OBJETIVOS:El alumno determinara la incertidumbre en el resultado
de una medicin indirecta empleando la propagacin de las
incertidumbres.
INTRODUCCION TEORICA:El fsico alemn Werner K. Heisenberg es
conocido sobre todo por formular el principio de incertidumbre, una
contribucin fundamental al desarrollo de la teora cuntica. Este
principio afirma que es imposible medir simultneamente de forma
precisa la posicin y el momento lineal de una partcula. El
principio de incertidumbre ejerci una profunda influencia en la
fsica y en la filosofa del siglo XX.
Tipos de Mediciones a) Mediciones directasSe dice que una
medicin es directa cuando se obtiene el valor de una magnitud de
inters directamente de la lectura de un instrumento, sin necesidad
de involucrar ninguna operacin matemtica. Por ejemplo si queremos
medir la longitud de una mesa y utilizamos para ello un flexmetro.
En este caso la incertidumbre asociada a dicha medicin depende
solamente del tipo y de la resolucin del instrumento, segn las
reglas explicadas anteriormente.
b) Mediciones indirectasSe dice que una medicin es indirecta
cuando no es posible obtener el valor de la magnitud de inters
directamente de la lectura de un instrumento, y es necesario hacer
clculos matemticos para obtenerlo. Por ejemplo si queremos conocer
el rea de una superficie cuadrada, tendremos que medir la longitud
del lado con un instrumento adecuado, digamos que un flexmetro,
pero luego tendremos que elevar el resultado de esa medicin al
cuadrado para obtener el rea. En este caso la medicin del rea es
indirecta. Para obtener las incertidumbres asociadas con mediciones
indirectas es necesario realizar un procedimiento matemtico
conocido como propagacin de incertidumbres. En ocasiones una
dimensin mide directa o indirectamente, aunque en otras solo puede
medirse de manera indirecta, puesto que nos se cuenta con los
instrumentos necesarios para hacerlo directamente o porque al
hacerlo se obtienen errores mayores a los deseados Debe reportarse
un error al resultado de la operacin matemtica, de lo contrario
estaremos suponiendo que las mediciones derivadas de operaciones
matemticas son exactas, lo cual no es posible. Puesto que es mejor
ser pesimistas en la estimacin de errores, se debe de adoptar el
criterio de considerar que la incertidumbre del resultado es igual
a la suma de las incertidumbres de todas las dimensiones medidas
directamente. En principio, la estimacin de errores debe ser la
misma sin importar si se trata de suma, resta, multiplicacin o
divisin. En todos los casos se deben sumar las incertidumbres. En
algunas ocasiones conviene sumar las incertidumbres relativas y en
otras las absolutas. Considerando que el error puede ser mayor
cuando se mide una sola vez, aplicamos un criterio menos pesimista
cuando todas o casi todas las dimensiones directas se miden varias
veces. En este caso las incertidumbres se pueden elevar al cuadrado
antes de sumarlas y obtener la raz cuadrada del resultado de la
suma. Con esto, el resultado es ligeramente menor. As, 20
podramos asumir como criterio general: la incertidumbre asociada
a una medicin indirecta debe ser igual a la suma de las
incertidumbres de todas las mediciones directas involucradas. El
resultado se interpreta de la siguiente manera: si se hubiera
medido directamente la dimensin, en vez de calcularla a partir de
otras mediciones, el error experimental estimado no rebasara el
valor combinado de las incertidumbres de las mediciones utilizadas
en la operacin matemtica. Clculo de incertidumbres y expresin de
los resultados de las prcticas. Ningn experimento en el que se mide
una cierta magnitud es absolutamente preciso, es decir, el
resultado de la medida no coincide exactamente con el valor real de
la magnitud. Si queremos utilizar el experimento para comprobar una
teora (o tambin para caracterizar un producto que va a ser
comercializado) es necesario estimar la desviacin del valor medido
con respecto al valor real. La teora de errores estudia cmo estimar
esta desviacin. En estas notas se explica qu es la incertidumbre de
una medida, cmo se calcula y cmo deben expresarse los resultados de
las medidas
1. Error e incertidumbreEn un procedimiento experimental que nos
proporciona el valor de una magnitud X, el resultado no coincide
exactamente con el valor real de dicha magnitud. La diferencia
entre el valor real y el valor medido se llama error de la
medida.
El error es siempre desconocido, pero puede estimarse una cota
superior para su valor. absoluto. Esta cota se denomina
incertidumbre de la medida y se denota por X. De la definicin de
error y de incertidumbre deducimos que el valor real de la medida
se encuentra en el intervalo:
A veces es til comparar el error de una medida con el valor de
la misma. Se define para ello la incertidumbre relativa de una
medida como el cociente:
Clculo de incertidumbresLa incertidumbre se calcula de forma
diferente dependiendo de si el valor de la magnitud se observa
directamente en un instrumento de medida (medida directa) o si se
obtiene manipulando matemticamente una o varias medidas directas
(medida indirecta).
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Clculo de la incertidumbre en medidas directasLa forma de
calcular la incertidumbre absoluta X depende del nmero n de medidas
efectuadas:
Una sola medida (n=1)En este caso tomaremos la incertidumbre
debida a la precisin del instrumento de medida. Normalmente se toma
igual a la divisin mnima de su escala y la denotamos por p. X = p
Hay casos en donde el procedimiento de medida aumenta la
incertidumbre p y sta no puede tomarse igual a la graduacin de la
escala. Por ejemplo, si se utiliza un cronmetro capaz de medir
centsimas de segundo pero es el experimentador quien tiene que
accionarlo, la precisin p de la medida ser el tiempo de reaccin del
experimentador, que es del orden de dos dcimas de segundo.
Ms de una medida (n2)
Veamos ahora cmo se puede estimar la incertidumbre debida a
factores ambientales aleatorios. Para esta estimacin es necesario
repetir la medida varias veces en las mismas condiciones. En cada
una de estas repeticiones de la medida los factores aleatorios
afectan de forma diferente, lo que permite obtener informacin
acerca de su magnitud. Si repetimos n veces la medida de una
magnitud X y denotamos por X1,X2,X3,...,Xn los resultados de las n
medidas, entonces el mejor valor es la media aritmtica, es
decir:
Tomaremos como incertidumbre absoluta X la mayor entre la
incertidumbre debida a la precisin del aparato p y la debida a
factores aleatorios, que depender del nmero de medidas:
Donde Dm es la desviacin mxima y viene definida como:
y m es la desviacin tpica de la media (o error cuadrtico de la
media) y viene dada por la expresin:
Por tanto m es una medida del grado de dispersin de la
distribucin de los valores alrededor de la media. Cuando m es
grande, los valores individuales estn muy dispersos.
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Finalmente, la medida directa debe expresarse en la forma (con
los redondeos que se explican en la seccin siguiente):
Clculo de la incertidumbre de una medida indirectaSupongamos que
se desea medir la magnitud R=f(X,Y,Z), que es funcin de otras
magnitudes X,Y,Z, que se han medido directamente, junto con sus
incertidumbres directas, obtenindose los valores:
La incertidumbre de la magnitud R viene dada por:
Incertidumbre absoluta:En general se representa con una letra
delta mayscula () inmediatamente antes del smbolo que represente a
la variable de inters. No es ms que el valor absoluto de la
diferencia entre el valor real y el valor medido. Sin embargo como
el valor real es por definicin desconocido, se utilizan las reglas
prcticas explicadas anteriormente para asociar una incertidumbre a
cada medicin. La incertidumbre absoluta tiene las mismas unidades
que la variable a la que est asociada y no depende de la magnitud
de esta sino solamente de la resolucin del instrumento utilizado.
As por ejemplo si utilizamos un flexmetro (instrumento continuo, de
resolucin=1mm) para medir tanto la longitud de un lpiz como la
altura de una puerta, las incertidumbres absolutas de ambas
mediciones sern idnticas. Por ejemplo: Largo del lpiz: l lC l =
(8.000.05) cm Alto de la puerta: a aC a = (210.400.05) cm
Incertidumbre relativa:Representa que proporcin del valor
reportado es dudosa. En estas notas utilizaremos el smbolo R
inmediatamente antes del smbolo que represente a la variable de
inters para representar la incertidumbre relativa. Para ilustrar ms
claramente este concepto utilizaremos de nuevo los ejemplos del
largo del lpiz y el alto de la puerta.
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MATERIAL REQUERIDO: 1 Probeta. 1 calibrador vernier. 1 regla de
30 cm. 1 cilindro de aluminio. 1 hoja de papel milimtrico. 1
flexmetro. 1 regla de madera de 1m 1 transportador. 1 disco de
madera.
DESARROLLO EXPERIMENTAL:
1. INCERTIDUMBRE ABSOLUTA Y PRECISION. Actividades: 1. Medimos
el ancho y largo de la mesa del laboratorio con el flexmetro y una
regla de madera despus registramos los datos en una tabla. 2.
Calculamos la incertidumbre absoluta para cada una de las medidas y
calculamos la precisin. Instrumento Longitud de la mesa Largo 240
242 Ancho 100 99 Rango mnimo (cm) 0.1 1 el largo de la mesa
Flexmetro Regla de madera Tabla 1
0.05 0.5
Incertidumbre Flexmetro Regla de madera
()tomando como
Tabla 2 Incertidumbre Flexmetro Regla de madera ()tomando como
el ancho de la mesa
Calculo de precisin de la tabla 1 ( ) ( ) ( )
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Calculo de precisin de la tabla 2 ( ) ( ) ( ) Deduccin: Estos
datos nos revelan que al efectuar o realizar una medicin con
diferentes instrumentos de medicin obtenemos una mejor o peor
precisin y comparando los datos obtenidos nos indica que si (1%