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S.E.P. D.G.I.T. S.E.I.T.
INSTITUTO TECNOLOGICO DE TUXTEPEC
TTuuxxtteeppeecc,, OOaaxx.. MMAAYYOO ddeell 22000066
TTEEMMAA::
MMAATTEERRIIAA::
PPRREESSEENNTTAA::
EESSPPEECCIIAALLIIDDAADD::
CCAATTEEDDRRAATTIICCOO::
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HIDRAULICA
UNIDAD I: HIDROSTTICA
1.1 Presin hidrosttica
1.1.1 Ecuaciones bsicas de la esttica de fluidos
1.1.2 Tipos de presin
1.1.3 Distribucin de presin Hidrosttica
1.1.4 Dispositivos de medicin
1.2 Empuje Hidrosttico
1.2.1 Resultante de la cua de Presin
1.2.2 Centros de Presin
1.2.3 Empujes en superficies planas
1.2.4 Empujes en superficies curvos
1.3 Flotacin
1.3.1 Principio de Arqumedes
1.3.2 Condiciones de equilibrio de cuerpos en flotacin
UNIDAD II: PRINCIPIOS CONSERVATIVOS
2.1 Conservacin de la materia
2.1.1 Ecuacin de continuidad
2.1.2 Ecuacin del gasto
2.2 Conservacin de la energa
2.2.1 Ecuacin de la energa
2.2.2 Solucin para una vena lquida
2.2.3 Anlisis de la ecuacin de energa
2.2.4 Lneas de energa y lneas de cargas isomtricas
2.2.5 Ecuacin de potencias en bombas y turbinas
2.2.6 Aplicaciones
2.3 Conservacin de la cantidad de movimiento
2.3.1 Impulso y cantidad de movimiento
2.3.2 Fuerza hidrodinmica
2.3.3 Aplicaciones
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UNIDAD III: HIDRAULICA EXPERIMENTAL
3.1 Modelos hidrulicos
3.1.1 Similitud
3.1.2 Leyes de similitud
3.1.3 Planeacin y construccin de modelos hidrulicos
3.2 Orificios y compuertas
3.2.1 Ecuacin general de los orificios
3.2.2 Coeficiente velocidad, contraccin y gasto
3.2.3 Aplicacin a orificios
3.2.4 Aplicacin a compuertas
UNIDAD IV: FLUJO EN CONDUCTOS DE PRESIN
4.1 Resistencia a flujos en conductos a presin
4.1.1 Prdidas de energa por friccin
4.1.2 Prdidas de energa por accesorios
4.2 Clculo de flujo en tubera
4.2.1 Conductos sencillos
4.2.2 Tuberas en paralelo
4.3 Redes en tuberas
4.3.1 Redes abiertas
4.3.2 Redes cerradas
UNIDAD V: GOLPE DE ARIETE
5.1 Principio terico de golpe de ariete
5.1.1 Definicin
5.1.2 Teora de la columna rgida
5.1.3 Teora de la columna elstica
5.2 Efectos del golpe de ariete
5.2.1 En compuertas
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5.2.2 En tuberas y dispositivos hidrulicos
5.2.3 En lneas de descargas de bomba
5.2.4 Contrarrestar el golpe de ariete
UNIDAD VI: MQUINAS HIDRULICAS
6.1 Fundamentos
6.1.1 Impulso
6.1.2 Reaccin
6.1.3 Leyes de similitud
6.2 Mquinas de funcionamiento hidrulica
6.2.1 Bomba
6.2.2 Turbinas
6.3 Problemas de operacin
6.3.1 Cavitacin
6.3.2 Golpe de ariete
-
1 FAA
FP
UNIDAD I: HIDROSTTICA
1.1 PRESION HIDROSTTICA
La esttica de fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en reposo, y
cuando se trata slo de lquidos, se denomina hidrosttica. Desde el punto de vista de
ingeniera civil es ms importante el estudio de los lquidos en reposo que de los gases, por lo
cual aqu se har mayor hincapi en los lquidos y, en particular, en el agua.
En trminos generales se puede decir que la presin es una fuerza por unidad de rea,
esto es:
En donde: (1.1)
F = fuerza normal al rea A
A= rea
P = presin media sobre el rea A
La ecuacin 5.1 da la presin media sobre el rea considerada A; sin embargo, si la
presin es variable y se desea obtener la presin en un punto determinado de la superficie
total, con rea dA, se puede emplear la definicin siguiente:
0
a
dA
dF
A
FlmP
(1.2)
La hidrosttica y la aerosttica; son las ciencias que en conjunto estudian los fluidos en
reposo, descansan sobre tres principios o leyes bsicas, los cuales son: el principio de Pascal,
el principio de Stevin y el principio de Arqumedes.
De los tres principios anteriores, los relacionados directamente con la presin son el
Pascal y el de Stevin, los cuales se discuten a continuacin:
V.2 PRINCIPIO DE PASCAL
ste principio establece que en cualquier punto en el interior de un fluido en reposo la
presin es la misma en todas las direcciones.
-
V.2.1 Demostracin prctica
Si se tiene un recipiente como el mostrado en la figura 1.1, al cual, por medio del pistn
se le aplica una fuerza F , entonces el lquido dentro del recipiente se comprimir con una
presin igual a FA-1
siendo A el rea de la seccin transversal del pistn. Al suceder esto se
observa que en los tubos colocados en diferentes partes del recipiente, el lquido sube a la
misma altura h en todos ellos, lo cual indica que la presin en cada punto del recipiente es la
misma.
Obviamente, en el experimento anterior, se supone que no existe escurrimiento del
lquido entre las paredes del recipiente y el pistn.
V.2.2 Demostracin Terica
Considerando
un
prisma
imaginario
con
dimensiones
elementales
ubicado
en el
interior de un fluido
en reposo
(Fig.1.2), se tiene:
Como el fluido est en reposo, se puede establecer que:
0Fy
-
0)()( dxdzPydxdsPs
ds
dzsen
0
0)()(
PydxdzPsdxdz
dxdzPyds
dzdxdsPs
0PyPs
PyPs
02
cos)(
Pzdxdy
dydzdxdxdsPs
ds
dycos
0)(2
)(
dxdyPz
dxdydz
ds
dvdxdsPs
0 PzdzPs
Sustituyendo las fuerzas actuantes, de acuerdo con la figura 5.2, se tiene:
(1.3)
Por otra parte, de la figura se obtiene que:
(1.4)
Sustituyendo 5.4 en 5.3 queda:
Dividiendo por dxdz, se tiene:
O bien: (1.5)
De la misma manera, se puede establecer que: 0 zF (1.6)
Sustituyendo las fuerzas actuantes se tiene:
(1.7)
El segundo trmino del lado izquierdo de la ecuacin anterior representa el peso del prisma
V .
De la figura 1.2 se obtiene que:
(1.8)
Sustituyendo 5.8 en 5.7:
Dividiendo por dxdy queda:
El trmino "" dz puede despreciarse, ya que es muy pequeo esto es:
-
0dz
0 PzPs
PsPz
PyPzPs
1
11
1
11
AF
A
FP
Entonces queda: O bien: (1.9)
Comparando 1.9 con 1.5 se obtiene finalmente que: (1.10) Con lo cual queda demostrado el principio de Pascal.
Para comprobar que Px es tambin igual a la presin en las otras direcciones, basta
colocar el prisma en alguna otra posicin con respecto a los ejes coordenados.
V.2.3 Aplicacin prctica del principio de Pascal (principio de la Prensa
Hidrulica)
En la figura 1.3, presentada a continuacin, se muestra un esquema tpico de una prensa
Hidrulica.
Si se aplica una fuerza F1 al mbolo de la izquierda, sta provocar una presin media sobre el
lquido en el interior de la prensa igual a:
(1.11)
-
122
2
22
AF
A
FP
De acuerdo con el principio de Pascal, la presin de la misma en todas las direcciones,
entonces, la presin P1 transmite a travs del lquido y actuar sobre el pistn de la derecha,
es decir, si se tiene en cuenta que las prdidas por friccin en el interior de la prensa son
despreciables, se tiene que: P1=P2 (1.12)
Claro que tambin hay que considerar que las prdidas por friccin entre los pistones y
los cilindros son despreciables.
La presin P2 a su vez es igual a:
Finalmente, sustituyendo 5.11 y 5.13 en 5.12 queda:
F1A1 = F2A2-1
(1.14)
Si se supone, como sucede en la mayora de los casos prcticos, que las reas son circulares,
la ecuacin anterior se transforma en:
F1D1-2
= F1D1-2
(1.15)
Las ecuaciones anteriores son las expresiones matemticas del Principio de la Prensa
Hidrulica, en los cuales:
F1 = Fuerza ejercida sobre el pistn de la izquierda
F2 = Fuerza ejercida sobre el pistn de la derecha
A1 = rea del pistn de la izquierda
A2 = rea del pistn de la derecha
D1 y D2 = Dimetros respectivos (en caso de reas circulares)
La ecuacin 5.14 puede obtenerse de forma alterna si se aplica el principio de la
conservacin del trabajo y la energa de la Prensa Hidrulica como se ve en la figura 1.4
En la figura anterior, la lnea punteada corresponde a la posicin inicial de los pistones.
(1.13)
-
21
21 11
A
A
1
22
1
11
222
1
21 11
AFAF
FA
AF
kgD
DkgF 100
101
2
1
12
Al aplicar una fuerza F1 al pistn de la izquierda, sta se mueve una distancia 11,
desplazando cierta cantidad de lquido. El trabajo desarrollado por F1 al moverse la distancia
11 vale:
W1 = F111 (1.16)
Sin embargo, el lquido desplazado por el pistn de la izquierda hace que el mbolo de
la derecha suba, movindose una distancia 12, la cual, segn se ve en la figura, tiene que ser
ms pequea que 11 ya que el dimetro del pistn de la derecha es mayor.
El trabajo desarrollado por el pistn de la derecha ser:
W2 = F212 (1.17)
De acuerdo con el principio de la conservacin del trabajo y la energa, y despreciando
las prdidas por friccin, se puede establecer que:
W1 = W2 (1.18)
Sustituyendo 5.16 y 5.17 en 5.18 queda:
F111 = F212 (1.19)
Como los volmenes desplazados por los pistones son los mismos, ya que no existe
escurrimiento de lquido entre stos y las paredes interiores de los cilindros, entonces:
V = A111 =A212
De donde:
(1.20)
Sustituyendo 5.20 en 5.19 y operando lgebra se tiene:
(1.14)
Y, para reas circulares:
F1D1-2
= F2D2-2
(1.15)
Las cuales, como pueden verse, son las mismas ecuaciones obtenidas en las pginas
anteriores.
Ahora se analizarn algunas consecuencias prcticas de ste principio; Suponiendo
que D2 sea diez veces mayor que D1, es decir, D2 = 10D1 y que se aplique una fuerza F1 de 1kg
en el pistn de la izquierda. Sustituyendo estos valores en la ecuacin 5.15 se obtiene:
-
0Fy
01122 VAPAP
Lo cual significa que por cada kilogramo de fuerza que se aplique en el pistn de la
izquierda, la prensa ser capaz de levantar o transmitir una fuerza de 100kg al pistn de la
derecha. Es obvia la ventaja que tiene la aplicacin de ste principio.
ste principio a dado lugar a un amplio desarrollo de los controles hidrulicos para
equipo en operacin, como gatos hidrulicos, equipo pesado para mover tierra, montacargas,
gras, superficies de control de aviones, plataformas elevadoras, bsculas, etc.
PRINCIPIO DE STEVIN
ste principio se enuncia de la siguiente manera:
la diferencia de presiones entre dos puntos situados a diferente profundidad en el seno de un
lquido en reposo es igual a la diferencia de profundidad multiplicada por el peso especfico del
lquido
Demostracin
Considerando un prisma regular imaginario en el interior de un lquido en reposo, como
el mostrado en la figura 1.5
Como el lquido est en reposo, es decir, en equilibrio, se puede establecer que:
Sustituyendo las fuerzas actuantes se tiene que:
(1.21)
-
012 AhAPAP
012 hPP
hPP 21
Pero, como el prisma es regular se tiene que:
A1 = A2 = A
Sustituyendo en (5.21) y recordando que V = Ah, queda:
Dividiendo por el rea de A:
Esto es:
O bien: hP (1.22`)
Donde:
P1 P2 = P = diferencia de presiones entre los puntos 1 y 2, ubicados en diferentes
profundidades en el seno del lquido
= peso especfico del lquido
h = distancias vertical entre los puntos 1 y 2
Si se compara esta ecuacin con el enunciado del principio, puede verse que es
exactamente lo mismo. La ecuacin 1.22 1.22` es, pues, la representacin matemtica del
principio de Stevin.
Es importante hacer notar que el principio de Stevin, representado matemticamente
por la ecuacin 1.22 1.22`, es vlido en el caso de que el fluido pueda considerarse continuo
y homogneo; en otras palabras que tenga un peso especfico constante.
ste principio, tambin es conocido por el nombre de Teorema general de la
Hidrosttica
Efectuando un anlisis de la ecuacin 1.22, puede observarse que si h = 0, entonces P1 = P2; lo
cual significa que en cualquier fluido en reposo, la presin en todos los puntos de un plano
horizontal dados es la misma, o visto de otra manera, en un fluido en reposo, todos los puntos
que tienen la misma presin se encuentran en un plano horizontal comn.
ste principio encuentra mltiples aplicaciones en la prctica, entre otras, para
determinar la presin a que estarn sujetos los cuerpos sumergidos en algn fluido, seto es
particularmente importante en el diseo de submarinos, batiscafos, equipos de buceo y todo
tipo de equipo para operacin submarina y/o subacutica.
Adems este principio es bsico para manometra, ya que los manmetros de tubo con
lquido, lo utilizan para determinar la presin manomtrica y en algunos casos tambin la
absoluta, como se ver ms adelante (seccin V.5)
Finalmente, puede decirse que el principio de Stevin es bsico, ya que prcticamente
no existe problema hidrosttico en que no se involucre ya sea directamente o en la deduccin
de alguna ecuacin.
-
V.4 TIPOS DE PRESIONES
En esta seccin se estudiarn 3 tipos de presiones de uso comn en la prctica
ingenieril, las cuales son:
1. Presin atmosfrica o baromtrica
2. Presin absoluta
3. Presin relativa o manomtrica
Presin atmosfrica
sta es la presin debida al peso de los gases de la atmsfera terrestre, nosotros
vivimos en el fondo de un ocano de gases, a la mezcla de los cuales se le da el nombre de
aire. ste aire tiene peso (aproximadamente 815
1 del peso del agua en condiciones normales)
y por ende provoca una presin al actuar sobre la superficie de la tierra.
En base a lo anterior, es lgico suponer que la presin atmosfrica vare con la altitud
del nivel del mar. Un lugar ms alto tendr una columna de aire menor sobre l, y por tanto,
una presin atmosfrica menor que un lugar ms bajo.
La presin atmosfrica que acta sobre el nivel medio del mar se denomina PRESIN
ATMOSFRICA NORMAL O ESTNDAR.
A la presin atmosfrica que se ejerce sobre una localidad determinada se le llama
PRESION ATMOSFERICA LOCAL.
Por lo tanto, para cualquier lugar de la tierra situado al nivel del mar se tiene que:
PRESION ATMOSFERICA LOCAL PRESION ATMOSFERICA NORMAL
V.4.1 Presin absoluta y presin relativa o manomtrica
En una regin con el espacio exterior, que esta prcticamente vaci de gases, la
presin es esencialmente cero. Tal condicin puede lograrse en forma muy aproximada en el
laboratorio. La presin en el vaci absoluto se llama CERO ABSOLUTO. No puede por tanto,
existir una presin menor al CERO ABSOLUTO. Todas las presiones que se miden con
respecto al CERO ABSOLUTO, se denominan presiones absolutas y no puede haber una
presin absoluta negativa, como es lgico.
Sin embargo, debido a su principio de funcionamiento, la gran mayora de los aparatos
que miden la presin no dan lecturas de presin absoluta, sino nicamente incrementos o
decrementos de presin con respecto a la presin atmosfrica local. En este caso, la presin
de referencia (o el cero de la escala) corresponde precisamente al valor de la presin
atmosfrica local. A este tipo de presin se le llama PRESION RELATIVA O MANOMETRICA.
-
Para este tipo de presin, como esa lgico, existe la posibilidad de que la lectura sea
negativa, cero o positiva. A las presiones relativas negativas se les denomina PRESIONES DE
VACIO
Todos estos tipos de presiones y escalas se muestran el la figura 5.6 donde se observa
la relacin que guarda la escala absoluta de presiones con la escala relativa o manomtrica.
En la figura 1.6 se grafico del lado izquierdo la escala absoluta de presiones y en el
lado derecho la escala negativa o manomtrica. Tambin estn graficadas la presiona
atmosfrica normal y la presin atmosfrica local, tomando encuenta que la localidad dada no
se encuentra a nivel del mar, de tal manera que la presin atmosfrica normal sea mayor que
la presin atmosfrica local. En la escala absoluta, el cero se muestra en el origen,
coincidiendo con la lnea horizontal que equivale al cero absoluto. En la escala relativa de
presiones el cero esta ubicado en la lnea correspondiente a la presin atmosfrica local;
entonces, para medir dos presiones cualesquiera (P1 y P2), si estas son medidas en escala
absoluta de presiones, ambas sern positivas, como se observa en la figura 5.6, ya que en las
lecturas se efectan a partir del cero absoluto. Si se quieren medir estas mismas presiones con
la escala relativa de presiones; la presin P2 ser positiva, pero P1 ser negativa, ya que se
encuentra por debajo del cero de esta escala, el cual coincide con el valor de la presin
atmosfrica local. En este diagrama tambin se puede ver que el mxima valor negativo que
puede tener una presin medida en la escala relativa de presiones coincide con el valor de la
-
21 PhP
relPh
presin atmosfrica local, ya que si fuera mayor (en valor absoluto) equivaldra a que la presin
llegara a ser menor que el 0 absoluto, lo cual es imposible.
Para encontrar la presin absoluta a partir de la presin leda en un dispositivo que de
la presin relativa, habr que sumar a la presin leda en ese dispositivo, la presin atmosfrica
local, medida exactamente con un barmetro. Esto puede expresarse matemticamente como:
Pabs = Patm. Local + Prel (1.23)
Esta ecuacin puede comprobarse fcilmente en la figura 1.7
La ecuacin anterior, bsica en el estudio de presiones, se puede obtener a partir de la
ecuacin 1.22 esto es, a partir del principio de Stevin, de la manera siguiente:
Suponiendo que se aplica 1.22 entre dos puntos 1 y 2, situados a cierta profundidad en
un lquido y en la superficie libre de este, respectivamente, como se muestra en la figura 1.8
La ecuacin 5.22 puede escribirse de la manera siguiente:
(1.24)
De acuerdo con la figura 1.8 y con la ecuacin 1.22 se tiene que:
P2 = Patm local
Por otro lado, el trmino h equivale a la presin hidrosttica relativa a la profundidad dentro
del lquido.
Esta es una presin relativa debido a que mide el incremento de presin (debido a la
profundidad del punto 1) sobre el valor de la presin atmosfrica local, que es la presin
soportada por el punto 1, ubicado en la superficie libre. Por lo tanto se puede decir que:
Finalmente, la presin P1 debe ser la presin absoluta que se tiene en el punto 1, ya
que es la suma de la presione atmosferita local (que acta sobre la superficie libre) y del
incremento de presin h debido al aumento de la profundidad, esto es: P1 = Pabs
-
relPh
Sustituyendo las tres relaciones anteriores en 5.24 se tiene que:
Pabs = Patm. Local + Prel (1.23)
1.1.2 TIPOS DE PRESIN
En esta seccin se estudiara tres tipos de presin de uso comn en la prctica en
ingeniera que son:
1. Presin atmosfrica o manomtrica.
2. Presin absoluta.
3. Presin relativa o manomtrica.
PRESION ATMOSFERICA.
Esta es la presin debido al peso de los gases de la atmsfera terrestre. Nosotros
vivimos en el fondo de un ocano de gases, a la mezcla de los cuales se les da el nombre de
aire. Este aire tiene peso (aproximadamente 815
1 del peso del agua en condiciones
normales) y, por ende, provoca una presin al actuar sobre la superficie de la tierra.
En base a lo anterior, es lgico suponer que la presin atmosfrica vara con la altitud
sobre el nivel del mar. Un lugar ms alto tendr una columna de aire menor sobre l, y por
tanto, una presin atmosfrica menor que un lugar ms bajo.
La presin atmosfrica que acta sobre el nivel medio del mar se denomina PRESIN
ATMOSFRICA NORMAL O ESTNDAR.
A la presin atmosfrica que se ejerce sobre una localidad determinada se le llama
PRESION ATMOSFERICA LOCAL.
Por lo tanto, para cualquier lugar de la tierra situado al nivel del mar se tiene que:
PRESION ATMOSFERICA LOCAL PRESION ATMOSFERICA NORMAL
Por otro lado, el trmino h equivale a la presin hidrosttica relativa a la profundidad dentro
del lquido.
Esta es una presin relativa debido a que mide el incremento de presin (debido a la
profundidad del punto 1) sobre el valor de la presin atmosfrica local, que es la presin
soportada por el punto 1, ubicado en la superficie libre. Por lo tanto se puede decir que:
Finalmente, la presin P1 debe ser la presin absoluta que se tiene en el punto 1, ya
que es la suma de la presione atmosferita local (que acta sobre la superficie libre) y del
incremento de presin h debido al aumento de la profundidad, esto es: P1 = Pabs
Sustituyendo las tres relaciones anteriores en 5.24 se tiene que:
abs = Patm. Local + Prel (1.23)
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1.1.3 DISTRIBUCION DE PRESION HIDROSTATICA
En general, los aparatos para medir presin se llaman manmetros, sin embargo, en
forma particular, segn el tipo de presin que miden, adoptan distintos nombres, los cuales se
muestran en el cuadro 5.1
Existen innumerables tipos de aparatos para medir presin; algunos mecnicos, otros
elctricos y cada uno con grados de precisin muy diversos. Aqu se hablar solamente del
principio de funcionamiento de los instrumentos ms comunes para medir presiones.
Cuadro 5.1 Tipos de presiones con su respectivo aparato de medicin
TIPO DE PRESION A MEDIR NOMBRE DEL APARATO
Presin atmosfrica Barmetro
Presin absoluta Manmetro de presin absoluta
Presin relativa (positiva) Manmetro
Presin relativa (negativa) Vacumetro
Presiones muy pequeas Micromanmetro
Diferencia de presiones Manmetro diferencial
Como puede verse en el cuadro 5.1, la presin atmosfrica se mide con aparatos
llamados barmetros, de los cuales existen varios tipos.
En esta seccin solamente se hablar del principio de funcionamiento del barmetro de
mercurio, desarrollado por Evangelista Torricelli, alrededor del ao de 1650, (ver figura 5.8)
Torricelli construy un tubo de vidrio en uno de cuyos extremos haba una esfera
soplada. El tubo tena una longitud de alrededor 120 cm. Este tubo y la esfera se llenaron
completamente con mercurio. Tapando con un dedo el extremo del tubo, se le dio vuelta y se le
introdujo en un recipiente que tambin contena mercurio. Al retirar el dedo, el mercurio bajo de
nivel, estabilizndose en una altura h igual a unos 76 cm. (ver figura 5.8)
De lo anterior se dedujo que la columna de 76 cm. De mercurio, equilibraba la presin
de aire exterior (presin atmosfrica), ya que sobre el mercurio dentro del tubo slo acta la
presin del vapor del mercurio, lo que, para fines prcticos, puede considerarse como si
estuviera vaco.
La presin atmosfrica, puede expresarse en trminos de columna de lquido (unidades
de longitud) o en trminos coherentes, que son las unidades que se obtienen al aplicar la
ecuacin 5.1, es decir, AreaFuerza / . La ecuacin que relaciona lo anterior, se deriva del
principio de Stevin, y es:
Cuadro 1.1.1 Tipos de presiones con su respectivo aparato de medicin
-
hP
...33.10)1000(
)10330(3
2
acmkgm
kgmPh
(5.25)
Donde:
P = Presin de unidades coherentes AreaFuerza / .
= Peso especfico del lquido
h = Altura de presin en unidades de longitud.
Entonces, la presin atmosfrica normal, expresada en trminos de altura de presin
vale, segn lo encontrado por Torricelli y confirmado posteriormente:
Patm normal = 76 cm. De mercurio =760 mm. De mercurio.
En honor a Torricelli, a esta unidad de presin se le dio el nombre de Torr, esto es:
1 mm de mercurio = 1 Torr
La presin atmosfrica normal expresada en unidades coherentes, se obtiene a partir
de la ecuacin 5.25 y vale:
P = h = (13600 kg m-3)(0.76 m) = 10330 kg m-2
O bien: P = (10330 kg m-2
)(104 m
2cm
-2) = 1.033 kg cm
-2
Usualmente, se acostumbra expresar la expresin en trminos de altura de agua, por lo
tanto, la presin atmosfrica normal de estas unidades valdr:
En el sistema internacional de unidades S.I. la unidad bsica para la medicin de
cualquier tipo de presin es el PASCAL, el cual se define como:
1PASCAL = 1 N m-2
-
Entonces, la presin atmosfrica normal, expresada en pascales, valdr:
P = (10330 kg m-2
)(9.81 N kg-1
) = 101337.3 Pascales.
Sin embargo, el pascal presenta el inconveniente de ser una unidad bastante pequea
para medir la gran mayora de las personas usuales en ingeniera, por lo que se acostumbra
usar algn mltiplo de esta como el KPA (kilopascal = 103 pascales), el MPA (megapascal =
106 pascales).
A pesar de lo anterior, para el caso particular de la presin atmosfrica, es muy usado
el BAR, el cual se define como:1 BAR = 105 Pascales
Por lo tanto, la presin atmosfrica normal en bares ser:
P = (101337.3 Pascales)
bar
milibares510 = 1.01337 bares
En la actualidad, la mayora de las estaciones meteorolgicas del mundo han
estandarizado el milibar como unidad bsica para la medicin de la presin atmosfrica,
entonces:
Patm normal = (1.01337 bares)
bar
milibares310 = 1013.3 Milibares
La obtencin del valor de la presin atmosfrica normal en el sistema ingls de
unidades, tanto en unidades coherentes (Lo pulg-2
o Lb pie-2
), como unidades de altura (pulg o
pies de mercurio o de agua) se deja como ejercicio (ver problema V.8.1)
Por otra parte, como se dijo anteriormente, la presin atmosfrica local vara
principalmente con la altitud sobre el nivel del mar. Existen numerosos grficos en donde se
puede obtener tal variacin, aqu se presenta la figura 5.9, la cual d la variacin de la presin
atmosfrica con la altitud sobre el nivel del mar, as como la temperatura de ebullicin del agua
para el mismo rango de altitudes.
Sin embargo, para fines prcticos, y cuando no se disponga de un grafico como el de la
figura 5.9 conviene recordar la siguiente regla, la cual puede aplicarse con muy poco margen
de error:
La expresin atmosfrica local disminuye 25.4 mm (10``) de mercurio por cada 305 m
(1000 pies) sobre el nivel del mar.
Obviamente esta disminucin a partir del valor de la presin atmosfrica normal o
estndar que, como se vio anteriormente, es de 760 mm de mercurio.
Adems, existen algunas frmulas empricas bastante confiables, como la propuesta
por la Comisin Internacional de la Navegacin Area, la cual expresa que:
P = 1013.2
256.2
288
0065.0288
Z(5.26) Vlida para mZ 120000
Donde:
P= presin atmosfrica local en milibares
Z = Altitud sobre el nivel del mar en metros.
-
1.1.4 DISPOSITIVOS DE MEDICIN
MEDICION DE LA PRESION RELATIVA Y ABSOLUTA.
En esta seleccin, se describir en forma breve, el principio de fundamentos de
los aparatos ms comunes para medir la relacin relativa y absoluta.
TUBOS PIEZOMETRICOS
Este aparato es un tubo transportable de dimetro pequeo (entre 12 y 15 mm.)
que se conectan al punto en donde se requiere medir la presin (vase figura 1.10)
-
Este dispositivo mide la presin hidrosttica de un lquido midindolo la altura
all que asciende el mismo dentro del tubo, por lo tanto, un tubo piezometrito mide la altura de
presin en un lquido, y si se quiere conocer la presin en unidades de fuerza sobre rea hay
que aplicar la ecuacin 1.25.
Una de las ventajas que este aparato es su gran precisin y si desventaja
principal es que solo sirve para medir presiones pequeas, ya que de lo contrario se requerira
que el tubo fuera muy alto, cosa que resultara impractica.
Manmetros con lquido
V.5.3.2.1 Para medir presiones relativas
Los manmetros de lquido consisten simplemente en un tubo en forma de U el cual
contiene en su interior un lquido. El tubo se conecta por uno de sus brazos al depsito o
tubera donde se requiera medir la presin, estando el otro brazo abierto a la atmsfera (vase
Fig. 1.11).
-
El lquido dentro del tubo se denomina lquido manomtrico (color negro, ver la Fig.
1.11) y es muy comn que sea mercurio ya que tiene una densidad muy alta y un bajo
coeficiente de expansin trmica. Son tambin usados, sobre todo para medir presiones ms
pequeas: El tetracloruro de carbono (Dr = 1.6 a 20C) , el tetrabromoeato (Dr = 3.43 a 0C), el
bromuro de etileno (Dr = 2.18 a 0C), el bromorfo (Dr = 3.0 a 0C), el tolueno (Dr = 0.87), la
parafina (Dr = 0.87), la parafina (Dr = 0.81) y el agua (Dr = 1.0); stos tres ltimos se utilizan
sobre todo cuando la presin que va a medirse es de un gas.
Este tipo de manmetros pueden medir presiones relativas positivas y negativas. Esto
se muestra en la Fig. 1.11, en la cual se presentan tres casos posibles. En la Fig. 1.11a se est
midiendo una presin relativa positiva, ya que la presin del depsito es mayor que la presin
atmosfrica local e impulsa al lquido manomtrico hacia el brazo derecho del manmetro. En
la Fig. 1.11b sucede lo contrario, es decir, la presin atmosfrica local es mayor que la presin
del depsito y, por consecuencia, el lquido manomtrico se eleva en el tubo conectado al
depsito; la presin de este caso ser una presin relativa negativa. Finalmente, en la Fig.
1.11c las presiones del depsito y de la atmsfera son iguales y, por tanto, el lquido
manomtrico sube a la misma altura en ambos brazos, la lectura en este caso sera cero, en la
escala relativa de presiones obviamente.
V.5.3.2.2 Para medir presiones absolutas
Este tipo de manmetro puede usarse tambin para medir presiones absolutas, slo
que en este caso el brazo derecho del manmetro no debe encontrarse abierto a la atmsfera,
sino que debe estar cerrado y vaco. De esta manera, todas las presiones que se midan en el
depsito o tubera sern absolutas, ya que son medidas a partir del cero absoluto. Esto se
muestra en la Fig. 1.12
-
Cuando en ambos brazos del manmetro el lquido se encuentre al mismo nivel (Fig.
1.12b), quiere decir que la presin en el depsito o tubera equivale al CERO ABSOLUTO, es
decir, el depsito est vaco.
V.5.3.3 Manmetro diferencial
Algunas veces, a los manmetros de tubo en U se les llama manmetros diferenciales,
pues miden la diferencia de presin entre un depsito o tubera y la atmsfera. Sin embargo, en
forma ms particular, se acostumbra llamar manmetro diferencial a un tubo en U que mida la
diferencia de presiones entre dos depsitos o entre dos secciones de un mismo conducto, ver
Fig. 1.13
V.5.3.4 Manmetro de Bourdon
Este tipo de manmetro consta de un tubo que tiene una seccin transversal elptica,
doblado en un aro circular y hueco en su parte interior.
El principio de funcionamiento de ste manmetro se muestra en la Fig. 1.14. Cuando
la presin atmosfrica local (presin relativa cero) prevalece por la parte exterior del tubo, ste
no se reflexiona; para ello, la aguja del manmetro, est calibrada para leer una presin de
cero en la cartula exterior. Cuando se aplica una presin al manmetro (la cual entra por el
interior del tubo elptico) el tubo tiende a enderezarse, en forma muy parecida a esos juguetes
que se dan en las fiestas llamados espanta suegras que se enderezan cuando se sopla por
su extremo. El extremo del tubo ya conectado a un mecanismo previamente calibrado, el cual
hace que la aguja se mueva e indique la correspondiente presin en la cartula exterior.
-
Un manmetro de Bourdon puede medir tambin presiones absolutas, a condicin de que por
la parte exterior del tubo elptico reine un vaco total. Esto slo puede lograse si el interior del
manmetro, donde est alojado el tubo elptico, se encuentre sellado y vaco; de esta manera,
cualquier presin por encima del cero absoluto que entre el tubo elptico deformar este, ya
que por su parte exterior la presin equivale al cero absoluto.
Este tipo de manmetro es muy comn y es bastante confiable sino se le somete a
excesivas pulsaciones de presin o a choques externos indebidos. Sin embargo, como ambas
condiciones prevalecen a veces en la prctica, es deseable que se instalen amortiguadores de
pulsaciones en la lnea que conduce a tales manmetros y que stos se calibren
peridicamente para verificar su exactitud.
V.5.3.5 Otros tipos de manmetros
Existen mltiples tipos de manmetros adems de los descritos anteriormente, como
son: Manmetros de cubeta, Manmetros diferenciales tricos, Manmetros de membrana,
Micromanmetros, Manmetros de fuella, de mbolo, de resorte, combinados, elctricos, etc. Si
el lector se interesa en ellos puede consultar por ejemplo: Mataix, Claudio (1982), Creus,
Antonio (1981) o Holzbock, Werner (1982)
V.6 PRESIN DE SATURACIN DE VAPOR
Todos los lquidos que se exponen a la atmsfera presentan una superficie libre. Entre
sta y el aire de la atmsfera (intercara) existe un incesante movimiento de molculas que
escapan del lquido, esto es, el lquido se evapora. Un lquido voltil, por ejemplo: se vaporiza
completamente al contacto con la atmsfera. Si la superficie libre est en contacto con su
-
slocalatm PPh
.
espacio cerrado y vaco (por ejemplo en el espacio vaco de los manmetros de tubo en U
mostrados en la Fig. 1.12 o en el barmetro de Torricelli, mostrado en la Fig. 1.8) la
evaporacin se produce slo hasta que en espacio se satura de vapor. ste vapor ejerce una
presin sobre la superficie libre, la cual impide que el lquido se siga evaporando y cuya
magnitud depende nicamente de la temperatura. Esta presin se denomina Presin de
saturacin de vapor, y es denotada por Ps.
Debido a lo anterior, la altura a la que se asciende el mercurio en un barmetro de
Torriceli no es simplemente
localatmph . , sino que, como el espacio vaco dentro del tubo se
satura con el vapor de mercurio, entonces la altura real ser:
(1.27)
Donde:
= peso especfico del mercurio
Lo mismo sucede en los manmetros de presin absoluta como los mostrados en la
Fig. 1.12, los cuales en realidad no estn refiriendo sus lecturas al CERO ABSOLUTO sino al
valor de la presin de saturacin de vapor del lquido manomtrico a la temperatura que se
encuentre.
Sin embargo, como la presin de saturacin de vapor de los lquidos comunes a
temperaturas ordinarias (10 a 30C) es muy pequea, en la mayora de los casos prcticos
puede despreciarse. A pesar de esto, como la presin de saturacin de vapor de un lquido
aumenta con la temperatura, hay que tener cuidado en tomarle en cuenta principalmente
cuando sta es algo elevada (digamos, mayor de 45C en el caso del agua). Cada lquido tiene
sus respectivos valores de presin de saturacin en vapor en funcin de la temperatura. En la
Fig. 1.15 se muestran estos valores para el agua. Obviamente, segn lo explicado
anteriormente, la presin de saturacin de vapor, es una PRESIN ABSOLUTA.
-
1................12 APAPFy
1.2 EMPUJE HIDROSTATICO
A Arqumedes de Siracusa (287 212 A. de C) que fue uno de los ms grandes
hombres de ciencia de la antigua Grecia, se le considera actualmente como el Padre de la
Hidrosttica, ya que una de sus mayores aportaciones a la ciencia es el llamado Principio de
Arqumedes, el cual se enuncia como todo cuerpo total o parcialmente sumergido en influido
experimenta un empuje vertical hacia arriba que es igual al peso del volumen de fluido
desalojado. Este empuje acta en el centro de gravedad de la parte sumergida del cuerpo.
DEMOSTRACIN TERICA
Al igual que el principio de Pascal, el de Arqumides tiene varias formas de
demostrarse, tanto terica como prctica, de las cuales se expondrn algunas a continuacin:
Si sumergimos un prisma regular dentro de un fluido y obtenemos la resultante de las
fuerzas verticales que actan sobre este prisma por parte del fluido tenemos:
En donde:
A = rea de la seccin transversal del prisma
De acuerdo con el principio de Stevin las presiones P1 y P2
valen:
3........).........(
2...........................
2
1
hZP
ZP
Obviamente, P2 es mayor que P1 ya que el rea donde
acta esta ltima presin se encuentra a menor profundidad
en el fluido.
Sustituyendo 2 y 3 en 1 tenemos:
4.........................
)(
hAFy
ZAhAZAFy
ZAAhZFy
Pero hA = volumen del prisma (V), entonces:
5..........................VFy
El signo positivo indica que el sentido de esta fuerza es vertical hacia arriba, de
acuerdo con la convencin de la Fig. 6.1
Debido a lo anterior, a esta fuerza se le llama fuerza de empuje o simplemente empuje
y se designa con la letra (E), por lo tanto, la ecuacin 5 nos queda:
1.6................................VE
-
1.6.................................VE
Fig. 6.2 Demostracin prctica del
principio de Arqumides
La ecuacin 6.1 es la representacin matemtica del principio de Arqumedes, en donde:
E = empuje sobre el cuerpo
= peso especfico del fluido en que se encuentra sumergido el cuerpo
V = volumen desplazado del fluido
Una forma alterna de representar tericamente el principio de Arqumedes es debido al
principio de la conservacin del trabajo y la energa, como se ve enseguida:
Consideramos que levantamos imaginariamente un cuerpo de volumen (V) y peso
especfico ( 0 ) una altura (h), hacindolo en el vaco y despus dentro de un fluido con peso
especfico ( ). Para el primer caso hay que efectuar un trabajo igual a VhW 01 . En el
segundo caso, en el cual se despreciar el rozamiento, se gasta menos energa, ya que al
levantar el cuerpo de volumen (V) a la misma altura (h), un volumen (V) del fluido desciende la
misma altura. Por esta razn, el trabajo necesario para levantar el cuerpo en el segundo caso
es igual a: VhVhW 02 . Interpretando la cantidad de trabajo que restamos ( Vh ),
podemos decir, que en comparacin con el vaco, dentro del fluido acta una fuerza
complementaria VF que facilita el ascenso del cuerpo. Esta fuerza es precisamente el
empuje, por lo tanto:
Que es la misma ecuacin obtenida anteriormente.
DEMOSTRACIN PRCTICA
Se cuelga un cilindro (I) y un cubo (II) de igual volumen del brazo izquierdo de una
balanza. Ambos se equilibran con la carga o contrapeso III. Supongamos que ahora
sumergimos el cilindro (I) dentro de un lquido. Debido a esto, el brazo izquierdo de la balanza
se elevar a causa de la fuerza de empuje que acta sobre el cilindro (I) sumergido. El
equilibrio vuelve a lograrse si llenamos el cubo (II) con un volumen de agua igual al volumen
del cilindro (I). Como el volumen de agua es igual al volumen del cilindro sumergido (I),
entonces quiere decir que el empuje ascendente es igual al peso del lquido que llevara el
espacio ocupado por el cilindro, (ver Fig. 6.2)
-
RESUMEN DEL PRINCIPIO DE ARQUMIDES
Todos los cuerpos experimentan un empuje vertical hacia arriba al estar sumergidos en
un fluido, nosotros mismos, en este instante, estamos recibiendo un empuje vertical hacia
arriba igual al peso especfico del fluido que desalojamos (aire) por el volumen desalojado
(volumen de nuestro cuerpo). Claro, nosotros estamos acostumbrados a vivir con este empuje,
el cual, es despreciable en comparacin con el peso de nuestro cuerpo y es bastante pequeo
como para hacernos flotar en el aire. Por ejemplo, un hombre promedio, con un volumen
corporal de 70 lts. Estar recibiendo, por parte del aire que desaloja, un empuje
aproximadamente igual a: grskgmm
kgVE 85085.0)07.0(23.1 3
3
, el cual es
bastante pequeo. Sin embargo, si este mismo hombre se sumerge en agua, entonces el
empuje que recibir ser: kgmm
kgVE 70)07.0(1000 3
3
, el cual ya no es
despreciable, e incluso, es tan grande que har que el hombre flote en el agua. De hecho,
todos los seres humanos normales y la mayora de los animales recibimos por parte del agua
un empuje mayor a nuestro peso, y por lo tanto, al sumergirnos en ella flotamos.
De la misma manera flotaramos en cualquier lquido que tuviera un peso especfico
mayor que el del agua. Pero si nos sumergimos en un lquido que tenga un peso especfico
algo menor que el del agua no flotaramos (sera menor que nuestro peso). Sin embargo,
nuestro peso aparente dentro de esos lquidos sera menor.
El empuje, de acuerdo con lo anterior, puede expresarse en forma alterna como la
diferencia del peso del cuerpo en el aire y el peso aparente que tendra al estar totalmente
sumergido en un fluido. Esto es:
E = Wen el aire-Wen el fluido
En donde: E = empuje
Wen el aire = peso del cuerpo en el aire
Wen el fluido = peso del cuerpo sumergido en un fluido
Obviamente la condicin para que esta ecuacin sea vlida es que el cuerpo se
encuentre totalmente sumergido en un fluido.
Cualquier material que su peso especfico sea menor que el peso especfico del fluido
que le rodea (sea lquido o gas), flotar en este.
Por todo de lo que ya estuvimos hablando podemos establecer que:
Cualquier cuerpo que su peso sea menor o igual al peso del volumen del lquido que
puede desplazarse si se sumerge en este FLOTAR
Cualquier cuerpo que su peso sea mayor al peso del volumen de lquido que puede
desplazar al sumergirse en ste se HUNDIR
El principio de Arqumedes, a parte de ser la base para la construccin de barcos tiene
mltiples aplicaciones.
-
0Fy
CONSTRUCCIN DE UNA ESCALA PARA UN HIDROMETRO
En este problema vamos a construir una escala para un hidrmetro. Un hidrmetro es
un aparato que se utiliza para medir la densidad de los lquidos (midiendo directamente la
densidad relativa). ste aparato se muestra en la Fig. 6.3 y consta de un vstago y un bulbo.
En el fondo del bulbo y por dentro de este se colocan pequeas esferas metlicas (balines)
usualmente de plomo, con el fin de hacer que el centro de gravedad del hidrmetro quede
ubicado lo ms bajo posible de ste para que flote verticalmente al sumergirlo en cualquier
lquido.
El bulbo siempre se debe quedar sumergido, emergiendo slo parte del vstago.
Obviamente mientras mas denso sea el lquido emerger una mayor altura del vstago (ya que
el hidrmetro necesita desplazar un volumen menor de este lquido para equilibrar su peso) y
viceversa.
La escala se coloca pues en el vstago y se calibra marcando la posicin de la
superficie libre cuando el hidrmetro flota en agua destilada. A este punto corresponder una
densidad relativa (Dr = 1).
Para trazar la escala a partir de este valor se efecta lo siguiente:
Sea:
VB = volumen del bulbo
A = rea de la seccin transversal del vstago
A = peso especfico del agua
X = peso especfico del lquido
WH = peso total del hidrmetro
l = profundidad que se sumerge el hidrmetro cuando flota en un lquido x
Cuando el hidrmetro flota en agua se cumple que:
E WH = 0
E = WH
1........................)AlVW BAH
Y cuando lo hace en otro lquido x
2........................)XBAX AlVW
Igualando 1 y 2 tenemos que:
BXBAAXX
ABAXXBX
BAXBX
VVAlAl
AlVAlV
AlVAlV
)()(
-
DrA
X
Dividiendo por A nos queda:
Pero , entonces:
Dr
l
DrA
Vlx
Dr
Al
DrVAl
AlDrVDrAl
AlDrVVDrAl
DrVVDrAl
B
BX
BX
BBX
BBX
11
11
)1(
3.6...................11
DrA
V
Dr
llx B
En donde:
Dr = densidad relativa del lquido (x)
B
A
XBX
A
X VVAlAl
Fig. 6.3 Hidrmetro
-
Con la ecuacin 6.3, conocidos el volumen del bulbo (VB), la seccin transversal del
vstago y la longitud l a partir del bulbo a la que se sumerge el hidrmetro, se puede calcular
cualquier altura lx para lquidos de diferentes densidades relativas.
Observe que si sustituimos Dr = 1 en la ecuacin 6.3 nos queda que: llx
Si sustituimos una Dr >1 obtendremos que: llx y sustituimos una Dr < 1 obtenemos que:
llx
Lo anterior puede comprobarse en el laboratorio para cualquier hidrmetro.
1.2.2 CENTROS DE PRESION
Para sumergir totalmente en agua una colchoneta inflable necesitamos empujarla hacia
abajo. Es ms fcil sostener un objeto pesado dentro del agua que fuera de ella. Cuando
buceamos pareciera que nos apretaran los tmpanos. stos y muchos otros ejemplos nos
indican que un lquido en equilibrio ejerce una fuerza sobre un cuerpo sumergido. Pero, qu
origina esa fuerza?, en qu direccin acta?, tambin el aire en reposo ejerce fuerza sobre
los cuerpos?, qu determina que un cuerpo flote o no? stas son algunas de las cuestiones
que aborda la esttica de fluidos: el estudio del equilibrio en lquidos y gases.
Un fluido en reposo en contacto con la superficie de un slido ejerce fuerza sobre todos
los puntos de dicha superficie. Si llenamos de agua una botella de plstico con orificios en sus
paredes observamos que los chorritos de agua salen en direccin perpendicular a las paredes.
Esto muestra que la direccin de la fuerza que el lquido ejerce en cada punto de la pared es
siempre perpendicular a la superficie de contacto.
En el estudio de los fluidos, resulta necesario conocer cmo es la fuerza que se ejerce
en cada punto de las superficies, ms que la fuerza en s misma. Una persona acostada o
parada sobre una colchoneta aplica la misma fuerza en ambos casos (su peso). Sin embargo,
la colchoneta se hunde ms cuando se concentra la fuerza sobre la pequea superficie de los
pies. El peso de la persona se reparte entre los puntos de la superficie de contacto: cuanto
menor sea esta superficie, ms fuerza corresponder a cada punto.
Se define la presin como el cociente entre el mdulo de la fuerza ejercida per-
pendicularmente a una superficie (F perpendicular) y el rea (A) de sta:
En frmulas es: p=F/A
La persona parada ejerce una presin mayor sobre la colchoneta que cuando est
acostada sobre ella. La fuerza por unidad de rea, en cada caso, es distinta. Cuando
buceamos, la molestia que sentimos en los odos a una cierta profundidad no depende de
-
cmo orientemos la cabeza: el lquido ejerce presin sobre nuestros tmpanos
independientemente de la inclinacin de los mismos. La presin se manifiesta como una fuerza
perpendicular a la superficie, cualquiera sea la orientacin de sta.
Densidad y peso especfico
La densidad es una magnitud que mide la compactibilidad de los materiales, es decir, la
cantidad de materia contenida en un cierto volumen. Si un cuerpo est hecho de determinado
material, podemos calcular su densidad como el cociente entre la masa del cuerpo y su
volumen: d = m/V
Anlogamente, se define el peso especfico como el peso de un determinado volumen
del material. Por lo tanto: p=P/V (peso dividido el volumen, pero el peso es la masa (m) por
la aceleracin de la gravedad (g)) Se puede entonces escribir: p=(m.g)/V.
Como vimos antes, m/V es la densidad d, entonces p=d.g
Las unidades de presin que se utilizan normalmente son:
Sistema Unidad Nombre
M.K.S. N/m Pascal (Pa)
TECNICO Kg/m ---
C.G.S. dina/cm Bara
EL PRINCIPIO DE PASCAL
En las figuras se muestran dos situaciones: en la primera se empuja el lquido
contenido en un recipiente mediante un mbolo; en la segunda, se empuja un bloque slido.
Cul es el efecto de estas acciones? Qu diferencia un caso de otro?
-
La caracterstica estructural de los fluidos hace que en ellos se transmitan presiones, a
diferencia de lo que ocurre en los slidos, que transmiten fuerzas. Este comportamiento fue
descubierto por el fsico francs Blaise Pascal (1623-1662) , quien estableci el siguiente
principio:
Un cambio de presin aplicado a un fluido en reposo dentro de un recipiente se
transmite sin alteracin a travs de todo el fluido. Es igual en todas las direcciones y acta
mediante fuerzas perpendiculares a las paredes que lo contienen.
El principio de Pascal fundamenta el funcionamiento de las genricamente llamadas
mquinas hidrulicas: la prensa, el gato, el freno, el ascensor y la gra, entre otras.
Cuando apretamos una chinche, la fuerza que el pulgar hace sobre la cabeza es igual a
la que la punta de la chinche ejerce sobre la pared. La gran superficie de la cabeza alivia la
presin sobre el pulgar; la punta afilada permite que la presin sobre la pared alcance para
perforarla.
Cuando caminamos sobre un terreno blando debemos usar zapatos que cubran una
mayor superficie de apoyo de tal manera que la presin sobre el piso sea la mas pequea
posible. Seria casi imposible para una mujer, inclusive las mas liviana, camina con tacos altos
sobre la arena, porque se hundira inexorablemente.
El peso de las estructuras como las casas y edificios se asientan sobre el terreno a
travs de zapatas de hormign o cimientos para conseguir repartir todo el peso en la mayor
cantidad de rea para que de este modo la tierra pueda soportarlo, por ejemplo un terreno
normal, la presin admisible es de 1,5 Kg/cm.
La Presa Hidrulica
El principio de Pascal fundamenta el funcionamiento de las genricamente llamadas mquinas
hidrulicas: la prensa, el gato, el freno, el
ascensor y la gra, entre otras.
Este dispositivo, llamado prensa
hidrulica, nos permite prensar, levantar pesos o
estampar metales ejerciendo fuerzas muy
pequeas. Veamos cmo lo hace.
El recipiente lleno de lquido de la figura
consta de dos cuellos de diferente seccin
cerrados con sendos tapones ajustados y
capaces de res-balar libremente dentro de los
-
tubos (pistones). Si se ejerce una fuerza (F1) sobre el pistn pequeo, la presin ejercida se
transmite, tal como lo observ Pascal, a todos los puntos del fluido dentro del recinto y produce
fuerzas perpendiculares a las paredes. En particular, la porcin de pared representada por el
pistn grande (A2) siente una fuerza (F2) de manera que mientras el pistn chico baja, el
grande sube. La presin sobre los pistones es la misma, No as la fuerza! Como p1=p2 (porque
la presin interna es la misma para todos lo puntos). Entonces: F1/A1 es igual F2/A2 por lo que
despejando un termino se tiene que: F2=F1.(A2/A1)
Si, por ejemplo, la superficie del pistn grande es el cudruple de la del chico, entonces
el mdulo de la fuerza obtenida en l ser el cudruple de la fuerza ejercida en el pequeo.
La prensa hidrulica, al igual que las palancas mecnicas, no multiplica la energa. El
volumen de lquido desplazado por el pistn pequeo se distribuye en una capa delgada en el
pistn grande, de modo que el producto de la fuerza por el desplazamiento (el trabajo) es igual
en ambas ramas. El dentista debe accionar muchas veces el pedal del silln para lograr
levantar lo suficiente al paciente!
1.2.3 EMPUJES EN SUPERFICIES PLANAS
Se considera un recipiente con un lquido en reposo, donde una de sus paredes tiene
una inclinacin respecto a la horizontal, como se indica en la fig. 29. Sobre esta pared se
delimita una superficie de rea A para la cual se desea conocer la fuerza resultante debida a la
presin hidrosttica, as como su punto de aplicacin o centro de presiones.
La fuerza resultante sobre la superficie A ser:
)14.2( AA
zdApdA
-
Figura 2.9. Empuje hidrosttico y centro de presiones sobre una superficie plana e inclinada
es decir, el volumen de a cua de distribucin de presiones abcd est limitada por el rea A. La
integral que aparece en la Ec. (2.14) es el momento esttico del rea respecto de la superficie
libre del lquido y se puede expresar en trminos del rea A y de la profundidad de su centro de
gravedad zG. El empuje hidrosttico es entonces
GAzP (2.15)
Las coordenadas ( KK YX , ) del centro de presiones se obtienen cuando se iguala la suma de
los momentos estticos de las reas diferenciales respecto de los ejes x y y, con el producido
por la fuerza resultante.
Para el eje x tenemos que
zdAyPYA
k
donde la integral representa el momento esttico del volumen de la cua de presiones respecto
del eje x. De aqu se deduce que ky coincide con la ordenada de la proyeccin K del centro
de gravedad S, de la cua.
Se puede dar tambin una interpretacin distinta y para ello se substituye Z=Y sen en la
ecuacin anterior:
A
k dAysenPy2 (2.16)
donde la integral es el momento de inercia del rea A respecto del eje x, el cual es tambin
-
GG
x
k yy
ry
2
22 AyGIdAyI XA
X
en que XI es el momento de inercia del rea respecto de un eje centroidal paralelo a x; XI
puede tambin expresarse como ,2ArI xX donde xr es el radio de giro de A respecto del
eje centroidal paralelo a x. Por tanto, si se substituye la Ec. (215) en la (216), con
senyz GG , resulta:
(2.17)
Obsrvese que el centro de presiones se encuentra por debajo del centro de gravedad del
rea. Aunque tiene importancia secundaria, se puede calcular en forma anloga a KX :
A
K xydArsenPX
La integral de esta ecuacin representa el producto de inercia xyI , del rea respecto del
sistema de ejes x-y; por tanto
)18.2(Ay
IX
G
XY
K
Generalmente, las superficies sobre las que se desea calcular el empuje hidrosttico son
simtricas respecto de un eje Paralelo a y. Esto hace que 0xyI y que el centro de presiones
quede sobre dicho eje.
Un procedimiento grfico para determinar yK se presenta en la Fig. 2.9: sobre G se
levanta una normal GM a la superficie de altura x ; la interseccin de la perpendicular a la
recta O1 M con la superficie seala la posicin de K. Se deja al lector la demostracin del
procedimiento.
En la tabla 2.1 se presentan la posicin del centro de gravedad, el rea y el radio del giro de las
figuras ms usuales.
-
Problema 2.1. Calcular el empuje hidrosttico y el centro de presiones sobre la pared de 2 m de
ancho de un tanque de almacenamiento de agua, para los siguientes casos: a) pared vertical
con lquido de un solo lado (Fig. 2.10); b) pared inclinada con liquido en ambos lados (figura
2.lla); c) pared vertical con lquido en ambos lados (Fig. 2. llb).
Solucin a). En la Fig. 2.10 se muestra la distribucin de presiones hidrostticas del agua sobre
la pared vertical. La presin total para 3/1 mton , segn la Ec. (2.t5), vale
tonP
hb
hbhP
76.5
2
4.221
22
22
El empuje hidrosttico es igual al volumen de la cua de distribucin de presiones.
La profundidad del centro de presiones segn la Ec. (217) y las caractersticas
indicadas en la Fig. 2.10, vale
Figura 2.10. Distribucin de la presin hidrosttica sobre una pared vertical.
-
mhh
h
xhZK 6.1
3
2
212
22
Este valor tambin es e! de la profundidad del centro de gravedad de la cua de distribucin de presiones. Solucin b). La distribucin depresiones es lineal en ambos lados y de sentido contrario, siendo la distribucin resultante como se muestra en la Fig. 2. lla.
Fig. 2.11 Empuje hidrosttico sobre una pared inclinada o vertical con lquido en ambos lados
-
En la misma forma que en la solucin (a), el empuje hidrosttico sobre la pared es el volumen de la cua de distribucin de presiones de ancho h indicada con el rea sombreada, la cual se puede determinar calculando el rea del tringulo de presiones de la izquierda menos el de la derecha. Para el tringulo a la izquierda
sen
hbP
2
2
1
1
Aplicada a la distancia 1ky , desde el punto A, entonces
sen
hyk
1
13
2
Para el triangulo a la derecha, se tiene que
sen
hbP
2
2
2
1
Aplicada a la distancia 2ky desde el punto A, resulta
sen
hhyk
3/212
El empuje total esta representado por la cua sombreada:
ton
xx
sen
hhbPPP 388.4
866.02
4.14.21
2
222
212
21
Tomando momentos de las fuerzas respecto A, obtenemos
sen
hh
sen
hb
sen
hx
sen
hbPy k
3/
23
2
2
21
2
21
2
1
Substituyendo el valor de P, ky se puede despejar y escribir en la forma
mxhh
hh
sensen
hyk 649.1
866.03
916.2
866.0
4.2
3
12
2
2
1
3
2
3
11
SOLUCIN c). Para el caso de la figura 2.11b es suficiente hacer =90 en lasa ecuaciones anteriores resultando
tonxxhh
bP 8.32
4.14.221
2
222
2
2
1
-
22
3
1
3
2
3
1
13
1
hh
hhhzy kk
myk 428.14.14.2
4.14.2
3
14.2
22
33
1.2.4 EMPUJES EN SUPERFICIES CURVAS
TEOREMA DE PASCAL
Para sumergir totalmente en agua una colchoneta inflable necesitamos empujarla hacia
abajo. Es ms fcil sostener un objeto pesado dentro del agua que fuera de ella. Cuando
buceamos pareciera que nos apretaran los tmpanos. stos y muchos otros ejemplos nos
indican que un lquido en equilibrio ejerce una fuerza sobre un cuerpo sumergido. Pero, qu
origina esa fuerza?, en qu direccin acta?, tambin el aire en reposo ejerce fuerza sobre
los cuerpos?, qu determina que un cuerpo flote o no? stas son algunas de las cuestiones
que aborda la esttica de fluidos: el estudio del equilibrio en lquidos y gases.
Un fluido en reposo en contacto con la superficie de un slido ejerce fuerza sobre todos
los puntos de dicha superficie. Si llenamos de agua una botella de plstico con orificios en sus
paredes observamos que los chorritos de agua salen en direccin perpendicular a las paredes.
Esto muestra que la direccin de la fuerza que el lquido ejerce en cada punto de la pared es
siempre perpendicular a la superficie de contacto.
En el estudio de los fluidos, resulta necesario conocer cmo es la fuerza que se ejerce
en cada punto de las superficies, ms que la fuerza en s misma. Una persona acostada o
parada sobre una colchoneta aplica la misma fuerza en ambos casos (su peso). Sin embargo,
la colchoneta se hunde ms cuando se concentra la fuerza sobre la pequea superficie de los
pies. El peso de la persona se reparte entre los puntos de la superficie de contacto: cuanto
menor sea esta superficie, ms fuerza corresponder a cada punto.
Se define la presin como el cociente entre el mdulo de la fuerza ejercida per-
pendicularmente a una superficie (F perpendicular) y el rea (A) de sta:
En frmulas es: p=F/A
La persona parada ejerce una presin mayor sobre la colchoneta que cuando est
acostada sobre ella. La fuerza por unidad de rea, en cada caso, es distinta. Cuando
buceamos, la molestia que sentimos en los odos a una cierta profundidad no depende de
-
cmo orientemos la cabeza: el lquido ejerce presin sobre nuestros tmpanos
independientemente de la inclinacin de los mismos. La presin se manifiesta como una fuerza
perpendicular a la superficie, cualquiera sea la orientacin de sta.
EMPUJES EN SUPERFICIES PLANAS Y CURVAS
El teorema fundamental de la hidrosttica
Por qu las paredes de un dique van aumentando su espesor hacia el fondo del lago? Por
qu aparecen las vrices en las piernas?
Es un hecho experimental conocido que la presin en el seno de un lquido aumenta con la
profundidad. Busquemos una expresin matemtica que nos permita calcularla. Para ello,
consideremos una superficie imaginaria horizontal S, ubicada a
una profundidad h como se muestra en la figura de la derecha.
La presin que ejerce la columna de lquido sobre la superficie
amarilla ser:
p = Peso del lquido/Area de la base
Con matemtica se escribe: p = P/S = (d . V)/S=(d . S . h)/S= d .
h (porque la S se simplifican)
Donde p es el peso especfico del lquido y V es el volumen de
la columna de fluido que descansa sobre la superficie S.
Es decir que la presin que ejerce un lquido en reposo depende del peso especfico (p)
del lquido y de la distancia (h) a la superficie libre de ste.
i ahora consideramos dos puntos A y B a diferentes
profundidades de una columna de lquido en equilibrio, el mismo
razonamiento nos permite afirmar que la diferencia de presin ser:
PA PB = p . hA d . hB
Este resultado constituye el llamado teorema fundamental de la
hidrosttica:
-
La diferencia de presin entre dos puntos dentro de una misma masa lquida es el
producto del peso especfico del lquido por la distancia vertical que los separa.
sta es la razn por la cual dos puntos de un fluido a igual profundidad estarn a igual
presin. Por el contrario, si la presin en ambos puntos no fuera la misma, existira una fuerza
horizontal desequilibrada y el lquido fluira hasta hacer que la presin se igualara, alcanzando
una situacin de equilibrio.
Hasta aqu slo hemos encontrado la expresin de la presin que ejerce el lquido
sobre un cuerpo imaginario o no sumergido en una determinada profundidad h. Ahora
bien, cul es la presin total ejercida en el cuerpo? Si tenemos en cuenta que,
probablemente, por encima del lquido hay aire (que tambin es un fluido), podemos afirmar
que la presin total ejercida sobre el cuerpo es debida a la presin de la columna del lquido
ms la presin que ejerce el aire sobre la columna. Es decir: P = Paire + Plquido = Patmosfrica + d .
h
Este resultado tiene generalidad y puede ser deducido del teorema fundamental de la
hidrosttica. Veamos cmo. Si consideramos que el punto B se encuentra exactamente en la
superficie del lquido, la presin en A es:
PA= PB+ d . Ah = Psuperficie + P. (hA-hB) = Patmosfrica + d . h
Los vasos comunicantes son recipientes comunicados entre s, generalmente por su
base. No importa cul sea la forma y el tamao de los recipientes; en todos ellos, el lquido
alcanza la misma altura.
Cuando tenemos un recipiente vertical conteniendo un liquido y le hacemos
perforaciones en sus paredes, las emisiones del liquido de los agujeros de la base tendrn
mayor alcance que las emisiones de arriba, ya que a mayor profundidad hay mayor presin.
-
1.3 FLOTACION
El primer requisito para que un barco flote es que cumpla con el principio de
Arqumides es decir, que se construya de tal forma que:
Desplace ms agua que su cuerpo
Guardar simetra tanto geomtrica, como sobre todo, dinmicamente; (al estar en agua
tranquila el barco guarde una posicin horizontal)
Matemticamente hablando, existen dos fuerzas que afectan la estabilidad de un
barco:
El peso del mismo
El empuje que recibe por porte del agua desalojada.
Por lo que se debe cumplir que:
...................0Fy (Ya que el barco flota)
E W = 0
Condicin de equilibrio
El peso del barco acta en el centro de gravedad de este (CG) mientras que el empuje
acta en el centro de gravedad del volumen sumergido del barco, al cual se le llama centreo de
flotabilidad (CF) o de la canela (C).
La Fig. 7.1 muestra un barco en aguas tranquilas, en esta condicin el barco se
encuentra estable, con su centro de gravedad situado por encima del centro de flotabilidad. En
este caso, las fuerzas involucradas, es decir, el peso del barco y el empuje actan sobre la
misma lnea de accin.
Sin embargo, cuando el barco se encuentra en altamar sufre cierto balanceo debido al
oleaje y al viento. Para este caso, en la Fig. 7.2 se muestra un barco sufriendo un cierto
balanceo. El centro de gravedad del barco (donde acta el peso) sigue estando donde mismo,
no as el centro de flotabilidad ya que este se ha trasladado a la izquierda debido a que la
forma del volumen desplazado cambia por la forma del barco. El barco de esta figura se dice
que es un BARCO ESTABLE, ya que como puede verse, la accin combinada de las dos
fuerzas (peso W y empuje E) provocan un momento tendiente a enderezar el barco.
E = W
-
El barco de la Fig. 7.3 se encuentra ladeado, pero este barco quiz es muy angosto o
tiene su centro de gravedad muy arriba, esto hace que a pesar de que el centro de flotabilidad
se ha desplazado hacia la izquierda a causa de que vaci la forma del volumen desplazado, no
fue suficiente para provocar el momento restaurado en el mismo. Como puede observarse,
aqu la accin combinada de las dos fuerzas (W y E) har que el barco acte su balanceo y
probablemente har que zozobre.
En las figuras 7.2 y 7.3 se encuentra un punto marcado con una (M). A este punto se le
llama METACENTRO, el cual corresponde al punto de interseccin de la lnea de accin del
empuje con el eje de simetra del barco.
La posicin del metacentro es de vital importancia para determinar si un cuerpo flotante es
estable o no. En general podemos decir que:
Si M se encuentra por encima del CG el cuerpo es estable
Si M se encuentra por debajo del CG el cuerpo es inestable
Si M y CG coinciden, el cuerpo tiene un equilibrio indiferente
En el caso particular de un barco interesa que se cumpla la primera condicin. Sin embargo, si
M se encuentra por encima del CG, pero muy cerca una de la otra el barco se balancear lenta
y ampliamente y ser muy probable que se hunda en caso de un choque. Si M est muy arriba
-
del CG el barco regresar bruscamente a la vertical con riesgo de daar la carga y causar
trastornos a los tripulantes y pasajeros (ser a lo que se le denomina BARCO DURO).
La distancia que existe entre CG y M se llama altura metacntrica, la cual, si M est por
encima de CG (cuerpo estable) es positiva; si M coincide con CG (equilibrio indiferente) vale
cero y si M se encuentra por debajo del CG es negativa.
En la prctica un valor confiable de altura metacntrica para barcos mercantes
modernos totalmente cargados es de un 5% de la manga, es decir, la parte ms ancha del
barco.
En el cuadro 7.1 se muestran algunos valores prcticos de altura metacntrica para ciertos
tipos de embarcaciones.
TIPO DE EMBARCACIN ALTURA METACNTRICA
Barcos de Vela 0.90 a 1.50
Torpederos 0.40 a 0.60
Cruceros 0.80 a 1.20
Cargueros 0.60 a 0.90
De Pasajeros 0.45 a 0.60
A veces, en la prctica, situar el metacentro de una embarcacin resulta muy difcil, sin
embargo, existen algunas ecuaciones, como la obtenida por Duhamel, la cual desarrollaremos
enseguida, basndonos en la Fig. 7.4
Cuadro 7.1 Algunas alturas metacntricas de tipos diversos de buques
-
2......................).........( 111 yxEyExElE
El volumen desplazado total no cambia en valor por la vuelta a travs del ngulo ,
pero si cambia en forma debido a la emersin del volumen en forma de cua (omn) y a la
sumersin de un volumen igual (omn)
Estas cuas representan una prdida de empuje E2 debido al volumen emergido (omn)
y una ganancia del mismo E1 debido a la sumersin del volumen (omn).
La nueva posicin de la fuerza de empuje total (E) puede considerarse como la resultante de
componer al empuje (E) en su posicin original y las fuerzas desequilibrantes de prdida y
ganancia de empuje (E1 y E2). Como el momento de una fuerza resultante es igual a la suma
algebraica de los momentos de sus componentes y el centro de flotabilidad original (CF) se
seleccion como centro de momentos tenemos.
Como E1 = E2 dejamos la ecuacin 1 en funcin de E1, entonces:
Como, de la figura tenemos que: ddd
yx 22
entonces: dElE 1
3..........................1
E
dEl
Considerando un ngulo pequeo y de acuerdo con la Fig. 7.5 el volumen del prisma
considerado es: 4.........................................dAxtgdv
La fuerza de empuje sobre este prisma elemental ser:
5...................................1 dAxtgdvdE
Y el momento de esta fuerza elemental con respecto a cero ser:
6...................................21 dAtgxxdEdM
La integral de esta ecuacin representa el momento de E1 con respecto al eje y. Pero
recordando que a lado izquierdo de y existe tambin otro prisma, sobre el que acta una
fuerza E2. Entonces el momento de la pareja E1 y E2 ser el doble del momento que nos da la
integral de la ecuacin 6, ya que E1 y E2 son iguales, entonces:
7........................................222
1 dAxtgxdE
De esttica tenemos que: dExdE 11 , entonces sustituyendo:
8............................................22
1 dAxtgdE
1..................................)0( 21 yExEElE
-
Tambin de esttica tenemos que: IydAx22 donde:
Iy = momento de inercia con respecto al eje y (eje longitudinal del barco) del rea de la
seccin transversal del barco en la lnea de flotacin, en consecuencia:
9.................................1 IytgdE
Sustituyendo en 3 tenemos:
10..........................E
Iytgl
y como VE entonces:
11...................................V
Iytg
V
Iytgl
Ahora de la Fig. 7.4 tenemos: 12......................)( senMCFl
Donde: CFM es la distancia que hay entre el CF y el M. Sustituyendo en 11 nos queda:
13.........................................
)(
Vsen
IytgMCF
V
IytgsenMCF
Como es pequeo tenemos que sentg entonces la ecuacin 13 puede
escribirse como:
1.7.....................................V
IyMCF
Esta es la llamada ecuacin de Duhamel. Como la altura metacntrica es la distancia
desde el CG hasta el M; se tiene que:
2.7.............................).........( CFCGV
IyMCG
Donde:
+ CGM = altura metacntrica
+ Iy = momento de inercia del rea que la superficie libre del lquido intercepta en el cuerpo
flotante con relacin al eje de inclinacin (eje sobre el cual se supone que el cuerpo pueda
girar)
V = volumen del lquido desplazado
NOTA: el signo positivo representa el caso en el que el CG est debajo del CF.
-
1.3.1PRINCIPIO DE ARQUIMEDES
Notable matemtico e inventor griego, que escribi importantes obras sobre geometra
plana y del espacio, aritmtica y mecnica.
Naci en Siracusa, Sicilia, y se educ en Alejandra, Egipto. En el campo de las
matemticas puras, se anticip a muchos de los descubrimientos de la ciencia moderna, como
el clculo integral, con sus estudios de reas y volmenes de figuras slidas curvadas y de
reas de figuras planas. Demostr tambin que el volumen de una esfera es dos tercios del
volumen del cilindro que la circunscribe.
En mecnica, Arqumedes defini la ley de la palanca y se le reconoce como el inventor
de la polea compuesta. Durante su estancia en Egipto invent el tornillo sin fin para elevar el
agua de nivel. Arqumedes es conocido sobre todo por el descubrimiento de la ley de la
hidrosttica, el llamado principio de Arqumedes, que establece que todo cuerpo sumergido en
un fluido experimenta una prdida de peso igual al peso del volumen del fluido que desaloja
(vase Mecnica de fluidos). Se dice que este descubrimiento lo hizo mientras se baaba, al
comprobar cmo el agua se desplazaba y se desbordaba.Arqumedes pas la mayor parte de
su vida en Sicilia, en Siracusa y sus alrededores, dedicado a la investigacin y los
experimentos. Aunque no tuvo ningn cargo pblico, durante la conquista de Sicilia por los
romanos se puso a disposicin de las autoridades de la ciudad y muchos de sus instrumentos
mecnicos se utilizaron en la defensa de Siracusa. Entre la maquinaria de guerra cuya
invencin se le atribuye est la catapulta y un sistema de espejos quiz legendario que
incendiaba las embarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del sol.Al ser conquistada
Siracusa, durante la segunda Guerra Pnica, fue asesinado por un soldado romano que le
encontr dibujando un diagrama matemtico en la arena. Se cuenta que Arqumedes estaba
tan absorto en las operaciones que ofendi al intruso al decirle: "No desordenes mis
diagramas". Todava subsisten muchas de sus obras sobre matemticas y mecnica, como el
Tratado de los cuerpos flotantes, El arenario y Sobre la esfera y el cilindro. Todas ellas
muestran el rigor y la imaginacin de su pensamiento matemtico.El principio de Arqumedes
afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba
igual al peso de fluido desalojado.
La explicacin del principio de Arqumedes consta de dos partes como se indica en las figuras:
-
1. El estudio de las fuerzas sobre una porcin de fluido en equilibrio con el resto del fluido.
2. La sustitucin de dicha porcin de fluido por un cuerpo slido de la misma forma y
dimensiones.
Porcin de fluido en equilibrio con el resto del fluido.
Consideremos, en primer lugar, las fuerzas sobre una porcin de fluido en equilibrio con el
resto de fluido. La fuerza que ejerce la presin del fluido sobre la superficie de separacin es
igual a pdS, donde p solamente depende de la profundidad y dS es un elemento de superficie.
Puesto que la porcin de fluido se encuentra en equilibrio, la resultante de las fuerzas debidas
a la presin se debe anular con el peso de dicha porcin de fluido. A esta resultante la
denominamos empuje y su punto de aplicacin es el centro de masa de la porcin de fluido,
denominado centro de empuje.
De este modo, para una porcin de fluido en equilibrio con el resto se cumple
Empuje=peso=rfgV
El peso de la porcin de fluido es igual al producto de la densidad del fluido rf por la
aceleracin de la gravedad g y por el volumen de dicha porcin V.
Se sustituye la porcin de fluido por un cuerpo slido de la misma forma y dimensiones si
sustituimos la porcin de fluido por un cuerpo slido de la misma forma y dimensiones. Las
fuerzas debidas a la presin no cambian, por tanto, su resultante que hemos denominado
empuje es el mismo, y acta sobre el mismo punto, es decir, sobre el centro de empuje.
-
Lo que cambia es el peso del cuerpo y su punto de accin que es su propio centro de masa
que puede o no coincidir con el centro de empuje.
Por tanto, sobre el cuerpo actan dos fuerzas: el empuje y el peso del cuerpo, que no tienen en
principio el mismo valor ni estn aplicadas en el mismo punto.
En los casos ms simples, supondremos que el slido y el fluido son homogneos y por tanto,
coincide el centro de masa del cuerpo con el centro de empuje.
Ejemplo:
Supongamos un cuerpo sumergido de densidad rodeado por un fluido de densidad f. El rea
de la base del cuerpo es A y su altura h.
La presin debida al fluido sobre la base superior es p1= fgx, y la presin debida al fluido en la
base inferior es p2= fg(x+h). La presin sobre la superficie lateral es variable y depende de la
altura, est comprendida entre p1 y p2.
Las fuerzas debidas a la presin del fluido sobre la superficie lateral se anulan. Las otras
fuerzas sobre el cuerpo son las siguientes:
Peso del cuerpo, mg
-
Fuerza debida a la presin sobre la base superior, p1A
Fuerza debida a la presin sobre la base inferior, p2A
En el equilibrio tendremos que
mg+p1A= p2Amg+fgxA= fg(x+h)A
o bien,
mg=fhAg
El peso del cuerpo mg es igual a la fuerza de empuje fhAg
Como vemos, la fuerza de empuje tiene su origen en la diferencia de presin entre la parte
superior y la parte inferior del cuerpo sumergido en el fluido. El principio de Arqumedes se
enuncia en muchos textos de Fsica del siguiente modo:
Cuando un cuerpo est parcialmente o totalmente sumergido en el fluido que le rodea, una
fuerza de empuje acta sobre el cuerpo. Dicha fuerza tiene direccin hacia arriba y su
magnitud es igual al peso del fluido que ha sido desalojado por el cuerpo.
Energa potencial de un cuerpo en el seno de un fluido
Cuando un globo de helio asciende en el aire actan sobre el globo las siguientes fuerzas:
El peso del globo Fg=mgj .
El empuje Fe= rfVgj, siendo rf la densidad del fluido (aire).
-
La fuerza de rozamiento Fr debida a la resistencia del aire
Dada la fuerza conservativa podemos determinar la frmula de la energa potencial asociada
La fuerza conservativa peso Fg=mgj est asociada con la energa potencial Eg=mgy.
Por la misma razn, la fuerza conservativa empuje Fe= rVg j est asociada a la energa potencial
Ee=-rfVgy.
Dada la energa potencial podemos obtener la fuerza conservativa
La energa potencial asociada con las dos fuerzas conservativas es
Ep=(mg- rfVg)y
A medida que el globo asciende en el aire con velocidad constante experimenta una fuerza de
rozamiento Fr debida a la resistencia del aire. La resultante de las fuerzas que actan sobre el
globo debe ser cero.
rf Vg- mg-Fr=0
Como rfVg> mg a medida que el globo asciende su energa potencial Ep disminuye.
Empleando el balance de energa obtenemos la misma conclusin
El trabajo de las fuerzas no conservativas Fnc modifica la energa total (cintica ms potencial)
de la partcula. Como el trabajo de la fuerza de rozamiento es negativo y la energa cintica Ek
no cambia (velocidad constante), concluimos que la energa potencial final EpB es menor que la
energa potencia inicial EpA. En la pgina titulada "movimiento de un cuerpo en el seno de un
fluido ideal", estudiaremos la dinmica del cuerpo y aplicaremos el principio de conservacin de
la energa.
-
EL EMPUJE: PRINCIPIO DE ARQUIMEDES
Resulta evidente que cada vez que un cuerpo se sumerge en un lquido es empujado
de alguna manera por el fluido. A veces esa fuerza es capaz de sacarlo a flote y otras slo
logra provocar una aparente prdida de peso. Pero, cul es el origen de esa fuerza de
empuje? De qu depende su intensidad?
Sabemos que la presin hidrosttica aumenta con la profundidad y conocemos tambin que se
manifiesta mediante fuerzas perpendiculares a las superficies slidas que contacta. Esas
fuerzas no slo se ejercen sobre las paredes del contenedor del lquido sino tambin sobre las
paredes de cualquier cuerpo sumergido en l.
Distribucin de las fuerzas sobre un cuerpo sumergido
Imaginemos diferentes cuerpos sumergidos en agua y representemos la distribucin de
fuerzas sobre sus superficies teniendo en cuenta el teorema general de la hidrosttica. La
simetra de la distribucin de las fuerzas permite deducir que la resultante de todas ellas en la
direccin horizontal ser cero. Pero en la direccin vertical las fuerzas no se compensan: sobre
la parte superior de los cuerpos acta una fuerza neta hacia abajo, mientras que sobre la parte
inferior, una fuerza neta hacia arriba. Como la presin crece con la profundidad, resulta ms
intensa la fuerza sobre la superficie inferior. Concluimos entonces que: sobre el cuerpo acta
una resultante vertical hacia arriba que llamamos empuje.
Cul es el valor de dicho empuje?
-
Tomemos el caso del cubo: la fuerza es el peso de la columna de agua ubicada por
arriba de la cara superior (de altura h1). Anlogamente, F2 corresponde al peso de la columna
que va hasta la cara inferior del cubo (h2). El empuje resulta ser la diferencia de peso entre
estas dos columnas, es decir el peso de una columna de lquido idntica en volumen al cubo
sumergido. Concluimos entonces que el mdulo del empuje es igual al peso del lquido
desplazado por el cuerpo sumergido.
Con un ejercicio de abstraccin podremos generalizar este concepto para un cuerpo
cualquiera. Concentremos nuestra atencin en una porcin de agua en reposo dentro de una
pileta llena. Por qu nuestra porcin de agua no cae al fondo de la pileta bajo la accin de su
propio peso? Evidentemente su entorno la est sosteniendo ejercindole una fuerza
equilibrante hacia arriba igual a su propio peso (el empuje).
Ahora imaginemos que sacamos nuestra porcin de agua para hacerle lugar a un
cuerpo slido que ocupa exactamente el mismo volumen. El entorno no se ha modificado en
absoluto, por lo tanto, ejercer sobre el cuerpo intruso la misma fuerza que reciba la porcin
de agua desalojada. Es decir:
Un cuerpo sumergido recibe un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen
de lquido desplazado.
E = Peso del lquido desplazado = dlq . g . Vliq desplazado = dliq . g . Vcuerpo
Es importante sealar que es el volumen del cuerpo, y no su peso, lo que determina el
empuje cuando est totalmente sumergido. Un cuerpo grande sumergido recibir un gran
empuje; un cuerpo pequeo, un empuje pequeo.
-
1.2.3 CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE CUERPOS EN FLOTACION
Como hace un barco para flotar?
Pues bien, el mismo est diseado de tal manera para que la parte sumergida
desplace un volumen de agua igual al peso del barco, a la vez, el barco es hueco (no macizo),
por lo que se logra una densidad media pequea. En el caso de los submarinos, tienen un
sistema que le permite incorpor
