elasticita Explicitní viskoelasticita

Implicitní elasticita Implicitní viskoelasticita

Kromě diferenciální formulace, je možné vyjít i z integrální

Lineární viskoelasticita

Základní teorie s omezenou aplikovatelností…


• (Creepová) poddajnost ( )J t

Defo

rmac

e ε(

t)

Čas tČas t

Nap

ětí σ

(t)

σ0

( ) ( ) 0t J tε σ=

Deformační odezva způsobená jednotkovým

silovým zatížením v creepovém testu

( ) ( ) 0t G tσ ε=


• Relaxační modul ( )G t

Čas t

Defo

rmac

e ε(

t)

ε0N

apět

í σ(t)

Čas t

Silová odezva způsobená jednotkovým deformačním zatížením

v relaxačním testu


• Linearita v symbolických modelech

1 2ε ε ε= +

( ) ( ) ( )1 2J t J t J t= + 1 2σ σ σ= +

( ) ( ) ( )1 2G t G t G t= +


• Diferenciální přístup

explicitní nalezení diferenciální rovnice svazující σ a ε

( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 0 1 1 0

n n m mn n m ma a a a b b b bσ σ σ σ ε ε ε ε− −

− −+ + ⋅⋅⋅ + + = + + ⋅⋅⋅ + +

( ) ( )

0 0

n mi j

i ji j

a bσ ε= =

=∑ ∑( )

( )

0

0

ii

i

jj

j

ddtddt

σσ σ σ

εε ε ε

= =

= =


• Maxwellův modelσ

σ

e Eσε =

vσεη

=e vε ε ε= +

e vε ε ε= +

Eσ σε

η= +

e vσ σ σ= =


• Creep (σ = σ0) v Maxwellově modelu

Eσ σε

η= +

Defo

rmac

e ε(

t)0ση

0

Eσ

Čas t

[ ] 0 0 000

00

1 1t t

d tE E

τσ σ

τσ

σ σε σ σ τ

η η

==

==

= + = +∫


• Relaxace (ε = ε0) v Maxwellově modelu

Eσ σε

η= +

0Eσ σ

η+ =

0

E tE e ησ ε

−=

Čas t

0Eε0

E tE e ηε

−N

apět

í σ(t)


• Konstantní rychlost ( ) v Maxwellově modelu.konstε =

Eσ σε

η= +

E tCe ησ ηε

−= +

( )0 0tσ = =1

E te ησ ηε−

= −

Nap

ětí σ

(t)σ(ε)

t nebo ε

Rostoucí rychlost deformace

,E Eε

tε ε=


• Zotavení v Maxwellově modelu neproběhne

Nap

ětí σ

(t)

Čas t Čas t0

Eσ 0σ

η

0

Eσ

ε(t)


• Kelvinův modelσ

σ

eE

σε

=

vσ

ηε=

e vσ σ σ= +

Eσ ε ηε= +

e vε ε ε= =


• Creep (σ = σ0) v Kelvinově modelu

Eσ ε ηε= +

0E t

CeE

ησε

−= +

( )0 0tε = =0 1

E te

Eησ

ε−

= −

Defo

rmac

e ε(

t)

Čas t

0

Eσ

0ση


• Relaxace (ε = ε0) v Kelvinově modelu neproběhne

Eσ ε ηε= +

0ε ε=

0ε =Eσ ε=

Čas t

Nap

ětí σ

(t)0Eε


• Konstantní rychlost ( ) v Kelvinově modelu.konstε =

Eσ ε ηε= +

ddtεε =

tε ε= E tσ ε ηε= +

Čas t

ηεN

apět

í σ(t)

Eε


• Zotavení v Kelvinově modelu (σ(t > t1) = 0)

Eσ ε ηε= +

0 Eε ηε= +

( )1 1tε ε=

( )1

1

E t te ηε ε− −

=

Čas t

Nap

ětí σ

(t)

Čas t

1ε

1t1t

0

Eσ

0σ


• Zobecněný Maxwellův model(Prony)

( )1

i

i

En t

ii

G t E e η−

=

= ∑


• Zobecněný Kelvinův model(Dirichlet)

( )10

1 1 1i

i

En t

i i

J t eE E

η−

=

= + −

∑


• Relaxační a retardační čas

( )1

i

i

En t

ii

G t E e η−

=

= ∑ ( )10

1 1 1i

i

En t

i i

J t eE E

η−

=

= + −

∑

ii

iEη

τ = i

i i

E tte eη τ− −

= ⇒

Skrze tyto časy se děje numerická charakterizace materiálového chování, obvyklé je dekadické škálování (spektrum)


• Integrální (hereditární) přístup

obecnější než diferenciálníale i tak vyžaduje platnost principu superpozice


• Integrální (hereditární) přístupsuperpozice přes historii

Uvažujme napěťovou výchylku ∆σ v t = 0

pak

a napěťová výchylka aplikovaná v t = τ

pak

( ) ( )t J tε σ∆ = ∆

( ) ( )t J tε τ σ∆ = − ∆


• Hereditární přístup = superpozice stavův čase τ se objeví výchylka napětí ∆σ, která způsobí výchylku ∆ε(t)

Nap

ětí σ

(t)

Čas t

Čas t

Defo

rmac

e ε(

t)( ) ( )t J tε τ σ∆ = − ∆


• Superpozice infinitezimálních změn je integrace

( ) ( )t J tε τ σ∆ = − ∆

( ) ( )d t J t dε τ σ= −

( ) ( ) ( )t

t J t dε τ σ τ−∞

= −∫


• Superpozice je integrací historie

( ) ( ) ( )t

t J t dε τ σ τ−∞

= −∫t

J−∞∫

Dolní integrační mez je -∞ čistě z tradice, samozřejmě že

σ = 0 pro τ ∈(-∞,0)

( ) ( ) ( ) ( )00

t

t J t J t dε σ τ σ τ+

= + −∫


• Pro hladké funkce σ(t) píšeme(integrace v Riemannově smyslu)

( ) ( ) ( )t dt J t d

dσ τ

ε τ ττ−∞

= −∫

• Hereditární integrál (Boltzmannův(Volterrův) materiál)


• Například v Maxwellově modelu je J(t)

( ) 1 tJ tE η

= +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

1 1 1t td dt tt J t d d d dd E d Eσ τ σ ττε τ τ τ σ τ τ σ ττ η τ η η

∞ ∞

−∞ −∞

−= − = + = + − =

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0 0

1 1 1t tt t d dE E

σσ τσ τ σ τ τ σ τ τ

η η η

∞ ∞ = + − − = +

∫ ∫


• Hereditární integrál je obecnější než diferenciální přístupnení třeba hledat interpretaci J(t) ve smyslu pružin a tlumičů

( ) ( ) ( )t dt J t d

dσ τ

ε τ ττ−∞

= −∫


• Pro relaxační modul G(t) platí vše obdobně( )G tσ ε∆ = ∆

( )G tσ τ ε∆ = − ∆

Nap

ětí σ

(t)

Čas t

Čas tDe

form

ace ε(

t)


• Pro relaxační modul G(t) platí vše obdobně

( ) ( ) ( )t

t G t dσ τ ε τ−∞

= −∫

( ) ( ) ( )t dt G t d

dε τ

σ τ ττ−∞

= −∫

( )d G t dσ τ ε= −


• Důsledek konvoluce mezi (G, ε) a (J, σ)

pro velmi malé rychlosti deformace a napětí můžeme dokonce uvažovat G a J jako navzájem reciproké pružnost a poddajnost v elasticitě

( ) ( ) ( ) ( )1 1

t tdJ dGG t d J t d

d dτ τ

τ τ τ ττ τ−∞ −∞

− = − =∫ ∫


• Snadné zobecnění na víceosé stavy napjatosti a deformace

Další významný rozdíl proti diferenciálnímu přístupu

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

tkl

ij ijkl

tkl

ij ijkl

dt G t d

dd

t J t dd

ε τσ τ τ

τ

σ τε τ τ

τ

−∞

−∞

= −

= −

∫

∫


• Odezva při harmonickém zatěžováníDMA (dynamická mechanická analýza)

Harmonické buzení

Obvykle jako ( ) 0i tt e ωε ε=

( ) ( )0 sint tε ε ω=


( ) ( )

0 0

n mi j

i ji j

a bσ ε= =

=∑ ∑( ) 0i tt e ωε ε= → ( ) * i tt e ωσ σ=→

( )* *0E iσ ε ω=

( ) ( )*0

i tt E i e ωσ ε ω=

• Odezva v oboru komplexních čísel


• Komplexní E*• Dynamický Ed

• Fázový E'• Ztrátový Eʺ

modul pružnosti

takže pro napětí platí

( ) ( ) ( )*E i E iEω ω ω′ ′′= +

2 2dE E E′ ′′= +

( ) ( ) ( )( )* cos sindE i E iω ω ω= +

( ) ( ) ( )*t E i tσ ω ε=


• Komplexní modul pružnosti( ) ( )

0 0

n mk l

k lk l

a bσ ε= =

=∑ ∑( )

( )

0

0

kk

k

ll

l

ddt

ddt

σσ σ σ

εε ε ε

= =

= =

( )( )

( )* 0

0

nk

ki

ml

ll

a iE i

b i

ωω

ω

=

=

=∑

∑


• Komplexní creepová poddajnost

( ) ( )*

*

1J iE i

ωω

=

( ) ( ) ( )*J i J iJω ω ω′ ′′= +

( ) ( ) ( )*t J i tε ω σ=


( ) ( )0 sint tε ε ω=

( ) ( ) ( )00 n sinsi tt tσ ωσ σω′= + ′′

( ) ( )0 sint tσ σ ω δ= +

2π

δ

( )tσ

( )tε

Defo

rmac

e a

napě

tí

Čas tδ


• Odezva při harmonickém zatěžování

0 0

0 0

tanσ ε

δσ ε′′ ′′

= =′ ′

0σ ′′ 0σ ′

0σ0σ

0ε0ε

0ε ′′

0ε ′


• Odezva při harmonickém zatěžování

δ

( )*dE E iω=

( )E iω′

( )E iω′′

( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * iE i E iE E i e δ ωω ω ω ω′ ′′= + =

( )( )

tanEE

ωδ

ω′′

=′


• Řešení v Laplaceově obrazu

( ) ( )

0 0

n mk l

k lk l

a bσ ε= =

=∑ ∑ ( ) ( )A t B tσ ε=

( ) ( ) ( )0

stf t f s e f t dt∞

−= = ∫

( ) ( )0 0

n mk l

k lk l

a s s b s sσ ε= =

=∑ ∑ ( ) ( )A s B sσ ε=


• Frekvenční závislost

Elementární model Reálná data - polykarbonát


• Časově-teplotní superpozice





Podd

ajno

st J(

t)

Podd

ajno

st J(

t)

Reálná data epoxid


• Teplotní chování Reálná data - polykarbonát


• Teplotní chování

Nelineární viskoelasticita

Vybrané přístupy pro pevnou fázi

Rychlost deformace

Popis při velkých deformacích

Rychlost deformačního gradientu

• Časová změna deformačního gradientuodpovídá materiálovému gradientu rychlosti

F

( ) ( )Grad∂

= =∂

Fx X

xX

( ) ( ) ( ) ( ), ,

,t t

t Gradt t t

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= = = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

F F

x X x XV X V

X X X


• Prostorový gradient rychlosti

je tenzor druhého řádu, který převádí elementární polohový vektor na elementární vektor rychlosti, obecně jde ale o nesymetrický tenzor

l

( ) ( )grad∂

= =∂

lv x

xx

iik

k

vl

x∂

=∂

d d= lv x i ik kdv l dx=


• Prostorový gradient rychlosti l a rychlost deformačního gradientu jsou svázány F

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) 1 1 1

t t

t t t− − −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = = = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

= = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

l

F FF FF

v x x X x X Xv x v x Xx x x x x Xx X x XX

X x X


• Prostorový gradient rychlosti l můžeme chápat jako operátor časové derivace pro F

=F lF

iK ij jKF l F=

l je obecně ale nesymetrický tenzor

Tenzor rychlosti deformace

• Symetrickou část l nazýváme (prostorový) tenzor rychlosti deformace d

antisymetrickou část nazýváme tenzor spinu (rychlost rotace)

= +l d w ( )12

T= +d l l

( )12

T= −w l l


• Pozor, d není jen protažení a w není jen rotace

=F RU

( )1sym −=d R UU R

( )1T Tantisym −= +w RR R UU R


• Materiálová rychlost deformace

T=E F dF

= 2C E

LK iL ij jKE F d F=

2LK LKC E=

Rychlost vektoru

• Jednotkový materiálový vektor A a prostorový jednotkový vektor a

λ=FA a λ = FA

λλ

= −l

a a a

Rychlost relativního objemu J

• Relativní objem (stlačení, expanze)

det detdvJdV

= = =F U TJ J −∂=

∂F

F

( ) ( ): : ...TJJ J Jdiv Jtr−∂= = = = =∂

F F lF dF

v

( ) ( )1 0 0 0J J div tr= ⇒ = ⇔ = ⇔ =d v

Objektivita časové derivace

Objektivní rychlosti

• Objektivní vektor „se při změně pozorovatele transformuje podle standardních transformačních pravidel“ pro vektory

dva pozorovatelé (dvě vztažné soustavy)

eukleidovská transformace

* = Qu u

,O x *,O x* ( ) ( ) *t t t t a= + = +Qx* c x


• Polohový vektor je objektivníuvažujme dva body x, y v čase t a vektor u

v O*,x* pozorujeme

( )( ), ,t tx y

= −u y x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )* t t t t t t= − = − − = − =+ Q Q Q Qu y* x* c y c x y x u


• Rychlost není objektivní ( ) ( ) *t t t t a= + = +Qx* c x

( ) ( )( )T t t= −Qx x* c( )

( )

,

,

tt

tt

∂=

∂∂

=∂

x Xv

x* X *v*

*

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), t

t t t t tt t

∂ ∂= = + = + +

∂ ∂Q Q Q

x* X *v* c x c x v

*

( ) ( ) ( ) ( )T Tt t t t= = −Q QΩ Ω

( )= + + −Q v* v c x* cΩ ≠ Qv


• Rychlost ani zrychlení nejsou objektivní

( )= + + − ≠Q Qv* v c x* c vΩ

( )( ) ( )2 2= + + − − + − ≠Q Q

a* a c x* c v* c aΩ Ω Ω


• Objektivní veličiny se transformují…

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

, ,

, ,

, , T

t t

t t t

t t t t

ϕ ϕ=

=

=

Q

A Q A Q

* x* * x

f * x* * f x

* x* * x


• Omezme se na rotace soustavy souřadnica zkoumejme, co se děje se stavovými proměnnými

( )t= Qx* x

• x* nemá vliv na X

referenční konfigurace je nedotčena následnou rotací 1

x *

2x *

3x *

d+x*

x*x*

dx*


( )t= Qx* x


• Deformační gradient je objektivní

∂ ∂ ∂= = = =∂ ∂ ∂

F* Q Q QFx* xxX X X

( ), t∂=

∂F

x XX

( ), t∂=

∂F*

x* X *X


• Tenzory U a v jsou objektivní

= =F RU vR = =F* R * U* v * R *

= =F* QF QRU

R * U *

= ∧ =U* U R* QR

=v * R* QvR =v *QR QvR 1 1 T− −= =v* QvRR Q QvQ


• Tenzory C, E, e, b, σ, P a S jsou objektivní

T

T

==

=

=

C* CE* Ee* QeQb* QbQ

T

==

=

S* SP* QP

* Q Qσ σ


• Prostorový gradient rychlosti není objektivní

ale jeho symetrická část – prostorová rychlost deformace d – objektivní je

1−∂= =∂

l FFvx( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 1− −− − −= = = = + =l* FF * F * F * QF QF QF QF F Q

( ) 1 T T−= + = +QF QF F Q QlQ Ω

T=d* QdQ


• Materiálové tenzory a jejich rychlosti (všechny indexy velké) jsou vždy objektivní, protože superpozice následných pohybů nemění referenční konfiguraci…

• U smíšených (velké i malé indexy) a prostorových tenzorů je třeba objektivitu ověřovat


• Prostorová objektivní rychlost vektoru a tenzoru

• Požadavek objektivity derivování podle času

*T

=

=

QT* QTQu u *

T T T

= +

= + +

Q QT* QTQ QTQ QTQ

u u u

T

=

=

QT QTQ

u* u*


• Korotační rychlost vektoru

• Jaumannova (Zarembova) rychlost tenzoru

= +l d w

o= −T T wT + Tw

ů

oT

= −wů u u ( ) ( )**− = −

=

w Q wQ

u u u uů ů


• Existuje mnoho definic objektivních rychlostí tenzorových polí (Jaumann, Zaremba, Rivlin, Naghdi, Oldroyd, Green, Truesdell,…) a lze s tím užít mnoho zábavy…

Kvazilineárníviskoelasticita

Kvazilineární viskoelasticita

• Y. C. Fung (1972) – původně pro měkké tkáně

• Separace efektů

Linearita v relaxačních efektech G(t – τ)Nelinearita v elastických efektech σ(F(t))


• Časově proměnný deformační gradient F(t)

( )( )

( )pro ,0

pro 0, t

ττ τ

τ

∈ −∞= ∂

∈ ∂

I F x

X


( ) ( ) ( )et

t t dτ

τ ττ−∞

∂= −

∂∫S

S G

• Druhé Piolovo-Kirchhoffovo napětí S– objektivita D/Dt

e W∂=∂

SE


• Ve složkovém zápisu

1ij iK KL jLJ F S Fσ −=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )et tIJ

KL KLIJ KLIJIJ

S WS t G t d G t d

Eτ τ

τ τ τ ττ τ−∞ −∞

∂ ∂∂= − = −

∂ ∂ ∂∫ ∫


• Ve složkovém zápisu

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )0

0

0

0

t

KL KLIJ KLIJIJ IJ

tKLIJ

KLIJIJ IJ

W WS t G t G t d

E EW t G W t

G dE E

τ ττ τ

τ

τ ττ

τ

+∂ = ∂∂= + − =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ −= +

∂ ∂ ∂

∫

∫

Když SKL = 0 = EKL pro t < 0

Když ∂SeKL/∂t a ∂GKLIJ/∂t jsou spojité


• Nestlačitelný materiálvýraz pro W odpovídá nestlačitelnému modelu

det 1J = =F

( ) ( )( )

( ) ( )

( )0

1

0

t

KL KLIJ KLIJIJ IJ

KL

W WS t G t G t d

E E

p t C

τ ττ τ

τ

+

−

∂ = ∂∂= + −

∂ ∂ ∂

−

∫


• Ukázka aplikaceHistorie

deformacePředpověď napjatosti v jednoosém

tahu (cyklus s relaxací)

( ) ( )21 13 3

2 4W I Iµ α

= − + − ( ) ( )1 21 13 3

2 2 2 2W I Iµ µγ γ = + − + − −


• Ukázka aplikace

Nor

mov

aný

střed

ní po

lom

ěr m

embr

ány

Čas

( ) ( )1 21 13 3

2 2 2 2W I Iµ µγ γ = + − + − −

Normovaný střední poloměr membrány

Nor

mov

aný

vnitř

ní tla

k

Visko-hyperelasticita„rate-dependent“

Visko-hyperelasticita

• Potenciálová závislost na rychlosti deformaceelastická „e“ a vazká „v“ složka napětírate-dependent

e v= +S S S ( ) 2 2e vW Wt ∂ ∂

= +∂ ∂

SC C

( )e eW W= C

( ),v vW W= C C


• Potenciálová závislost na rychlosti deformace

( )e eW W= C ( ),v vW W= C C

Tři hlavní invarianty Deset hlavních invariantů

( )

( ) ( )( )

1

2 22

3

12det

I tr

I tr tr

I

=

= −

=

C C

C C C

C C

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

7

28

29

2 210

,

,

,

,

I tr

I tr

I tr

I tr

=

=

=

=

C C CC

C C C C

C C CC

C C C C

( )( )( )

4

25

36

I tr

I tr

I tr

=

=

=

C C

C C

C C


• Potenciálová závislost na rychlosti deformace

Smlu

vní n

apět

í [M

Pa]

λ = l/L [-]

( ) ( )( ) ( )1 321 3

2Ie eW W e Iβ αβα −= = − − −C

( ) ( )5 1, 34

v vW W I Iη= = −C C

Viskoelasticitas vnitřními proměnnými

Internal variables• Nerovnovážný stav vyznačující se existencí disipativních procesů

(relaxace, creep, recovery, hystereze, poškození,…) je nahrazen fiktivním rovnovážným stavem, který je popsán:

• Řiditelnými stavovými proměnnými(měřitelnými, nastavitelnými, vnějšími,…)

• Skrytými stavovými proměnnými(vnitřními, nekontrolovatelnými,…)

, , ,...T C C

ξ

Internal variables• Konstitutivní popis vychází z bilance entropie formulované jako

Clausius-Planckova nerovnost

produkce (hustoty) entropie (neboli hustoty vnitřní disipace) Dint neklesá

Výkon vnitřních

sil

Časová změna hustoty volné

energie

Ohřev zvyšuje možnost maření

int : 0D W ST= − − ≥P F

Internal variables

• Konstitutivní funkce W (hustota volné energie)

int:W ST D= − −P F

( )1, , ,..., nW W T= F ξ ξ

11

: : : ... : nn

W W W WW TT

∂ ∂ ∂ ∂= + + + +∂ ∂ ∂ ∂

FF

ξ ξξ ξ

Internal variables

• Konstitutivní funkce W v Clausiově-Planckově nerovnosti

Ξ (jako napětí) a ξ (jako deformace) tvoří konjugovaný pár

W∂=∂

PF

WST

∂= −

∂

int 1 1: ... : 0n nD = + + ≥ Ξ Ξξ ξ ii

W∂= −

∂Ξ

ξ

Internal variables

• Evoluční rovnice pro skryté proměnné

• Termoviskoelastické těleso ještě potřebuje specifikovat, jak tepelný tok závisí na stavu (deformace, teploty, gradientech a skrytých proměnných)

( ) ( )1, , ,..., 1,...,i i nt f T i n= =Fξ ξ ξ

Skryté proměnné

• Ukázka diferenciálně-integrální formulace

Krátkodobé efekty (krátkodobá paměť)rychlost deformace

Dlouhodobé efekty (dlouhodobá paměť)

relaxační časy…

Skryté proměnné

• Ukázka diferenciálně-integrální formulace

( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,e v vs lW W W W W= = + +C C M C M C C M C M Γ Γ

Elastická(rovnovážná)

Krátkodobá viskoelastická

odezva

Dlouhodobá viskoelastická

odezva

Skryté proměnné

• Napětí rozkládáme podobně jako W

( ) ( ) ( )e vt t t= +S S S

( ) ( ) ( )v v vs lt t t= +S S S

Skryté proměnné

• Evoluční rovnice pro „nerovnovážné“ (skryté) napětí

vv e

ii

gτ

+ =SS S ( )

0

i

ttv e

it g e dτ

τ τ−

−

= ∫S S

Skryté proměnné

• Předpokládáme rozklad na s (short) a l (efekty), kde s se uplatňují pouze při zatěžování a l pouze při relaxaci

• Short = zatěžování (Wvl = 0, Sv

l = 0) pro 0 ≤ t ≤ δ• Long = relaxace (Wv

s = 0, Svs = 0) pro δ ≤ t

( ) ( ) ( )v v vs lt t t= +S S S

Skryté proměnné

• Short = zatěžování (Wvl = 0, Sv

l = 0) pro 0 ≤ t ≤ δ

( )0

i

ttv es it g e d

ττ τ−

−

= ∫S S

• Long = relaxace (Wvs = 0, Sv

s = 0) pro δ ≤ t

( )v

v vll i s

i

w δτ

+ =S

S S ( ) ( )1

i

ttnv v el i s

it w e d

ττ

δ

δ τ−

−

=

= ∑ ∫S S S

Skryté proměnné

• Různě rychlé zatížení + následná relaxace

Dvoufázový model:elastoviskoplastický-hyperelastický

…např. pro termoplastický polyuretan

Termoplastický polyuretan

• TPU elastomer4,4‘-metylen difenyl diizokyanát+ 1,4-butanediol + polytetrahydrofuran

Logaritmická deformaceSk

uteč

né n

apět

í [M

Pa]

Tlaková zkouška

Reologická reprezentace

I N= =F F F

e v=F F F

eF

vF

I N= +σ σ σ

∂=∂

F xX


• Lineárně viskoelastická vsuvka„standard linear solid v Maxwellově tvaru“

σ

σ

NN

NE

σε

=VI Iσ ηε=

N Iσ σ σ= +

N Iε ε ε= =

E VI I

ddt

ε ε ε= +

( )EN IEσ ε η ε ε= + −

E EI I IEσ ε=

VN N IEσ ε ηε= +

E V VI I I Iσ σ σ ηε= = =

⇒

N N NEσ ε=

⇒

V

V E V E E II I I I I I

I

dEdt E

σσ σ σ ε ε= ⇒ = ⇒ =

⇒

⇒ VN I

I

EEησ ε ηε σ= + −

V VI I N I N

d Edt

σ σ σ σ σ σ ε= = − ⇒ = −

⇒ ( ) I NII N

E EE E Eσ σ ε εη η

+ = + +


• Nechť je pružina N (nelineární) hyperelastická

• Nelineární lze zvolit i pružinu ve větvi I. Pro určení napětí na I musíme zjistit, jaká je elastická deformace na I, . Pro creep na I musíme zjistit, jaká je rychlost toku (plastického) na tlumiči, . v

IF

eIF

vF

eF

Kinematika

I N= =F F Fe v=F F F∂

=∂

F xX

Gradient rychlosti l rozložíme elastickou a plastickou složku

e vI I= +l l l

e vI IF F

Kinematika

Gradient rychlosti rozložíme elastickou a plastickou složku e vI I= +l l l

( ) ( )( ) 11 1

1 1 1

e v e vI I I I I I

e e e v v eI I I I I I

dgraddt

−− −

− − −

= = = = =

= +

l FF F F F F F F

F F F F F F

v

eIl v

Il

1v e v eI I I I

−=l F l F

Kinematika

• Na plastické složce nás zajímá tzv. relaxovaná část

a na ní provedeme standardní rozklad na (plastickou) deformační rychlost a (plastický) spin

1e v e e v eI I I I I I

−= + = +l l l l F l F

1v v vI I I

−=l F F

1v v v v vI I I I I

−= = +l F F d w

Kinematika

• Plastický tok uvažujeme jako nerotační

• Konstitutivně předepisujeme, že rychlost plastického toku bude mít tvar

velikost plastické rychlosti směrový tenzor koaxiální s napěťovým

1v v v vI I I I

−= =l F F d

v v vI I Iγ=d N

vIγ

vIN

Kinematika

• Rychlost plastického (vazkého) toku v v vI I Iγ=d N

( )( )1 ˆ

ˆvI I

I

devdev

=N σσ

ˆ eT eI I I I IJ= R Rσ σ

e e e e eI I I I I= =F R U v R

Kinematika

• Rychlost plastického toku

i velikost rychlosti plastické deformace je třeba předepsat

pomocí Reeova-Eyringova modelu (plastizace jako termálně aktivovaný proces). Materiálové parametry jsou

v v vI I Iγ=d N

vIγ

0 sinhG

v v IkTI

I

GekT s

τγ γ

∆− ∆

=

0 , ,vIG sγ ∆

( ) ( )1 ˆ ˆ:2I I Idev devτ = σ σ

Kinematika

• Rychlost plastického toku

„smyková pevnost“ sI nemusí být konstanta, ale může podléhat evoluci v historii deformace

v v vI I Iγ=d N

0 sinhG

v v IkTI

I

GekT s

τγ γ

∆− ∆

=

,

1 vII I I

ss I

ss hs

γ

= −

• Plastickou rychlost

použijeme k určení plastické deformace

v v vI I Iγ=d N

Kinematika

vIF

1v v v vI I I I

−= =l F F d

v v vI I Iγ=d N

v v v vI I I Iγ=F N F

Integrujeme diferenciální rovnici a získáme FI

v1e v

I I−=F FF

• Jestliže známe

postoupíme k výpočtu napětí v pružinách

To samozřejmě jen tehdy, je-li úloha řízena deformačně….Jsou-li předepsány síly, je výpočet spřažený

Kinematika

, ,e vI IF F F

Pružiny

• Pružina N Arruda-Boyce

1 c

Nλ

β − =

L

( )2

12

31

xx xx

− −−

L

sinhlnN N cW N N βµ βλβ

= −

( )1

3N

c

Iλ =

b

( )1

3N c

N NN c

Ndev

J Nµ λ

λ−

=

bσ L

23 T

N N NJ−

=b F F

Pružiny

• Pružina I lineárně ve velkých deformacích

e e e e eI I I I I= =F R U v R

detI IJ = F

( )1 1ln lneI I I I I IJ dev J K Jµ− −= +v Iσ

Model

• Parametry 0, , , , , ,vN I IN K G sµ µ γ ∆

Logaritmická deformace

Skut

ečné

nap

ětí [

MPa

]

Tlaková zkouškaExperiment 0.1 s-1

Model 0.1 s-1

Experiment 0.01 s-1

Model 0.01 s-1

Model doplněný o cyklický stress softening

• Parametry

0 0, , ,0 ,, , , , , , , , , , ,vN I I SS I I N lock lock SSN K G s s h cµ µ γ λ λ∆

,

1 vII I I

ss I

ss hs

γ

= −

0, ... I Is počáteční hodnota s

Konstituujeme cyklickou evoluci plastického toku

0, 0 .N NN N konstµ µ= =

( ) ( )lockN t tλ=( )

2,0 , ,

2, ,

1 lock lock SS lock SSlock N c

lock SS lock SS c

cλ λ λ

λ λλ λ λ

−= − −

Konstituujeme cyklickou evoluci limitní průtažnosti

řetězců


• Experiment


Skut

ečné

nap

ětí [

MPa

]

120 s zotavení mezi cykly

Pořadí cyklu


• Model


Skut

ečné

nap

ětí [

MPa

]

120 s zotavení mezi cykly

Komplexní model pro mechaniku elastomerů

• Model dokáže vystihnoutcreeprelaxacicyklický stress softening (Mullinsův efekt)obsahuje 12 konstitutivních parametrůa 3 (doplňkové) evoluční rovnice

Model a výsledky pro TPU pocházejí z Cho, H., Mayer, S., Pöselt, E., Susoff, M., Veld, P. J., Rutledge, G. C., & Boyce, M. C. (2017). Deformation mechanisms of thermoplastic elastomers: Stress-strain behavior and constitutive modeling. Polymer, 128, 87-99. http://dx.doi.org/10.1016/j.polymer.2017.08.065

http://dx.doi.org/10.1016/j.polymer.2017.08.065

Komplexní model pro mechaniku elastomerů

• Koncepce modelu vychází z práceBergström & Boyce Bergström, J. S., & Boyce, M. C. (1998). Constitutive modeling of

the large strain time-dependent behavior of elastomers. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 46(5), 931-954.http://dx.doi.org/10.1016/S0022-5096(97)00075-6

1 v v v v v e v e vI I I I I I I I Iγ γ −= ⇒ =d N F F N F F

( )( ) ( )

( )0

1 :21

1 ln : ln

m

I ICv v vI cI cute

base

dev devRγ γ λ ξ τ

α τ

= − + − +

v v

σ σ

http://dx.doi.org/10.1016/S0022-5096(97)00075-6

http://dx.doi.org/10.1016/S0022-5096(97)00075-6

Vícefázový model:elastoviskoplastický-hyperelastický

…např. pro polyetylen(s ultra vysokou molekulární hmotností)

Komplexní model pro termoplasty

• Koncepce modelu vychází z práce Bergströmovypráce na modelování UHMWPE(polyetylen s vysokou molekulovou hmotností)

Bergström, J. S., Rimnac, C. M., & Kurtz, S. M. (2003). Prediction of multiaxial mechanical behavior for conventional and highly crosslinked UHMWPE using a hybrid constitutive model. Biomaterials, 24(8), 1365-1380.

http://dx.doi.org/10.1016/S0142-9612(02)00514-8

Bergström, J. S., Rimnac, C. M., & Kurtz, S. M. (2004). An augmented hybrid constitutive model for simulation of unloading and cyclic loading behavior of conventional and highly crosslinked UHMWPE. Biomaterials, 25(11), 2171-2178.

http://dx.doi.org/10.1016/j.biomaterials.2003.08.065

http://dx.doi.org/10.1016/S0142-9612(02)00514-8

http://dx.doi.org/10.1016/j.biomaterials.2003.08.065

Viskoplastický model pro termoplasty

• Tzv. hybridní modelE ABP=F F F

A B P= =F F F

E ABP= =S S S

ABP A B P= + +S S S S


• Tzv. hybridní model E ABP=F F F

A B P= =F F F

A B+σ σ

σ

vF


• Tzv. hybridní model – lineární pružina Ee

E =F F

E=σ σ

( )1 12 ln lne e e eE E EJ J trµ λ− −= = +v v Iσ σ

e e e e e= =F R U v R


• Tzv. hybridní model – nelineární pružina AArruda-Boyce

vA B P= = =F F F F

( )1

3

vvc

Iλ =

b 23v v v vTJ

−=b F F

( ) ( )1 13

vv vcA

A Av vc

N dev JJ N

λµκ

λ−

= + −

b Iσ L


• Tzv. hybridní model – nelineární Maxwell Bv

A B P= = =F F F F v e vB B B= =F F F F

( )1

3

BeBec

Iλ =

b

23Be Be Be BeTJ

−=b F F

( ) ( )1 13

BeBe BecA

B B Ae BeB c

Ns dev JJ N

λµκ

λ−

= + −

b Iσ L

( ) vB B B Bfs s sα γ= − −

Závislost počáteční tuhosti na rychlosti plastického toku


• Tzv. hybridní model – nelineární Maxwell B

( ) ( )1 13

BeBe BecA

B B Ae BeB c

Ns dev JJ N

λµκ

λ−

= + −

b Iσ L

( ) vB B B Bfs s sα γ= − − Závislost počáteční tuhosti na rychlosti plastického toku

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )1

0

1 : 121 1ˆ1 :3 2

Bm

B Bv v v e v v eB B B B B B B

baseB B B B

dev devdev

tr p dev devγ γ

τ

−

= = = −

F l F F F N

σ σσ

σ σ σ


• Tzv. hybridní model – tlumič P

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )0

1 : 121 1ˆ1 :3 2

Pm

P Pv v v eT e v v v

PbaseP P P P

dev devdev

tr p dev devγ γ

τ

= = = −

F l F R R F N

σ σσ

σ σ σ

( )1e e eTP A BJ −= − +F Fσ σ σ σ

σA a σB jsou vztaženy

k mezikonfiguraci

• Tzv. hybridní model – např. UHMWPE


ˆ, , , , , , , , , , , ,base baseE E A A B Bf Bfi B B P PN s s p m mµ λ µ κ α τ τ

Ukázka výsledků použití modelu pochází z dizertační práce Tomáše Boudy nazvané Viskoplastická odezva UHMWPE a její

důsledky pro totální kolenní náhradu obhájené na ČVUT FS v roce 2014

https://dspace.cvut.cz/handle/10467/47122

https://dspace.cvut.cz/handle/10467/47122







Funkce poškození a pseudoelasticita

Skrytá proměnná pro rate-independent elastoplastickécyklické měkčení elastomerů známé jako Mullinsův efekt

• Cyklická tahová zkouška s postupně rostoucí mezí deformace

• Elastomery a měkké tkáně (cévy, šlachy, vazy,…)

Mullinsův efekt

Streč λ [-]Sm

luvn

í nap

ětí [

MPa

]

• Cyklická tahová zkouška s postupně rostoucí mezí deformace

• Elastomery a měkké tkáně (cévy, šlachy, vazy,…)

Mullinsův efekt

Mullinsův efekt

• Pseudoelasticita (R.W. Ogden, D.G. Roxburgh)

elasticita a hustota deformační energie

pseudoelasticitaa hustota pseudo-deformační energie

poškození

konzistence s elasticitou

( )W W= F

( ),W W η= F

( )0 ,1W W= F

η

Mullinsův efekt

• Pseudoelasticita

poškození η předpokládáme jako závislé na deformaci

dospíváme k novému vyjádření hustoty energie

pak pro nestlačitelný materiál ( ) platí

( )η η= F

( )( ),w W η= F F

( ) ( )1 1, ,W Ww p pη η η

η− −∂ ∂∂ ∂

= − = + −∂ ∂ ∂ ∂

F FP F F

F F F

det 1=F

Mullinsův efekt

• Pseudoelasticita

závislost na poškozenízvolíme tak, aby

( ) ( )1 1, ,W Ww p pη η η

η− −∂ ∂∂ ∂

= − = + −∂ ∂ ∂ ∂

F FP F F

F F F

( ),0

W ηη

∂=

∂F

( ) 1,Wp

η −∂= −

∂F

P FF

Mullinsův efekt

• Pseudoenergie

• Funkce poškozenínebo též disipační

( ) ( ) ( )0,W Wη η φ η= +F F

( )φ η ( )1 0φ η = =

( )0Wφη∂

= −∂

F

( ) ( )0 maxpřes historiideformace

1mW W

φη

∂= − = −

∂F

Mullinsův efekt

• Pseudoenergie

• Funkce poškozenínebo též disipační

( ) ( ) ( )0,W Wη η φ η= +F F

( )011 tanh mW Wr m

η−

= −F

Mullinsův efekt

Streč λ [-]

Smlu

vní n

apět

í [M

Pa]

Deformace ε [-]

Smlu

vní n

apět

í [M

Pa]

Mullinsův efekt

• ZdrojeOgden, R. W., & Roxburgh, D. G. (1999). A pseudo-elastic model for the mullins effect in filled rubber. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 455(1988), 2861-2877. http://dx.doi.org/10.1098/rspa.1999.0431

Dorfmann, A., & Ogden, R. W. (2003). A pseudo-elastic model for loading, partial unloading and reloading of particle-reinforced rubber. International Journal of Solids and Structures, 40(11), 2699-2714. http://dx.doi.org/10.1016/S0020-7683(03)00089-1

Dorfmann, A., & Ogden, R. W. (2004). A constitutive model for the mullins effect with permanent set in particle-reinforced rubber. International Journal of Solids and Structures, 41(7), 1855-1878. http://dx.doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2003.11.014

Lapczyk, I., & Hurtado, J. A. (2014). A viscoelastic-elastoplastic finite strain framework for modeling polymers. Paper presented at the ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition, Proceedings (IMECE)http://dx.doi.org/doi:10.1115/IMECE2014-36831

http://dx.doi.org/10.1098/rspa.1999.0431

http://dx.doi.org/10.1016/S0020-7683(03)00089-1

http://dx.doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2003.11.014

http://dx.doi.org/doi:10.1115/IMECE2014-36831

Prezentace aplikace PowerPoint - cvut.czusers.fs.cvut.cz/~hornyluk/files/Viskoelasticita.pdf · Co je to viskoelasticita • Debořino číslo. obs. De t. λ = charakteristický (relaxační)

Documents