PROBLEMAS DE APLICACIÓN SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS 1
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PROBLEMAS DE APLICACIÓN SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS
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Las márgenes superior e inferior de una páginason ambas 1.5 cm y las márgenes laterales sonde 1 cm cada una. Si el área del materialimpreso por página es fijo e igual a
¿cuáles deben ser las dimensiones de lapágina de modo que la cantidad de papel aemplear fuera mínima?
PROBLEMA 1
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PASO1 Y PASO 2 (GRÁFICA Y VARIABLES QUE INTERVIENEN)
X= largo de la página.Y= ancho de la página.A= área de la página buscada.
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Por lo tanto ……… (1)
Como el área impresa es
Entonces despejando “y” de esta ecuación, y
tenemos:
…………….. (2)
Reemplazando (2) en (1) nos queda:
PASO 3 Y PASO 4: ÁREA A MINIMIZAR EXPRESADA EN UNA SÓLA VARIABLE.
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Para hallar el mínimo debemos derivar a A con respecto a x; así:
A’ =
Los valores críticos de A se obtienen cuando A’=0 o cuando A’
no existe; es decir, cuando:
Ó
Ó
De estos valores descartamos a (una
dimensión negativa) y (hace que no exista el área).
PASO 5: HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS 5
PASO 6:DECIDIR SI EL MÍNIMO HALLADO TIENE LUGAR EN PROBLEMA
HUMBERTO AGUDELO ZAPATA
Para comprobar que es un mínimo basta hallar
A’’ y comprobar que A’’ ( ) > 0.
Realizando el proceso se tiene que la A’’ y
efectivamente si se reemplaza A’’, A’’> 0, por lo
tanto las dimensiones de la hoja deben ser:
) cm y
cm
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PROBLEMA 2
Se quiere construir un envase cilíndrico de basecircular cuyo volumen sea 125 cm3. Hallar lasdimensiones que debe tener para que la cantidadde lámina empleada (área total) sea mínima.
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PASO1 Y PASO 2 (GRÁFICA Y VARIABLES QUE INTERVIENEN)
r = radio de los círculos
h= altura del cilindro
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2πr
h
PASO 3 Y PASO 4: ÁREA A MINIMIZAR EXPRESADA EN UNA SÓLA VARIABLE.
El área a minimizar en este caso, es elárea de la lámina que se va a gastar,las dos tapas (área de dos círculos) yel área que envuelve al cilindro (unrectángulo de altura h y de largo .
A=
Sabemos que el volumen de cilindro de tener 125 cm3
Y la ecuación de volumen de un cilindro es
Por lo tanto,
ÁREA A MINIMIZAR
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Para hallar la menor cantidad de material empleado derivamos a A con respecto a r:
Los valores críticos de A se obtienen cuando A’=0 o cuando A’ no existe; es decir cuando:
Ó
De estos valores críticos descartamos de una vez a
(no existen radios =0).
PASO 5: HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS 10
Finalmente comprobamos que es un valor
mínimo calculando A’’ y verificando que A’’
Calculando la A’’ se tiene Este valor dadas las condiciones será positivo.
El valor de h lo obtenemos reemplazando el valor de r en la ecuación de volumen de un cilindro
Luego las dimensiones del cilindro
deben ser :
cm cm
PASO 6:DECIDIR SI EL MÍNIMO HALLADO TIENE LUGAR EN PROBLEMA
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PROBLEMA 3
Hallar las dimensiones de un cono circularrecto de volumen mínimo que se puedecircunscribir en una esfera de 8 cm de radio.
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PASO1 Y PASO 2 (GRÁFICA Y VARIABLES QUE INTERVIENEN)
Como los triángulos rectángulos AEDson semejantes , entonces podemosestablecer proporcionalidad entre suslados correspondientes; así:
1
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PASO 3 Y PASO 4: VOLUMEN A MINIMIZAR EXPRESADA EN UNA SÓLA VARIABLE.
Continuación… Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación 1
Factorizando el miembro derecho
Simplificando
Ahora bien, el volumen de un cono es:
2
Donde34
5
Sustituyendo y en 4 5 36
Sustituyendo en 2 6
Esta es la función de volumen a minimizar7
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PASO 5: HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS
Derivando el volumen con respecto a “y” tenemos:7
Resolviendo operaciones
Reduciendo términos en el numerador
8
Resolviendo operaciones
Factorizando el numerador
Continúa
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Los valores críticos de A se obtienen cuando A’=0 o cuando A’ no existe; es decir cuando:
ó
Luego los valores críticos son:
Analizando estos valores encontramos que y =-8 y y =8 deben descartarse (y =-8 por ser negativo y y = 8 es un absurdo dentro del contexto del problema).
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PASO 6:DECIDIR SI EL MÍNIMO HALLADO TIENE LUGAR EN PROBLEMA
Hallando la segunda derivada de v podemos comprobar que y = 24 es un valor mínimo.
Obsérvese que se sustituimos y=24 en v’’ el resultado será v’’> 0
Finalmente, tomando como valor y =24 , encontramos que:
HUMBERTO AGUDELO ZAPATA
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PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS SEGUNDA PARTE
PROBLEMA 1 Una caja rectangular de base cuadrada se construye de tal manera queel área de sus seis caras es . ¿Cuáles son las dimensiones de lacaja que hacen que su volumen Sea máximo?.
PROBLEMA 2
PROBLEMA 5
PROBLEMA 4
PROBLEMA 3
Un cono circular recto tiene un volumen de . ¿cuáles deben ser sus dimensiones para que su área lateral sea mínima.
Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un semicírculo. Hallar sus dimensiones cuando el perímetro es de y el área es la mayor posible.
Hallar las dimensiones del cilindro de mayor área lateral que se puede Inscribir en una esfera de radio .
Un terreno rectangular va ha ser cercado. El material que se necesitaPara para dos de sus lados paralelos cuesta $ 120 por cada metrolineal. Los otros dos lados paralelos serán cercados con un material quecuesta $ 200 por metro lineal. ¿Hallar las dimensiones del terreno demayor área posible que puede ser cercado con un costo de $ 18000?
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RESUELVA LOS EJERCICIOS SINO LOS HA REALIZADO, ES POR SU BIEN.
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