Predavanje-OR-05-TeorijaRedova-2-revised.pdf

V-1

Sistemi opsluivanja sa ogranienom populacijom klijenata Zatvoreni sistemi opsluivanja Izvor klijenata (jedinica) je vaan element sistema opsluivanja. U modelima koji su do sad razmatrani, pretpostavljalo se da je izvor klijenata (jedinica) neogranien. Ova pretpostavka je osnovna u karakteristika Poisson-ovog procesa dolaska jedinica u sistem. U sluaju zatvorenih sistema opsluivanja, umesto Poisson-ovog dolaznog procesa klijenata (jedinica) u sistem i neogranienog izvora klijenata (jedinica), populacija moguih klijenata (jedinica) koji zahtevaju opsluivanje je konana tj. izvor klijenata (jedinica) je konaan. *1 Konfiguracija sistema je takva da postoji ukupno N klijenata (jedinica) koji mogu da zahtevaju opsluivanje. Svaki klijent (jedinica) prolazi kroz dve alternativne faze: klijentu nije potrebno opsluivanje i klijentu je potrebno opsluivanje. Primeri zatvorenih sistema opsluivanja su: populacija maina koje zahtevaju popravku kada se pokvare, zatvorena raunarska mrea sa serverima itd. Model zatvorenog sistema opsluivanja spada u sluajne homogene (intenziteti ispostavljanja zahteva za opsluivanjem i intenziteti opsluivanja su konstantni i u optem sluaju zavise od stanja sistema) procese Markov-a tipa raanja i umiranja. Kod zatvorenog sistema opsluivanja klijenti tj. zahtevi za opsluivanjem dolaze iz sistema. Intenzitet dolaska zahteva za opsluivanjem zavisi od stanja sistema. Sistem ima N jedinica. Stanje sistema se odreuje na osnovu toga koliko je jedinica ispostavilo zahtev za opsluivanjem. Svaka jedinica moe u proizvoljnom trenutku da ispostavi zahtev za opsluivanjem. Dok se data jedinica ne opslui ne moe ponovo da ispostavi zahtev za opsluivanjem. Intenzitet zahteva za opsluivanjem zavisi kako od broja jedinica u sistemu tako i od broja jedinica koje su ispostavile zahtev za opsluivanjem. *2 Svaka jedinica moe sa intenzitetom da ispostavi zahtev za opsluivanjem, to predstavlja recipronu vrednost srednjeg vremena izmeu ispostavljanja dva uzastopna zahteva za opsluivanjem. *3 Broj kanala za opsluivanje moe biti jedan ili vie. Intenzitet opsluivanja svakog kanala za opsluivanje je i predstavlja recipronu vrednost srednjeg vremena trajanja opsluivanja = /1tops . *4 U zavisnosti od broja kanala za opsluivanje c, ispostavljeni zahtevi za opsluivanjem se opsluuju ili ekaju na opsluivanje.

V-2

Jednokanalni zatvoreni sistem opsluivanja Osnovne karakteristike jednokanalnog zatvorenog sistema opsluivanja su: *5 u sistemu se nalazi N klijenata (jedinica) i jedan kanal za opsluivanje (c=1), vreme izmeu dva uzastopna zahteva za opsluivanjem je raspodeljeno po

eksponencijalnoj raspodeli sa intenzitetom . Intenziteti zahteva za opsluivanjem u zavisnosti od stanja sistema imaju sledee vredosti:

=

V-3

Na osnovu matrice Q (2) formira se dijagram promene stanja jednokanalnog zatvorenog sistema opsluivanja: *8 (V-1)

Slika V-1. Dijagram promene stanja jednokanalnog zatvorenog sistema

opsluivanja. Elipsama su predstavljena stanja sistema dok brojevi unutar elipsi predstavljaju koliko je jedinica u datom trenutku ispostavilo zahtev za opsluivanjem. Ako u odreenom trenutku k jedinica zahteva opsluivanje, tada N-k jedinica ne zahteva opsluivanje i tada je ukupni intenzitet zahteva za opsluivanjem u tom stanju (N-k). Maksimalan broj zahteva za opsluivanjem je N, koliko i ima jedinica u sistemu. Strelice koje povezuju stanja sistema predstavljaju mogue prelaske iz stanja u stanje zatvorenog sistema opsluivanja sa odgovarajuim intenzitetima ( intenzitet dolazaka zahteva za opsluivanjem, intenzitet opsluivanja). Stanja sistema karakteriu se verovatnoama stanja sistema. Promena verovatnoa stanja sistema u vremenu opisuje se diferencijalnim jednainama stanja sistema. Sistem diferencijalnih jednaina koji opisuje promenu verovatnoa stanja jednokanalnog zatvorenog sistema opsluivanja je sledei:

)t(p)t(pN)t(p 10'0 += ;

.................................. ( ) ( )[ ] )t(p)t(pkN)t(p1kN)t(p 1kk1k'k + +++= ; k=1,...N-1.

.................................. )t(p)t(p)t(p N1N

'N = . (3)

Za sluaj kada t , (osobina ergodinosti homogenog sluajnog procesa Markov-a) verovatnoe stanja sistema ne zavise od poetnih uslova, poetnog trenutka i prvi izvodi verovatnoa stanja tee nuli tj. 0)t(p'k pa samim tim i verovatnoe stanja postaju konstantne kk p)t(p . Tada sistem diferencijalnih jednaina prelazi u sistem algebarskih jednaina oblika:

10 ppN0 += ; .................................. ( ) ( )[ ] 1kk1k ppkNp1kN0 + +++= ; k=1,...N-1. ..................................

N1N pp0 = . (4)

V-4

Sistem algebarskih jednaina (4) predstavlja homogeni sistem algebarskih jednaina, za ije reavanje je potrebno uvesti jo jednu dodatnu jednainu. Ta dodatna jednaina je tzv. normirajui uslov tj. da je suma svih verovatnoa stanja jednaka jedinici:

1pN

0kk =

=. (5)

Reavanje sistema (4) vri se tako to se sve verovatnoe stanja sistema izraze preko verovatnoe stanja 0p i nakon toga se tako izraene verovatnoe stanja zamene u jednainu (5) iz koje se na kraju odredi verovatnoa stanja 0p . Verovatnoe stanja sistema )p...,,p...,,p,p( Nk21 izraene iz sistema algebarskih jednaina (4) imaju sledei oblik:

01 pNp = ,

( ) 02

2 p1NNp

= ,

..................................

( ) 0k

k p)1kN(...1NNp

+= . (6)

Uvoenjem smene = / prethodni izrazi se mogu napisati uopteno kao: *9

0k

k p)!kN(!Np = . (7)

Zamenom izraza (7) u jednainu (5) dobija se izraz za verovatnou stanja sistema

0p : *9

=

= N

0k

k0

)!kN(!N

1p . (8)

Zamenom izraza (8) u izraze (6) dobijaju se izrazi za verovatnoe stanja

)p...,,p...,,p,p( Nk21 . Karakteristike jednokanalnog zatvorenog sistema opsluivanja *10 Karakteristike koje opisuju rad jednokanalnog zatvorenog sistema opsluivanja su sledee:

V-5

1. Verovatnoa da u sistemu nema zahteva za opsluivanjem tj. verovatnoa da je kanal za opsluivanje slobodan:

0sk pP = . (9) 2. Srednji broj zahteva koji se opsluuje (srednji broj zauzetih kanala, verovatnoa

zauzetosti kanala za opsluivanje): 00N210z p1)p1(1p1...p1p1p0c ==++++= . (10)

3. Srednji broj jedinica koje su ispostavile zahtev za opsluivanjem:

=

=++++= N0k

kN210 pkpN...p2p1p0L . (11)

Svaka jedinica koja nije ispostavila zahtev za opsluivanjem, ispostavlja zahtev za opsluivanjem sa intenzitetom . Srednji broj jedinica koje nisu ispostavile zahtev za opsluivanjem je )LN( . Tako da je intenzitet ispostavljanja zahteva za opsluivanjem )LN( . Sa druge srednji broj zahteva koji se opsluuje intenzitetom je zc . Izjednaavanjem srednjeg broja jedinica koje nisu ispostavile zahtev za opsluivanjem i srednjeg broja zahteva koji se opsluuje dobija se:

= zc)LN( , = )p1()LN( 0 , )p1()LN( 0=

= )p1(NL 0 (11a)

4. Srednji broj zahteva koji ekaju na opsluivanje:

=

+=++++=1N

1k1kN432q pkp)1N(...p3p2p1L . (12)

ili

+=

== 11)p1(N)p1(p1NcLL 000zq . (12a) 5. Srednje vreme ekanja zahteva na opsluivanje

Ovo vreme zavisi od stanja sistema kada nastane zahtev za opsluivanjem, tj. u stanju sistema X=0 ( 0p ) kanal za opsluivanje je slobodan i nema ekanja

na opsluivanje, ispostavljeni zahtev za opsluivanjem odmah poinje da se servisira.

u stanju sistema X=1 ( 1p ) kanal za opsluivanje je zauzet, nema zahteva za opsluivanjem u redu i novoispostavljeni zahtev treba da eka zavretak tekueg opsluivanja, to iznosi = /1tops .

V-6

u stanju sistema X=2 ( 2p ) kanal za opsluivanje je zauzet, jedan zahtev za opsluivanjem je u redu i novoispostavljeni zahtev treba da eka zavretak tekueg opsluivanja i opsluivanja postojeeg zahteva u redu, to iznosi

= /2t2 ops , itd.

Srednje vreme ekanja zahteva na opsluivanje dobija se primenom Little-ove formule kao:

=q

qL

W . (13)

gde se proseni intenzitet dolaznog toka odreuje iz sledeeg izraza:

==

== N0k

kN

0kkk p)kN(p .

6. Srednje vreme ne funkcionisanja jedinice koja zahteva opsluivanje predstavlja

srednje vreme koje zahtev za opsluivanjem eka na opsluivanje uveano za vreme potrebno da se jedinica (zahtev) opslui i odreuje se kao:

+=1WW q . (14)

Takoe, srednje vreme ne funkcionisanja jedinice koja zahteva opsluivanje moe se odrediti primenom Little-ove formule kao:

=LW . (14a)

gde se proseni intenzitet dolaznog toka odreuje kao i u sluaju za qW .

7. Verovatnoa da zahtev za opsluivanjem nee ekati na opsluivanje:

0to pP = . (15) Viekanalni zatvoreni sistem opsluivanja Osnovne karakteristike viekanalnog zatvorenog sistema opsluivanja su: *11 u sistemu se nalazi N klijenata (jedinica) i c kanala za opsluivanje (N>c), vreme izmeu dva uzastopna zahteva za opsluivanjem je raspodeljeno po

eksponencijalnoj raspodeli sa intenzitetom . Intenziteti zahteva za opsluivanjem u zavisnosti od stanja sistema imaju sledee vredosti:

V-7

=

V-8

1N1Ncc.0.0.00]c[.0.0.00

0]1)1N(N[.0.0.00.........00.c.0.0000.]c)cN[(.0.0000.)1cN(.0.00.........00.0.)1k(.0000.0.]k)kN[(.0000.0.)1kN(.00.........00.0.0.2000.0.0.])1N[(00.0.0.NN

Q

++

+

+

+

++

+

=

(17) Na osnovu matrice Q (17) formira se dijagram promene stanja viekanalnog zatvorenog sistema opsluivanja: (V-2) *14

Slika V-2. Dijagram promene stanja viekanalnog zatvorenog sistema

opsluivanja. Da bi viekanalni zatvoreni sistem opsluivanja imao smisla potrebno je da broj jedinica u sistemu (N) bude vei od broja kanala za opsluivanje (c) tj. N>c. Elipsama su predstavljena stanja sistema dok brojevi unutar elipsi predstavljaju koliko je jedinica u datom trenutku ispostavilo zahtev za opsluivanjem. Ako u odreenom trenutku k jedinica zahteva opsluivanje, tada N-k jedinica ne zahteva opsluivanje i tada je ukupni intenzitet zahteva za opsluivanjem u tom stanju (N-k). Maksimalan broj zahteva za opsluivanjem je N, koliko i ima jedinica u sistemu. Strelice koje povezuju stanja sistema predstavljaju mogue prelaske iz stanja u stanje zatvorenog sistema opsluivanja sa odgovarajuim intenzitetima ( intenzitet dolazaka zahteva za opsluivanjem, intenzitet opsluivanja).

V-9

Stanja sistema karakteriu se verovatnoama stanja sistema. Promena verovatnoa stanja sistema u vremenu opisuje se diferencijalnim jednainama stanja sistema. Sistem diferencijalnih jednaina koji opisuje promenu verovatnoa stanja viekanalnog zatvorenog sistema opsluivanja je sledei:

)t(p)t(pN)t(p 10'0 += ;

.................................. ( ) ( )[ ] )t(p)1k()t(pkkN)t(p1kN)t(p 1kk1k'k + ++++= ;

k=1,...,c-1. ..................................

( ) ( )[ ] )t(pc)t(pccN)t(p1cN)t(p 1cc1c'c + +++= ..................................

( ) ( )[ ] )t(pc)t(pcrcN)t(p1rcN)t(p 1rcrc1rc' rc +++++ +++= r=1,...,N-c-1. ..................................

)t(p)t(p)t(p N1N'N = . (18)

Za sluaj kada t , (osobina ergodinosti homogenog sluajnog procesa Markov-a) verovatnoe stanja sistema ne zavise od poetnih uslova, poetnog trenutka i prvi izvodi verovatnoa stanja tee nuli tj. 0)t(p'k pa samim tim i verovatnoe stanja postaju konstantne kk p)t(p . Tada sistem diferencijalnih jednaina prelazi u sistem algebarskih jednaina oblika:

10 ppN0 += ; .................................. ( ) ( )[ ] 1kk1k p)1k(pkkNp1kN0 + ++++= ; k=1,...,c-1. .................................. ( ) ( )[ ] 1cc1c pcpccNp1cN0 + +++= .................................. ( ) ( )[ ] 1rcrc1rc pcpcrcNp1rcN0 ++++ +++= ,r=1,.,N-c-1. ..................................

N1N pp0 = . (19) Sistem algebarskih jednaina (19) predstavlja homogeni sistem algebarskih jednaina, za ije reavanje je potrebno uvesti jo jednu dodatnu jednainu. Ta dodatna jednaina je tzv. normirajui uslov tj. da je suma svih verovatnoa stanja jednaka jedinici:

V-10

1ppcN

1rrc

c

0kk =+

=+

=. (20)

Reavanje sistema (19) vri se tako to se sve verovatnoe stanja sistema izraze preko verovatnoe stanja 0p i nakon toga se tako izraene verovatnoe stanja zamene u jednainu (20) iz koje se na kraju odredi verovatnoa stanja 0p . Verovatnoe stanja sistema )p...,,p...,,p,p( ck21 izraene iz sistema algebarskih jednaina (19) imaju sledei oblik:

01 pNp = ,

( ) 02

2 p1NN21p

= ,

( ) ( ) 03

3 p2N1NN61p

= ,

..................................

( ) 0k

k p)1kN(...1NN!k1p

+= . (21)

Uvoenjem smene = / prethodni izrazi se mogu napisati uopteno kao: *15 0

kk pk

Np

= , k=1,...,c; (22)

gde je:

)!kN(!k

!NkN

=

. Verovatnoe stanja sistema )p...,,p...,,p,p( Nrc1cc ++ izraene iz sistema algebarskih jednaina (19) imaju sledei oblik:

0

1c

1c p)!1cN(!cc!Np

=

++ ,

0

2c

22c p)!2cN(!cc!Np

=

++ ,

0

3c

33c p)!3cN(!cc!Np

=

++ ,

..................................

V-11

0

rc

rrc p)!rcN(!cc!Np

=

++ . (23)

Uvoenjem smena = / i )c/( = prethodni izrazi se mogu napisati uopteno kao: *15

0rcc

rc p)!rcN(!c!Np

=+ , r=1,...,N-c; (24) Zamenom izraza (22) i (24) u jednainu (20) dobija se izraz za verovatnou stanja sistema 0p : *15

=

=

+

= c0k

cN

1r

rcck

0

)!rcN(!c!N

kN

1p . (25)

Zamenom izraza (25) u izraze (21) i (23) dobijaju se izrazi za verovatnoe stanja

)p...,,p...,,p...,,p...,,p,p( Nrcck21 + . Karakteristike viekanalnog zatvorenog sistema opsluivanja *16 Karakteristike koje opisuju rad viekanalnog zatvorenog sistema opsluivanja su sledee: 1. Verovatnoa da u sistemu nema zahteva za opsluivanjem tj. verovatnoa da su

kanali za opsluivanje slobodni: 0sk pP = . (26)

2. Srednji broj zahteva koji se opsluuje (srednji broj zauzetih kanala):

N1cc210z pc...pc...pc...p2p1p0c +++++++= + , )ppp1(cp)1c(...p2p1p0c 1c101c210z +++++= . (27)

3. Srednji broj jedinica koje su ispostavile zahtev za opsluivanjem:

=

=++++= N0k

kN210 pkpN...p2p1p0L . (28)

Svaka jedinica koja nije ispostavila zahtev za opsluivanjem, ispostavlja zahtev za opsluivanjem sa intenzitetom . Srednji broj jedinica koje nisu ispostavile zahtev za opsluivanjem je )LN( . Tako da je intenzitet ispostavljanja zahteva za opsluivanjem )LN( .

V-12

Sa druge srednji broj zahteva koji se opsluuje intenzitetom je zc . Izjednaavanjem srednjeg broja jedinica koje nisu ispostavile zahtev za opsluivanjem i srednjeg broja zahteva koji se opsluuje dobija se:

= zc)LN( ,

=zcNL (28a)

4. Srednji broj zahteva koji ekaju na opsluivanje:

=

+++ =+++=cN

1rrcN1c1cq prp)cN(...p2p1L . (29)

ili

+==11cNcLL zzq . (29a)

5. Srednje vreme ekanja zahteva na opsluivanje

Ovo vreme zavisi od stanja sistema kada nastane zahtev za opsluivanjem, tj. u stanjima sistema X=0, x=1, ..., X=c-1 ( 1c10 p,...,p,p ) makar jedan kanal

za opsluivanje je slobodan i nema ekanja na opsluivanje, ispostavljeni zahtev za opsluivanjem odmah poinje da se servisira.

u stanju sistema X=c ( cp ) svi kanali za opsluivanje su zauzeti, nema zahteva za opsluivanjem u redu i novoispostavljeni zahtev treba da eka zavretak nekog od tekuih opsluivanja, to iznosi )c/(1tops = .

u stanju sistema X=c+1 ( )p 1c+ svi kanali za opsluivanje su zauzeti, jedan zahtev za opsluivanjem je u redu i novoispostavljeni zahtev treba da eka ili zavretak jednog tekueg opsluivanja i opsluivanja postojeeg zahteva u redu ili bilo koja dva tekua opsluivanja, to iznosi )c/(2t2 ops = , itd.

Srednje vreme ekanja zahteva na opsluivanje dobija se primenom Little-ove formule kao:

=q

qL

W . (30)

gde se proseni intenzitet dolaznog toka odreuje iz sledeeg izraza:

==

== N0k

kN

0kkk p)kN(p .

6. Srednje vreme ne funkcionisanja jedinice koja zahteva opsluivanje predstavlja

srednje vreme koje zahtev za opsluivanjem eka na opsluivanje uveano za vreme potrebno da se jedinica (zahtev) opslui i odreuje se kao:

V-13

+=1WW q . (31)

Takoe, srednje vreme ne funkcionisanja jedinice koja zahteva opsluivanje moe se odrediti primenom Little-ove formule kao:

=LW . (31a)

gde se proseni intenzitet dolaznog toka odreuje kao i u sluaju za qW .

7. Verovatnoa da zahtev za opsluivanjem nee ekati na opsluivanje:

=

= 1c0k

kto pP . (32)

V-14

Sistemi opsluivanja sa grupnim dolaskom jedinica i grupnim opsluivanjem jedinica Do sada razmatrani sistemi opsluivanja nisu uzimali u obzir specifinosti kao to su grupni dolazak jedinica u sistem, grupno opsluivanje, prioritetno opsluivanje itd., koje komplikuju modeliranje sistema opsluivanja. Ove specifinosti e se sad uzeti u obzir, u ogranienom smislu, tako da je i dalje mogue primeniti sluajni proces Markov-a pri modeliranju sistema opsluivanja. Sistemi opsluivanja kod kojih jedinice dolaze i/ili se opsluuju u grupama nazivaju se bulk queues. Sistemi opsluivanja sa grupnim dolaskom jedinica u sistem Dosada razmatrani modeli sistema opsluivanja, predpostavljali su da jedinice dolaze u sistem jedna po jedna. Postoji mnogo situacija gde jedinice dolaze u sistem u grupama, npr. ulazak ljudi u restoran. U narednom tekstu bie prikazan jednokanalni sistem opsluivanja sa grupnim dolaskom jedinica i konanim brojem mesta u sistemu. Karakteristike jednokanalnog sistema opsluivanja sa grupnim dolaskom jedinica u sistem i ogranienim brojem mesta u sistemu su sledee: *17 sistem ima jedan kanal za opsluivanje (c=1), dok se u sistemu moe nai

maksimalno n jedinica. jedinice u sistem dolaze u grupama. Vremenski intervali izmeu dolazaka grupa

jedinica u sistem su raspodeljeni po eksponencijalnoj raspodeli. Veliina grupe jedinica koja dolazi u sistem nije konstantna, tj. razlikuje se od trenutka do trenutka dolaska grupe jedinica u sistem. U optem sluaju srednje intenzitet nailaska grupe jedinica u sistem je promenljiva veliina koja moe da zavisi od npr. veliine grupe, da bude raspodeljena po nekom teorijskom zakonu raspodele ili da bude isti za bilo koju veliinu grupe.

jedinice se opsluuju pojedinano. Vreme trajanja opsluivanja jedinica raspodeljeno je po eksponencijalnoj raspodeli sa parametrom tj. opsluivanje jedinica predstavlja proces umiranja.

Kendall - ova oznaka ovog sistema je M[X]/M/1/n. pravilo prihvatanja iz reda na opsluivanje je "prva prispela - prva opsluena"

(FIFO). Proces dolaska jedinica (u grupama) i proces opsluivanja jedinica su nezavisni jedan od drugog. Stanje sistema se odreuje na osnovu broja jedinica u sistemu. Ukoliko se posmatra samo dolazak jedinica (grupa) u sistem i ako se uoi stanje sistema X=i oigledno je da se u stanje X=i moe prei iz bilo kog stanja koje se nalazi sa leve

V-15

strane stanja X=i (tj. iz stanja: 0,1, ... ,i-1), to odgovara pretpostavci o promenljivoj veliini grupe jedinica koje dolaze u sistem. Slino, iz stanja X=i mogue je prei u bilo koje stanje koje se nalazi sa desne strane stanja X=i (tj. u stanja: i+1, ... ,n) to takoe odgovara pretpostavci o promenljivoj veliini grupe jedinica koja dolazi u sistem. Ukoliko se sistem nalazi u stanju X=i tada je najvea grupa jedinica koja moe doi u sistem i biti u potpunosti prihvaena veliine (n-i). Ako se na ulazu u sistem pojavi vea grupa jedinica tada e samo (n-i) jedinica iz grupe biti prihvaeno u sistem a ostale jedinice iz grupe e dobiti otkaz. *18 Ako se posmatra samo opsluivanje jedinica, i ako se uoi stanje sistema X=i oigledno je da se u stanje X=i moe prei samo iz stanja koja su sa desne strane stanja X=i tj. iz stanja X=i+1. Slino, iz stanja X=i je jedino mogue prei u stanje X=i1 koje je sa leve strane u odnosu na stanje X=i. *18 U skladu sa prethodnim tekstom i injenicom da intenzitet dolaska grupe jedinica i intenzitet opsluivanja ne zavise od vremena, matrica intenziteta prelaska (tranzicije) Q za jednokanalni sistem opsluivanja sa grupnim dolaskom jedinica i konanim brojem mesta u sistemu je oblika:

1n1n

n,1nn,1n

n,2n1n,2n

n,1rn1n,1rn

n,rn1n,rnn

1rnjj,rn

n,1rn1n,1rnrn,1rn

n,1r1n,1rrn,1r

n,r1n,rrn,rn

1rjj,r

n,1r1n,1rrn,1rr,1r

n,23n,0rn,2r,2

n,12n,0rn,1r,1n

2jj,1

n,01n,0rn,0r,01,0n

1jj,0

...0..0.00)(...0..0.00

...0..0.00............

.....0.00

...)(..0.00

.....0.00............

......00

.....)(.00

......00............

......0

......)(

......

Q

++

++

+=

+++

+=

=

=

+

+

+

+

=

(33) Na osnovu matrice Q (33) formira se dijagram promene stanja jednokanalnog sistema opsluivanja sa grupnim dolaskom jedinica i konanim brojem mesta u sistemu: *19 (V-3)

V-16

Slika V-3. Dijagram promene stanja jednokanalnog sistema opsluivanja sa grupnim dolaskom jedinica u sistem i ogranienim brojem mesta u sistemu.

Zamenom matrice Q (33) u izraz (15 predavanje 04) dobija se sistem diferencijalnih jednaina koji opisuje stanja jednokanalnog sistema opsluivanja sa grupnim dolaskom jedinica u sistem i ogranienim brojem mesta u sistemu:

( ) )t(p)t(p)(dt

tdp10

n

1jj,0

0 += =

;

M

)t(p)t(p)()t(pdt

)t(dp1i

1i

0ji

n

1ijj,iji,j

i += += ++= ; i=1, ...., n1,

M (34)

=

= 1n0j

njn,jn )t(p)t(pdt

)t(dp ;

Za sluaj kada t , (osobina ergodinosti homogenog sluajnog procesa Markov-a) verovatnoe stanja sistema ne zavise od poetnih uslova, poetnog trenutka i prvi izvodi verovatnoa stanja tee nuli tj. 0)t(p'k pa samim tim i verovatnoe stanja postaju konstantne kk p)t(p . Tada sistem diferencijalnih jednaina prelazi u sistem algebarskih jednaina oblika:

10n

1jj,0 pp)(0 +=

=;

M

1i1i

0ji

n

1ijj,iji,j pp)(p0 +

= += ++= ; i=1, ...., n1,

M (35)

=

= 1n0j

njn,j pp0 ;

Sistem algebarskih jednaina (35) predstavlja homogeni sistem algebarskih jednaina, za ije reavanje je potrebno uvesti jo jednu dodatnu jednainu. Ta

V-17

dodatna jednaina je tzv. normirajui uslov tj. da je suma svih verovatnoa stanja jednaka jedinici:

1pn

0ii =

= (36)

Intenzitet dolaska grupe jedinica u sistem, kao to je napred reeno, moe se odreivati na vie naina i to: *20 a) Srednje intenzitet dolaska grupe jedinica u sistem je obrnuto proporcijalan veliini grupe podignutim na stepen k (k=1,2, .... ):

kj,i ji = , i=0,1, ... ,n; j=0,1, ... ,n; ij

gde je srednji intenzitet dolaska jedne jedinice u sistem. b) Intenzitet dolaska grupe jedinica u sistem je odreen diskretnom teorijskom raspodelom definisanom na konanom skupu ili empirijskom diskrenom raspodelom. c) Srednji intenzitet dolaska grupa razliitih veliina u sistem je isti i konstantan tj. = j,i , i=0,1, ... ,n; j=0,1, ... ,n; ij U ovom sluaju sistem diferencijalnih jednaina (34) koji opisuje stanje jednokanalnog sistema opsluivanja sa grupnim dolaskom jedinica u sistem i ogranienim brojem mesta u sistemu mogue je reiti u analitikom obliku. Tada se poslednja jednaina sistema (34) uz uslov pi(t)=1 transformie u linearnu nehomogenu diferencijalnu jednainu prvog reda oblika:

( ) =++ )t(pdt

)t(dpn

n ,

ije je reenje oblika:

t)(0nn e)p()t(p

+++++

= . Dalji postupak reavanja se sastoji u zamenjivanju dobijenog reenja u prethodnu jednainu (n-1), koja se takoe svodi na linearnu nehomogenu diferencijalnu jednainu prvog reda. Isti postupak se ponavlja do druge diferencijalne jednaine sistema (34) tj. do diferencijalne jednaine koja definie verovatnou p1(t). Diferencijalne jednaine sistema (34) u intervalu od n-1, ...,1 svode se na sledei oblik linearne nehomogene diferencijalne jednaine:

V-18

[ ] +=

==+++ n1ij

jii )1n(,...,2,1i),t(p)t(p)1in(dt

)t(dp

gde su: pj(t) verovatnoe stanja u zavisnosti od vremena odreene u prethodnom postupku. Prva jednaina sistema (34) se takoe svodi na nehomogenu linearnu diferencijalnu jednainu prvog reda i ima sledei oblik:

=

=+ r1j

j00 )t(p)t(p)1n(dt

)t(dp .

Na ovaj nain se dobija jedno po jedno reenje za verovatnoe stanja sistema. Poetni uslovi ( n,...,1,0i,p)0(p 0ii == ) se uzimaju u obzir pri reavanju svake diferencijalne jednaine sistema (34) posebno. d) Srednji intenzitet dolaska grupe veliine r je konstantan tj. , dok su srednji intenziteti dolaska grupa drugih veliina jednaki nuli. Srednji intenziteti dolazaka su tada definisani kao:

==

rji0rji

j,i , i=0,1, ... ,n; j=0,1, ... ,n; ij. (37) U sluaju r=1 jednokanalni sistem opsluivanja sa grupnim dolaskom jedinica u sistem i ogranienim brojem mesta u sistemu svodi se na jednokanalni sistem opsluivanja sa pojedinanim dolaskom jedinica u sistem i ogranienim brojem mesta u redu. Osnovne karakteristike jednokanalnog sistema opsluivanja sa grupnim dolaskom jedinica u sistem i ogranienim brojem mesta u sistemu su: *21 Verovatnoa opsluivanja (Pops), Srednji broj zauzetih kanala (cz), Verovatnoa postojanja reda (Ppr), Srednji broj jedinica u redu (Nw), Srednji broj jedinica u sistemu (Nws), Srednje vreme koje jedinica provede u redu (tw), Srednje vreme koje jedinica provede u sistemu (tws).

V-19

Verovatnoa opsluivanja (Pops) Potrebno je napraviti razliku izmeu opsluivanja cele grupe i jedne jedinice. Verovatnoa opsluivanja cele grupe predstavlja verovatnou da cela grupa koja zahteva opsluivanje bude prihvaena u sistem (na taj nain i opsluena) tj. ne dobije otkaz. Cela grupa, veliine r, e biti prihvaena u sistem ako u sistemu ima najmanje r mesta u redu. Verovatnoa opsluivanja cele grupe se izraunava kao:

=

= rn0i

iops pP (38a)

Verovatnoa opsluivanja jedne jedinice predstavlja verovatnou da jedinica koja zahteva opsluivanje bude prihvaena u sistem tj. ne dobije otkaz. Jedinica e biti prihvaena u sistem ako u njemu ima bar jedno slobodno mesto u redu. Verovatnoa opsluivanja jedinice se izraunava kao:

=

= 1n0i

iops pP (38b)

Srednji broj zauzetih kanala (cz) Srednji broj zauzetih kanala predstavlja oekivani broj kanala koji rade. Srednji broj zauzetih kanala se izraunava kao:

=

+= n1i

i0z p1p0c (39)

Verovatnoa postojanja reda (Ppr) Verovatnoa postojanja reda predstavlja verovatnou da u sistemu ima jedinica koje ekaju na opsluivanje. Verovatnoa postojanja reda se izraunava kao:

=

= n2i

ipr pP (40)

Srednji broj jedinica u redu (Nw) Srednji broj jedinica u redu predstavlja oekivanu veliinu reda. Srednji broj jedinica u redu se izraunava kao:

=

= n2i

iw p)1i(N (41)

V-20

Srednji broj jedinica u sistemu (Nws) Srednji broj jedinica u sistemu predstavlja oekivani broj jedinica u sistemu. Srednji broj jedinica u sistemu se izraunava kao:

=

= n0i

iws piN (42)

Srednji broj jedinica u sistemu se takoe moe izraunati kao:

wzws NcN += . Srednje vreme koje jedinica provede u redu (tw) Srednje vreme koje jedinica provede u redu predstavlja oekivano vreme koje e data jedinica provesti u redu i direktno se moe dobiti primenom Little-ove formule tj. deljenjem srednjeg broja jedinica u redu (Nw) sa prosenim intenzitetom dolaska ( ):

=w

wNt ,

gde se proseni intenzitet dolaznog toka odreuje, u optem sluaju, iz izraza:

= +=

= 1n0i

n

1ijj,ij,ii rp .

Srednje vreme koje jedinica provede u sistemu (tws) Srednje vreme koje jedinica provede u sistemu predstavlja oekivano vreme koje e data jedinica provesti u sistemu i direktno se moe dobiti primenom Little-ove formule tj. deljenjem srednjeg broja jedinica u sistemu (Nws) sa prosenim intenzitetom dolaska ( ):

=ws

wsNt ,

gde se proseni intenzitet dolaznog toka odreuje kao i u sluaju za tw.

V-21

Sistemi opsluivanja sa grupnim dolaskom jedinica u sistem konstantna veliina grupe Karakteristike jednokanalnog sistema opsluivanja sa grupnim dolaskom jedinica (konstantna veliina grupe) u sistem i ogranienim brojem mesta u sistemu su sledee: *22 sistem ima jedan kanal za opsluivanje (c=1), dok se u sistemu moe nai

maksimalno n jedinica. jedinice dolaze u sistem u grupama veliine r, veliina grupe je konstantna.

Vremenski intervali izmeu dolazaka grupa jedinica u sistem su raspodeljeni po eksponencijalnoj raspodeli sa parametrom . Srednji intenziteti dolaska grupa u zavisnosti od stanja sistema imaju sledee vredosti:

===

ni0n,...,1,0i

i

jedinice se opsluuju pojedinano. Vreme trajanja opsluivanja jedinica raspodeljeno je po eksponencijalnoj raspodeli sa parametrom tj. opsluivanje jedinica predstavlja proces umiranja.

Kendall - ova oznaka ovog sistema je M[r]/M/1/n. pravilo prihvatanja iz reda na opsluivanje je "prva prispela - prva opsluena"

(FIFO). Proces dolaska jedinica (u grupama) i proces opsluivanja jedinica su nezavisni jedan od drugog. *23 Stanje sistema se odreuje na osnovu broja jedinica u sistemu. Ukoliko se posmatra samo dolazak jedinica (grupa) u sistem tada stanja sistema X=i (i = 0,1, ... ,i-1) imaju iste osobine. U svako od tih stanja sistema moe se doi samo iz stanja koja su r stanja levo od posmatranog stanja, to odgovara pretpostavki konstantne veliine grupe. Sa leve strane u stanje sistema X=n moe se doi iz stanja X=n-r, ..., X=n-1, to znai da cela grupa moda nee biti prihvaena u sistem ve samo k jedinica k=1,2, ..., r. U stanja sistema X=0, ..., X=r-1 ne moe se doi ni iz jednog stanja koje je sa leve strane od posmatranog stanja sistema. Ako se posmatra samo opsluivanje jedinica, i ako se uoi stanje sistema X=i oigledno je da se u stanje X=i moe prei samo iz stanja koja su sa desne strane stanja X=i tj. iz stanja X=i+1. Slino, iz stanja X=i je jedino mogue prei u stanje X=i1 koje je sa leve strane u odnosu na stanje X=i. U skladu sa prethodnim tekstom i injenicom da intenzitet dolaska grupe jedinica i intenzitet opsluivanja ne zavise od vremena, matrica intenziteta prelaska (tranzicije) Q za jednokanalni sistem opsluivanja sa grupnim dolaskom jedinica (konstantna veliina grupe) i konanim brojem mesta u sistemu je oblika:

V-22

1n1nn1n...rn.1rr.10...0.00.00

)(...0.00.000...0.00.00

............0....00.000...)(.00.00

0...0.00.00............00...0.0.0000....)(.0000...0.0)(.00............00...0.00.000...0.0.)(00...0.0.0

Q

+++

+

+

+

+

+

= (43)

Na osnovu matrice Q (43) formira se dijagram promene stanja jednokanalnog sistema opsluivanja sa grupnim dolaskom jedinica (konstantna veliina grupe) i konanim brojem mesta u sistemu: *24 (slika V-4)

Slika V-4. Dijagram promene stanja jednokanalnog sistema opsluivanja sa

grupnim dolaskom jedinica u sistem (konstantna veliina grupe) i ogranienim brojem mesta u sistemu.

Zamenom matrice Q (43) u izraz (15 predavanje 04) dobija se sistem diferencijalnih jednaina koji opisuje stanja jednokanalnog sistema opsluivanja sa grupnim dolaskom jedinica u sistem (konstantna veliina grupe) i ogranienim brojem mesta u sistemu: *25 ( ) )t(p)t(p

dttdp

100 += ;

M

)t(p)t(p)(dt

)t(dp1ii

i +++= ; i=1, ...., r1, M (44)

)t(p)t(p)()t(pdt

)t(dp1iiri

i + ++= ; i=r, ...., n1, M

V-23

=

= 1nrnj

njn )t(p)t(pdt

)t(dp ;

Za sluaj kada t , (osobina ergodinosti homogenog sluajnog procesa Markov-a) verovatnoe stanja sistema ne zavise od poetnih uslova, poetnog trenutka i prvi izvodi verovatnoa stanja tee nuli tj. 0)t(p'k pa samim tim i verovatnoe stanja postaju konstantne kk p)t(p . Tada sistem diferencijalnih jednaina prelazi u sistem algebarskih jednaina oblika:

10 pp0 += ; M

1ii pp)(0 +++= ; i=1, ...., r1, M (45)

1iiri pp)(p0 + ++= ; i=r, ...., n1, M

=

= 1nrnj

nj pp0 ;

Sistem algebarskih jednaina (45) predstavlja homogeni sistem algebarskih jednaina, za ije reavanje je potrebno uvesti jo jednu dodatnu jednainu. Ta dodatna jednaina je tzv. normirajui uslov tj. da je suma svih verovatnoa stanja jednaka jedinici:

1pn

0ii =

= (46)

Osnovne karakteristike jednokanalnog sistema opsluivanja sa grupnim dolaskom jedinica u sistem (konstantna veliina grupe) i ogranienim brojem mesta u sistemu odreuju se na isti nain kao to prikazano u prethodnom tekstu (izrazi 38 42).

V-24

Sistemi sa grupnim opsluivanjem jedinica Kod sistema sa grupnim opsluivanjem, podrazumeva se da jedinice dolaze u sistem jedna po jedna, ali se opsluuju u grupama. Radi jednostavnosti, pretpostavlja se da je veliina grupe koja se opsluuje konstantna veliine r. Kad se radi o grupnom opsluivanju, postoje nova dva faktora koja se odnose na disciplinu u redu: (1) kanal za opsluivanje eka na dolazak jedinica kada ih u redu, u trenutku zavretka opsluivanja, ima manje od r i (2) kanal za opsluivanje poinje opsluivanje iako u redu ima manje jedinica od r. U ovom sluaju jedinice koje dou u sistem, poto je opsluivanje poelo, mogu se naknadno prikljuiti opsluivanju ili moraju da ekaju na opsluivanje u sledeoj grupi. Karakteristike jednokanalnog sistema opsluivanja sa pojedinanim dolaskom jedinica u sistem, grupnim opsluivanjem jedinica i ogranienim brojem mesta u sistemu su sledee: *26 sistem ima jedan kanal za opsluivanje (c=1), dok se u sistemu moe nai

maksimalno n jedinica. vremenski intervali izmeu dolazaka jedinica u sistem su raspodeljeni po

eksponencijalnoj raspodeli sa parametrom (=const.) tj. dolazni tok je proces raanja tj. Poisson-ov proces, odnosno:

===

ni0n,...,1,0i

i

vreme trajanja opsluivanja grupe jedinica raspodeljeno je po eksponencijalnoj raspodeli sa parametrom (=const.). Maksimalan broj jedinica u grupi je r, dok je maksimalan broj jedinica u sistemu n. Ukoliko je broj jedinica u sistemu manji od r one se opsluuju istim intenzitetom kao i da je u sistemu r jedinica tj. ne eka se da se u sistemu pojavi r jedinica da bi opsluivanje poelo.

Kendall - ova oznaka ovog sistema je M/M[r]/1/(n). pravilo prihvatanja iz reda na opsluivanje je "prva prispela - prva opsluena"

(FIFO). Proces dolaska jedinica i proces opsluivanja jedinica (u grupama) su nezavisni jedan od drugog. *27 Ako se posmatra samo dolazak jedinica u sistem, i ako se uoi stanje sistema X=i oigledno je da se u stanje X=i moe prei samo iz stanja koja su sa leve strane stanja X=i tj. iz stanja X=i1. Slino, iz stanja X=i je jedino mogue prei u stanje X=i+1 koje je sa desne strane u odnosu na stanje X=i. Ukoliko se posmatra samo opsluivanje jedinica (u grupama) u sistemu tada stanja sistema X=i (i = r, ... ,n-r) imaju iste osobine. U svako od tih stanja sistema moe se doi samo iz stanja koja su r stanja desno od posmatranog stanja (maksimalna veliina grupe), dok je prelazak iz tih stanja mogu jedino u stanja koja su r stanja

V-25

levo od posmatranog stanja. Iz stanja X=nr+1, ..., X=n, jedini mogui prelazak je u stanja koja su r stanja levo od posmatranog stanja. U stanja X=1, ..., X=r1, moe se doi samo iz stanja koja su r stanja desno od posmatranog stanja, dok se iz tih stanja moe jedino prei u stanje X=0. U stanje sistema X=0 moe se doi iz stanja X=1, ..., X=r. U skladu sa prethodnim tekstom i injenicom da intenzitet dolaska grupe jedinica i intenzitet opsluivanja ne zavise od vremena, matrica intenziteta prelaska (tranzicije) Q za jednokanalni sistem sa grupnim opsluivanjem jedinica (konstantna veliina grupe) i konanim brojem mesta u sistemu je oblika:

1n1n00.0.000.000)(0.0.000.000

0)(.00.000.000..............000.)(0.000.000000.)(.000.000..............000.00.)(00.00000.00.)(0.00000.00.0)(.00..............000.00.000.)(0000.00.000.)(000.00.000.0

Q

++

+

+

++

++

+

++

= (47)

Na osnovu matrice Q (47) formira se dijagram promene stanja jednokanalnog sistema sa grupnim opsluivanjem jedinica (konstantna veliina grupe) i konanim brojem mesta u sistemu: *28 (slika V-5)

Slika V-5. Dijagram promene stanja jednokanalnog sistema sa grupnim

opsluivanjem jedinica (konstantna veliina grupe) i konanim brojem mesta u sistemu.

Zamenom matrice Q (47) u izraz (15 predavanje 04) dobija se sistem diferencijalnih jednaina koji opisuje stanja jednokanalnog sistema sa grupnim opsluivanjem jedinica (konstantna veliina grupe) i konanim brojem mesta u sistemu: *29 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tp...tptp

dttdp

r100 +++=

M

V-26

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) rn...,,1i;tptptpdt

tdprii1i

i =++= + M (48) ( ) ( ) ( ) ( ) 1n...,,1rni;tptp

dttdp

i1ii +=+=

M ( ) ( ) ( )tptpdt

tdpn1n

n = Za sluaj kada t , (osobina ergodinosti homogenog sluajnog procesa Markov-a) verovatnoe stanja sistema ne zavise od poetnih uslova, poetnog trenutka i prvi izvodi verovatnoa stanja tee nuli tj. 0)t(p'k pa samim tim i verovatnoe stanja postaju konstantne kk p)t(p . Tada sistem diferencijalnih jednaina prelazi u sistem algebarskih jednaina oblika: [ ]r10 p...pp0 +++= M ( ) rn...,,1i;ppp0 rii1i =++= + M (49) ( ) 1n...,,1rni;pp0 i1i +=+= M

n1n pp0 = Sistem algebarskih jednaina (49) predstavlja homogeni sistem algebarskih jednaina, za ije reavanje je potrebno uvesti jo jednu dodatnu jednainu. Ta dodatna jednaina je tzv. normirajui uslov tj. da je suma svih verovatnoa stanja jednaka jedinici:

1pn

0ii =

= (50)

Osnovne karakteristike jednokanalnog sistema opsluivanja sa grupnim dolaskom jedinica u sistem i ogranienim brojem mesta u sistemu su: *30 Verovatnoa opsluivanja (Pops), Srednji broj zauzetih kanala (cz), Srednji broj jedinica u sistemu (Nws), Srednje vreme koje jedinica provede u sistemu (tws).

V-27

Verovatnoa opsluivanja (Pops) Verovatnoa opsluivanja jedne jedinice predstavlja verovatnou da jedinica koja zahteva opsluivanje bude prihvaena u sistem tj. ne dobije otkaz. Jedinica e biti prihvaena u sistem ako u njemu ima bar jedno slobodno mesto u redu. Verovatnoa opsluivanja jedinice se izraunava kao:

=

= 1n0i

iops pP (51)

Srednji broj zauzetih kanala (cz) Srednji broj zauzetih kanala predstavlja oekivani broj kanala koji rade. Srednji broj zauzetih kanala se izraunava kao:

=

+= n1i

i0z p1p0c (52)

Srednji broj jedinica u sistemu (Nws) Srednji broj jedinica u sistemu predstavlja oekivani broj jedinica u sistemu. Srednji broj jedinica u sistemu se izraunava kao:

=

= n0i

iws piN (53)

Srednje vreme koje jedinica provede u sistemu (tws) Srednje vreme koje jedinica provede u sistemu predstavlja oekivano vreme koje e data jedinica provesti u sistemu i direktno se moe dobiti primenom Little-ove formule tj. deljenjem srednjeg broja jedinica u sistemu (Nws) sa prosenim intenzitetom dolaska ( ):

=ws

wsNt ,

gde se proseni intenzitet dolaznog toka se izraunava kao:

n1n10n

0iii p0)p...pp(p ++++==

=

odnosno: )p1( n= .

V-28

Primena Teorije Redova Teorija redova se ne bavi direktno sa postizanjem osnovnog cilja Operacionih istraivanja: donoenjem optimalnih odluka. Tanije, teorija redova daje informaciju o ponaanju sistema opsluivanja. Ova teorija obezbeuje deo informacija potreban za upravljanje analizama Operacionih istraivanja u pokuajima da se pronae najbolja konfiguracija sistema opsluivanja. Donoenje odluka (odluivanje) Situacije u sistemima opsluivanja koje zahtevaju donoenje odluka nastaju iz velike raznolikosti prirode samog problema opsluivanja. Iz tog razloga, nije mogue formulisati jednu jedinu proceduru za donoenje odluka primenljivu u svim situacijama opsluivanja. Projektovanje sistema opsluivanja, u najveem broju sluajeva, zahteva donoenje jedne odluke ili kombinacije sledeih odluka: *31 1. Broj kanala u modulu (fazi) opsluivanja, 2. Efikasnost kanala za opsluivanje, 3. Broj modula (faza) opsluivanja. Kada se postavljeni problem formulie terminima modela opsluivanja, odgovarajue promenljive na osnovu kojih se donosi odluka su: *32 c broj kanala za opsluivanje u svakm modulu (fazi) opsluivanja, srednji intenzitet opsluivanja kanala za opsluivanje, i srednji intenzitet dolaska jedinica u svaki od modula (faza) opsluivanja. Broj modula (faza) opsluivanja je direktno povezan sa . Ako se pretpostavi da je optereenje modula (faza) opsluivanja ravnomerno, tada predstavlja kolinik ukupnog srednjeg intenziteta dolaska jedinica (p) u sve module (faze) opsluivanja tj. sistem opsluivanja i broja modula (faza) opsluivanja. Donoenje odluke o broju kanala za opsluivanje je najea u praksi, dok donoenje ostalih dveju odluka takoe se esto javlja, naroito kod zatvorenih sistema opsluivanja. Primer donoenja odluke vezane za efikasnost kanala za opsluivanje je npr. izbor vrste opreme za manipulaciju teretom (kanali) za obezbeivanje transporta odreene vrste robe (jedinice). Drugi takav primer je odreivanje veliine servisne ekipe koja radi na odravanju (cela ekipa je jedan kanal za opsluivanje).

V-29

Ostale odluke su vezane za broj modula za opsluivanje, kao to su broj centara za kopiranje, raunarskih uionica, spremita za alate, skladinih povrina, itd., i njihov raspored na odreenoj povrini. Sve razmatrane odluke sadre u sebi osnovno pitanje odgovarajueg nivoa opsluivanja koji treba obezbediti u sistemu opsluivanja. Odluke vezane za obezbeivanje potrebnog kapaciteta opsluivanja se obino donose na osnovu sledea dva parametra: *33 1. trokova nastalih pruanjem odgovarajue usluge (trokovi opsluivanja), kao

to je prikazano na slici V-6, i 2. vremena ekanja na datu uslugu, kao to je predloeno na slici V-7.

Slika V-6. Trokovi opsluivanja. *34 Slika V-7. Vreme ekanja na uslugu.

Zavisnost prikazana na slici V-7 je mogue dobiti koristei izraze za vreme provedeno u sistemu (redu) odgovarajuih modela teorije redova. Ova dva razmatrana parametra stvaraju suprotstavljene zahteve kod donosioca odluka. Kriterijum smanjenja trokova opsluivanja preporuuje minimalan nivo usluge. Sa druge strane, dugo vreme ekanja je nepoeljno, to zahteva visoki nivo usluge. Prema tome, neophodno je nastojati da se doe do neke vrste kompromisa. Kao pomo u traenju kompromisa, slike V-6 i V-7 se mogu kombinovati, kao to je prikazano na slici V-8.

Slika V-8. Zavisnost vremena ekanja na opsluivanje od trokova opsluivanja.

V-30

Problem je na taj nain redukovan na izbor jedne take na krivoj, prikazanoj na slici V-8, koja predstavlja najbolji odnos izmeu srednjeg vremena ekanja na opsluivanje i trokova obezbeivanja date usluge. Odgovarajui nivo usluge dobija se na osnovu izabranih vrednosti za srednje vreme ekanja i trokove opsluivanja iz dijagrama na slikama V-6 i V-7. Odreivanje odgovarajueg odnosa izmeu vremena ekanja i trokova opsluivanja zahteva odgovor na pitanja kao to su: Koliki troak opsluivanja je ekvivalentan vremenu ekanja klijenta na opsluivanje od jedne vremenske jedinice? Prema tome, da bi mogli da se porede vremena ekanja na opsluivanje i trokovi opsluivanja, potrebno je usvojiti (eksplicitno ili implicitno) zajedniku meru njihovog uticaja. Prirodan izbor za ovu zajedniku meru su trokovi, to zahteva procenu trokova ekanja na opsluivanje. Zbog velikog broja razliitih sistema opsluivanja, ne postoji univerzalno primenljivi proces za procenu trokova ekanja na opsluivanje. U narednom tekstu bie razmatrano nekoliko karakteristinih sistema opsluivanja. Jedna velika kategorija sistema opsluivanja je ona gde klijenti ne pripadaju organizaciji koja prua opsluivanje tj. oni su autsajderi koji donose svoj posao organizaciji. Razmotrie se prvo sluaj profitnih organizacija (tipian predstavnik su sistemi za pruanje komercijalnih usluga). Sa stanovita donosioca odluka, trokovi ekanja na opsluivanje najverovatnije se primarno sastoje od izgubljene zarade zbog izgubljenog posla. *35 Izgubljeni posao moe da se dogodi odmah (klijent postaje nestrpljiv i odlazi) ili u budunosti (klijent je dovoljno iritiran da vie ponovo nee da doe). Ovu vrstu trokova je teko proceniti, i neophodno je da se pree na drugi kriterijum, kao to je prihvatljiva raspodela verovatnoa vremena ekanja na opsluivanje. U sluaju da klijent nije ljudsko bie, ve posao koji se izvrava po narudbini, mnogo je lake identifikovati trokove nastale ekanjem, kao to su npr. trokovi prouzrokovani neiskorienou zaliha, trokovi vezani za poveanje administrativnih napora ili trokovi vezani za poslove otpreme robe itd. Sada e se razmatrati sluaj kada opsluivanje prua na neprofitnoj bazi klijentima koji ne pripadaju organizaciji koja prua opsluivanje (tipian predstavnik su socijalne slube i neke organizacije koje pruaju transportne usluge). U ovom sluaju, trokovi ekanja su obino neka vrsta socijalnih trokova. *36 Stoga je neophodno vrednovati posledice nastalog ekanja na ukljuene osobe i/ili drutvo kao celinu i pokuati proceniti (dodeliti) novanu vrednost da se izbegnu ove posledice. I u ovom sluaju, ovu vrstu trokova je veoma teko proceniti, i moda je neophodno prei na neki drugi kriterijum.

V-31

Situacija je mnogo pogodnija kada je potrebno proceniti trokove ekanja ako klijenti pripadaju organizaciji koja prua opsluivanje (svi zatvoreni sistemi opsluivanja). Npr. klijenti mogu da budu maine ili zaposleni u preduzeu. Otud je mogue direktno identifikovati neke od ili sve trokove vezane za prazan hod ovih klijenata. Tipino, ono to se gubi u sluaju da ovi klijenti nisu zaposleni (ekaju) je produktivnost, u tom sluaju trokovi ekanja postaju izgubljena zarada usled izgubljene produktivnosti. *37 Pod pretpostavkom da su trokovi ekanja eksplicitno procenjeni, ostatak analize je koncepcijski jasan. Cilj je odrediti nivo usluge koji minimizuje oekivane ukupne trokove tj. oekivane trokove opsluivanja i oekivane trokove ekanja na dato opsluivanje. Opisani koncept je prikazan na slici V-9, gde su T trokovi ekanja, TO trokovi opsluivanja, i UT ukupni trokovi. Matematiki zapis ove funkcije cilja je: *38 Minimalizovati E(UT) = E(TO) + E(T). (54)

Slika V-9. Odreivanje nivoa usluge koji minimalizuje ukupne trokove.

U narednom tekstu bie prikazano kako se oekivani trokovi ekanja E(T) mogu izraziti matematiki. Formulisanje funkcije trokova ekanja Da bi se matematiki odredili E(T), prvo je potrebno formulisati funkciju trokova ekanja koja opisuje kako se nastali stvarni trokovi ekanja menjaju u zavisnosti od ponaanja (promene stanja) sistema opsluivanja. Oblik ove funkcije zavisi od vrste sistema opsluivanja. Meutim, veina situacija koje nastaju kod opsluivanja, vezanih za trokove ekanja, se moe predstaviti jednom od dve osnovne forme funkcije trokova ekanja koje su opisane u daljem tekstu.

V-32

Forma g(n) funkcije trokova ekanja Analizirae se situacija gde klijenti sistema opsluivanja pripadaju organizaciji koja prua opsluivanje (zatvoreni sistem opsluivanja), tako da su primarni trokovi ekanja: izgubljena zarada usled izgubljene produktivnosti. *39 Veliina izgubljene produktivnosti je ponekad proporcionalna broju klijenata u sistemu opsluivanja. Ipak, u mnogo sluajeva ne postoji dovoljno obezbeenog posla koji bi drao sve lanove populacije neprestano zaposlenim. Zato, mali gubitak produktivnosti moe nastati ako samo nekoliko klijenata (lanova populacije) ne radi (ne funkcionie) tj. eka na opsluivanje. Gubitak produktivnosti se znaajno moe poveati ako pored tih nekoliko klijenata jo odreeni broj klijenata prestane da radi (funkcionie), zato to zahteva opsluivanje. Prema tome, osnovni parametar sistema opsluivanja koji odreuje veliinu nastalih trokova ekanja je n, tj. broj klijenata u sistemu koji zahteva opsluivanje. Stoga forma funkcije trokova ekanja, u ovom sluaju u zavisnosti od n, je prikazana na slici V-10 i oznaava se sa g(n).

Slika V-10. Funkcija trokova ekanja u zavisnosti od n.

Funkcija g(n) se konstruie za svaku odreenu situaciju procenjivanjem g(n) veliine nastalih trokova ekanja kada je n = 1, 2, . . . , gde je g(0) = 0. Nakon to se izraunaju verovatnoe stanja sistema (pn = P(X=n), n=0,1,2, ... ,N; N ukupan broj jedinica u sistemu) za datu konfiguraciju sistema opsluivanja, mogue je izraunati:

E(T) = E(g(n)). Poto je n diskretna sluajna promenljiva, oekivana vrednost za E(g(n)) se dobija koristei izraz za izraunavanje oekivane vrednosti funkcije diskretne sluajne promenljive: *40

=

= N0n

np)n(g)T(E . (55)

V-33

Linearan sluaj. Za specijalan sluaj, kada je g(n) linearna funkcija (tj. kada su trokovi ekanja proporcionalni n), vai da je: *41 g(n) = Cwn, (56) gde su Cw trokovi ekanja po jedinici vremena za svakog klijenata (lana populacije). U ovom sluaju, E(T) se izraunava kao:

LCpnC)T(E wN

0nnw ==

=. (vidi izraz 11) (57)

Forma h(Ts) funkcije trokova ekanja Analizira se situacija kada klijenti sistema opsluivanja ne pripadaju organizaciji koja prua opsluivanje. Tri najvee vrste sistema opsluivanja, kao to su sistemi za pruanje komercijalnih usluga, transportnih usluga i sistemi socijalnih slubi, spadaju u tu kategoriju. U sluaju sistema za pruanje komercijalnih usluga, osnovni troak ekanja je izgubljena zarada zbog izgubljenog budueg posla. *42 Za sisteme za pruanje transportnih usluga kao i za sisteme socijalnih slubi, primarni troak ekanja se iskazuje u formi socijalnih trokova. Meutim, za obe vrste trokova vai da njihova veliina tei da bude pod velikim uticajem duine vremena koje klijent provede u sistemu za opsluivanje. Prema tome, osnovni parametar sistema opsluivanja koji odreuje veliinu nastalih trokova ekanja je Ts, vreme koje klijent provede u sistemu, za svakog klijenta pojedinano. Stoga forma funkcije trokova ekanja, u ovom sluaju u zavisnosti od Ts, je prikazana na slici V-11 i oznaava se sa h(Ts).

Slika V-11. Funkcija trokova ekanja u zavisnosti od Ts.

h(Ts)

V-34

Potrebno je naglasiti da je funkcije h(Ts), prikazana na slici V-11, rastua funkcija iji se nagib poveava kako Ts raste. Iako funkcija h(Ts) ponekad moe da bude i linearna funkcija, daleko je uobiajenije da ona ima prikazan nelinearan oblik. Poveanje nagiba odraava situaciju gde konani trokovi poveanja vremena ekanja nesrazmerno rastu. Najverovatnije klijent nee obraati panju na ekanje normalne duine, to znai da zapravo nee biti negativnih posledica za organizacija koja prua usluge izraenih kroz izgubljenu zaradu zbog izgubljenog budueg posla, socijalnih trokova itd. U sluaju kada se ekanje produi klijent moe da postane vidno nervozan, najverovatnije zbog proputenih rokova. U takvim situacijama, negativne posledice po organizaciju mogu brzo postati relativno ozbiljne. Jedan od naina da se konstruie funkcija h(Ts) je da se proceni h(t) (trokovi ekanja nastali kada klijent u sistemu provede vreme Ts = t) za nekoliko vrednosti t i nakon toga da se kroz dobijene take provue odgovarajua kriva (polinom). Oekivana vrednost ove funkcije neprekidne sluajne promenljive je definisana kao:

=0

s dt)t(f)t(h))T(h(E

gde je f(t) gustina raspodele Ts. Dalje, poto su E(h(Ts)) oekivani trokovi ekanja po klijentu i E(T) oekivani trokovi ekanja po jedinici vremena, oigledno je da ove dve veliine u ovom sluaju nisu iste. Da bi se one izjednaile, neophodno je E(h(Ts)) pomnoiti sa oekivanim brojem klijenata u jedinici vremena koje ulaze u sistem opsluivanja. Posebno, ako je srednji intenzitet dolaska klijenata konstantan, dobija se: *43

==0

s dt)t(f)t(h))T(h(E)T(E (58)

Linearan sluaj. Za specijalan sluaj gde je h(Ts) linearna funkcija, tj. *44 h(Ts) = CwTs, i gde su Cw trokovi ekanja po jedinici vremena za svakog klijenata, tada se izraunavanje E(T) svodi na: E(T) =E(CwTs) = Cw(tws) = CwNws. (59) Potrebno je naglasiti da je dobijeni rezultat identian sa rezultatom dobijenim kada je g(n) linearna funkcija. Prema tome, kada su ukupni trokovi ekanja nastali u

V-35

sistemu opsluivanja proporcionalni ukupnom vremenu ekanja, svejedno je da li je forma g(n) ili h(Ts) uzeta za prikazivanje funkcije trokova. Modeli za odluivanje (donoenje odluka) Tri najee koriene promenljive u modelima odluivanja pri projektovanju sistema opsluivanja su: c (broj kanala za opsluivanje), (srednji intenzitet opsluivanja za svaki kanal), i (srednji intenzitet dolaska jedinica u svaki modul opsluivanja). Formulacije modela i donoenje nekih od ovih odluka bie prikazano u narednom tekstu. Model 1 Nepoznat broj kanala za opsluivanje c Model 1 je namenjen za sluaj kada su oba intenziteta i fiksna za odreeni modul opsluivanja, ali gde se mora doneti odluka o potrebnom broju kanala za opsluivanje koje treba da ima modul opsluivanja. Formulacija Modela 1. *45 Definicija: Cc = trokovi kanala za opsluivanje u jedinici vremena. Dato: , , Cc. Potrebno odrediti: c. Funkcija cilja: Minimizovati E(UT) = Ccc + E(T). Poto samo nekoliko vrednosti za c treba da bude razmotreno, uobiajen nain za reavanje ovog modela je izraunavanje E(T) za razmatrane vrednosti c i izbor one za koju je funkcija cilja minimalna. Model 1a definisanje i primena U narednom tekstu bie prikazana procedura za dobijanje optimalnog broja kanala za opsluivanje zasnovana samo na performansama sistema opsluivanja. Osnovna potekoa pri optimizaciji sistema opsluivanja je u izboru funkcije cilja. Jedan od naina za analizu funkcionisanja sistema opsluivanja je uporeivanje dva suprotna pokazatelja efektivnosti: verovatnoe opsluivanja (Pops) i koeficijenta zauzetosti kanala za opsluivanje (cz/c) (slika V-12), gde cz predstavlja srednji broj zauzetih kanala za opsluivanje dok su intenzitet dolaska jedinica i intenzitet opsluivanja konstantni. Pod tim uslovima potrebno je odrediti optimalan broj kanala za opsluivanje (c=copt).

V-36

Za konstantne vrednosti intenziteta dolaska jedinica i intenziteta opsluivanja oigledno je, sa slike V-12, da se verovatnoa opsluivanja (Pops) poveava kada se poveava broj kanala za opsluivanje u sistemu, dok se koeficijent zauzetosti kanala za opsluivanje (cz/c) smanjuje. Npr. za intenzitet opsluivanja =0,25, intenzitet dolaska jedinica =0,5 i broj kanala za opsluivanje c=10, verovatnoa opsluivanja je priblino jednaka jedinici tj. Pops1, dok je koeficijent zauzetosti kanala za opsluivanje relativno nizak tj. cz/c=0,19. Ova konfiguracija sistema je dobra sa gledita klijenta (jedinice) jer je opsluivanje dobro, ali sa stanovita iskorienja sistema ona je loa jer 81% kanala za opsluivanje ne radi. Oigledno je da ova konfiguracija sistema nije optimalna. Dalje poveanje broja kanala za opsluivanje e neznatno poveati verovatnou opsluivanja ali e smanjiti koeficijent zauzetosti kanala za opsluivanje. Sa druge strane, kada je broj kanala za opsluivane jednak jedan (c=1) verovatnoa opsluivanja je Pops=0,33, dok je koeficijent zauzetosti kanala za opsluivanje cz/c=0,67 to pokazuje da je opsluivanje jedinica loe dok je iskorienje sistema dobro. Za konfiguraciju sistema od dva kanala za opsluivanje, verovatnoa opsluivanja i koeficijent iskorienja kanala za opsluivanje su meusobno jednaki tj. Pops=cz/c=0,6.

Slika V-12. Promena Pops i cz/c u zavisnosti od broja kanala za konstantan

intenzitet dolaska i intenzitet opsluivanja . U skladu sa prethodnim tekstom optimalni broj kanala za opsluivanje moe se odrediti kada verovatnoa opsluivanja i koeficijent zauzetosti kanala za opsluivanje imaju iste vrednosti tj. Pops=cz/c za konstantne vrednosti intenziteta dolaska jedinica i intenziteta opsluivanja :

.const.,constza,c

cPakocc zopsopt ====

V-37

Pokazatelj efektivnosti: verovatnoa opsluivanja (Pops), u ovom modelu optimizacije sistema opsluivanja, moe se zameniti otrijim pokazateljem: verovatnoom da jedinica u sistemu nee boraviti due od nekog zadatog vremena t, tj. )tT(P s . Ovaj optimizacioni model moe da se postavi i drugaije tj. mogue je odrediti intenzitet dolaska jedinica u sistem koji sistem opsluivanja moe da opslui na optimalan nain za datu konfiguraciju sistema tj. poznat broj kanala za opsluivanje (c) i poznat intenzitet opsluivanja ().

.const.,constcza,c

cPako zopsopt ==== Formulacija Modela 1a. *46 Definicija: Pops = verovatnoa opsluivanja. cz/c = koeficijent zauzetosti kanala. cz = srednji broj zauzetih kanala. Dato: , . Potrebno odrediti: c. Funkcija cilja: Pops=cz/c. Model 2 Nepoznato i c Model 2 se koristi u sluaju gde treba odrediti: efikasnost opsluivanja, mereno preko intenziteta opsluivanja , kao i broj kanala za opsluivanje c za dati modul opsluivanja. Alternativne vrednosti za mogu biti raspoloive zato to postoji izbor vezan za kvalitet kanala za opsluivanje. Npr. u sluaju kada su kanali za opsluivanje transportni ureaji, kvalitet ureaja koji utie na izbor jeste njegov intenzitet opsluivanja brzina pri transportu tereta. Druga mogunost izbora alternativnih vrednosti za je preko brzine kanala za opsluivanje koja moe da se podesi mehaniki. Npr. brzina maine esto se moe podeavati promenom koliine utroene snage, to takoe menja cenu opsluivanja. Druga vrsta primera je izbor potrebnog broja ekipa tj. timova (kanali za opsluivanje) i njihove veliine (to odreuje ) za zajedniko obavljanje odreenog zadatka. Taj zadatak moe da bude: rad na odravanju, utovarno istovarne operacije, rad na pregledima instalacija, podeavanje maina, itd.

V-38

U najveem broju sluajeva, postoji samo nekoliko moguih alternativnih vrednosti za tj. efikasnost razliitih tipova transportnih ureaja ili efikasnost timova razliitih veliina. Formulacija Modela 2. *47 Definicija: f() = trokovi kanala za opsluivanje u jedinici vremena

ako je srednji intenzitet opsluivanja . A = skup dopustivih vrednosti za .

Dato: , f(), A. Potrebno odrediti: , c. Funkcija cilja: Minimalizovati E(UT) = f()c + E(T), gde A . Primena Modela 2. Primena Modela 2 je relativno jednostavna kada je broj kanala za opsluivanje fiksan, npr. c=1, i broj moguih alternativnih vrednosti za konaan. Ako c nije fiksno, potrebno je dati problem reavati u dve etape. Prvo, za svaku pojedinanu vrednost za , potrebno je odrediti Cc = f(), i pronai onu vrednost za c koja minimalizuje E(UT) prema Modelu 1. Drugo, uporediti vrednosti E(UT) za alternativne vrednosti , i izabrati onu koja daje ukupni minimum. Kada je broj moguih alternativnih vrednosti za neogranien (npr. kada se brzina maine ili nekog dela opreme podeava mehaniki u nekom dopustivom intervalu), drugaiji dvo-etapni pristup ponekad moe da se koristi za reavanje problema. Prvo, za svaku pojedinanu vrednost c, analitiki je potrebno odrediti vrednost za koja minimalizuje E(UT). [Ovaj pristup zahteva izjednaavanje prvog izvoda oekivanih ukupnih trokova po sa nulom i nakon toga reavanje date jednaine po , to se moe jedino uraditi kada postoje analitiki izrazi za f() i E(T).] Drugo, uporeivanjem minimalnih E(UT) za alternativne vrednosti c, izabrati one koji daju ukupni minimum. Model 3 Nepoznato i c Model 3 se koristi u sluaju kada je u sistemu opsluivanja potrebno odrediti i broj modula opsluivanja i broj kanala za opsluivanje c u svakom modulu opsluivanja. Karakteristini primer je sledei, odreenoj populaciji (npr. zaposleni u poslovnim ili industrijskim zgradama) potrebno je obezbediti neku vrstu opsluivanja, stoga se mora doneti odluka koji deo date populacije (a samim tim i koja vrednost za ) e biti dodeljen svakom modulu opsluivanja. Primeri takvih modula opsluivanja ukljuuju module vezane za zaposlene (fontane sa pijaom

V-39

vodom, prostorije za odmor), magacine, kopir centre itd. Ponekad je jasno da samo jedan kanal za opsluivanje treba da bude u svakom modulu opsluivanja (npr. jedna fontana sa pijaom vodom, jedna kopir maina), ali broj kanala za opsluivanje c je takoe esto promenljiva odluivanja. Radi pojednostavljenja modela, zahteva se da kod primene Modela 3 i c budu isti za sve module opsluivanja. Ipak, potrebno je naglasiti da manja poboljanja u dobijenom reenju mogu se postii dozvoljavanjem neznatnih odstupanja ovih parametara u pojedinim modulima. Ovo je potrebno ispitati kao deo detaljne analize koja po pravilu sledi nakon primene matematikog modela. Formulacija Modela 3. *48 Definicije: Cc = trokovi kanala za opsluivanje u jedinici vremena.

Cf = konstantni trokovi opsluivanja po modulu u jedinici vremena. p = srednji intenzitet dolaska cele populacije jedinica u sistem opsluivanja. n = broj modula opsluivanja = p/.

Dato: , Cc, Cf, p. Potrebno odrediti: , c. Funkcija cilja: Minimimalizovati E(UT), gde je = p/n, za n = 1, 2, . . . . Odreivanje E(UT). Na prvi pogled moe da se uini da je odgovarajui izraz za oekivane ukupne trokove po jedinici vremena za sve module opsluivanja sledei: E(UT) = n[(Cf + Ccc) + E(T)], gde E(T) predstavljaju oekivane trokove ekanja po jedinici vremena za svaki modul opsluivanja. Meutim, ako je dati izraz zaista odgovarajui, to bi znailo da je optimalno reenje, dobijeno primenom Modela 3, bezuslovno za n=1. Svako drugo reenje (n, c) = (n*, c*) za n* > 1 ima vee trokove opsluivanja nego reenje (n, c) = (1, c*), kao i vee oekivane trokove ekanja zato to se ponekad raspoloivi kapaciteti opsluivanja koriste manje efikasno. Npr. ponekad neki kanali za opsluivanje u jednom modulu opsluivanja nemaju posla dok klijenti (jedinice) ekaju na opsluivanje ispred drugog modula, tako da je srednji intenzitet (zavrenih) opsluivanja manji nego u sluaju kada bi klijenti imali pristup svim kanalima za opsluivanje u jednom zajednikom modulu.

V-40

Zato to postoji mnogo situacija gde je oigledno da nije optimalno imati samo jedan modul opsluivanja (npr. broj prostorija za odmor u poslovnoj zgradi sa 10 spratova) predloeni izraz za oekivane ukupne trokove po jedinici vremena za sve module opsluivanja nije odgovarajui. Njegov nedostatak je to to razmatra samo trokove opsluivanja i trokove ekanja u modulu opsluivanja dok potpuno ignorie trokove vremena utroenog na putovanje do i od modula opsluivanja. Poto bi vreme utroeno na putovanje, u sistemu opsluivanja sa samo jednim modulom opsluivanja, bilo preterano veliko potrebno je dovoljan broj posebnih modula opsluivanja rasporediti unutar korisnike populacije (odreene oblasti) da bi se vreme potrebno za putovanje dovelo na razumni nivo. U skladu sa gornjim tekstom, neka je sluajna promenljiva T vreme potrebno klijentu (jedinici) za dolazak do i povratak nazad od jednog od modula opsluivanja, to dovodi do toga da je ukupno izgubljeno (neproduktivno) vreme po klijentu Ts + T. (Ts je srednje vreme koje jedinica provede u sistemu opsluivanja nakon prihvatanja u sistem). Tako da ukupni trokovi klijenta za izgubljeno vreme treba da budu raunati za Ts + T a ne samo za Ts. Radi jednostavnije analize potrebno je podeliti ukupne trokove na: trokove izgubljenog vremena zbog ekanja na opsluivanje, zasnovanih na Ts i trokove izgubljenog vremena zbog putovanja do i od modula opsluivanja, zasnovanih na T. Takoe e se pretpostaviti da su trokovi izgubljenog vremena zbog putovanja proporcionalni T, gde je Ct troak po klijentu po jedinici vremena provedenog u putu. Radi daljeg pojednostavljenja analize, pretpostavlja se da je raspodela verovatnoa za T ista za sve module opsluivanja tako da CtE(T) predstavlja oekivane trokove putovanja za svaki dolazak u bilo koji modul opsluivanja. Rezultujui izraz za E(UT) je sledei: *49 E(UT) = n[(Cf + Ccc) + E(T) + CtE(T)] (60) poto je oekivani broj dolazaka klijenata u jedinici vremena u svaki modul opsluivanja. Prema tome, izraunavanjem (ili procenom) E(T) za svaki sluaj od interesa pojedinano, Model 3 se moe reiti izraunavanjem E(UT) za razliite vrednosti c za svako n i nakon toga izborom onog reenja koje da je ukupni minimum.

V-41

PITANJA: 1. Karakteristika izvora jedinica kod zatvorenog sistema opsluivanja. 2. Karakteristike zatvorenog sistema opsluivanja. 3. Intenzitet zahteva za opsluivanjem zatvorenog sistema opsluivanja. 4. Intenzitet opsluivanja zatvorenog sistema opsluivanja. 5. Osnovne karakteristike jednokanalnog zatvorenog sistema opsluivanja. 6. Izrazi za intenzitete promene stanja jednokanalnog zatvorenog sistema

opsluivanja. 7. Stanja jednokanalnog zatvorenog sistema opsluivanja. 8. Dijagram promene stanja jednokanalnog zatvorenog sistema opsluivanja. 9. Izrazi za verovatnoe stanja jednokanalnog zatvorenog sistema opsluivanja. 10. Karakteristike koje opisuju rad jednokanalnog zatvorenog sistema opsluivanja. 11. Osnovne karakteristike viekanalnog zatvorenog sistema opsluivanja. 12. Izrazi za intenzitete promene stanja viekanalnog zatvorenog sistema

opsluivanja. 13. Stanja viekanalnog zatvorenog sistema opsluivanja. 14. Dijagram promene stanja viekanalnog zatvorenog sistema opsluivanja. 15. Izrazi za verovatnoe stanja viekanalnog zatvorenog sistema opsluivanja. 16. Karakteristike koje opisuju rad viekanalnog zatvorenog sistema opsluivanja. 17. Karakteristike jednokanalnog sistema opsluivanja sa grupnim dolaskom

jedinica u sistem i ogranienim brojem mesta u sistemu. 18. Mogue promene stanja jednokanalnog sistema opsluivanja sa grupnim

dolaskom jedinica u sistem i ogranienim brojem mesta u sistemu. 19. Dijagram promene stanja jednokanalnog sistema opsluivanja sa grupnim

dolaskom jedinica u sistem i ogranienim brojem mesta u sistemu. 20. Naini na koji se moe definisati intenzitet dolaska grupe u sistem. 21. Osnovne karakteristike jednokanalnog sistema opsluivanja sa grupnim

dolaskom jedinica u sistem i ogranienim brojem mesta u sistemu. 22. Karakteristike jednokanalnog sistema opsluivanja sa grupnim dolaskom

(konstantna veliina grupe) jedinica u sistem i ogranienim brojem mesta u sistemu.

23. Mogue promene stanja jednokanalnog sistema opsluivanja sa grupnim dolaskom (konstantna veliina grupe) jedinica u sistem i ogranienim brojem mesta u sistemu.

24. Dijagram promene stanja jednokanalnog sistema opsluivanja sa grupnim dolaskom (konstantna veliina grupe) jedinica u sistem i ogranienim brojem mesta u sistemu.

25. Diferencijalne jednaine stanja jednokanalnog sistema opsluivanja sa grupnim dolaskom jedinica u sistem (konstantna veliina grupe) i ogranienim brojem mesta u sistemu.

26. Karakteristike jednokanalnog sistema opsluivanja sa grupnim opsluivanjem jedinica i ogranienim brojem mesta u sistemu.

V-42

27. Mogue promene stanja jednokanalnog sistema opsluivanja sa grupnim opsluivanjem jedinica i ogranienim brojem mesta u sistemu.

28. Dijagram promene stanja jednokanalnog sistema sa grupnim opsluivanjem jedinica i konanim brojem mesta u sistemu.

29. Diferencijalne jednaine stanja jednokanalnog sistema sa grupnim opsluivanjem jedinica i konanim brojem mesta u sistemu.

30. Osnovne karakteristike jednokanalnog sistema opsluivanja sa grupnim dolaskom jedinica u sistem i konanim brojem mesta u sistemu.

31. Donoenje kojih odluka zahteva projektovanje sistema opsluivanja. 32. Promenljive na osnovu kojih se donosi odluka pri projektovanju sistema

opsluivanja. 33. Na osnovu koja dva parametra se donose odluke vezane za obezbeivanje

potrebnog kapaciteta opsluivanja (nivoa opsluivanja). 34. Zavisnost trokova opsluivanja i vremena ekanja na uslugu od nivoa

opsluivanja. 35. Na ta se odnose trokovi ekanja na opsluivanje u sluaju profitnih

organizacija. 36. Na ta se odnose trokovi ekanja na opsluivanje u sluaju neprofitnih

organizacija. 37. Na ta se odnose trokovi ekanja na opsluivanje u sistemima gde klijenti

pripadaju organizaciji koja prua opsluivanje. 38. Odreivanje nivoa usluge koji minimalizuje ukupne trokove. 39. Kod kojih sistema opsluivanja, pri odreivanju oekivanih trokova ekanja,

se primenjuje g(n) forma funkcije trokova ekanja. 40. Izraz za izraunavanje oekivanih trokova ekanja preko g(n) forme funkcije

trokova ekanja. 41. Linearan sluaj g(n) forme funkcije trokova ekanja. 42. Kod kojih sistema opsluivanja, pri odreivanju oekivanih trokova ekanja,

se primenjuje h(Ts) forma funkcije trokova ekanja. 43. Izraz za izraunavanje oekivanih trokova ekanja preko h(Ts) forme funkcije

trokova ekanja. 44. Linearan sluaj h(Ts) forme funkcije trokova ekanja. 45. Formulacija modela 1 (odreivanje broja kanala za opsluivanje). 46. Formulacija modela 1a (odreivanje broja kanala za opsluivanje). 47. Formulacija Modela 2. 48. Formulacija Modela 3. 49. Odreivanje oekivanih ukupnih trokova ekanja kod modela 3. 50. Jednokanalni zatvoreni sistem opsluivanja. 51. Viekanalni zatvoreni sistem opsluivanja. 52. Jednokanalni sistem opsluivanja sa grupnim dolaskom jedinica u sistem i

ogranienim brojem mesta u sistemu.

V-43

53. Jednokanalni sistem opsluivanja sa grupnim dolaskom (konstantna veliina grupe) jedinica u sistem i ogranienim brojem mesta u sistemu.

54. Jednokanalni sistem sa grupnim opsluivanjem jedinica i konanim brojem mesta u sistemu.

55. Forma g(n) funkcije trokova ekanja. 56. Forma h(Ts) funkcije trokova ekanja. 57. Model 1 Nepoznat broj kanala za opsluivanje c. 58. Model 2 Nepoznato i c. 59. Model 3 Nepoznato i c.