Números enteros Números enteros 9 de junio de 2022 1 NÚMEROS ENTEROS 1. De los números naturales a los enteros 2. Representación de los números enteros 3. Valor absoluto y ordenación de números enteros 4. Suma de números enteros 5. Opuesto de un número entero 6. Resta de números enteros 7. Operaciones con paréntesis 8. Multiplicación de números enteros 9. División exacta de números enteros 10. Propiedades de las operaciones de números enteros 11. Operaciones combinadas 12. Resolución de problemas AMPLIACIÓN Index
presentación sobre los numeros enteros y sus operaciones
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Números enterosNúmeros enteros
12 de abril de 2023
1 NÚMEROS ENTEROS
1. De los números naturales a los enteros
2. Representación de los números enteros
3. Valor absoluto y ordenación de números enteros
4. Suma de números enteros
5. Opuesto de un número entero
6. Resta de números enteros
7. Operaciones con paréntesis
8. Multiplicación de números enteros
9. División exacta de números enteros
10. Propiedades de las operaciones de números enteros
11. Operaciones combinadas
12. Resolución de problemas
AMPLIACIÓN
Index
Números enterosNúmeros enteros
12 de abril de 2023
2 NÚMEROS ENTEROS(Ampliación)
SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
OPERACIONES CON PARÉNTESIS
RESUMEN – EJERCICIOS RESUELTOS
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE ENTEROS
OPERACIONES COMBINADAS
POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS
RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
OPERACIONES COMBINADAS (2)
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Buena temperatura: + 20 ºC
+20
+5000
+7
– 7– 5000
– 20
0
Mucho frío: – 20 ºCSoy rico: tengo +5000 euros
Debo dinero: “tengo” -5000 euros
Los números naturales se consideranenteros positivos.
Por cada entero positivo hay un entero negativo. Van precedidos por un signo menos (–)
De los números naturales a los enteros
Los números enteros están formados por:enteros positivos,enteros negativos
y el cero
Los juegos olímpicos empezaron en el año 776 antes de Cristo
– 776
– 250
El submarino navega a 250 m bajo el nivel del mar
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1º. Se traza una recta y se elige un punto para representar el 0.
2º. A la derecha del 0 se representa el +1.
3º. La distancia entre 0 y +1 será la que exista entre cada dos enteros consecutivos.
4º. A la derecha del 0 se colocan los enteros positivos.
4º. A la izquierda del 0 se colocan los enteros negativos.
PositivosNegativos
Es útil representar los números enteros en la recta. Se siguen los pasos:
+1 +2 +3 +4 +5 +6–1 0–2–3–4–5
Representación de los números enteros
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Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que sigue al signo. Se indica escribiéndolo entre barras
Es evidente que +2 y –2 están asociados al número natural 2. Por eso:
22 2
4 4 4
Los números +2 y –2 están a la misma distancia del cero:
+1 +2 +3 +4 +5 +6–1 0–2–3–4–5 –2 +2
El número natural 2 se llama valor absoluto de + 2 y –2.
Se indica así:
Otro ejemplo:
Valor absoluto de un número entero
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Ordenación:
Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo
Se indica escribiéndolo entre barras. Así:
Gráficamente, un número entero es mayor que otro cuando en la recta numérica está a la derecha.
,7 7 7 7
0 +1 +3+2 +4 +6–5 +5–4 –3 –2 –1
Más grandesMás pequeños
Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier entero negativo.
El cero es mayor que cualquier negativo y menor que cualquier positivo.
Dados dos números enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
13 7 pues , 137 Luego Dados dos números enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.
13 7 pues ,137 Así,
Valor absoluto y ordenación de los números enteros
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0 +1 +3+2 +4 +6+5–2 –1
(+2) + (+3) = +5
Para sumar dos números enteros del mismo signo:
1.º Se suman sus valores absolutos.
(–2) + (–3) = –5
2.º Al resultado se añade el signo que tienen.
+2 +3
–4 –3 –1–2 0 +2+1–6 –5
–2–3
(+6) + (+12) = +18(+4) + (+21) = +25
(–4) + (–11) = –15(–17) + (–31) = –48
Suma de enteros del mismo signo
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(+12) + (–9) = +3
Para sumar dos números enteros de distinto signo:1.º Se restan sus valores absolutos, el menor del mayor.
(+18) + (–19) = –1
2.º Al resultado se le pone el signo del sumando de mayor valor absoluto.
Teresa y Miguel hacen cuentas ... Nos han dado12 euros
Y hemos gastado9 eurosLes quedan 3 euros
Carola y Pablo también hacen sus cuentas ...
Nos han dado18 euros Y hemos gastado
19 euros
Deben 1 euro
¿Les queda o deben dinero?
(Observa que el resultado es negativo, como el número de mayor valor absoluto).
Suma de números enteros de distinto signo
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Para sumar varios números enteros:1.º Se suman separadamente los positivos y los negativos.2.º Se suman el número positivo y el negativo obtenido.
Cuando un paréntesis tiene delante el signo menos (–) se puede operar de dos maneras:1º. Haciendo las operaciones del paréntesis.2º. Suprimiendo el paréntesis cambiando el signo a los números que contiene.
9 – (12 + 3) = 9 – 15 = –6
9 – (12 + 3)
Vamos a calcular:
1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis:
Un signo + delante de un paréntesis no cambia el signo de ningún número de él.
Operar con paréntesis
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Cada vez que va al cine gasta 6 euros
(a) (–7) ·(+ 9) = – 63
El producto de dos números enteros de distinto signo es un número entero negativo, cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.
Ejemplo:
(– 6) · (+ 3) = – 18
Otros ejemplos:
– 6
(c) (– 13) · (+4)= –52(b) (+12) · (–12) = –144
Beatriz gasta 6 euros cada vez que va al cine. ¿Cuánto dinero ha gastado después de haber ido tres veces?
Va tres veces + 3
Gasta: 3 · 6 euros = 18 euros – 18
Gráficamente:
0 +6 +12–24 –18 –12 –6
–6–6 –6
Multiplicación de enteros de distinto signo
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(a) (+5) · (– 1) = –55
(+7) · (+ 9) = +(7·9) = +63
Otros ejemplos:
Hay cuatro posibilidades:
Para multiplicar números enteros hay que tener en cuenta el signo que lleven.
(+7) · (– 9) = –(7·9) = –63
(–7) · (+ 9) = –(7·9) = –63
(–7) · (– 9) = +(7·9) = +63
Regla de los signos:
+ · + = +
+ · – = –
– · + = –
– · – = +
(b) (–5) ·(+7) = –35 (c) (–3) · (–9) = 27
1º. Se halla el producto de sus valores absolutos.Observa:
2º. El resultado es positivo(+) si los factores son del mismo signo. El resultado es negativo (–) si tienen distinto signo.
Multiplicación de números enteros
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Para multiplicar varios números enteros se agrupan de dos en dos en elorden que se prefiera y se realizan las multiplicaciones por parejas.
Observa que en todos los casoshay los mismos números y operaciones.
Cambia la situación de los paréntesis
= –12 + (–12) + (–9) = –33
= (–15) · (+4) + (–9) = –60 + (–9) = –69
= –12 + (–3) · (–5) = –12 + 15 = 3
= –15 · (–5) = 75
Operaciones combinadas. Resumen
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Problema: Laura, Pedro y María se reúnen para organizar sus cuentas. Entre Laura y Pedro tienen 37 euros. Ente Pedro y María tienen 58 euros. Entre Laura y María deben 69 euros. ¿Cuánto dinero tiene o debe cada uno?
Observando los datos vemos que Laura, Pedro y María, aparecen dos veces cada uno.
Pensar un problema más fácilPrimero:
Comprobación.Segundo:
Por tanto, entre los tres tienen 13 euros (la mitad de 26).
Laura y Pedro: + 37Pedro y María: + 58Laura y María: – 69
Luego el doble de lo que tienen es la suma total: 37 + 58 – 69 = 26
Laura tendrá 13 – 58 (lo que tienen Pedro y María): 13 – 58 = – 45
Laura y Pedro: –45 + 82 = 37. Pedro y María: 82 – 24 = 58.
Laura y María: –45 + (–24) = – 69
Como entre Laura y María “tienen” –69, María tendrá: –69 –(–45) = –24
Como entre Pedro y María tienen 58, Pedro tendrá: 58 – (–24) = 82
Y entre los tres: 37 + 58 + (–24) = 13.
Organizados los datos y hechos los tanteos:
Resolución de problemas (I)
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Tantear para comprender mejorPrimero:
Problema 1: La suma de dos números enteros es igual a –19 y su producto es igual a 60. ¿Cuáles son esos números?
Hacer una tablaSegundo:
Comprobación.Tercero:
La suma es: –4 + (–15) = –19.
Que son las condiciones requeridas.
No puede ser, pues su producto debe ser 60.
¿Por qué no valdrían dos números positivos?
Entonces, su producto sería: –29 · 10 = –290.Si los números suman – 19, uno podría ser –29 y el otro 10.
Problema 2: En un depósito hay 800 litros de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 litros por minuto, y por la parte inferior, por otro tubo, salen 30 litros por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento?
Hay 800 l, entran 25 y salen 30. ¿En 15 min.?
Hacer un dibujo explicativo.Segundo:+25 durante 15 min.
-30Hacer los cálculos.Tercero:
Comprobación.Cuarto:Por cada minuto que pasa, el depósito pierde 5 litros: (25 – 30 = –5)En 15 minutos: 15 · (– 5) = –75.Quedan entonces: 800 – 75 = 725.
Hay 800 l
Resolución de problemas (III)
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PROBLEMA La suma de los valores absolutos de dos números enteros es igual a 84 y la suma de los números es igual a 36. ¿Cuáles son los números?
TANTEA
No puede ser, los resultados no coinciden. Suma de los números: 4 + (–7) = –3.
Si los números fueran 4 y –7, tendríamos que:
Suma de valores absolutos: 117474
ELIGE UNA ESTRATEGIA
Por ser su suma igual a 36, el número de mayor valor absoluto es positivo
Representamos la situación sobre la recta numérica:
0
– +Un número negativo Sumando positivo
Suma de valores absolutos: 8436 Suman 36
36
Luego 84 – 36 es igual al doble del valor absoluto del sumando negativo.
RESUELVE EL PROBLEMA 84 – 36 = 48; la mitad es 24.
24 será el valor absoluto del sumando negativo. Por tanto será – 24. Y el otro número, 24 + 36 = 60
COMPRUEBA
– 24 + 60 = 36846024 60 42
Correcto.
Técnicas y estrategias
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30 SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS:
1) Cuando los números enteros tienen el MISMO SIGNO
SE SUMAN y el resultado queda con elMISMO SIGNO que tienen los números que sumé.
EJEMPLO:
1 + 3 + 5 + 8 = 17 POSITIVOS POSITIVO
-1 - 3 - 5 - 8 = - 17 NEGATIVOS NEGATIVO
2) Cuando los números tienen DISTINTO SIGNO
resto al mayor (en valor absoluto) el menor ( en valor absoluto) y el resultado me da con el signo del mayor (en valor absoluto).
EJEMPLO:
5 + 3 = -2 ME DA NEGATIVO PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO
5 - 3 = 2 ME DA POSITIVO PORQUE EL MAYOR TIENE ESE SIGNO
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31 OPERACIONES CON PARÉNTESIS
3) Si delante de un paréntesis, corchete o llave NO HAY NADA entonces hay un signo positivo que no se escribe.
EJEMPLO:
HAY UN SIGNO POSITIVO
4) Cuando delante de un paréntesis, corchete o llave hay : a) un SIGNO NEGATIVO, se saca el paréntesis, corchete o llave y SE CAMBIAN todos los signos de los números que están adentro.
EJEMPLO: - ( 4 - 3 ) = - 4 + 3 SE CAMBIAN LOS SIGNOS
b) un SIGNO POSITIVO, se saca el paréntesis, corchete o llave y se NO SE CAMBIAN los signos de los números que están adentro.
EJEMPLO: ( 4 - 3 ) = 4 - 3 NO SE CAMBIAN LOS SIGNOS
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32 RESUMIENDO:
1) Si tengo varios números a sumar algunos positivos, otros negativos:
-7 + 4 - 2 + 8 - 3 - 5 + 1
1er PASO: Sumo los positivos ( 4 + 8 + 1 ) = 13
2º PASO: Sumo los negativos anteponiendo el signo menos al paréntesis - ( 7 + 2 + 3 + 5 ) = - 17
Busco la diferencia entre los dos y pongo el signo del mayor
13 - 17 = - 4
La diferencia entre 17 y 13 es de 4 ycomo el mayor, que es el 17, tiene signo negativo, el resultado me da negativo.
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33 EJERCICIO RESUELTO 1
a) Eliminando paréntesis, corchetes y llaves:
853514952757
Eliminar paréntesis: Si delante del paréntesis hay un signo negativo: saco el paréntesis y cambio los signos de todos los números de adentro, si es positivo los dejo igual.
853514952757
Eliminar corchetes: procedo igual que con los paréntesis:
853514952757
Eliminar llaves: proceso igual que con paréntesis
853514952757
Sumo los positivos por un lado y los negativos por otro anteponiendo el signo negativo a éstos últimos
4327814275753595
Hallo la diferencia entre ambos y pongo al resultado el signo del mayor
164327
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34 EJERCICIO RESUELTO 2
b) Resolviendo lo que hay dentro de los paréntesis corchetes y llaves:
853514952757
Resuelvo lo que está dentro de los paréntesis: 853995957
Eliminar los paréntesis: Si delante del paréntesis hay un signo negativo saco el paréntesis y cambio los signos de todos los números de adentro, si es positivo los dejo igual. 853995957
Eliminar corchetes: procedo igual que con los paréntesis 8535147
Eliminar llaves: Procedo igual que con paréntesis
Resuelvo lo que está dentro de las llaves
Resuelvo lo que está dentro de los corchetes 8535147
88521
88521
Sumo los positivos por un lado y los negativos por otro anteponiendo el signo negativos a éstos últimos 291382185
Hallo la diferencia entre ambos y pongo al resultado el signo del mayor162913
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35 MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES DE ENTEROS
1) Si multiplico o divido números enteros tengo que atenerme a la siguiente regla de signos:
2) Si detrás de un número hay un número negativo entre paréntesis, quiere decir que entre los dos hay un signo de multiplicación que puede no escribirse.
EJEMPLO:
HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION
3) Cuando dos paréntesis, corchetes o llaves están juntos uno cerrado y el otro abierto y no hay ningún signo entre ellos , hay un signo de multiplicación que puede no escribirse.
EJEMPLO: HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION
HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION
HAY UN SIGNO DE MULTIPLICACION
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36 OPERACIONES COMBINADAS
Para resolver ejercicios combinados con suma o resta y multiplicación o división, debo primero separar en términos.
Los signos que separan términos son los de suma o resta y se resuelve primero lo que está en cada término. Por ejemplo:
Si el ejercicio combinado tiene paréntesis, corchetes y/o llaves, se procede así:
Separo en términos lo que está dentro de los paréntesis y lo resuelvo:
952:4474
31252:4474
2
3:9
1
2652:4474
termterm
Separo los términos que están dentro de los corchetes y resuelvo:
43474
452474
2
)95
1
2:4474
termterm
Separo los términos que están dentro de las llaves y resuelvo
14417228
17228
2
434
1
74
termterm
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37 POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (I)
Cuando un número (base) está elevado a otro número (exponente) significa que hay que multiplicar la base tantas veces como indique el exponente.
1) Propiedad de potencias de igual base:
a) Cuando se MULTIPLICAN potencias de igual baseMULTIPLICAN potencias de igual base se SUMAN los exponentes.
b) Cuando se DIVIDEN potencias de igual baseDIVIDEN potencias de igual base se RESTAN los exponentes.
EJEMPLOS:
2) Si una potencia está elevada a otro número, se MULTIPLICAN los exponentes.
EJEMPLO:
Números enterosNúmeros enteros
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38 POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (II)
4) Las potencias con exponente impar tienen como resultado un número cuyo
signo es igual al de la base.
EJEMPLO:
5) Propiedades:
a) La potencia es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACIÓN y a la DIVISIÓN
EJEMPLO:
3636
946
32322
222
b) La potencia NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA.
EJEMPLO:
Números enterosNúmeros enteros
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39 RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (I)
Para sacar la raíz de un cierto número (radicando), buscamos el número que elevado al índice me de por resultado el radicando.
PROPIEDADES DE LA RADICACION:
1. Es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACIÓN y a la DIVISIÓN.
EJEMPLOS:
En la multiplicación En la división
2. NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA.
EJEMPLOS:
En la suma En la resta
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40 RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (II)
3.Si el índice es PAR entonces el radicado TIENE que ser POSITIVO y la raíz tiene dos resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel usamos el resultado positivo.
EJEMPLO:
4. Si el índice es IMPAR entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando.
EJEMPLO:
5. Si tengo una raíz de raíz se multiplican los índices.
EJEMPLO:
Números enterosNúmeros enteros
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41 EJERCICIO RESUELTO 3
Ejercicio combinado (suma-resta, multiplicación-división y potencia–raíz)
Separo en términos los que está dentro de los paréntesis:
Resuelvo primero raíces y potencias dentro de los paréntesis:
2
9:3
1
2853:81974
223222
termterm
2
3:27
1
4253:81974 222
termterm
Resuelvo multiplicaciones y divisiones dentro de los paréntesis:
9853:81974 222
Resuelvo sumas y restas dentro de los paréntesis: 1753:81974 222
Separo en términos lo que está dentro de los corchetes y lo resuelvo en el mismo orden que con los paréntesis:
424974
4251974
17259:9974
2
2
2
Separo en términos lo que está dentro de las llaves y lo resuelvo: