Prędkość kątowa dt dΘ ω dt dω α Przyśpieszenie kątowe
Jan 03, 2016
Prędkość kątowa
dtdΘ
ω
dtdω
α Przyśpieszenie kątowe
r F
Moment siły
• W którym przypadku moment siły jest większy?
(a)(a) 1
(b)(b) 2
(c)(c) 1=21=2
L
L
F F
osie
1 2
Moment siły
Moment siły
= r F sin
= r sin F
= rpF
Z definicji momentu siły:
rr
rp
FF
Ft
Fr
Ruch obrotowy• Załóżmy, że cząstka porusza się po okręgu. Niech na
cząstkę działa siła F. Siła ta powoduje przyspieszenie
styczne:
• at = r
Z II zasady Newtona w kierunku stycznym:
Ft = m at = m r
r Ft = m r 2 r
aat
FF
m
rr^
^
Ft
Ruch obrotowyrFt = mr2niech
Moment siły: = rFt.
• Moment siły ma kierunek:– + z jeśli powoduje ruch w kierunku przeciwnym doruchu wskazówek zegara
- z w przeciwnym przypadku.
•
I=
I=
2mr=I
r
aat
FF
m
rr^
^
Ft
Moment pędu(cząstki)
r
Lp
O
prL
i
j
Moment pędu układu punktów sztywno zamocowanych wokół osi:
kvrmmi
iiii
iiiii
i vrprL
Rozważmy układ punktów sztywno zamocowanych w płaszczyźnie x-y , obracający się wokół osi z. Całkowity moment pędu jest sumą momentów pędu każdej cząstki:
rr1
rr3
rr2
m2
m1
m3
vv2
vv1
vv3
LL jest w kierunku z.
vi = ri
(ri prostop. do vi )
Analog p = mv!!
krmLi
2
iiˆ
L =I
L =I
Moment pędu cząstki swobodnejMoment pędu cząstki względem początku
układu odniesienia
y
x
vv
L r p
Pokażemy, że moment pędu tej cząstki jest różny od zera, mimo, że cząstka nie obraca się.
Moment pędu cząstki swobodnej cd.
• Rozważmy cząstkę o masie m poruszającą się wzdłuż prostej y= -d z prędkością v. Oblicz moment pędu względem (0,0)?
x
vv
md
y
Moment pędu cząstki swobodnej cd.
Moduł momentu pędu:
rr i pp leżą w płaszczyźnie x-y , więc LL będzie w kierunku osi z
sin sinrp p r pd L r p
ZL pd const
y
x
pp=mvvd
r r
II zasada dynamiki Newtona V;Zasada zachowania momentu pędu
d
dt
L��������������
pr
dt
d dt
d
dt
d prp
r
dt
dpr
netFr
net
(W inercjalnym układzie odniesienia) moment siły wypadkowej działającej na cząstkę jest równy szybkości zmian momentu pędu.
wyp
d
dtL
��������������
0,wyp to const τ L
np. Jaka jest końcowa prędkość kątowa?
a
Początkowa
b
końcowa
i
?
Początkowy moment pędu (moduł)
aL =a amv2 aa m2 2
Końcowy moment pędu
L mv mb b2
bb = b 2 2
Z zasady zachowania momentu pędu ( moment sił zewnętrznych równy zero): ab
b
a
2
2
Zagadka: Zmiana energii kinetycznej:
01m2
m2
2
m2K 2
2
22
2222
tot
a
ab
b
aa
ab
Kto wykonał pracę?
L
I i II prawo Keplera
rd
L
rdA
I. Moment siły grawitacji w ruchu planet wokół słońca jest równy zero a więc L=const. Ponieważ L jest prostopadły do płaszczyzny w której odbywa się ruch, to jego stałość oznacza, że ruch planety odbywa się w tej samej płaszczyźnie. Zatem tor ruchu planety jest krzywą płaską.
II. Prędkość polowa jest stała.
.constvr
mm2
1dt
dA
dt
d
2
1 rr
m2
L
Bryła sztywna
Układ cząstek w którym odległości między cząstkami nie zmieniają się w czasie nazywa się bryłą sztywną.
A
iv
i
irA
Dowolny ruch bryły sztywnej można traktować jako superpozycję ruchu translacyjnego (postępowego) i obrotowego.
AiAi rωvv
Środek masy
• Dla bryły sztywnej:
y
x
dm
rr
dmrRM CoM
dVrDRM CoM
dV
dmD
Dla bryły symetrycznej środek masy=środkowi symetrii
gęstość,
Centre of mass
End of hammer
1. Ruch postępowy środka masy2. Obrót wokół środka masy
Ruch bryły sztywnej
przykład
Rαa
α52
αIRfτ
MafmgsinβF
cm
2cm
cmx
MR
II zasada dynamiki Newtona (VI)(moment pędu układu cząstek)
dt
dL
i
idtd
l
i
i
dt
d l
i
i,net
i
izewni
iwewn ,, i
izewn, zewn
(W inercjalnym układzie odniesienia) moment siły wypadkowej działającej na układ cząstek jest równy szybkości zmian momentu pędu:
ddt ext
L
i
j
Moment pędu układu punktów sztywno zamocowanych wokół osi:
kvrmmi
iiii
iiiii
i vrprL
Rozważmy układ punktów sztywno zamocowanych w płaszczyźnie x-y , obracający się wokół osi z. Całkowity moment pędu jest sumą momentów pędu każdej cząstki:
rr1
rr3
rr2
m2
m1
m3
vv2
vv1
vv3
LL jest w kierunku z.
vi = ri
(ri prostop. do vi )
Analog p = mv!!
krmLi
2
iiˆ
L =I
Obrót bryły sztywnej wokół ustalonej osi
m1
1
y
x
z
r1
v1
L1
1) Rozważmy masę m1 przyczepioną do pręta o długości 1, który obraca się z prędkością wokół osi z.
pęd masy m1 : p1 = m1v1
gdzie v1 : v1= x 1
moment pędu L1:
L1= r1 x p1
Składowa r1 prostopadła do to p1 (i do v1) to wektor 1 więc składowa
z momentu pędu, Lz1:
Lz1= x p1
Lz1 = 1x mv1 lub Lz1 = x m( x 1)
stąd
moment pędu, L
Lz1= m
m1
1
y
x
z
r1
v1
L1
Ustalona lub chwilowa oś obrotu(II ZDNewtona VIII)
F
F
Przyspieszenie kątowe ciała obracającego się wokół ustalonej lub chwilowej osi obrotu jest proporcjonalne do składowej momentu sił zewnętrznych równoległej do osi obrotu.
Idt
dI
dt
dL ,ext ,extI
Moment bezwładności
A
A
Układ cząstek :
I m rA i ii
'2
Ciało stałe
ciało
A dmrI 2'
r’
dm
ri’
mi
Osie główne• Dla bryły sztywnej zawsze można znaleźć 3 wzajemnie prostopadłe osie obrotu dla których L jest zawsze równoległe do :
L= I.
Są to tzw. osie główne, zaś momenty bezwładności wokół tych osi nazywają sie głównymi momentami bezwładności. • Jesli bryła sztywna jest symetryczna, to osie główne są jednocześnie osiami symetrii. np. sześcian, kula.
np. Moment bezwładności jednorodnego pręta
dxL
MxI 2
y0
L
L
0
3
3
x
L
M 2ML3
1y
dx
x
L
cmI
2/L
2/L
2 dxL
Mx
2/L
2/L
3
3
x
L
M 2ML12
1
Obrót wokół końca
Obrót wokół środka
np. Moment bezwładności jednorodnego koła
d
dr
r
okrąg
A dmrI 2 drrd
R
Mr 2
2
0
R
0
2
R
0
2
0
32 drdr
R
M
4
R
R
M2
4
22MR
2
1
Twierdzenie Steinera
I = ICM + MD2
L
D=L/2M
xCM
ICM ML1
122
IEND ML ML
ML
1
12 2
1
32
22
ICMIEND
Momenty bezwładności
I MR 2
R
I 1
22MRR
Moment bezwładności
I 2
52MR
R
I 1
22MR
R
Moment bezwładności
I 1
122ML
L
I 1
32ML
L
Moment pędu i prędkość kątowa
l
L
W ogólności, każda składowa całkowitego momentu pędu zależy od wszystkich składowych prędkości kątowej.
i
vrL iii m
iirr
ii m i
i2ii rm irr
r’
i
2ii
i
2i
2ii
iii
2iiz 'rmzrmzzrmL
;
iiiix xzmL ;
iiiiy yzmL
Wpływ symetrii
i
2iiz 'rmL
0xzmLi
iiix
0yzmLi
iiiy
Tylko dla ciał o odpowiedniej symetrii kierunek momentu pędu pokrywa się z kierunkiem wektora prędkości kątowej
i
2ii 'rmI
jest zwany momentem bezwładności ciała przy ruchu obrotowym wokół osi
II zasada dynamiki Newtona ( VII)(dla ruchu obrotowego bryły sztywnej)
dt
dI
dt
dL
extI
Dla symetrycznych brył sztywnych przyspieszenie kątowe jest proporcjonalne do momentu wypadkowej sił zewnętrznych.
extI
Praca w ruchu obrotowym• Praca siły FF działającej na ciało, które może obracać się wokół
ustalonej osi.
• dW = FF.drdr = F R dsin()= FR sin() d
dW = dW po scałkowaniu:
W = • Analog W = F •r• W < 0 jeśli i mają przeciwne zwroty!
R
FF
dr = R ddoś
Praca i moc w ruchu obrotowym
rd
F
d
d
dW rdF rF
d
Fr
d
d
ddW P
a)(cbb)(acc)(ba
Energia kinet. ruchu obrotowego i prędkość kątowa
i
i,oo, KK i
2ii 'rm
2
1
i
2iivm
2
1
2
i
2ii 'rm
2
1 2I2
1
2o,o, I
2
1K
Praca i energia kinetyczna:
K = Wwyp
Powyższe twierdzenie obowiązuje też dla ruchu obrotowego.Dla ciała obracającego się wokół ustalonej osi:
wyp22 WI
21 ifK
Praca i energia kinetyczna:
K = Wwyp
Powyższe twierdzenie obowiązuje też dla ruchu obrotowego.
• Dla ciała obracającego się wokół ustalonej osi:
wyp22 WI
21 ifK
T
Twierdzenie o równow. pracy i energii kinet.
(całkowita energia kinet.)Całkowita praca wykonana przez wszystkie siły (zewn. i wewn.) nad układem cząstek jest równa zmianie całkowitej energii kinet. układu
cdW dKcW Klub
Wr
d
Całkowita energia kinetyczna bryły sztywnej
i
2iitot vm
2
1K
i
2iAim
2
1rv
i
iAii
2ii
i
2Ai 2m
2
1m
2
1vm
2
1rvr
i
iiA
22i
ii
2A
ii m'rm
2
1vm
2
1rv
Jeśli środek masy jest w punkcie A:
2cmMv
2
1 2cm,I
2
1 0totK TK cm,K
Praca i energia• Dwa sznury są nawinięte wokół dwóch dysków o różnych promieniach
ale o tym samym momencie bezwładności I. Do ich końców przyłożono taką samą siłę F która spowodowała ich odwiniecie o tę samą długość. Początkowo dyski są nieruchome ; założyć, że sznury nie ślizgają się po dyskach.
– Który dysk ma większą prędkość kątową po pociągnięciu sznura?
(a)(a) 1
(b)(b) 2
(c)(c) 1=2 FF
1 2
Praca i energia
FF
1 2
d
Praca jest ta sama!W = Fd
Więc zmiana energii kinet. będzie też taka sama W = K.
K 12
2I
Ponieważ I1 = I2
1 = 2
Spadający ciężarek i krążek
• Z twierdzenia o równoważności pracy i całkowitej energii kinetycznej:
K = Wwyp= mgL I
m
R
T
v
L
22f
2f
ii2f
2f
2i
2f
2i
2f
R/vI21
vm21
KΔ
)0ω0;(vωI21
vm21
KΔ
ωωI21
vvm21
KΔ
Spadający ciężarek i krążek Z drugiej strony: U =Wwyp =K a stądK + U = 0 czyli E=K + U = constTen sam wynik można zatem otrzymać korzystając z
zasady zachowania energii mechanicznej:Dla ciężarka nieruchomego na wysokości y=L: E=U=mgL.Dla ciężarka na wysokości y=0:
E=K=Ktransl+Kobrot
zatem:
Ktransl+Kobrot =mgL
I
m
R
T
v
L
y
0
Żyroskop
Żyroskop
Irw
LdtLdL
dtd /
Prędkość precesji
w
N