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Introduo
Bem-vindos ao Pr-Clculo para Leigos. Este um livro no
discriminatrio, de oportunidades iguais. Voc convidado a participar
se for um gnio ou se (como ns) precisa de receita at para fazer
gelo. No deixe o ttulo afastar voc. Se chegou to longe em
matemtica, de maneira alguma voc um leigo! Voc pode estar lendo
este livro por algumas razes perfeitamente boas. Talvez voc precise
de um livro de referncia que possa realmente entender (nunca
encontramos um livro de pr-clculo de que gostssemos). Talvez seu
tutor escolar tenha lhe dito que tomar aulas de pr-clculo seria bom
para seu aproveitamento na faculdade, mas voc no se importa com a
matria e apenas quer ter uma boa nota. Ou, talvez voc esteja apenas
contemplando comprar este livro para checar se formamos uma boa
equipe (assim como voc espia seu encontro s cegas antes de entrar
no restaurante). Independente do motivo por voc ter aberto este
livro, ele vai te ajudar a navegar pelo difcil caminho que o
pr-clculo.
Voc tambm pode estar pensando, Quando eu vou usar pr-clculo? Voc
no est sozinho. Alguns dos nossos alunos tambm se referem a ele
como algo intil. Bem, rapidamente eles descobriram como estavam
enganados. Os conceitos deste livro so usados em muitas aplicaes do
mundo real.
Este livro tem somente um e nico objetivo te ensinar pr-clculo
da maneira menos dolorosa possvel. Se voc pensava que nunca
conseguiria entender este assunto e acabaria com uma nota apenas
decente na sua aula, voc se importaria em nos enviar uma carta?
E-mail tambm bom. Adoramos ouvir as histrias de sucesso dos nossos
alunos!
Sobre Este LivroEste livro no necessariamente destinado a ser
lido a partir do incio. Est estruturado de uma forma que voc pode
pular para um captulo em particular e encontrar o que precisa
(aquelas coisas que sempre queremos saber). s vezes, podemos te
dizer para olhar em outro captulo para obter uma explicao mais
aprofundada, mas tentamos deixar cada captulo independente dos
outros.
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2 Pr-Clculo para Leigos
Todo vocabulrio matematicamente correto e claro. Tomamos
liberdades em alguns pontos deste livro para tornar a linguagem
mais abordvel e provvel. mais divertido assim.
Pr-clculo seu prprio tpico especial de matemtica. Veja s, alguns
estados, como a Califrnia, no possuem nenhum padro de conjunto que
os alunos precisam aprender para oficialmente dominar o pr-clculo
Como um resultado, o assunto de pr-clculo varia entre as cidades,
escolas e professores individuais. Como no sabemos o que seu
professor quer que voc absorva deste curso, abordamos quase todos
os conceitos de pr-clculo. Abordamos reas que talvez voc nunca vai
usar. Mas tudo bem. Apenas use este livro de acordo com suas
necessidades individuais.
Se voc usar este livro apenas para apropriadamente abrir uma
porta ou como um destruidor de bugs, voc no vai ter o que precisa.
Sugerimos duas alternativas:
5 Procure apenas o que voc precisa saber quando voc precisar
saber. Este livro til para isto. Use o ndice Remissivo, a Tabela de
Contedos, ou, melhor ainda, o rpido ndice encontrado na frente
deste livro para encontrar o que precisa.
5 Comece pelo incio e leia todo o livro, captulo por captulo.
Esta uma boa maneira de lidar com este assunto porque os tpicos, s
vezes, so baseados nos anteriores. Mesmo se voc for um gnio da
matemtica e quiser detalhar uma seo que pensa que conhece, pode
acabar lembrando de algo que esqueceu. Recomendamos comear pelo
incio, e, lentamente, passar por todo o material. Quanto mais
prtica voc tiver, melhor.
Convenes Usadas neste LivroPara que a leitura deste livro seja
consistente e hbil, ele usa as seguintes convenes:
5 Termos matemticos so escritos em itlico para indicar sua
introduo e para te ajudar a encontrar suas definies.
5 Variveis tambm so escritas em itlico para distingui-las das
letras comuns.
5 O passo a passo dos problemas est sempre em negrito para te
ajudar a identific-los mais facilmente.
5 O smbolo para nmeros imaginrios um i minsculo.
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Introduo 3
Suposies TolasNo podemos supor que, apenas, porque absolutamente
amamos matemtica, voc compartilha o mesmo entusiasmo pelo assunto.
Podemos supor, porm, que voc abriu este livro por alguma razo: Voc
precisa de uma lembrana sobre o assunto, precisa aprender pela
primeira vez, est tentando reaprender para a faculdade, ou precisa
ajudar seu filho em casa a entender. Tambm podemos supor que voc j
foi exposto, pelo menos em parte, a muitos dos conceitos
encontrados neste tpico porque pr-clculo realmente leva geometria e
conceitos de lgebra II para o prximo nvel.
Tambm supomos que voc est disposto a trabalhar. Embora pr-clculo
no seja o nico objetivo dos cursos de matemtica por a, ainda um
curso de matemtica de nvel mais alto. Voc vai ter de trabalhar um
pouco, mas voc sabia disto, no sabia?
Tambm temos muita certeza de que voc uma alma aventureira e
escolheu esta aula porque pr-clculo no necessariamente uma matria
exigida no ensino mdio. Talvez porque voc ama matemtica como ns, ou
porque no tem nada melhor para fazer da vida, novamente como ns, ou
porque o curso vai melhorar sua performance na faculdade.
Obviamente, voc conseguiu passar por alguns conceitos bem complexos
em Geometria e lgebra II. Podemos supor que, se voc chegou to
longe, vai chegar ainda mais. Ns vamos ajudar!
Como este Livro Est OrganizadoEste livro est dividido em quatro
sees lidando com os conceitos mais frequentemente ensinados e
estudados em pr-clculo.
Parte I: Configure, Resolva e Faa o GrficoOs captulos na Parte I
comeam com uma reviso do material que voc j sabe de lgebra II.
Ento, revisamos nmeros reais e como oper--los. A partir da
abordamos funes, incluindo polinomiais, racionais, exponenciais e
logartmicas, e fazemos grficos delas, resolvemos e executamos
operaes nelas.
Parte II: Os Fundamentos da TrigonometriaOs captulos na Parte I
comeam com uma reviso de ngulos, tringulos retos e propores
trigonomtricas. Ento, criamos o glorioso crculo unitrio. Grfico de
funes trigonomtricas pode ou no ser uma reviso, dependendo do curso
de lgebra II que voc teve, ento, mostramos a voc como fazer o
grfico pai das seis funes trigonomtricas bsicas e explicamos como
transformar estes grficos para chegar aos mais complicados.
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4 Pr-Clculo para Leigos
Esta parte tambm resolve as frmulas e identidades mais difceis
para funes trigonomtricas, dividindo-as metodicamente para que voc
possa internalizar cada identidade e realmente entend-las. Seguimos
ento para a simplificao de expresses trigonomtricas e soluo de uma
varivel desconhecida usando estas frmulas e identidades. E,
finalmente, esta parte aborda como resolver tringulos que no so
tringulos retos usando a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos.
Parte III: Geometria Analtica e Soluo de SistemaA Parte III
aborda uma variedade de tpicos de pr-clculo. Comea com o
entendimento de complexos nmeros e como realizar operaes com eles.
A seguir, vm grficos de coordenadas polares e finalmente cnicas.
Sistemas de equaes esto nesta parte, assim como sequncias e sries,
e expanso binomial. Finalmente, esta parte conclui com clculo e o
estudo de limites e continuidade de funes.
Parte IV: A Parte dos DezDepois de passar por tudo e chegar
neste ponto do livro, voc deve estar observando o prximo grande
desafio matemtico: clculo. (E se voc decidir parar com o pr-clculo,
tudo bem tambm.) Mas antes de avanar para conceitos ainda mais
complexos, voc precisa fazer duas coisas: pegar alguns bons hbitos
matemticos para levar para o clculo, e destruir qualquer habito
ruim que voc tenha desenvolvido ao longo do caminho. Esta parte te
ajuda com estas tarefas. Ambas as pontas deste espectro so cruciais
para o sucesso porque os problemas ficam maiores, e a pacincia dos
professores para erros de lgebra fica menor.
cones Usados neste LivroAo longo deste livro voc vai encontrar
pequenos desenhos (que chamamos de cones) que so destinados a
chamar sua ateno para algo importante ou interessante a saber.
Este cone indica as regras bsicas do pr-clculo. Elas devem ser
observadas sempre para que os problemas sejam resolvidos
corretamente.
REG
RAS
DO PR
-CLCULO
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Introduo 5
Este cone alerta voc para informaes que so teis, mas no exigidas
para obter conhecimento total do conceito nesta seo.
Amamos Dicas! Quando voc vir este cone, sabe que ele direciona
para uma maneira de tornar sua vida muito mais fcil. Mais fcil
bom.
Voc ver este cone quando mencionarmos uma ideia antiga que voc
nunca deve esquecer. Ele usado quando queremos que voc se recorde
de um conceito previamente aprendido ou de um conceito de um curso
de matemtica inferior.
Pense em Avisos como um grande sinal de pare. Sua presena alerta
sobre erros comuns, ou aponta algo que pode ser uma armadilha.
Para Onde Ir DaquiSe voc tem um histrico realmente firme em
lgebra bsica, sinta-se vontade para pular o Captulo 1 e ir direto
para o Captulo 2. Se voc quiser relembrar, sugerimos ler o Captulo
1. De fato, tudo no Captulo 2 tambm uma reviso, exceto notao de
intervalo. Ento, se voc for realmente impaciente ou se for um gnio
da matemtica, ignore tudo at chegar notao de intervalo no Captulo
2. Conforme for seguindo o livro, tenha em mente que muitos
conceitos em pr-clculo so retirados de lgebra II, ento, no cometa o
erro de pular completamente os captulos, apenas porque parecem
familiares. Eles podem soar familiares, mas, provavelmente, incluem
algum material novo. Tambm no sentamos ao seu lado quando voc
aprendeu lgebra II, logo, no podemos ter certeza do que o seu
professor abordou. Ento, aqui est uma breve lista das sees que
podem parecer familiares, mas inclui conceitos novos nos quais voc
deve prestar ateno:
5 Traduo de funes comuns
5 Soluo de polinomiais
5 Toda informao trigonomtrica
5 Nmeros complexos
5 Matrizes
Ento, para onde ir a partir daqui? Vamos direto para o
pr-clculo! Boa sorte.
TRUQ
UES M
ATEMTICOS
DICA
LEMB
RE-SE
CUIDA
DO!
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6 Pr-Clculo para Leigos
-
Parte I
Configure, Resolva e Faa o Grfico
David est usando lgebra para calcular a gorgeta. Brbara, voc se
importa em ser um
expoente fracional?
A 5a Onda Por Rich Tennant
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Nesta parte...
Um objetivo principal do pr-clculo trazer tona as grandes ideias
da lgebra e enfatizar as habilidades mais necessrias para o clculo.
Esta parte une e expande estes conceitos de lgebra. E, talvez o
mais importante, ela identifica os erros mais comuns que os alunos
cometem em lgebra para que voc possa resolv-los antes de seguir
adiante em conceitos de nvel mais alto.
Os captulos na Parte I trazem uma reviso do trabalho com nmeros
reais, incluindo os sempre evasivos radicais. A partir da revisamos
funes desde como fazer grfico delas, at transformar seus grficos
pais, e como executar operaes nelas. Ento seguimos para polinomiais
e revisamos como resolver polinomiais usando tcnicas comuns,
incluindo fatorao, completar o quadrado e a frmula quadrtica. Tambm
explicamos como fazer grfico de complexas funes polinomiais e
racionais. E, finalmente, mostramos a voc como lidar com funes
exponenciais e logartmicas.
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Captulo 1
Pr-Pr-ClculoNeste Captulo
X Refrescando sua memria sobre nmeros e variveis X Aceitando a
importncia dos grficos X Preparando para pr-clculo pegando uma
calculadora grfica
Pr-clculo a ponte (ou purgatrio?) entre lgebra II e clculo. No
seu escopo, voc vai revisar conceitos que viu anteriormente em
matemtica, mas rapidamente trabalhou neles. Voc ver algumas ideias
novas, mas tambm aquelas baseadas no material visto anteriormente;
a principal diferena que os problemas ficam muito mais difceis (por
exemplo, ir de sistemas para sistemas no lineares). Voc continua
construindo at chegar ao final do curso, e o trabalho dobra no
incio do clculo. Mas no tema! Estamos aqui para te ajudar a cruzar
a ponte (sem pedgio!)
Como provavelmente voc j estudou lgebra, lgebra II e geometria,
supomos ao longo deste livro que h certas coisas que voc j sabe
como fazer. (Falamos sobre elas brevemente na Introduo deste
livro). Porm, apenas para garantir, revisamos cada uma delas neste
captulo com um pouco mais de detalhes antes de seguir para o
pr-clculo.
Se abordarmos algum tpico neste captulo com o qual voc no
familiar, no lembra como faz ou no se sente confortvel em fazer,
sugerimos que pegue outro livro de matemtica Para Leigos e comece
da. No se sinta um fracasso em matemtica se precisar fazer isto.
Mesmo os profissionais precisam pesquisar estas coisas de vez em
quando. Estes livros podem ser como enciclopdias ou a Internet se
voc no conhece o material, pesquise e comece da.
Pr-Clculo: Uma Descrio GeralVoc no adora prvias de filmes e
trailers? Algumas pessoas chegam cedo ao cinema apenas para ver o
que est por vir no futuro. Bem, considere esta seo um trailer que
voc v meses antes de o filme Pr-Clculo para Leigos sair! (Quem ser
que vai fazer nosso papel no cinema?) Na lista a seguir,
apresentamos algum material que
DICA
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10 Parte I: Configure, Resolva e Faa o Grfico
voc aprendeu anteriormente em matemtica, e ento damos alguns
exemplos de para onde o pr-clculo vai te levar a seguir:
5 lgebra I e II: Lidar com nmeros reais e resolver equaes e
desigualdades.
Pr-clculo: Expressar desigualdades de uma nova maneira chamada
notao de intervalo.
Antes, suas solues para desigualdades eram dadas como notao de
conjunto. Por exemplo, uma soluo pode ser x > 4. Em pr-clculo,
voc expressa esta soluo como um intervalo: (4, ). (Veja mais no
Captulo 2).
5 Geometria: Resolver tringulos retos, onde todos os lados so
positivos.
Pr-clculo: Resolver tringulos no-retos, onde os lados no so
necessariamente sempre positivos.
Voc aprendeu que um comprimento nunca pode ser negativo. Bem, em
pr-clculo voc usa nmeros negativos para lados de tringulos para
mostrar onde estes tringulos ficam no plano coordenado (podem estar
em qualquer lugar dos quatro quadrantes).
5 Geometria/trigonometria: Usar o Teorema de Pitgoras para
encontrar o comprimento dos lados de um tringulo.
Pr-clculo: Organizar as informaes em um pacote correto conhecido
como crculo unitrio (veja a Parte II).
Neste livro, damos a voc um atalho para encontrar os lados dos
tringulos, que um atalho ainda mais curto para encontrar os valores
trigonomtricos para os ngulos nestes tringulos.
5 lgebra I e II: Fazer grfico de equaes em um plano
coordenado.
Pr-clculo: Fazer grfico de uma maneira totalmente nova, com o
sistema de coordenada polar (veja o Captulo 11).
Diga adeus aos bons e velhos tempos de grfico no plano
Cartesiano. Voc tem uma nova maneira de fazer grfico, e ela envolve
andar em crculos. No estamos tentando te enlouquecer; na verdade,
coordenadas polares podem te trazer timas figuras.
5 lgebra II: Lidar com nmeros imaginrios.
Pr-clculo: Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir nmeros
complexos fica chato quando os nmeros complexos esto em formato
retangular (A + Bi). Em pr-clculo, voc vai se familiarizar com algo
novo chamado de forma polar e vai usar isto para encontrar solues
de equaes que voc nem sabia que existiam.
-
Captulo 1: Pr-Pr-Clculo 11
Todos os Fundamentos dos Nmeros (No, no como cont-los!)
Ao entrar em pr-clculo, voc deve estar confortvel com conjuntos
de nmeros (naturais, inteiros, racionais, e assim por diante).
Neste ponto da sua carreira matemtica, voc tambm deve saber como
realizar operaes com nmeros. Revisamos rapidamente estes conceitos
nesta seo. Tambm, certas propriedades so verdadeiras para todos os
conjuntos de nmeros; alguns professores de matemtica podem querer
que voc as conhea por nome, ento revisamos nesta seo tambm:
A variedade de tipos de nmeros: Termos para conhecerMatemticos
estpidos adoram dar nomes s coisas; faz com que eles se sintam
especiais. Neste esprito, matemticos anexaram nomes a muitos
conjuntos de nmeros para separ-los e fortificar seus lugares nas
cabeas dos alunos para sempre:
5 O conjunto de nmeros naturais ou contveis: {1, 2, 3...}. Note
que o conjunto de nmeros naturais no inclui 0.
5 O conjunto de nmeros inteiros: {0, 1, 2, 3...}. O conjunto de
nmeros inteiros, porm, inclui o nmero 0.
5 O conjunto de integrais: {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}. O
conjunto de integrais inclui positivos, negativos e 0.
Lidar com integrais como lidar com dinheiro: Pense nos positivos
como tendo dinheiro e nos negativos como no tendo. Isto importante
quando operamos em nmeros (veja a prxima seo).
5 O conjunto de nmeros racionais, que so os nmeros que podem ser
expressos como uma frao onde o numerador e o denominador so ambos
integrais. A palavra racional vem da ideia de uma proporo (frao ou
diviso) de dois integrais.
Exemplos de nmeros racionais incluem (mas de forma alguma so
limitados a) , 72 e 0.23. Se voc analisar qualquer nmero racional
em formato decimal, vai perceber que o decimal para ou se
repete.
Somar ou subtrair fraes se trata de encontrar um denominador
comum, e razes devem ser como termos para ser possvel som-las e
subtra-las.
DICA
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12 Parte I: Configure, Resolva e Faa o Grfico
5 O conjunto de nmeros irracionais, que so todos os nmeros que
no podem ser expressos como fraes. Exemplos de nmeros irracionais
incluem 2, 21 e .
5 O conjunto de todos os nmeros reais, que engloba todos os
conjuntos de nmeros previamente discutidos. Para exemplos de um
nmero real, pense em um nmero... qualquer nmero. Seja qual for,
real. Qualquer nmero das listas anteriores serve como um exemplo.
Os nmeros que no so reais so imaginrios.
Como atendentes de telemarketing e anncios pop-up da Internet,
nmeros reais esto em todo lugar; voc no pode fugir deles nem mesmo
no pr-clculo. Por qu? Porque eles incluem todos os nmeros, exceto
os seguintes:
Uma frao com um zero como denominador: Tais nmeros no
existem.
A raiz quadrada de um nmero negativo: Estes nmeros so chamados
de nmeros complexos (veja o Captulo 11).
Infinito: Infinito um conceito, no um nmero real.
5 O conjunto de nmeros imaginrios, que so razes quadradas de
nmeros negativos. Nmeros imaginrios possuem uma unidade imaginria,
como i, 4i, e 2i. Nmeros imaginrios antigamente eram nmeros
fictcios, mas matemticos logo perceberam que estes nmeros surgiam
no mundo real. Ainda os chamamos de imaginrios porque eles so razes
quadradas de nmeros negativos, mas eles realmente existem. A
unidade imaginria definida como i = 1 . (Para mais informaes sobre
estes nmeros, v para o Captulo 11).
5 O conjunto de nmeros complexos, que so a soma e diferena de um
nmero real e um nmero imaginrio. Nmeros complexos aparecem como
estes exemplos: 3 +2i, , e 4 2 3i. Porm, eles tambm cobrem todas as
listas anteriores, incluindo os nmeros reais (3 a mesma coisa que 3
+ 0i) e os nmeros imaginrios (2i a mesma coisa que 0 + 2i).
O conjunto de nmeros complexos o conjunto mais completo de
nmeros no vocabulrio matemtico, porque ele inclui nmeros reais
(qualquer nmero que voc puder imaginar), nmeros imaginrios (i), ou
qualquer combinao dos dois.
As operaes fundamentais que voc pode realizar em nmerosDe
positivos a negativos at fraes, decimais e razes quadradas, voc
deve saber como realizar todas as operaes bsicas em todos os nmeros
reais. Isto significa somar, subtrair, multiplicar, dividir,
extrair o expoente e a raiz quadrada de nmeros. A ordem de operaes
a forma como voc executa estas operaes.
LEMB
RE-SE
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Captulo 1: Pr-Pr-Clculo 13
O artifcio mnemnico mais frequentemente usado para lembrar a
ordem PEMDAS, que significa:
1. Parnteses (e outros smbolos de agrupamento)
2. Expoentes
3. Multiplicao e Diviso, qual for o primeiro, da esquerda para a
direita
4. Adio e Subtrao, qual for o primeiro, da esquerda para a
direita
Um tipo de operao que a maioria dos seus alunos negligencia ou
esquece de incluir na lista anterior: o valor absoluto. Valor
absoluto a distncia de 0 na linha de nmero. Valor absoluto deveria
ser includo com o passo dos parnteses, porque voc tem de considerar
primeiro o que est dentro das barras de valor absoluto (porque as
barras so um smbolo de agrupamento). No esquea que valor absoluto
sempre positivo. Ei, mesmo se voc estiver andando para trs, ainda
assim est andando!
As propriedades dos nmeros: Verdades a serem lembradas
importante lembrar as propriedades dos nmeros porque voc vai us-las
consistentemente em pr-clculo. Porm, frequentemente voc no as ver
usadas pelo nome em pr-clculo, mas assumido que voc saiba quando
precisa utiliz-las. A lista a seguir mostra as propriedades dos
nmeros:
5 Propriedade reflexiva: a = a. Por exemplo, 10=10.
5 Propriedade simtrica: Se a = b, ento b = a. Por exemplo, se 5
+ 3 = 8, ento 8 = 5 + 3.
5 Propriedade transitiva: Se a = b e b = c, ento a = c. Por
exemplo, se 5 + 3 = 8 e 8 = 4 2, ento 5 + 3 = 4 2.
5 Propriedade comutativa de adio: a + b = b + a. Por exemplo, 2
+ 3 = 3 + 2.
5 Propriedade comutativa de multiplicao: a b = b . a. Por
exemplo, 2 3 = 3 2.
5 Propriedade associativa de adio: (a + b) + c = a + (b + c).
Por exemplo, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4).
5 Propriedade associativa de multiplicao: (a b) c = a (b c). Por
exemplo, (2 3) 4 = 2 (3 4).
DICA
LEMB
RE-SE
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14 Parte I: Configure, Resolva e Faa o Grfico
5 Identidade Aditiva: a + 0 = a. Por exemplo, 0 + 3 = 3.
5 Identidade Multiplicativa: a 1 = a. Por exemplo, 4 1 = 4.
5 Propriedade Inversa Aditiva: a + (a) = 0. Por exemplo, 2 + 2 =
0.
5 Propriedade inversa multiplicativa: a (1 a) = 1. Por exemplo,
2 . = 1.
5 Propriedade distributiva: a(b + c) = a b + a c. Por exemplo,
10(2 + 3) = 10 2 + 10 3 = 50.
5 Propriedade multiplicativa de zero: a 0 = 0. Por exemplo, 5 .
0 = 0.
5 Propriedade de produto zero: Se a . b = 0, a = 0 ou b = 0. Por
exemplo, se x(x + 2) = 0, ento x = 0 ou x + 2 = 0.
Se voc estiver tentando executar uma operao que no est na lista
anterior, ento a operao provavelmente no est correta. Afinal,
lgebra existe desde 1600 a.C., e se uma propriedade existe, algum,
provavelmente, j a descobriu. Por exemplo, pode parecer convidativo
dizer que 10(2 + 3) = 10 2 + 3 = 23, mas est incorreto. A resposta
correta 10 2 + 10 3 =20 + 30 = 50. Saber o que voc no pode fazer to
importante quanto saber o que voc pode fazer.
Colocando Expresses Matemticas em Formato Visual: Diverso com
Grficos
Grficos so timas ferramentas visuais. Elas so usadas para exibir
o que est acontecendo em problemas matemticos, em empresas e em
experimentos cientficos. Por exemplo, grficos podem ser usados para
mostrar como algo (como preos do mercado imobilirio) muda com o
tempo. Pesquisas podem ser feitas para obter fatos ou opinies, e os
resultados delas podem ser exibidos em um grfico. Abra o jornal em
qualquer dia e voc pode encontrar um grfico em algum lugar.
Felizmente isto responde a pergunta de por que voc precisa
entender como se constroem grficos. Mesmo que na vida real voc no
ande por a com grficos e papel para anotar as decises que encontra,
fazer grfico vital em matemtica e em outras partes da vida.
Independente da ausncia de papel para grfico, grficos esto
realmente em todo lugar.
Por exemplo, quando um cientista sai e coleta dados ou mede
coisas, ele organiza os dados como valores x e y. Tipicamente, o
cientista est procurando por algum tipo de relao geral entre estes
dois valores para suportar sua hiptese. Estes valores podem ser
ento grafados em um plano de coordenada para mostrar direes em
dados. Um bom cientista pode mostrar que, quanto mais voc ler este
livro, mais voc vai entender pr-clculo! (Outro cientista pode
mostrar que pessoas com braos mais longos possuem ps maiores.
Chato!).
LEMB
RE-SE
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Captulo 1: Pr-Pr-Clculo 15
Digerindo termos bsicos e conceitosGrficos de equaes so uma
grande parte de pr-clculo, e eventualmente clculo, ento queremos
revisar os fundamentos de grfico antes de entrarmos em grficos mais
complicados e no familiares que voc ver adiante neste livro.
Embora alguns dos grficos em pr-clculo paream muito familiares,
alguns sero novos e possivelmente intimidantes. Estamos aqui para
familiariz-lo com estes grficos para que voc possa estud-los em
detalhes em clculo. Porm, as informaes neste captulo so
principalmente informaes que seu professor de pr-clculo ou o livro
iro supor que voc lembra-se de lgebra II. Ento voc prestou ateno,
certo?
Cada ponto no plano de coordenadas no qual voc constri grficos
composto pelo eixo horizontal ou x, e vertical, ou y, criando um
plano de quatro quadrantes chamado de par coordenado (x, y), que
frequentemente referenciado como um par de coordenadas
Cartesianas.
O nome coordenadas Cartesianas vem do filsofo e matemtico francs
que inventou toda esta coisa de grficos, Ren Descartes. Descartes
trabalhou para unir lgebra e geometria Euclidiana (geometria
plana), e seu trabalho influenciou no desenvolvimento da geometria
analtica, clculo e cartografia.
Uma relao um conjunto (que significa um ou mais) de pares
ordenados que podem ser grafados em um plano coordenado. Cada relao
como um computador que expressa x como entrada e y como sada. Voc
sabe que est lidando com uma relao quando est entre chaves (como
estas: { }) e tem um ou mais pontos dentro. Por exemplo, R= {(2,
1), (3, 0), (4, 5)} uma relao com trs pares ordenados. Pense em
cada ponto como (entrada, sada) assim como no computador.
O domnio de uma relao o conjunto de todos os valores de entrada
do menor para o maior. O domnio do conjunto R {4, 2, 3}. O
intervalo o conjunto de todos os valores de sada, tambm do menor
para o maior. O intervalo de R {1, 0, 5}. Se algum valor no domnio
ou intervalo for repetido, voc no precisa list-lo duas vezes. Na
verdade, o domnio a varivel x e o intervalo y.
Se variveis diferentes aparecerem, como m e n, entrada (domnio)
e sada (intervalo) geralmente vo alfabeticamente, a menos que lhe
digam outra coisa. Neste caso, m seria sua entrada/domnio e n seria
sua sada/intervalo. Mas quando escrita como um ponto, uma relao
sempre (entrada, sada).
TRUQ
UES M
ATEMTICOS
LEMB
RE-SE
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16 Parte I: Configure, Resolva e Faa o Grfico
Grficos de igualdades versus desigualdadesQuando voc entendeu
como fazer grfico de uma linha em um plano coordenado, voc aprendeu
a pegar valores domnio (x) e plug-los na equao para resolver para o
intervalo (y). E ento voc passou pelo processo mltiplas vezes,
expressou cada par como um ponto coordenado, e conectou os pontos
para formar uma linha. Alguns matemticos chamam isso de mtodo plug
and chug.
Depois de um tempo neste trabalho tedioso, algum disse, Espera
um pouco! Existe um atalho. Este atalho chamado de formato
inclinao-interseo y = mx + b. A varivel m significa a inclinao
(slope) da linha (veja a prxima seo), e b significa a interseo y
(intercept ou onde a linha cruza o eixo y). Voc pode mudar equaes
que no esto escritas no formato inclinao-interseo resolvendo por y.
Por exemplo, fazer grfico de 2x 3y = 12 exige que voc subtraia 2x
de ambos os lados primeiro para obter 3y = 2x + 12. Ento voc divide
todos os termos por 3 para obter . Este grfico inicia em 4 no eixo
y; para encontrar o prximo ponto, voc move para cima dois e para a
direita trs (usando a inclinao). Inclinao sempre a frao porque
inclinada neste caso .
Desigualdades so usadas para comparaes, que so uma grande parte
do pr-clculo. Elas mostram uma relao entre duas expresses (estamos
falando de maior do que, menor do que ou igual a). Fazer grfico de
desigualdades comea exatamente da mesma maneira que fazer grfico de
igualdades, mas, no final do processo de grfico (voc ainda coloca a
equao no formato inclinao-interseo e grfico), voc tem duas decises
a tomar:
5 A linha est sombreada y ou a linha est slida y ou y ?
5 Voc sombreia abaixo da linha y < ou y ou voc sombreia acima
da linha y > ou y ? Simples desigualdades (como x < 3)
expressam todas as respostas. Para desigualdades, voc mostra todas
as respostas possveis sombreando o lado da linha que funciona na
equao original.
Por exemplo, ao fazer grfico de y < 2x 5, voc segue estes
passos:1. Inicie em 5 no eixo y e marque um ponto.2. Mova para cima
dois e para a direita um para encontrar um
segundo ponto.3. Ao conectar os pontos, voc produz uma linha
reta que ser
sombreada.4. Sombreie a metade inferior do grfico para mostrar
todos
os pontos possveis na soluo.
Obtendo informaes de grficosDepois de se acostumar com pontos de
coordenada e grficos de equao de linhas no plano coordenado, tpicos
livros de matemtica e
-
Captulo 1: Pr-Pr-Clculo 17
professores vo comear a te fazer perguntas sobre os pontos e
linhas que voc est grafando. As trs coisas que sero solicitadas que
voc encontre so: a distncia entre dois pontos, o centro do segmento
conectando dois pontos e a inclinao exata de uma linha que passa
entre dois pontos. Falaremos mais sobre isto nas prximas sees!
Calculando distncia Saber como calcular distncia usando as
informaes de um grfico
muito til para pr-clculo, pois nos permite revisar algumas
coisas primeiro. Distncia o espao entre dois objetos, ou dois
pontos. Para encontrar a distncia, d, entre dois pontos (x1, y1) e
(x2, y2) em um plano coordenado, por exemplo, use a frmula
seguinte:
d = (x2 x1)2 + (y2 y1)
Voc pode usar esta equao para encontrar o comprimento do
segmento entre dois pontos em um plano coordenado sempre que surgir
a necessidade. Por exemplo, para encontrar a distncia entre A(6, 4)
e B(2, 1), primeiro identifique as partes: x1 = 6 e y1 = 4;
x2 = 2 e y2 = 1. Coloque estes valores na frmula de
distncia:
d = (2 6)2 + (1 4)2 . Isto simplificado em 73.
Encontrando o ponto do meio Encontrar o ponto do meio de um
segmento vai trazer tona alguns
tpicos de pr-clculo como cnicos (Captulo 12). Para encontrar o
ponto do meio do segmento conectando dois pontos, voc apenas
calcula a mdia dos seus valores x e y e expressa a resposta como um
par ordenado:
,Mx x y y
2 21 2 1 2=+ +
Voc pode usar esta frmula para encontrar o centro de vrios
grficos em um plano coordenado, mas por enquanto voc est apenas
encontrando o ponto central. Voc encontra o ponto do meio do
segmento conectando os dois pontos AB (veja a seo anterior) usando
a frmula anterior. Isto dever te dar , ou .
Desenhando a inclinao de uma linha Quando voc faz o grfico de
uma equao linear, a inclinao tem o seu
papel. A inclinao de uma linha diz quo ngreme a linha est no
plano coordenado. Quando voc tem dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) e
precisa encontrar a inclinao da linha entre eles, usa a seguinte
frmula:
m = x xy y
2 1
2 1
Se voc usar os mesmos dois pontos A e B das sees anteriores e
anexar os valores na frmula, a inclinao de -.
REG
RAS
DO PR
-CLCULO
REG
RAS
DO PR
-CLCULO
REG
RAS
DO PR
-CLCULO
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18 Parte I: Configure, Resolva e Faa o Grfico
Inclinaes positivas sempre movem para cima e para a direita no
plano. Inclinaes negativas movem para baixo ou para a esquerda.
(Note que se voc moveu a inclinao para cima e para a esquerda, ela
ser -/- , que na verdade positivo). Linhas horizontais possuem
inclinao zero, e linhas verticais possuem inclinao indefinida.
Se algum dia se confundir com os diferentes tipos de inclinao,
lembre-se do esquiador na pista de patinao:
5 Quando est subindo o morro, est fazendo muito trabalho (+
inclinao). 5 Quando est descendo o morro, o morro est fazendo o
trabalho por ele ( inclinao).
5 Quando est parado no plano, no est fazendo trabalho nenhum
(inclinao 0).
5 Quando chega ao topo (a linha vertical), est morto e no pode
esquiar mais (inclinao indefinida)!
Obtendo um Grip em uma Calculadora Grfica
altamente recomendado que voc compre uma calculadora de grfico
para o trabalho de pr-clculo. Desde a inveno da calculadora de
grfico, as aulas de matemtica comearam a mudar seu escopo. Alguns
professores sentem que a maior parte do trabalho deveria ser feita
usando a calculadora. Professores de matemtica mais conservadores,
porm, no permitem nem que voc use. Seu instrutor deve esclarecer
suas ideias desde o primeiro dia de aula. Uma calculadora de grfico
faz tantas coisas para voc, e mesmo se um professor no permitir que
voc use uma em um teste, voc sempre pode usar uma para checar seu
trabalho nas tarefas de casa.
H muitos tipos diferentes de calculadora de grfico, e seus
funcionamentos internos so todos diferentes. Em relao a qual
comprar, pea conselhos para algum que j teve aulas de pr-clculo, e
ento busque na Internet pelo melhor negcio.1
Apenas uma dica: se voc encontrar alguma do modelo
exato/aproximado, vai nos agradecer mais tarde porque ela lhe dar
os valores exatos (ao invs de aproximaes decimais), que o que
geralmente os professores esperam.
Recomendamos que se, por acaso, voc tiver permisso de usar
calculadora de grfico, ainda assim faa o trabalho mo. E depois use
a calculadora para checar seu trabalho. Desta forma, voc no vai
ficar dependente da tecnologia fazer o trabalho por voc; algum dia,
voc pode no ter permisso de usar uma (um teste de colocao em uma
faculdade de matemtica, por exemplo).
1 Na nossa opinio, a TI-89 ou TI-89 Titanium a melhor
calculadora de todas, mas claro, se voc souber como us-la (ns ainda
estamos aprendendo!).
DICA
DICA
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Captulo 1: Pr-Pr-Clculo 19
Muitos dos conceitos mais tericos neste livro, e em pr-clculo em
geral, so perdidos quando voc usa sua calculadora de grfico. Tudo o
que lhe dito coloque os nmeros e obtenha a resposta. Claro, voc
obtm a resposta, mas realmente sabe o que a calculadora fez para
obter a resposta? No. Para este objetivo, este livro passeia entre
o uso da calculadora e fazer mo complicados e longos problemas. Mas
mesmo que voc esteja autorizado a usar a calculadora de grfico, use
com inteligncia. Se planeja seguir para clculo depois deste curso,
voc precisa saber a teoria e os conceitos por trs de cada
tpico.
No podemos nem comear a ensin-lo como usar sua exclusiva
calculadora de grfico, mas os caras legais de Para Leigos da Wiley
fornecem a voc livros inteiros sobre o uso delas, dependendo do
tipo que voc possui. Podemos, no entanto, dar a voc algumas dicas
gerais de como us-las. Aqui est uma lista de dicas que devem ajudar
com sua calculadora de grfico.
5 Sempre certifique-se de que o modo na sua calculadora est
configurado de acordo com o problema em que voc est trabalhando.
Procure por um boto em algum lugar na calculadora que diz mode.
Dependendo da marca da calculadora, ela vai permitir que voc altere
coisas como graus ou raios, ou f(x) ou r(), que discutiremos no
Captulo 11. Por exemplo, se voc estiver trabalhando em graus, deve
ter certeza de que a calculadora sabe disso antes de pedir a ela
para resolver um problema. O mesmo funciona ao trabalhar com raios.
Algumas calculadoras possuem mais de 10 tipos diferentes de modos
para escolher. Cuidado!
5 Tenha certeza de que pode resolver por y antes de tentar
construir um grfico. Voc pode fazer grfico de qualquer coisa na sua
calculadora, desde que consiga resolver por y. As calculadoras so
configuradas para aceitar somente equaes que foram resolvidas por
y.
Equaes que voc tem de resolver por x geralmente no so funes
verdadeiras e no so estudadas em pr-clculo exceto sees cnicas, e os
alunos normalmente no possuem permisso de usar calculadoras de
grfico para este material porque est inteiramente baseado em
grficos (veja o Captulo 12).
5 Conhea todos os menus de atalho disponveis para voc e use
quantas funes da calculadora conseguir. Tipicamente, abaixo do menu
de grfico da sua calculadora voc pode encontrar atalhos para outros
conceitos matemticos (como alterar um decimal para uma frao,
encontrar razes de nmeros, ou inserir matrizes, e ento realizar
operaes com elas). Cada marca de calculadora de grfico exclusiva,
ento leia o manual. Atalhos oferecem caminhos para checar suas
respostas!
5 Digite uma expresso exatamente da maneira como ela aparece e a
calculadora vai fazer o trabalho e simplificar a expresso. Todas as
calculadoras de grfico fazem ordem de operaes para voc, ento voc no
vai precisar se preocupar com a ordem. Apenas saiba que alguns
atalhos matemticos embutidos automaticamente iniciam com
parnteses.
LEMB
RE-SE
TRUQ
UES M
ATEMTICOS
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20 Parte I: Configure, Resolva e Faa o Grfico
Por exemplo, a calculadora que usamos inicia uma raiz quadrada
como (ento todas as informaes que digitarmos depois disto esto
automaticamente dentro do sinal de raiz quadrada at fecharmos os
parnteses. Por exemplo, (4 + 5) e
(4) + 5 representam dois clculos diferentes e, logo, dois
valores diferentes (3 e 7, respectivamente). Algumas calculadoras
inteligentes at resolvem a equao para voc. Num futuro prximo, voc
provavelmente nem ter de assistir aulas de pr-clculo; a calculadora
vai assistir no seu lugar!
Ok, agora voc est pronto para pegar o voo do pr-clculo. Boa
sorte para voc e curta a viagem!