1.Grupisanje podataka i numerike deskriptivne mere
1.1 Srednje vrednosti1.1.1 Aritmetika sredinaProsta aritmetika
sredina dobija se kada se saberu sve vrednosti lanova jedne serije
pa se taj zbir podeli brojem lanova te serije.
Ponderisana aritmetika sredina upotrebljava se onda ako pojedini
lanovi serije nemaju iste frekvencije i izraunava se:
1. Visina igraa jednog koarkakog tima iznosi u centrimetrima
195, 180, 190, 202, 205, 201, 198, 199, 200, 204. Nai prosenu
visinu igraa.
Reenje:
2.U jednom ispitnom roku dobijene su sledee ocene na ispitu iz
jednog predmeta.ocena6
78910
Broj studenata32141185
Izraunati prosenu ocenu iz tog predmeta.
Reenje:Ocene (xi)Broj studenata (fi)Grupni proizvod (xifi)
632192
71489
81188
9872
10550
3. Na jednom kolokvijumu 150 studenata osvojilio je sledei broj
poena:Broj bodova0-56-1011-1516-2021-25
Broj studenata2821523415
Izraunati prosean broj osvojenih bodova.Reenje:Broj
bodova(xi)Broj studenata(fi)Razredna sredina (xifi)
0-5282,570
6-10218168
11-155213676
16-203418612
21-251523345
1.1.2 Geometrijska sredinaProsta geometrijska sredina izraunava
se na sledei nain:
Primenom logaritamskog rauna dobija se prosta geometrijska
sredina u logaritamskom obliku:
Ponderisana geometrijska sredina se izraunava na sledei
nain:
Primenom logaritamskog rauna dobija se ponderisana geometrijska
sredina u logaritamskom obliku:
Geometrijska sredina se ne moe izraunati ako numerika serija ima
neku vrednost koja je nula ili negativan broj.
1.Proizvodnja jednog artikla po mesecima bila je 8, 12, 16, 19,
21 i 23. Izraunati prosenu mesenu proizvodnju datog artikla.
2.Raspored radnika prema random stau u jednoj fabrici bila
je:Godine staa5-1010-1515-2020-2525-3030-35
Broj zaposlenih28213824158
Izraunati prosean radni sta zaposlenih.Godine staa (xi)Broj
zaposlenih (fi)Razredna sredinaLogxifilogxi
5-10287,50.8750624,50168
10-152112,51,0969123,03511
15-203817,51,2430347,23514
20-252422,51.3521832,45232
25-301527,51,4393321,58995
30-35832,51,5118812,09504
160,90924
G=15,87Proseni radni stau fabrici bio je 15,87 godina.
1.1.3 Harmonijska sredinaHarmonijska sredina upotrebljava se u
onim sluajevima kada numerika vrenost obeleja i obim pojave stoje u
obrnutojsrazmeri i kada su vrednosti obeleja za koje treba
izraunati sredinu izraene u vidu recipronih odnosa.Prosta
harmonijska sredina se izraunava na sledei nain:
Ponderisana harmonijska sredina se izraunava na sledei nain:
1. Automobil pree 150km brzinim od 60 km/h i vrati se brzinom
50km/h.Izraunati srednju brzinu kretanja automobila.
H=
2. Za izradu jednog proizvoda prvi radnik utroi 10 minuta, dok
drugi radnik potroi 6 minuta.Izraunati proseno vreme utroeno za
izradu proizvoda.
1.2 Pozicione srednje vrednosti1.2.1 ModusModus je onaj podataka
koji se najee javlja u seriji, tj. ima najveu frekvenciju. Numerika
serija moe imati jedan, dva , ili vie modusa, a moe se desiti da
modus ne postoji.1.Data je sledea serija podataka.Odrediti
modus.10, 7, 8, 13, 8, 17, 19, 12, 12, 10, 6, 7, 12, 10. 15,
12Mo=122.Iz sledee serije podataka odrediti modus:14, 19, 19, 19,
23, 23, 23, 25, 25, 25, 27, 29, 30Ovde se radi o polimodalanoj
seriji podataka: Mo=19, Mo=23, Mo=25.
Izraunavanje modusa kod intervalnih serija
Kod intervalnih serija postoji modalni interval sa najveom
frekvencijom koji sadri vrednost modusa, ta vrednost se izraunava
po obrascu :
x- donja granica modalnog intervala i- irina modalnog intervala
f1- frekvenicija predhodnog intervala f2 frekvencija modalnog
intervala f3- frekvencija narednog intervala
1.Dat je raspored domainstava prema mesenoj potronji jednog
artikla:potronja2-44-66-88-1010-1212-14
Br.domainstava8102119156
Izraunati najesu potronju prehrambenih proizvoda po
domainstvu.Reenje:
U ovoj seriji modalni interval sa najveom frekvencijom je od 6
do 8, pa su vrednosti sledee:x=6, i=2, f1=10, f2=21, f3=19
Mo=7,692Najesa potronja prehrambenog proizvoda po domainstvu je
7,692 kilograma.
1.2.2 Medijana
Medijana je srednja vrednost svih vrednosti obeleja ureenih po
veliini. Kod odreivanja medijane moramo razlikovati sluajeve kada
je broj vrednosti obeleja paran i neparan. Ako je broj vrednosti
obeleja neparan broj, onda postoji jedna vrednost obeleja koja je
srednja vrednost obeleja. Ako je broj vrednosti obeleja paran broj,
tada postoje dva srednja lana i uzima se njihova aritmerika
sredina.Medijana kod intervalnih serija sa neparnim brojem podataka
izraunava se po obrascu:
Medijana kod intervalnih serija sa parnim brojem podataka
izraunava se po obrascu:
X1-donja granica medijalnog intervalX2-gornja granica medijalnog
intervalW2-zbirna frekvencija medijalnog intervala iz rastue
kumulanteW1- zbirna frekvencija medijalnog intervala iz rastue
kumulante
1.Odrediti medijanu za sledeu seriju podataka:18, 25, 19, 22,
26, 28, 30, 16, 36Prvo se serija podataka uredi po veliini:16, 18,
19, 22, 25, 26, 28, 30, 36.
Pozicija medijane je , to znai da je medijana vrednost petog
lana serije: Me=252. Na sluajan nain izabrano je 85 studenata
jednog fakulteta jednog i izmerena je njihova visina.Izraunati
medijanu.visina150-160160-170170-180180-190190-200200-210
Broj studenata515302483
Reenje:VisinaBroj studenataRastua kumulanta
150-16055
160-1701520
170-1803050
180-1902474
190-200882
200-210385
Ukupno
Mesto medijane je: Medijalni interval je (170-180), odakle je
x1=170, x2=180, W2=50, W1=20
Polovina studenata ima visinu manju od 177,5 cm, a druga
polovina ima visinu veu od 177,5 cm.
1.3 Mere varijabilitetaVarijansa ()Varijansa predstavlja proseno
kvadratno odstupanje podataka u seriji, od aritmetike sredine te
serije. Njena vrednost se kree od nule do beskonano. Varijansa kod
prostih serija se izraunava po obrascu
Varijansa kod serija distribucije frekvancija:
Standardna devijacija () predstavlja kvadratni koren iz
varijanse = , kod prostih serija . = , kod serija distribucija
frekvencija.
Koeficijent varijacije ( izraunva se po obrascu Zadatak 1.Na 40
parcela prinos ovsa u bio je Prinos ovsa u 3.1 - 5 5.1 7 7.1 9 9.1
11 11.1 13 13.1 - 15
Broj parcela 5 8 11 9 4 3
ReenjePrinos ovsa u Broj parcela ()Razredna sredina
3.1-554.0520.25-4.419.3696.8
5.1-786.0548.4-2.45.7646.08
7.1-9118.0588.55-0.40.161.76
9.1-11910.0590.451.62.5623.04
11.1-13412.0548.23.612.9651.84
13.1-15314.0542.155.631.3694.08
Ukupno/338//313.6
= Prosean prinos ovsa na 40 parcela iznosi 8.45 = Kvadratno
odstupanje prinosa ovsa od prosenog prinosa ovsa na 40 parcela je
7,84 .
Zadatak 2.Broj ugostiteljskih objekata po optinama bio
je:520153548173839
719204046283541
917193839314229
1016304250422519
Grupisati podatke u obliku intervalne numerike serije.
Reenje.Broj intervala irina intervala Donja granica prvog
intervalak = 1+3.3log32 i = k = 1+3,3*1.50515 i = k = 1+4,96699 i =
7.54 k = 5.96699 i 8 k 6Broj grupnih intvervala je 6. Maksimalan
broj ugostiteljskih radnji je je 50, minimalan broj je 5. irina
grupnog intervala i 8 . Donja granica grupnog intervala je .Na
osnovu izraunatih vrednosti parametara k, i, moemo i napraviti
tabelu grupisanja opstina prema broju ugostiteljskih radnji.
Zadaci za vebu:1.Broj ugostiteljskih objekata po optinama bio
je: 5 20 15 35 48 17 38 39 7 19 20 40 46 28 35 41 9 17 19 38 39 31
42 29 10 16 30 42 50 42 25 19 a)Grupisati podatke u obliku
intervalne numerike serije b)Izraunati modus i standardnu
devijaciju
2. Potronja mleka u 24 domainstava u litrima iznosila je: 17 9 9
20 24 30 30 13 9 9 10 12 12 14 15 137 7 9 9 14 15 15 17 a)Grupisati
podatke u obliku intervalne numerike serije b)Izraunati medijanu i
varijansu
3. Anketirano je 30 kupaca u prodavnicama o prosenoj dnevnoj
potronji hleba.Dobijeni su sledei podaci: 1 2 3 2 1 1 6 3 2 3 1 5 4
2 2 3 1 4 2 6 3 1 5 2 4 2 2 4 2 2a)Grupisati podatke u obliku
intervalne numerike serijeb)Izraunati modus i standardnu
devijaciju
4. Kompanija vri kontrolu svog proizvodnog procesa pratei broj
proizvedenih satova u jednom proizvodnom pogonu.Kontrola
proizvodnih linija jednog pogona dala je sledee rezultate:73 81 75
74 79 80 77 76 79 8177 74 77 73 76 80 79 78 75 75a)Grupisati
podatke u obliku intervalne numerike serijeb)Izraunati medijanu
5. Prinos kukuruza u t/ha kretao se prema sledeim podacima:4,05
5,56 6,28 7,03 8,24 5,61 9,52 10,007,42 4,59 5,89 6,97 7,24 7,95
8,26 8,087,82 8,10 8,95 9,90 6,04 4,99 8,40 6,64a)Grupisati podatke
u obliku intervalne numerike serijeb)Izraunati modus i standardnu
devijaciju
6.Veliina gazdinstava u hektarima u jednoj mesnoj zajednici
prikazana je sledeom serijom:1,10 2,10 1,15 3,00 2,59 3,15 4,72
4,83 5,004,87 4,70 3,15 5,05 2,19 5,15 7,00 6,85 7,038,90 9,50 9,80
1,20 2,50 7,52 5,25 3,15 3,516,60 4,69 1,20 2,25 3,59 3,64 6,05
5,37 8,60a)Grupisati podatke u obliku intervalne numericke
serijeb)Izraunati modus i medijanu
2.Kombinatorika
2.1 VarijacijeVarijacije bez ponavljanja elemenata
Neka je dat skup .Varijacija k-te klase od n elemenata je bilo
koja k-torka razliitih elemenata skupa A.
Broj varijacija iznosi Varijacije sa ponavljanjem elemenata
Neka je dat skup .Varijacija sa ponavljanjem k-te klase od n
elemenata je bilo koja k-torka razliitih elemenata skupa A.
Broj varijacija sa ponavljanjem iznosi
Primer1:Koliko ima dvocifrenih brojeva koji se mogu napisati
pomou cifara 1,2,3 ?Reenje: Traeni brojevi su:
11,12,13,21,22,23,31,32,33 i ima ih ukupno 32=9Primer2:Na koliko se
naina mogu izabrati etiri osobe na etiri razliite dunosti, od devet
prijavljenih kandidata?
Reenje: =9876=3024Primer3:Koliko se razliitih etvorocifrenih
brojeva moe formirati od deset razliitih cifara ako se cifre u
broju ne ponavljaju?Reenje: 109876-9876Primer4: Investitor e
sluajno izabrati 6 trita od 20 za investiranje. Na koliko naina je
to mogue da uradi ako je redosled kojim se biraju trita
bitan?Reenje: 20 19 18 17161Primer5:Koliko u gradu ima telefona sa
petocifrenim brojevima:a) ako su sve cifre razliiteb) ako se cifre
ponavljajuReenje:
a)= 109876
b)=105
Primer 6: Dat je skup .a)Formirati sve dvocifrene brojeve od
elemenata ovog skupa, kod kojih se cifre ne ponavljaju i odrediti
njihov broj.b)Formirati sve dvocifrene brojeve od elemenata ovog
skupa odrediti njihov broj.Reenje:
a)Traeni brojevi su: 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42,
43 i njihov broj je=43=12b)Traeni brojevi su:
11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44 i
njihov broj je 2.2 Permitacije
Neka je dat skup .Permutacija je bilo koji raspored svih n
elemenata skupa A.
Broj permutacija skupa od n elemenata iznosi Simbol n! je
skraenica za zapisivanje uzastopnog proizvoda od n elemenata i ita
se n faktorijelPo definicije je 0!=1
Primer 1.Na koliko naina mogu da se rasporede 5 osoba na pet
stolica?Reenje: P(5)=5!=54321=120Primer 2. Koliko razliitih
petocifrenih brojeva se mogu napisati pomou cifara 0,1,2,3,4 ,a da
se cifre neponavljaju?Reenje: P(5)-P(4)=5!-4!=120-24=96
Primer 3. Dat je skup .a)Koliko estocifrenih brojeva poinje
ciframa 1,2 u datom poretku?b)U koloko estocifrenih brojeva cifre
1,2 stoje jedna pored druge u datom poretku?Reenje:a) P(4)=4!=24b)
P(5)=5!=120 Primer 4. Formrati sve permutacije od elemenata a,b,b,c
i odrediti njihov broj. Reenje:
abbc,abcb,acbb,babc,bbac,bbca,bcba,bacb,bcab,cabb,cbab,cabb
Primer 5. Date su cifre 0,0,0,0,1,1,1. Koliko ima permutacija od
ovih elemenata?
Reenje: Primer 6. Koliko permutacija od elemenata
a,a,a,a,a,b,b,c poinje slovom a?
Reenje: Primer 7. Koliko ima rei dobijenih od slova rei
MISISIPI?
Reenje: Primer 8.U koliko permutacija cifara 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
stoje neparne cifre 1,3,5,7,9 jedna do druge a)u datom poretkub)u
proizvoljnom poretku Reenje:a) 6!=720b) 6!5!=86 400
2.3 Kombinacije
Neka je dat skup . Kombinacija klase od k elemenata je bilo koja
neureena k-torka razliitih elemenata skupa A gde je kn.
Broj kombinacija iznosi . Izraz ita se n nad k i predstavlja
broj svih podskupova datog skupa koji sadri k elemenata.
Neka je dat skup . Kombinacija klase od k elemenata sa
ponavljanjem je
Primer 1. Na kolio se naina od 20 uenika jednog odeljenja moe
izabrati trolana delegacija?
Reenje: Primer 2. Na koliko se naina od 12 igraa jednog
koarkakog tima moe izabrati prva petorka?
Reenje: Primer 3. Iz grupe od 8 mukaraca i 5 ena treba izabrati
5 osoba tako da meu njima budu bar 2 ene.Na koliko naina se to moe
uiniti?
Reenje:
Primer 4. Koarkaki tim sainjavaju 5 bekova, 4 centra i 3
krila.Na koliko naina se moe formirati petorka ako u njoj moraju da
igraju bar dva beka i bar jedan centar?
Reenje: Primer 5. Na kolskoj zabavi nalazi se 22 devojke i 15
mladia.Na koliko naina je mogue od njih izabrati 4 para za
ples?
Reenje: Primer 6. Na ahovskom turniru uestvuje 15 ahista.Svaki
treba da odigra partiju sa svakim.Koliko e partija biti
odigrano?
Reenje: Primer 7. Tri lana porote e sluajno biti izabrana od pet
ljudi.Koliko razliitih kombinacija je mogue?
Reenje: 2.4 Binomna formula
Binomna formula je formula pomou koje se izraunava izraz (a+b)n,
gde je nN
Primer 1. Odrediti peti lan u razvijenom obliku binoma
Reenje:
Primer 2. Zbir koeficijenata prvog, drugog i treeg lana binoma
je 46
Odrediti lan koji ne sadri x.Reenje:
Binoom glasi
Traeni lan je:
Zadaci za vebu1.Koliko se razliitih etvorocifrenih brojeva moe
formirati od deset razliitih cifara, a)ako se cifre u broju ne
ponavljaju b)ako se cifre u broju ponavljajuReenje:a) Varijacije
bez ponavljanja 10 *9*8*7-9*8*7b) Varijacije sa ponavljanjem
10*10*10*10-10*10*10
2. Investitor e sluajno izabrati 6 trita od 20 za
investiranje.Na koliko naina je to mogue da uradi ako je a)redosled
kojim se biraju trita vaan b)redosled nije vaanReenje:
a)201918171615
b) 3. Koliko ima petocifrenih brojeva kod kojih su sve cifre
razliite?4. Preduzee zapoljava 20 radnika. Zaposleni su odluili da
sluajno izaberu tri radnika za odlazak na proslavu, ali tako da je
redosled izbora bitan. Koliko izbora je mogue? 5.Na zabavi se
nalazi 25 devojaka i 30 mukaraca.Na koliko naina moemo izabrati tri
para za ples.6.Dokazati da u mestu u naoj zemlji sa hiljadu
stanovnika ive bar dve osobe sa istim inicijalima.7.Koliko ima
razliitih etvorocifrenih brojeva deljivih sa 5 ako nijedan broj ne
sadri jednake cifre?8.Nauno drutvo ima 25 lanova.Na koliko naina se
mogu izabrati predsetnik, potpresednik i sekretar tog drutva ako
svaki lan drutva moe imati najvie jednu funkciju?9.Ako se
registarske tablice na automobilima sastoje od 2 slova azbuke i iza
njih estocifrenog broja ( od 000000 do 999999), koliki je broj
razliitih tablica.10.Koliko ima moguih kombinacija u igri loto ( od
39 brojeva izvlai se 7)?11. Na koliko naina se iz komplte koji
sadri 52 razliite karte moe izabrati 6 karata, tako da meu njima
bude bar jedna karta iz svake od 4 boje?12.U ormanu se nalazi 10
razliitih pari cipela.Na koliko naina moemo izabrati 4 cipele tako
da meu njima bude bar jedan par?13. Iz komplete od 52 karte izvueno
je 10 karata , karte su izvlaene bez vraanja a redosled izvlaenja
se ne smatra bitnim.Koliko ima razliitih izbora? U koliko sluajeva
se meu izvuenim kartama nalazi tano jedan kec?14.U kutiji se nalaze
kuglice numerisane brojevima 1, 2, 3, . . . , 10.Iz kutije se
istovremeno izvlae tri kuglice.U koliko sluajeva e zbir brojeva na
izvuenim kuglicama biti jednak 9.15.Koliko u gradu ima telefona sa
petocifrenim brojevima:a) ako svaki broj ine razliite cifreb) ako
se cifre ne ponavljaju16. Na ahovskom turniru odigrano je 210
partija. Odrediti broj uesnika, ako je svaki uesnik odigrao partiju
sa svakim.17. U kampanji za izbore predsedniki kandidat mora da
obie 7 od 15 gradova u Srbiji.Da bi postigao to bolji rezultat on
kampanju mora da zavri u Beogradu.Na koliko razliitih naina on to
moe da uradi?18. Koliko se razliitih etvorocifrenih brojeva moe
formirati od deset razliitih cifaraa) ako se cife u broju ne
ponavljajub) ako se cifre u broju ponavljaju19.Odrediti lan koji u
razvijenom obliku binoma ne sadri x.
20. Odrediti lan koji u razvijenom obliku binoma
Ima promenljivu x na peti stepen.21.Koeficijenti etvrtog i estog
lana u razvijenom obliku binoma odnaose se kao 5:18. Odrediti lan
koji ne zavisi od x.
22. Odrediti deseti lan u razvijenom obliku binoma , ako je
binomni koeficijent treeg lana 105.
23.Binomni koeficijent treeg lana u razvijenom obliku binoma je
78. Nai lan koji ne sadri x.
3.VerovatnoaSvaki mogui ishod eksperimenta nazivamo elementarnim
dogaajem i obeleavamo sa .Skup svih elementarnih dogaaja, odnosno
skup svih ishoda eksperimenta je sigran dogaaj ={1, 2,..., n}Svaki
podskup skupa naziva se dogaajem.Dogaaje obeleavamo velikim slovima
A,B,C,...Dogaaj koji se nikada ne moe pojaviti pri realizaciji
eksperimenta naziva se nemogu dogaajPosmatrajmo eksperiment bacanja
kockice.Skup svih moguih ishoda je ={1,2,3,4,5,6}.Dogaaj da padne
paran broj ima ishode A={2,4,6}.Dogaaj B={1,2,3,4,5,6,7}
predstavlja nemogu dogaaj.3.1 Klasina definicija verovatnoe
Neka skup sadri n elementarnih dogaaja koji su disjunktni i
jednako mogui.Ako skup A sadri m elementarnih dogaaja, onda je
verovatnoa P(A) jednaka P(A)= , gde je m broj svih povoljnih
ishoda, n je broj svih moguih ishoda dogaaja A.Primer 1. Deset
kartica numerisano je brojevima od 1 do 10.Izvlae se dve kartice
istovremeno.Nai verovatnou da je zbir brojeva na izvuenim karticama
jednak 10.
Reenje: P(A)=Primer 2. U kutiji se nalazi 10 crvenih i 6 belih
kuglica.Nasumice izvlaimo dve kuglice.Kolika je verovatnoa da e:a)
izvuene kuglice biti razliitih bojab) obe kuglice biti bele.
Reenje:
a) P(A)= b) P(B)=Primer 3. U kutiji se nalazi 8 crvenih i 6
plavih kuglica.Nasumice izvlaimo 5 kuglica.Kolika je verovatnoa da
e meu njima biti tano 3 plave?
Reenje: P(A)=Primer 4. Bacamo 3 novia jedan za drugim.Nai
verovatnou da emo dobiti dva pisma i jedan grb.
Reenje: Broj svih elementarnih ishoda je .Povoljni ishodi su
{,,}, dakle ima ih 3, pa je traena verovatnoa P(A)=Primer 5.
Telefonski broj se sastoji od 6 cifara.Ako se pretpostavi da
postoje svi telefonski brojevi od 000 000 do 999 999, koja je
verovatnoa da u proizvoljno izabranom broju sve cifre budu
razliite?
Reenje: P(A)=
Primer 6. Student je od 30 ispitnh pitanja nauio 24. Na ispitu
je dobio 3 pitanja.Kolika je verovatnoa da je odgovorio na najmanje
2 pitanja.
Reenje: P(A)=Primer 7. Od semocifrenih brojeva sluajno se bira
jedan.Odrediti verovatnou da se cifra dva u njegovom zapisu javlja
tano dva puta, a na ostalim mestima su jedan ili tri.
Reenje: P(A)=Primer 8. Iz skupa etvorocifrenih brojeva u kojima
se ne javljaju 0 i 9 sluajno se bira jedan.Odrediti verovatnou da
se u tom broju cifra 1 javlja tano jednom.
Reenje: P(A)=Primer 9. Kocka je baena 6 puta.Kolika je
verovatnoa da:a)nee pasti nijedna esticab)da padne tano jedna
estica Reenje:
a) P(A)= b) P(B)=Primer 10. Imamo 7 pertli razliitih boja, od
kojih je jedna crvena, a jedna zelena.Nai verovatnou da e crvena i
zelena pertla biti jedna pored druge, ako se pertle reaju na
sluajan nain na prav konac.
Reenje: P(A)=Primer 11. U seriji od pet sijalica jedna je
neispravna.Kolika je verovatnoa da izmeu 3 nasumino izabrane
sijalice bude jedna neispravna sijalica?
Reenje: P(A)=Primer 12. Nai verovatnou da se pri istovremenon
bacanju tri kocke dobije zbir manji od 5.
Reenje: P(A)=Primer 13. ta je verovatnije dobiti pri
istovremenom bacanju tri kocke: zbir 11 ili zbir 12?Ukupan broj
mogunosti pri bacanju tri kocke je 216.
Za zbir 11 povoljne mogunosti su: (1,4,6), (1,5,5), (1,6,4),
(2,3,6), (2,4,5), (2,5,4), (2,6,3), (3,2,6), (3,3,5), (3,4,4),
(3,5,3), (3,6,2), (4,1,6), (4,2,5), (4,3,4), (4,4,3), (4,5,2),
(4,6,1), (5,1,5), (5,2,4), (5,3,3), (5,4,2), (5,5,1), (6,1,4),
(6,2,3),(6,3,2), (6,4,1).Ukupno 27 mogunosti, pa je verovatnoa:
P(A)=Za zbir 12 povoljne mogunosti su : (1,5,6), (1,6,5), (2,4,6),
(2,5,5), (2,6,4), (3,3,6), (3,4,5), (3,5,4), (3,6,3), (4,2,6),
(4,3,5), (4,4,4), (4,5,3), (4,6,2), (5,1,6), (5,2,5), (5,3,4),
(5,4,3), (5,5,2), (5,6,1), (6,1,5), (6,2,4), (6,3,3), (6,4,2),
(6,5,1). Ukupno 25 mogunosti, pa je verovatnoa:
P(B)=.Dakle, jasno je da je vea verovatnoa da padne zbir 11.
Primer 14. Jedan igra sa verovatnoom 0,5 dobija u jednoj igri na
sreu. ta je verovatnije da dobije 4 od 5 igara ili 6 od 8
igaraReenje:Broj dobijenih igara predstavlja promenljivu koja ima
binomni raspored:
, Verovatnije je da igra dobije 4 od 5 igara, nego 6 od 8
igara.
3.2 Uslovna verovatnoa i nezavisnost dogaaja
Verovatnoa dogaaja A, ukoliko znamo da se dogaaj B ve realizovao
ili ukoliko pretpostavljamo da e se realizovati naziva se uslovna
verovatnoa.
Verovatnoa P(A/B) zove se uslovna verovatnoa dogaaja A pod
uslovom i definie se sa P(A/B), za P(B)>0.Ako su dogaaji A i B
meusobno zavisni tada je: P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)Dogaaji A i B
su meusobno nezavisni ako je P(A/B)=P(A), P(B/A)=P(B) ili
P(AB)=P(A)P(B)
Primer 1. Kolika je verovatnoa da e se na kocki prilikom bacanja
pojaviti paran broj, pod uslovom da je taj broj manji od 4?Reenje:
Neka je A dogaaj pojave parnog broja, a B pojava broja manjeg od
4h.
, ,, , ,
P(A/B)Primer 2. U jednom odeljenju od 30 uenika, 12 nosi naoare,
8 pie levom rukom, a 6 ima obe osobine. Kolika je verovatnoa da
sluajno izabrani uenik pie levom rukom, ako znamo da nosi
naoare?Reenje: Neka je A dogaaj da uenik pie levom rukom, a B
dogaaj da uenik nosi naoare.
P(A/B) Primer 3.U jednoj kutiji nalaze se 4 bele i 8 crnih
kuglica, a u drugoj 3 bele i 9 crnih. Izvlaimo iz svake kutije po
jednu kuglicu. Odrediti verovatnou da je iz obe kutije izvuena
bela?Reenje:Neka je A dogaaj da je bela kuglica iz prve kutije, B
dogaaj da je bela kuglica iz druge kutije.Dogaaji A i B su
nezavisni.
P(AB)=P(A)P(B)==Primer 4. Pri bacanju dve kocke posmatramo zbir
koji se pojavljuje na njima.Kolika je verovatnoa da je zbir 6, ako
se zna da je zbir paran broj?Neka je A dogaaj da je zbir na
kockicama 6 i neka je B dogaaj da je zbir paran broj.
P(A/B)
Zadaci za vebu:1. Pri bacanju dve kocke nai verovatnou da
padnu:a) dva ista brojab) brojevi iji je zbir 7c) bar jedna
jedinica2. U kutiji se nalazi 5 plavih, 6 crvenih i 7 belih
kuglica.Iz kutije sluajno izvlaimo tri kuglice odjednom.Odrediti
verovatnou da meu izvuenim kuglicama budu: a) sve tri kuglice
razliitih bojab) dve bele i jedna plava 3. Od 10 istovetnih
proizvoda jeden fabrike 6 je ispravnih.Nasumoce se bira 5
proizvoda.Kolika je verovatnoa da e meu izvuenim proizvodima biti 3
ispravna?4. U kutiji se nalazi 10 plavih i 6 belih kuglica.Izvlaimo
2 kuglice.Kolika je verovatnoa da e:a)izvuene kuglice biti
razliitih bojab)da e obe kuglice biti plavec)da e obe kuglice biti
bele5. Kolika je verovatnoa da emo izvlaenjem 5 brojeva na lutriji
od 50 brojeva izvui brojeve 10, 21, 35? 6. Jedan student je od 30
ispitnih pitanja nauio 25, a drugi 15. Na ispitu su dobili po tri
pitanja.Kolika je verovatnoa da e prvi, odnosno drugi odgovoriti na
najmanje 2 pitanja.7. Bacamo novi tri puta.Neka je X sluajna
promenljiva koja predstavlja broj pisama.a) Napisati zakon
raspodeleb) Nai matematiko oekivanje8. Jedna prodavnica prodaje
dnevno 5 friidera. Ako je 0,7 verovatnoa da je jedan friider ovog
tipa bude ispravan i posle pet godina upotrebe, nai verovatnou da
posle pet godina bude 2 neispravnih friidera.
4. Takaste ocene i intervali poverenja za aritmetiku sredinu
1. Marketinki istraiva eli da nae 95% interval poverenja za
prosean iznos koji posetioci nekog parka potroe dnevno po osobi.
Standardna devijacija iznosa potroenih po osobi dnevno za sve
posetioce ovog parka je 11 dolara. Izraunati intervalnu ocenu
aritmetike sredine skupa za uzorak obima 36? 2.U jednom lanku je
pisalo da su igrai bejzbola bili plaeni do 150 dolara po autogramu
na zimskom sajmu.Pretpostavimo da je u sluajnom uzorku od 800
takvih autograma aritmetika sredina bila 135 dolara po autogramu,a
da standardna devijacija skupa iznosi 22 dolara. Konstruiite 95%
interval poverenja za odgovarajuu aritmetiku sredinu skupa.3.Uzorak
od 25 porudbina je pokazao da je proseno vreme za isporuku
proizvoda neke firme 70 sati.Pretpostavimo da je standardna
devijacija skupa 16 asova I da je raspodela osnovnog skupa
normalna.Konstruiite 95% interval poverenja za proseno vreme
neophodno za isporuku svih porudbina koje su pristigle u ovu
firmu.4. Menader odeljenja u marketu eli da oceni ,sa nivoom
pouzdanosti od 90%, prosenu koliinu novca koju potroe svi potroai u
ovoj prodavnici. Standardna devijacija potroenog novca svih
muterija u ovoj radnji je 31 dolar. Koju veliinu uzorka bi trebalo
da izabere da bi ocena bila do 3 dolara od aritmetike sredine
skupa? 5.U uzorku od 100 opservacija izabranom iz nekog skupa
aritmetika sredina je 55,32 ,a standardna devijacija 8,4.
Formirajte 90% interval poverenja za aritmetiku sredinu.6.Prema
nekom lanku ,proseni meseni raun za struju iznosio je 77
dolara.Ovaj prosek izraunat je na osnovu sluajnog uzorka od 500
takvih rauna,pri emu je standardna devijacija ovog uzorka 26
dolara.Formirajte 99% interval poverenja za prosek svih mesenih
trokova za struju.7. Uzet je uzorak od 15 boca soka da bi se
ocenila prosena neto masa jedne boce cele proizvodnje. Ako se zna
da je raspodela normalna, sa standardnom devijacijom 1,95, oceniti
prosenu neto masu boce soka sa pouzdanou 95% na osnovu dobijenih
rezultata merenja neto mase boca soka u gramima:995,2 996,3 996,9
997,5 997,9998,3 998,5 998,7 999,1 999,4999,8 1000,0 1001,3 1001,5
1003,4Kolika je tanost dobijene ocene i kolika je duina intervala
poverenja?
5. Testiranje hipoteze o jednakosti aritmetikih
sredina1.Telefonska kompanija prua usluge meunarodnih razgovora u
jednoj oblasti. Na osnovu raspoloivih informacija utvreno je da je
prosena duina meunarodnih razgovora koji su preko ove kompanije
obavljeni u 2004. Godini bila 12,44 minuta. Uprava kompaije je
elela da proveri da li se prosena duina aktuelnih razgovora
razlikuje od 12,44 minuta. U uzorku od 150 takvih razgovora prosena
duina je iznosila 13,71 minut. Standardna devijac ija svih
razgovora je 2,65 minuta. Da li se na nivou znaajnosti od 2% moe
zakljuiti da se prosena duina aktuelnih meunarodnih razgovora
razlikuje od 12,44 minuta.2. Istraiva je eleo da ispita da li
mukarci i ene koji rade u jednom gradu prelaze isto rastojanje od
kue do posla. U uzorku od 25 mukaraca proseno rastojanje je
iznosilo 21 km, dok je u uzorku od 22 ene ono iznosilo 16 km.
Pretpostavimo da ova dva osnovna skupa imaju normalnu raspodelu i
da su njihove standardne devijacije jednake 5,2 km i 4,4 km,
respektivno.3. Marketinki istraiva eli da nae 98% interval
poverenja za prosean iznos koji posetioci nekog parka potroe dnevno
po osobi. Standardna devijacija iznosa potroenih po osobi dnevno za
sve posetioce ovog parka je 15 dolara. Izraunati intervalnu ocenu
aritmetike sredine skupa za uzorak obima 52?a. Neka su 1 i 2
aritmetike sredine dva osnovna skupa (prosena rastojanja od kue do
posla svih mukaraca i ena u tom gradu). Izraunajte takastu ocenjenu
vrednost za 1 - 2.b. Da li, na nivou znaajnosti od 2% moete
zakljuiti da se rastojanja koja svi zaposleni mukarci i ene u ovom
gradu prelaze od kue do posla, u proseku razlikuju? Hipotezu
testirajte pristupom kritinih vrednosti. 4. Istraiva je eleo da
ispita da li mukarci i ene koji rade u jednom gradu prelaze isto
rastojanje od kue do posla. U uzorku od 25 mukaraca proseno
rastojanje je iznosilo 21 km, dok je u uzorku od 30 ena ono
iznosilo 20 km. Pretpostavimo da ova dva osnovna skupa imaju
normalnu raspodelu i da su njihove standardne devijacije jednake
5,2 km i 4,4 km, respektivno.a. Neka su 1 i 2 aritmetike sredine
dva osnovna skupa (prosena rastojanja od kue do posla svih mukaraca
i ena u tom gradu). Izraunajte takastu ocenjenu vrednost za 1 -
2.b. Da li, na nivou znaajnosti od 5% moete zakljuiti da se
rastojanja koja svi zaposleni mukarci i ene u ovom gradu prelaze od
kue do posla, u proseku razlikuju? Hipotezu testirajte pristupom
kritinih vrednosti.5. Gradonaelnik jednog grada tvrdi da prosena
neto vrednost imovine porodica koje ive u tom gradu iznosi najmanje
300 000 dolara. U izabranom uzorku od 25 porodica, prosena neto
vrednost imovine iznosi 288 000 dolara. Pretpostavimo da neto
vrednost svih porodica u ovom gradu imaju normalnu raspodelu, sa
standardnom devijacijom 80 000 dolara. Moe li da se zakljui, na
nivou znaajnosti od 2,5% da je gradonaelnikova tvrdnja
neistinita?6. Psiholog tvrdi da je aritmetika sredina starosti dece
koja poinju da hodaju 12,5 meseci. Izabran je sluajan uzorak od 18
dece i utvreno je da aritmetika sredina starosti dece koja poinju
da hodaju 12,9 meseci sa standardnom devijacijom od 0,8 meseci. Da
li moete koristei nivo znaajnosti od 1% da zakluite da se
aritmetika sredina starosti dece koja poinju da hodaju razlikuje od
12,5 meseci, pod pretpostavkom da njihova starost ima priblino
normalnu raspodelu.7. Na osnovu jednog prouavanja pokazano je da je
aritmetika sredina novca koji Amerikanke troe na odeu 675$ godinje.
Istraiva je eleo da proveri da li je taj rezultat i dalje taan.
Nedavno je izabran sluajan uzorak od 39 ena i dobijeni su sledei
podaci o iznosima koje troe na deu svake godine:
671 1284 328 1698 827 921 725 304 382 5391070 854 669 328 537
849 930 1234 1195 738341 189 867 923 721 125 298 473 876 932973 931
460 1430 391 887 958 674 1482Proverite na nivou znaajnosti od 1% da
li se aritmetika sredina iznosa koje Amerikanke troe na odeu tokom
poslednje godine razlikuje od 675$. Pretpostavimo da je standardna
devijacija osnovnog skupa 132$
Sheet1Broj ugostiteljskih objekata xiBroj optina fiRazredna
sredina xiKumulanta rastua kKumulanta opadajua kRelativna
frekvencija %Kumulanta rastua u
%1-9353329.389.3810-1851482915.6225.0019-27623142418.7543.7528-36632201818.7562.5037-45941291228.1390.6246-543203239.37100.00Ukupno=32100.00