PRACOWNIA FIZYCZNA I - mif.pg.gda.pl · PDF filePolitechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek In»ynieria Biomedyczna Skrypt do laboratorium PRACOWNIA FIZYCZNA I...

Politechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek �In»ynieria Biomedyczna�

Skrypt do laboratorium

PRACOWNIA FIZYCZNA I

�wiczenie 4: Wyznaczanie wspóªczynnika zaªamania ciaª staªych.

Opracowanie: mgr Tomasz Neumann

Gda«sk, 2011

Projekt �Przygotowanie i realizacja kierunku in»ynieria biomedyczna - studia mi¦dzywydziaªowe�

wspóª�nansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego.


USTALENIA WST�PNE

Wymagania wst¦pne:

Zapoznanie si¦ z wiadomo±ciami teoretycznymi oraz przebiegiem ¢wiczenia zawartymi w

instrukcji do ¢wiczenia.

Cele ¢wiczenia:

1. Usystematyzowanie wiedzy z elektrodynamiki i optyki falowej.

2. Zapoznanie studentów z metodami pomiaru wspóªczynnika zaªamania ciaª staªych.

3. Wykonanie pomiaru wspóªczynnika zaªamania ±wiatªa materiaªu za pomoc¡ metody

de Chaulnes i k¡ta Brewstera.

4. Analiza zebranych danych pomiarowych, niepewno±ci pomiarowych oraz wykonanie

odpowiedniej statystyki danych pomiarowych.

5. Oszacowanie niepewno±ci wielko±ci wyznaczanych.

6. Sformuªowanie wniosków.

Wykaz przyrz¡dów niezb¦dnych do wykonania ¢wiczenia:

(a) Ukªad pomiarowy 1: 1 - lampka laboratoryjna;

2 - mikroskop; 3 - badane obiekty, 4 - ±ruba mi-

krometryczna.

(b) Ukªad pomiarowy 2: 1 - ruchome ¹ródªo ±wia-

tªa ; 2 - soczewka skupiaj¡ca 1; 3 - obrotowy sto-

lik z polaryzatorem, 4 - pionowa ni¢ celownika, 5

- analizator.

Rys. 1: Ukªady pomiarowe wykorzystywane w ¢wiczeniu.

Wykaz literatury podstawowej:

1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker - �Podstawy �zyki�.

2. M. Skorko - �Fizyka dla studentów wy»szych technicznych studiów zawodowych�.

3. I. Tarjan - �Fizyka dla przyrodników�.

4. K. Kozªowski, A. Zieli«ski - I Laboratorium z �zyki.

5. K. A. Tsokos - �Physics for IB diploma�.

Pracownia Fizyczna I - �Wyznaczanie wspóªczynnika zaªamania ciaª staªych�.

2


WPROWADZENIE DO �WICZENIA

Podstawy optyki geometrycznej

W o±rodku jednorodnym i izotropowym ±wiatªo rozchodzi si¦ po liniach prostych. W optyce

geometrycznej operuje si¦ poj¦ciem promienia ±wietlnego, czyli bardzo w¡skiej wi¡zki ±wia-

tªa wyznaczaj¡cej kierunek rozchodzenia si¦ fali ±wietlnej. Zgodnie z zasad¡ Fermata, pro-

mie« ±wietlny biegn¡cy z jednego punktu do drugiego przebywa drog¦, do której przebycia

potrzebny jest ekstremalny czas (najmniejszy lub najwi¦kszy). Z zasady tej mo»na wypro-

wadzi¢ prawo odbicia i zaªamania ±wiatªa na granicy dwóch o±rodków.

Na rysunku 2 zostaª przedstawiony promie« padaj¡cy z punktu A pod k¡tem α do normalnej

oraz promie« odbity od granicy dwóch o±rodków w punkcie P pod k¡tem α′ do normalnej.

Caªkowita dªugo±¢ drogi promienia ±wietlnego pomiedzy punktem A i B wynosi

Rys. 2: Odbicie promienia ±wietlnego od granicy dwóch o±rodków.

s =√a2 + x2 +

√b2 + (d− x)2 (1)

W równaniu 1 na drog¦ promienia ±wietlnego x jest zmienn¡ zale»n¡ od poªo»enia punktu

P . Aby obliczy¢ ekstremum funkcji 1 musi by¢ speªniony warunek

dsdx

= 0. (2)

Po obliczeniu pochodnej i przeksztaªceniu otrzymujemy zwi¡zek

x√a2 + x2

=d− x√

b2 + (d− x)2. (3)

Z rysunku 2 mo»na zauwa»y¢ nast¦puj¡ce zale»no±ci trygonometryczne

sinα =x√

a2 + x2oraz sinα′ =

d− x√b2 + (d− x)2

, (4)


3


a wi¦c

sinα = sinα′. (5)

Z równania 5 wynika, »e zgodnie z zasad¡ Fermata k¡t padania jest równy k¡towi odbicia

α = α′. (6)

Analogicznie mo»na wyprowadzi¢ prawo zaªamania, które zilustrowane zostaªo na rysunku

3. W tym przypadku, czas przej±cia promienia ±wietlnego od punktu A do punktu B przez

Rys. 3: Zaªamanie promienia ±wietlnego na granicy dwóch o±rodków.

punkt P wynosi

t =s1

v1+s2

v2, (7)

w którym przez v1 i v2 rozumiemy pr¦dko±¢ propagacji promienia ±wietlnego w danym

o±rodku. Korzystaj¡c ze zwi¡zku pomi¦dzy pr¦dko±ci¡ promienia ±wietlnego, a wspóªczyn-

nikiem zaªamania wzgl¦dem pró»ni

n =c

v, (8)

gdzie c jest pr¦dko±ci¡ ±wiatªa, równanie 7 mo»na przeksztaªci¢ do postaci

t =n1s1 + n2s2

c=soptc. (9)

Wielko±¢ sopt = n1s1 + n2s2 jest drog¡ optyczn¡ promienia ±wietlnego i jest ró»na od drogi

geometrycznej, która wynosi sgeom = s1 + s2.

Zgodnie z prawem Fermata droga optyczna promienia ±wietlnego powinna by¢ ekstremalna,

wi¦c »¡damy, aby speªniony byª warunek

dsoptdx

. (10)


4


Po zró»niczkowaniu i przeksztaªceniach otrzymamy równanie

n1x√

a2 + x2= n2

d− x√b2 + (d− x)2

. (11)

Z rysunku 3 wida¢ nast¦puj¡ce zwi¡zki trygonometryczne

sinα =x√

a2 + x2oraz sin β =

d− x√b2 + (d− x)2

, (12)

co prowadzi do prawa zaªamania postaci

sinαsin β

=n2

n1= n21 (13)

Wielko±¢ n21 nazywamy wzgl¦dnym wspóªczynnikiem zaªamania ±wiatªa o±rodka drugiego

wzgl¦dem ±rodka pierwszego i wynosi

n21 =n1

n2. (14)

Wspóªczynniki zaªamania s¡ odwrotnie proporcjonalne do pr¦dko±ci rozchodzenia si¦ ±wia-

tªa w o±rodkach. O±rodek, w którym ±wiatªo rozchodzi si¦ z wi¦ksz¡ pr¦dko±ci¡, nazywamy

optycznie rzadszym, za± o±rodek, w którym pr¦dko±¢ ±wiatªa jest mniejsza - optycznie g¦st-

szym. Nale»y pami¦ta¢, »e promie« padaj¡cy na granic¦ dwóch o±rodków ulega zarówno

odbiciu jak i zaªamaniu.

Prawo odbicia i zaªamania mo»na równie» wyprowadzi¢ korzystaj¡c z podstawowych praw

falowych oraz zasady Huygensa. Zgodnie z tre±ci¡ tej zasady, ka»dy punkt o±rodka do któ-

rego dociera czoªo fali, staje si¦ ¹ródªem nowej fali elementarnej. Wyprowadzenie to jednak

pozostawiam czytelnikowi do samodzielnego rozwi¡zania.

Polaryzacja ±wiatªa

�wiatªo jest to fala elektromagnetyczna, która jest szczególnym rozwi¡zaniem równa« Ma-

xwella. S¡ to naprzemienne zmiany wektora nat¦»enia pola elektrycznego ~E i pola magne-

tycznego ~H na pªaszczyznach wzajemnie prostopadªych. Kierunek propagacji ±wiatªa jest

zawsze prostopadªy do pªaszczyzny zmian wektorów ~E i ~H zgodnie z kierunkiem przepªywu

energii. Nie ma jednak wyró»nionej pªaszczyzny drga«, wi¦c kierunki drga« tych wektorów

w przestrzeni s¡ jednakowo prawdopodobne. Przez polaryzacj¦ ±wiatªa rozumiemy uporz¡d-

kowanie drga« wektora ~E i ~H wzdªu» wyró»nionego kierunku. Kierunek drga« wektora pola

elektrycznego i magnetycznego ±wiatªa spolaryzowanego nie zmienia si¦ w przestrzeni lub

zmienia si¦ wedªug okre±lonego prawa. Pªaszczyzna utworzona z kierunku drga« wektora ~E i

kierunku rozchodzenia si¦ fali to pªaszczyzna drga«, natomiast pªaszczyzna utworzona z kie-

runku drga« wektora ~H i kierunku rozchodzenia si¦ fali nosi nazw¦ pªaszczyzny polaryzacji.

�wiatªo mo»na spolaryzowa¢ poprzez polaroid, pryzmaty polaryzuj¡ce, rozproszenie oraz w


5


wyniku odbicia i zaªamania ±wiatªa od granicy dwóch o±rodków. Przy padaniu ±wiatªa na

granic¦ dwóch o±rodków nast¦puje polaryzacja zarówno promienia odbitego, jak i zaªama-

nego. Polaryzatorem jest powierzchnia odbijaj¡ca ±wiatªo - granica dwóch o±rodków. Dla

dowolnego k¡ta padania polaryzacja ta jest cz¦±ciowa. Stopie« polaryzacji zmienia si¦ ze

zmian¡ k¡ta padania ±wiatªa i jest opisany zale»no±ci¡

P =Imax − IminImax − Imin

, (15)

w którym Imax i Imin oznaczaj¡ nat¦»enie wi¡zek skªadowych o drganiach wzajemnie prosto-

padªych, odpowiednio o najwi¦kszym i najmniejszym nat¦»eniu za analizatorem. Caªkowita

liniowa polaryzacja ±wiatªa odbitego zachodzi dla takiego k¡ta padania αB, dla którego pro-

mie« odbity jest prostopadªy do promienia zaªamanego - promie« ten jest jedynie cz¦±ciowo

spolaryzowany. K¡t αB nosi nazw¦ k¡ta caªkowitej polaryzacji albo k¡ta Brewstera. Drgania

wektora E w ±wietle odbitym zachodz¡ prostopadle do pªaszczyzny, w której le»y promie«

padaj¡cy i odbity, a w ±wietle zaªamanym odbywaj¡ si¦ w pªaszczy¹nie równolegªej do pªasz-

czyzny, w której le»¡ te promienie.

Zgodnie z prawem zaªamaniasinα1

sinα2= n21, (16)

oraz warunkiem, »e

αB + β = 90◦, (17)

otrzymujemy

tgαB = n21. (18)

Polaryzacj¦ ±wiatªa wykrywamy i badamy za pomoc¡ analizatorów - mo»e to by¢ np. pryzmat

Nikola (nikol). Je»eli pªaszczyzna polaryzacji nikola b¦dzie równolegªa do pªaszczyzny pola-

ryzacji ±wiatªa odbitego od pªytki, ±wiatªo przechodz¡ce przez analizator b¦dzie posiadaªo


6


maksymalne nat¦»enie. Przy pªaszczyznach prostopadªych obserwujemy caªkowite wygasza-

nie ±wiatªa. W wypadkach po±rednich, gdy pªaszczyzny polaryzacji ±wiatªa przez pªytk¦ i

przez nikol tworz¡ ze sob¡ pewien k¡t γ, obowi¡zuje prawo Malusa

I = I0 cos2 γ, (19)

w którym I0 - nat¦»enie ±wiatªa wychodz¡cego z analizatora dla k¡ta γ = 0, I - nat¦»enie

±wiatªa wychodz¡cego z analizatora, gdy jest on skr¦cony o k¡t γ wzgl¦dem polaryzatora.

PRZEBIEG �WICZENIA

CZ�� I: Obserwuj¡c przedmioty w o±rodkach optycznie g¦stszych z o±rodka optycznie

rzadszego mamy wra»enie, »e przedmioty te znajduj¡ si¦ bli»ej ni» w rzeczywisto±ci (np.

ryba w wodzie). Wykorzystanie tej obserwacji pozwala w prosty sposób zmierzy¢ wspóªczyn-

niki zaªamania prze¹roczystych pªytek. Obserwuj¡c punkt P przez pªytk¦ pªaskorównolegª¡,

Rys. 4: Powstawanie obrazu pozornego.

widzimy go w poªo»eniu P ′ - otrzymamy pozorne podniesienie obrazu na wysoko±¢ h. Roz-

patruj¡c trójk¡ty ABP i ABP ′, w których

AB = e,

AP ′ = d− h,

tgα =e

d≈ sinα,

tg β =e

d− h≈ sin β.


7


otrzymamy warto±¢ wspóªczynnika zaªamania o±rodka w postaci

n =d

d− h. (20)

Z wzoru 20, wynika, »e wyznaczaj¡c do±wiadczalnie d oraz h wyznaczymy wspóªczynnik za-

ªamania n danej pªytki.

Pomiar grubo±ci pªytki d wykonujemy za pomoc¡ ±ruby mikrometrycznej. Grubo±¢ mierzymy

10 razy w ró»nych miejscach pªytki, aby w obliczeniach uwzgl¦dni¢ ewentualne niejednorod-

no±ci grubo±ci pªytki. Na podstawie tych pomiarów, obliczamy ±redni¡ warto±¢ dr.

Warto±¢ pozornego podniesienia obrazu h mierzymy, posªuguj¡c si¦ mikroskopem. �ruba

przesuwaj¡ca tubus mikroskopu jest ±rub¡ mikrometryczn¡. Peªny obrót ±ruby powoduje

przesuni¦cie o z = 0, 5 mm. Ten peªny obrót podzielony jest jeszcze na 50 cz¦±ci tak, »e do-

kªadno±¢ odczytu wynosi 0, 01mm. Na stoliku umieszczamy zarysowan¡ pªytk¦ i ustawiamy

mikroskop tak, aby brzegi rysy byªy ostro widoczne. Nast¦pnie przykrywamy rys¦ badan¡

pªytk¡ o nieznanym wspóªczynniku zaªamania i ponownie szukamy ostrego obrazu rysy, prze-

suwaj¡c tubus mikroskopu za pomoc¡ ±ruby. Liczymy peªn¡ ilo±¢ obrotów ±ruby k, a ze skali

odczytujemy setne cz¦±ci milimetra r. Pozorne podniesienie obrazu w pªytce wyniesie

h = kz + r [mm]. (21)

Dla badanej pªytki pomiar h wykonujemy dziesi¦ciokrotnie po czym obliczamy ±redni¡ war-

to±¢ hr.

Cz¦±¢ II: Wykorzystuj¡c prawo Brewstera

tgαB = n21, (22)

do±wiadczalnie wyznaczamy k¡t αB, posªuguj¡c si¦ przy tym ukªadem optycznym jak na

rysunku 5 Na ªawie optycznej umieszczona jest, w ruchomej podstawce, badana pªytka P

b¦d¡ca polaryzatorem ±wiatªa oraz nikol A, speªniaj¡cy w tym ukªadzie rol¦ analizatora.

Monochromatyczne ¹ródªo ±wiatªa Z znajduje si¦ na ruchomym ramieniu obracaj¡cym si¦

wokóª polaryzatora. W celu znalezienia k¡ta caªkowitej polaryzacji ustawiamy ¹ródªo tak,

aby promie« padaª na pªytk¦ w ±rodku skali k¡towej. Speªnione to b¦dzie wówczas, je»eli na

tle plamki ±wietlnej b¦dziemy widzie¢ pionow¡ ni¢ celownika C umieszczonego mi¦dzy P i

A. Obracamy analizator wokóª kierunku biegu promienia odbitego. Zmiany nat¦»enia wi¡zki

±wiatªa ±wiadcz¡ o pewnym uporz¡dkowaniu drga« wektora E. Je»eli przy obrocie nikola

natra�my na takie jego poªo»enie, przy którym nat¦»enie promienia odbitego b¦dzie równe

zeru, wówczas znaleziony k¡t padania jest k¡tem caªkowitej polaryzacji αB. Odnajdujemy

ten k¡t metod¡ kolejnych prób dla ró»nych k¡tów padania ±wiatªa na pªytk¦ P . Nale»y

pami¦ta¢, »e przy zmianie poªo»enia ¹ródªa ±wiatªa nale»y odpowiednio zmienia¢ poªo»enie


8


Rys. 5: Schemat ukªadu pomiarowego do wyznaczania wspóªczynnika zaªamania materiaªu,

wykorzystuj¡c zjawisko polaryzacji ±wiatªa przez odbicie.

pªytki P . K¡t Brewstera mierzymy pi¦ciokrotnie z jednej i drugiej strony ªawy optycznej.

Odczytu warto±ci k¡ta caªkowitej polaryzacji αB dokonujemy na tarczy obracaj¡cej si¦ razem

z pªytk¡ P . Warto±¢ wspóªczynnika zaªamania obliczamy dla warto±ci ±redniej k¡ta Brewstera

zgodnie z formuª¡

n = tgαr. (23)

Zadania

1. Wyznaczy¢ wspóªczynnik zaªamania ±wiatªa metod¡ mikroskopow¡ de Chaulnesa, mie-

rz¡c grubo±¢ pªytki d oraz pomiar pozornego podniesienie obrazu h.

2. Wyznaczy¢ wspóªczynnik zaªamania ±wiatªa, stosuj¡c prawo Brewstera przez pomiar

k¡ta Brewstera dla badanej pªytki.

OPRACOWANIE DANYCH POMIAROWYCH

Niepewno±¢ pomiarów wspóªczynnika zaªamania metod¡ mikroskopow¡ de Chaulnesa

wyznaczamy jako niepewno±¢ standardow¡ wielko±ci zªo»onej w postaci

Sn =

√√√√√[ h̄

(d̄− h̄)2

]2

(Sd̄)2 +[

d̄

(d̄− h̄)2

]2

(Sh̄)2,

w której Sd̄ i Sh̄ s¡ niepewno±ciami standardowymi wielko±ci wyznaczonych d i h, które

mo»na wyliczyc z formuªy

Sd̄ =

√√√√√√n∑i=1

(d̄− di)2

n(n− 1), Sh̄ =

√√√√√√n∑i=1

(h̄− hi)2

n(n− 1). (24)


9


Niepewno±¢ maksymalna wspóªczynnika zaªamania ∆n, wyznaczona t¡ metoda wynosi

∆n =√

3Sn. (25)

Niepewno±¢ wspóªczynnika zaªamania ±wiatªa wyznaczonego metod¡, opart¡ na prawie Brew-

stera, wyznaczamy metod¡ ró»niczki zupeªnej. Wyliczaj¡c pochodn¡ ze wzoru 23 po k¡cie α

uzyskamy ∆n w postaci

∆n =1

cos2 αsr∆αsr. (26)

We wzorze 26 ∆αsr =√

3Sαsr , natomiast Sαsr jest odchyleniem standardowym wyznaczonego

±redniego k¡ta Brewstara i wynosi

Sαsr =

√√√√√√n∑i=1

(αsr − αi)2

n(n− 1). (27)

Nale»y pami¦ta¢, aby przed podstawieniem zale»no±ci 27 do 26 zamieni¢ miar¦ k¡tow¡ wy-

ra»an¡ w stopniach na radiany.

SPRAWD� CZY ROZUMIESZ. ZADANIA PROBLEMOWE

1. Korzystaj¡c z zasady Huygensa wyprowad¹ prawo odbicia i prawo zaªamania.

2. Pªaska bªonka mydlana widziana w ±wietle odbitym, gdy promienie ±wietlne wpadaj¡

do oka pod k¡tem α = 30◦ (jest to k¡t mierzony od normalnej) ma zabarwienie zie-

lone. Jak¡ grubo±¢ ma ta bªonka? Jaka jest barwa bªonki, gdy patrzymy na ni¡ pod

k¡tem α = 0◦. Wspóªczynnik zaªamania bªonki przyj¡¢ n = 1, 33, dªugo±¢ fali ±wiatªa

zielonego λziel = 501, 6 nm. ODP. dmin = 0, 1µm, barwa zielona-»óªta.


10


PRACOWNIA FIZYCZNA I - KARTA POMIARÓW

�WYZNACZANIE WSPÓ�CZYNNIKA ZA�AMANIA

�WIAT�A CIA� STA�YCH�

................................................. ......................................

nazwisko i imi¦ data wykonania

1) Metoda mikroskopowa - pªytka I

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

d[ ]

h[ ]

2) Metoda mikroskopowa - pªytka II

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

d[ ]

h[ ]

2) Metoda oparta na polaryzacji ±wiatªa odbitego

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ϕL[ ]

ϕR[ ]

..............................................

podpis prowadz¡cego zaj¦cia


11


Wspóªczynniki zaªamania ±wiatªa n ró»nych materiaªów wyznaczonych dla

»óªtej linii sodu λ = 589 nm.

O�RODEK n

pró»nia 1,0

powietrze (0◦ C, 1 atm 1,00029

woda (20◦ C 1,33

aceton 1,36

alkohol etylowy 1,36

roztwór cukru (30%) 1,38

kwarc topiony 1,46

roztwór cukru (80%) 1,49

szkªo typowe (kron) 1,52

chlorek sodu 1,54

polistyren 1,55

dwusiarczek w¦gla 1,63

ci¦»kie szkªo (�int) 1,65

sza�r 1,77

diament 2,24


12

PRACOWNIA FIZYCZNA I - mif.pg.gda.pl · PDF filePolitechnika Gda«ska, mi¦dzywydziaªowy kierunek In»ynieria Biomedyczna Skrypt do laboratorium PRACOWNIA FIZYCZNA I...

Documents