Aritmetica modulare Veronica Gavagna
Aritmetica modulare o Aritmetica dell’orologio
Da http://proooof.blogspot.it/2010/04/alice-bob-e-eva-lorologio.html
Alice, Bob e Eva — L'orologio “Che ore saranno tra 314 ore?”. “Eh? Boh, devo fare il conto, non so”. “Fai il conto, allora”. “Uhm, 314 ore, ci sono 24 ore in un giorno, 314 diviso 24 fa 13.08(3)”. “E quindi?”. “E quindi 314 ore sono un po' più di 13 giorni”. “Vabbé, ma se vuoi sapere che ore saranno con precisione?”. “Uhm, allora, rimane un resto di zero virgola zero otto tre periodico…”. “Che non è propriamente un resto”. “Eh?”. “Eh, no. Non è il resto della divisione che hai fatto. Hai presente la regola per la divisione che hai imparato alle elementari?”. “Uh, quella! Da quanto tempo non ne faccio una. Eccola qua:”. •
Oh, bene. Quindi vedi che 314 diviso 24 ti dà come quoziente 13 e come resto 2. Quello che ti interessa, ai fini della risposta alla mia domanda, è proprio il resto”. “Ah, ho capito: 314 ore corrispondono a 13 giorni e 2 ore, quindi per sapere che ore saranno devo guardare l'orologio adesso e aggiungere 2 ore. Facile”. “Benissimo. Il calcolo che hai fatto potrebbe essere scritto anche in questo modo: 314 = 13·24 + 2”. “Vero”. “I Veri Matematici lo scrivono anche così: 314 ≡ 2 mod 24”. “Eh?”. “Significa che 314 e 2 danno lo stesso resto nella divisione per 24; il resto è naturalmente 2, che è minore di 24. Si legge in questo modo: 314 è congruente (o congruo) a 2 modulo 24”. “Manca però il 13, il quoziente della divisione”.
“Quello non ci interessa molto. Quando siamo interessati di più ai resti che ai quozienti, utilizziamo questo tipo di scrittura. Ed entriamo nel cosiddetto campo dell'aritmetica modulare”. “Che non è altro che un modo pomposo per definire l'aritmetica dell'orologio, a quanto vedo”. “Bè, sì, l'aritmetica dell'orologio è l'aritmetica modulo 24, ma naturalmente possiamo scegliere qualunque numero come base per i nostri moduli”. “E questo è interessante?”. “Certo”. “Voglio dire, serve a qualcosa?”. “Stranamente, sì. Non che ai Veri Matematici questo fatto interessi molto, però l'aritmetica modulare ha una effettiva applicazione pratica. Praticamente quotidiana”.
Esempi di aritmetica modulare
Che giorno della settimana sarà tra 31 giorni?
Aritmetica modulo 7
Che giorno dell’anno sarà tra 750 giorni?
Aritmetica modulo 365 (più o meno)
Con l’aritmetica modulare possiamo anche
spiegare i criteri di divisibilità e capire
come funziona (quando funziona…) la
«prova del 9»
Un esempio di aritmetica modulo 4 orologio con 4 ore
E’ verificata la
Proprietà commutativa?
Esiste un elemento
neutro rispetto all’
addizione?Esistono gli?
inversi di 1, 2, 3,
rispetto all’addizione?
Le congruenze Gauss, Disquisitiones arithmeticae (1801)
Def.1 Due interi a e b si dicono congruenti modulo m quando la loro differenza è divisibile per m
𝒂 ≡ 𝒃 mod m
314 ≡ 2 mod 4 perché 314-2=312 è divisibile per 4
31 ≡ 3 mod 7 perché 31-3=28 è divisibile per 7
750 ≡ 20 mod 365 perché 750-20=730 è divisibile per 365
26 ≡ 16 mod 5 perché 10 è divisibile per 5
16 ≡ -9 mod 5 perché 16-(-9)=25 è divisibile per 5
3 ≢ 11 mod 7 perché 3-11=-8 non è divisibile per 7
Una definizione alternativa
Due interi a e b si dicono congruenti
modulo m quando, divisi per m, hanno lo
stesso resto.
Infatti, se
a= mq1+r
b= mq2+r
Posso scrivere a-b=mq1+r –mq2-r= m(q1-q2)
cioè a-b è divisibile per m.
Esempi
Stabilire se sono congruenze:
12 ≡ 24 mod 12
12 ≡ 39 mod 9
- 7 ≡ 15 mod 11
- 7 ≡ 15 mod 3
- 7 ≡ 15 mod 2
15 ≡ 7 mod ?
15 ≡ 0 mod ?
SI
SI
SI
NO
SI
Divisibilità e congruenza
Osserviamo che
15≡0 mod 3 e anche 15≡0 mod 5
35 ≡ 0 mod 7; 6 ≡ 0 mod 2
Possiamo concludere che a è divisibile per m se e solo se a ≡0 mod m (Proprietà P0)
Possiamo allora scrivere che, se n è un numero pari, allora n ≡ 0 mod 2?
Sì, tutti i numeri pari sono divisibili per 2, cioè sono congrui a zero modulo 2.
Proprietà della congruenza modulo m
• E’ una relazione riflessiva?
a ≡ a mod m
• E’ una relazione simmetrica?
se a ≡b mod m allora b ≡a mod m
• E’ una relazione transitiva?
se a ≡b mod m e b ≡c mod m allora a ≡ c mod m
La congruenza è una relazione di equivalenza
Operazioni con le congruenze (tutte senza dimostrazione)
(P1) Congruenze secondo lo stesso modulo possono essere sommate o sottratte membro a membro.
Se a ≡ b mod m e c ≡ d mod m allora
a+c ≡ b+d mod m
a-c ≡ b-d mod m
5 ≡ 32 mod 9 e 11 ≡ -7 mod 9 diventano
16 ≡ 25 mod 9
-6 ≡ 39 mod 9 Il teorema vale per un numero qualsiasi di congruenze.
Operazioni con le congruenze
(P2) Una congruenza può essere moltiplicata per un intero qualsiasi. Se
a ≡ b mod m
è anche vero che, per ogni numero intero k,
ka ≡ kb mod m
Es. 3 ≡ 7 mod 4
Se moltiplico entrambi i membri per 5 ottengo
15 ≡ 35 mod 4; se moltiplico per -3 ottengo
- 9 ≡ -21 mod 4.
Operazioni con le conguenze
(P3) Due congruenze secondo lo stesso modulo, possono essere moltiplicate ordinatamente.
a ≡ b mod m
c ≡ d mod m
Allora
a x c ≡ b x d mod m
3 ≡ 14 mod 11
9 ≡ -2 mod 11
27 ≡ -28 mod 11
Una conseguenza Se ho n congruenze del tipo
a ≡ b mod m
a ≡ b mod m
……. n volte
a ≡ b mod m
(P5) Moltiplicando ordinatamente i primi membri e i secondi membri ottengo
𝒂𝒏 ≡ 𝒃𝒏 𝒎𝒐𝒅 𝒎
Da 3 ≡ 5 mod 2 segue ad esempio che
33 ≡ 53 mod 2, cioè 27 ≡ 125 mod 2
Criteri di divisibilità
Sia N un numero rappresentato in base dieci dalle cifre
𝑎𝑛𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2 … 𝑎2𝑎1𝑎0
dove ogni cifra 𝑎𝑘 che compare, varia tra 0 e 9 (es. N=34601)
Se scrivo il numero in notazione polinomiale, ho 𝑁 = 𝑎𝑛10𝑛 + 𝑎𝑛−110𝑛−1 + … + 𝑎110 + 𝑎0
34601 = 3 × 104 + 4 × 103 + 6 × 102 + 0 × 10 + 1 × 100
Per sapere se il numero N è divisibile per 2, per 3, per 4, per 5 … mi basta sapere se è rispettivamente
congruo a zero mod 2, mod 3, mod 4, mod 5… (per la proprietà P0).
Studiare la divisibilità di un numero significa studiare la congruenza secondo un dato modulo: per far questo si usano le proprietà P0-P4 descritte in precedenza.
Divisibilità per 5
Osserviamo prima che
10 ≡ 0 mod 5
dunque
10𝑛 ≡ 0 mod 5 (P5) e anche 𝑎𝑛10𝑛 ≡ 0 mod 5 (P2)
10𝑛−1 ≡ 0 mod 5 (P5) e anche 𝑎𝑛−110𝑛−1 ≡ 0 mod 5 (P2)
...
101 ≡ 0 mod 5 (P5) e anche 𝑎1101 ≡ 0 mod 5 (P2)
100 ≢ 0 mod 5 NOTA BENE!!!
Divisibilità per 5
Studiamo allora la congruenza mod 5 del numero
𝑁 = 𝑎𝑛10𝑛 + 𝑎𝑛−110𝑛−1 + … + 𝑎110 + 𝑎0
Abbiamo visto che tutti gli addendi, tranne l’ultimo, sono congrui a zero modulo 5 (perché sono multipli di dieci o di potenze di dieci) quindi, per la P1, possiamo dire che N è divisibile per 5 (cioè congruo a zero modulo 5) se e solo se
𝑎𝑛10𝑛 + 𝑎𝑛−110𝑛−1 + … + 𝑎110 + 𝑎0 ≡ 0 mod 5
Cioè se e solo se
𝑎0 ≡ 0 mod 5
E quali cifre sono congrue a zero modulo 5, ovvero quali cifre sono divisibili per 5???
Solo il 5 e lo 0!!!
Possiamo allora esprimere il seguente
Criterio di divisibilità per 5
Un numero è divisibile per 5 se e solo se
la cifra delle unità è 0 oppure 5.