Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 1/23 SEÑALES Y SISTEMAS I Jenny Alexandra Cifuentes Quintero UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 22 de noviembre de 2009
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 1/23
SEÑALES Y SISTEMAS I
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA22 de noviembre de 2009
TransformadaZDefinición
Propiedades
TransformadaZ de funcionescomunes
Aplicaciones
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Definición
La transformada Z da una descripción en el dominio de lafrecuencia para sistemas discretos. Así
f [n]!"F (z)
La transformada Z se define como
Z{f [n]} = F (z) =!X
n=0
f [n]z"n
Z"1{F (z)} = f [n] =1
2!j
IF (z)zk"1dz
Donde Z{f [n]} es la transformada de Laplace y Z"1{F (z)} es latransformada inversa.
TransformadaZ
PropiedadesLinealidadCorrimiento en tiempoDiferencias negativasDiferencias positivasMultiplicación por an entiempo discreto
Multiplicación por e!naT
en tiempo discretoTeorema del valor inicialTeorema del valor final
TransformadaZ de funcionescomunes
Aplicaciones
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Linealidad
La propiedad de linealidad se satisface si contando con
f1[n], f2[n], ..., fn[n]
Con transformada Z
F1(z), F2(z), ..., Fn(z) yc1, c2, ..., cn
son constantes arbitrarias, se satisface
c1f1[n] + c2f2[n] + ... + cnfn[n] !" c1F1(z) + c2F2(z) + ... + cnFn(z)
Proof 1 Aplicamos la definición para la transformada Z
Z{c1f1[n] + c2f2[n] + ... + cnfn[n]} ="X
n=0
(c1f1[n] + c2f2[n] + ... + cnfn[n])z!n
= c1
"X
n=0
f1[n]z!n + c2
"X
n=0
f2[n]z!n + ... + cn
"X
n=0
fn[n]z!n
= c1F1(z) + c2F2(z) + ... + cnFn(z)
TransformadaZ
PropiedadesLinealidadCorrimiento en tiempoDiferencias negativasDiferencias positivasMultiplicación por an entiempo discreto
Multiplicación por e!naT
en tiempo discretoTeorema del valor inicialTeorema del valor final
TransformadaZ de funcionescomunes
Aplicaciones
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Corrimiento en tiempo
Si hay un corrimiento en tiempo esto corresponde a una multiplicación porz"m en el dominio de la frecuencia.
f [n ! m]µ(n ! m) "# z"mF (z)
Proof 2 Aplicamos la definición para la transformada Z
Z{f [n ! m]µ[n ! m]} =!X
n=m
f [n ! m]z"n
Sustituimos k = n ! m
Z{f(t ! a)µ(t ! a)} =!X
k=0
f [k]z"(k+m)
Z{f(t ! a)µ(t ! a)} = z"m!X
k=0
f [k]z"k
Z{f(t ! a)µ(t ! a)} = z"mF [z]
TransformadaZ
PropiedadesLinealidadCorrimiento en tiempoDiferencias negativasDiferencias positivasMultiplicación por an entiempo discreto
Multiplicación por e!naT
en tiempo discretoTeorema del valor inicialTeorema del valor final
TransformadaZ de funcionescomunes
Aplicaciones
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Diferencias negativas
f [n # m] !" z!mF (z) +m!1X
n=0
f [n # m]z!n
Proof 3 Aplicamos la definición para la transformada Z
Z{f [n # m]} ="X
n=0
f [n # m]z!n
Sustituimos k = n # m
Z{f [n # m]} ="X
k=!m
f [k]z!(k+m)
Z{f [n # m]} ="X
k=!m
f [k]z!kz!m
Z{f [n # m]} =z!m"X
k=!m
f [k]z!k
Z{f [n # m]} =z!m
2
4!1X
k=!m
f [k]z!k +"X
k=0
f [k]z!k
3
5
TransformadaZ
PropiedadesLinealidadCorrimiento en tiempoDiferencias negativasDiferencias positivasMultiplicación por an entiempo discreto
Multiplicación por e!naT
en tiempo discretoTeorema del valor inicialTeorema del valor final
TransformadaZ de funcionescomunes
Aplicaciones
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Diferencias negativas
Z{f [n # m]} =z!m
2
4!1X
k=!m
f [k]z!k + F (z)
3
5
Como k = n # m =" n = k + m
Z{f [n # m]} =z!m
"m!1X
n=0
f [n # m]zm!n + F (z)
#
Z{f [n # m]} =m!1X
n=0
f [n # m]z!n + z!m[F (z)]
Con m = 1
Z{f [n # 1]}{f [n # 1]} = z!1F (z) + f [#1]
Con m = 2
Z{f [n # 2]} = z!2F (z) + f [#2] + f [#1]z!1
TransformadaZ
PropiedadesLinealidadCorrimiento en tiempoDiferencias negativasDiferencias positivasMultiplicación por an entiempo discreto
Multiplicación por e!naT
en tiempo discretoTeorema del valor inicialTeorema del valor final
TransformadaZ de funcionescomunes
Aplicaciones
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Diferencias positivas
f [n + m] !" zmF (z) +!1X
n=!m
f [n + m]z!n
Proof 4 Aplicamos la definición para la transformada Z
Z{f [n + m]} ="X
n=0
f [n + m]z!n
Sustituimos k = n # m
Z{f [n + m]} ="X
k=m
f [k]z!(k!m)
Z{f [n + m]} ="X
k=m
f [k]z!kzm
Z{f [n + m]} =zm
" "X
k=0
f [k]z!k #m!1X
k=0
f [k]z!k
#
Z{f [n + m]} =zm
"F (z) #
m!1X
k=0
f [k]z!k
#
TransformadaZ
PropiedadesLinealidadCorrimiento en tiempoDiferencias negativasDiferencias positivasMultiplicación por an entiempo discreto
Multiplicación por e!naT
en tiempo discretoTeorema del valor inicialTeorema del valor final
TransformadaZ de funcionescomunes
Aplicaciones
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Diferencias positivas
Como k = n + m =# n = k ! m
Z{f [n + m]} =zm
2
4F (z) !"1X
n="m
f [n + m]z"(n+m)
3
5
Z{f [n + m]} =zm[F (z)] !"1X
n="m
f [n + m]z"n
Con m = 1
Z{f [n + 1]} = zF (z) ! zf [0]
Con m = 2
Z{f [n + 2]} = z2F (z) ! z2f [0] ! f [1]z
TransformadaZ
PropiedadesLinealidadCorrimiento en tiempoDiferencias negativasDiferencias positivasMultiplicación por an entiempo discreto
Multiplicación por e!naT
en tiempo discretoTeorema del valor inicialTeorema del valor final
TransformadaZ de funcionescomunes
Aplicaciones
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Multiplicación por an en tiempo discreto
anf [n] !" F!z
a
"
Proof 5 Aplicamos la definición de transformada Z
Z{anf [n]} =$#
k=0
anf [n]z#n
Z{anf [n]} =$#
k=0
1a#n
f [n]z#n
Z{anf [n]} =$#
k=0
f [n]!z
a
"#n
Z{anf [n]} = F!z
a
"
TransformadaZ
PropiedadesLinealidadCorrimiento en tiempoDiferencias negativasDiferencias positivasMultiplicación por an entiempo discreto
Multiplicación por e!naT
en tiempo discretoTeorema del valor inicialTeorema del valor final
TransformadaZ de funcionescomunes
Aplicaciones
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Multiplicación por e#naT en tiempo discreto
e#naT f [n] !" F$eaT z
%
Proof 6 Aplicamos la definición de transformada Z
Z{e#naT f [n]} =$#
k=0
e#naT f [n]z#n
Z{e#naT f [n]} =$#
k=0
f [n](eaT z)#n
Z{anf [n]} = F$eaT z
%
TransformadaZ
PropiedadesLinealidadCorrimiento en tiempoDiferencias negativasDiferencias positivasMultiplicación por an entiempo discreto
Multiplicación por e!naT
en tiempo discretoTeorema del valor inicialTeorema del valor final
TransformadaZ de funcionescomunes
Aplicaciones
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Teorema del valor inicial
f [0] = lımz#!
F (z)
Proof 7 Para todo n $ 1, si z % & entonces
z"n =1
zn!% 0
Bajo estas condiciones f [n]z"n !% 0. tomando el limite cuando z !% &en
F (z) =!X
n=0
f [n]z"n
entonces
lımz"#!
(F (z)) =!X
n=0
lımz"#!
„f [n]
1
zn
«
Solo existe valor cuando n=0
lımz"#!
(F (z)) = f(0)
TransformadaZ
PropiedadesLinealidadCorrimiento en tiempoDiferencias negativasDiferencias positivasMultiplicación por an entiempo discreto
Multiplicación por e!naT
en tiempo discretoTeorema del valor inicialTeorema del valor final
TransformadaZ de funcionescomunes
Aplicaciones
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Teorema del valor final
f [#] = lımz#1
(a $ 1)F (z)
Proof 8 Considere la transformada Z de la secuenciaf [n + 1] $ f [n]
Z{f [n + 1] $ f [n]} =!X
n=0
(f [n + 1] $ f [n])z"n
Z{f [n + 1] $ f [n]} = lımk"#!
kX
n=0
(f [n + 1] $ f [n])z"n
ComoZ{f [n + 1]} = zF (z) $ zf [0]
Sustituyendo
zF (z) $ zf(0) $ F (z) = lımk"#!
kX
n=0
(f [n + 1] $ f [n])z"n
TransformadaZ
PropiedadesLinealidadCorrimiento en tiempoDiferencias negativasDiferencias positivasMultiplicación por an entiempo discreto
Multiplicación por e!naT
en tiempo discretoTeorema del valor inicialTeorema del valor final
TransformadaZ de funcionescomunes
Aplicaciones
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Teorema del valor final
Tomando el limite cuando z #% 1 tenemos
lımz!#1
{(z # 1)F (z) # zf(0)} = lımz!#1
{ lımk!#"
kX
n=0
(f [n + 1] # f [n])z!n}
lımz!#1
{(z # 1)F (z) # zf(0)} = lımk!#"
{kX
n=0
lımz!#1
(f [n + 1] # f [n])z!n}
lımz!#1
(z # 1)F (z) # lımz!#1
zf(0) = lımk!#"
"kX
n=0
lımz!#1
{f [n + 1] # f [n]z!n}#
lımz!#1
(z # 1)F (z) # f(0) = lımk!#"
"kX
n=0
{f [n + 1] # f [n]}#
lımz!#1
(z ! 1)F (z) ! f(0) = lımk!#"
[f[1] + f[2] + ... + f[k + 1] ! f[0] ! f[1] ! ... ! f[k]]
lımz!#1
(z # 1)F (z) # f(0) = lımk!#"
[#f [0] + f [k + 1]]
lımz!#1
(z # 1)F (z) # f(0) = #f [0] + f [$]
lımz!#1
(z # 1)F (z) = f [$]
TransformadaZ
Propiedades
TransformadaZ de funcionescomunesSecuencia geométricaPaso unitario µ[n]Secuencia exponencial entiempo discretoCoseno y seno en tiempodiscretoFunción rampa
Aplicaciones
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Secuencia geométrica
La secuencia geométrica está definida como
f [n] =
&0 n < 0an n $ 0
De la definición de transformada Z
F (z) =$#
n=0
f [n]z#n
F (z) =$#
n=0
anz#n
F (z) =$#
n=0
(az#1)n
Esta sumatoria converge a1
1 # (az)#1=
z
z # a
TransformadaZ
Propiedades
TransformadaZ de funcionescomunesSecuencia geométricaPaso unitario µ[n]Secuencia exponencial entiempo discretoCoseno y seno en tiempodiscretoFunción rampa
Aplicaciones
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Paso unitario µ[n]
La secuencia geométrica está definida como
µ[n] =
&0 n < 01 n $ 0
De la definición de transformada Z
F (z) =$#
n=0
f [n]z#n
F (z) =$#
n=0
1z#n
F (z) =$#
n=0
(z#1)n
Esta sumatoria converge a1
1 # (z)#1=
z
z # 1
TransformadaZ
Propiedades
TransformadaZ de funcionescomunesSecuencia geométricaPaso unitario µ[n]Secuencia exponencial entiempo discretoCoseno y seno en tiempodiscretoFunción rampa
Aplicaciones
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Secuencia exponencial en tiempo discreto
f [n] = e#naT µ[n]
De la definición de transformada Z
F (z) =$#
n=0
f [n]z#n
F (z) =$#
n=0
e#naT z#n
F (z) =$#
n=0
(e#aT z#1)n
Esta sumatoria converge a1
1 # e#aT z#1=
z
z # e#aT
TransformadaZ
Propiedades
TransformadaZ de funcionescomunesSecuencia geométricaPaso unitario µ[n]Secuencia exponencial entiempo discretoCoseno y seno en tiempodiscretoFunción rampa
Aplicaciones
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Coseno y seno en tiempo discreto
Seaf1[n] = cos(naT )
yf2[n] = sin(naT )
Para derivar la transformada Z de f1[n] y de f2[n] se usa
e!naT =z
z # e!aT
Hallemos la transformada de
Z[ejnaT ] = Z[cos(naT ) + j sin(naT )] =z
z # ejaT
Z[cos(naT ) + j sin(naT )] =z
z # ejaT
z # e!jaT
z # e!jaT
Z[cos(naT ) + j sin(naT )] =z2 # ze!jaT
z2 # zejaT # ze!jaT + 1
Z[cos(naT ) + j sin(naT )] =z2 # ze!jaT
z2 # 2z“
ejaT +e!jaT
2
”+ 1
Z[cos(naT ) + j sin(naT )] =z2 # z(cos(aT ) # j sin(aT ))
z2 # 2z cos aT + 1
TransformadaZ
Propiedades
TransformadaZ de funcionescomunesSecuencia geométricaPaso unitario µ[n]Secuencia exponencial entiempo discretoCoseno y seno en tiempodiscretoFunción rampa
Aplicaciones
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Coseno y seno en tiempo discreto
Finalmente
Z[cos(naT ) + j sin(naT )] =z2 ! z cos(aT ) + j sin(aT ))
z2 ! 2z cos aT + 1
La parte real corresponde a la transformada del coseno y la parteimaginaria a la del seno
cos naT =z2 ! z cos aT
z2 ! 2z cos aT + 1
sin naT =z sin aT
z2 ! 2z cos aT + 1
TransformadaZ
Propiedades
TransformadaZ de funcionescomunesSecuencia geométricaPaso unitario µ[n]Secuencia exponencial entiempo discretoCoseno y seno en tiempodiscretoFunción rampa
Aplicaciones
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Función rampa
f [n] = nµ[n]
Como ya conocemos el resultado del paso unitario
Zµ(n) =z
z ! 1=
!X
n=0
z"n
Derivamos a ambos lados con respecto a z
d
dz
„z
z ! 1
«=
d
dz
!X
n=0
z"n
!
!1
(z ! 1)2=
!X
n=0
!nz"(n+1)
Finalmente de esta expresión tenemos!X
n=0
nz"n =z
(z ! 1)2
TransformadaZ
Propiedades
TransformadaZ de funcionescomunes
AplicacionesSolución de ecuaciones dediferenciasEjercicios
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Solución de ecuaciones de diferencias
Resolver la ecuación de diferencias
y[k + 2] + 3y[k + 1] + 2y[k] = 5µ[k]
Con condiciones iniciales y(0) = #1 y y(1) = 2! Aplicamos la transformada Z a cada término de la ecuación
Z{y[k + 2] + 3y[k + 1] + 2y[k]} = Z{5µ[k]}
[z2Y (z) # z2y(0) # zy(1)] + 3[zY (z) # zy(0)] + 2Y (z) = 5z
z # 1
Y (z)(z2 + 3z + 2) =5z
z # 1+ z2y(0) + zy(1) + 3zy(0)
Y (z)(z2 + 3z + 2) =5z
z # 1# z2 + 2z # 3z
Y (z)(z2 + 3z + 2) =5z
z # 1# z2 # z
Y (z)(z2 + 3z + 2) =5z # z3 + z2 # z2 + z
z # 1
Y (z) =#z3 + 6z
(z # 1)(z2 + 3z + 2)
TransformadaZ
Propiedades
TransformadaZ de funcionescomunes
AplicacionesSolución de ecuaciones dediferenciasEjercicios
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Solución de ecuaciones de diferencias
! Hallamos la expresión Y (z)z
Y (z)
z=
#z2 + 6
(z # 1)(z2 + 3z + 2)
Y (z)
z=
#z2 + 6
(z # 1)(z + 1)(z + 2)
! Aplicamos fracciones parciales
Y (z)
z=
A
z # 1+
B
z + 1+
C
z + 2
A = (z # 1)#z2 + 6
(z # 1)(z + 1)(z + 2)
˛˛z=1
=#z2 + 6
(z + 1)(z + 2)
˛˛z=1
=5
6
B = (z + 1)#z2 + 6
(z # 1)(z + 1)(z + 2)
˛˛z=!1
=#z2 + 6
(z # 1)(z + 2)
˛˛z=!1
= #5
2
C = (z + 2)#z2 + 6
(z # 1)(z + 1)(z + 2)
˛˛z=!2
=#z2 + 6
(z # 1)(z + 1)
˛˛z=!2
=2
3
TransformadaZ
Propiedades
TransformadaZ de funcionescomunes
AplicacionesSolución de ecuaciones dediferenciasEjercicios
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Solución de ecuaciones de diferencias
! Construimos la expansión
Y (z)
z=
56
z # 1#
52
z + 1+
23
z + 2
Y (z) =56 z
z # 1#
52 z
z + 1+
23 z
z + 2
! Aplicamos transformada Z inversa
y[n] = Z!1Y (z) =5
6µ[n] #
5
2(#1)k +
2
3(#2)k
TransformadaZ
Propiedades
TransformadaZ de funcionescomunes
AplicacionesSolución de ecuaciones dediferenciasEjercicios
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Ejercicios
Halle la transformada inversa de1.
F (z) =z3
(z # 0,5)(z # 0,75)(z # 1)2.
F (z) =z2
(z # 1)(z # 0,75)3.
F (z) =12z
(z + 1)(z # 1)2