8/9/2019 Presstern Puska Matematika 1 Geometria Es Matematikai Analizis
1/22
8/9/2019 Presstern Puska Matematika 1 Geometria Es Matematikai Analizis
2/22
Tartalomjegyzék
GEOMETRIA
1. Vektorok . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Irányított szakaszok. Vektorok . . . . . 1
1.2. Műveletek vektorokkal . . . . . . . . 3
1.3. Kollineáris vektorok . . . . . . . . . 8
1.4. Helyzetvektor . . . . . . . . . . . 10
1.5. Párhuzamosság, összefutás, kollinearitás . 12
1.6. Skaláris szorzás . . . . . . . . . . . 18
2. Analitikus geometria . . . . . . . . . . . 243. Trigonometria . . . . . . . . . . . . . 37
3.1. A trigonometria elemei . . . . . . . . 37
3.2. Trigonometrikus egyenletek . . . . . . 47
3.3. Trigonometria síkmértani alkalmazásai . 57
MATEMATIKAI ANALÍZIS
1. Valós számok, valós számhalmazok . . . . . 62
2. Valós számsorozatok . . . . . . . . . . . 65
2.1. Valós sorozatok . . . . . . . . . . . 65
2.2. Műveletek valós sorozatokkal . . . . . 68
8/9/2019 Presstern Puska Matematika 1 Geometria Es Matematikai Analizis
3/22
2.3. Egyenlőtlenségek és határértékek . . . 73
2.4. Konvergencia, monotonitás, korlátosság . 75
2.5. Részsorozatok . . . . . . . . . . . 77
2.6. Néhány fontos határérték . . . . . . . 78
2.7. Határozatlansági esetek feloldása . . . . 80
3. Függvényhatárértékek . . . . . . . . . . 83
3.1. Függvény határértéke . . . . . . . . 83
3.2. Határértékekkel végzett műveletek . . . 87
3.3. Határértékek tulajdonságai . . . . . . 89
3.4. Fontos határértékek . . . . . . . . . 92
4. Folytonos függvények . . . . . . . . . . 96
4.1. A folytonosság értelmezése . . . . . . 96
4.2. Műveletek folytonos függvényekkel . . . 100
4.3. Folytonosság és Darboux tulajdonság . . 101
5. Deriválható függvények . . . . . . . . . . 1045.1. A derivált értelmezése . . . . . . . . 104
5.2. A derivált mértani jelentése . . . . . . 109
5.3. Műveletek deriválható függvényekkel . . 110
5.4. Elemi függvények deriváltjai . . . . . 113
5.5. Összetett függvény deriváltja . . . . . 115
5.6. Magasabb rendű deriváltak . . . . . . 117
8/9/2019 Presstern Puska Matematika 1 Geometria Es Matematikai Analizis
4/22
5.7. A differenciálszámítás középértéktételei . 120
5.8. Függvény grafikus képe . . . . . . . 133
6. A határozatlan integrál . . . . . . . . . . 141
6.1. Primitív függvény. A határozatlan integrál 1416.2. Primitiválható függvények . . . . . . 145
6.3. A parciális integrálás módszere . . . . 149
6.4. Első helyettesítési módszer . . . . . . 152
6.5. Második helyettesítési módszer . . . . 157
6.6. Törtfüggvények integrálása . . . . . . 159
7. A határozott integrál . . . . . . . . . . . 174
7.1. Riemann-integralható függvények . . . 174
7.2. Integrálható függvények tulajdonságai . . 180
7.3. A parciális integrálás módszere . . . . 182
7.4. Első helyettesítési módszer . . . . . . 185
7.5. Második helyettesítési módszer . . . . 187
7.6. Középértéktételek . . . . . . . . . . 189
7.7. Az integrálszámítás alaptétele . . . . . 192
7.8. A határozott integrál alkalmazásai . . . 194
8/9/2019 Presstern Puska Matematika 1 Geometria Es Matematikai Analizis
5/22
1. Vektorok
1.1. Irányított szakaszok. Vektorok
rtelmezés. Az (A,B) rendezett pontpárt irányí-
tott szakasznak nevezzük és így jelöljük: AB.
rtelmezés. Az AB és CD irányított szakaszokat
ekvipolenseknek nevezzük (jelölés: AB∼CD),
ha az [AD] és [BC] szakaszok felezőpontjai egy- beesnek.Megjegyzés. HaAB∼CD, akkor azAB szakasztpárhuzamos eltolással aCDszakaszra lehet helyezni.Tulajdonság. Az irányított szakaszok halmazán az ek-
vipolencia egy ekvivalencia-reláció, azaz AB∼AB (reflexív), ha AB∼CD, akkor CD∼AB (szim-
metrikus), ha AB∼CD és CD∼EF , akkor
AB∼EF (tranzitív).
Irányított szakaszok
A
B
D
C
AB ésCD pontosan akkorekvipolensek, ha ABDCegy paralelogramma vagy azA,B,C,D pontok kolline-árisak és az [AD], [BC]
felezőpontja megegyezik.
A
B
C
D
1
8/9/2019 Presstern Puska Matematika 1 Geometria Es Matematikai Analizis
6/22
rtelmezés. Egy adott irányított szakasszal ekvipo-lens irányított szakaszok halmazát vektornak nevez-zük.Jelölés. Az AB irányított szakasz által meghatáro-
zott vektort−−→AB-vel (vagy egy kisbetűvel) jelöljük:−−→AB=
CD|CD∼AB
.
Megjegyzés. Ha AB∼CD, akkor−−→AB=−−→CD. Az −→u=−−→AB=−−→CD jelöléssel az AB (vagy a
CD) az−→u egy reprezentánsa.rtelmezés. Az−→u hossza modulusza az őt repre-zentáló irányított szakaszok közös hosszával egyenlőés |−→u |-val jelöljük.rtelmezés. A nulla hosszúságú
−−→AA vektort nullvek-
tornak nevezzük.
Vektorok
rtelmezés. Az −−→AB és −−→CD vektorok egyenlőek
(jelölés:−−→AB=−−→CD),haazAB ésCD irányított
szakaszok ekvipolensek.
Megjegyzés. Két vektor akkor egyenlő, ha irá-nyuk megegyezik (tartóegyeneseik párhuzamosak),hosszuk egyenlő és ugyanaz az irányításuk.Tétel. ( Adott kezdőpontú reprezentáns létezése)Ha adott az −→u vektor és egy tetszőleges M pont,akkor létezik egyetlen olyan M ′ pont, amelyre−→u=−−−→MM ′ .Következmény. Az egyértelműség alapján, ha−−→MA=−−→MB, akkorA=B.
2
8/9/2019 Presstern Puska Matematika 1 Geometria Es Matematikai Analizis
7/22
Az irányított szakaszok halmaza
A
B
C
D
−→u
=
F
E
H
G
−→v
=
A mellékelt ábrán −→u=−−→AB=−−→CD=..., −→v =−−→EF ==−−→GH=..., CD az−→u egy reprezentánsa, EF a−→v
egy reprezentánsa,−−→AB=−−→CD.1.2. Műveletek vektorokkal
Az −→u és −→v vektorok összegét a következőképpenszerkesztjük meg.
( Háromszög-szabály): egy tetszőlegesM pontból kiindulva megszerkesztjük az−−→MN =−→u majd az −−→NP =−→v vektorokat.
Ekkor az−→u és−→v összege az⃗ u+⃗v =−−→MP vektor. ( Paralelogramma-szabály): ha ⃗ u és⃗v nem
kollineárisak, egy tetszőleges M pontból ki-
indulva megszerkesztjük az−−→MN =−→u és az−−→
MP =−→v vektorokat, majd az MNQP
paralelogrammát. Ekkor az−→u és−→v összegeaz⃗ u+⃗v =−−→MQ vektor.
Vektorok összeadása
3
8/9/2019 Presstern Puska Matematika 1 Geometria Es Matematikai Analizis
8/22
⃗ u
v⃗
⃗ u
v⃗
⃗u+⃗ v
M
N
P
Háromszög-szabály
⃗ u
v⃗
⃗u+⃗ v
M
N
P
Q
Paralelogramma-
szabály
rtelmezés.
Az −−→AB vektor ellentétes vektora a
−
−−→AB=−−→BA vektor.
Tulajdonság. A vektorok összeadásának tulajdonsá-gai (⃗a ,⃗ b,⃗c tetszőleges vektorok):
asszociatív: (⃗a +⃗ b)+⃗c =⃗a +(⃗ b+⃗c ); kommutatív:⃗a +⃗ b=⃗ b+⃗a ; a nullvektor ⃗ 0 az összeadás semleges
eleme:⃗a +⃗ 0=⃗ 0+⃗a =⃗a ; minden ⃗a vektornak van ellentettje (−⃗a ):a⃗ +(−⃗a )=(−⃗a )+⃗a =⃗ 0.
A vektorok összeadásának tulajdonságai
Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az ABCD pa-ralelogramma síkjának bármely M pontja esetén−−→MA+−−→MC=−−→MB+−−→MD.
M. Az ABCD paralelogrammában−−→AB=−−→DC=−−−→CD és−−→AD=−−→BC=−−−→CB.
M
A
B
C
D
−−→MA+−−→MC==(−−→MB+−−→BA)+
+(−−→MD+−−→DC)=
4
8/9/2019 Presstern Puska Matematika 1 Geometria Es Matematikai Analizis
9/22
=−−→MB+−−→MD+−−→BA+−−→DC=−−→MB+−−→MD.
Az−→u és−→v vektorok különbségén az⃗ u−v⃗ =⃗ u+
(−⃗v ) vektort értjük és a következőképpen szer-kesztjük meg: egy tetszőleges M pontból kiindulva
felvesszük az−−→MN =−→u és−−→MP =−→v vektorokat.
Ekkor⃗ u−⃗v =−−→PN .
Vektorok kivonása
⃗ u
v⃗
⃗ u
v⃗
⃗ u −
⃗ v
M
N
P
Tetszőleges M,N,P
pontok esetén−−→MN −−−→MP =−−→MN +−−→PM =−−→PN .
Feladat. Az ABC háromszögben az −−→AB+−−→AC és
−−→AB−−−→AC vektorok modulusza egyenlő. Bizonyítsuk be,hogy az ABC háromszög derékszögű!
M. Az−−→AB+−−→AC megszerkesztése érdekében megrajzol-
juk az ABDC paralelogram-mát: −−→AB+−−→AC=−−→AD,
így |−−→AB
+−−→AC|=|−−→
AD|=AD.
B
A
C
D
−−→AB−−−→AC=−−→AB+−−→CA=−−→CA+−−→AB=−−→CB, így
|−−→AB−−−→CA|=|−−→CB|=CB.
|−−→AB+−−→AC|=|−−→AB−−−→AC|⇒AD=BC, vagyis az ABCD paralelogramma egy téglalap. Tehát
m(BAC)=90◦ .5
8/9/2019 Presstern Puska Matematika 1 Geometria Es Matematikai Analizis
10/22
8/9/2019 Presstern Puska Matematika 1 Geometria Es Matematikai Analizis
11/22
=−−→AB+−−→AC+−−→BM +−−→CM
=⃗ 0
=−−→AB+−−→AC,
ahonnan−−→AM
=
1
2 −−→AB+−−→AC.Feladat. Az E, F , G, H pontok az ABCD négyszög[BC], [DA], [AB] illetve [CD] oldalainak a
felezőpontjai. Bizonyítsuk be, hogy−−→EF +−−→HG=−−→CA.
M. G az [AB] felezőpontja, így −−→AG=−−→GB=
1
2
−−→AB.
Hasonlóan,−−→BE=−−→EC=
1
2
−−→BC,
−−→CH=−−→HD=
1
2
−−→CD,−−→DF =−−→FA=
1
2
−−→DA.
A
B
C
D
E
F
G
H
−−→EF +−−→HG==(−−→EC+−−→CD+−−→DF )+
(−−→HD+−−→DA+−−→AG)=
=(−−→CD+−−→DA)+(−−→EC+
−−→HD+−−→DF +−−→AG)==−−→CA+
1
2
−−→BC+
1
2
−−→CD+
1
2
−−→DA+
1
2
−−→AB=
=−−→CA+
1
2 −−→BC+−−→CD+−−→DA+−−→AB=
=−−→CA+
1
2·⃗ 0=−−→CA.
7
8/9/2019 Presstern Puska Matematika 1 Geometria Es Matematikai Analizis
12/22
3. Trigonometria
3.1. A trigonometria elemei
rtelmezés. Egy kör félkerületének és sugarának ará-nya állandó ésπ≈3,1415-tel egyenlő.rtelmezés. A kör sugarával megegyező hosszúságú
körívhez tartozó középponti szög mértéke 1 radián.Megjegyzés. Egy szögnek fokban illetve radiánban
való mértéke közt fennáll azα
xr
=180
πösszefüg-
gés, aholα a szög fokban kifejezett, xr a szög radi-ánban kifejezett mértéke.
Szög-mértékegységek
O
A
P 0
P π/6
P π/3
P π/2
P 2π/3
P 5π/6
P π
P 7π/6
P
4π
/3
P 3π/2
P
5π
/3
P 11π/6
I.
II.
III.
IV.
37
8/9/2019 Presstern Puska Matematika 1 Geometria Es Matematikai Analizis
13/22
rtelmezés. Adott egy xOy derékszögű koordináta-rendszer. AzO középpontú, egységsugarú kört, ame-lyen kijelöltünk egy pozitív körbejárási irányt (az óra-mutató járásával ellentétes irányt), trigonometrikus
körnek nevezzük.Jelölés. Legyen t∈R egy szám. Ekkor egyetlen olyanP t-vel jelölt pont van a trigonometriai körön, amely
m( AOP t)=t.
A trigonometrikus kör
Legyen t egy valós szám ésP t a hozzátartozó pont akörön.
rtelmezés. A P t pont ordinátáját at valós szám szi-nuszának nevezzük és így jelöljük: sint.rtelmezés. A P t pont abszcisszáját a t valós számkoszinuszának nevezzük és így jelöljük: cost.
Szinusz és koszinusz
O
A
P t
t
cost
sint
O
A
P t
t
tgt
T
ctgt
T
′
38
8/9/2019 Presstern Puska Matematika 1 Geometria Es Matematikai Analizis
14/22
rtelmezés. Az x=1 egyenletű függőleges egye-nest tangens-tengelynek, az y=1 egyenletű vízszin-tes egyenest pedig kotangens-tengelynek nevezzük.
rtelmezés. Ha t∈R\π2
+kπ|k∈Z}, P t at-nek megfelelő pont és T az OP t egyenes és atangens-tengely metszéspontja, akkor T ordinátájátt tangensének nevezzük és így jelöljük: tgt.rtelmezés. Ha t
∈R
\{kπ
|k
∈Z
}, P t a t-
nek megfelelő pont és T ′ az OP t egyenes és akotangens-tengely metszéspontja, akkor T ′ absz-cisszáját t kotangensének nevezzük és így jelöljük:ctgt.
Tangens és kotangens
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
sinx 0 1
2
√ 2
2
√ 3
2
1
cosx 1
√ 32√ 2
212
0
tgx 0
√ 3
3 1√
3 |
ctgx
|
√ 3 1
√ 3
3
0
Fontosabb értékek
39
8/9/2019 Presstern Puska Matematika 1 Geometria Es Matematikai Analizis
15/22
8/9/2019 Presstern Puska Matematika 1 Geometria Es Matematikai Analizis
16/22
1. Valós számok, valós szám-halmazok
rtelmezés. AzA⊆R halmaz véges, ha létezik egy ntermészetes szám és egy f :A→{1,2,...,n} bi- jektív függvény. rtelmezés. AzA⊆R hamaz alul-rólkorlátos, ha létezik olyanm∈R, amelyrem≤x,∀x∈A. Azm azA egy alsó korlátja.rtelmezés. AzA⊆R hamaz felülről korlátos, ha lé-tezik olyan M ∈R, amelyre M ≥x,∀x∈A. Az
M azA egy felső korlátja.rtelmezés. Ha A̸=∅ alulról korlátos, akkorA alsókorlátai között van egy legnagyobb, melyet az A alsóhatárának vagy infimumánaknevezünk ésh=inf A- val jelölünk.Tétel. Legyen∅̸
=A⊆R. Egyenértékű a következő
két állítás:1.h∈R azA alsó határa;2.a≥h,∀a∈A és∀ε>0,∃aε∈A,
amelyreaε0, ∃aε∈A, amelyreaε>H−ε.
62
8/9/2019 Presstern Puska Matematika 1 Geometria Es Matematikai Analizis
17/22
rtelmezés. Ha az A halmaz alulról (felülről) nemkorlátos, akkor azt mondjuk, hogy A alsó (felső) ha-
tára
−∞(+
∞). AzR=R
∪{−∞,+
∞}hal-
mazt azR lezártjának nevezzük.Tulajdonság. AzR halmazon végzett
”műveletek” tu-
lajdonságai: x+(+∞)=(+∞)+x=
=(+∞)+(+∞)=+∞,∀x∈R; x
−(+
∞)=
−(+
∞)+x=
x+(−∞)=(−∞)+(−∞)=−∞,∀x∈R; x·(+∞)=(+∞)·x=
+∞, hax>0−∞, hax0úgy, hogy (x0−ε,x0 +ε)⊆V (x0 ).
Valós szám környezete
63
8/9/2019 Presstern Puska Matematika 1 Geometria Es Matematikai Analizis
18/22
Tulajdonság. Azx0 valós szám környezeteinek tulaj-donságai:
azx0 minden környezete tartalmazzax0-t;
haV azx0 egy környezete ésV ⊆U , akkorazU is egy környezete azx0-nak; azx0 két környezetének metszete szintén kör-
nyezetex0 -nak; azx0 egy tetszőlegesV környezete esetén lé-
tezik azx0 olyanU környezete úgy, hogy V
azU minden pontjának is környezete.Tétel. Ha x̸=y, akkor léteznek aV x ésV y halma-zok, V x környezete x-nek, V y környezete y-nak
úgy, hogy V x∩V y=∅.
Valós szám környezete - folytatás
LegyenA⊆R egy halmaz.rtelmezés. Az x0∈R pontot az A halmaz torló-dási pontjának nevezzük, ha az x0 tetszőleges kör-
nyezete azAhalmaz végtelen sok elemét tartalmazza. Az A halmaz torlódási pontjainak halmazát A′-tel jelöljük.rtelmezés. Hax0∈A ésx0 nem torlódási pontjaA-nak, akkorx0 azA egy izolált pontja.
Torlódási pont, izolált pont
Példa. Ha A véges, akkor A-nak nincs torlódásipontja, A minden pontja izolált pont. Az A=(a,b)
intervallum torlódási pontjainak halmazaA′=[a,b].64
8/9/2019 Presstern Puska Matematika 1 Geometria Es Matematikai Analizis
19/22
8/9/2019 Presstern Puska Matematika 1 Geometria Es Matematikai Analizis
20/22
8/9/2019 Presstern Puska Matematika 1 Geometria Es Matematikai Analizis
21/22
rtelmezés. Ha az f :D→R függvény az x0∈Dpontban nem folytonos, akkor f szakadásos az x0pontban ésx0 szakadási pont.
rtelmezés. Ha
∃ limx→x0
f (x)=l
∈R, de
l̸=f (x0 ), akkor x0 megszüntethető szakadásipont.rtelmezés. Ha ∃ lim
x→x0xx0
f (x)=lj∈R, de lb̸=lj , akkorx0 elsőfajú szakadási pont.
rtelmezés. Minden más szakadási pont másodfajúszakadási pont.
Szakadási pontok
Példa.
f :R→R,
f (x)=
2x−1 , hax
8/9/2019 Presstern Puska Matematika 1 Geometria Es Matematikai Analizis
22/22
⇒x2=3 másodfajú szakadási pont.Feladat. Tanulmányozzuk az f :R→R,
f (x)=
sinx
x, hax0
függvény
folytonosságát az x0 =0 pontban.M. Megvizsgáljuk, hogy teljesül-e a lim
x↗x0f (x)=
=limx↘x0
f (x)=f (x0
) egyenlőségsor.
limx↗x0
f (x)= limx↗0
sinx
x=1
limx↘x0
f (x)= limx↘0
x2−2x+2=1
f (x0)=f (0)=1
⇒
lb(x0)=lj(x0)=f (x0)⇒f folyt. x0-ban.Feladat. Határozzuk meg az a∈R paraméter értékét úgy, hogy f folytonos legyen R-n, ahol f :R→R,
f (x)=ax2 +x+a+1 , hax