1 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MEXICALI, Equipo Rojo, Ing. Química PRÁCTICA #8 “Comprobación de la Ecuación de Bernoulli” OBJETIVO GENERAL: Comprobar experimentalmente la forma en que varía la presión con respecto a diferentes diámetros en la aplicación de la ecuación de Bernoulli. Objetivos Específicos: - Utilizar la mesa para hidrodinámica para medir las variaciones de presión en un tubo de Venturi. - Modificar el caudal del fluido para observar la variación de la presión con respecto a la velocidad. - Comparar los resultados obtenidos experimentalmente con los calculados teóricamente. - Capturar evidencia visual del experimento. MARCO TEÓRICO: Ecuación de Bernoulli. El análisis de un problema de tubería toma en cuenta toda la energía dentro del sistema. En física aprendimos que la energía no se crea ni se destruye, sólo de transforma de una forma en otra. Éste es el enunciado de la ley de conservación de la energía. Hay tres formas de energía que se toman siempre en consideración cuando se analiza un problema de flujo en tuberías. Considere un elemento de fluido como el que ilustramos en la figura 1, dentro de una tubería en un sistema de flujo. Se localiza a cierta elevación z, tiene velocidad v y presión p. El elemento de fluido posee las formas de energía siguientes: 1. Energía potencial. Debido a su elevación, la energía potencial del elemento en relación con algún nivel de referencia es: = donde w es el peso del elemento. 2. Energía cinética. Debido a su velocidad, la energía cinética del elemento es: = 2 2 ⁄ 3. Energía de flujo. A veces llamada energía de presión o trabajo de flujo, y representa la cantidad de trabajo necesario para mover el elemento de fluido a través de cierta sección contra la presión p. La energía de flujo se abrevia EF y se calcula por medio de: = ⁄ Ésta ecuación se obtiene como sigue. La figura 2 muestra al elemento de fluido en la tubería mientras se mueve a través de una sección. La fuerza sobre el elemento es pA, donde p es la presión en la sección y A es el área de ésta. Al mover el elemento a través de la sección, la fuerza recorre una distancia L igual a la longitud del elemento. Por tanto, el trabajo que se realiza es: = = Figura 1 Elemento de fluido en una tubería. Figura 2 Energía de fluido.
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Práctica 8 Comprobación de la Ecuación de Bernoulli
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1 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MEXICALI, Equipo Rojo, Ing. Química
PRÁCTICA #8
“Comprobación de la Ecuación de Bernoulli”
OBJETIVO GENERAL:
Comprobar experimentalmente la forma en que varía la presión con respecto a diferentes
diámetros en la aplicación de la ecuación de Bernoulli.
Objetivos Específicos:
- Utilizar la mesa para hidrodinámica para medir las variaciones de presión en un
tubo de Venturi.
- Modificar el caudal del fluido para observar la variación de la presión con respecto
a la velocidad.
- Comparar los resultados obtenidos experimentalmente con los calculados
teóricamente.
- Capturar evidencia visual del experimento.
MARCO TEÓRICO:
Ecuación de Bernoulli.
El análisis de un problema de tubería toma en
cuenta toda la energía dentro del sistema. En física
aprendimos que la energía no se crea ni se destruye,
sólo de transforma de una forma en otra. Éste es el
enunciado de la ley de conservación de la energía.
Hay tres formas de energía que se toman
siempre en consideración cuando se analiza un
problema de flujo en tuberías. Considere un
elemento de fluido como el que ilustramos en la
figura 1, dentro de una tubería en un sistema de flujo. Se localiza a cierta elevación z,
tiene velocidad v y presión p. El elemento de fluido posee las formas de energía
siguientes:
1. Energía potencial. Debido a su elevación, la energía potencial del elemento en relación
con algún nivel de referencia es:
𝐸𝑃 = 𝑤𝑧 donde w es el peso del elemento.
2. Energía cinética. Debido a su velocidad, la energía cinética del elemento es:
𝐸𝐶 = 𝑤𝑣2 2𝑔⁄ 3. Energía de flujo. A veces llamada energía de presión o trabajo de flujo, y representa
la cantidad de trabajo necesario para mover el elemento de fluido a través de cierta sección
contra la presión p. La energía de flujo se abrevia EF y se calcula por medio de:
𝐸𝐹 = 𝑤𝑝 𝛾⁄ Ésta ecuación se obtiene como sigue. La figura 2
muestra al elemento de fluido en la tubería mientras
se mueve a través de una sección. La fuerza sobre
el elemento es pA, donde p es la presión en la
sección y A es el área de ésta. Al mover el elemento
a través de la sección, la fuerza recorre una
distancia L igual a la longitud del elemento. Por
tanto, el trabajo que se realiza es:
𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 = 𝑝𝐴𝐿 = 𝑝𝑉
Figura 1 Elemento de fluido en una tubería.
Figura 2 Energía de fluido.
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donde V es el volumen del elemento. El peso del elemento w es:
𝑤 = 𝛾𝑉
donde 𝛾 es el peso específico del fluido. Entonces, el volumen del elemento es:
𝑉 = 𝑤 𝛾⁄ y obtenemos:
𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 = 𝑝𝑉 = 𝑝𝑤 𝛾⁄ denominada energía de flujo, y se representa con la ecuación:
𝐸𝐹 = 𝑤𝑝 𝛾⁄ Entonces, la cantidad total de energía de estas tres formas que posee el elemento
de fluido es la suma E:
𝐸 = 𝐸𝐹 + 𝐸𝑃 + 𝐸𝐶
𝐸 = 𝑤𝑝 𝛾⁄ + 𝑤𝑧 + 𝑤𝑣2 2𝑔⁄ Cada uno de estos términos se expresa en unidades de energía como el Newton-metro
(N∙m) en el SI, y el pie-libra (pie∙lb) en el Sistema Tradicional de Estados Unidos.
Figura 3 Elementos de fluido utilizados en la ecuación de Bernoulli.
Ahora, considere el elemento de fluido en la figura 3, que se mueve de la sección 1 a la
2. Los valores de p, z y v son diferentes en las dos secciones. En la sección 1, la energía
total es:
𝐸1 = 𝑤𝑝1
𝛾+ 𝑤𝑧1 +
𝑤𝑣12
2𝑔
En la sección 2, la energía total es:
𝐸2 = 𝑤𝑝2
𝛾+ 𝑤𝑧2 +
𝑤𝑣22
2𝑔
Si no hay energía que se agregue o pierda en el fluido entre las secciones 1 y 2, entonces
el principio de conservación de la energía requiere que:
𝐸1 = 𝐸2
𝑤𝑝1
𝛾+ 𝑤𝑧1 +
𝑤𝑣12
2𝑔=
𝑤𝑝2
𝛾+ 𝑤𝑧2 +
𝑤𝑣22
2𝑔
El peso del elemento w es común a todos los términos y se elimina al dividir entre él. Así,
la ecuación se convierte en:
𝑝1
𝛾+ 𝑧1 +
𝑣12
2𝑔=
𝑝2
𝛾+ 𝑧2 +
𝑣22
2𝑔
Conocida como ecuación de Bernoulli.
Cada término de la ecuación de Bernoulli resulta de dividir una expresión de la energía
entre el peso de un elemento del fluido. Por lo anterior: Cada término de la ecuación de
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Bernoulli es una forma de la energía que posee el fluido por unidad de peso del fluido
que se mueve en el sistema.
La unidad de cada término es energía por unidad de peso. En el sistema SI las unidades
son N∙m/N, y en el Sistema Tradicional de Estados Unidos son lb∙pie/lb.
Sin embargo, observe que la unidad de fuerza (o peso) aparece tanto en el
numerador como en el denominador, y por ello puede cancelarse. La unidad resultante es
tan solo el metro (m) o el pie, y se interpreta como una altura. En el análisis del flujo de
fluidos los términos se expresan por lo común como altura, en alusión a la altura sobre un
nivel de referencia. En específico:
𝑝 𝛾⁄ es la carga de presión.
𝑧 es la carga de elevación.
𝑣2 2𝑔⁄ es la carga de velocidad.
A la suma de estos tres términos se le denomina carga total.
Figura 4 Carga de presión, carga de elevación, carga de velocidad y carga total.
Debido a que cada término de la ecuación de Bernoulli representa una altura, un
diagrama similar al que se muestra en la figura 4 ayuda a visualizar la relación entre los
tres tipos de energía. Conforme el fluido se mueve del punto 1 al 2, la magnitud de cada
término puede cambiar su valor. Sin embargo, si el fluido no pierde o gana energía, la
carga total permanece a un nivel constante. La ecuación de Bernoulli se utiliza para
determinar valores de carga de presión, carga de elevación y cambio de la carga de
velocidad, conforme el fluido circula a través del sistema.
En la figura 4 observamos que la carga de velocidad en la sección 2 será menor
que la sección 1. Esto se demuestra por medio de la ecuación de continuidad.
𝐴1𝑣1 = 𝐴2𝑣2
𝑣2 = 𝑣1(𝐴1 𝐴2⁄ )
Debido a que 𝐴1 < 𝐴2, 𝑣2 debe ser menor que 𝑣1. Y como la velocidad está elevada al
cuadrado en el término de la carga de velocidad, 𝑣22 2𝑔⁄ es mucho menor que 𝑣1
2 2𝑔⁄ .
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Es común que cuando crece el tamaño de la sección, como ocurre en la figura 4,
la carga de presión se incremente porque la carga de velocidad disminuye. Éste es el modo
en que se construyó la figura 4. Sin embargo, el cambio real también se ve afectado por
el cambio en la carga de elevación.
En resumen:
La ecuación de Bernoulli toma en cuenta los cambios en la carga de elevación,
carga de presión y carga de velocidad entre dos puntos en un sistema de flujo de fluido.
Se supone que no hay pérdidas o adiciones de energía entre los dos puntos, por lo que la
carga total permanece constante.
Al escribir la ecuación de Bernoulli, es esencial que las presiones en los dos puntos
de referencia se expresen ambas como presiones absolutas o ambas como presiones
manométricas. Es decir, las dos deben tener la misma presión de referencia. En la mayoría
de los problemas será conveniente utilizar la presión manométrica, debido a que algunas
partes del sistema de fluido expuestas a la atmósfera tendrán una presión manométrica
igual a cero. Asimismo, la mayoría de las presiones se les mide por medio de un medidor
con respecto a la presión atmosférica local.
Restricciones de la ecuación de Bernoulli.
Aunque la ecuación de Bernoulli es aplicable a bastantes problemas prácticos, hay
limitaciones que debemos conocer, a fin de aplicarla con propiedad.
1. Es válida sólo para fluidos incompresibles, porque se supone que el peso específico del
fluido es el mismo en las dos secciones de interés.
2. No puede haber dispositivos mecánicos que agreguen o retiren energía del sistema entre
las dos secciones de interés, debido a que la ecuación establece que la energía en el fluido
es constante.
3. No puede haber transferencia de calor hacia el fluido o fuera de éste.
4. No puede haber pérdida de energía debido a la fricción.
En realidad ningún sistema satisface todas esas restricciones. Sin embargo, hay
muchos sistemas donde se utiliza la ecuación de Bernoulli, y sólo se generan errores
mínimos. Asimismo, el empleo de esta ecuación permite hacer una estimación rápida del
resultado, cuando esto es todo lo que se desea.
Tanques, depósitos y toberas expuestos a la atmósfera.
Figura 5 Sifón de un problema.
La figura 5 muestra un sistema de fluido donde un sifón saca líquido desde un tanque o
depósito y lo expulsa a través de una tobera al final de la tubería. Observe que la superficie
del tanque (punto A) y la corriente libre de fluido que sale de la tobera (sección F) no
están confinadas por fronteras sólidas, sino que están expuestas a la atmósfera. Por tanto,
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la presión manométrica en dichas secciones es igual a cero. Por ello, observamos la regla
siguiente:
Cuando el fluido en un punto de referencia está expuesto a la atmósfera, la
presión es igual a cero y el término de carga de presión se cancela en la ecuación de
Bernoulli.
Puede suponerse que el tanque, de donde se toma el fluido, es muy grande en
comparación con el tamaño del área de flujo dentro de la tubería. Ahora, como 𝑣 = 𝑄 𝐴⁄ ,
la velocidad en la superficie de dicho tanque será muy pequeña. Además, cuando se utiliza
la velocidad para calcular la carga de velocidad, 𝑣2 2𝑔⁄ , la velocidad se eleva al
cuadrado. El proceso se elevar al cuadrado un número pequeño mucho menor que 1.0
produce otro número aún más pequeño. Por estas razones adoptamos la regla siguiente:
A la carga de velocidad en la superficie de un tanque o depósito se le considera igual a
cero, y se cancela en la ecuación de Bernoulli.
Ambos puntos de referencia están en la misma tubería.
Asimismo, observe en la figura 5 que varios puntos de interés (puntos B-E) se encuentran
dentro de la tubería, cuya área de flujo es uniforme. En las condiciones de flujo estable
supuestas en estos problemas, la velocidad será la misma en todo el tubo. Entonces,
cuando existe flujo estable se aplica la regla siguiente:
Cuando los dos puntos de referencia para la ecuación de Bernoulli están dentro de una
tubería del mismo tamaño, los términos de carga de velocidad en ambos lados de la
ecuación son iguales y se cancelan.
Las elevaciones de ambos puntos se referencia son iguales.
De manera similar, se aplica la regla siguiente cuando los puntos de referencia están al
mismo nivel:
Cuando los dos puntos de referencia para la ecuación de Bernoulli están a la misma
elevación, los términos de carga de elevación 𝑧1 y 𝑧2 son iguales y se cancelan.
Las cuatro observaciones anteriores permiten la simplificación de la ecuación de
Bernoulli y facilitan las manipulaciones algebraicas.
Medidores Venturi.
En la figura 7 se muestra el aspecto básico del tubo Venturi. El flujo que viene de
la tubería principal en la sección 1 se hace acelerar a través de una sección estrecha
denominada garganta, donde la presión del fluido disminuye. Después, el flujo se
expande a través de una porción divergente que alcanza el mismo diámetro de la tubería
principal. Se coloca tomas de presión en la pared del tubo de la sección 1 y en la pared de
la garganta, a la que llamaremos sección 2. Estas tomas de presión se conectan a ambos
lados de un manómetro diferencial, de modo que la deflexión h sea una indicación de la
diferencia de presión 𝑝1 − 𝑝2. Por supuesto, es posible utilizar otros medidores de
presión diferencial.
Se emplea la ecuación de la energía y la de continuidad para obtener la relación
con que se calcula el flujo volumétrico. Con el empleo de las secciones 1 y 2 como puntos
de referencia en la figura 7, se escribe las ecuaciones siguientes:
𝑝1
𝛾+ 𝑧1 +
𝑣12
2𝑔− ℎ𝐿 =
𝑝2
𝛾+ 𝑧2 +
𝑣22
2𝑔
𝑄 = 𝐴1𝑣1 = 𝐴2𝑣2
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Estas ecuaciones sólo son válidas para fluidos incompresibles, es decir, líquidos. En el
flujo de gases se debe observar con atención especial cómo varía el peso específico, 𝛾,
con el cambio de la presión. La simplificación algebraica de las ecuaciones anteriores es: