-
PRAĆENJE U DIGITALNIM SISTEMIMA SA UNAKRSNIM UPRAVLJANJEM
Milica B. Naumović, Elektronski fakultet u Nišu Sadržaj - U
radovima [1]-[9] pokazano je da nova struktura sistema od dva
dislocirana brzinska ili poziciona servo pogona, spregnuta
unakrsnim upravljanjem, omogućava njihov sinhroni rad. U osnovi
predloženog unakrsnog sprezanja je ideja digitalne simulacije
efekata koji bi se pojavili unutar virtuelne mehaničke sprege
razmatranih pogona. Budući da se na taj način efikasno rešavaju
samo zadaci pozicioniranja, ne i praćenja, u ovom radu predlaže se
novi prilaz projektovanju regulatora unakrsnog sprezanja za
praćenje proizvoljne nelinearne trajektorije. Rezultati analitičkog
projektovanja ilustruju se simulacijom primera praćenja kružne
konture na računaru.
1. UVOD
U praksi se sreću slučajevi kada se od dislociranih
servomehanizama zahteva odgovarajući sinhroni rad, kao na primer:
otvaranje i zatvaranje rečnih prevodnica, pomeranje pokretnih
mostova i kranova sa velikim rasponima. Sinhroni rad motora je od
posebnog značaja u mašinama za preradu papira, kod numerički
upravljanih mašina za obradu metala, u upravljanju kretanjem vozila
i robota po zadatim putanjama i u fleksibilnim sistemima uopšte.
Posve originalne strukture za spregnuto upravljanje brzinama
obrtanja i pozicijama vratila dvaju dislociranih elektromotornih
pogona predložene su u radovima [1] i [2], respektivno. Unakrsna
sprega se zasniva na ideji digitalne simulacije momenata viskoznog
trenja i torzione elastičnosti virtuelne mehaničke sprege vratila
dislociranih servopogona. Funkcionalni blok dijagram pozicionog
sistema sa predloženim unakrsnim upravljanjem [4] prikazan je na
Sl. 1.
Sl.1. Blok dijagram servosistema sa unakrsnim upravljanjem
Rezultati višegodišnjeg istraživanja autora i saradnika u cilju
poboljšanja strukture unakrsnog sprezanja prezentovani su u
radovima [3]-[9]. Pri razmatranju su u ulozi izvršnih organa
korišćeni jednosmeran i asinhroni motor, a posebna pažnja
poklonjena je razvoju metoda dovoljno tačne opservacije stanja
sistema u slučju dejstva konstantnih i sporopromenljivih poremećaja
momenta na osovinama pogona. Regulator u direktnoj grani i elementi
unakrsnog upravljanja objedinjeni su na Sl. 1 blokom označenim
kao
digitalni kontroler, čija je struktura prikazana na Sl. 2. Za
koordinate stanja ( )kx usvojene su redom ugaone pozicije i brzine
obrtanja vratila oba pogona. Oba kanala upravljanja poseduju glavne
povratne sprege po ugaonim pozicijama vratila pogona. Unakrsno
sprezanje izvodi se preko dva kola lokalnih povratnih sprega sa
diferencijalnim i proporcionalnim dejstvom, kojima se simuliraju
efekti viskoznog trenja (frikcije) i torzione elastičnosti
(krutosti) virtuelne mehaničke sprege dva pogona. Torziona napetost
ovakve sprege vratila dislociranih pogona, koja se manifestuje kroz
razliku stacionarnih vrednosti njihovih ugaonih pozicija u uslovima
delovanja različitih momenata opterećenja, relaksira se integralnim
dejstvom dodatnog proporcionalno-integralnog (PI) regulatora u kolu
kojim se simulira torziona elastičnost sprege.
Sl.2. Struktura digitalnog kontrolera
u pozicionom sistemu sa unakrsnim upravljanjem
Efikasnost u sinhronizaciji servopogona i druge prednosti
razvijenog unakrsnog sprezanja, gde je zajednički regulator
pozicije (Sl. 2) bio digitalni regulator konvencionalne (PI/PID)
strukture, prikazani su u prethodnim radovima. Pri tome je detaljno
analiziran karakter ponašanja i tačnost rada sistema u stacionarnom
stanju, i razvijen algoritam podešavanja svih parametara
upravljanja. U ovom radu je prikazana sinteza strukture digitalnog
upravljanja koordinisanog konturnog kretanja u jednom dvoosnom
sistemu. Projektovanjem dodatne dinamike, problem konturnog
praćenja sveden je na problem regulacije u sistemu sa unakrsnim
sprezanjem. Prednosti predložene strukture i rezultati izložene
metode podešavanja parametara upravljanja verifikuju se simulacijom
na digitalnom računaru. 2. REGULACIJA I PRAĆENJE Praćenje
predstavlja, pored problema regulacije, još jednu važnu klasu
problema upravljanja. Podsetimo da rešenje problema regulacije
podrazumeva da se promenljive stanja sistema zadržavaju u okolini
(nulte) vrednosti ravnotežnog stanja i u slučaju dejstva poremećaja
na sistem. Štaviše, i nestabilni sistemi mogu se, zatvaranjem
povratne sprege po stanju, stabilisati. Kod praćenja se zahteva da
upravljana promenljiva ( )y t dovoljno tačno prati neki zakon
promene koji se zadaje referentnim signalom ( )r t na ulazu sistema
sa zatvorenom povratnom spregom. Uočimo, da se problem
Zbornik radova XLVIII Konf za ETRAN, Čačak, 6-10 juna 2004, tom
IProc. XLVIII ETRAN Conference, Čačak, June 6-10, 2004, Vol. I
215
-
praćenja referentnog signala nulte vrednosti svodi na klasičan
problem regulacije. Za rešavanje problema regulacije, pokazala se
kao dovoljno efikasna, tehnika povratne sprege po stanju, čije se
promenljive, budući da obično nisu sve merljive, moraju estimirati.
Uspostavljanje veze između problema praćenja i regulacije bilo je,
a svakako je i ostalo, inspirativno i korisno.
U cilju jednostavnijeg definisanja kontinualnog i digitalnog
modela objekta, modela poremećaja i referentnog signala, celishodno
je formirati odgovarajuće realizacione skupove na način:
( ) ( ){ }1def , , : ( )G s s −= = −A b d d I A bo oS , (1) ( )
( ){ }1def , , : ( )G s z −= = −E f d d I E fod odS , (2) ( ){
}
def, , : ( ) ( ) ( )W s N s D s= =A 0 dw w w w wS , (3)
( ){ }def
, , : ( ) ( ) ( )R s N s D s= =A 0 dr r r r rS . (4)
TEOREMA 1. Neka je ( )r k referentni ulaz čiji je z - kompleksni
lik ( ) ( ) ( )R z N z D z= r r . Ako su sve nule polinoma ( )D zr
, uzimajući u obzir i njihovu višestrukost, ujedno i svojstvene
vrednosti matrice E digitalnog modela kontrolabilnog i
opservabilnog objekta datog relacijom (2), tada će struktura tipa
regulatora, bez ikakve dodatne dinamike, da obezbedi praćenje
ulaznog signala ( )r k sa nultom greškom u stacionarnom stanju.
Dokaz prethodne teoreme je jednostavan i može se naći u brojnoj
udžbeničkoj literaturi.
U slučaju kada uslovi prethodne teoreme nisu ispunjeni,
neophodno je uvođenje dodatne dinamike. Naime, ako ( )R z ima
polove 1, , mz zK čije se vrednosti ne poklapaju sa svojstvenim
vrednostima matrice E , tada se definiše dodatna dinamika sistema (
)mz zδ , gde je
11( )m m
mz z z−δ = + δ + + δL .
Redna veza dodatne dinamike i objekta predstavlja prošireni
objekat na osnovu kojeg se projektuje regulator, kojim se
obezbeđuje tačno praćenje.
Ukažimo na osobinu robusnosti ovakve strukture u smislu
potiskivanja dejstva poznate klase spoljnih poremećaja na
upravljanu promenljivu i minimizacije uticaja varijacija parametara
objekta upravljanja na kvalitet ponašanja sistema.
Ako se poremećaj ( )w k dovede na ulaz objekta, njegov uticaj će
se anulirati ako su polovi njegovog kompleksnog lika ( )W z ujedno
i svojstvene vrednosti dinamičkog kompenzatora. Štaviše, nulta
greška u stacionarnom stanju se postiže uvek kada su polovi
kompleksnog lika referentnog signala ( )R z ujedno i polovi
kompenzatora. Ova osobina ne zavisi od tačnosti modela objekta.
Naime, korektno praćenje se zadržava i u slučaju dejstva poremećaja
i neadekvatnosti modela, dokle god je režim rada zatvorenog sistema
sa realnim objektom stabilan [10].
Neka su sa λw i λr označini redom skupovi svojstvenih vrednosti
(uzimajući u obzir i njihovu višestrukost) matrica Aw i Ar ,
respektivno. Tada je
( ) ( ){ }, , , ,m mΛ = λ λ K1 1 2 2w w w w w (5) ( ) ( ){ }, ,
, ,m mΛ = λ λ K1 1 2 2r r r r r , (6) gde su
iλw i iλr redom svojstvene vrednosti višestrukosti
imw i imr matrica Aw i Ar . Definišimo skup Λ kao uniju
skupova Λw i Λr . Ako skupovi Λw i Λr imaju zajedničku
stvojstvenu vrednost, ova se samo jednom uključuje u Λ , ali se red
višestrukosti povećava. Na primer, ako u sistemu treba obezbediti
praćenje sinusoidalnog signala kružne učestanosti rω i eleminisati
uticaj odskočnog signala poremećaja, tada je ( ) ( ){ }r rr , 1 , ,
1j jΛ = ω − ω , ( ){ }0, 1Λ =w ( ) ( ) ( ){ }r r0, 1 , , 1 , , 1j
j⇒ Λ = ω − ω . Naravno, skup Λ bi se definisao na isti način i u
slučaju da je zadatak praćenje odskočnog signala u prisustvu
sinusoidalne smetnje. 3. PROJEKTOVANJE SISTEMA PRAĆENJA U
prethodnom poglavlju je ukazano na neophodnost da dodatna dinamika
sadrži polove kompleksnog lika referentnog signala, čije se
praćenje zahteva, kao i polove kompleksnog lika signala poremećaja,
koji se potiskuje. U nastavku je data diskretna verzija procedure
projektovanja sistema praćenja sa po jednim ulazom i izlazom, čiji
se formalni dokaz može naći u radu [10]. Ista se može lako uopštiti
u slučaju sistema sa više ulaza i izlaza. Procedura projektovanja
sistema praćenja zasnovana je na modelima u prostoru stanja objekta
(1)-(2), poremećaja (3), referentnog ulaza (4) i procesa merenja,
koji se u opštem slučaju opisuje sa ( ) ( ) ( )m m my t t f w t= +c
x . (7)
Digitalni sistem praćenja prikazan je na Sl. 3. U sistemu se
zatvara potpuna povratna sprega po stanju, a kako ona najčešće u
praksi nije raspoloživa, promenljive stanja se estimiraju.
Unošenjem prenosnog pojačanja g , od referentnog signala do ulaza u
objekat, popravlja se kvalitet ponašanja sistema, dok se stabilnost
sistema upravljanja ne narušava, budući da g ne utiče na polove
funkcije spregnutog prenosa. Predlaže se njegovo eksperimentalno
podešavanje.
Sl.3. Digitalni sistem praćenja sa zatvorenom povratnom
spregom po stanju
216
-
Tabela 1. Procedura projektovanja digitalnog sistema praćenja za
objekat čija je diskretna reprezentacija sa kolom zadrške nultog
reda data realizacionim skupom (2)
1° Izračunati potrebnu dodatnu dinamiku koja mora da sadrži
polove kompleksnog lika referentnog signala i signala poremećaja.
Digitalni model dodatne dinamike definiše se na sledeći način
( ){ }def
, , ,1 : ( ) ( )sG z z z= = δE f da a a a aS , (8) gde je:
( ) 11def
( ) e iTim s s
si
z z z zλ −δ = − = + δ + + δ∏ L , (9)
λ ∈ Λi su svojstvene vrednosti višestrukosti mi i def
s m= ∑ i . Model u prostoru stanja je u opservabilnoj kanoničnoj
formi, pa je
1
2
1
1 0 00 1 0
0 0 10 0 0
s
s
−
−δ⎡ ⎤⎢ ⎥−δ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−δ⎢ ⎥
⎢ ⎥−δ⎣ ⎦
E
K
K
M M M O M
K
K
a ,
1
2
1s
s
−
−δ⎡ ⎤⎢ ⎥−δ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−δ⎢ ⎥
⎢ ⎥−δ⎣ ⎦
f Ma
[ ]1 0 0=d Ka . (10) 2° Pošto je dodatna dinamika u kaskadnoj
sprezi sa objektom, projektovanje izvršiti u prostoru stanja čiji
je vektor dat sa
( )
( )( )k
kk
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
xx
xd a , (11)
na osnovu modela
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
E 0E
f d Ed a a , d
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ff 0 . (12)
Vektor pojačanja regulatora L je dimenzija ( ) 1n s+ × i može se
podeliti na sledeći način [
{]
{1 21 1n s× ×
=L L L . (13)
3° Implementirati dinamički kompenzator na način kako je to
prikazano na Sl. 3. Eksperimentalno podesiti vrednost prenosnog
pojačanja referentnog signala g , kojim se ne utiče na stabilnost
sistema upravljanja, ali se može postići željeni kvalitet
praćenja.
Sl.4. Struktura digitalnog kontrolera u pratećem sistemu sa
unakrsnim upravljanjem
4. PODEŠAVANJE PARAMETARA DIGITALNOG PRATEĆEG SISTEMA SA
UNAKRSNIM UPRAVLJANJEM U radovima [2]-[4] je pokazano da u
predloženoj strukturi pozicionog sistema sa unakrsnim sprezanjem, u
slučaju identičnih pogona, važi princip raspregnutosti polova. To
znači, da se koeficijenti unakrsnog sprezanja ( , f kK K ) mogu
podešavati nezavisno od parametara digitalnog regulatora pozicije.
Postupak podešavanja parametara digitalnog regulatora pozicije u
sistemu na Sl. 4 prema željenim kontinualnim odzivima servopogona
sa unakrsno spregnutim upravljanjima, sprovodi se na način kako je
to izloženo u prethodnom poglavlju. Ukoliko modeli referentnih
ulaza i poremećaja ne odgovaraju modelima (3) i (4), praćenje,
umesto perfektnog, postaje asimptotsko. U radovima [2]-[7] je već
pokazano, kako je moguće odrediti parove koeficijenata ( , f kK K )
koji obezbeđuju stabilan rad spregnutog sistema. Naravno, u praksi
su najčešće servosistemi u kanalima upravljanja bliskih
karakteristika. U tom slučaju, dejstva zajedničkog regulatora
pozicije i unakrsnog upravljanja nisu raspregnuta, već slabo
spregnuta. Pri tome, regulator pozicije dominantno utiče na jedan,
a kanali unakrsnog upravljanja na drugi deo spektra polova sistema
sa zatvorenom povratnom spregom. 5. ILUSTRATIVNI PRIMER SISTEMA
PRAĆENJA Za ilustaraciju procedure nezavisnog podešavanja
parametara upravljanja predložene strukture, poslužiće primer dvaju
spregnutih servomehanizama potpuno različitih karakteristika iz
radova [3]-[4]. Pretpostavlja se da su u oba pogona vremenske
konstante uspostavljanja elektromagnetnih momenata znatno manje od
vremenskih konstanti uspostavljanja brzina obrtanja, koje su date
sa
1 0.2 smT = i 2 0.4 smT = . Faktori pojačanja su redom
1 4mK = i 2 5mK = , dok se funkcije prenosa pretvarača
elektromagnetnih momenata aproksimiraju samo statičkim pojačanjima
1 1prK = i 2 1.6prK = . Za periodu odabiranja usvaja se T=0.1 s.
Referentni ulazni signali definisani su parametarskim jednačinama
konture, čije praćenje treba obezbediti. U slučaju kružne konture,
primenjeni referentni signali bi bili:
ref1 r( ) sin( )t A tθ = ω i ref2 r( ) cos( )t A tθ = ω . Neka
je 1A = i
r r2 fω = π , r 0.1Hzf = . Željeni kontinualni odziv sistema i
vreme smirenja od
5 ssT = , zadaje se lokacijom polova zatvorenog sistema na
osnovu odskočnog odziva poznatog prototipa, kakav je recimo
Besselov filtar [11]. Budući da je, u slučaju ovog primera, model,
na osnovu kojeg se vrši projektovanje regulatora po proceduri datoj
u Tabeli 1, četvrtog reda, lokacije korena u z-ravni
karakteristične jednačine date su sa:
1,2 0.9172 j0.1017z = ± i 3,4 0.8948 j0.0296z = ± . Za ovako
specificirani kvalitet ponašanja zatvorenog sistema nalazi se za
vektor pojačanja regulatora [ ]
1 2
0.359004 0.0330308 0.025072 0.0250629= −L L
L14444244443 14444244443
.(14)
217
-
0 5 10 15-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
t, s
θ ref1
θ ref2
θ 2
θ 1
(a) -1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1θ
1 θ
2
(b)
0 20 40 60 80 100-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
θ ref1
θ 1
t, s
(c) 0 20 40 60 80 100
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
θref2
θ 2
t, s
(d)
0 20 40 60 80 100-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
θ ref1
θ 1
t, s
(e) 0 20 40 60 80 100
-2
-1
0
1
2
3
4
θ ref2
θ 2
t, s
(f)
Sl. 5. Rezultati simulacije
Odzivi dobijeni simulacijom raspregnutog sistema, čiji je rad
nestabilan, prikazani su na Sl. 5(a). Podsetimo, da su pojačanja
digitalnog regulatora data sa (14) podešena na osnovu
karakteristika samo prvog objekta. Nakon unakrsnog sprezanja
upravljačkih signala, gde su za parametre sprege odabrane vrednosti
0.4kK = i 0.04fK = , spregnuti sistem postaje sistem uspešnog
praćenja kružne trajektorije, kako je to ilustrovano na Sl. 5(b).
Slike 5(c) i 5(d) takođe pokazuju da je unakrsnim sprezanjem
popostignut željeni efekat i zahtevani kvalitet odziva ugaonih
pozicija pogona. U cilju analize ponašanja razmatranog sistema pod
dejstvom spoljnih poremećaja, na sistem je u trenutku 50st = ,
pored referentnih signala, doveden spoljni poremećaj u vidu
prostoperiodičnog poremećaja opterećenja L2 r( ) 2sin( ).T t t= ω
Na slikama 5(e) i 5(f) prikazani su odzivi sa primetnim promenama u
trenutku dejstva poremećaja.
6. ZAKLJUČAK
Rezultati strukturne sinteze, analitičkog projektovanja i
simulacije, izloženi u ovom radu, pokazali su efikasnost strukture
pozicionih servopogona sa unakrsno spregnutim upravljanjem i u
uslovima praćenja nelinearne trajektorije. Svojstvo raspregnutog
ili slabo spregnutog dejstva pojedinih delova upravljačkog mehnizma
omogućilo je da se formira relativno jednostavna procedura
podešavanja parametara upravljanja, koja se može primenjivati u
slučajevima sličnih ili posve različitih servopogona.
LITERATURA
[1] M.R. Stojić, S.N. Vukosavić, Đ.M. Stojić, "Projektovanje
digitalno upravljanih pogona spregnutih električnom osovinom",
Zbornik Simp. Energetska elektronika Ee'95, Novi Sad, 1995, str.
55-63, (rad po pozivu).
[2] M.R. Stojić, S.N. Vukosavić, M.B. Naumović, "Pozicioni
servopogoni sa unakrsnim upravljanjem, Deo I: Strukturna sinteza",
Zbornik Konf. ETRAN-a, Budva, 1996, Vol. I, str. 533-536.
[3] M.B. Naumović, M.R. Stojić, "Pozicioni servopogoni sa
unakrsnim upravljanjem, Deo II: Podešavanje parametara", Zbornik
Konf. ETRAN-a, Budva, 1996, Vol. I, str. 537-540.
[4] M.B. Naumović, M.R. Stojić, “Pozicioni servopogoni sa
unakrsnim upravljanjem, Deo III: Multivarijabilni prilaz u analizi
i sintezi sistema”, Zbornik Konf. ETRAN-a, Zlatibor, 1997, Vol. I,
str. 401-404
[5] M.R. Stojić, M.B. Naumović, S. N. Vukosavić: Cross-coupled
speed-controlled drives with Tesla's induction motor, 5th
International Conference TESLA. III MILLENNIUM, Beograd, 1996, pp.
II.51-II.64 (Invited paper).
[6] M.B. Naumović, M.R. Stojić, “Design of the Observer-Based
Cross-Coupled Positioning Servo- drives”, in Proc. IEEE
International Symposium on Industrial Electronics (ISIE'97),
Guimarães, 1997, pp. 643-648.
[7] M.B. Naumović, “Cross-Coupled Motion Controller for Two
Cooperating Robot Arms”, in Proc. IEEE International Symposium on
Industrial Electronics (ISIE'99), Bled, Slovenia, 1999, vol. 2, pp.
909-913.
[8] Z. Kalinić, “Sinteza digitalnog upravljanja koordinisanim
kretanjem kod višeosnih proizvodnih sistema i mobilnih robota”,
Magistarska teza, Mašinski fakultet Kragujevac, 2004.
[9] M.B. Naumović, M.R. Stojić, “Two Distant Positioning
Servodrives with Cross-Coupling Control”, Transactions on Automatic
Control and Computer Science-Special Issue dedicated to 6th
International Conference on Technical Informatics, CONTI2004,
Timisoara, May 27-28, 2004, vol.49(63) (to be presented)
[10] E. J. Davison and A. Goldenberg, “Robust control of a
general servomechanism problem:The servocompensator”
Automatica, 11, pp. 461-471,1975. [11] M.B. Naumović, Z ili
delta transformacija?,
Publikacije Elektronskog fakulteta u Nišu, Edicija: Monografije,
2002.
Abstract - In [1]-[9] the novel structure of two distant
speed-controlled or positioning servodrives with cross-coupling
control has been proposed. The structure enables synchronous motion
of the servomechanisms. The suggested cross-coupling control is
based upon the idea of simulation of effects that appear in a
virtual mechanical link between the shafts of servomechanisms. In
this paper, a novel approach to design a cross-coupled nonlinear
contour tracking regulator is proposed. Results of analytical
design are verified by simulation runs of a circular contour
tracking example.
TRACKING IN DIGITAL SYSTEMS WITH CROSS-COUPLING CONTROL
Milica B. Naumović
218