Practica 2 Cinematica 1-2016 Fisica 100

8/18/2019 Practica 2 Cinematica 1-2016 Fisica 100

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UNIVERSIDAD M AYOR DE S AN A NDR ÉS 1, 1–27, 2016

F ACU LTAD DE C IENCIAS P URAS Y N ATU RAL ES —C ARR ERA DE M ATE M ´ ATI CA

CINEM ´ ATICA DEL PUNTOPR ´ ACTICA 2

LIC. E VARI STO M AMA NI C ARL O†

Universidad Mayor de San Andrés

Facultad de Ciencias Puras y Naturales - Carrera de F ı́sica

L A P AZ, 10 DE F EBRERO DEL 2016

RESUMEN

Se presenta una serie de ejercicios de la cinemática del punto a velocidad constante y a veloci-dad variable a fin de evaluar la capacidad que tiene el estudiante de aplicar los conocimientosteóricos aprendidos en clases de Fı́sica Básica I de nivel avanzado.

Keywords: Movimiento Uniforme—Movimiento Uniforme Acelerado—Movimiento Circular—Movimiento

Parabólico—Movimiento Relativo—Movimiento Curvilı́neo

1. Si el bloque A está moviendo extendiendose ha-cia abajo a 6 ft/s mientras el bloque C estábajando a 18 ft/s, determine la velocidad delbloque B.

FIG. 1.— Para la pregunta 1

Resp. vB = 12 ft/s ↑

2. Una lancha a motor que va rı́o arriba se en-contró con unas balsas que flotaban aguas abajo.Pasada una hora después de este encuentro elmotor de la lancha paró. La reparación de ésteduró 30 minutos y durante todo este tiempo lalancha seguı́a libremente la corriente del rı́o. Ar-reglado el motor , la lancha comenzó a ir rı́o abajo

†Email: [email protected]

con la misma velocidad con relación a la corrientedel agua y alcanzó las balsas a una distancia deS = 7.5 km del punto de su primer encuentro.Determinar la velocidad de la corriente del r ı́o,considerándola constante.

Resp. v = 3 km/h

3. El automóvil está viajando a una velocidad con-stante de 100 km/h. Si la lluvia está cayendo a6 m/s en la dirección mostrada, determine la ve-locidad de la lluvia visto por el chfer.


Resp. vr/c = 31.2 m/s, θ = 9.580

4. Dos ciclistas A y B viajan a la misma velocidad

constante v . Determine la velocidad de A con re-specto a B si A viaja a lo largo de la huella re-donda, mientras B viaja a lo largo del diámetrodel crculo.

Resp. vA/B = v

2(1 − sen θ)

5. Los contadores A y B (que registran el momentode la llegada del rayo gamma) distan 2 m. Entre


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2 Lic. Evaristo Mamani Carlo


ellos tuvo la desintegración de lapartı́cula mesónπ0 en dos rayos gamma. En que lugar sucedió ladesintegración si el contador A registró el rayogamma

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−9 s más tarde que el contador B?. Lavelocidad de la luz adóptese igual a 3 × 108 m/s.

FIG. 4.— Para el problema 5

Resp. x = 1.15 m

6. Tres micrófonos, situados en una recta en lospuntos A, B y C, registraron en los momentos detiempo tA > tB > tC el sonido de cierta explosiónque ocurrió en el punto O, yacente en el segmento

AC. Hállese la distancia AO, si AB = BC = L. Elmomento de la puesta en marcha del reloj no cor-responde al momento de la explosión.


Resp. AO = L3tA − 2tB − tC

2(tA − tB)

7. Unos deportistas corren formando una columnade longitud l con la misma velovidad v. Al en-cuentro de la columna corre el entrenador a lavelocidad u (u < v). Cada uno de los deportistas,

al encontrarse con el entrenador , da la vuelta ycorrehacia atrás con la misma velocidad v. Quelongitud tendrá la columna cuando todos los de-portistas den la vuelta?.

Resp. l = lv − u

v + u

8. Dos barras se cruzan bajo el ángulo 2α y semueven con igual velocidad v y perpendicular-mente a sı́ mismas. Cual será la velocidad delpunto de cruce de las barras?


Resp. u = v

sen α

9. Un automovil se aleja a la velocidad v de unapared larga bajo cierto ángulo α respecto a ella.Cuando la distancia hasta la pared era l el au-tomovil dio una seal sonora corta. Que distanciarecorrerá el automovil hasta el momento en queel chofer oiga el eco?. La velocidad en el aire delsonido es c.


Resp. x = 2lvv sen α +

√ c2 − v2 cos2 α

c2 − v2

10. Al chocar elásticamente una bola contra ciertapared inmovil lisa, el ángulo de incidencia de labola es igual al de reflexión. En que ángulo cam-biará la dirección de la velocidad de la bola de-spués de chocar dos veces contra dos paredes, elángulo entre las cuales es igual a α?. En uqe di-rección volará la bola si el ángulo α = π/2?. Elmovimiento tiene lugar en el plano perpendicu-lar a las paredes.


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CINEM ´ ATICA DEL PUNTO 3

Resp. β = 2α. En dirección contraria a la inicial

11. En un billar con las barandas a y b se lanza unabola desde el centro del lado b. Para que ángulosϕ ella vuelve al mismo punto de la baranda delque empezó el movimiento?


Resp. tan ϕ = 2ma

nb , donde m, n cualesquiera números

enteros

12. Una partı́cula se mueve por un plano. Aplicandolas gráficas que uestran la dependencia de lasproyecciones de la velocidad vx y vy con re-specto al tiempo, construyase la trayectoria de lapartı́cula si x(0) = 2m, y(0) = 1m.


Resp. El gráfico que se obtiene es el siguiente

13. Suponga que las posiciones iniciales de dosmóviles A y B que se mueven en el mismo sentido

FIG. 10.— Respuesta para el problema 12

a lo largo de la misma l ı́nea recta son y0A = 0 my y0B = 0 m, respectivamente. En el gráfico ad-

junto se muestra la dependencia con el tiempo dela rapidez de cada móvil

(a) Determine el tiempo que tarda en encon-trarse y la posición respectiva de cada unoen ese instante.

(b) Ilustre en un gráfico apropiado la dependen-cia con el tiempo de la posición para ambosmóviles.


14. Una partı́cula se mueve a lo largo de una linearecta con la velocidad mostrada en la figura 40,sabiendo que x = −540 m en t = 0:

(a) Construir las gráficas de a − t y x − t para0 ≤ t ≤ 50 s.

(b) La distancia total recorrida por la partı́culapara t = 50 s.

(c) Los instantes en que x = 0.

Resp. (b) d = 1383 m, (c) t = 9 s y t = 49.5 s


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FIG. 13.— Respuesta para la pregunta 14a

FIG. 14.— Respuesta para la pregunta 14a

15. Una partı́cula que parte del reposo en x = 1 mes acelerada de modo que su velocidad se duplicaentre x = 2 m y x = 8 m. Sabiendo que su acel-eración está definida por a = k(x − A/x), hallarlos valores de las constantes A y k si la velocidadde lapartı́cula es de 29 m/s cuando x = 16 m.

Resp. A = −36.8 m2, k = 1.832 s−2

16. En la figura 15 se muestra la dependencia con eltiempo de la aceleración de una partı́cula que semueve a lo largo del eje x. Suponga que parte delreposo y que su posición inicial es x = 15 m.

(a) Determinar su rapidez en t = 5 s y en t = 18s.

(b) Construye las gráficas de v(t) y x(t).


17. La aceleración de una part́ıcula está definida pora = 0.4(1

−kv), siendo k una constante. Sabiendo

que cuando t = 0 la partı́cula parte del reposodesde x = 4 m y que cuando t = 15 s, v = 4m/s, hallar (a) la constante k, (b) la posición dela partı́cula cuando v = 6 m/S, (c) su velocidadmáxima.

Resp. (a) 0.1457 s/m, (b) 145.2 m, (c) 6.86 m/s

18. Un cuerpo se mueve durante un tiempo τ a unavelocidad cosntante v0. Luego, su velocidad crececon el tiempo linealmente de manera que en elmomento de tiempo 2τ es igual a 2v0. Determi-nese el camino que recorrió el cuerpo durante eltiempo t > τ .


Resp. L = v0t + v02τ

(t − τ )2

19. Una part́ıcula se mueve sobre una lı́nea recta conla aceleración que varı́a en función del tiempocomo se muestra en la figura 17. Sabiendo queparte del origen con v0 = −2 m/s, hallar:


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(a) Construir la gráfica de v − t y x − t para 0 <t < 18 s.

(b) La posición, la velocidad y la distancia totalque recorre cuando t = 18 s.


Resp. x = 52 m, v = 36 m/s, 164 m

20. El cuerpo comienza su movimiento desde elpunto A. Primero el cuerpo se mueve duranteel tiempo τ de manera uniformemente aceler-ado, después con la misma aceleración seg ́unel módulo, de manera uniformemente desaceler-ado. Dentro de cuanto tiempo desde el comienzodel movimiento el cuerpo regresará al punto A?.

Resp. t = (2 + √ 2)τ 21. Un avión aterriza en una pista recta, viajando

originalmente a 110 pies/s cuando x = 0. Si estásujeto a las desaceleraciones que se muestran enla figura 18, determine:

(a) El tiempo t necesario para detener el avión.

(b) Las gráficas de v − t y x − t para dichomovimiento.

Resp. (a) t = 33.3 s

22. La aceleración de una partı́cula es directamenteproporcional al tiempo t. Cuando t = 0, su veloci-dad es v = 16cm/s. Sabiendo que v = 15 cm/s yque x = 20 cm cuando t = 1 s, hallar la volocidad,la posición y la distancia total recorrida cuandot = 7 s.

Resp. v = −33 cm/s, x = 2 cm, 87.7 cm


23. Sobre una placa elástica caen libremente dos bo-las de acero. La primera cae desde una alturah1 = 44 cm y la segunda, transcurrido un lapso τ después de la primera, siendo la altura h2 = 11cm. Al pasar cierto tiempo , las velocidades de las

bolas coinciden tanto por su valor como por la di-rección. Determinar el lapso τ y el intervalo detiempo, durante el cual las velocidades de ambasbolas serán iguales. Las bolas no chocan.

Resp. τ = 0.3 s, t = 0.3 s

24. ¿Durante que tiempo un cuerpo que cae libre-mente sin velocidad inicial, pasa el enésimocentı́metro de su trayecto?

Resp. τ =

2

g(√

n − √ n − 1)

25. De una torre alta se lanzan dos cuerpos unotras otro, con velocidades v0 de igual valor. Elprimer cuerpo se lanza verticalmente hacia ar-riba; pasado cierto tiempo τ , se tira el segundoverticalmente hacia abajo. Determine la veloci-dad de los cuerpos uno respecto del otro y la dis-tancia entre ellos en el momento t > τ .

Resp. u = 2v0 − gτ velocidad del primer cuerpo con respectoal segundo. S = (2v0 − gτ )t − v0τ + gτ 2/2

26. Dos automoviles salen de las ciudaddes A y B, eluno al encuentro del otro, con velocidades y acel-eraciones a de iguales valores. La aceleración del

automovil que salió de la ciudad A todo el tiempotenı́a dirección hacia A, y la del automovil quesalió de la ciudad B hacia b. ¿Cuanto tiempo mastarde salió uno de estos automoviles si el tercerautomovil que iba todo el tiempo con la velocidadconstante v1 presenció ambos encuentros de losdos primeros automóviles?.

Resp. t = 2v1

a


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27. El bloque deslizante A se mueve hacia laizquierda con una velocidad de 6 m/s. Hallar:

(a) La velocidad del bloque B

(b) La velocidad de la parte D del bloque

(c) La velocidad relativa de la parte C del cable

respecto a la parte D


Resp. (a) 2 m/s ↑, (b) 2 m/s ↓, (c) 8 m/s ↑

28. Una cuña forma con el soporte horizontal unángulo de 300, una barra vertical que baja a lavelocidad v la empuja. ¿Que velocidad desarrol-lará la cuña?.


Resp. v√

3

29. En una cuña con un ángulo α yace cierta mon-eda. ¿Con que aceleración mı́nima debe moversela cuña por un plano horizontal para que la mon-eda caiga libremente hacia abajo?

Resp. g cot α

30. Una bobina rueda por un plano horizontal sindeslizamiento. Del hilo se tira bajo un ánguloα hacia el horizonte con una velocidad v. Hal-lar la velocidad del eje y la velocidad angular de

rotación de la bobina. ¿Para que angulos α el ejese mueve hacia la derecha y para cuales hacia laizquierda?. El hilo es tan largo que α no cambiadurante el movimiento.


Resp. u = vR

R cos α − r ; ω = v

R cos α − r , a la derecha cuandocos α > r/R, a la izquierda cuando cos α < r/R

31. La figura 22 muestra cierta transmisión de en-granajes de movimiento planetario. ¿Que canti-dad de revoluciones alrededor de su eje efectuaráel engranaje A si la rueda dentada realiza n1revoluciones y el engranaje central n2 revoluci-iones?. El radio interior de la rueda dentada es Ry del engranaje central r.


Resp. nA = n1R − n2r

R − r


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32. Un abalorio puede moverse por cierta circunfer-encia de radio R, empujado por una aguja quegira de forma uniforme a la velocidad angular ω.El eje de rotación de la aguja pasa por el puntoO de la circunferencia. ¿Cual será la aceleracióndel abalorio?.


Resp. a = 4ω2R

33. La varilla gira a la velocidad angular ω . No haydeslizamiento entre el cilindro y el plano horizon-tal . Hallese la velocidad angular del cilindro endependencia del ángulo α.


Resp. ω = ω/2sen2(α/2)

34. Desde el punto A un niño arroja una pelota conuna velocidad inicial de 20 m/s formando unángulo de 250 con la horizontal. Hallar la veloci-dad de la pelota en los puntos de la trayectoriaen que el radio de curvatura es igual a los trescuartos de su valor en A.


Resp. 18.17 m/s

35. En el punto A una tuberia horizontal descargaagua en un depósito. Expresar el radio de cur-vatura del chorro en el punto B en función de losmódulos de las velocidades vA y vB .


Resp. v3BgvA

36. Cuando el camión de la figura 27 empieza aretroceder a la aceleración constante de 1.2m/s2,la porción exterior B de su pluma empieza a re-traerse con una aceleración constante de 0.5m/s2

relativa al vehı́culo. Hallar:

(a) La aceleración de la porción B

(b) La aceleración de esta cuando t = 2s


Resp. (a) 0.958m/s2, (b) 1.917m/s2

37. El movimiento de una partı́cula está definido por

las ecuaciones x = (t− 2)3

12 +t2 e y =

t3

12− (t− 1)

2

2

donde x, y se expresan en metros y t en segundos.Hallar:

(a) El módulo de la menor velocidad que al-canza la partı́cula

(b) el instante, la posición y dirección y sentidode la velocidad correspondiente

Resp. (a) 1.41m/s, (b) t = 0, x = −0.67m, y = −0.50m, 450


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38. Sobre el punto A de un escalón cae una bola querebota con una velocidad inicial v0 formando unángulo de 150 con la vetical. Hallar v0 sabiendoque inmediatamente antes de que la bola reboteen el punto B su velocidad vB forma un ángulode 120 con la vertical.


Resp. 8.84 pies/s

39. Un cazador intenta dispararle a un mono que seencuentra a una altura h y una distancia hori-zontal d de él. Justo cuando el cazador disparasu rifle, el mono se suelta de la rama y cae bajolos efectos de la gravedad. Usando las ecuacionesde movimiento de la bala del rifle y del mono, de-muestre que de todas formas la bala impactaráal mono en alg ́un punto de la caı́da. (Desprecielos efectos del roce con el aire tanto para la balacomo para el mono)


40. Del orificio de un manguera, obturado con eldedo, brotan dos chorros de agua bajo los ángulos

α y β respecto al horizonte con una misma veloci-dad inicial v0. ¿A que altura con respecto de lahorizontal se intersecan?.


41. Un cuerpo se lanza hacia debajo de un planoinclinado, y choca con este a una distancia deS = 76m. Si el cuerpo sube a una altura mximah = 19m, por encima del punto de salida, calcular

la velocidad inicial y el ángulo de lanzamiento.


Resp. v0 = 24.2m/s, θ = 52.80

42. Un cazador de patos, dispara su arma desdeuna altura de 1.5 m, cuando un pato pasa justoencima del cazador a una altura de 15 m. La ve-locidad de salida de la bala es igual a 25m/s, siel pato vuela horizontalmente a una velocidad de5m/s. Hallar el ángulo necesario para que la balade en el blanco y la distancia que recorre el patoantes de ser alcanzado por la bala.

Resp. θ = 78.50, d = 3.15m

43. Una partı́cula se proyecta en un ángulo α menorque 450, y otra en un ángulo α mayor que 450, am-bas tocan tierra al nivel en que fueron lanzadas.Demuestre que la diferencia en sus tiempor quede vuelo es:

t2 − t1 = 2√

2v0 sen α

g


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44. Un tren puede minimizar el tiempo t estre dosestaciones acelerando a razón de a1 = 0.1 m/s

2

por un tiempo t1 y después experimenta unaaceleración negativa a2 = −0.5 m/s2 cuandoel maquinista usa los frenos durante un tiempot2. Puesto que las estaciones están separadas

solo 1 km, el tren nunca alcanza su velocidadmáxima. Encuentre el tiempo mı́nimo de viaje ty el tiempo t1.

Resp. t = 120

53

s, t1 = 100

53

s

45. Durante el último segundo de caida libre sin ve-locidad inicial, un cuerpo recorre las 3/4 pratesde todo su camino. ¿Cuánto tiempo tarda en caerel cuerpo?.

46. Un proyectil se dispara, desde una superficie in-clinada a una velocidad inicial v0 a un ángulo θrespecto a la horizontal como se muestra en la

figura 32.

(a) Si el ángulo del declive es α respecto a lahorizontal, demuestre que el alcance a lolargo de la superficie inclinada es:

R = 2v20 sen(θ − α)cos θ

g cos2 α

(b) Para qué valor de θ, es R máximo?. De-muestre que el valor máximo de R es:

R = v2

0

g(1 + sen α)


47. Un automovil viaja por un camino recto con larapidéz que indica la gráfica v − t (figura 33).Determine la distancia total que recorre hastaque se detiene cuando t=48 s. Asimismo, tracelas gráficas x − t y a − t.


48. Un pato volaba por una recta horizontal a la ve-locidad constante u. Un “cazador ” inexperto lelanzó una piedra, con la peculiaridad de que ellanzamiento fue hecho sin corrección del avance,es decir, en el momento del lanzamiento la di-rección de la velocidad de la piedra (el ángulo αrespecto al horizonte) estaba orientada precisa-mente hacia el pato. El módulo de la velocidadinicial de la piedra es igual a v. ¿A qué alturavolaba el pato, si la piedra a pesar de todo diócon él?.


49. El movimiento de una partı́cula está definido porx = t3 − 9t2 + 24t− 8, donde x y t se expresan encentı́metros y segundos respectivamente. Hallar:

(a) Cuando es cero la velocidad

(b) La posición y la distancia total recorridacuando es cero la aceleración.

50. Un proyectil se lanza al aire con una rapidez de8 m/s y a un ángulo de θ = 300 con respecto delplano horizontal. Determine la distancia (s) quedebe recorrer para alcanzar el punto mas elevado

B.

51. Un punto se desplaza por una lı́nea helicoidalde acuerdo con las ecuaciones x = 2cos4t, y =2sen4t, z = 2t; por unidad de longitud se toma elmetro. Determinar el radio de curvatura ρ de latrayectoria.

Resp. ρ = 178

m


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52. Unas gotas de agua salen del orificio de un tubovertical con el intervalo de 0.1 s y caen con unaaceleración de 981 cm/s2. Determinar la distan-cia entre la primera y la segunda gota pasado 1 sdespués de salir la primera gota.

Resp. 93.2 cm

53. De acuerdo con las ecuaciones dadas delmovimiento de un punto hallar las ecuaciones desu trayectoria en forma de coordenadas e indicaren el dibujo la dirección del movimiento.

(a) x = 3t− 5, y = 4− 2t(b) x = 2t, y = 8t2

(c) x = 5sen10t, y = 3 cos 10t

(d) x = 2− 3cos5t, y = 4cos 5t− 1(e) x =

1

2(et + e−t), y =

1

2(et − e−t)

Resp. (a)La semirecta 2x + 3y − 2 = 0 con origen en el punto(−5, 4), (b) La rama derecha de la parábola y = 2x2 con el

punto inicial (0, 0), (c) La elipse x2

25 + y

2

9 = 1 con el punto de

origen (0, 3), (d) La elipse (x−2)2

9 + (y+1)2

16 = 1 con el puntode origen (−1, −1), (e) La parte superior de la rama derechade la hipérbola x2 − y2 = 1 con el punto de origen (1, 0)

54. Una motocicleta que viaja a lo largo de una pistaelı́ptica con una rapidez constante v . Determinela mı́nima aceleración si a > b.

Resp. am ı́n = an = v2b

a2

55. Los aviones A y B vuelan a la misma altutud.Si sus velocidad y el angulo entre sus trayecto-ria son la indicadas en la figura 37, determine la

velocidad del avión A con respecto del B.

Resp. 525 mi/h

56. La aceleración de una partı́cula está definida pora = 0.4(1−kv), siendo k una constante. Sabiendoque cuando t = 0 la partı́cula parte del reposodesde x = 4m y que cuando t = 15s, v = 4 m/s,hallar:



(a) La cosntante k

(b) La posición de la part́ıcula cuando v = 6 m/s

(c) Su velocidad máxima.

Resp. (a) 0.1457 s/m, (b) 145.2 m, (c) 6.86 m/s

57. El vector de posición de un cuerpo viene dado por

r = (t2 + t + 1)̂i + (1− 3t)ˆ j(a) Obtener la ecuacióon de la trayectoria.

(b) La velocidad media entre los instantes t1 =2 s y t2 = 4 s

(c) Velocidad y aceleración instantáneas en t =

3 s.

Resp. (a) x = 1

9(y2 − 5y + 13), (b) v̄x = 7 m/s; v̄y = −3 m/s,

(c) vx = 7 m/s; vy = −3 m/s; ax = 2 m/s2; ay = 0 m/s2

58. Considere el problema de tiro parabólico con ve-locidad inicial v0 y ángulo de disparo con respectoa la horizontal θ0. Para ángulos muy pequeños la


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distancia entre el punto de disparo y el proyec-til siempre aumenta, mientras que, por ejemplo,para el tiro vertical esta distancia primero au-menta y luego disminuye, pues el proyectil re-gresa al punto de disparo. Para ángulos inter-medios la distancia entre el punto de disparo y

el proyectil primero aumenta, luego disminuyey finalmente se aleja otra vez. Demuestre que elángulo crı́tico de disparo θc para el cual este com-portamiento de acercarse y alejarse comienzacumple que cos θc = 1/3.

59. Una moneda es soltada a partir del reposo dentrodel pozo de los deseos (Ver figura 38). Determinela profundidad del pozo si se conoce el tiempo T entre el instante en que se suelta la moneda yel instante en que se escucha que la moneda gol-pea el fondo del pozo. Considere constante a lavelocidad del sonido vs .


60. Desde la terraza de un edificio alto de 50 mse deja caer una piedra y 0.5 s después otrapiedra es dejada caer desde una ventana d met-

ros más debajo de la terraza. Se observa que lasdos piedras llegan al suelo al mismo tiempo. Hal-lar el valor de d, si la segunda piedra fuera lan-zada desde la misma terraza 0.5 s después que laprimera, qué velocidad inicial deberı́a tener parallegar al suelo al mismo tiempo que la primera.

61. Un hombre que corre a 14 km/h en direcciónOeste observa el viento como si llegara deNoroeste. Cuando reduce su velocidad a 6 km/hobserva el viento como si llegara del Norte. Hal-lar la intensidad y direcci’on del viento.

62. La Paz se halla a 16.50 S y el radio de la Tierra alecuador es de 6400 km, con estos datos hallar:

(a) La velocidad angular del monoblock centralde la UMSA alrededor del eje de la Tierra.

(b) Su velocidad lineal.

(c) Su aceleración centrı́peta.

63. Un piloto deja el avión avanzar automáticamentedurante una hora y media hacia el Este con ve-locidad 400 km/h. Al cabo de este tiempo retoma

los comandos y se da cuenta que el avión haavanzado 560 km hacia el este y 80 km hacia elNorte debido a un viento constante. Se pide hal-lar:

(a) ¿Cuál fue la velocidad del viento durante ese

tiempo?.(b) ¿ A que ángulo respecto a la direcci’on Este

debió el piloto colocar la brújula del timónpara mantener el rumbo hacia el Este?.

64. De una ducha caen gotas al piso que se encuen-tra 2.30 m debajo. Las gotas caen a intervalos detiempo regulares, de tal menera que cuando laprimera gota llega al piso la quinta comienza acaer.

(a) ¿A qué intervalo de tiempo caen las gotas?.

(b) ¿Cuál es la posición de cada gota en el mo-mento en que la primera llega al piso?.

65. Determine la velocidad de B si A estámoviéndose hacia abajo con una velocidadde vA = 4 m/s en el instante mostrado (verfigura 39).


Resp. vB = 1 m/s ↑

66. La aceleración de una partı́cula que viaja a lolargo de una lı́nea recta es a = k/v, donde k esuna constante. Si s = 0, v = v0 cuando t = 0,determine la velocidad de la partı́cula como unafunción del tiempo.

Resp. v =

2kt + v20


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67. Dos partı́culas A y B están en reposo en el origens = 0 y siguen una lı́nea recta tal que aA = (6t−3) ft/s2 y aB = (12t

2 − 8) ft/s2, donde t estáen segundos. Determine la distancia entre elloscuando t = 4 s y la distancia total que cada unoha viajado en t = 4 s.

Resp. dA = 41.0 f t, dB = 200.0 f t, ∆sAB = 152.0 f t

68. Un bote sale de un punto P sobre la orilla de unrio y viaja con velocidad constante V dirigido ha-cia un punto Q sobre la orilla del rio, situado endirección directamente opuesta a P. La distanciaentre los dos punto es D. Si r es la distancia in-stantánea desde Q al bote, θ es el ángulo entre ry PQ, y las aguas del rio se mueven con rapidez v,demostrar que la trayectoria del bote se da por:

r = D sec θ

(sec θ + tan θ)v/V


69. Demostrar que la magnitud de la aceleración deuna partı́cula en movimiento curvilı́neo en el es-pacio es

dv

dt

2+

v4

R2

donde v es la rapidez tangencial y R es el radiode curvatura.

70. Si el punto A de la soga se mueve hacia abajo conuna velocidad de 5 m/s, determine la velocidaddel cilindro B (ver figura 43).

Resp. vB = 20 m/s ↑

71. Un conductor de un automovil parte de un punto A en una autopista y se detiene en un punto B de-spués de viajar una diatancia D en un tiempo T .Durante el viaje alcanza una velocidad máximaV . Suponiendo que el valor de la aceleración es


constante tanto al comienzo como al final del vi-aje, demostrar que el tiempo durante el cual semantuvo la velocidad máxima se da por

2D

V − T

72. Si una partı́cula tienen velocidad v y aceleracióna a lo largo de una curva en el espacio, demostrarque el radio de curvatura de su trayectoria se danuméricamente por

R = v3

|v × a|

73. Hallar:

(a) La aceleración tangencial

(b) La aceleración normal

de una partı́cula que se mueve sobre la elipse r =a cos ωt î + b sen ωt ̂j.

Resp. (a) ω2(a2 − b2)sen ωt cos ωt√

a2 sen2 ωt + b2 cos2 ωt,

(b) ω2ab√

a2 sen2 ωt + b2 cos2 ωt

74. Una partı́cula se mueve de manera que su vector

de posición en cualquier tiempo t sea r = t î +1

2t2 ̂j + t k̂. Hallar:

(a) La velocidad

(b) La rapidez

(c) La aceleración

(d) La magnitud de la aceleración


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(e) La magnitud de la aceleración tangencial

(f) La magnitud de la aceleración normal

Resp. (a) î + t ̂j + k̂, (b)√

t2 + 2, (c) ̂j, (d) 1, (e) t√ t2 + 2

, (f)

2t2 + 2

75. Hallar:

(a) La tangente unitaria T

(b) La normal principal N

(c) El radio de curvatura R

(d) La curvatura κ

de la cruva en el espacio x = t, y = t2/2, z = t

Resp. (a) 1√

t2 + 2(̂i + t ̂j + k̂), (b)

1√ 2t2 + 4

(−t î + 2 ̂j − t k̂),

(c)

(t2 + 2)3

2 , (d)

2

(t2 + 2)3

76. El conductor de un automóvil que viaja haciael noreste a 26 mi/h, nota que el viento parecevenir desde el noroeste. Cuando se dirige haciael sureste a 30 mi/h el viento parece venir desdelos 600 al sur del oeste. Hallar la velocidad delviento relativa a la Tierra.

Resp. 52 mi/h en dirección 300 al sur del oeste

77. El cable en B (ver figura 42) se tira hacia abajo

a 4 ft/s, y la velocidad está disminuyendo a2 ft/s2. Determine la velocidad y aceleración delbloque A en ese instante.


Resp. vA = 1 ft/s ↑, AA = 0.5 ft/s2 ↓

78. Un helicóptero aterriza con viento cruzado en unbarco en movimiento desde el cual se observaque desciende verticalmente a 10 nudos. Si elbarco tiene una velocidad de avance de 20 nudos

y el viento cruzado está soplando perpendicular-mente al curso del barco a 20 nudos, encontrar lavelocidad del helicóptero a través del aire.

Resp. v = 20 î − 20 ̂j − 10 k̂, velocidad=30 nudos

79. Un semicilindro se balancea sinusoidalmente sindeslizamiento, como ae muestra en la figura 43,de tal forma que θ = sen2t:

(a) Cuando pasa por la posición neutra θ = 00,¿cuál es la aceleración del punto de contactocon la superficie fija?

(b) Cuando el semicilindro está al ángulomáximo de 1 radián ¿cuál es la aceleracióndel punto de contacto con la superficie fija?


Resp. (a) 4 m/s2 verticalmente hacia arriba, (b) cero

80. De un cilindro de radio R se está desenrollandouna cuerda arollada a su alrededor. La cuerdapasa sobre una polea y está unida a un cuerpoB (como se muestra en la figura 44). Relacionarla velocidad y la aceleración observadas del cen-tro geométrico del cilindro a su velocidad y acel-eración angulares y a la velocidad y aceleracióndel cuerpo B.

Resp. v = Rω − vB, a = Rα − aB

81. Desde el punto A se dispara un proyectil con unavelocidad inicial v0.

(a) Demostrar que el radio de curvaturamáximo se halla en el punto más alto de latrayectoria.


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(b) Siendo θ el ángulo formado por la trayecto-ria y la horizontal en un punto dado C, de-mostrar que el radio de curvatura en C es:

ρ = ρmincos3 θ


82. Desde el punto A se dispara un proyectil con unavelocidad inicial v0 que forma un ángulo α con lahorizontal. Expresar el radio de curvatura de latrayectoria en C en función de x, v0, α y g.

Resp. ρ = v20g cos α

1 − 2gx tan α

v20+

g2x2

v40 cos2 α

83. La aceleración de una partı́cula está definida porla relación:

a = 12x− 28donde a y x son expresados en m/s2 y m respecti-vamente. Sabiendo que v = 8 m/s cuando x = 0,determine:

(a) El valor máximo de x.

(b) La velocidad cuando la partı́cula recorreuna distancia total de 3 m.

Resp. (a) xmax = 2 m, (b) v = −4.47 m/s

84. Una partı́cula se mueve sobre una linea rectacon una aceleración constante de −4 pies/s2 du-rante los primeros 6 s, con aceleración cero enlos proximos 4 s y una aceleración constante de

4 pies/s2

en los próximos 4 s. Sabiendo que lapartı́cula parte del origen y que su velocidad esde −8 pies/s durante el intervalo de aceleraciónnula.

(a) Cosntruir las graficas de v − t y x − t para0 ≤ t ≤ 14 s.

(b) Determine la posición, la velocidad de lapartı́cula y la distancia total recorridacuando ha transcurrido 14 s.


FIG. 47.— Respuesta para el problema 84a

FIG. 48.— Respuesta para el problema 84a

Resp. (b) v14 = 8 ft/s, x14 = −8 f t, d = 88 f t

85. El movimiento de una partı́cula está definido porla relación: x(t) = 2t3 − 18t2 + 48t − 16, donde


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x y t se expresan en milı́metros y en segundosrespectivamente. Determine:

(a) Cuando es cero la velocidad.

(b) La velocidad, la posición y la distancia totalrecorrida cuando la aceleración es nula.

Resp. (a) t = 2 s y t = 4 s, (b) x3 = 20 mm, d = 44 mm

86. El movimiento de una partı́cula está definido porla relación: x(t) = 2t3 − 12t2 − 72t − 80, dondex y t se expresan en m y en s respectivamente.Determine:

(a) Cuando es cero la velocidad.

(b) La velocidad, la aceleración y la distanciatotal recorrida cuando x = 0.

Resp. (a) t = 6 s, (b) v = 288 m/s, a = 96 m/s2, d = 944 m

87. La aceleración de una partı́cula está definida pora = A−6t2 siendo A una constante. Cuando t = 0la partı́cula se pone en movimiento en x = 8 mcon v = 0. Sabiendo que cuando t = 1 s, v =30 m/s, hallar:

(a) El instante en que la velocidad es cero.

(b) La distancia total recorrida por la partı́culacuando t = 5 s.

Resp. (a) t = 0.4 s, (b) d = 168.5 m

88. Un hombre se halla en un bote en la orilla de un

rı́o y desea llegar al punto directamente opuestosobre la otra orilla. Considerando que la anchuradel rio es D y que la rapidez del bote y de la cor-riente del rio son respectivamente V y v


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96. Una piedra se arroja a un pozo y el sonido pro-ducido al chocar con el agua es oido un tiempo τ posterior al instante en que se soltó. Suponiendoque la rapidez del sonido es c, probar que elnivel del agua del pozo está a una profundidad

(

c2 + 2gcτ − c)22g

97. Un cañón se coloca sobre un cerro que tiene laforma de un plano inclinado que forma un ángulo

α con la horizontal. Un proyectil se dispara ha-cia arriba formando un ángulo β con el plano.Probar que si se desea que el proyectil golpee elcerro horizontalmente, debe cumplirse que β =

arctan 2sen2α

3− cos2α

98. Suponer que dos poryectiles se lanzan formandoángulos α y β con la horizontal desde el mismopunto en el mismo instante, en el mismo planoverticla y con la misma rapidez inicial. Probarque durante el movimiento, la lı́nea que une losproyectiles forma un ángulo constante con la ver-

tical dado por 1

2

(α + β )

99. Cuando un proyectil se lanza formando unángulo θ1 con la horizontal, cae a una distan-cia D1 antes de su blanco, mientras que para unángulo θ2 cae a una distancia D2 más allá delblanco. Determinar el ángulo para que al lanzarel proyectil dé en el blanco.

100. Un objerto fue arrojado verticlamente haciaabajo. Durante el décimo segundo de su viajedescendió dos veces lo que descendió durante elquinto segundo. ¿Con qué rapidez fue arrojado?

Resp. 16 pies/seg

101. El máximo alcance de un proyectil cuando se dis-para hacia abajo en un plano inclinado es dos ve-ces el máximo alcance cuando es disparado haciaarriba en el mismo plano inclinado. Determinarel ángulo que forma el plano con la horizontal.

Resp. arcsen 1

3

102. La rapidez de salida de una bala es v0, se sitúael cañón a una altura h sobre un plano horizon-tal. Probar que el ángulo con el cual debe hacerseel disparo para lograr el mayor alcance sobre el

plano se da por θ = 1

2 arccos

gh

v20

+ gh103. Una partı́cula se mueve con rapidez v0 constante,

sobre un riel circular de radio R colocado enposición horizontal sobre una superficie tambinhorizontal. La partı́cula se encuentra atada me-diante una cuerda inextensible a un bloque quecuelga debajo de un agujero localizado a una dis-tancia R/2 del centro del riel. Suponga que v0 essuficientemente pequeño para que la cuerda nose destense:

(a) Determine la rapidez del bloque en funcióndel ángulo θ.

(b) Obtenga la rapidez máxima del bloque.

(c) Determine la aceleración a del bloquecuando la partı́cula que se mueve sobre elriel pasa por la posicin θ=0.


Resp. (a) v(θ) = sen θ√ 5 + 4 cosθ

v0, (b) vmax = ±v02

k̂, (c)

a(θ = 0) = − v20

3Rk̂

104. Una partı́cula se mueve por el interior de un tubode largo 2R que gira con una velocidad angularconstante ω0. La particula inicia su movimientodesde el punto medio del tubo, desplazndose por

su interior con una rapidez constante v0 respectoal mismo. Determine:

(a) El radio de curvatura de la trayectoria de-scrita, en función del tiempo.

(b) La distancia recorrida por la partı́cula desdeque inicia su movimiento hasta que llega alextremo del tubo.


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Resp. (a) ρC = v0ω0

1 + ( R

v0+ t)2ω20

3/22 + ( R

v0+ t)2ω20

, (b)

D = LT = t2= Rv00 v0

1 + ( R

v0+ t)2ω20dt

105. Se observa una partı́cula en movimiento con re-specto a un sistema de referencia inercial. Latrayectoria está dada por las siguientes fun-ciones:

ρ = Aekθ , z = hρ

donde r, θ y z son las respectivas coordenadascilı́ndricas (con A, k, h positivos). Suponiendo quesu rapidez es constante (v0) y conocida:

(a) Calcule la velocidad v de la part́ıcula enfunción de θ, A, k, h y v0.

(b) Encuentre su aceleración a en función de losmismos parámetros.

(c) Pruebe que a⊥a.(d) Encuentre una expresión para θ(t).

Resp. (a) ̇r = v0√

k2 + 1 + h2k2(kρ̂ + θ̂ + hkk̂), (b)

a = v20

A exp kθ(k2 + 1 + h2k2)(kθ̂ − ρ̂), (d)

θ(t) = 1

k ln kv0

A√

k2 + 1 + h2k2t + kc

106. Considere una curva espiral descrita en coorde-nadas esf ́ericas por las ecuaciones:

r = R , φ = N θ

donde R y N son constantes conocidas (N en-

tero par). Una partı́cula se mueve sobre la espi-ral partiendo desde el extremo superior (θ=0) ymanteniendo una velocidad angular cenital con-

stante y conocida, θ̇ = ω0. Se pide:

(a) Utilizando coordenadas esf ́ericas, escribalos vectores velocidad y aceleración parauna posición arbitraria de la partı́cula sobresu trayectoria.

(b) Determine el valor del radio de curvatura dela trayectoria en el ecuador (θ= 900).

(c) Encuentre una expresión para la longitudtotal de la espiral y para el tiempo que lapartı́cula tarda en recorrerla. (Indicación:De ser dificil de calcular, puede dejar expre-

sada la integral).


Resp. (a) v = Rω0(θ̂ + N sen θφ̂); a =

−Rω20(1 + N 2 sen2 θ)r̂ − Rω20N 2 sen θ cos θθ̂ + 2Rω20N cos θφ̂,(b) ρC (θ = π/2) = R, (c) LT = R

π0

√ 1 + N 2 sen2 θdθ;

tf = π

ω0

107. La trayectoria de un punto P, en coordenadascilı́ndricas, se define con:

ρ(t) = ρ0, θ(t) =?, z(t) = h −Bθ(t)Se sabe que θ(t) es una función monótona, θ(0) =

0 y que θ̇(0) = ω0 y donde h, B y ω0 son cantidadespositivas conocidas.

(a) Obtenga las expresiones para los vectoresvelocidad y aceleración en este ejemplo.

(b) Obtenga una expresión para el vector tan-gente t̂ y para la rapidez de P. Comente so-bre los signos de estas cantidades.

(c) Obtenga expresiones para las aceleracionescentrı́peta y tangencial:

a = acent(t) + atg(t)

(d) ¿Cuál esla función θ(t) si se sabe que la acel-eración apunta todo el tiempo perpendicularal eje Z ?

Resp. (a) v = ρ0 θ̇θ̂ − B θ̇k̂; a = −ρ0 θ̇2ρ̂ + ρ0θ̈θ̂ − Bθ̈k̂, (b) t =

ρ0 ρ20 + B

2θ̂ − B

ρ20 + B2

k̂; v(t) = ·θ

ρ20 + B2, (c)

a = θ̈

ρ20 + B2t̂ − ρ0 · θ2ρ̂, (d) θ(t) = ω0t


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108. Una barra rı́gida de largo L se mueve apoyada endos paredes rı́gidas que forman un ángulo rectoentre ellas. Suponga que el ángulo θ = θ(t) esuna función arbitraria del tiempo.

(a) Determine el vector posición r(t), velocidadv(t) y aceleración a(t) del punto medio de labarra.

(b) El radio de curvatura de una trayectoria se

define como ρ = v3

|v ×a| . Calcule el radio decurvatura de esta trayectoria. Interprete elresultado y dibuje la trayectoria.

(c) Suponga ahora que el apoyo inferior de labarra se mueve con rapidez constante v0 apartir del momento en que la barra estáen la posición vertical. Encuentre la funciónθ(t) que da lugar a ese movimiento.


Resp. (b) ρC = L

2 , (c) θ(t) = arcsen

v0L

t

109. Considere una curva espiral cónica descrita encoordenadas esf ́ericas por las ecuaciones:

θ = 450,

φ = 2π r

R

donde R es una constante conocida. Una parı́culase mueve sobre la espiral partiendo desde el ori-gen manteniendo una velocidad radial constante

y conocida, ṙ = c. Se pide:

(a) Determine la distancia radial del punto P enel cual la rapidez de la partcula es 3c.

(b) Encuentre una expresión para la longitudtotal de la espiral y para el tiempo que lapartı́cula tarda en recorrerla. Nota: Estábien si deja su solución en términos de unaintegral muy complicada.

(c) Determine el valor del radio de curvatura dela trayectoria en el punto P.


Resp. (a) r∗ = 2R

π , (b) LT =

t2= 2Rcπ0

c

1 + t2

2π2c2

R2 dt, (c)

ρc = 27R

2√

86π

110. El punto de unión P entre un pistón y una bielade largo D se mueve a lo largo del eje x debidoa que el cigeñal(disco), de radio R y centro en unpunto fijo O, rota a velocidad angular constanteω. En el instante t = 0 la biela está horizontal(φ = 0, x = R + D).

(a) Encuentre una expresión para la distanciax(t) entre P y O como función del tiempo t.

(b) Encuentre la velocidad v(t) de P.

(c) En la expresión para v(t) considere el casoR

D y luego encuentre una expresión

aproximada para la aceleración de P. ¿Cómose compara la magnitud de la aceleraciónmáxima del pistón con la aceleración delpunto A?


Resp. (a) x(t) = R cos ωt +√

D2 − R2 sen2 ωt, (b)v(t) = −Rω sen ωt

1 +

R cos ωt√ D2 − R2 sen2 ωt

, (c)

v(t) ≈ −Rω sen ωt; a(t) ≈ −Rω2 cos ωt


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111. Suponga que es posible excavar un túnel entredos puntos A y B de la Tierra. La aceleraciónde gravedad (que apunta hacia el centro de laTierra) al interior del túnel tiene una magnitudque es proporcional a la distancia r desde el cen-tro de la Tierra:

| a |= gR

r

donde g es la aceleración de gravedad en la su-perficie de la Tierra y R es el radio de la Tierra.

Asumiendo que un vehı́culo parte del reposo enel punto A y se mueve sin roce en el interior deltúnel, bajo el efecto de la gravedad, calcule:

(a) El tiempo que requiere para llegar al puntoB, que está a una distancia R del punto A,en lı́nea recta.

(b) La rapidez máxima del movimiento resul-tante.

Nota: Considere que la aceleración real delvehı́culo es la que resulta de tomar la aceleraciónque tendrı́a el cuerpo si no estuviera restringidoa moverse en el túnel y proyectaŕıa en la di-rección del túnel.


Resp. (a) T = π

R

g , (b) ẋmax =

√ Rg

2

112. Suponga que la posición r de una partı́cula enfunción del tiempo t viene dada por:

r = r(t) = r0cos(t/t0)x̂ + sen(t/t0)ŷcon t0 = 1 min y r0 = 3 cm. ¿Que trayectoriarecorre la part́ıcula?, ¿Cuánto tiempo tarda lapartı́cula en volver al punto de partida?.

113. Un barco a vapor se dirige hacia el sur con unavelocidad vb = 25 km/h en un área donde soplaun viento desde el suroeste con velocidad v0 = 18km/h. Encuentre el ángulo θ0 que forma el humo

emitido por el vapor con la dirección norte—sur(ver figura 57).


Resp. θ0 = 18.640

114. Considere un disco de radio R = 50 cm que ruedasobre una recta (el eje x̂) con una velocidad angu-lar ω = 2 s−1. Considere un punto P ubicado en elperı́metro del disco, y designe por r al vector queva desde el origen hacia el punto P. Encuentreuna expresión para r = r(t); suponga que en elinstante t = 0 el punto P está en el origen. Haga


un gráfico de r(t) para el intervalo t ∈ [0 s, 10 s].¿Cuánto tarda la rueda en dar una vuelta com-pleta?

115. Un cañón se encuentra a una distancia D de un

edificio. Encuentre el ángulo de elevación θ0 y lavelocidad v0 de la bala de manera que el proyec-til entre horizontalmente por la ventana que seencuentra a una altura h (ver figura 59).

116. Considere un rı́o de ancho L en el cual el aguafluye con velocidad v0. Un nadador recorre eltrayecto A → B → A, mientras que un segundonada el trayecto C → D → C (ver figura 60). Los


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puntos C y D están anclados fijamente al fondodel rı́o y la separación entre C y D es la mismaque entre A y B. Si ambos nadan con la mismavelocidad v respecto al agua, ¿quién ganará lacarrera?


117. Se lanza un proyectil con cierto ángulo de ele-vación θ0. El alcance del proyectil es R (ver figura61). Si se desprecia el roce con el aire, demuestreque la trayectoria viene dada por la ecuación:

y(x) = −tan θ0

R x2

+ x tan θ0


Note que esta ecuación corresponde a unaparábola. Demuestre también que el ángulo dela tangente en el punto x viene implı́citamentedado por:

tan θ =

1− 2xR

tan θ0

118. Consideremos una turbina hidráulica. Supong-amos que el agua ingresa a la turbina con unavelocidadv, con v = |v| = 15 m/s, formando unángulo con la tangente al rotor en el punto de en-trada α = 300. (ver figura 62). Suponga ademásque el radio externo del rotor es R = 2 m y que,

en su estado estacionario, el rotor gira a 30 RPM(o sea, con frecuencia ν = 0.5 s−1).

La forma de las paletas de un rotor de unaturbina hidráulica es tal que la velocidad rela-tiva entre el agua que ingresa a la turbina y lapaleta en el punto de entrada, sea tangente ala paleta (de esta manera el agua ingresa a laturbina sin choques).

Determine el ángulo β entre la paleta del rotory la tangente al rotor en el punto de entrada deagua. Encuentre también la velocidad relativa vrdel agua (respecto a la paleta) en ese punto.


Resp. tan β = v sen α

v cos α − 2πRν ; vr = 10.06 m/s

119. Una rueda gira en torno a un eje horizontal a30 rpm (1 rpm = una revolución por minuto=1vuelta por minuto), de manera que su parte infe-rior queda a nivel del suelo, pero sin rozarlo. (Osea, la rueda gira sin rodar).

Sobre el borde de la rueda se han adosado dospiedrecitas, en posiciones diametralmente opues-tas.

(a) Suponga que cuando el diámetro que une alas piedras pasa por la posición horizontal,éstas se desprenden del borde, en forma si-multánea (figura 62a), y una de ellas llegaal suelo antes que la otra. Se observa quedurante el intervalo de tiempo entre la lle-gada al suelo de una y otra piedra, la ruedada una vuelta completa. Determine el radiode la rueda.


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(b) ¿Qué ángulo α debe formar la lı́nea que unea ambas piedras con la vertical para que, silas piedras se desprenden en esa posición,lleguen al suelo al mismo tiempo?


120. Un globo sonda es soltado desde la tierra y sealeja con velocidad constante en trayectoria recta

la cual forma un ángulo de 300

con la vertical. Lavelocidad del viento con respecto al suelo es de10 km/h, estable, hacia el norte.

(a) Calcule la velocidad del globo respecto alaire.

(b) Calcule el tiempo que tarda el globo en al-canzar una altura de 1 km con respecto alsuelo.


Resp. (a) 20

√ 3

2 km/h, (b) t∗ 3.46 min

121. Se lanzan dos proyectiles A y B de modo quetienen igual alcance horizontal L. A se lanza hor-izontalmente desde una altura h, que es igual ala altura máxima que alcanza B durante su vuelo(ver figura 63).

(a) Calcule la razón entre los tiempos de vuelode A y B.

(b) Calcule la razón entre las componentes hor-izontales de la velocidad de los proyectiles.

(c) ¿Cuál es la rapidez (magnitud de la veloci-dad) de cada uno de ellos al llegar al suelo?


Resp. (a) tAtB

= 1

2, (b)

vAxvBx

= 2, (c) |vA(t∗)| =

2gh + L2g

2h y

|vB(t∗)| =

2gh + L2g

8h con t∗ =

2h

g

122. Un juego de niños está compuesto por:

(a) Un pequeño avión A, que puede desplazarsesobre una pista rectilı́nea horizontal x0x,emitiendo radiaciones infrarrojas.

(b) Un pequeño misil M, detector de infrarrojos,que se dirige constantemente hacia el avión,a una velocidad que se puede regular a dosvalores v o 2v.

Al principio situamos el misil M sobre laperpendicular y 0y a la pista x0x, a la dis-tancia d de 0. En el momento en que A pasa

por 0, con la velocidad 1

2v, un dispositivo lib-

era a M.

i. Hallar la ecuación de la trayectoria deM:

• Si su velocidad está regulada alvalor v• Si su velocidad está regulada alvalor 2v

ii. ¿A que distancia de 0 y en qué instante,el misil colisionará con el avión?

Resp. (ia) d(3x − 2d)2 = y(y − 3d)2, (ib)x − 4

15d =

2

5y 4

y

d − 2

3

√ y 4√

yd, (ii) En el caso en que su


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velocidad sea v, se tedrá pues: x1 = 2

3d, t1 =

4d

3v y en el caso

en que su velocidad sea 2v, se tedrá pues: x2 =

4

15 d,

t2 = 8d

15v

123. Un Paracaidas P, que representaremos por unpunto material P, cae verticalmente con veloci-dad lı́mite v. Un tren pasa por 0, en la verticalde caida de P, en el momento en que P está a unaaltura h.

Determinar la trayectoria de P, respecto a un viajero que está sentado en el tren, en los tres casossiguientes:

(a) El tren efectúa un movimiento uniforme develocidad V , horizontal

(b) El tren aborda una rampa que forma unángulo constante α con la horizontal, a la

velocidad V = | V |(c) El tren efectúa un movimiento rectilineo

horizontal con aceleración constante a.

Resp. (a) z = h + v

V x ; el viajero, ligado al sistema de

referencia R’, observará, pues, una trayectoria rectilı́nea de

pendiente v/V , (b) z = (vx + V h)cos α

v sen α + V ; Para el viajero, el

movimiento de P sigue siendo rectilineo, (c)

x = − a2v2

z 2 + haz

v2 − ah

2

2v2 ; Para el viajero del tren, el

movimiento de P parecerá parablico.

124. Una partı́cula se mueve de forma tal que lamagnitud del vector posición r es constante. De-mostrar que la velocidad de la partı́cula es per-pendicular a r. Interprete geométricamente esteresultado.

125. Al destapar una botella de champaña el corchosale disparado verticalmente hacia arriba tar-dando t0 segundos en caer hasta la altura inicial.Determine la velocidad con que el corcho salió dela botella. (desprecie el roce con el aire).

126. Se deja caer una pelota de goma desde una alturah sobre el suelo. La rapidez con que la pelota reb-ota es una fracción f (f ≤ 1) de la rapidez con quela pelota impacta el suelo. Calcule la distancia to-tal recorrida por la pelota hasta su detención y eltiempo que tarda en hacerlo.

127. Desde un ascensor de carga cae accidentalmenteun paquete cuando el ascensor se encuentra auna altura h del suelo, moviéndose hacia arriba.Si el ascensor mantiene una rapidez constante v0determine a que altura se encuentra el ascensorcuando el paquete llega al suelo.

128. La aceleración de un bloque que se mueve a lo

largo del eje x se expresa como

a = k√

x

Donde k es una constante positiva. Tanto la rapi-dez v como el desplazamiento x son nulos parat = 0. Determine la aceleración, velocidad yposición del bloque en un instante t cualquiera.

129. Una partı́cula que se desplaza en un medio vis-coso a alta velocidad, experimenta una fuerza defreno que es proporcional al cuadrado de la rapi-dez. Como resultado de lo anterior, la aceleraciónque experimenta la partı́cula cuando se mueveen lı́nea recta en ese medio, a lo largo del eje x se

expresa como

a = −kv2r̂Donde k es una constante. Suponiendo que parat = 0 se tiene que x = 0 y v = v0 determine:

(a) rapidez de la part́ıcula en función de laposición x.

(b) rapidez de la part́ıcula en función deltiempo.

130. Una caja se desplaza hacia arriba sobre un planoinclinado que tiene una pendiente α(ver figura67), como resultado de tirar del extremo D de la

cuerda con una rapidez constante v0 a lo largode la linea CD, a partir del punto C. Determinela rapidez de la caja en cualquier instante t, enfunción de h, v0 y t.

131. El gráfico de la figura 68 muestra la rapidez deuna partı́cula que se desplaza en lı́nea recta, enfunción de su posición en el eje x. Demuestre quela partı́cula nunca llega a la posición x = 30 m.


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¿Cuál es la aceleración de la partı́cula en x =18 m?

132. Una partı́cula se mueve a lo largo de un circulode radio b. Si la velocidad de la partı́cula varı́a enel tiempo seg ́un

v(t) = At2

¿Para qué valor, o valores del tiempo el vectoraceleración forma un ángulo de π/4 con el vectorvelocidad ?

133. Encontrar el radio de curvatura (en función deltiempo) de la trayectoria que se asocia a la sigu-iente función itinerario:

r = a + bt + ct2

, si los vectores constantes b y c son ortogonales.

134. El mecanismo que se muestra en la figura 69adjunta transforma un movimiento de rotaciónen uno lineal de traslación. El vástago A, fijo enla barra OA se encuentra a una distancia d deO y desliza en la ranura a medida que el brazoOA gira a una tasa constante de ω0 radianespor segundo, en el sentido indicado por la flecha.

Como consecuencia de este movimiento la barrase mueve verticalmente. Describa el movimientode la barra vertical y en particular determine suaceleración cuando la barra forma un θ = 300 conla vertical.

135. Un disco circular de radio R rueda sin resbalar alo largo del eje x con rapidez constante v0 comose indica en la figura 70. Para t = 0 el punto


A, en el borde externo del disco, coincide con elorigen. Determine expresiones para los vectoresposición, velocidad y aceleración del punto A.


136. Una partı́cula se mueve con rapidez constante v0a lo largo de una trayectoria parabólica definidapor la ecuación y = cx2, donde c es una constantepositiva. Encuentre expresiones para la veloci-

dad v y la aceleración a cuando la partı́cula seencuentra en la posición (x0, y0 = cx2

0).

137. Una partı́cula se mueve con rapidez constante v0.a lo largo de la espiral ρ = Aekθ Determine:

(a) vector velocidad en función de ρ y θ.

(b) vector aceleración en funcion de ρ y θ.

(c) demuestre que en todo instante el vectoraceleración es perpendicular al vector ve-locidad.

(d) encuentre el ángulo θ y la velocidad angularen función del tiempo.

138. Se lanza una pelota en dirección perpendicular auna superficie inclinada (que forma un ángulo αcon la horizontal) de modo que cuando rebota lohace con una rapidez v0. Determine la distanciaR donde la pelota golpea nuevamente la superfi-cie inclinada.

139. Usando el mismo cañon, se lanzan en forma suce-siva dos proyectiles, el primero con un ángulo de


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alza θ1 y luego el otro con un angulo θ2 (θ1 >θ2). Si la rapidez de los proyectiles a la salidadel cañon es v0 y los dos proyectiles llegan si-multáneamente al blanco localizado a una dis-tancia R, determine los ángulos de lanzamiento yel intervalo de tiempo transcurrido entre los dosdisparos.

140. Una partı́cula describe una trayectoria circular

de radio R. El arco que recorre en funci´on deltiempo (t) está descrito por la ecuación

s = R ln(1 + αt)

donde α es una constante positiva. Calcule lascomponentes tangencial y normal de la acel-eración en función del tiempo.

141. Una particula se mueve con rapidez constantev0 sobre la superficie de un cono recto desemiángulo α de modo que la trayectoria que de-scribe forma un ángulo β constante con la gen-eratriz del cono. La partı́cula inicia su movimi-mento a una distancia l0 del véertice del cono.Determine la ecuación de la trayectoria de lapartı́cula, utilizando un sistema de coordenadasesf ́ericas con origen en el vértice de cono.


142. Una escalera de largo L apoyada en una pared,como se indica en la figura, desliza sobre la su-perficie horizontal. En su caı́da y cuando formaun ángulo θ0 con la superficie horizontal, el ex-tremo inferior de la escalera se mueve con unarapidez v y una aceleración a. Determine, paraese instante, la velocidad y aceleración del ex-tremo superior de la escalera.


143. Una partı́cula se mueve por el interior de un tubode largo 2R que gira con una velocidad angularconstante ω0. La partı́cula inicia su movimientodesde el punto medio del tubo desplazándose porsu interior con una rapidez constante v0 respectoal mismo. Determine:

(a) el radio de curvatura de la trayectoria de-scrita, en función del tiempo

(b) la distancia recorrida por la partı́cula desdeque inicia su movimiento hasta que llega alextremo del tubo.


144. Un niño está elevando un volantı́n. En un ciertoinstante éste se encuentra a una altura h sobrela posición del carrete y sube verticalmente conuna rapidez v0. Si en ese instante se han desen-rrollado L metros de hilo, determine con que ve-locidad angular gira el carrete cuyo diámetro r0.

145. Una partı́cula recorre una trayectoria dada porla ecuación

ρ = 10(cos θ + 1), en forma tal que θ = πt

50. Haga un gráfico de la

trayectoria y encuentre expresiones para la ve-locidad y la aceleración de la partı́cula en funcióndel tiempo.

146. Un ventilador de techo, con aspas de largo L, giracon una velocidad angular constante ω0. Las vi-braciones en las aspas provocan que el extremo


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de las mismas describan un movimiento verti-cal de modo que el desplazamiento depende delángulo de giro en la forma siguiente

z = d0 sen 2θ

Determine la máxima aceleración que experi-

menta el extremo de cada aspa.

147. Las componentes del vector de posición de unapartı́cula en movimiento, expresadas en compo-nentes cartesianas, son las siguientes:

x = A cos ωt

y = A sen ωt

z = B sen λt

donde A, B, ω y λ son constantes. Encontrar larelación que debe haber entre ω y λ para que elmovimiento ocurra en un plano.

148. Un faro proyecta un haz de luz que rota conuna velocidad angular ω0 en el sentido indicadoen la figura. Determine la rapidez y aceleracióncon que se desplaza la luz proyectada sobre unapared a una distancia h del faro, cuando el hazde luz incide con un ángulo de 450 respecto de lapared.


149. Considere un sistema formado por dos barras ar-ticuladas de largo L cada una. La barra OA giraalrededor de O y un extremo de la otra barrase mueve horizontalmente fijo al anillo B quedesliza a lo largo de una barra. Determine la ve-locidad angular ω y la aceleración angular α de

la barra OA en función de la velocidad v y la acel-eración a de la pieza B.


150. Una particula se mueve a lo largo de una trayec-toria espiral cilı́ndrica (ver figura) con una rapi-dez v(t). La distancia desde cualquier punto dela trayectoria al eje de la espiral es R y el ánguloque forma el vector velocidad con el plano per-pendicular al eje de la espiral (α) es constante.Determine en términos de R, v(t) y α:

(a) las componentes de velocidad y aceleraciónen coordenadas cilı́ndricas.

(b) las componentes tangencial y normal de laaceleraci’on.

(c) el radio de curvatura de la trayectoria.


151. Como una aplicación particular del problema an-terior considere el caso de un automóvil que de-sciende por una rampa (de la forma indicada enla figura del problema 150) en un edificio de esta-cionamiento, con una rapidez constante v0. Si larampa desciende una altura h cada vuelta com-pleta determine la magnitud de la aceleraciónque experimenta el autom’ovil a medida que sedesplaza por la rampa.

152. Una partı́cula se mueve a lo largo de la espiralρ = aθ desde θ = 0, con rapidez constante v0.Determine:

(a) el vector velocidad en función de θ.

(b) el vector unitario t̂ tangente a la trayecto-ria, en función del angulo θ. Obtenga unaexpresión para el camino recorrido s enfunción del tiempo.


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(c) calcule la aceleracion a en función de θ.

(d) determine el vector n̂ normal a la trayecto-ria, en función de θ y obtenga una expresiónpara el radio de curvatura ρc en función deθ.

(e) verifique que la aceleración es siempre per-pendicular a la velocidad.

153. Una partı́cula de masa m y carga eléctrica q quese mueve a lo largo del eje x, con rapidez v0 îentra en una región del espacio de ancho L. Enesta región existe un campo magnético constante

del tipo B0 = B0 ˆ j el cual ejerce una fuerza F =qv× B0 sobre la partı́cula. Suponga en el análisisque la fuerza gravitacional es muy pequeña com-parada con la fuerza magnética.

(a) demuestre que la magnitud de la velocidades constante durante el movimiento.

(b) determine la trayectoria que sigue lapartı́cula mientras que se mueve en laregión donde actúa el campo magnético yanalice los casos posibles dependiendo de lamagnitud de L.


154. Un disco de radio R rueda sin deslizar sobreuna superficie horizontal, de modo que su cen-tro avanza en dirección x con rapidez constantev0. En la posición inicial el centro del disco se en-cuentra en x = 0. Considere una partı́cula fijaal disco en el punto A, situado a una distanciaa < R de su centro y calcule:

(a) los vectores de posición, velocidad y acel-eración del punto A, en función del tiempo,en el sistema de coordenadas cartesianas in-dicado en la figura.

(b) el radio de curvatura de la trayectoria delpunto A cuando pasa por los puntos másbajo y más alto (mı́nimo y máximo de y).


155. El vector posición de una partı́cula, en funciondel tiempo (función itinerario) esta dado por:

r(t) = R cos ω0t î + R sen ω0t ̂j + ct k̂

donde R, ω0 y c son constantes, y t es el tiempo.Determine:

(a) rapidez de la part́ıcula en función deltiempo, y las componentes tangencial y nor-mal de su aceleración.

(b) radio de curvatura de la trayectoria, enfunción del tiempo.

(c) ¿qué relacion debe existir entre ω0 y c, paraque el movimiento ocurra sobre un plano?

156. En un rodamiento el radio del eje es R y el radiode cada esfera es a. El eje gira con una veloci-dad angular constante ω0 ,mientras que la paredexterior P se encuentra en reposo. Si las esferasruedan sin resbalar en el eje y en la pared exte-rior, determine:

(a) rapidez del centro de cada esfera.(b) velocidad angular de rotación de cada esfera

con respecto a su centro.


157. Un globo asciende desde el suelo a una veloci-dad vertical v0 Debido al viento el globo adquiere


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una componente horizontal de velocidad vx = kz, donde k es una constante y z es la altura sobreel terreno. Si se coloca el origen del sistema decoordenadas en el punto de lanzamiento, deter-mine:

(a) trayectoria del globo y su vector de posiciónen función del tiempo.

(b) las componentes tangencial y normal de laaceleración en función de la altura “z”.


158. Una barra de largo L se encuentra apoyada so-bre un semi-cilindro de radio R, como se indicaen la figura. El extremo inferior de la barra esforzado a moverse con rapidez constante v0 haciala derecha. Determine la velocidad y aceleracióndel extremo superior de la barra en el instantecuando su extremo inferior se encuentra a unadistancia 2R del eje del semi-cilindro y el ánguloque forma la barra con la horizontal es α.


159. Desde un avión que vuela con una velocidad v0en dirección horizontal y a una altura H sobreel suelo, se suelta un objeto. Si se asume que elroce viscoso con el aire es despreciable frente a lafuerza gravitacional, determine:

(a) ecuación de la trayectoria con respecto alsistema de referencia fijo indicado en lafigura.

(b) aceleracin tangencial y normal en funcióndel tiempo

(c) radio de curvatura en función del tiempo


160. Una partı́cula describe una trayectoria plana conuna rapidez proporcional a la distancia al origen

(ρ), siendo k la constante de proporcionalidad, ycon una velocidad angular constante ω0 en tornoal origen. En el instante inicial, la distancia alorigen es ρ0, θ = 0 y la componente radial de lavelocidad es positiva. Determine:

(a) ecuación de la trayectoria en un sistema decoordenadas polares.

(b) demuestre que la aceleración es propor-cional a la distancia de la partı́cula al ori-gen.

(c) determine las componentes tangencial ynormal de la aceleración en función deltiempo.

161. Una partı́cula describe la trayectoria parabólicadescrita por la ecuacion xy = a, manteniendouna rapidez constante v0. Calcule los siguientesparámetros cuando la partı́cula pasa por el puntomas cercano al origen de las coordenadas:

(a) componentes cartesianas de la velocidad

(b) componente de aceleración segun el eje x

(c) componente de aceleración a lo largo de latrayectoria y perpendicular a ella.

(d) radio de curvatura de la trayectoria en esepunto

162. Considere una partı́cula que se mueve en unplano de modo tal que la componente de su acel-eración perpendicular al radio vector es nula(aθ = 0).

(a) demuestre que bajo estas condiciones secumple que el producto entre el cuadrado dela magnitud del radio vector y la velocidadangular es constante.


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(b) si la trayectoria de la part́ıcula quedadescrita por la ecuación: ρ(θ) = (2 −cos θ)−1(elipse) demuestre que la compo-nente radial de la aceleración es propor-cional a ρ−2.

163. Una partı́cula parte desde el reposo en el origeny recibe una aceleración

a = k

(x + 4)2,

donde a y x se expresan en m/s2 y m, respecti-vamente, y k es una constante. Si se sabe quela velocidad de la partı́cula es de 4 m/s cuandox = 8 m, determine:

(a) El valor de k

(b) La posición de la partı́cula cuando v =4.5 m/s

(c) La velocidad máxima de la partı́cula.

164. Durante las pruebas realizadas a una nueva lan-cha salvavidas, un acelerómetro adherido a lalancha proporciona el registro que se muestra enla figura 85. Si la lancha tiene una velocidad de

7.5 ft/s en t = 0 y llega al reposo en el tiempo t1,determine:

(a) El tiempo t1

(b) La distancia que recorre la lancha antes dequedar en reposo.


E s m e j o r n

o p e n s a r e

n e l fi n a l, s

i n o ¿ c o m o

l l e g a m o s

a l fi n a l ?

A u t o r : E v

a r i s t o( E =

mc 2 )

Practica 2 Cinematica 1-2016 Fisica 100

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