Erstellung eines Streckenmodells fr den QUANSER 2 DOF
Helikopter(Praktikum Digitale Regelung II)
Bearbeitet von: Betreuer:
B.Sc. Matthias KIRCH B.Sc. Christian OESER Dipl. Ing Christoph
HARTUNG
Institut fr Steuer- und Regelungstechnik Fakultt fr Luft- und
Raumfahrttechnik
Inhaltsverzeichnis
InhaltsverzeichnisInhaltsverzeichnis
......................................................................................................................I
Nomenklatur
.............................................................................................................................
1 1 Einleitung
.............................................................................................................................
3 1.1 Digitale Regelung Quanser 2 DOF Modell
................................................................
3
2 Mathematische Modellierung
.............................................................................................
4 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 2.3 2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.5
2.5.1 2.6 2.7 Auftretende Krfte am Modell
...................................................................................
4 Verwendete
Koordinaten...........................................................................................
4 Satz von Steiner
.........................................................................................................
4 Zentrifugal-Kraft
.......................................................................................................
5 Coriolis-Kraft
............................................................................................................
5 Momentengleichgewichte (allgemein)
.......................................................................
5 Moment durch Corioliskraft
.......................................................................................
5 Momentengleichgewicht um Pitch-Achse
................................................................. 7
Moment durch
Gewichtskraft....................................................................................
7 Moment durch Zentrifugalkrfte
...............................................................................
8 Drallsatz um Pitch-Achse
..........................................................................................
8 Momentengleichgewicht um Yaw-Achse
..................................................................
8 Drallsatz um Yaw-Achse
..........................................................................................
8 Kopplungen zwischen den Differentialgleichungen
.................................................. 9 Zu bestimmende
Parameter
........................................................................................
9
3 Identifizierung der Modellparameter
..............................................................................
11 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.4
Schwerpunktlage
......................................................................................................
11 Pitch-Achse
..............................................................................................................
12 Kennlinie
Pitch-Motor.............................................................................................
12 Trgheit und Dmpfung um die Pitch-Achse
.......................................................... 14
Kopplungsmoment des Yaw-Motors auf die Pitch-Achse
...................................... 17 Yaw-Achse
...............................................................................................................
19 Kennlinie Yaw-Motor
.............................................................................................
19 Trgheit Yaw-Achse
...............................................................................................
20 Dmpfung um die Yaw-Achse
................................................................................
20 Kopplungsmoment des Pitch-Motor auf die Yaw-Achse
....................................... 21
Spannungsbertragungsfunktionen
..........................................................................
23 -I-
Inhaltsverzeichnis
4 Probleme bei der Modellierung
........................................................................................
26 4.1 4.2 Logikschaltung
.........................................................................................................
26 Motoren als PT1-Glieder
..........................................................................................
27
5 Linearisierung der Differentialgleichungen
....................................................................
28 6 Ergebnisse
..........................................................................................................................
30 7 Zusammenfassung
.............................................................................................................
33 8 Quellen
................................................................................................................................
34 9 Verzeichnisse
......................................................................................................................
35 9.1 9.2 Abbildungsverzeichnis
.............................................................................................
35 Tabellenverzeichnis
..................................................................................................
35
- II -
Nomenklatur
NomenklaturPhysikalische Gre Einheit [ ] [ ] [N/V] [N/V] [Nm]
[Nm] [Nm] [kg m] [kg m] [kg m] [kg m] [N/V] [N/V] [N/V] [N/V] [kg]
[kg] [kg] [kg] [kg] [V] [V] [V] [V] [V] [V] [m] [m] [m] [m] [m] [m]
[m] [m] [m] Bedeutung Koeffizienten der
Spannungsbertragungsfunktion des Pitch-Verstrkers Koeffizienten der
Spannungsbertragungsfunktion des Yaw-Verstrkers Dmpfungskonstante
fr die Pitch-Achse Dmpfungskonstante fr die Yaw-Achse Gewichtskraft
durch Gehuse Gewichtskraft durch Pitch-Motor Gewichtskraft durch
Yaw-Motor Trgheitsmoment um die Pitch-Achse Trgheitsmoment ohne
Steinersche Anteile um die PitchAchse Trgheitsmoment um die
Yaw-Achse Trgheitsmoment ohne Steinersche Anteile um die YawAchse
Kennlinie des Pitch-Motors Kennlinie der Kopplung des Pitch-Motors
auf die YawAchse Kennlinie des Yaw-Motors Kennlinie der Kopplung
des Yaw-Motors auf die PitchAchse Masse Gehuse Masse Pitch-Motor
und Anbauteile Gesamtmasse Ausgleichsmasse Masse Yaw-Motor und
Anbauteile Spannung am Pitch-Motor-Verstrker Spannung am
Yaw-Motor-Verstrker Eingangsspannung in der Simulation fr
Pitch-Motor Eingangsspannung in der Simulation fr Yaw-Motor
Spannung des Pitch-Motors Spannung des Yaw-Motors x Koordinate des
Schwerpunktes des Gehuses x Koordinate des Schwerpunktes des
Pitch-Motors x Koordinate des Schwerpunktes der Schraube x
Koordinate des Schwerpunktes des Gesamtsystems x Koordinate des
Schwerpunktes der angehngte Zusatzmasse x Koordinate des
Schwerpunktes des Yaw-Motors z Koordinate des Schwerpunktes des
Gehuses z Koordinate des Schwerpunktes des Pitch-Motors z
Koordinate des Schwerpunktes des Gesamtsystems
-1-
Nomenklatur [m] [m] [rad] [rad/s] [rad/s] [rad] [rad/s] [rad/s]
z Koordinate des Schwerpunktes der angehngte Zusatzmasse z
Koordinate des Schwerpunktes des Yaw-Motors Nickwinkel
Nickgeschwindigkeit Nickbeschleunigung Gierwinkel
Giergeschwindigkeit Gierbeschleunigung
-2-
Einleitung
1 Einleitung1.1 Digitale Regelung Quanser 2 DOF ModellInnerhalb
des Praktikums Digitale Regelung II sollte das Hubschrauber 2
Degree of Freedom (DOF1) Modell der Firma QUANSER mathematisch
modelliert werden. Die gefundenen Differentialgleichungen, die das
System beschreiben sollten mit Hilfe von Simulink implementiert
werden. Die folgende Abbildung 1.1 zeigt das angesprochene Modell
des Helikopters.
Abbildung 1.1: Quanser 2 DOF Modell eines Helikopters Im
Anschluss an die Formulierung der Differentialgleichungen sollten
die darin enthaltenden Parameter des Modells ermittelt werden, um
die Simulation unterschiedlicher Systemantworten auf vorgegebene
Steuergren mit dem tatschlichen Versuchsaufbau vergleichen zu
knnen.
1
Degree of Freedom bedeutet Freiheitsgrade des Modells, hier die
Rotatorischen der Gier- und Nickbewegung
-3-
Mathematische Modellierung
2 Mathematische Modellierung2.1 Auftretende Krfte am ModellDas
Helikoptermodell weit zwei rotatorische Freiheitsgrade auf, fr die
im Folgenden die Bezeichnungen Pitch und Yaw gelten sollen. Yaw
beschreibt dabei die Gierbewegung und Pitch die Nickbewegung des
Helikopters. Die entsprechenden Achsen sind die Pitch- und die
Yaw-Achse. Aufgrund der Rotation des Modells um diese zwei Achsen,
mssen, neben den spannungsabhngigen Antriebskrften der beiden
Motoren, welche fr das Modell als Steuergren dienen, weitere Krfte
beachtet werden. Durch die exzentrischen Massenpunkte der beiden
Motoren, sowie den nicht im Koordinatenursprung gelagerten
Schwerpunkt des Gehuses ergeben sich neben Auswirkungen auf die
Trgheitsmomente auch Zentrifugal- und Coriolis-Krfte. Fr die
Bewegungsrichtung wurden folgende Vereinbarungen festgelegt:
Bezeichnung Nicken ( ) Gieren ( ) positive Richtung nach oben mit
dem Uhrzeigersinn
Tabelle 2.1: Vereinbarung ber die positive Richtung der Gier-
und Nickwinkel
2.1.1 Verwendete KoordinatenFr die Winkellage des 2 DOF Systems
wurde die Luftfahrtnorm DIN 9300 mit der Winkelfolge Yaw-Pitch-Roll
verwendet. Die der Norm entsprechenden Bezeichnungen fr die
einzelnen Achsen und Winkel sind in der folgenden Tabelle 2.2
zusammengefasst. Bezeichnung Gieren yaw Nicken pitch Rollen roll
Achsenbezeichnung z y x Achsenbeschreibung Hochachse Querachse
Lngsachse Winkel
Tabelle 2.2: Bezeichnung der einzelnen Bewegungsformen eines
Flugobjektes nach DIN 9300 Die obige Tabelle ist wie folgt zu
verstehen: Die Gierbewegung ist eine Bewegung des Flugkrpers um die
z Achse und wird mit dem Winkel gekennzeichnet. Da es sich in Fall
des Modells des Hubschraubers um eine Zwei-Freiheitsgrad-Bewegung
handelt ndert sich die Rolllage nicht. Demensprechend mssen
lediglich Differentialgleichungen gefunden werden, die die
nderungen der Winkelgeschwindigkeiten um die Hoch- und Querachse
beschreiben.
2.1.2 Satz von SteinerDer Steinersche Satz sagt aus, dass das
Trgheitsmoment eines starren Krpers bezglich einer beliebigen
Drehachse als Summe von zwei Trgheitsmomenten schreiben lsst. Der
erste Summand , ist das Trgheitsmoment eines Krpers um eine
vorgegebene Achse die durch seinen Schwerpunkt verluft. Der zweite
Summand drckt das entstehende Trgheitsmoment des Krpers bezglich
einer Achse, die parallel zur Drehachse in einer Entfernung liegt
aus:
-4-
Mathematische Modellierung
2.1.3 Zentrifugal-KraftDie Zentrifugalkraft ist ein Spezialfall
der allgemeinen Trgheitskraft. In einem mit einer
Winkelgeschwindigkeit rotierenden Bezugssystem wirkt auf einen
Krper der Masse m, der sich im Abstand r von der Drehachse
befindet, eine Scheinkraft, die Zentrifugalkraft genannt wird. Sie
ist stets von der Drehachse weg nach auen gerichtet
2.1.4 Coriolis-KraftIn einem rotierenden System erfhrt eine
Masse eine nach auen gerichtete Zentrifugalkraft. Bewegt sich diese
Masse auerdem im rotierenden Bezugssystem senkrecht zur
Rotationsache, so wirkt auf sie auerdem je nach Bewegungsrichtung
eine zur Seite gerichtete Kraft. Dies ist die Corioliskraft. Sie
steht dabei senkrecht zur Bewegungsrichtung des Krpers und zur
Rotationsachse. Am einfachsten lsst sie sich als berflssige oder
fehlende Energie bei einem Bahnbergang im rotierenden Bezugssystem
umschreiben, welche whrend dem bergang am Massenpunkt angreift. Sie
steht senkrecht auf der Bewegungsrichtung und hat den gleichen
Betrag. In einem rotierenden System gilt bei Bewegung auf einer
Kreisbahn ( )
2.2 Momentengleichgewichte (allgemein)Um das Modell zu
implementieren wurden zunchst zwei Momentengleichgewichte
aufgestellt. Da sich das 2 DOF Modell, wie bereits oben
festgestellt, ausschlielich um die Nick- und Gierachse bewegt
wurden fr beide Achsen separat die Momentengleichungen aufgestellt.
Hierbei fand der allgemeine Drallsatz Verwendung. In dieser
Formulierung sind die Winkelgeschwindigkeit und der Trgheitstensor
des betrachteten Systems um eine Achse ( )
Die Differentialgleichungen enthalten Koppelterme, ber die sie
miteinander verbunden werden und sich somit gegenseitig
beeinflussen. Als charakteristisches Beispiel sei an dieser Stelle
die Zentrifugalkraft aufgefhrt. Sie entsteht erst durch die
Rotation um die Yaw-Achse. Das resultierende Moment geht jedoch in
die Differentialgleichung fr den Nickwinkel ein.
2.3 Moment durch CorioliskraftWie bereits in einem vorherigen
Abschnitt beschrieben lsst sich die Corioliskraft wie folgt
ausdrcken ( )
Das Moment, dass diese Kraft ausbt lsst sich formulieren als (
)
) wird an dieser Stelle exemplarisch fr den PitchDie Berechnung
des Vektors ( Motor durchgefhrt. Fr Yaw-Motor und das Gehuse
ergeben sich entsprechende Formulierungen. Zunchst mssen die
Vektoren und aufgestellt werden -5-
Mathematische Modellierung
( ) ( )
Die Geschwindigkeit
ergibt sich dann als Kreuzprodukt von ( ( ( (
und ) )) )
Mit Hilfe von
kann die Corioliskraft auf den Pitch-Motor berechnet werden ( (
( ( ) ) ( ) ) )
Daraus lsst sich das Moment, das die Corioliskraft am
Pitch-Motor ausbt ermitteln ( ) ( )
mit ( ( ( ( ( )( )( ) )[ ( ) ( ) ) ) ( ) )]
Analog dazu lassen sich, ohne die Herleitung darzustellen,
Ausdrcke fr das Moment, dass die Corioliskraft am Gehuse und am
Yaw-Motor bewirkt angeben. Das Moment am Gehuse ergibt sich zu ( )
( )
mit ( ( ( ( )( -6) )[ ( ) ( ) ) ( ) )]
Mathematische Modellierung ( )( )
Das Moment am Yaw-Motor ergibt sich zu ( ) ( )
mit ( ( ( ( ( )( )( ) )[ ( ) ( ) ) ) ( ) )]
Das Gesamtmoment, dass durch die Corioliskraft um die einzelnen
Achsen hervorgerufen wird, lsst sich formulieren als ( ( ) ( ) ( )
( ) ( ( ( ) )) )
2.4 Momentengleichgewicht um Pitch-AchseIn die Bewegung um die
Pitch-Achse haben als elementare Krfte die Gewichtskraft und die
Zentrifugalkraft mit ihren jeweiligen Hebelarmen sowie eine
winkelgeschwindigkeitsabhngige Dmpfung Einfluss. Des Weiteren wirkt
durch die Steuergren das durch die Pitch-Spannung ( ) vom
Pitch-Motor erzeugte aufnickende Moment gem seiner Kennlinie (hier:
) und das durch die Yaw-Spannung ( ) hervorgerufene Kopplungsmoment
des Yaw-Motors auf die Pitch-Achse (hier: ). In den folgenden
Abschnitten werden zuerst die Gleichungen fr die erstgenannten
Krfte und Momente aufgestellt und im Anschluss zu einer
Gesamtmomentenbilianz zusammengefasst.
2.4.1 Moment durch GewichtskraftFr die Bercksichtigung der
Gewichtskraft wurden der Pitch-Motor ( ( )), der YawMotor ( ( ))
und das Gehuse ( ( )) mit den entsprechenden Hebelarmen gem ihrer
Position ( ) separat modelliert zu ( ) ( ) ( ) ( ( ( ), ), ).
Insgesamt ergibt sich aufgrund der Vorzeichenkonvention um die
y-Achse ( )
-7-
Mathematische Modellierung
2.4.2 Moment durch ZentrifugalkrfteAnalog zur Gewichtskraft wird
das Moment der Zentrifugalkraft wie folgt ermittelt ( mit ( ( ( ),
), ). ) ( ) ( ) ( ),
2.4.3 Drallsatz um Pitch-AchseAus den hergeleiteten Momenten
durch Gewichts- und Zentrifugalkraft ergibt sich, zusammen mit der
geschwindigkeitsproportionalen Dmpfung und den beiden Anteilen der
Steuergren und der Trgheit , der Drallsatz fr die Pitch-Achse (vgl.
Abbildung 2.1) Somit lautet die Differentialgleichung fr die
Bewegung des Helikopters um die Nick-Achse ( ) ( ) ( ) ( ) ( (
)).
Abbildung 2.1: Skizze der angreifenden Krfte und Momente um die
Pitch Achse
2.5 Momentengleichgewicht um Yaw-AchseIn die Bewegung um die
Yaw-Achse haben das Moment, das der Yaw-Motor erzeugt ( ), das
Kopplungsmoment, das der Pitch-Motor auf die Yaw-Achse ausbt ( ),
die Corioliskraft und eine winkelgeschwindigkeitsabhngige Dmpfung
Einfluss.
2.5.1 Drallsatz um Yaw-AchseAus dem hergeleiteten Moment durch
die Corioliskraft ergibt sich, zusammen mit der
geschwindigkeitsproportionalen Dmpfung , den beiden Anteilen der
Steuergren und der -8-
Mathematische Modellierung Trgheit , der Drallsatz fr die
Yaw-Achse (vgl. Abbildung 2.2) Somit lautet die
Differentialgleichung fr die Bewegung des Helikopters um die
Gier-Achse ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) )
Abbildung 2.2: Skizze der angreifenden Krfte und Momente um die
Yaw Achse
2.6 Kopplungen zwischen den DifferentialgleichungenWie bereits
in den obigen Abschnitten angesprochen treten Kopplungsterme
zwischen den ( ) und ( ) zwei Differentialgleichungen auf. In den
Gleichungen wurden sie mit bezeichnet. Die Wirkungsweise dieser
Momente kann man sich wie folgt vorstellen: Wird eine Spannung auf
den Pitch-Motor gegeben so beginnt der Helikopter zustzlich zum
positiven Nicken noch eine positive Gierbewegung. Analog dazu
beginnt der Helikopter bei einer Spannung auf dem Yaw-Motor
zustzlich zur negativen Gierbewegung eine negative
Nickbewegung.
2.7 Zu bestimmende ParameterDas Aufstellen dieser Gleichungen
offenbarte das folgende Problem: Ein Groteil der Parameter war
unbekannt. Aus dem Reference Manual von QUANSER [01] konnten erste
Schtzwerte fr einige der Parameter entnommen werden; eine genauere
Identifizierung musste jedoch trotzdem stattfinden. Die Tabelle 2.3
enthlt alle zu identifizierenden Parameter, deren Bedeutung und
ihren Betrag. Dabei gibt es Folgendes zu beachten. Fr einen Groteil
der Parameter existieren zwei Zahlenwerte. Das liegt daran, dass
die Messwerte durch eine lineare Funktion der Form ( ) approximiert
wurden. Die Gre mit dem Index entspricht der Steigung der Geraden
und die Gre mit dem Index dem Offset. Kapitel 3 befasst sich mit
der Identifizierung der unterschiedlichen Parameter.
-9-
Mathematische Modellierung Bezeichnung Schwerpunkte 0,0207 m
0,0065 m 0,185 m 0,01 m 0,183 m 0,01 m 0m 0m Pitch-Achse -0,11 N/V
-0,62 N -0,0168 N/V -0,0419 N 0,0115 kgm/s 0,0351 kg m Yaw-Achse
-0,0831 N/V -0,3790 N -0,0359 N/V -0,3810 N 0,0341 Nms 0,0085 Nm
0,0432 kg m Kennlinie des Yaw-Motors Kopplung des Pitch-Motors auf
die Gierbewegung viskose Dmpfung um die Yaw-Achse Trgheitsmoment um
die Pitch-Achse Kennlinie des Pitch-Motors Kopplung des Yaw-Motors
auf die Nickbewegung viskose Dmpfung um die Pitch-Achse
Trgheitsmoment um die Pitch-Achse Koordinate des Schwerpunkts
Koordinaten des Pitch-Motors Koordinaten des Yaw-Motors Koordinaten
des Gehuseschwerpunkts Werte Beschreibung
Tabelle 2.3: Zusammenstellung der zu identifizierenden
Parameter
- 10 -
Identifizierung der Modellparameter
3 Identifizierung der ModellparameterFr die Bestimmung der
Unbekannten und berprfung der durch das 2-DOF Reference Manual [01]
vorgegeben Parameter wurden eine Reihe an Messungen an dem
Helikopter durchgefhrt. Die Berechnungen wurden alle mit Matlab
durchgefhrt. Die einzelnen Skripte befinden sich auf der
beiliegenden CD.
3.1 SchwerpunktlageBetrachtet man das Modell des Helikopters
ohne Steuerspannung an den Motoren, so befindet er sich bei in der
Ruhelage ( entspricht dem Horizontalflug und somit der
Waagerechten). Aus dieser negativen Auslenkung gegenber der
Nulllage lsst sich der Schluss ziehen, dass der Gesamtschwertpunkt
auf der Seite des Pitch-Motors liegt. Es ergibt sich eine
Abweichung des Schwerpunktes in x-Richtung. Des Weiteren ist der
Helikopter bei einer Bewegung um die Pitch-Achse nicht im
Schwerpunkt gelagert. Es muss demnach eine Verschiebung des
Schwerpunktes in z-Richtung vorhanden sein. Um die Schwerpunktlage
zu bestimmen wurde ein Zusatzgewicht mit Hilfe eines Hakens an den
Helikopter angebracht (Abbildung 3.1). Dieses Zusatzgewicht wurde
variiert und es stellten sich unterschiedliche Ruhelagen ein.
Zusatzgewicht und der Winkel bei dem sich die Ruhelage einstellte
sind in Tabelle 3.1 dargestellt. Zusatzmasse [] [g] 158 8,95 151
4,2 145 0 131 -10,45 125 -15,03 117 -21,45
Tabelle 3.1: Messungen der Ruhelagen bei unterschiedlichen
Zusatzgewichten
Abbildung 3.1: Experiment zur Ermittlung der Schwerpunktlage
- 11 -
Identifizierung der Modellparameter Mit der Kenntnis der
Zusatzmasse , des Ruhewinkels und des Angriffspunktes der
Zusatzmasse lsst sich die Lage des Schwerpunkts des Gesamtsystems
mit Hilfe einer linearen Ausgleichsrechnung bestimmen. Fr die
Ruhelage gilt ( ) ( ) (1)
Es muss beachtet werden, dass es sich bei um einen Spaltenvektor
und bei um eine Diagonalmatrix handelt. Zur bersichtlicheren
Darstellung wir die Matrix eingefhrt [ Damit ergibt sich das
Gleichungssystem ( ) ( ) ( ). ].
Die lineare Ausgleichsrechnung wird wie folgt formuliert ( ) [ ]
( ) ( ).
Wie bereits in den vorherigen Abschnitten angesprochen wird fr
die meisten Krfte jedoch eine Unterteilung in Pitch-Motor,
Yaw-Motor und Gehuse bentigt. Die Parameter , , und wurden am
Modell durch Messungen bestimmt. Lediglich und mussten noch
berechnet werden. Die zu oben quivalente Aufstellung einer
Gleichung mit den getrennten Anteilen von Gehuse ( ), Pitch-Motor (
), sowie Yaw-Motor ( ) und Lsung durch lineare Ausgleichsrechnung
ergab Koordinaten fr den Gehuseschwerpunkt ( ), die im einstelligen
Millimeterbereich lagen. Aus diesem Grund und im Rahmen der
Messungenauigkeit wurde fr die weiteren Berechnungen angenommen,
dass das Gehuse im Schwerpunkt gelagert ist. [m] [m] [m] [m] [m]
[m] [m] [m] 0,0207 0,0065 0,185 0,01 0,183 0,01 0 0
Tabelle 3.2: Zusammenstellung der berechneten
Schwerpunktkoordinaten
3.2 Pitch-Achse3.2.1 Kennlinie Pitch-MotorZur Ermittlung der
Beziehung zwischen angelegter Spannung und resultierender Kraft
wurde der Pitch-Motor mit einer sprungfrmigen Spannung ( )
angeregt. Aufgrund der Kopplung auf die Yaw-Achse musste der
Hubschrauber um diese Achse fixiert werden. Die Fixierung wurde mit
Hilfe von zwei Klemmen, zwei Schraubzwingen und einem Brett
realisiert und ist Abbildung 3.2 zu sehen.
- 12 -
Identifizierung der Modellparameter
Abbildung 3.2: Fixierung des Helikopters um die Gier-Achse Nun
wurde solange gewartet, bis das System sich in einer Ruhelage
eingependelt hat und der mittlere Nickwinkel ausgemessen. Die
mittleren Ruhelagen sind in Tabelle 3.3 dargestellt. Spannung []
[V] -15 -30,2 -15,5 -26 -16 -21,8 -16,5 -18 -17 -12,8 -17,5 -10
Tabelle 3.3: Messung der Ruhelage bei unterschiedlichen
Spannungen Mit Hilfe dieser Ruhelagen und der dazugehrigen Spannung
kann eine Kennlinie fr den Motor bestimmt werden. Analog zu
Gleichung (1) kann fr jeden Winkel eine entsprechende
Ausgleichsmasse berechnet werden ( Die einzelnen Komponenten des
Vektors ( ( ) ( ergeben sich schlielich zu ) ) )
Mit Hilfe der quivalenten Ausgleichsmassen wird die Motorkraft
berechnet
Als letzter Schritt muss eine Ausgleichsgerade durch die
berechneter Werte gelegt werden. Mit der Einfhrung der Matrix [
ergibt sich - 13 ]
Identifizierung der Modellparameter
(
)
[
]
Die Kennlinie des Pitch-Motors lsst sich formulieren als ( ) [ ]
[ ]
In Abbildung 3.3 ist die ermittelte Ausgleichsgerade
dargestellt.
Abbildung 3.3: Kennlinie des Pitch-Motors Die Kennlinie wurde im
Modell so implementiert, dass keine negativen Krfte auftreten
knnen. Bei Spannungen grer -5,5 V wurde die sich ergebende Kraft zu
null gesetzt. Fr die Berechnung des Momentes muss die Kraft mit dem
entsprechenden Hebelarm multipliziert werden ( ( )) ( )
3.2.2 Trgheit und Dmpfung um die Pitch-AchseFr die Bestimmung
der Trgheit und der Dmpfung um die Pitch-Achse wurde die GierAchse
des Helikopters fixiert und der Pitch-Motor mit einer sprungfrmigen
Spannung belastet. Es wurde der Einschwingvorgang betrachtet. Mit
Hilfe dieser Messung konnten direkt zwei unbekannte Parameter
identifiziert werden. Tabelle 3.4 enthlt die Kreisfrequenzen , die
sich bei den verschiedenen Spannungen ergaben und die dazugehrigen
Ruhelagen . Die Kreisfrequenzen wurden mit Hilfe des
Frequenzspektrums der gedmpften Schwingung im Fourier-Bereich
bestimmt. Hierzu wurde der Matlab Befehl verwendet.
- 14 -
Identifizierung der Modellparameter Spannung [V] [rad/s] [] -13
3,3 2,8 -13,5 2,6 6 -14 2,4 9 -14,5 2,3 12 -15 2,2 15 und -15,5 2,1
20 -16 2,0 25 -16,5 1,9 30 bei -17 1,6 40 verschiedenen
Tabelle 3.4: Messungen der Kreisfrequenzen Spannungssprngen
Nickwinkel
Aus den gleichen Messverlufen wurden auch die Daten fr die
Bestimmung der Trgheit gewonnen. Hierzu wurden jeweils die Maxima
der gedmpften Schwingung ermittelt. In Tabelle 3.5 sind diese Daten
zusammengefasst. Betrag des Spannungssprungs:13V; 5,6 4,0 3,3 []
Zeit [s] 1,65 3,75 5,71 Betrag des Spannungssprungs:13,5V; 5,0 4,5
3,5 [] Zeit [s] 2,84 5,24 7,62 Betrag des Spannungssprungs:14V;
17,7 13,5 11,5 [] Zeit [s] 1,69 4,25 6,86 Betrag des
Spannungssprungs:14,5V; 23,6 21,7 19,9 [] Zeit [s] 1,77 4,54 7,26
Betrag des Spannungssprungs:15V; 29,9 26,9 24,9 [] Zeit [s] 1,84
4,68 7,51 Betrag des Spannungssprungs:15,5V; 41,1 38,3 36,1 [] Zeit
[s] 1,93 4,92 7,91 Betrag des Spannungssprungs:16V; 49,0 43,7 39,8
[] Zeit [s] 2,00 5,22 8,43 Betrag des Spannungssprungs:16,5V; 60,8
51,5 45,7 [] Zeit [s] 2,10 5,56 9,02 Betrag des
Spannungssprungs:17V; 77,3 59,8 47,6 [] Zeit [s] 2,25 6,30
10,12
2,2 9,64 10,5 9,34 17,9 9,93 23,1 10,72 35,0 10,94 9,5 11,63
16,6 12,66 20,3 16,07 33,6 13,95 31,3 16,96
41,7 12,40 43,2 14,12
Tabelle 3.5: Messwerte der Maxima der Sprungantworten der
Nickbewegung Zur Berechnung der Trgheit und der Dmpfung wurde das
schwingungsfhige Glied ( ) und dessen Sprungantwort im Zeitbereich
- 15 -
Identifizierung der Modellparameter
( ) mit
(
)
( verwendet.
)
Aufgrund der Fixierung der Gier-Achse vereinfacht sich die
Differentialgleichung der Pitch-Achse fr die Bestimmung der Trgheit
zu ( ( )) ( ) ( ) ( ) (
nichtlineare
( ))
Linearisiert man die Differentialgleichung um den Bezugszustand
( )
ergibt sich ( ( ))
Die linearisierte Differentialgleichung wird jetzt mit Hilfe der
Laplace-Transformation in den Laplace-Bereich berfhrt [ ( )] ( ) (
( ( )))
und als bertragungsfunktion geschrieben ( ) ( ( ( ))) ( )
Ein Koeffizientenvergleich der Nenner der bertagungsfunktionen
des schwingungsfhigen Glieds und der linearisierten
Differentialgleichung ergibt den folgenden Zusammenhang ( )
Fr die Berechnung der Trgheit um die Pitch-Achse ist lediglich
der Koeffizient der Ordnung von Interesse ( )
(
) berechnet werden. Es wird ein
Mit Hilfe einer linearen Ausgleichsrechnung kann damit
Spaltenvektor
definiert. Fr die Berechnung des Trgheitsmoments wurden die
einzelnen Eintrge von elementweise quadriert. Das Trgheitsmoment
ergibt sich zu
- 16 -
Identifizierung der Modellparameter
[
]
(
)
Dieses Trgheitsmoment um die Pitch-Achse setzt sich aus
verschiedenen Anteilen zusammen ( ) ( )
Fr die Berechnung der Dmpfung wird, da als Erregung ein
Spannungssprung eingesetzt ( ) bentigt. Aus dieser ist ersichtlich,
dass alle wurde, die Sprungantwort Schwingungsmessungen um den
stationren Endwert K korrigiert werden mssen. Die Dmpfung um die
Pitch-Achse wird (Tabelle 3.5) durch eine Exponentialfunktion der
Form ( ) genhert. Mit den Maxima der endwertkorrigierten
Schwingungsmessungen wurde mit Hilfe des CurveFittingTools (cftool)
von Matlab die Einhllende in der Form der obigen
Exponentialfunktion bestimmt. Aus dem Vergleich der Sprungantwort
des schwingungsfhigen Gliedes mit der obigen Exponentialfunktion
lsst sich der folgende Zusammenhang herstellen
In der Tabelle 3.6 sind die so ermittelten Werte fr den
Parameter b zusammengefasst. Dabei wurden die Werte fr die
Spannungen 15 V und 17 V nicht verwendet, da das Fitting zu hohe
Abweichungen ergab. Spannung [1/s] [V] -13 0,4124 -13,5 0,2450 -14
0,1601 -14,5 0,08236 -15,5 0,0753 -16 0,0801 -16,5 0,0962
Tabelle 3.6: Ergebnisse der Exponenten nach dem Fitten der
Messungen Fr das weitere Vorgehen wird erneut das schwingungsfhige
Glied im Laplace-Bereich mit der linearisierten transformierten
Differentialgleichung verglichen. Der Koeffizientenvergleich der
Ordnung liefert das Ergebnis
Die Dmpfung
ergibt sich mit den Werten aus Tabelle 3.6 zu
3.2.3 Kopplungsmoment des Yaw-Motors auf die Pitch-AchseDas
Kopplungsmoment, das der Yaw-Motor auf die Nickbewegung ausbt hat
im Sinne der eingefhrten Konvention ein negatives Vorzeichen. Eine
Spannung auf dem Yaw-Motor resultiert damit in einer Gierbewegung
und einem Abnicken. Um diese Kraft messen zu knnen musste der
Helikopter zunchst um die Gier-Achse fixiert und in eine
waagerechte Position gebracht werden ( ). Das wurde erreicht, indem
am Yaw-Motor die Federkraftwaage wie in Abbildung 3.4 zu sehen
befestigt wurde. Ohne eingeschalteten Yaw-Motor ergab sich ein
angezeigtes Gewicht von 53g. Dieses wird durch - 17 -
Identifizierung der Modellparameter die Masse des Kraftmessers
in Kombination mit der bentigten Zugmasse fr die Nulllage
hervorgerufen. Diese Masse musste als Basislinie von den Werten
abgezogen werden.
Abbildung 3.4: Experiment zur Ermittlung der Kopplung des
Yaw-Motors auf die Pitch-Achse Es wurden verschiedene Spannungen an
dem Yaw-Motor angelegt und die resultierende Zugmasse am Yaw-Motor
gemessen (Tabelle 3.7). [g] [g] [V] 56 3 -4,03 57 4 -5,05 58 5
-6,08 60 7 -7,10 62 9 -8,13 64 11 -9,15 65 12 -10,18 66,5 13,5
-11,20 69 16 -12,42
Tabelle 3.7: Messungen der durch den Yaw-Motor um die
Pitch-Achse erzeugten Krfte in Abhngigkeit der Spannung Da die
gezeigte Masse an dem Befestigungshaken der bereits zur Bestimmung
des Schwerpunktes verwendet wurde - mit dem Hebelarm angreift muss
sie durch eine Division durch den Abstand des Yaw-Motors noch auf
eine dort angreifende Masse zurckgerechnet werden. Zwischen der
korrigierten Zugmasse und der erzeugten Kopplungskraft ergibt sich
das Gleichgewicht
Fr die bersichtlichere Darstellung wird die Matrix [ Das
Gleichgewicht lsst sich dann schreiben als ( ]
eingefhrt
)
- 18 -
Identifizierung der Modellparameter Fr die Berechnung des
gesuchten Vektors wir eine lineare Ausgleichsrechnung verwendet [
Die Kopplungskraft ergibt sich zu ( ) [ ] [ ] ] ( )
Fr die Berechnung des um die Pitch-Achse resultierenden Moments
muss die Kraft am YawMotor noch mit dem entsprechenden Hebelarm
multipliziert werden ( ( )) ( )
3.3 Yaw-Achse3.3.1 Kennlinie Yaw-MotorFr die Bestimmung der
Kennlinie des Yaw-Motors mussten Kraftmessungen bei
unterschiedlichen Spannungen auf dem Yaw-Motor durchgefhrt werden.
Da die zu bestimmenden Krfte ziemliche klein waren reichte die
Verwendung einer normalen Federkraftwage nicht aus um hinreichend
genaue Messergebnisse zu liefern. Aus diesem Grund wurde die in
Abbildung 3.5 dargestellte Kraftmessmethode verwendet. Die gezeigte
Kontaktewaage hatte einen Messbereich von 200g (je 100g auf Zug und
Druck) und lieferte damit eine gengend groe Auflsung, um die
geringen Kraft darzustellen. Das Modell wurde mit einer
Ausgleichsmasse fr jede Spannung zunchst in die Nulllage gebracht
und anschlieend die resultierende Zugmasse abgelesen.
Abbildung 3.5: Experiment zur Bestimmung der Kennlinie des
Yaw-Motors Die aufgenommenen Messwerte sind in der folgenden
Tabelle 3.8 zusammengefasst. - 19 -
Identifizierung der Modellparameter [g] [V] 11 -6,08 22,5 -7,1
29 -8,12 34 -9,15 41 -10,18 53,5 -11,20 61,5 -12,23
Tabelle 3.8: Messung der durch den Yaw-Motor um die Yaw-Asche
erzeugten Krfte Fr die Berechnung der Kennlinie mssen die Massen
zuerst in Krfte umgerechnet und dann von auf zurckgefhrt werden
Fr die bersichtlichere Darstellung wird auch hier wieder die
Matrix [ ]
eingefhrt
Die Beziehung fr die Kraft des Yaw-Motors vereinfacht sich zu (
Fr die Berechnung der Gren verwendet ( ) [ und ] ) wird eine
lineare Ausgleichsrechnung
Die Kennlinie des Yaw-Motors ergibt sich zu ( ) [ ] [ ]
Fr die Berechnung des Momentes muss die Kraft mit dem
entsprechenden Hebelarm multipliziert werden ( ( ) ) ( )( )
3.3.2 Trgheit Yaw-AchseDie Ermittlung der Trgheit war mit der
vorhandenen Messtechnik nicht mglich. Aus diesem Grund wurde mit
Hilfe der Matlab Toolbox Optimtool anhand der bereits ermittelten
Parameter in einem nichtlinearen Simulationsmodell auf Messkurven
optimiert. Es ergab sich der Wert
Das Trgheitsmoment um die Yaw-Achse ergibt sich mit den
verschiedenen Steinerschen Anteilen zu ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) (
))
3.3.3 Dmpfung um die Yaw-AchseDer Bestimmung der Dmpfung des
Hubschraubers um die Gier-Achse liegt die berlegung zu Grunde, dass
bei einem Spannungssprung auf dem Yaw-Motor die Geschwindigkeit
nach einer endlichen Zeit einen annhernd konstanten Wert annimmt.
An diesem Punkt ist die
- 20 -
Identifizierung der Modellparameter Beschleunigung um die
Gier-Achse Null. Die Differentialgleichung kann unter den Annahmen
, und wie folgt vereinfacht werden ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( (
) )
Die Giergeschwindigkeit kann direkt aus den Messungen des
Gierwinkels und der dazugehrigen Zeitachse ermittelt werden. Die
Messungen wurden jeweils ber einen Zeitraum von 50s durchgefhrt und
gemittelt. Tabelle 3.9 stellt eine Zusammenfassung der verwendeten
Messwerte dar. [/s] [V] [] 15,0 -8,12 -42 151,6 -9,15 -41,9 281,7
-9,40 -18,9 298,5 -9,67 -17,4 403,8 -10,18 -11,1 462,1 -11,72 -9,5
527,5 -12,44 -7,9
Tabelle 3.9: Messung der stationren Giergeschwindigkeit in
Abhngigkeit der Spannung auf dem Yaw-Motor und des sich ergebenen
Nickwinkels wurde als Gerade angenommen. Die Berechnungsvorschrift
ergibt sich demnach zu ( [ ] [ ]) ( )
Zur bersichtlicheren Darstellung wurden die Matrix und der
Vektor mit den Komponenten eingefhrt, die sich aus den einzelnen
Messwerten errechnen (Tabelle 3.9) [ ( [ ] ] [ ]) ( )
Das Gleichungssystem lsst sich vereinfacht darstellen als ( )
und berechnet
Mit Hilfe einer linearen Ausgleichsrechnung wurden die Parameter
( ) [ ]
Die Gleichung fr die Bercksichtigung der Dmpfung um die
Yaw-Achse lautet demnach ( ) [ ] [ ]
Der sich ergebende Offset von 0,0085 wird als Haftreibung
interpretiert und ist der Anteil der Reibung, der zuerst berwunden
werden muss bevor sich das System in Bewegung setzten kann. Danach
wirkt lediglich die lineare Gleitreibung.
3.3.4 Kopplungsmoment des Pitch-Motor auf die Yaw-AchseAnalog zu
der Kopplung des Yaw-Motors auf die Nickbewegung existiert eine
Kopplung zwischen dem Pitch-Motor und der Gierbewegung. Das Moment,
dass der Pitch-Motor um
- 21 -
Identifizierung der Modellparameter die Yaw-Achse induziert
wirkt dem Moment des Yaw-Motors entgegen. Es hat demnach nach
eingefhrter Konvention ein positives Vorzeichen. Fr die Bestimmung
der Krfte wurde der Pitch-Motor eingeschaltet und solange
gewartete, bis sich ein stationrer Endwert fr den Winkel ergeben
hatte. Im Anschluss daran wurde die Nicklage mit Hilfe eines
Zusatzgewichtes ausgeglichen. Die Kontaktwaage wurde mit dem
Yaw-Motor verbunden und eine Kraft konnte abgelesen werden Dieser
Vorgang wurde fr verschiedene Spannungen wiederholt. Abbildung 3.6
zeigt den Versuchsaufbau.
Abbildung 3.6: Experiment zur Bestimmung der Kopplung vom
Pitch-Motor auf die Gierbewegung Die gemessene Masse
zusammengefasst. [g] [V] und die dazugehrige Spannung sind in
Tabelle 3.10 13,5 -14,23 18 -15,3 21 -16,34 24 -17,37 30 -18,5
Tabelle 3.10: Messung der kraftquivalenten Masse, die der
Pitch-Motor auf die Yaw-Achse ausbt Die am Yaw-Motor gemessene
Masse muss noch auf eine Zugmasse am Pitch-Motor umgerechnet
werden.
Zur bersichtlicheren Darstellung wurde die Matrix [ ]
eingefhrt
Das Gleichgewicht lsst sich vereinfacht darstellen als - 22
-
Identifizierung der Modellparameter
(
)
Mit Hilfe einer linearen Ausgleichsrechnung kann die gesuchte
Kraft berechnet werden ( ) [ ]
Die Kopplungskraft, die der Pitch-Motor auf die Bewegung um die
Yaw-Achse ausbt ergibt sich zu ( ) [ ] [ ]
Fr die Berechnung des Momentes muss die Kraft mit dem
entsprechenden Hebelarm multipliziert werden ( ( ) ) ( )( )
3.4 SpannungsbertragungsfunktionenDie Notwendigkeit der
Spannungsbertragungsfunktion wurde im Laufe der durchgefhrten
Experimente klar. Der Grund hierfr ist, dass die Spannung, die man
am Computer in das Modell eingibt nicht der Spannung entspricht,
die die Verstrker an die Motoren abgeben. Um am Ende des Praktikums
das mathematische Modell mit dem realen Modell vergleichen und
dessen Gte validieren zu knnen ist es notwendig, dass die
Spannungen, die das mathematische Modell als Eingang bekommt die
gleichen sind, wie die, des realen Modells. Die
Spannungsbertragungsfunktion erfllt genau diesen Zweck. Man kann
dann sowohl am Rechner als auch am mathematischen Modell die
gleichen Spannungen vorgeben und das mathematische Modell rechnet
mit den Spannungen, die die beiden Verstrker liefern. Als
problematisch erwies sich die Tatsache, dass die Spannungen
miteinander verkoppelt sind. Das bedeutet, dass bei einer
konstanten Spannungsvorgabe auf dem Pitch-Motor und einer Variation
der Spannung auf dem Yaw-Motor die Spannung am Pitch-Motor trotz
konstanter Vorgabe variiert. Analog dazu existiert diese Kopplung
auch bei Vorgabe einer konstanten Spannung auf dem Yaw-Motor und
Variation der Spannung auf dem Pitch-Motor. Fr die Berechnung der
bertragungsfunktionen wurden die in der folgenden Tabelle 3.11
zusammengefassten Messreihen aufgenommen.
- 23 -
Identifizierung der Modellparameter [V] 5 5 5 5 7,5 7,5 7,5 7,5
10 10 10 10 12,5 12,5 12,5 12,5 15 15 15 15 17,5 17,5 17,5 17,5 20
20 20 20 [V] 3 6 9 12 3 6 9 12 3 6 9 12 3 6 9 12 3 6 9 12 3 6 9 12
3 6 9 12 [V] 4,99 4,86 4,7 4,53 7,56 7,45 7,28 7,13 10,16 10,03
9,87 9,7 12,77 12,64 12,50 12,33 15,38 15,26 15,1 14,94 18,02 17,9
17,74 17,59 20,6 20,5 20,4 20,2 [V] 2,99 6,04 9,1 12,16 2,98 6,03
9,09 12,15 2,96 6,02 9,07 12,13 2,94 5,98 9,05 12,1 2,91 5,96 9,03
12,09 2,89 5,93 9,00 12,06 2,86 5,91 8,97 12,03
Tabelle 3.11: Messungen der Spannungen an den Verstrkerausgngen.
Es wurde die Annahme getroffen, dass sich die tatschlich
ausgegebenen Spannungen wie folgt zusammensetzten
Zur bersichtlicheren Darstellung wird die Matrix [
eingefhrt ]
Mit Hilfe von A lassen sich die Spannungen formulieren als ( ( )
)
- 24 -
Identifizierung der Modellparameter Die Faktoren , ,
Ausgleichsrechnung ermitteln ( ( und ) ) [ [ ] ] lassen sich durch
die folgende lineare
Die entsprechenden Spannungsbertragungsfunktionen ergeben sich
zu
- 25 -
Probleme bei der Modellierung
4 Probleme bei der Modellierung4.1 LogikschaltungBei der
Implementierung in Simulink ergab sich das folgende Problem. Wenn
beide Eingnge zu Null gesetzt wurden, dann drfte theoretisch gar
nichts passieren. Das Modell integrierte jedoch eine
Nickgeschwindigkeit auf. Dieses Problem hatte seinen Ursprung in
der Gewichtskraft. Die Gewichtskraft wirkt (im Gegensatz zu
Zentrifugalkraft und Corioliskraft) auch, wenn sich das System in
Ruhe befindet. Diese Aufintegration der Geschwindigkeit musste
jedoch vermieden werden, da sich daraus, einerseits wenn der
Hubschrauber oben oder unten anschlug, andererseits bei einem
verzgerten oder modulierten Eingangssignal aufgrund der vorher
integrierten Beschleunigung ein numerisches Problem ergab. Aus
diesem Grund wurde eine Logikschaltung implementiert (Abbildung
4.1).
Abbildung 4.1: Logikschaltung zum zurcksetzten des Integrators
Die Arbeitsweise der Schaltung ist einfach zu verstehen. Sie setzt
in den beiden folgenden Fllen den Integrator, der zu integriert auf
null zurck Sollte der Helikopter demnach an die obere Grenze
anschlagen und noch eine Geschwindigkeit haben, so wird der
Integrator zurckgesetzt und damit die Geschwindigkeit genullt.
Analog dazu wird die untere Grenze behandelt. Ebenso wird der
Integrator bei einem verzgerten Eingangssignal solange
zurckgesetzt, bis das Modell sich nicht mehr bei befindet. Die
Vorzeichen der Geschwindigkeit ergeben sich aus folgender
berlegung: Wenn der Helikopter an die obere Grenze gert, dann muss
die Nickgeschwindigkeit grer als null sein. Analog dazu muss die
Nickgeschwindigkeit bei Erreichen der unteren Grenze des
Nickwinkels kleiner als null sein. Die Wirkungsweise der
Logikschaltung wird in Abbildung 4.2 deutlich dargestellt.
- 26 -
Probleme bei der Modellierung
Abbildung 4.2: Wirkungsweise der Logikschaltung, links: mit
Logikschaltung; rechts: ohne Logikschaltung; beide Eingange auf
0V
4.2 Motoren als PT1-GliederDer Vergleich von realen Messdaten
des Versuchs mit simulierten Messdaten aus dem Simulink Modell
ergab einen zeitlichen Versatz. Das Modell reagierte schneller auf
Spannungseingnge als der reale Versuchsaufbau. Das ist darauf
zurckzufhren, dass die Motoren nicht ohne Verzgerung auf einen
Eingang reagieren. Um dieses Verhalten im Modell abzubilden, wurden
der Yaw- und der Pitch-Motor jeweils durch ein PT1-Glied mit den
bertragungsfunktionen ( ) ( ) modelliert. Mit der Matlab Toolbox
optimtool wurden mehrere Durchlufe mit verndertem und durchgefhrt
um die Zeitkonstanten der beiden PT1-Glieder durch heuristische
Optimierung zu ermitteln. Die Konstanten ergaben sich zu
- 27 -
Linearisierung der Differentialgleichungen
5 Linearisierung der DifferentialgleichungenUm einen Regler fr
das nichtlineare Modell entwerfen zu knnen ist es notwendig die
Differentialgleichungen um einen definierten Arbeitspunkt zu
linearisieren. Das linearisierte System soll dabei die folgende
Form aufweisen ( ) [ ] ( ) [ ] ( )
Als Arbeitspunkt wurde eine beliebige Ruhelage des Helikopters
definiert. Diese zeichnet sich durch die folgenden Eigenschaften
aus
Im Folgenden werden die einzelnen partiellen Ableitungen fr die
Ruhelage die in den Matrizen A und B enthalten sind aufgefhrt. ( )
( )
{[ ( ( [ )( ( ( )(
)( )( )( )
) )] ( ) ) )][ ( ( )( )]}
- 28 -
Linearisierung der Differentialgleichungen ( )
Von den Kennlinien verbleiben jeweils nur die Steigungen.
( ( ( ( ) )
) )
Mit dieser linearisierten Differentialgleichung lsst sich die
Systemmatrix der Eingangsgren bei einer Linearisierung um die
Ruhelage
und die Matrix
wie folgt angeben: [ ] [ ]
mit den Eigenwerten
- 29 -
Ergebnisse
6 ErgebnisseUm die Gte des mathematischen Modells validieren zu
knnen wurden am realen Modell verschiedene Messungen durchgefhrt.
Der Verlauf der beiden Eingangsspannungen und wurde aufgezeichnet
und dem mathematischen Modell als Eingang vorgegeben. Der Vergleich
zwischen realer Messung und den Simulationsergebnissen ist in
Abbildung 6.1und Abbildung 6.2 graphisch dargestellt.
Abbildung 6.1: Vergleich zwischen mathematischem Modell und
realem Modell bei Vorgabe einer diskreten Spannung auf dem
Yaw-Motor - 30 -
Ergebnisse Bei einer reinen Verwendung des Yaw-Motors (Abbildung
6.1) ergeben sich hohe bereinstimmungen. Diese knnen anhand des
Best-Fit fr beide Winkel gemessen werden ( ) ( ) Best-Fit ist dabei
wie folgt definiert ( ) ( | | ( )| ) |
Bei genauerer Betrachtung fllt auf, dass in der Nick-Bewegung
die hochfrequenten Schwingungen des Gierwinkels durch das
mathematische Modell nicht berechnet werden knnen. Das hat in
gleicher Weise Einfluss auf die Nickgeschwindigkeit. Der Verlauf
von Nick- und Gierwinkel wurde jedoch sehr gut reproduziert. Der
Pitch-Motor wurde bei dieser Messung nicht verwendet. Daraus ergibt
sich die Folgerung, dass der resultierende Nickwinkel allein durch
die Zentrifugalkraft resultiert. Diese reicht aus um den Helikopter
bis fast in die waagerechte Position zu heben.
- 31 -
Ergebnisse
Abbildung 6.2: Vergleich zwischen mathematischem Modell und
realem Modell Im Gegensatz zu den stckweise konstanten Spannungen
bei der Messung aus Abbildung 6.1 wurde in Abbildung 6.2 manuell
ein Eingangssignal durch Bedienung des Helikopters mit einem
Joystick generiert. Die Best-Fit Werte fr diese Messung ergeben
sich zu ( ) ( ) Auch diese Messung wurde durch das mathematische
Modell gut reproduziert; die Gierbewegung deutlich besser als die
Nickbewegung.
- 32 -
Zusammenfassung
7 ZusammenfassungIm Rahmen des Praktikums Digitale Regelung II
sollte ein mathematisches Modell des QUANSER 2 Degree of Freedom
(DOF) Modells eines Helikopters erstellt werden. Die Modellierung
erfolgte in Matlab/Simulink. Der Groteil der Arbeit beschftigte
sich mit der Identifizierung der unbekannten Modellparameter. Bis
auf die Trgheit um die Gier-Achse konnten alle Parameter berechnet
werden. Im Anschluss an die Identifizierung wurden die berechneten
Parameter anhand von aufgenommenen Messungen heuristisch
verbessert. Eine Verbesserung der Modellierung knnte erreicht
werden indem ein Verfahren zur Identifikation der Trgheit um die
Gier-Achse formuliert wird. Des Weiteren knnte die Dmpfung um diese
Achse um einen Anteil ergnzt werden, der quadratisch von der
Winkelgeschwindigkeit abhngt, um die Luftreibung besser mit
einzubeziehen.
- 33 -
Quellen
8 Quellen[01] QUANSER 2-DOF Helicopter Reference Manual
- 34 -
Verzeichnisse
9 Verzeichnisse9.1 AbbildungsverzeichnisAbbildung 1.1: Quanser 2
DOF Modell eines
Helikopters.......................................................
3 Abbildung 2.1: Skizze der angreifenden Krfte und Momente um die
Pitch Achse ............. 8 Abbildung 2.2: Skizze der angreifenden
Krfte und Momente um die Yaw Achse.............. 9 Abbildung 3.1:
Experiment zur Ermittlung der Schwerpunktlage
......................................... 11 Abbildung 3.2:
Fixierung des Helikopters um die Gier-Achse
.............................................. 13 Abbildung 3.3:
Kennlinie des Pitch-Motors
...........................................................................
14 Abbildung 3.4: Experiment zur Ermittlung der Kopplung des
Yaw-Motors auf die Pitch-Achse
...................................................................................................
18 Abbildung 3.5: Experiment zur Bestimmung der Kennlinie des
Yaw-Motors ...................... 19 Abbildung 3.6: Experiment zur
Bestimmung der Kopplung vom Pitch-Motor auf die Gierbewegung
...............................................................................................
22 Abbildung 4.1: Logikschaltung zum zurcksetzten des Integrators
....................................... 26 Abbildung 4.2:
Wirkungsweise der Logikschaltung, links: mit Logikschaltung;
rechts: ohne Logikschaltung; beide Eingange auf 0V
.............................. 27 Abbildung 6.1: Vergleich zwischen
mathematischem Modell und realem Modell bei Vorgabe einer diskreten
Spannung auf dem Yaw-Motor ............................. 30
Abbildung 6.2: Vergleich zwischen mathematischem Modell und realem
Modell................ 32
9.2 TabellenverzeichnisTabelle 2.1: Vereinbarung ber die
positive Richtung der Gier- und Nickwinkel ................... 4
Tabelle 2.2: Bezeichnung der einzelnen Bewegungsformen eines
Flugobjektes nach DIN 9300
............................................................................................................
4 Tabelle 2.3: Zusammenstellung der zu identifizierenden Parameter
...................................... 10 Tabelle 3.1: Messungen
der Ruhelagen bei unterschiedlichen Zusatzgewichten
................... 11 Tabelle 3.2: Zusammenstellung der
berechneten Schwerpunktkoordinaten ........................... 12
Tabelle 3.3: Messung der Ruhelage bei unterschiedlichen Spannungen
................................ 13 Tabelle 3.4: Messungen der
Kreisfrequenzen und Nickwinkel bei verschiedenen Spannungssprngen
..........................................................................................
15 Tabelle 3.5: Messwerte der Maxima der Sprungantworten der
Nickbewegung ..................... 15 Tabelle 3.6: Ergebnisse der
Exponenten nach dem Fitten der Messungen
............................. 17 Tabelle 3.7: Messungen der durch
den Yaw-Motor um die Pitch-Achse erzeugten Krfte in Abhngigkeit der
Spannung
.............................................................. 18
Tabelle 3.8: Messung der durch den Yaw-Motor um die Yaw-Asche
erzeugten Krfte
................................................................................................................
20 Tabelle 3.9: Messung der stationren Giergeschwindigkeit in
Abhngigkeit der Spannung auf dem Yaw-Motor und des sich ergebenen
Nickwinkels ............. 21 - 35 -
Verzeichnisse Tabelle 3.10: Messung der kraftquivalenten Masse,
die der Pitch-Motor auf die Yaw-Achse ausbt
............................................................................................
22 Tabelle 3.11: Messungen der Spannungen an den Verstrkerausgngen.
.............................. 24
- 36 -