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Ing. Ferly Urday Luna
Prctica N 3: Intervalos de confianza
Intervalos de confianza
O B J E T I V O S
Conocer el significado de los intervalos de confianza. Calcular
el intervalo de confianza para la media. Calcular el intervalo de
confianza para la diferencia de medias. Calcular el intervalo de
confianza para la varianza y para el cociente de dos
varianzas. Calcular el intervalo de confianza para proporciones.
Calcular el tamao de muestra.
T E M A S A T R A T A R
Intervalos de confianza. Muestreo. Tratamiento de los intervalos
de confianza en una hoja de clculo.
D U R A C I N D E L A P R C T I C A
Dos sesiones (4 horas). M A R C O T E R I C O
1. Intervalos de confianza Un intervalo de confianza especifica
el rango dentro del cual debera estar contenido el parmetro
desconocido. Una estimacin por intervalo1, es la estimacin de un
parmetro dentro de un intervalo de extremos cerrados [a, b],donde
los nmeros a y b se obtienen a partir de la distribucin de la
estadstica que estima puntualmente el parmetro; y a partir de los
valores de la muestra. Simblicamente se tendra: La interpretacin
del intervalo de confianza es como sigue: Si a partir de los datos
de una muestra aleatoria de tamao n, hemos construido el intervalo
a b con grado de confianza, por ejemplo, del 95% para el parmetro ,
entonces, si se seleccionan repetidamente 100 muestras de tamao n,
tendremos 100 intervalos semejantes al
1 Propuesto por J. Neyman en 1937.
0.4
0.5333 0.2667
0.2
/ 2 / 2 3
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Ing. Ferly Urday Luna
intervalo [a,b], y se confa que 95 de estos 100 intervalos
semejantes contenga el parmetro .
2. Intervalo de confianza para la media
2.1. Estimacin para la media con varianza poblacional
conocida
2.2. Estimacin para la media con varianza poblacional
desconocida a) Muestras de tamao inferior o igual a 30 (n < 30)
Se debe cumplir que los datos
provienen de una poblacin normal.
b) Muestras de tamao superior a 30 (n 30)
2.3. Intervalo de confianza para la varianza de una poblacin
normal
2.4. Intervalo de confianza para la razn de dos varianzas
poblacionales normales
nzx 2/
= 1NnN
nzx 2/
=
Cuando n 5% de N
1( ;( n ))S
x tn
=
n
Szx 2/=
22/1
2
22/
2 S)1n(,
S)1n(I
=
)1n,1n(FSS
,)1n,1n(F1
SSI 212/2
1
22
122/21
22
=
1 - /2 /2
/2 ++++/2 0
a b I n t e r v a l o d e
X
-
Ing. Ferly Urday Luna
2.5. Intervalo de confianza para la diferencia entre dos
medias
a) Cuando las varianzas son conocidas
b) Cuando las varianzas son desconocidas
Caso I: (n1 + n2 < 30) y varianzas poblacionales desconocidas
pero iguales.
Caso II: (n1 + n2 < 30) y varianzas poblacionales
desconocidas y distintas.
Caso III: (n1 + n2 30) y varianzas poblacionales
desconocidas.
2.6. Intervalo de confianza para una proporcin
2.7. Intervalo de confianza para la diferencia entre dos
proporciones poblacionales.
2.8. Tamao de muestra
2
22
1
21
2/21nn
Z)XX(I +=
+=
21
2p2/21
n
1n
1ST)XX(I2nn
S)1n(S)1n(S21
222
2112
p+
+=
2
22
1
21
2/21nn
)g(T)XX(I += 2
1nn
S
1nn
S
n
Sn
S
g
2
2
2
22
1
2
1
21
2
2
22
1
21
+
++
+
=
2
22
1
21
2/21n
Sn
SZ)XX(I +=
n
qpzpp 2/= 1N
nNn
qpzpp 2/
=
2
22
1
112/21
n
qpn
qpz)pp(I +=
2z s
nE
=
2
1 zn p( p )E
=
2 2
2 2 2 1z N
nz e ( N )
=
+
-
Ing. Ferly Urday Luna
3. Ejemplos de aplicacin. Ejemplo Nro 1 Un productor de organo
embasado, distribuye sus productos en bolsas de 50g. El dueo de un
supermercado desea verificar si los contenidos de las bolsas de
organo es el mismo del que se menciona en la etiqueta, para ello ha
seleccionado una muestra de 32 bolsas. Encontrar el intervalo de
confianza para la media.
Elemento Peso Elemento Peso
1 52 17 50 2 50 18 49
3 51 19 48
4 50 20 50
5 49 21 49
6 47 22 51
7 45 23 50
8 50 24 51
9 49 25 49
10 48 26 48
11 48 27 49
12 50 28 54
13 49 29 49
14 48 30 52
15 49 31 50
16 50 32 50
Procedimiento 1. Se colocan los datos en excel y se calcula la
media y la desviacin estndar de la
muestra.
49.5 =PROMEDIO(B2:B33)
s = 1.626 =DESVEST(B2:B33)
2. Luego se busca el valor de z en tablas o en excel.
X =
95% 2.5%
1.96 0 2.5%
-1.96
-
Ing. Ferly Urday Luna
3. Se halla el intervalo de confianza.
Como conclusin se puede observar que 50g pertenece al intervalo
encontrado.
Otra forma de calcular el intervalo de confianza es utilizar
funciones de excel.
Ejemplo Nro 2
Se toma una muestra del proceso productivo del llenado de
gaseosas personales de la marca Super Kola para su tamao mediano de
400 ml. Calcular el intervalo de confianza para la media.
Se colocan los datos en excel:
[ ]
1.62649.5 1.9632
49.5 0.5648.94 , 50.06I
=
= =
-
Ing. Ferly Urday Luna
Luego se calcula el intervalo de confianza.
Pero en excel se tiene un segundo procedimiento cuando se trata
de la distribucin t de student.
Se carga el complemento
Se activan las siguientes opciones:
Esta opcin es la que nos calcular la amplitud del intervalo de
confianza.
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Ing. Ferly Urday Luna
Luego el resultado es:
Volumen
Media 396.75
Error tpico 1.30340463
Mediana 397
Moda 399
Desviacin estndar 4.51512609
Varianza de la muestra 20.3863636
Curtosis -0.30241869
Coeficiente de asimetra 0.07510985
Rango 15
Mnimo 390
Mximo 405
Suma 4761
Cuenta 12
Nivel de confianza(95.0%) 2.86877425
Se suma y resta el valor de nivel de confianza (Amplitud del
intervalo) al valor de la media.
I = [393.88 , 399.62]
Ejemplo Nro 3 Resolver el ejercicio 2 en SPSS. Solucin Se
introducen los datos en SPSS.
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Ing. Ferly Urday Luna
Luego se activa el comando:
Se seleccionan las opciones siguientes:
Luego de presionar aceptar, el resultado es:
Descriptivos
Estadstico Error tp. Volumen Media 396.7500 1.30340
Intervalo de confianza para la media al 95%
Lmite inferior 393.8812
Lmite superior 399.6188
Media recortada al 5% 396.6667 Mediana 397.0000 Varianza 20.386
Desv. tp. 4.51513 Mnimo 390.00 Mximo 405.00 Rango 15.00 Amplitud
intercuartil 5.50 Asimetra
.075 .637 Curtosis
-.302 1.232
Nota: SPSS utiliza la distribucin t-student para calcular el
intervalo de confianza.
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Ing. Ferly Urday Luna
A C T I V I D A D E S D E L A P R C T I C A
1. Se estima que una poblacin tiene una desviacin estndar de 10.
Ha de evaluarse la media de la poblacin dentro de 2, con un nivel
de confianza de 95%. Qu tamao se requiere para la muestra?
2. Se quiere estimar la media poblacional dentro de 5, con un
nivel de confianza de 99%. La desviacin estndar de la poblacin se
determina que es 15. Qu tamao debe tener la muestra?
3. El valor de la proporcin de poblacin ha de estar entre 0.05,
con un nivel de confianza de 95%. El mejor clculo de la proporcin
de la poblacin es 0.15. Qu tamao se requiere para la muestra?
4. La estimacin de la proporcin poblacional se encuentra entre t
t).10, son un nivel de confianza de 99%. El mejor clculo de la
proporcin de poblacin es 0.45. Qu tamao necesita tener la
muestra?
5. Se planea una encuesta para determinar el tiempo promedio que
los ejecutivos de una corporacin ven la televisin. Un estudio
piloto Indic que el tiempo medio por semana es de 12 horas, con una
desviacin estndar de 3 horas. Se desea estimar el tiempo medio
dentro de un cuarto de hora, utilizando el grado de confianza de
0.95. Cuntos ejecutivos deben incluirse en el estudio?
6. Supngase que el presidente de un pas desea un estimado de la
proporcin poblacional que apoya su poltica actual con respecto a
una nacin pequea como Haiti.Tal funcionario desea que el clculo se
encuentre dentro de 0.04 de la proporcin verdadera. Suponga un
nivel de confianza de 95%. El secretario de Estado del gobierno
estim la proporcin del apoyo a la poltica actual en 0.60. a) Qu
tamao se requiere para la muestra? b) De qu tamao tendra que ser la
muestra si el clculo del secretario de Estado no estuviera
disponible?
7. Una muestra aleatoria de 85 dirigentes de grupo, supervisores
y personal similar en una empresa revel que, en promedio, una
persona permanece 6.5 aos en el puesto antes de que se le promueva.
La desviacin estndar de la muestra fue 1.7 aos. Elabore un
intervalo de confianza de 95%.
8. Se encuentra que la concentracin promedio de zinc que se saca
del agua a partir de una muestra de mediciones de zinc en 25 sitios
diferentes es de 2.6 gramos por mililitro. Encuentre los intervalos
de confianza de 95% y 99% para la concentracin media de zinc en el
ro. Suponga que la desviacin estndar de la poblacin es 0.3.
9. Se quiere conocer la estancia media de turistas
internacionales en el hotel Libertador con el fin de estudiar una
ampliacin del mismo. Se tiene datos referidos a la estancia
expresados en das de 600 turistas, obtenindose un promedio de 12,3
das con una desviacin estndar de 8 das. Hallar el intervalo de
confianza al 95% para la estancia media.
10. Un fabricante de reproductores de discos compactos utiliza
un conjunto de pruebas amplias para evaluar la funcin elctrica de
su producto. Todos los reproductores de discos compactos deben
pasar todas las pruebas antes de venderse. Una muestra aleatoria de
500 reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o
ms
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Ing. Ferly Urday Luna
pruebas. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la
proporcin de los reproductores de discos compactos de la poblacin
que no pasan todas las pruebas.
11. De una poblacin de 3000 empleados de una empresa industrial
se seleccion una m.a. de 300 para que participen en una encuesta.
Entre los comprendidos de la muestra. 240 manifestaron que estaban
satisfechos por completo con todas las condiciones laborales de la
empresa. Construir el intervalo de confianza del 95% para la
proporcin real que opinan de esta manera.
12. Una m.a. de 400 domicilios mostr que el 25% de ellos son
casas de alquiler. Hallar un intervalo de confianza del 98% para la
proporcin P.
13. Una determinada comunidad esta compuesta de 1,200 unidades
habitacionales. De una muestra elegida a la zar de 200 unidades
result que 50 necesitaban reparaciones urgentes. Construir el
intervalo de confianza de 90 % para la proporcin real de las
unidades que necesitan reparacin.
14. Despus de recolectar una muestra de 250 elementos de una
poblacin con una desviacin estndar conocida de 13.7, se encuentra
que la media es 112.4. a) Encuentre un intervalo de confianza del
95% para la media. b) Encuentre un intervalo de confianza del 99%
para la media.
15. La enfermera de la secundaria de Westview est interesada en
conocer la estatura promedio de los estudiantes del ltimo ao, pero
no tiene suficiente tiempo para examinar los registros de los 430
estudiantes. Por ello, selecciona 48 al azar y encuentra que la
media de la muestra es 64.5 pulgadas y la desviaciones estndar es
2.3 pulgadas. a) Encuentre la estimacin del error estndar de la
media. b) Construya un intervalo de confianza del 90% para la
media.
16. La Autoridad para la Televisin por Cable de Nebraska (ATCN)
realiz una prueba para determinar el tiempo que las personas pasan
frente al televisor por semana. La ATCN encuest a 84 suscriptores y
encontr que el nmero promedio de horas que ven televisin por semana
es 11.6 horas con una desviacin estndar de 1.8 horas. a) Cul es la
desviacin estndar de la poblacin estimada para esta poblacin?
(Existen cerca de 95,000 personas con televisin por cable en
Nebraska.) b) Calcule el error estndar estimado de la media. c)
Construya un intervalo de confianza del 98% para la media de la
poblacin.
17. Joel Friedlanderes un corredor de la Bolsa de Valores de
Nueva York y tiene curiosidad acerca del tiempo que transcurre
entre la colocacin de una orden de venta y su ejecucin. Joel hizo
un muestreo de 45 rdenes y encontr que el tiempo medio para la
ejecucin fue 24.3 minutos, con una desviacin estndar de 3.2
minutos. Ayude a Joel con la construccin de un intervalo de
confianza del 95% para el tiempo medio para la ejecucin de una
orden.
18. La jefa de polica, Kathy Ackert , recientemente estableci
medidas enrgicas para combatir a los traficantes de droga de su
ciudad. Desde que se pusieron en funciona miento dichas medidas,
han sido capturados 750 de los 12,368 traficantes de droga de la
ciudad. El valor promedio, en dlares, de las drogas decomisadas a
estos 750 traficantes es $250,000. La desviacin estndar del valor
de la droga de esos 750 traficantes es $41,000. Elabore para la
jefa Ackert un intervalo de confianza del 90% para el valor medio
en dlares de las drogas que estn en manos de los traficantes de la
ciudad.
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Ing. Ferly Urday Luna
19. Pascal Inc., una tienda de computacin que compra al mayoreo
chips sin probar para computadora, est considerando cambiar a su
proveedor por otro que se los ofrece probados y con garanta, a un
precio ms alto. Con el fin de determinar si ste es un plan
costeable, Pascal debe determinar la proporcin de chips defectuosos
que le entrega el proveedor actual. Se prob una muestra de 200
chips y 5% tena defectos. a) Estime el error estndar de la
proporcin de chips defectuosos. b) Construya un intervalo de
confianza del 98% para la proporcin de chips
defectuosos adquiridos.
20. General Cinema obtuvo una muestra de 55 personas que vieron
Caza Fantasmas 8 y les preguntaron si planeaban veda de nuevo. Slo
10 de ellos pensaron que vala la pena ver la pelcula por segunda
vez. a) Estime el error estndar de la proporcin de asistentes al
cine que vern la pelcula
por segunda vez. b) Construya un intervalo de confianza del 90%
para esta proporcin
21. La encargada de publicidad para el nuevo postre garapiado de
lima-limn de los productos Clear'n Light est intranquila por el mal
desempeo del postre en el mercado y por su futuro en la empresa.
Preocupada porque su estrategia de comercializacin no ha producido
una identificacin apropiada de las caractersticas del producto, tom
una muestra de 1,500 consumidores y encontr que 956 de stos
pensaban que el producto era una cera para pulir pisos. a) Estime
el error estndar de la proporcin de personas que tuvo esta
grave
interpretacin errnea del postre. b) Construya un intervalo de
confianza del 96% para la proporcin verdadera de la
poblacin.
22. Hace poco Snack More encuest a 95 consumidores y encontr que
el 80% compraba galletas sin grasa de Snack More cada mes. a)
Estime el error estndar de la proporcin. b) Construya un intervalo
del 95% de confianza para la proporcin verdadera de
personas que compran las galletas cada mes.
23. El dueo de la empresa Home Loan Company investig
aleatoriamente 150 de las 3,000 cuentas de la compaa y determin que
el 60% estaba en una posicin excelente. a) Encuentre un intervalo
de confianza del 95% para la proporcin de cuentas que
estn exposicin excelente. b) Con base en el inciso anterior, qu
tipo de estimacin de intervalo podra dar para
el nmero absoluto de cuentas que cumplen con el requisito de
excelencia, manteniendo el mismo nivel de confianza del 95%?
24. Durante un ao y medio las ventas han estado disminuyendo de
manera consistente en las 1,500 sucursales de una cadena de comida
rpida. Una empresa de asesores ha determinado que el 31% de una
muestra de 95 sucursales tiene claros signos de una mala
administracin. Construya un intervalo de confianza del 98% para
esta proporcin.
25. Barry Tumbull, el famoso analista de WallStreet, est
interesado en conocer la proporcin de accionistas individuales que
planean vender al menos un cuarto del total de sus valores el mes
prximo. Barry ha efectuado una inspeccin aleatoria de 800
individuos que poseen acciones y ha establecido que el 25% de su
muestra planea vender al menos la cuarta parte de sus acciones el
mes siguiente. Barry est a punto de publicar su esperado informe
mensual, "Pulso de Wall Street: indicador de cotizaciones", y le
gustara poder dar un intervalo de confianza a sus lectores. Est ms
preocupado por estar en lo correcto que por el ancho del intervalo.
Construya un
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Ing. Ferly Urday Luna
intervalo de confianza del 90% para la proporcin verdadera de
accionistas individuales que planean vender al menos un cuarto de
sus acciones durante el siguiente mes.
26. Una muestra de 12 elementos tiene una media de 62 y una
desviacin estndar de 10. Construya un intervalo de confianza del
95% para la media de la poblacin.
27. Se obtuvo una muestra aleatoria de 12 cajeros de banco y se
determin que cometan un promedio de 3.6 errores por da con una
desviacin estndar muestral de 0.42 errores, Construya un intervalo
del 90% de confianza para la media de la poblacin de errores por
da. Qu suposicin est implcita acerca del nmero de errores que
cometen los cajeros?
28. Physicians Care Group opera varias clnicas que atienden sin
cita. Los expedientes de los pacientes indican la hora en que llega
a la clnica y la hora en que un mdico atiende a ese paciente. El
administrador Val Likmer acaba de recibir una desagradable llamada
telefnica de un paciente que se quej de una espera excesiva en la
clnica de Rockridge. Val saca 49 expedientes al azar de la semana
pasada y calcula un tiempo de espera promedio de 15.2 minutos. Un
estudio anterior de gran escala del tiempo de espera en varias
clnicas obtuvo una desviacin estndar de 2.5 minutos. Elabore un
intervalo de confianza para el tiempo de espera promedio con nivel
de confianza del a) 90%. b) 99%.
29. Construya un intervalo de confianza para la media y la
varianza de la siguiente muestra que se tomo de una poblacin
normal.
75.3 76.4 83.2 91.0 80.1 77.5 84.8 81.0
30. Extrada una muestra de 30 piezas, dio los siguientes
pesos:
250 265 267 269 271 275 277 281 283 284.
287 289 291 293 293 298 301 303 306 307.
307 309 311 315 319 322 324 328 335 339.
Por medio de la construccin de intervalo de confianza, responder
si sta muestra satisface la especificacin por la cual el peso medio
debe ser 300kgr, Use =5%. Calcular l intervalo de confianza para la
varianza.
31. Gotchya es un centro de entretenimiento con instrumentos
lser donde adultos y adolescentes rentan equipo y se enfrentan en
un combate simulado. La instalacin se usa a toda su capacidad los
fines de semana. Los tres dueos quieren evaluar la efectividad de
una nueva campaa de publicidad dirigida a aumentar su utilizacin
entre semana. El nmero de clientes en 27 noches aleatorias entre
semana est dado en la siguiente tabla. Encuentre un intervalo de
confianza del 95% para el nmero medio de clientes en una noche
entre semana.
61 57 53 60 64 57 54 58 63 59 50 60 60 57 58 62 63 60 61 54 50
54 61 51 53 62 57
Halle tambin un intervalo de confianza para la varianza y la
desviacin estndar.
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Ing. Ferly Urday Luna
32. Los contenidos de una muestra aleatoria de 5 latas de caf
instantaneo de un productor han dado los siguientes pesos netos en
gramos:
280 290 285 275 284
a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de
los contenidos de todas las latas de caf del productor.
b) Con que grado de confianza se estima que el contenido
promedio de caf tenga los limites de confianza 277.432 y
288.168
33. El encargado de compras de una cadena de restaurantes tiene
que escoger entre dos variedades de arroz A y B. Selecciona dos
muestras aleatorias independientes de 10 bolsas de arroz de un kilo
de cada tipo y encuentra los siguientes porcentajes de granos
quebrados por cada kilo:
A 6 5 6 7 4 7 6 4 3 6 B 7 6 7 9 5 8 7 6 10 8
Estimar mediante un intervalo de confianza del 95% la diferencia
promedio de porcentajes de granos quebrados por kilos de arroz de
las dos variedades. Se puede aceptar que no hay diferencias
significativas entre las dos medias poblacionales?. Suponga que los
porcentajes de granos quebrados por kilo en cada variedad se
distribuyen normalmente con la misma varianza.
34. Se lleva a cabo un estudio para comparar el tiempo que
tardan hombres y mujeres para realizar determinada tarea. Las
experiencias anteriores indican que la distribucin de tiempos tanto
para hombres como para mujeres es normal con varianzas diferentes.
Una muestra aleatoria de 9 hombres y 8 mujeres han dado los
siguientes tiempos en minutos:
Hombres 12 28 10 25 24 19 22 33 17 Mujeres 16 20 16 20 16 17 15
21
Mediante un intervalo de confianza del 95% para la verdadera
diferencia de los promedios de tiempos de hombres y mujeres, se
puede concluir que los hombres emplean mayor tiempo que las mujeres
para hacer la misma tarea?
35. Un fabricante afirma que su nuevo producto de consumo
popular prefieren ms los hombres que las mujeres. Para comprobar
tal afirmacin, se toma una muestra aleatoria de 250 hombres y 200
mujeres y se encuentra que 175 hombres y 120 mujeres prefieren el
nuevo producto. Utilizando un intervalo de confianza del 95% para
la verdadera diferencia de proporciones de preferencias entre los
hombres y las mujeres, Se puede concluir que el fabricante del
nuevo producto tiene la razn?
36. Se quiere estimar la diferencia entre los promedios de
tiempos en minutos que utilizan los hombres y las mujeres para
realizar un test de aptitud. Se aplica el test a 20 hombres y 25
mujeres dando las medias respectivas de 110 y 100 puntos. Suponga
que las dos poblaciones son normales con varianzas respectivas
iguales a 100 y 64.
a) Determine el intervalo de confianza del 98% para la
diferencia de las medias. b) Es valida la afirmacin 1 2 = 13
37. Un inversionista hace un estudio para elegir una de dos
ciudades del interior del pas para abrir un centro comercial.
Escoge 21 hogares de la ciudad 1, determinando una media de $400 y
una desviacin estndar de $120 y escoge 16 hogares de la ciudad 2
calculado la media en $350 y la desviacin en $60. Suponga
poblaciones normales con
-
Ing. Ferly Urday Luna
varianzas diferentes. Mediante un intervalo de confianza del
95%, Se puede afirmar que son iguales los ingresos promedios de las
dos ciudades?
E J E R C I C I O S
1. Un procesador de zanahorias corta la parte superior verde de
cada una, las lava luego y coloca seis por paquete. Se colocan
veinte paquetes en una caja para su envo. Se revisan algunas cajas
para determinar su peso. El peso promedio fue de 20.4 libras (lb),
y la desviacin estndar, de 0.5 lb. Cuntas cajas debe maestrear el
procesador para tener un 95% de seguridad de que la media muestra
no difiera de la media poblacional en ms de 0.2 Ib?
2. De 50,000 vlvulas fabricadas por una compaa, se retira una
muestra aleatoria de 400 vlvulas, y se obtiene una vida media de
800 horas y una desviacin estndar de 100 horas. Cul es el intervalo
de confianza de 95% para la media de la poblacin?
3. Una empresa elctrica fabrica focos que tienen una duracin
aproximadamente distribuida de forma normal con una desviacin
estndar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene una duracin
promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de confianza de 96%
para la media de la poblacin de todos los focos que produce esta
empresa.
4. La prueba de corte sesgado es el procedimiento ms aceptado
para evaluar la calidad de una unin entre un material de reparacin
y su sustrato de concreto. El artculo Testing the Bond Between
Repair Materials and Concrete Substrate informa que, en cierta
investigacin, se obtuvo una resistencia promedio muestral de 17.17
N/mm2, con una muestra de 12 observaciones de resistencia al corte,
y la desviacin estndar muestral fue 3.28 N/mm2. Utilice un nivel de
confianza inferior del 95% para estimar la media real de la
resistencia al corte.
5. En un estudio de 300 accidentes de automvil en una ciudad
especfica, 60 tuvieron consecuencias fatales. Con base en esta
muestra, construya un intervalo del 90% de confianza para aproximar
la proporcin de todos los accidentes automovilsticos que en esa
ciudad tienen consecuencias fatales.
6. Suponga que las alturas de los alumnos de la Facultad de
Ingeniera de sistemas tienen distribucin normal con =15 cm. Fue
retirada una muestra de 100 alumnos obtenindose una altura media de
175 cm. Construir el intervalo de confianza para la verdadera
altura media de los alumnos con 95% de confianza?
7. Una muestra de 300 habitantes de una ciudad mostr que 180
deseaban agua filtrada. Encontrar los lmites de confianza de 90 % y
95% para la proporcin de la poblacin favorable a la filtracin.
8. El gerente de la divisin de bombillas de la Cardinal Electric
debe estimar el nmero promedio de horas que durarn los focos
fabricados por cada una de las mquinas. Fue elegida una muestra de
40 focos de la mquina A y el tiempo promedio de funcionamiento fue
1,416 horas. Se sabe que la desviacin estndar de la duracin es 30
horas.
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Ing. Ferly Urday Luna
a) Calcule el error estndar de la media. b) Construya un
intervalo de confianza del 90% para la media de la poblacin.
9. Jon Jackobsen, un pasante de postgrado muy dedicado, acaba de
terminar una primera versin de su tesis de 700 pginas. Jon
mecanografi el trabajo por s mismo y est interesado en conocer el
nmero promedio de errores tipogrficos por pgina, pero no quiere
leer todo el documento. Como sabe algo acerca de estadstica para la
administracin, Jon ley 40 pginas seleccionadas de manera aleatoria
y encontr que el promedio de errores tipogrficos por pgina fue 4.3
y la desviacin estndar de la muestra fue 1.2 errores por pgina. a)
Calcule el error estndar estimado de la media. b) Calcule un
intervalo de confianza del 90% para el nmero promedio verdadero
de errores por pgina en su trabajo.
10. Oscar T. Grady es el gerente de produccin de la compaa
Citrus Groves, localizada justo al norte de Ocala, Florida. Oscar
est preocupado debido a que las heladas tardas de los ltimos tres
aos han estado daando los 2,500 naranjos que posee la Citrus
Groves. Con el fin de determinar el grado del dao ocasionado a los
rboles, Oscar ha recogido una muestra del nmero de naranjas
producidas por cada rbol para 42 naranjos y encontr que la
produccin promedio fue 525 naranjas por rbol, con una desviacin
estndar de 30 naranjas por rbol. a) Estime la desviacin estndar de
la poblacin a partir de la desviacin estndar
de la muestra. b) Estime el error estndar de la muestra de esta
poblacin finita. c) Construya un intervalo de confianza del 98%
para la produccin media por rbol
del total de 2,500 rboles. d) Si la produccin media de naranjas
por rbol fue 600 frutas hace cinco aos,
qu puede decir Oscar acerca de la posible existencia de daos en
el presente?
11. Michael Gordon, un jugador profesional de bsquetbol, lanz
200 tiros de castigo y encest 174 de ellos. a) Estime el error
estndar de la proporcin de todos los tiros que Michael falla. b)
Construya un intervalo de confianza del 98% para la proporcin de
todos los tiros
de castigo que Michael falla.
12. El consejo estudiantil de una universidad tom una muestra de
45 libros de texto de la librera universitaria y determin que de
ellos, 60% se venda en ms del 50% arriba de su costo al mayoreo. D
un intervalo de confianza del 96% para la proporcin de libros cuyo
precio sea ms del 50% mayor que el costo al mayoreo.
13. Se obtuvo una muestra aleatoria de siete amas de casa y se
determino que las distancias caminadas al realizar las tareas
domsticas dentro de la casa tenan un promedio de 39.2 millas por
semana y una desviacin estndar de la muestra de 3.2 millas por
semana. Construya un intervalo de confianza del 95% para la media
de la poblacin.
14. La senadora Hanna Rowe ha ordenado que se haga una
investigacin acerca del gran nmero de accidentes en bote que han
ocurrido en el estado durante los ltimos veranos. Siguiendo sus
instrucciones, su ayudante, Geoff Spencer, ha seleccionado al azar
9 meses de verano entre los ltimos aos y ha recabado da-tos acerca
de los accidentes en bote ocurridos en cada uno de esos meses. El
nmero medio de accidentes que se presentaron en los 9 meses fue 31,
Y la desviacin estndar de esta muestra fue 9 accidentes por mes. Se
pidi a Geoff que construyera un intervalo de confianza del 90% para
el nmero real de accidentes por mes, pero l mismo
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Ing. Ferly Urday Luna
sufri un accidente en bote recientemente, por lo que usted tendr
que terminar su trabajo.
15. Ellen Harris, una ingeniera industrial, estuvo acumulando
tiempos normales para varias tareas sobre un proceso de ensamble de
trabajo intensivo. Este proceso inclua 300 estaciones de trabajo
diferentes, cada una efectuando las mismas actividades de ensamble.
Muestre siete estaciones y obtuvo los siguientes tiempos de
ensamble, en minutos, para cada estacin: 1.9, 2.5, 2.9, 1.3, 2.6,
2.8 Y 3.0. a) Calcule el tiempo medio de ensamble y la desviacin
estndar correspondiente
para la muestra. b) Estime la desviacin estndar de la poblacin.
c) D un intervalo de confianza del 98% para el tiempo medio de
ensamble
16. Un agente de compras de una compaa esta tratando de decidir
si comparar la marca A o la marca B de cierto tipo de focos
ahorradores de energa. Para estimar la diferencia entre las dos
marcas se lleva a cabo un experimento con dos muestras aleatorias
independientes de 10 focos de cada marca, resultando las medias de
vida til respectivas de 1230 y 1190 horas. Estimar la verdadera
diferencia entre las dos medias de vida til, mediante un intervalo
de confianza del 95%.?Es acertada la decisin del agente si adquiere
cualquiera de las dos marcas?. Suponga que las dos poblaciones
tienen distribucin normal con desviacin estndar de 120 y 60 horas
para cada marca respectivamente.
17. Se ha escogido a 12 pares de vendedores sobre la base de la
similaridad de sus ventas. A cada uno de cada par se lo preparo en
una nueva tcnica de ventas(X) y al otro vendedor con un mtodo
tradicional (Y) (mismo que ha sido utilizado por la compaa durante
8 aos). Estos vendedores lograron en una semana las siguientes
cantidades de ventas:
Par de Vendedores 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Tcnica Nueva (Xi)
14 15 12 13 15 11 10 15 15 16 14 08 Tradicional (Yi) 12 16 12 11 12
09 07 13 14 15 12 10 Diferencias (di) 2 -1 0 2 3 2 3 2 1 1 2 -2 di2
4 1 0 4 9 4 9 4 1 1 4 4
Mediante un intervalo de confianza del 95%, determinar si los
dos mtodos son igualmente efectivos. Suponga una distribucin
normal.
18. Para comparar dos mtodos de la enseanza de las matemticas,
se aplican a 200 alumnos elegidos al azar, el mtodo tradicional y a
otra muestra de 250 alumnos el mtodo nuevo, resultando las
calificaciones promedio respectivas de 13 y 15. Suponga que las
varianzas poblacionales respectivas son 9 y 16. a) Determine un
intervalo de confianza del 95% para la diferencia de las medias. b)
Podemos afirmar que el mtodo nuevo es superior al mtodo
antiguo?.
19. Se quiere estimar la diferencia entre los promedios de
tiempos en minutos que utilizan dos operarios para realizar una
determinada tarea. Suponga que las poblaciones de los dos tiempos
se distribuyen normalmente con varianza comn. Estime la diferencia
entre los dos promedios poblacionales mediante un intervalo de
confianza del 95%, si el registro de 16 tiempos de cada operario
han dado:
1 21 238 6 35 4X , S , X , S= = = =
20. Para comparar los gastos promedios mensuales de los alumnos
de 2 universidades
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Ing. Ferly Urday Luna
particulares se escogen dos muestras aleatorias de 10 y 9
alumnos respectivamente, resultando los siguientes gastos en
dlares:
Muestra1 400 410 420 380 390 410 400 405 405 400 Muestra2 390
395 380 390 400 380 370 390 380
Mediante un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de
los promedios de los gastos mensuales, se puede afirmar que los
gastos promedios son iguales?. Suponga que ambas poblaciones son
normales, independientes, con varianzas desconocidas supuestas
iguales.
21. Una agencia de publicidad, realizo un estudio para comparar
la efectividad de un anuncio de una radio en dos distritos. Despus
de difundir el aviso, se realizo una encuesta con 900 personas
seleccionadas al azar, en cada uno de los distritos, resultando las
proporciones 20% y 18% respectivamente. Si de los datos muestrales
se infiere que p1 p2 [-0.0162 ; 0.0562], Qu nivel de confianza se
utiliz?
C U E S T I O N A R I O
a) Qu son los intervalos de confianza? b) Como se determinan los
tamaos de muestra? c) Explique detalladamente todos los
procedimientos para trabajar intervalos de
confianza en excel.
R E F E R E N C I A S B I B L I O G R F I C A S
1. Montgomery, Douglas y Runger, George. 2004. Probabilidad y
estadstica aplicadas a la Ingenieria. Ed. LIMUSA WILEY. Segunda
Edicin.
2. Cordova, Manuel. 2003. Estadstica descriptiva e inferencial.
Ed. MOSHERA SRL. Quinta Edicin.
3. Lind, Douglas; Marchal, William Y Mason, Robert. 2004.
Estadstica para administracin y economa. Editorial ALFAOMEGA. 11ava
edicin.
D O C U M E N T O S A D J U N T O S