PRAOVNÝ ZOŠITsosstrazske.wbl.sk/moderna_skola_-_dokumenty/ucebny... · 2015-09-25 · Funkcie – opakovanie 2.1. Opakovaie základ vých poj uov 2.2. Kvadratická fukcia 2.3. viče

„Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu, kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na trhu práce“

Strana 1 z 27

TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE

PRACOVNÝ ZOŠIT

k predmetu Matematika pre

2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika

dopravy

Operačný program: Vzdelávanie

Programové obdobie: 2007-2013

Prijímateľ: Stredná odborná škola, Mierová 727, Strážske

Názov projektu: „Moderná škola – cesta ku kvalitnému vzdelávaniu,

kvalita vo vzdelávaní, úspech našich absolventov na

trhu práce“

Kód ITMS projektu: 26110130595

Číslo a názov pozície: 3.1.32 Metodik pre prípravu a tvorbu učebných

materiálov pre žiakov v predmete Matematika

Spracovala: Mgr. Marta Bočanová


Strana 2 z 27

Obsah

1. Rovnice – opakovanie

1.1. Rovnosť a rovnica, koreň rovnice

1.2. Lineárne rovnice

1.3. Kvadratické rovnice

1.3.1. Druhy kvadratických rovníc

1.3.2. Riešenie kvadratických rovníc

1.3.2.1. Kvadratické rovnice bez absolútneho člena

1.3.2.2. Rýdzo kvadratické rovnice

1.3.2.3. Normovaný tvar kvadratickej rovnice

1.3.2.4. Všeobecná kvadratická rovnica úplná

1.4. Cvičenia

2. Funkcie – opakovanie

2.1. Opakovanie základných pojmov

2.2. Kvadratická funkcia

2.3. Cvičenia

3. Nerovnice – opakovanie

3.1. Kvadratická nerovnica

3.2. Cvičenia

4. Použitá literatúra


Strana 3 z 27

1. Rovnice - opakovanie

1.1. Rovnosť a rovnica, koreň rovnice V matematike sa často stretávame s rovnosťou dvoch výrazov. Znamená to, že sa dva výrazy rovnajú.

Prvý výraz označíme veľkým písmenom L – nachádza sa na ľavej strane.

Druhý výraz označíme veľkým písmenom P – nachádza s na pravej strane.

Čiže dva výrazy sa rovnajú a zapíšeme to L = P. Ak je vo výraze aj neznáma x, vzniká rovnica.

Pomocou rovnice zistíme, pre ktoré čísla platí, že L = P. To znamená, že ak za premennú x

dosadíme číslo, dostanem rovnosť dvoch výrazov. Všetky takéto čísla nazývame koreňmi rovnice,

alebo riešením rovnice. Množinu takýchto čísel označíme veľkým písmenom K. O správnosti riešenia

rovníc je potrebné sa presvedčiť skúškou správnosti.

1.2. Lineárne rovnice Tieto rovnice nazývame aj ako rovnice prvého stupňa. Ak po úprave rovnice pomocou

ekvivalentných úprav dostaneme tvar , hovoríme o lineárnej rovnici.

Ekvivalentné úpravy:

ak k obidvom stranám rovnice pripočítame ten istý výraz, koreň rovnice sa nemení

ak obidve strany rovnice násobíme tým istým výrazom rôznym od nuly

obidve strany rovnice môžeme zameniť

Okrem týchto úprav používame pri riešení rovníc aj tzv. dovolenú úpravu:

obidve strany rovnice môžeme umocniť rovnakým mocniteľom

Táto úprava nie je ekvivalentná, preto musíme urobiť skúšku správnosti riešenia.

Máme koreň rovnice . Je to jediný koreň rovnice a je ním číslo 4. Ak použijeme úpravu č. 4 –

umocníme obidve strany, dostaneme rovnicu , lenže táto rovnica má dva korene a sú to čísla

4, -4.

Pri úpravách lineárnych rovníc postupujeme takto:

1.) Odstránime zátvorky

2.) Odstránime zlomky vhodným vynásobením obidvoch strán

3.) Rovnicu upravíme na tvar a obidve strany vydelíme číslom a


Strana 4 z 27

1.3. Kvadratické rovnice

Kvadratickou rovnicou s jednou neznámou nazývame každú rovnicu, ktorú môžeme ekvivalentnými úpravami upraviť na tvar

kde:

x je neznáma, premenná

a, b, c sú koeficienty, ktoré sú reálnymi číslami

Celý tento výraz ax2 + bx + c nazývame kvadratický trojčlen

Člen ax2 sa nazýva kvadratický člen

Člen bx sa nazýva lineárny člen

Člen c sa nazýva absolútny člen

1.3.1. Druhy kvadratických rovníc

Všeobecný tvar kvadratickej rovnice , kde a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0.

Normovaný tvar kvadratickej rovnice x2 + bx + c = 0, kde a = 1 , b ≠ 0, c ≠ 0 alebo x2 + px + q = 0

Pre korene x1 a x2 normovanej rovnice platí: , .

Rýdzo kvadratická rovnica ax2 + c = 0, kde a≠ 0, b = 0, c ≠ 0 (chýba nám tu lineárny člen bx = 0)

Kvadratická rovnica bez absolútneho člena ax2 + bx = 0, kde a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0 (chýba nám tu

absolútny člen c = 0).

1.3.2. Riešenie kvadratických rovníc

1.3.2.1. Kvadratické rovnice bez absolútneho člena.

Tento druh kvadratických rovníc riešime pomocou vyberania neznámej pred zátvorku. Potom

použijeme poučku: „Súčin čísel sa rovná nule, ak aspoň jedno z čísel je nula“.

Príklad

Riešte kvadratickú rovnicu 3x2 + 7x = 0


Strana 5 z 27

Riešenie

3x2 + 7x = 0 / teraz vyberieme pred zátvorku neznámu x

X (3x +7) = 0 /teraz sme rozložili výraz na súčin, riešime poučkou o súčine

x = 0 /prvé číslo sa rovná 0

x1 = 0

druhé číslo súčinu sa rovná nule

3x + 7 = 0 /riešime ako lineárnu rovnicu

3x = -7

x= -

/ druhé číslo sa rovná nule

x2 = -

Skúška

x = 0

L = 0 . ( 3.0 + 7) = 0 P = 0

x = -

L = 3.(

)2 + 7.(

) = 3.

- 7.

= 0 P = 0

Rovnica má korene x1 = 0, x2 =

Rovnica má korene K = {0, -7/3}

1.3.2.2. Rýdzo kvadratické rovnice

Takéto rovnice riešime rozkladom na súčin dvojčlena, alebo rovnicu jednoducho odmocníme.

Nesmieme zabudnúť, že odmocnina čísla má dve riešenia. Jedno so znamienkom + a jedno so

znamienkom -.

Príklad

Riešte kvadratickú rovnicu x2 = 16

Riešenie

x2 - 16 = 0 /rozložíme na súčin dvojčlenov


Strana 6 z 27

(x + 4 ) . (x - 4) = 0 / teraz využijeme poučku: súčin čísel sa rovná nule, ak aspoň jedno číslo sa rovná nule. Uvažujeme, že prvé číslo sa rovná nule.

x + 4 = 0 /riešime ako lineárnu rovnicu

x1 = - 4

Teraz druhé číslo sa rovná nule.

x – 4 = 0 /riešime ako lineárnu rovnicu

x2= 4

Skúška

x = -4

L (-4)2 – 16 = 16 – 16 = 0 P = 0

x = 4

L 42 – 16 = 0 P = 0

16 – 16 = 0

Rovnica má dve riešenia x1 = -4, x2 = 4

K = {-4,4}

Príklad

Riešte kvadratickú rovnicu x2 = 81

Riešenie

x2 = 81 /rovnicu jednoducho odmocníme

x = √81 /nesmieme zabudnúť, že odmocninou čísla sú dva korene

x1 = +9, x2 = -9

Skúška

Pre x1 = 9:

L = 92 = 81 P = 81

Pre x2 = -9:

L = (-9)2 = 81 P = 81

Koreňmi rovnice sú čísla x1 = -9, x2 = 9

K = {-9,9}


Strana 7 z 27

Príklad

Riešte kvadratickú rovnicu 2x2 + 3 = 0

Riešenie

2x2 + 3 = 0

2x2 = - 3

x2 = -

/teraz by sme mali rovnicu odmocniť, lenže odmocniť môžeme len čísla kladné, nanajvýš

rovné nule. Takže záporné číslo -

nevieme odmocniť v R a preto daná rovnica nemá riešenie v R.

K= Ø

1.3.2.3. Normovaný tvar kvadratickej rovnice

Normované kvadratické rovnice riešime skusmo, pomocou vlastností koreňov kvadratickej rovnice,

alebo doplnením na úplný štvorec.

Príklad

V množine R riešte kvadratickú rovnicu x2 +2x – 63 = 0

Riešenie

Rovnicu x2 + 2x – 63 = 0 riešime doplnením na úplný štvorec

x2 + 2x - 63 = 0

x2 + 2x = 63 /teraz dvojčlen na ľavej strane doplníme na kvadratický trojčlen , podľa vzorca

by sme za B2 mali dosadiť číslo 1

x2 + 2x +1 = 63 + 1 / číslo 1 pripočítame k obidvom stranám, aby bola zachovaná rovnosť strán,

ľavú stranu upravíme na súčin dvojčlena

(x + 1)2 = 64 /odmocníme

x + 1 = 8

x + 1 = 8 x + 1 = - 8

x1 = 7 x2 = - 9

Skúška

Pre x1 = 7: L1 = (7)2 + 2 . 7 – 63 = 49 + 14 -63 = 0 P1 =0

Pre x2 = -9: L2 = (-9)2 + 2 . (-9) – 63 = 81 -18 – 63 = 81 – 81 = 0 P2 =0


Strana 8 z 27

Tejto rovnici vyhovujú korene x1 = 7, x2 = -9

K = {7,-9}

Príklad

Riešte rovnicu x2 - x - 6 = 0 pomocou vlastností koreňov

Riešenie

x2 - x - 6 = 0 pre korene platí: p = -(x1 + x2) a q = x1 . x2

V našej rovnici p = -1 , q = -6

p = - (x1 + x2) q = x1 .x2

-1 = - (x1 + x2) /.( -1) - 6 = x1 .x2

1 = x1 + x2

Za predpokladu, že sú korene celé čísla, platí - 6 = - 1 . 6 , alebo 6 . (-1), alebo - 3 . 2, alebo -2 . 3 súčasne platí -p = x1 + x2 , čiže 1 = x1 + x2 . Ak urobíme súčet koreňov -1 +6 ≠1 ani 6 + (-1) ≠ 1 ani

-3 + 2 ≠ 1 ale -2 + 3 = 1. Takže koreňmi rovnice budú čísla x1 = -2, x2 = 3.

Skúška

Pre x1 = -2: L1 = (-2)2 - (-2) – 6 = 4 + 2 – 6 = 0 P1 = 0 Pre x2 = 3: L2 = 32 – 3 – 6 = 9 – 9 = 0 P2 = 0

K = {-2,3}

Na určenie koreňov normovanej kvadratickej rovnice máme aj vzorec

1.3.2.4. Všeobecná kvadratická rovnica úplná

Tvar všeobecnej kvadratickej rovnice je ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, a ≠ 1. Jej korene určíme pomocou vzorca

,

kde D = b2 – 4ac nazývame diskriminant kvadratickej rovnice.


Strana 9 z 27

Keď je diskriminant b2 – 4ac 0 ( kladné číslo), má kvadratická rovnica dva rôzne korene.

Keď je diskriminant b2 – 4ac = 0, má kvadratická rovnica jeden dvojnásobný koreň.

Keď je diskriminant b2 – 4ac < 0 (záporný) nemá rovnica v R koreň.

Pri riešení rovnice je dobré najprv určiť hodnotu diskriminantu D, a až potom dosadiť do vzorca pre

výpočet koreňov kvadratickej rovnice.

Príklad

Riešte kvadratickú rovnicu 12x2 - 5x -3 = 0 v R

Riešenie

Určíme si koeficienty jednotlivých členov a = 12, b = - 5, c = -3

Teraz si určíme hodnotu diskriminanta D = b2 – 4ac = (-5)2 – 4-12.(-3) = 25 + 144 = 169

D > 0, rovnica má dva rôzne korene.

Na ich výpočet použijeme vzorec

X1 = -

x2 =

Koreňmi tejto rovnice sú čísla x1 = -

, a x2 =

.

K = {-1/3;3/4}

Príklad

Riešte kvadratickú rovnicu x2 – 8x + 16 = 0 v množine R

Riešenie

Určíme si jednotlivé koeficienty a = 1, b = -8, c = 16

D = (-8)2 – 4.1.16 = 64- 64 = 0

D = 0, z toho vyplýva, že rovnica má len jedno riešenie.

X1,2 =

=

=

= 4

Koreňom tejto rovnice je číslo 4.

K = {4}


Strana 10 z 27

Príklad

Riešte rovnicu 2x2 - 5x + 6 = 0 v množine R

Riešenie

Určíme si koeficienty a = 2, b = -5, c = 6

Určíme si D.

D = (-5)2 – 4.2.6 = 25 – 48 = -23

Keďže D rovnica nemá riešenie v R, ďalšie riešenie nie je nutné.

K = Ø

1.3.3. Cvičenia

1. Riešte rovnice

a.) (x – 2)(x - 1) = 0 b.) (x + 3)(2x - 5) = 0 c.) (5 – 3x)(-2x - 5) = 0

a.) {2;1} b.) {-3;2,5} c.) {

}

2. Riešte kvadratické rovnice v množine R

a.) (u - 2)2 = 0 b.) (0,5 - u)2 = 0 c.) (2u - 11)2 = 0 d.) v2 – 4 = 0

a.) {2;0 } b.) {0;5} c.) {5;5} d.) {-2;2}

3.) Riešte kvadratické rovnice v množine R

a.) x2 - 6x + 8 = 0 b.) x2 – 6x + 5 = 0 c.) 4x2 – 4x – 1 = 0

d.) x 2 + x + 1 = 0 e.) 3x2 + 5x + 1 = 0 f.) 6x2 + 7x + 1 = 01

a.) {2;4} b.) {5;2} c.) {

,

}

d.)nemá riešenie,

e.) {

,

} f.) {-1;- }

4. Riešte v množine R dané kvadratické rovnice

a.) 5x 2 +10x-36 = -3(x+2)2 + 24x-23 b.)

- 1 = 0

a.) {

,

} b.) { })

5. V pravouhlom trojuholníku je jedna odvesna o 1 m kratšia ako prepona, druhá o 2 m kratšia ako

prepona. Určte dĺžky všetkých strán trojuholníka. {3m;4m;5m}


Strana 11 z 27

2. Funkcie - opakovanie

2.1. Opakovanie základných pojmov

Funkcia vyjadruje vzťah medzi číslami, kde zmena jedného má za následok zmenu ďalších čísel.

Funkcia znamená predpis, ktorým sa ku každému číslu x priraďuje jedno a len jedno číslo y.

Číslo x nazývame nezávislá premenná, (nezávisí od iného čísla).

číslo y nazývame závislá premenná (závisí, mení sa, podľa čísla x).

Napríklad vo vzorci y = ax sú tri veličiny a – čas potrebný na výrobu jedného výrobku, x – počet

výrobkov, y – výrobný čas všetkých výrobkov. X a y sú premenné, číslo a voláme konštantou. Množinu

všetkých hodnôt premennej x voláme definičný obor funkcie f, označujeme ho D(f). Množinu

všetkých hodnôt premennej y nazývame obor hodnôt funkcie f. Označujeme ho H(f). Ku každému x

je pomocou vzorca priradené práve jedno y.

x a y tvoria usporiadanú dvojicu [x, y] ϵ f.

Príklad

Máme danú funkciu g s definičným oborom R, v ktorej každému číslu x ϵ R je priradené číslo 2,5x; čiže

pre každé x ϵ D(f) sa hodnota funkcie g rovná 2,5x.

Funkciu g môžeme zapísať viacerými spôsobmi:

g = {[x, y] ϵ R x R: y = 2,5x}

Jednoduchší zápis:

g : y = 2,5x, x ϵ R čítame „funkcia g s definičným oborom R, v ktorej každému x ͼ R je priradené

y = 2,5x“.

Stručnejší zápis :

y = 2,5x, x ϵ R čítame „funkcia y = 2,5x s definičným oborom R“

ďalšie zápisy funkcie

x → 3x, x ϵ R

f(x) = 3x, x ϵ R

Zápis f(a) znamená hodnotu funkcie f pre hodnotu a premennej x.


Strana 12 z 27

2.2. Kvadratická funkcia

Definícia : Funkcia f: y = a +bx +c, x ϵ R, kde a ,b, c ϵ R , a≠0, sa nazýva kvadratická funkcia.

Výraz ax2 +bx +c sa nazýva kvadratický trojčlen.

Výraz ax2 sa nazýva kvadratický člen.

Výraz bx voláme lineárny člen , a c je absolútnym členom kvadratického trojčlena.

Čísla a, b, c sa nazývajú koeficienty kvadratického trojčlena.

Číslo D = b2 – 4ac sa nazýva diskriminant kvadratického trojčlena.

Krivka, ktorá je grafom kvadratickej funkcie, sa nazýva parabola. Túto krivku tvoria ramená a vrchol

paraboly. Je súmerná podľa osi o, ktorá je rovnobežná s osou y, a prechádza cez vrchol paraboly.

Ak je koeficient a kvadratického člena záporný, nadobúda kvadratická funkcia najväčšie hodnoty pre

x = -

,

(t. j .vrchol je „najvyšší“ bod paraboly . Parabola je „otvorená nadol“ ) .

Ak je koeficient a kvadratického člena kladný, nadobúda kvadratická funkcia najmenšie hodnoty pre

.

( t.j. vrchol je „najnižší“ bod paraboly. Parabola je „otvorená nahor“) .

Ak je diskriminant D < 0, nepretína os x

Ak D = 0 je vrchol jediný spoločný bod s osou x

Ak D > 0 pretína parabola os x v dvoch jej bodoch koreňoch rovnice ax2 + bx + c = 0.

Postup pri vyšetrovaní kvadratickej funkcie:

1. Podľa znamienka koeficienta pri kvadratickom člene rozhodneme o type grafu

vyšetrovanej funkcii.

2. Určíme súradnice vrcholu paraboly, zostrojíme vrchol a zostrojíme os paraboly, ktorá

prechádza vrcholom V paraboly.

3. Zostavíme tabuľku hodnôt y vyšetrovanej funkcie pre zvolené x, zostrojíme príslušné

body a spojíme ich.


Strana 13 z 27

Príklad

Vyšetrite kvadratickú funkciu f: y = x 2 a zostrojte jej graf.

Riešenie

Teraz si vyhodnotíme koeficienty. Koeficient kvadratického člena a = 1, a súčasne a > 0

To nám súčasne ukazuje na to, aký bude tvar paraboly. Ešte nám chýba hĺbka paraboly.

Preto si teraz vypočítame diskriminant.

Diskriminant D = b2 – 4.ac = 0

V = [0.0]

Načrtneme si graf

Na grafe vidíme, že celý graf je nad osou x. Obor funkčných hodnôt sa ukazuje iba na R+


Strana 14 z 27

Príklad

Vyšetrite kvadratickú funkciu f: y = 2x2 a zostrojte jej graf.

Riešenie

Teraz pouvažujeme. Vieme že koeficient kvadratického člena je dvakrát väčší ako v rovnakej

rovnici. Čiže vieme, že a = 2, a vieme že aj a > 0. Vidíme, že je graf podobný minulému grafu.

Vypočítajme diskriminant.

Diskriminant D = 0 . Takže bod, v ktorom bude parabola najnižšie, bude mat najnižšie hodnoty, bude D = (0,0}

Nakreslíme si graf

Vo výsledku vidíme, že graf je tak isto ako aj predchádzajúci graf, iba nad osou x. Jeho ramená sú bližšie k osi y.


Strana 15 z 27

Príklad

Vyšetrite kvadratickú funkciu f:y = -3x2 a zostrojte jej graf.

Riešenie

Vypočítame si koeficient kvadratického člena. Je ním číslo a = -3.Takže a < 0. Z toho budú vychádzať aj výsledky.

Ideme si vypočítať výsledky.

D = b2 – 4ac =02 – 4.(-3 ) .0 = 0

D = O

X = 0 y = 0

Takže diskriminant bude D = (0,0)

Načrtneme graf

P = R -

Takto vyzerá graf funkcie. Obor pravdivosti je teraz R-

Príklad

Vyšetrite kvadratickú funkciu f: y = -3 x2 + 3


Strana 16 z 27

Riešenie

Na prvý pohľad je táto rovnica ako tá pred ňou, no má aj absolútny člen 3.

Teraz si nájdeme koeficienty. Kvadratický člen má za koeficienta písmeno a a jeho hodnota je a = -3.

Ďalší koeficient je koeficient c. Jeho hodnota je rovná +3. Treba nám vypočítať, aký bude graf.

Teraz si vypočítame hodnoty vzorca.

Diskriminant D = b2 – 4ac = 0 -4.(-3).3 = 0 + 36 = 36

Teraz si vypočítame vrchol.

Pre x =

= 0. Pre y =

= 3 – 0 = 3

Teraz má aj svoje posunutie.

Nakreslíme graf.

P = (0,3) Ramená idú do opačnej strany, lebo a = -3

Príklad

Vyšetrite kvadratickú funkciu f: y = x2 + 2x – 3 a zostrojte jej graf.

Riešenie

Pri kvadratickom člene sa v našej situácii nachádza koeficient a , a = 1, a > 0. Teraz je parabola funkcie otvorená nahor. A bod V je jej najnižším bodom.

Pre koeficienty a = 1, b = 2, c = -3. Teraz je čas na vrchol V.

X = -

= -1

y = c -

= - 4

Vrchol má nove hranice a sú to V = [-1,-4]

Teraz si zostrojíme graf.


Strana 17 z 27

Vidíme, má že tento graf má dva body, ktorými prechádza. Zastavuje sa na najnižšom bode.

Príklad

Vyšetrite kvadratickú funkciu f: y = x2 - 6x +9 a zostrojte graf funkcie

Riešenie

Zistili sme, že koeficient kvadratického člena a=1, a>0, potom z toho vyplýva, že graf funkcie bude

otvorený hore. Zistíme si súradnice vrcholu V = [x;y]

Koeficienty sú z našej rovnice a = 1, b = -2, c = 9

x = -

= 3

Y = c –

= 0

Vrchol bude mať teraz súradnicu V = [3,0]. Koeficient a = 1, znamená, že ramená grafu budú hore.


Strana 18 z 27

Graf funkcie

P = R+

Príklad

Vyšetrite priebeh kvadratickej funkcie f: y = - x2 +2x – 2

Riešenie

Určíme koeficient kvadratického člena a=-1, a<0. Z tohto zistenia vidíme, že graf bude dole otvorený a jeho najvyšším bodom bude vrchol ( graf bude mať tvar kopca).

Teraz zistíme súradnice vrcholu V, pričom hodnoty ďalších koeficientov sú b=2, c=-2 a z toho vyplýva, že vrchol V má súradnice [1,-1].


Strana 19 z 27

Pomocou tabuľky si určíme súradnice ďalších bodov grafu.

Nakreslíme si graf

Aj keď je rovnica na konci, môžeme si všimnúť jej postavenie. Paragraf je na konci najlepším dôkazom

toho, o čom sme rozmýšľali. Vrchol paraboly je V = [1,-1] a ramená idú dole a nie hore. Tak potom

je správne otvorený náš graf.

X -2 -1 0 1 2 3 4

Y -10 -5 -2 -1 -2 -5 -10


Strana 20 z 27

2.3. Cvičenia

1.) Doplňte tabuľku hodnôt pre funkciu f:

f: y = -X2 +11X -2

X -2 0 3 3,5 6 129

y

2.) Určte kvadratickú funkciu, ktorej patria dvojice a.) [-4, 49], [-2, 13], [7, 148] b.) [8, -123], [5, -48], [-2,5, -18] a.)f: y = 3x2 +1 b.)f: y=2x2 +x-3

3.) Zostrojte grafy nasledujúcich funkcií v intervale (-4,4)

a.) f1: y = 0,1x2 b.)f2 : y = x2 c.) f3: y = -2x2 d.) f4: y = -3x2

4.) Určte súradnice vrcholov parabol, ktoré sú grafmi kvadratických funkcii:

. a.) y = 0,32x2 b.) y = 6x2 +3 c.) y = -2(x-1)2 d.) y = 5(x+2)2

f.) y = 2(x+2)2 + 2 g.) y = 3[(x-1)2 +1] h.) y = -5(x+7)2 -0,2

a.) V[0,0] b.) V[0,3] c.) V[2,-2] d.)V[2,0]

f.) V[-2,2] g.) V[1,3] h.) V[-7,-0,2]

5.) Určte súradnice vrcholov parabol, ktoré sú grafmi daných kvadratických funkcii:

a.) y = x2 + 2x – 3 b.) y = - x2 + 14x – 49 c.) y = x2 – 4x - 21

a.) V[-1.-4] b.) V[7.0] c.) V[2,-21]


Strana 21 z 27

3. Nerovnice - opakovanie

l(x) < p(x), l(x) ≤ p(x), l(x) > p(x), l(x) ≥ p(x), kde výraz l(x) znamená ľavú stranu nerovnice a výraz p(x) znamená pravú stranu nerovnice

Nerovnice l(x) < p(x) a l(x) > p(x) voláme ostré nerovnice ,

Nerovnice l(x) ≤ p(x) a l(x) ≥ p(x) voláme neostré nerovnice

Množinu riešení nerovnice označujeme P alebo PM.

Ekvivalentné úpravy nerovníc

Pričítanie toho istého čísla alebo výrazu k obidvom stranám nerovnice

Násobenie alebo delenie obidvoch strán nerovnice kladným číslom alebo výrazom, ktorý je v obore riešenia nerovnice kladný

Násobenie obidvoch strán nerovnice záporným číslom alebo výrazom, ktorý je v obore riešenia nerovnice záporný, a zámena pravej a ľavej strany nerovnice (alebo zmena znaku nerovnosti na opačný).

3.1. Kvadratická nerovnica

Nerovnica, ktorú môžeme prepísať pomocou ekvivalentných úprav na tvar

ax2 + bx + c > 0, a≠ 0 ax2 + bx + c ≥ 0, a ≠ 0 ax2 + bx + c < 0, a ≠ 0 ax2 + bx + c ≤ 0, a ≠ 0

sa volá kvadratická nerovnica s jednou neznámou, kde a, b, c, sú reálne čísla.

Postup pri riešení kvadratickej nerovnice:

Upravíme danú nerovnicu ekvivalentnými úpravami na niektorý z tvarov kvadratickej nerovnice. Podľa znamienka koeficienta pri kvadratickom člene rozhodneme, či grafom kvadratickej funkcie

f : y = ax2 + bx + c, x ϵ R je parabola „otvorená nahor“ (dolina) alebo „otvorená nadol“ (kopec).

Určíme diskriminant D kvadratického trojčlena ax2 +bx + c, v prípade D ≥ 0, určíme korene rovnice ax2 + bx +c = 0

Načrtneme si graf funkcie f a súčasne určíme riešenie nerovnice.

Riešte v množine R dané kvadratické nerovnice.


Strana 22 z 27

Príklad

Riešte v množine R nerovnicu x2 – 3x – 28 > 0

Riešenie

Nerovnicu prepíšeme na funkciu f: y = x2 – 3x – 28. Vidíme, že koeficient kvadratického člena je 1>0, preto graf kvadratickej funkcie bude parabola „ otvorená nahor“ (dolina).

Určíme si diskriminant kvadratického trojčlena.

D = (-3)2 – 4.1.(-28) = 9 + 112 = 121

D = 121 > 0, takže graf funkcie f pretína os x v dvoch bodoch, ktoré sú aj koreňmi kvadratickej rovnice x2 – 3x -28 = 0.

Teraz si určíme korene rovnice.

X1,2 =

=

X1 =

x2 =

=- 4

Teraz si načrtneme graf funkcie, ktorý ma x-ovej osi prechádza bodmi -4, a 7 a je „otvorený nahor“ čiže má tvar doliny. Súčasne y = x2 -3x -28 > 0 (máme urči množinu všetkých x, ku ktorým priradené y podľa funkcie sú väčšie ako 0, .

P = (-∞,-4) (7, )

Iba tieto korene, kde má funkcia kladné korene , môže byť väčšia ako nula.


Strana 23 z 27

Príklad

Riešte v R nerovnicu x2 +2x – 3 0

Riešenie

Nerovnicu prepíšeme na funkciu f: y = x2 +2x – 3. Koeficient kvadratického člena je 1>0, takže graf funkcie bude parabola „otvorená nahor“ (dolina).

Určíme si diskriminant kvadratického trojčlena.

D = 22 – 4. 1.(-3) = 4 + 12 = 16

D = 16 > 0, z toho vyplýva, že grafom je parabola, ktorá pretína x-ovú os v dvoch bodoch.

X1,2 =

X1 =

= 1 x2 =

= -3

P = (-3,1) Náš graf je teraz pod osou x. Patrí k nemu práve táto časť grafu.

Príklad

Riešte v R nerovnicu: 9x2 +12x+4 0

Riešenie

Keďže koeficient kvadratického člena je 9 > 0, grafom kvadratickej funkcie y = 9x2 +12x+4 je parabola „otvorená nahor“. Teraz si určíme hodnotu diskriminantu

D = 122 – 4.9.4 = 144 – 144 = 0


Strana 24 z 27

Pretože D = 0, graf funkcie f sa dotýka x-ovej osi v jedinom bode, ktorý je zároveň koreňom kvadratickej rovnice 9x2 +12x +4= 0.Vypočítame koreň rovnice

X1 =

=

Teraz si načrtneme graf funkcie.

kedže a>0, musí byť hore otvorený graf,

Príklad

Riešte v R nerovnicu

5x + 3 3x2 + 10

Riešenie

Našu nerovnicu upravíme pomocou ekvivalentných úprav na nerovnicu

-3x2 + 5x – 7 < 0

Určíme si koeficient kvadratického člena , ktorým je číslo -3 0. Z tejto vlastnosti vyplýva, že grafom je parabola „otvorená nadol“.

Teraz si určíme diskriminant kvadratického trojčlena.

D = 52 – 4.(-3).(-7) = 25 – 84 = -59 <0

Keďže D<0 rovnica nepretína graf v dvoch bodoch, a nepretína x-ovú os ani v jednom bode

D< 0, preto graf nepretína x-ovú os.


Strana 25 z 27

P = R

3.2. Cvičenia

1.) Riešte v množine R dané nerovnice

a.) -2(x - 1)2 ≤ 0 b.) -x2 ≤ 0 c.) -3(x+1)2 - 2 > 0

a.) R b.) {0} c.)

2.) Riešte v množine R dané nerovnice

a.) x2 - 3x – 28 > 0 b.) x2 - 3x – 28 ≤ 0

c.) -x2 + x – 17 < 0 d.) x2 +8x + 16 < 0

a.) ( b.) (-4;7)

c.) R d.)


Strana 26 z 27

Zoznam použitej literatúry

Jirásek F., Braniš K., Horák S., Vacek M. : Zbierka úloh z matematiky pre SOŠ a študijné odbory

SOU. 4 vydanie. SPN Bratislava 1997, ISBN 80-08-02633-2

Odvárko O., Řepová J. , Skříček L.: Matematika pre študijné odbory SOŠ a SOU. 4. vydanie. SPN

Bratislava 1993, ISBN 80-08-02112-8

Odvárko O., Calda E., Řepová J.: Matematika pre SOŠ a študijné odbory SOU. 1. vydanie. SNP

Bratislava 1987.

Jozífek V., Horák S.: Matematika pre 1. a 2. ročník OU a UŠ. 2. vydanie. SPN Bratislava 1976


Strana 27 z 27

Vydané pre interné účely SOŠ v Strážskom.

Autorské práva vyhradené.

2015

PRAOVNÝ ZOŠITsosstrazske.wbl.sk/moderna_skola_-_dokumenty/ucebny... · 2015-09-25 · Funkcie – opakovanie 2.1. Opakovaie základ vých poj uov 2.2. Kvadratická fukcia 2.3. viče

Documents