Pregled pravila - marul.ffst.hrmarul.ffst.hr/~logika/2007/16studenog/podjele.pdfPodjele pravila 2 Primjeri pravila prijelaza izmeƒu dokaza Primjer Pravila drugog reda u Makinsonovom

Pregled pravila

studeni 2007

() Pregled pravila studeni 2007 1 / 23

Podjele pravila 1Podjela na pravila uvo�enja i uklanjanja

Nazovimo "kanonskim" onaj sustav prirodne dedukcije u kojemu sejavljaju samo pravila uvo�enja i uklanjanja logiµckih konstanti.

CitatPravila zakljuµcivanja dijele se u dva razreda, na ona koja uvode ukonkluziju pojavu logiµcke konstante koja se ne javlja u premisama, te naona u kojima se uklanja pojava jedne logiµcke konstante iz premisa, tako daona nema svoga para u konkluziji.S. Read

PitanjeOdredite kojem razredu pripada pravilo reductio ad absurdum!

() Pregled pravila studeni 2007 2 / 23

Podjele pravila 2Podjela na pravila prijelaza izme�u reµcenica i prijelaza izme�u dokaza

Pravila prirodne dedukcije u varijanti uvo�enje/uklanjanje zaistinitosno funkcionalne veznike ne "leµze na istoj razini".

1 Jedna vrsta takvih pravila koristi reµcenice da bi se izvela neka reµcenica.2 Druga koristi dokaze da bi se dokazala neka reµcenica.

Te dvije vrste pravila, po sugestiji Davida Makinsona, mogli bismonazvati:

1 Izravna pravila ili pravila prvog reda, koja omogucuju prijelaz sreµcenice ili reµcenica na reµcenicu, i

2 Neizravna pravila ili pravila drugog reda, koja dopu�taju prijelaz sazakljuµcka (dokaza, dedukcije, izvoda) na zakljuµcak.

() Pregled pravila studeni 2007 3 / 23

Podjele pravila 2Primjeri pravila prijelaza izme�u dokaza

PrimjerPravila drugog reda u Makinsonovom zapisu. A je skup reµcenica, β, β1,β2, γ su reµcenice.

[Kondicionalan dokaz] A[fβg`γA`β!γ

[Disjunktivan dokaz]

A[ fβ1g ` γA[ fβ2g ` γA[fβ1_β2g`γ

[Reductio ad absurdum] A[f:γg`?A`γ

() Pregled pravila studeni 2007 4 / 23

Podjele pravila 3Pravila s "jednim krajem"

Citat... nazovimo �pravilima s jednim krajem�ona pravila koja su ili pravilauvo�enja ali ne i uklanjanja ili su pravila uklanjanja ali ne i uvo�enja.M. Dummet

PitanjeOdredite je li pravilo hipotetiµckog silogizma pravilo "s jednim krajem"?

P ! Q, Q ! R ` P ! R

() Pregled pravila studeni 2007 5 / 23

Podjele pravila 4 i 5µCista i jednostavna pravila

CitatMnoge se logiµcke konstante mogu pojaviti u bilo kojoj primjeni pravila, alisamo ih se nekoliko javlja u shemi koja prikazuje opceniti oblik tog pravila,pa moµzemo reci da one ��guriraju�u tom pravilu. Pravilo se moµze nazvati�µcistim�ako samo jedna konstanta �gurira u njemu, te �jednostavnim�akose logiµcka konstanta koja �gurira u njemu javlja kao glavni operatorreµcenice.M. Dummet

() Pregled pravila studeni 2007 6 / 23

DigresijaGlavni operator u propozicijskoj logici

De�nicijaReµcenica RPL propozicijske logike:

P je propozicijsko slovo

R = :: P j ? j :R j (R1 ^ R2) j (R1 _ R2) j (R1 ! R2) j (R1 $ R2)

De�nicijaGlavni operator reµcenice R jest ona pojava operatora kojoj je R najkracapodreµcenica u kojoj se on javlja.

PrimjerZanemarit cemo propozicijska slova! Odredite glavni operator!z }| {z }| {�z }| {

(A! B)! A�! A

() Pregled pravila studeni 2007 7 / 23

Podjele pravila 4 i 5µCista i jednostavna pravila: vjeµzba

CitatMnoge se logiµcke konstante mogu pojaviti u bilo kojoj primjeni pravila, alisamo ih se nekoliko javlja u shemi koja prikazuje opceniti oblik tog pravila,pa moµzemo reci da one ��guriraju�u tom pravilu. Pravilo se moµze nazvati�µcistim�ako samo jedna konstanta �gurira u njemu, te �jednostavnim�akose logiµcke konstante koje �guriraju u njemu javljaju kao glavni operatorireµcenica.M. Dummet

CitatOdredite kojoj vrsti pravila pripadaju: 1. zakon dvostruke negacije:::P ` P, 2. disjunktivni silogizam (modus tollendo ponens):P _Q, :P ` Q, 3. hipotetiµcki silogizam!

DN: "s jednim krajem", µcisto, nije jednostavno. MTP: "s jednimkrajem", nije µcisto, jednostavno je. HS: nije "s jednim krajem", µcistoje, jednostavno je.() Pregled pravila studeni 2007 8 / 23

Znaµcenje bez sintakseSemantika izvedena teorije dokaza

CitatDok se opcenita ideja semantike izvedene iz teorije dokaza µcesto povezujeuz Wittgensteinov sloga �znaµcenje je uporaba�, suvremeni razvoj semantikeizvedene iz teorije dokaza za logiµcke operacije izgleda da je zapoµcela sihodi�nim radovima Gentzena i Jaskowskog.H. Wansing

() Pregled pravila studeni 2007 9 / 23

Citat... uvo�enja predstavljaju, takoreci, "de�nicije" simbola o kojima je rijeµc, auklanjanja nisu ni�ta drugo, na kraju analize, nego posljedice tih de�nicija.G. Gentzen

() Pregled pravila studeni 2007 10 / 23

HarmonijaPravila uvo�enja su de�nicije, pravila uklanjanja posljedice tih de�nicija

Citat"Harmonija" (naim to da pravilo uklanjanja slijedi iz pravila uvo�enja uGentzenovom smislu) pozuje jest da se iz formule koja sadrµzi δ ne izvodini�ta vi�e od onoga �to pravila uvo�enja jamµce.S. Read

() Pregled pravila studeni 2007 10 / 23

KonjunkcijaUvo�enje

Lemmon

a1, ..., an (i) A...b1, ..., bm (j) B...a1, ..., an, b1, ..., bm (k) A^ B i,j ^Intro

Fitch

(i)P1+(j)Pn...(k)P1 ^ ...^ Pn ^Intro: i,...,j

() Pregled pravila studeni 2007 11 / 23

KonjunkcijaUklanjanje

Lemmon

a1, ..., an (i) A^ B...a1, ..., an (j) A [ili B ] i ^Elim

Fitch

(j)P1 ^ ...^ Pi ^ ...^ Pn...(k)Pi ^Elim: j

() Pregled pravila studeni 2007 12 / 23

Harmonija kod konjunkcije

A, B ` A^ BA^ B ` AA^ B ` B

() Pregled pravila studeni 2007 13 / 23

DisjunkcijaUvo�enje

Lemmon

a1, ..., an (i)..A...a1, ..., an (j)..A_ B [ili B _ A] i _Intro

Fitch

(j)Pi...(k)P1 _ ..._ Pi _ ..._ Pn _Intro: j

() Pregled pravila studeni 2007 14 / 23

DisjunkcijaUklanjanje

Lemmon

a1, ..., as (i) A_ B...j (j) A pretpostavka...b1, ..., bt (k) C...l (l) B pretpostavka...c1, ..., cu (m) C...Pret (n)..C i, j, k, l, m _Elimgdje Pret = fa1, ..., asg [ fb1, ..., btg � fjg [ fc1, ..., cug � flg

() Pregled pravila studeni 2007 15 / 23

DisjunkcijaUklanjanje

Fitch

(i) P1 _ ..._ Pn...

(j) P1...

(k) S+(l) Pn...(m) S

...(n) S _Elim: i, j-k,..., l-m

() Pregled pravila studeni 2007 16 / 23

Harmonija

Γ, A ` A_ B Γ, B ` A_ BΓ,A ` CΓ,B ` C

Γ,A_ B ` C"Spajanje" dokaza

Γ, A ` A_ B Γ,A_ B ` CΓ,A ` C

Rez

() Pregled pravila studeni 2007 17 / 23

Strukturalna i logiµcka pravila

Moµzemo razlikovati dvije vrste pravila dokaza.

1 Logiµcka pravila koja za neku logiµcku konstantu opisuju tipiµcni naµcinkojim se moµze dokazati reµcenica kojoj je ta konstanta glavni operator,te tipiµcni naµcin na koji se moµze koristiti u dokazu reµcenica kojoj je takonstanta glavni operator.

2 Strukturalna pravila opisuju svojstva odnosa dokazivanja.

() Pregled pravila studeni 2007 18 / 23

Razmi�ljamo o dokazima na apstraktni naµcin

Dokazivanje kao odnos izme�u skupa reµcenice i reµcenice.

De�nicijaNeka je L jezik. Odnos ` dokazivanja za jezik L jest odnos

` � }L� L

De�nicijaStrukturalno pravilo dokazivanja jest ono pravilo koje ne ovisi o logiµckimkonstantama koje se javljaju u premisama ili u konkluziji dokaza.

De�nicijaAko je dopu�teno strukturalno pravilo

P 2 Γ ) Γ ` P,

onda odnos ` ima svojstvo re�eksivnosti.() Pregled pravila studeni 2007 19 / 23

Primjeri

Primjer_Elim je logiµcko pravilo jer njegov iskaz zahtijeva spominjanje logiµckekonstante:

ako Γ,A ` C i Γ,B ` C , onda Γ,A_ B ` C

PrimjerPravilo reza nije logiµcko pravilo jer njegov iskaz ne zahtijeva spominjajelogiµcke konstante:

ako Γ,A ` B i ∆,B ` C , onda Γ,∆ ` C .

() Pregled pravila studeni 2007 20 / 23

Strukturalna pravilaLogika prvog reda

Primjeri strukturalnih pravila.

Re�eksivnost: P 2 Γ ) Γ ` P.Permutacija premisa. Odnos ` vrijedi neovisno o poretku premisa. Tase µcinjenica obiµcno ne mora isticati ako se odnos de�nira kao` � }L� L (gdje je L jezik) jer su skupovi neure�ene cjeline.Dodavanje premisa (monotoniµcnost). Ako neki skup premisa dokazujekonkluziju, onda ju dokazuje i njegov nadskup: ako Γ � ∆, onda

Γ ` K ) ∆ ` K

Rez. Ako je konkluzija prvog dokaza, premisa drugog dokaza, ondapremise prvog dokaza zajedno s premisama drugog dokaza iz kojih jeuklonjena konkluzija prvog dokaza, dokazuju konkluziju drugog dokaza

Γ ` P ^ ∆,P ` Q ) Γ,∆ ` Q

() Pregled pravila studeni 2007 21 / 23

Formalizacija harmonije

CitatPrawitz je dokazao teorem, kojim je formalizirao harmoniju u sustavimaprirodne dedukcije, koji je pokazao, da za svaku dedukciju postoji njojodgovarajuca s jednakim uµcinkom ali u kojoj niti jedna pojava nekeformule nije istodobno posljedica primjene pravila uvo�enja i glavnapremisa u primjeni povezanog pravila uklanjanja.B. H. Slater

Dokaz mogucnosti odstranjivanja reza bio vaµzan za Gentzenovu ideju.

Taj teorem (Hauptsatz, cut-elimination theorem) omogucuje da sepokaµze da su pravila uklanjanja puke posljedice pravila uvo�enja.

() Pregled pravila studeni 2007 22 / 23

Prawitz o Gentzenovskim sustavima prirodne dedukcije

CitatOno �to Gentzenove sisteme µcini posebno zanimljivim, otkrice je odre�enesimetrije atomarnih zakljuµcaka, u skladu s kojom moµzemo kazati da suuvo�enje i njemu odgovarajuce uklanjanje jedan drugoim inverzni. Smisaou kojem je, recimo, uklanjanje inverz odgovarajuceg uvo�enja jest ovaj:konkluzija jednog uklanjanja ne uspostavlja ni�ta vi�e od onoga �to je vecmoralo biti poluµceno, ako je glavna premisa uklanjanja vec bila izvedenauvo�enjem.D. Prawitz

() Pregled pravila studeni 2007 23 / 23