PRÁCTICA DOMICILIARIA DE MECÁNICA DE FLUIDOS I PROB 1.- Se tiene un plano inclinado que forma un ángulo de 30° con la horizontal por donde se desliza un depósito que contiene agua y cuyo peso total es 800kgf. El descenso de dicho depósito produce el ascenso de otro igual pero cuyo peso total es 200kgf. Calcular el valor del ángulo que hace la superficie libre del primer depósito con el plano horizontal. Figura N°01 SOLUCIÓN: Datos: W 1 =800 Kgf W 2 =200 Kgf g=9.81 m / s 2 ∑ F=ma Para el tanque “1”. W 1 sen 30 −T= W 1 g a……… ( 1) Para el tanque “2” T− W 2 sen 30= W 2 g a……… ( 2) Sumando 1 y 2 resulta: a= ( 800∗1 2 − 200∗1 2 ) ∗9.81 800+ 200 ∴a=2.94 m / s 2
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PRÁCTICA DOMICILIARIA DE MECÁNICA DE FLUIDOS I
PROB 1.- Se tiene un plano inclinado que forma un ángulo de 30° con la horizontal por donde se desliza un depósito que contiene agua y cuyo peso total es 800kgf. El descenso de dicho depósito produce el ascenso de otro igual pero cuyo peso total es 200kgf. Calcular el valor del ángulo que hace la superficie libre del primer depósito con el plano horizontal.
Figura N°01SOLUCIÓN:
Datos: W 1=800 K⃗gf
W 2=200 K⃗gf
g=9.81m/ s2
∑ F=ma
Para el tanque “1”.
W 1 sen 30−T=W 1
ga………(1)
Para el tanque “2”
T−W 2 sen 30=W 2
ga………(2)
Sumando 1 y 2 resulta:
a=( 800∗1
2−200∗1
2 )∗9.81
800+200
∴a=2.94 m /s2
Sabemos según Euler:dpρ
=ax dx+ay dy+azdz…………….(3)
ax=0 a y=a∗cos30=2.546m /s2 az=a∗sen30−g=−8.340m /s2
Luego reemplazando en la ecuación (3):
∫0
0dpρ
=2.546∫0
y0
dy−8.340∫0
z0
dz
0=2.546 y0−8.340 z0
z0
y0
=tg (θ )=2.5468.340
∴θ=16.976161 ° PROB 2.- En la figura N° 02 se muestra un viscosímetro que contiene líquido viscoso de espesor e = 1cm., esta rota alrededor del eje vertical con una velocidad angular W = 4rad/seg y genera una potencia de 0.01HP, “O· es el centro del arco AB. Calcular el valor de la viscosidad dinámica del líquido viscoso.
FIGURA N°02SOLUCIÓN:Datos: e=1cm w=4 rad / s P=0.01HP u=?
Hallando el angulo (θ):∴θ=1.047198 rad
P=0.01HP=0.76 k⃗g .m /sSabemos que:T torque=F∗d
P=T torque*w
0.76 k⃗g .ms=T∗4 rad /s
Figura N°02
Entonces : T a+Tb+T C=0.19 k⃗g .m………… (¿)Hallando torque en (a):
d T a=rdF=r (τdA )
τ=uVe
=urwe
d T a=r ( urwe ∗2πrdr)…….(1)
Reemplazando en (1):
∫0
T a
dT a= ∫0
10 cmuw2π
er3dr
∴T a=62831.853072ucm3
s……(a)
Hallando torque en (b):d T b=rdF=r (τdA )
τ=uVe
=urwe
d T b=r ( urwe ∗2πrdl)…….(2)
Poe semejanza de triángulos se tiene :dl=3.5587dr
Reemplazando en (2):
∫0
Tb
dT b= ∫10
10√3uw2 π
e¿3.5587 r3dr
∴T b=1788797.72422ucm3
s……….(b)
Hallando torque en (c): dA=2 π R2sinθdθd T c=rdF=Rsin θ (τdA )
τ=uVe
=uw Rsinθe
;R=20cm
θ=1.047198 rad
d T c=Rsin θ( uw Rsinθe
∗2 π R2sin θdθ)Integrando :
∫0
T c
dT c=uw 2π
e ∫0
1.047198 rad
R4 sin3θdθ
∴T c=918138.43845ucm3
s………(c)
Ahora reemplazando (a),(b)y (c) en (*):
(62831.853072+1788797.72422+918138.43845 )u cm3
s=0.19∗9.81∗107dina∗cm
∴u=6.72944445dina∗s /cm2
PROB 3.- En la figura N° 03 se muestra un viscosímetro que contiene líquido viscoso de espesor e = 0.5cm., esta rota alrededor del eje vertical con una velocidad angular ω=4rad/seg y genera una potencia de 0.05HP, “O· es el centro del arco AB. Calcular el valor de la viscosidad dinámica del líquido viscoso.
Figura N° 03SOLUCIÓN:Datos: e=0.5 cm w=4 rad / s P=0.05HP u=? Hallando R y r:R=6.5cm r=13cm
Hallando el angulos (θ) y (β):∴θ=1.176005 rad ∴β=1.176005 rad P=0.05HP=3.8 k⃗g .m /s Sabemos que:
T torque=F∗d
P=T torque*w
3.8 k⃗g .ms=T∗4 rad /s
Entonces : T a+Tb+T C=0.95 k⃗g .m………… (¿)
Hallando torque en (a):
dA=2 π R2sinθdθ d T a=rdF=Rsinθ (τdA )
τ=uVe
=uw Rsinθe
;R=6.5cm
θ=1.176005 rad
d T c=Rsin θ( uw Rsinθe
∗2 π R2sin θdθ)Integrando :
∫0
T a
dT a=uw2πe ∫
0
1.176005 rad
R4 sin3θdθ
∴T a=27009.304625ucm3
s……(a)
Hallando torque en (b):d T b=rdF=r (τdA )
τ=uVe
=urwe
d T b=r ( urwe ∗2πrdl)…….(2)
Poe semejanza de triángulos se tiene :dl=3.162278dr
Reemplazando en (2):
∫0
Tb
dT b=∫6
12uw2π
e¿3.162278 r 3dr
∴T b=772513.666566ucm3
s……….(b)
Hallando torque en (c): dA=2 π r2sin βdβd T c=rdF=rsinβ (τdA )
τ=uVe
=uw rsin βe
;r=13cm
β=1.176005 rad
d T c=rsinβ ( uw rsin βe
∗2π r2 sin βdβ)Integrando :
∫0
T c
dT c=uw 2π
e ∫0
1.176005 rad
R4 sin3βdβ
∴T c=432148.874003ucm3
s……… (c)
Ahora reemplazando (a),(b)y (c) en (*):
(27009.304625+772513.666566+432148.874003 )u cm3
s=0.95∗9.81∗107dina∗cm
∴u=75.665446dina∗s /cm2
PROB 4.- ¿Cuál es la relación mínima entre el diámetro y la altura de un cono recto de material homogéneo, de densidad relativa 0.5, para que flote en el agua con su eje vertical y vértice hacia abajo? SOLUCIÓN:
V :Volumendel cono V S=Volumende la parte sumergido
γ c=Pesoespecifco del cono=0.5 gr /cm3
γ agua=Pesoespecifco del agua Por el Principio de Arquímedes:
V γ c=V S γagua Entonces V S=V γ cγ agua
V S=0.5V
Relacionando geométricamente:
VV S
= R2Hr2h
; Pero R=H∗rh
Entonces:VV S
=2=H 3
h3 →h=0.794 H
Para que el cono flote sabemos que su metacentro debe estar más alto que su centro de gravedad, en la posición límite estos dos puntos deben coincidir.El centro de flotación contado desde la base del cono será:
y=H−0.794 H+ h4=0.405 H
La distancia del centro de flotación al CG será:
CF−CG= y−H4
=0.156 H…….(1)
Sabemos que la distancia del CF al metacentro es :m= IV
m=
πd4
64πd2
4∗h
3
…………… ..(2)
Por semejanza de triángulos tenemos :
d=hDH
; Cono:h=0.794 H y d=0.794D……… ..(3)
Reemplazando (3) y h en (2)
m=3(0.794D)2
16(0.794H)…………… ..(4)
En la posición limite (1) y (4) son iguales :
0.156 H=3 (0.794 D)2
16 (0.794 H ) ∴ D
H=0 .977
PROB 5.- Suponiendo una distribución lineal de tensiones sobre la base de la presa de concreto (figura N° 05) , calcular:
a) La posición donde la resultante de dicha fuerza de tensiones corta a la base.b) La máxima y mínima tensión de compresión en la base.
Despreciar el empuje ascensional hidrostático. SOLUCIÓN:
FIGURA N° 05
a) La posición donde la resultante de dicha fuerza de tensiones corta a la base.
Hallando la : FH=γagua hG A proy para ello tomamos el ancho unitario.
Ancho=1m
: FH=100∗6∗12∗1 k⃗g ∴FH=72000 k⃗g
Hallando el centro de presiones:
Y P=hG+IG
hG A
Y P=6+
A (12)2
126 A
∴Y P=8m y y=4m
Hallando la FV: FV=γaguaV encima=γ agua(1)A………..∗¿ Si Y=12m→X=4 √3m
Sabemos que el área encima de la curva es :
∫0
A
dA=∫0
X
(h−Y )dx
A=∫0
4√3
(12−0.25 X2 )dx=55.42562584m2
Reemplazando en el (*):FV=1000∗1∗55.42562584 ∴FV=55425.6258422 k⃗g
Hallando x:
x=∫ xdA
A=∫0
4√3
x (12−0.25 x2 )dx
55.42562584
x=2.598076m Ahora determino el punto de intersección de la línea de la acción de la fuerza
resultante con la base de la presa.
tg (θ )=FV
FH
θ=arctg (55425.625842272000 )
∴θ=37.58908947 °
d=2.598076+4∗ctg(37.58908947 °)
∴d=7.79422842m
F=90862.5335328 K⃗g
b) La máxima y mínima tensión de compresión en la base.
Hallando W y x:Para lo cual el peso especifico del concreto es : γ concreto=2400kg /m3
Sabemos que:W=γ V vol
Entonces tenemos:W 1=2400∗27.71281292∗1=66510.7510109 k⃗g x1=5.19615242m
PROB 6.- En la figura N° 6 se muestra una esfera de 2.0m de diámetro que contiene agua bajo presión. Está construido por dos secciones semiesféricas unidas mediante 40 pernos ¿Cuál es la fuerza total en cada perno para mantener unida la sección? La densidad relativa del mercurio (Hg) es 13.6.
SOLUCIÓN:Datos:Ddiam esf=2m→R=1m Fn=?n=40 pernos D .R .−Hg=13.6
Figura N° 06
P1=γagua (h )=1000∗1.2=1200k⃗gm2 =P2
P3=P4=P2+1000∗x=(1200+1000∗x ) k⃗gm2
P5=1200+1000∗x−13600∗0.2=¿
P6=P7=1000∗x−15209+1000 (3.4−x )=1880k⃗gm2
P8=P9=P10=1880+1000∗a+13600∗0.25
P10=(5280+1000∗a) k⃗gm2
P11=5280+1000∗a+1000∗b=¿
De la figura: a+b+0.25=2.5→a+b=2.25mEntonces:P11=5280+1000∗(2.25)
∴P11=7530k⃗gm2
Llevando en altura equivalente de gua:7530=1000∗heq heq=7.53m
FV=γAGUAV ENCIMA
Hallando FV 2: FV 2=γ agua(Acirh−V semiesfera)
FV 2=1000(π R2h−23π R3)
FV 2=1000(π (1 )2∗8.53−23π (1)3)
∴FV 2=24703.45 K⃗gf
Hallando FV 1:FV 1=γ agua(Acirh+V semiesfera)
FV 1=1000(π R2h+ 23π R3)
FV 1=1000(π (1 )2∗8.53+ 23π (1)3)
∴FV 1=28892.25 K⃗gf
Condiciones para hallar la fuerza total en cada perno: a) Si la esfera esta en el piso entonces:
Fn=FV 2
n=24703.45
40K⃗gf ∴Fn=617.59 K⃗gf
b) Si la esfera esta libre entonces:
Fn=FV 1−FV 2
n=28892.25−24703.45
40K⃗gf
∴Fn=104.72 K⃗gf
PROB. 7.- En la figura N° 07 se muestra una compuerta AOB de 2m. de ancho , OB es una parábola donde C = 0.25 m-1. Determinar el valor de “h” para dicha compuerta inicie a levantarse (desprecie el peso de la compuerta)
PROB 9.- En el sistema de la figura N° 09, se muestra la compuerta OA de 2m de longitud (perpendicular a OA) y pesa 3,200kgf, puede pivotear en el eje O, R = 2m.. (radio de curvatura de OA) y = 20°. Calcular “h” para que la compuerta inicie a levantarse.
FIGURA N° 09
..............................................Ing. Jaime L. Bendezú Prado
Docente.
Hallando presión en el punto (8):
P1=PA+γ agua (h )++γHg (0.2 )=−1348+1000∗h+13600∗0.2=(1372+1000h) k⃗gm2=P2