Cinematica [studio del moto indipendentemente dalla causa] Moto in una dimensione moto esclusivamente rettilineo si trascurano le forze oggetto in moto assimilabile ad una particella [tutte le parti si muovono solidali nella stessa direzione] i r 0 grafico posizione –tempo: ) (t x x = ∆x ∆t x i x f t i t f O P Q spostamento intervallo di tempo i x x x i f r r ) ( − = ∆ i f t t t − = ∆ velocità media : pendenza della retta PQ non dipende dal percorso [v] = [L]/[T] ⇒ m/s ( ) i f i f def x t t x x t x v − − = ∆ ∆ =
33
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Presentazione di PowerPoint - mi.infn.itsleoni/TEACHING/FISICA-BIO/pdf/lezione-2... · lim dt d x dt dx dt d dt dv t v a x x def t x = = = ∆ ∆ = ∆→ accelerazione istantanea:
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Transcript
Cinematica[studio del moto indipendentemente dalla causa]
Moto in una dimensionemoto esclusivamente rettilineosi trascurano le forzeoggetto in moto assimilabile ad una particella[tutte le parti si muovono solidali nella stessa direzione]
ir
0
grafico posizione –tempo: )(txx =
∆x
∆txi
xf
ti tfO
P
Q
spostamento
intervallo di tempo
ixxx if
rr )( −=∆
if ttt −=∆
velocità media:pendenza della retta PQnon dipende dal percorso[v] = [L]/[T] ⇒ m/s
( )if
if
defx ttxx
txv
−
−=
∆∆
=
esempio: moto di un’auto
x(m)
x(m)
t(s) x(m)
A 0 30B 10 52C 20 38D 30 0E 40 -37F 50 -53
smsm
txv
/7.1)050()3053(
−=−−−
=
∆∆
=
x(m)
t(s)
grafico posizione -tempo
smsm
txvAB /2.2
)010()3052(
=−
−=
∆∆
=
N.B. velocità media fra A e B:pendenza della rettatra i punti A e B
v(m/s)
t(s)
∆tn
grafico velocità -tempo
∑∑
∑∑∆=∆=∆
∆=∆=∆
→∆→∆ nnntn
nt
nnn
nn
tvxx
tvxx
nn 00limlim
N.B. spostamento totale ∆x:area sotto la curva[interpretazione geometrica]
esercizi velocità media
Quanto velocemente mi muovo in un dato istante di tempo ?
esempi:auto che si muove in città:
pedone che cammina per strada:
la velocità istantanea è diversa[ad esempio: semafori, strisce pedonali, ingorghi …]
sms
mh
kmv /3.86060
1030303
=×
==
smv /2=
xi
tO
P
∆t2
∆t3
∆t1
Q” Q’Q
dtdx
txv
tdefx =∆∆
=→∆ 0
lim
velocità istantanea:pendenza della retta tangente in Pdipende dal punto nel percorso
N.B. vx può essere positiva, negativa o nulla
quando la velocità varia nel tempo si dice che il corpo è accelerato
esempi:velocità auto aumenta quando riparto da un semaforo
diminuisce durante una frenata
accelerazione media:variazione della velocità in ∆t
[a] = [v]/[t] = [L/T]/[T]= [L/T2] ⇒ m/s2
tv
tt
vva x
if
xx
defxif
∆∆
=−
−=
)(
2
2
0lim
dtxd
dtdx
dtd
dtdv
tva xx
tdefx
=
=
=∆
∆=
→∆accelerazione istantanea:derivata prima della velocità
derivata seconda dello spostamento
⇒ accelerazione istantanea = pendenza grafico velocità tempo
N.B. spostamento infinitesimo è segmentino di traiettoriavelocità istantanea è sempre tangente alla traiettoriaaccelerazione può avere un orientamento qualsiasi rispetto alla
traiettoria
vx
ax
t
t
accelerazione istantanea:pendenza della tangente alla curva velocità-tempo[ad ogni istante]
ax>0ax=0
ax<0
derivazione a istantanea a partire da v(t) esempi
N.B. il corpo umano reagisce alle accelerazioni (accelerometro)non alle velocità (non è un tachimetro)
esempio: macchina 90 km/haereo 900 km/h non sento la velocità costante
ma le accelerazioni e decelerazioni
sulle montagne russe del Luna Park sento i veloci cambiamenti di velocità
Caso particolare: accelerazione costante
tvv
tt
vvaa xx
if
xxxx
if 0)( −
=−
−==
ti = 0, tf = tvxf = vx, vxi = vx0
accelerazione media coincide con accelerazione istantanea
tavv xxx += 0
20 xx
xvvv +
= (per ax costante)
tvvtvx xxx )
2( 0 +
=∆=∆
tvvxx xx )(21
00 +=− (per ax costante)
ttavvxx xxx )(21
000 ++=−
200 2
1 tatvxx xx +=− (per ax costante)
tvvtvvtvx xxxxx ∆+=∆−+∆=∆ )(21)(
21
000
t∆
xv
espressione che non contiene il tempo:
x
xx
x
xxxx a
vvxa
vvvvxx2
)()()(21 2
02
00
00−
+=−
++= )(2 020
2 xxavv xxx −+=
le equazioni precedenti valgono solo per ax costante !!!moto UNIFORMEMENTE accelerato
Equazioni moto con accelerazione costante
ax, vx0, x0 valori noti iniziali
tavv xxx += 0
tvvxx xx )(21
00 +=−
200 2
1 tatvxx xx +=−
)(2 020
2 xxavv xxx −+=
1.
2.
3.
4.
velocità in funzione del tempo
posizione in funzione di tempo e velocità
posizione in funzione di tempo
velocità in funzione di posizione
esercizi accelerazione costante
Corpi in caduta libera
Galileo: in assenza di attrito (aria) tutti i corpicadono con la stessa accelerazione, indipendentemente dalla forma e dalla massa
jgarr
−=y
O
accelerazione di gravitàg = 9.8 m/s2
1971- filmato fatto dagli astronauti sulla Luna:http://www.history.nasa.gov/alsj/a15/a15v.1672206.mov
- Alt – Invio -
valgono le equazioni cinematiche precedenti con x → y e ay → -g
a v
Corpi in caduta libera nel vuoto:r accelerazione costante r velocità aumenta linearmente nel tempo
esempio: caduta libera
Calcolare posizione, velocità ed accelerazione di un corpodi massa M in caduta libera dopo 1,2,3,4,5 secondi
g9.8 m/s2
9.8 m/s2
9.8 m/s2
9.8 m/s2
9.8 m/s2
y
0
2/8.9 smga −=−=22
00 21
21 tgtgtvyy −=−+=
accelerazione
spostamento
velocità gtgtvv −=−= 0
ygyygvv 2)(2 020
2 −=−−=
vale per ogni corpo, indipendentemente dalla massa !!!
esercizi cinematica in una dimensione
Moto in due dimensionimoto in un piano (esempio: proiettile, satellite …)si trascurano le forzeoggetto in moto assimilabile ad una particella [tutte le parti si muovono solidali nella stessa direzione]
traiettoria della particella
12 rrrjyixr
rrr
rrr
−≡∆+= vettore posizione
vettore spostamentonell’intervallo ∆t
dalla composizione di vettori:
jyix
jyyixx
jyixjyixr
rr
rr
rrrrr
∆+∆=
−+−=
+−+=∆
)()(
)()(
1212
1122
N.B. il formalismo può essere facilmente esteso a 3 dimensioni:
kzjyixr
kzjyixrrrrr
rrrr
∆+∆+∆=∆
++=
Velocità media e istantanea
velocità media(indipendente dal percorso)
per componenti:trv
def ∆∆
=r
jtyi
tx
tjyixv
rr
rr
∆∆
+∆∆
=
∆∆+∆
=
PQ
Q’∆r dtrd
trv
tdef
rrr
=∆∆
=→∆ 0
lim
velocità istantaneadirezione tangentealla traiettoriaverso del moto
per componenti:
jdtdyi
dtdx
jyixdtdv
rr
rrr
+=
=+= )(
dtdyv
dtdxv yx == ,
Accelerazione media e istantanea
tv
tvv
a if
def ∆∆
=∆
−=
rrr
ha stessadirezione di ∆v
a
accelerazione media
dtvd
tva
tdef
rr
=∆∆
=→∆ 0
lim
accelerazione istantanea
a≠0 se v cambia intensitào direzione
per componenti:
jdt
dvi
dtdv
jvivdtda
yx
yx
rr
rrr
+=
=+= )(
dtdv
adt
dva yy
xx == ,
Moto in Due dimensioni con accelerazione costante
si generalizzano le leggi del moto in una dimensione con accelerazione costante
costantejaiaajyixr
yx =+=
+=rrr
rrr
==
costanteacostantea
y
x⇒
applico le equazioni della cinematica separatamente per le componenti x ed ydel vettore velocità
4
tavjvivvtavvv
tavvviyfxff
yyiyfy
xxixfx rrrrr+=+=
+==
+==⇒
analogamente per il vettore posizione
2
2
2
21
2121
tatvrjyixrtatvyy
tatvxxiifff
yyiif
xxiif rrrrrr++=+=
++=
++=
⇒
4
moto in due dimensioni con accelerazione costante:equivale a due moti indipendenti nelle direzioni x ed y
con accelerazioni costanti ax ed ay
moto in x non influenza moto in y e viceversa
Applicazione: moto del proiettile[qualunque oggetto lanciato in aria]
Ipotesi: accelerazione di gravità g costanteresistenza dell’aria trascurabile
⇓r moto orizzontale e verticale sono indipendentir la traiettoria è sempre una parabola [da dimostrare !!!]
000
000
0
sincos
θθ
vvvv
jvivv
y
x
oyox
==
+=rrr
velocità iniziale:
g
accelerazione:
gaa
jgjaiaa
y
x
yx
−==
−=+=
0
rrrr
applico le equazioni della cinematica monodimensionale:moto orizzontale [rettilineo ed uniforme]:
tvtvxxvvv
x
xx
)cos(cos
0000
000
θθ
=+===
200
200
000
21)sin(
21
sin
gttvgttvyy
gtvgtvv
y
yy
−=−+=
−=−=
θ
θ
NON ho accelerazione in x ⇒ v costante
moto verticale [caduta di un grave]:
verifica indipendenza dei moti
due palle da golfpalla rossa: in caduta liberapalla gialla: lanciata orizzontalmente
raggiungono terra nello stesso tempo⇒ moto verticale indipendente
da moto orizzontale
palla lanciata verso l’altoda carrello in motocon velocità costante v:
palla mantienevelocità orizzontale iniziale⇒ è sempre sopra carrello ⇒ atterra dentro il carrello
Esempi di indipendenza dei moti
1. pallina di gomma lasciata cadere rimbalza e torna SEMPRE in mano, anche se la persona è in moto con velocità costante !!! persona e palla
hanno stessavelocità orizzontalevr
2. ragazzo punta con fionda amico appeso a distanza d:se l’amico si lascia andare appena la fionda parte viene SEMPRE colpito!!!
ragazzo e fionda percorrono stessadistanza verticale
in tempo tempo timpiegato dalla fionda a percorrere distanza d
2
21 gty −=
Esperienza in Laboratorio
3. la pallina colpisce SEMPRE la lattina !!!
8 cerbottana spara pallina mirando lattina
8 lattina è rilasciata quando sparo pallina
pallina e lattina sono soggette a stessa accelerazione g⇒ tutte e due coprono
uguale traiettoria verticale[indipendente dalla massa]
traiettoria del proiettile:tvtvx x )cos( 000 θ==
200
20 2
1)sin(21 gttvgttvy y −=−= θ
risolvo rispetto a t:
200
2
0000
00
)cos(21
cossin
cos
θθθ
θ
vxg
vxvy
vxt
−=
=
22
022
00 cos2
xbxaxv
gxtgy −=−=θ
θ parabola[completamente nota per v0 e θ0 noti]
y
xO
v0t
r
½ gt2
R
h
2
0
0
200
21
21
tg
tvr
tgtvrr
r
r
r
rrrr
++=
++= posizione del proiettile
++= 2
00 21 tatvrr rrrr
posizione iniziale
spostamento in assenza di accelerazione
jggrr
−=spostamento dovuto ad accelerazione
Esempi di moto del proiettile
la traiettoria dei corpi in volo
è di tipo parabolico
2
000000
sin21sinsin
−==
gvg
gvvhy θθθ
gvh
2sin 0
220 θ
=
altezza h massima raggiunta dal proiettile:
h = altezza massima raggiuntaR = gittata
[distanza orizzontale coperta]
200
20
000
21)sin(
21
0sin
gttvgttvhy
gtvgtvv
y
yy
−=−==
=−=−=
θ
θg
vt 001
sinθ=⇒
00
20
max 902
== θperg
vh
gittata R del proiettile [distanza orizzontale coperta]:
gv
gvv
tvtvxttperRx
x
002
00000
1000
1
cossin2sin2)cos(
2)cos(2
θθθθ
θ
==
====
gvR 0
20 2sin θ
=
00
20
max 45== θperg
vR
y(m)
x(m)
vi=50m/s
applicazione: gittata e quota massimaUn proiettile di massa m, viene sparato con velocità v = 25 m/sad un angolo di 40° rispetto al suolo. a) quale è la massima quota h raggiunta dal proiettile ?b) quale è la gittata R del cannone ?c) quale sarebbe l’angolo che massimizza la gittata ?
[trascurare l’attrito]
h
R
a) quota h
gvh
2sin 0
220=
θ msm
sm 2.13/8.92
)40(sin)/25(2
022
=×
=
b) gittata R
gvR 2sin 0
20=
θ msm
sm 8.62/8.9
)80sin()/25(2
02
==
c) gittata massima per θ0=450
msm
smg
vR 8.63/8.9
)/25()2sin( 2
45
02
0max
00
====θ
θ
applicazione: lancio di gravi da aereo[bomber, lancio di materiale di soccorso, …]
yf = -1050m
vx0 = 115m/s
il proiettile è sempre sotto l’aereo!!!
−+=
+=
20
0
21 gttvyy
tvxx
yif
xif moto orizzontale: rettilineo ed uniforme
moto verticale: uniformemente accelerato
−=−⋅+=−
⋅+=
22
21
21001050
)/115(0
gtgttm
tsmx f
⇒ N.B. vx = vx0= 115m/svy= vy0-g t= -g t
vx è costantevy aumenta al passare del tempo
mssmxst
ssmmt
f 16796.14)/115(6.14
3.214/8.9
10502 22
2
=×==
=×
=
esercizi cinematica in due dimensioni
Moto circolare uniformeIpotesi: moto su una circonferenza convelocità costante in modulo
⇓r ho accelerazione centripeta
[v cambia di direzione]
r periodo di rivoluzione:
r velocità angolare:
in un periodo T:
rvar
2
=
vrT π2
=
sradttt
/12
12
∆∆
=−−
=θθθω
⇒⋅=⋅==v
rT πωωπθ 22
tsraddtd ωθθω =⇒= /
rv ω= rrva 2
2
ω==
00
3.572
3601 ≅===π
θ radrsse
0360222 ===== radrr
rsrsse ππθπ
radianters θ=
origine accelerazione centripeta[interpretazione geometrica]
rvar
2
=
tv
tvv
a if
∆∆
=∆−
=rrr
accelerazione media:
rr ∆θ∆r
O
P Qvi vfvi
vf
∆v∆θ
triangoli simili: vv
rr rr
∆=
∆
rv
tr
rv
tva
t
2
0→∆→
∆∆
=∆∆
=rr
r
[infatti r è sempre ⊥ a v]
punta verso il centro della circonferenza
[N.B. [a]=[v]2 /L=[L/T]2/L=L/T2 ]
origine accelerazione centripeta
rvar
2
=
xp
yp
jyixr pp
rrr+=
θ
θ
sin
cos
ry
rx
p
p
=
=
jrx
viry
v
jviv
jvivv
pp
yx
rr
rr
rrr
)()(
)cos()sin(
+−=
+−=
+=
θθ
jrvi
rv
jvrviv
rv
jdt
dxrvi
dtdy
rv
dtvda
xy
pp
rr
rr
rr
rr
)sin()cos(
)()(
)()(
22
θθ −+−=
+−=
+−=
=
θθθφ
θθ
tgaa
tg
rv
rvaaa
x
y
yx
===
=+=+=
cossin
sincos2
222
22
⇒ θ = φ ⇒ a è diretta come r !!
applicazione: g-LOC[g-induced loss of consciousness]
aereo che compie il cerchio della morte:
il corpo del pilota subisce una accelerazione centripetacon la testa rivolta versoil centro di curvatura
4cala la pressione sanguigna al cervello4 perdita funzioni cerebrali
gaga
gga
c
c
c
44
32
>=
−= → pesantezza→ perdita percezione colori /
si restringe il campo visivo→ cessa la visione / perdita di conoscenza
esempio: qual è l’accelerazione centripeta a cui è sottopostoun pilota di F-22 che vola a velocità di 694 m/spercorrendo un arco di cerchio di raggio di curvatura r = 5.8 km ?
sebbene la velocità scalare sia costante, esiste accelerazione centripeta causata da traiettoria circolare.
gsmmsm
rvac 5.8/0.83
)108.5()/649( 2
3
22
====
il pilota cade incosciente prima di avvertire il segnale di allarme !!!
Traiettoria curva arbitraria[velocità variabile in direzione e modulo]
traiettoria
at
ar
a
approssimo la curva con archi di circonferenza:at
ara
tr aaa rrr+=
dtvd
at
rr
=accelerazione tangenziale:dovuta a variazione del modulo della velocità
accelerazione radiale [o centripeta]:dovuta a variazione della direzione della velocitàr
var
2
=r
22tr aaa +=
r
N.B. moto circolare uniforme [v costante]:at = 0 sempre; ho solo ar
Ordini di grandezzavelocità
luce nel vuoto ………………. 300 000 km/s = 3 108 m/ssuono (in aria) ………………............... ………. 330 m/s
(in acqua) ………………………………1493 m/s
aereo (record NASA) ………............7 vsuono ≈ 2310 m/saereo di linea ……………….......... 800 km/h = 222 m/sauto in città ………………………… 30 km/h = 8.3 m/sa piedi ………………………………………………... 2 m/s
paracadutista ……………………….50 km/h = 65 m/s (caduta libera)cavallo al galoppo ………………..250 m/min = 4.2 m/spalla da baseball…………………………………… 40 m/s