Matemática de 2do Año con Tu Profesor Virtual Kharla Mérida Factorización Los Trinomios Cuadrados Perfectos son expresiones matemáticas notables, presentes en diversos procesos de cálculo, y como parte de la representación de modelos matemáticos, con aplicación a infinidad de fenómenos reales e ideales, lo cual permite prever y mejorar procesos industriales, mecánicos, biológicos y tecnológicos en general. Debemos estudiar sus características, y métodos de descomposición, con el objetivo de aprenderlo y dominarlo. 1 Preparar nuestra mente y nuestro cuerpo en función de disfrutar el mundo al que pertenecemos retornando respeto y bienestar, es Ser Feliz. 7.3 Trinomios Cuadrados. Parte I Descripción 7 7ma Unidad Factorización
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Presentación de PowerPoint³n. Trinomios Cuadrados. Parte I.pdfMatemática de 2do Año con Tu Profesor Virtual Kharla Mérida Factorización Descomposición de Números en Factores
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Matemática de 2do Año con Tu Profesor Virtual
Kharla Mérida
Factorización
Los Trinomios Cuadrados Perfectos son expresiones matemáticas notables,
presentes en diversos procesos de cálculo, y como parte de la representación de modelos matemáticos, con aplicación a infinidad de fenómenos reales e ideales, lo cual permite prever y mejorar procesos industriales, mecánicos, biológicos y tecnológicos en general. Debemos estudiar sus características, y métodos de descomposición, con el objetivo de aprenderlo y dominarlo.
1
Preparar nuestra mente y nuestro cuerpo en función de disfrutar el mundo al que pertenecemos retornando respeto y bienestar, es Ser Feliz.
7.3 Trinomios Cuadrados.
Parte I
Descripción
7 7ma Unidad
Factorización
Matemática de 2do Año con Tu Profesor Virtual
Kharla Mérida
Factorización
Descomposición de Números en Factores Primos, Potenciación, Reglas de los Signos.
Trinomio Cuadrado Perfecto, Trinomio Cuadrado No Perfecto, Ejercicios.
FACTORIZACIÓN. Trinomio Cuadrado Perfecto. Cómo Reconocerlo y Cómo
Factorizarlo
FACTORIZACIÓN. Trinomio Cuadrado Perfecto. Ejercicio 1 y 2
FACTORIZACIÓN. Trinomio Cuadrado Perfecto. Ejercicio 3 y 4
FACTORIZACIÓN. Trinomio Cuadrados No Perfectos. Factorizaciones Enteras. Caso 1
FACTORIZACIÓN. Trinomio Cuadrados No Perfectos. Factorizaciones Enteras. Caso 2
FACTORIZACIÓN. Trinomio Cuadrados No Perfectos. Factorizaciones Enteras. Ejemplos
FACTORIZACIÓN. Trinomios Cuadrados. Ejercicio 1 y 2
FACTORIZACIÓN. Trinomios Cuadrados. Ejercicio 3 y 4
FACTORIZACIÓN. Trinomios Cuadrados. Ejercicio 5 y 6
FACTORIZACIÓN. Trinomios Cuadrados. Ejercicio 7 y 8
2
Se sugiere la visualización de los videos por parte de los estudiantes previo al encuentro, de tal manera que sean el punto de partida para desarrollar una dinámica participativa, en la que se use eficientemente el tiempo para fortalecer el Lenguaje Matemático y desarrollar destreza en las operaciones.
FACTORIZACIÓN. Trinomio Cuadrado Perfecto. Ejercicios 1 y 2
Observaciones: • Esta expresión tiene tres términos, es un
trinomio • El primer y segundo término son cuadrados
perfectos. Sus raíces son: 4xy3 y 9. • Del doble producto de las raíces resulta el
tercer termino del trinomio.
Nota: No importa el orden en que se encuentren los términos siempre que se cumplan
las tres condiciones.
Verifica si se cumplen las condiciones para saber si se trata de un trinomio cuadrado perfecto. Y comparte tus observaciones a través de un comentario.
2 6 316x y + 81 72xyFactorización:
2 6 316x y + 81 72xy
1 2 3
2 6 316x y + 81 72xy
2·4xy3·9
Para factorizar
Colocamos entre paréntesis las raíces de los cuadrados perfectos separamos con el signo del doble producto, que es negativo, y elevamos al cuadrado
4xy 93
2
4xy 93
Observaciones: • Esta expresión tiene tres términos, es un
trinomio. • El segundo y tercer término son cuadrados
perfectos, sus raíces son 5m3 y 6n4 respectivamente.
• El doble producto de las raíces es igual al primer término de la expresión.
Esto es un trinomio cuadrado perfecto, nuevamente observamos que no importa el orden en que se encuentren los términos siempre que se cumplan las tres condiciones.
Factorizar: 6
3 4 825m30m n + + 36n
46
3 4 825m30m n + + 36n
41 2 3
63 4 825m
30m n + + 36n4
35m
2
46n3
45m2 6n
2
Para factorizar Colocamos entre paréntesis las raíces de los cuadrados perfectos, separamos con el signo del doble producto, que es positivo, y elevamos al cuadrado.
FACTORIZACIÓN. Trinomio Cuadrado Perfecto. Ejercicios 3 y 4
Factorizar: 2 24 a+1 -12 ab +b + 9b
Observaciones: • Esta expresión tiene tres términos, es un
trinomio • El 1er y 3er término son cuadrados perfectos.
Sus raíces son: 2(a + 1) y 3b. • El doble producto de las raíces es: 2(a + 1) 3b
1 2 3
2 24 a+1 -12 ab +b + 9b
2 24 a+1 -12 ab +b + 9b
2·2(a + 1)·3b
2·2(a + 1)·3b = 12(a + 1)b = 12(ab + b)
Para factorizar Colocamos entre paréntesis las raíces de los cuadrados perfectos separamos con el signo del doble producto, que es negativo, y elevamos al cuadrado,
2 a + 1 3b
2
2 a + 1 3b
2
2a + 2 3bAplicamos distributiva dentro del paréntesis, y obtenemos la factorización del trinomio.
Factorizar: 2 22 225
m+n + 20 m -n +144 m-n36
Observaciones: • Esta expresión tiene tres términos, es un
trinomio • El 1er y 3er término son cuadrados
perfectos. Sus raíces son:
• Del doble producto de las raíces resulta el tercer termino del trinomio.
1 2 3
2 22 225
m+n + 20 m -n +144 m-n36
2 22 225
m+n + 20 m -n +144 m-n36
5
m+n y 12 m-n6
5
m+n6
12 m-n 5
2 m+n 12 m n6
2 252 m+n 12 m n = 20 m n
6
Para factorizar Colocamos entre paréntesis las raíces de los cuadrados
perfectos separamos con el signo del doble producto, que es negativo, y elevamos al cuadrado,
5
m+n 12 m n6
2
5m+n 12 m n
6
Aplicamos distributiva en los paréntesis internos,
25 5
m+ n 12m 12n6 6
Dentro del paréntesis tenemos dos pares de términos
semejantes, los que contienen m y los que contienen n.
Los números 6 y 5 cumplen ambas condiciones. 6 5 30 Multiplicados
6 5 11 Sumados
Colocamos cada número como segundo
término de cada binomio entre paréntesis.
2x 11x + 30 x 6 x 5
FACTORIZACIÓN. Trinomio Cuadrado No Perfectos. Factorizaciones Enteras. Caso 2
Caso 2. x2 bx + c. El término independiente es positivo.
2x ± bx c
Multiplicados
M m c
• Si el signo de b es positivo, se coloca el mas al binomio del
número mayor.
• Si el signo de b es negativo, se coloca el menos al binomio del
número mayor.
Para factorizar Buscamos dos números, M (mayor) y m (menor), que cumplan las siguientes condiciones: • Que multiplicados resulten “c”: • Que restados den “b”:
Restados
2x ± bx c– : buscamos dos números de signos diferentes
Colocamos el producto de dos paréntesis, dentro de los cuales el primer
termino es x y los segundos términos son los valores encontrados. = x M x m
Nota: La variable de este trinomio es 2x, de modo que tenemos como
coeficiente y término independiente, 6 y 8. Y colocamos 2x como
primer término de los binomios factorizados.
2
6x 82 2x +
¿Cuáles son estos dos números?
2x 4 2x 2
Los números 4 y 2 cumplen ambas condiciones. 4 2 8 Multiplicados
4 2 6 Sumados
Colocamos cada número como segundo
término de cada binomio entre paréntesis.
24x 6 2x 8 2x 4 2x 2
2 4 2x y +7 xy 18
2
2 2xy x7 y 18
Escribimos x2y4 como una potencia cuadrada.
Si la raíz del cuadrado perfecto (base de la potencia cuadrada)
está presente en el 2do término, podemos aplicar la factorización
de trinomios cuadrados no perfectos.
raíz
2 4 2x y +7 xy 18
Buscamos dos números, M y n, que:
• Multiplicados den 18.
• Y sumados den 7.
– : los números buscados son de signos diferentes
+ : El número mayor es positivo 2 2xy xy
M m 18 Multiplicados
M m 7 Restados
Nota: La variable de este trinomio es xy2, de modo que tenemos como coeficiente y término
independiente, 7 y -18. Y colocamos xy2 como primer término de los binomios factorizados.
¿Cuáles son estos dos números?
Los números 4 y 2 cumplen ambas condiciones. 4 2 8 Multiplicados
4 2 2 Restados
Colocamos cada número como segundo
término de cada binomio entre paréntesis.
2 4 2 2 2x y +7 xy 18 xy 4 xy 2
2
2 2xy x7 y 18
2 2xy 4 xy 2
9
Matemática de 2do Año con Tu Profesor Virtual
Kharla Mérida
Factorización
8 425m 5m 72
2
4 45m 5m 72
Escribimos 25m8 como una potencia cuadrada.
Si la raíz del cuadrado perfecto (base de la potencia cuadrada)
está presente en el 2do término, podemos aplicar la factorización
de trinomios cuadrados no perfectos.
raíz
– : los números buscados son de signos diferentes
+ : El número mayor es positivo 4 45m 5m
Nota: La variable de este trinomio es 5m4, el coeficiente de (5m4) es 1, el término
independiente es 72. Colocamos 5m4 como primer término de los binomios factorizados.
2
4 45m 5m 72
8 425m 5m 72
Buscamos dos números, M y n, que:
• Multiplicados den 72.
• Y restados den 1.
M m 72 Multiplicados
M m 1 Restados
¿Cuáles son estos dos números?
Los números 4 y 2 cumplen ambas condiciones. 8 9 72 Multiplicados
9 8 1 Restados
Colocamos cada número como segundo
término de cada binomio entre paréntesis.
8 4 4 425m 5m 72 5m 8 5m 9
4 45m 8 5m 9
4 249y + 4 7y + 3
2
2 24 37y 7y
Escribimos 49y4 como una potencia cuadrada.
Si la raíz del cuadrado perfecto está en el 2do término, podemos
aplicar la factorización de trinomios cuadrados no perfectos.
raíz
– : los números buscados son de signos diferentes
+ : El número mayor es positivo 2 27y 7y
Nota: La variable de este trinomio es 7y2, el coeficiente de (7y2) es 4, el término independiente
es 3. Colocamos 7y2 como primer término de los binomios factorizados.
Buscamos dos números, M y n, que:
• Multiplicados den 3.
• Y sumados den 4.
M m 3
Multiplicados
M m 4 Sumados
4 249y + 4 7y + 3
2
2 24 37y 7y
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Matemática de 2do Año con Tu Profesor Virtual
Kharla Mérida
Factorización
¿Cuáles son estos dos números?
Los números 3 y 1 cumplen ambas condiciones. 3 1 3 Multiplicados
3 1 4 Sumados
Colocamos cada número como segundo
término de cada binomio entre paréntesis.
4 2 2 249y + 4 7y + 3 7y 3 7y 1
2 27y 3 7y 1
FACTORIZACIÓN. Trinomio Cuadrado. Ejercicios 1 y 2
Nota: Una herramienta valiosa, que ayuda a identificar los números que satisfacen estas dos condiciones, es la descomposición en factores primos del término independiente.
35 5
7 7
1
Factorizar 2x 12x + 35
¿Cuáles son estos dos números?
Buscamos dos números que:
• Multiplicados den 35.
• Y sumados den 12.
+ : buscamos dos números de signos iguales
– : Ambos negativos x x
M m 35 Multiplicados
M m 12 Sumados
x 5 x 7
Los números 5 y 7 cumplen ambas condiciones. 5 7 35 Multiplicados
5 7 12 Sumados
Colocamos cada número como segundo
término de cada binomio entre paréntesis.
2x 12x 35 x 5 x 7
2x 12x + 35
De la descomposición podemos obtener todos los
números que multiplicados entre sí resultan 35. 2x 12x + 35