PR1391.10 juli 2010 Opdrachtgever: Rijkswaterstaat Waterdienst Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren Hydra-VIJ, Hydra-B en Hydra-Zoet Auteur: Chris Geerse Met medewerking van Robert Slomp en Herbert Berger (Rijkswaterstaat Waterdienst)
Description of the model for the assessment of primary flood defences in the Netherlands (Dutch language version)
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Met medewerking van Robert Slomp en Herbert Berger (Rijkswaterstaat Waterdienst)
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 i
Voorwoord
Nederland is voor de primaire a-keringen in te delen in vijf watersystemen: bovenrivieren,
benedenrivieren, Vecht- en IJsseldelta, het merengebied (IJssel- en Markermeer) en de kust. De
kust is daarbij nog onder te verdelen in de gladde duinen kust en de harde keringen langs de
Hollandse Kust, de Ooster- en Westerschelde en de Waddenzee. In de periode 1996 – 2008 zijn
voor deze gebieden (met uitzondering van de bovenrivieren) voor de toets op hoogte en
bekledingen probabilistische modellen ontwikkeld: de Hydra-modellen. Zo is Hydra-M/Q1
ontwikkeld voor het merengebied, Hydra-B voor de benedenrivieren, Hydra-VIJ voor de Vecht-
en IJsseldelta en Hydra-K voor de kust (met uitzondering van de duinen en de Wadden). De
probabilistische methoden uit deze modellen verschillen van elkaar, al zijn Hydra-B en
Hydra-VIJ nauw met elkaar verwant. In het bovenrivierengebied wordt tot op heden een semi-
probabilistische methode gebruikt, die in de jaren '80 in het kader van de Leidraad rivierdijken
is ontwikkeld. Berekeningen volgens deze methode worden gemaakt met Hydra-R. Het werken
met het probabilistische model Hydra-B in het bovenrivierengebied behoort tot de
mogelijkheden, maar hiervan wordt in het kader van de Hydraulische Randvoorwaarden geen
gebruik gemaakt.
Gaandeweg, en met name na het verschijnen van het Randvoorwaardenboek 2006, is de wens
tot uniformering van de probabilistische methoden gegroeid. Bij Rijkswaterstaat, Deltares,
advies- en ingenieursbureaus en de waterschappen bestaat een duidelijke behoefte aan het
terugdringen van het aantal modellen, omdat de toetsing daarmee overzichtelijker wordt. Voor
de zoete wateren is deze uniformering inmiddels een feit. Er is een nieuw probabilistisch model
opgesteld, Hydra-Zoet genaamd, waarin de vier zoete watersystemen zijn opgenomen. Op dit
moment wordt de laatste hand gelegd aan de implementatie van Hydra-Zoet. Voor de HR2011
kan dit model daarmee de Hydra-modellen M/Q, B, VIJ en R vervangen, met de kanttekening
dat op beleidsmatige gronden is gekozen om op het Markermeer en in het bovenrivierengebied
Hydra-M/Q en Hydra-R te handhaven.
Het voorliggende rapport is bedoeld om de ruim tien jaar modelontwikkeling voor de zoete
Hydra-modellen VIJ, B en Zoet af te sluiten met één overkoepelend document. In dit document
heeft Chris Geerse de Hydra-modellen VIJ en B beschreven, die aan de basis liggen van het
nieuwe, uniforme belastingmodel Hydra-Zoet. Ook het laatstgenoemde model is beschreven.
Om de omvangrijke beschrijving enigszins te beperken, gaat het rapport alleen in op de
hoogtetoets en de toetspeilberekeningen, die de kern van de genoemde Hydra-modellen zijn.
Op de ook in de modellen aanwezige mogelijkheden voor het uitvoeren van de bekledingtoets
wordt niet ingegaan.
De beschrijving bevat voor de zoete watersystemen gedetailleerde probabilistische formules en
statistische invoer voor de belastingmodellen.Daarnaast worden, weliswaar in mindere mate van
detail, de gebruikte waterstandsmodellen en golfmodelleringen besproken. Ook wordt kort
ingegaan op de plaats van de Hydra-modellen in de keten van toetsing, ontwerp en beleid. Het
rapport is geschreven voor een doelgroep die geïnteresseerd is in precieze formules en details
van de modellen, en kan daarmee dienen als naslagwerk.
1 Hydra-M bevat de hoogtetoets en Hydra-Q die voor bekledingen. Beide programma’s worden hier gecombineerd
aangeduid als Hydra-M/Q.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
ii PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
Dit rapport heeft gediend als leidraad voor de bouw van het rekenhart van Hydra-Zoet.2 Het kan
verder bijdragen aan een nieuwe uniformeringsslag, waarbij belastingmodellen geïntegreerd
worden met sterktemodellen, voor de zoete én de zoute wateren. Deze uniformering moet
uitmonden in een nieuw model (Hydra-Ring) dat naar verwachting eind 2017 operationeel zal
zijn. Bij het opstellen van dat model wordt de kennis van het project Veiligheid Nederland in
Kaart (VNK) gecombineerd met de kennis van de Hydra-modellen. De ontwikkeling van
Hydra-Ring gebeurt in het kader van het project TOI, waarin een nieuw Toets- en Ontwerp-
instrumentarium wordt ontwikkeld, dat past bij een nieuwe normering op basis van
overstromingskansen. Het voorliggende rapport is één van de bronnen waaruit bij het opstellen
van het nieuwe instrumentarium geput kan worden.
Robert Slomp (Rijkswaterstaat Waterdienst)
Projectleider Toets- en Ontwerpinstrumentarium (TOI)
2 Feitelijk heeft een al tamelijk compleet concept van het rapport uit eind 2009 als leidraad gediend.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 iii
Samenvatting
Volgens de Wet op de Waterkering [Wwk, 1996] moeten de primaire waterkeringen iedere vijf
jaar worden getoetst. Daarbij worden Hydraulische Randvoorwaarden (HR) gebruikt. De meest
recente HR zijn die uit 2006 (HR2006), die gebruikt worden in de derde toetsronde, die de
periode 2006-2011 beslaat. Een groot deel van de HR-onderdelen wordt bepaald met
zogenaamde Hydra-modellen. Dat zijn probabilistische modellen, die zijn geïmplementeerd in
computerprogramma’s. Deze modellen hebben betrekking op de primaire a-keringen. Voor de
benedenrivieren is er het model Hydra-B en voor de Vecht- en IJsseldelta het model Hydra-VIJ.
De modellen Hydra-B en Hydra-VIJ zijn ontwikkeld door Rijkswaterstaat, in samenwerking met
het bureau HKV Lijn in Water, gedurende de jaren 1999 tot heden. De rapportage over Hydra-B
en Hydra-VIJ is zeer uitgebreid, maar gezien de lange ontstaansgeschiedenis en het grote
aantal rapporten, soms wat onsamenhangend en een enkele keer incompleet. Het is daarom
gewenst een samenhangende beschrijving te geven van beide modellen, waarbij statistische
gegevens, fysische modellen en probabilistische formules aan de orde komen. Het geven van
deze beschrijving is één van de hoofddoelen van dit rapport.
De modellen Hydra-VIJ en Hydra-B vertonen de nodige verwantschap. In de afgelopen jaren is
echter duidelijk geworden dat de modellen op nog meer uniforme wijze kunnen worden opgezet,
waarbij de modellering van de zogeheten “trage stochasten”, zoals afvoeren en meerpeilen, op
overeenkomstige wijze kan worden uitgevoerd. Na deze uniformering kunnen de
benedenrivieren en de Vecht- en IJsseldelta deel uitmaken van een nieuw probabilistisch model.
Bovendien is gebleken dat ook het IJssel- en Markermeer en de bovenrivieren kunnen worden
opgenomen in dit nieuwe model. Dat betekent dat alle primaire a-keringen uit de zoete
watersystemen dan deel uitmaken van één nieuw probabilistisch model, Hydra-Zoet genaamd.
Dat laatste biedt grote voordelen qua overzichtelijkheid en voor beheer en onderhoud. Het
tweede hoofddoel van dit rapport is het beschrijven van de formules uit Hydra-Zoet.
Terzijde: de implementatie van het model Hydra-Zoet is enige tijd geleden al gestart, en het
model wordt binnenkort opgeleverd. Voor de implementatie heeft een concept van het
voorliggende rapport uit eind 2009 als leidraad gediend.
De modellen Hydra-VIJ en Hydra-B bevatten een groot aantal rekenopties. In dit rapport is er
omwille van de overzichtelijkheid voor gekozen slechts faalmechanismes te behandelen die tot
de kern van het model kunnen worden gerekend. Dat zijn de mechanismes overloop en
golfoverslag, respectievelijk gebruikt voor de berekening van waterstanden (toetspeilen) en
benodigde kruinhoogtes, terwijl onder andere berekeningen voor bekledingen, die ook mogelijk
zijn met deze modellen, achterwege zijn gelaten.
Wat de doelgroep van lezers betreft: dit rapport is bedoeld voor lezers die bekend zijn met
statistiek en wiskundige formules. De meest gecompliceerde formules en bewijzen zijn
opgenomen in bijlagen.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 v
Abstract
According to the Flood Defences Act [Wwk, 1996], every five years the Dutch primary flood
defenses have to be assessed. To that purpose Hydraulic Boundary Conditions (HBC) are used
(normative water levels and wave conditions). The most recent ones date from 2006
(HBC2006), and are used in the third period of assessments, corresponding to 2006-2011. A
large part of the HBC are determined with so-called Hydra models. These are probabilistic
models, implemented in computer programs. These models are used for the primary flood
defenses of type a, which are located along the larger water systems in the Netherlands, i.e.
along the rivers Rhine and Meuse and their branches and the river (Overijsselse) Vecht, along
the large lakes Lake IJssel and Lake Marken and along the coast.
Two important water systems are the tidal river area and the Vecht and IJssel delta. The tidal
river area is that part of the lower reaches of the Rhine and Meuse where storms on the North
Sea have a significant effect on the water levels during high discharge waves. The Vecht and
IJssel delta consists of the lower reaches of the Vecht and IJssel (a branch of the river Rhine)
where wind set up from Lake IJssel has a significant effect on the water levels during high
discharge waves.
For the tidal river area the model Hydra-B is available, and for the Vecht and IJssel delta the
model Hydra-VIJ. These models have been developed by Rijkswaterstaat, a department of the
Ministry of Transport, Public Works and Water Management, and HKV Consultants from 1999
until the present. There are a lot of reports regarding these models, but due to the long period
over which the models have been developed, the reports are sometimes inarticulate and
incomplete. It is therefore desirable to provide a coherent description of these models, including
statistical data and modelling, physical modelling and probabilistic formulas. Providing this
description is one of the main purposes of this report.
The models Hydra-VIJ and Hydra-B have many similarities. However, in the past years it
became apparent that these models can be constructed in a more uniform way. All the so-called
“slow” stochastic variables such as discharges and lake levels are modelled using the same type
of schematisation. This resulted in a single probabilistic model for the lower reaches of the
Rhine, Meuse, Vecht and IJssel. Even better, the upper reaches of these rivers and Lake IJssel
and Lake Marken fit into the general scheme of this model as well, meaning that all flood
defences of type a of the fresh water systems are part of a single new probabilistic model, called
Hydra-Zoet. The model offers big advantages in terms of clarity, management and
maintenance. The second main purpose of this report is to describe the detailed formulas of
Hydra-Zoet. We note that the implementation of Hydra-Zoet started several months ago, based
on an earlier draft of this report. The model will soon be ready.
The models Hydra-VIJ and Hydra-B contain several calculational options and failure
mechanisms. For transparency, this report only treats the major options and failure mechanisms
of these models and of the model Hydra-Zoet: overflow and wave overtopping, used
respectively in the calculation of normative water levels and required crest heights,
corresponding to exceedance frequencies given by law. These concepts play an important role in
the 5-yearly assessment of the flood defences. Other options and failure mechanisms, such as
the determination of wave conditions to assess dike revetments, are left out of the description.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
vi PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
The report contains detailed statistical and mathematical formulas for the models Hydra-VIJ,
Hydra-B and Hydra-Zoet. It also discusses (but in less detail) the physical models for waves and
water levels and the way they are used to generate input for the Hydra models. Lastly, the
report briefly describes the role of the Hydra models in “the chain of assessment, design and
policy” regarding flood defences. The mathematical parts of the report require a fair amount of
statistical and mathematical background, whereas the report as a whole can serve as a
reference book.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 vii
Inhoud
1 Inleiding ................................................................................................. 13 1.1 Aanleiding .................................................................................................................... 13 1.2 Doel............................................................................................................................. 13 1.3 Doelgroep en scope van het rapport ................................................................................ 14 1.4 Opzet van het rapport .................................................................................................... 14
DEEL 1
2 Toetsing, ontwerp en beleid ................................................................... 17 2.1 Algemeen ..................................................................................................................... 17 2.2 Veiligheidsbenaderingen................................................................................................. 18 2.3 HR en VTV voor de toetsing ............................................................................................ 20
2.3.1 HR en Hydra’s per watersysteem......................................................................... 20 2.3.2 VTV ................................................................................................................. 21 2.3.3 TMR versus HR ................................................................................................. 22
2.4 Hydra’s voor ontwerpen ................................................................................................. 22 2.5 Hydra’s voor beleidsstudies............................................................................................. 23 2.6 Afbakening rapport ........................................................................................................ 24
3 Zoete watersystemen ............................................................................. 25 3.1 Bovenrivieren................................................................................................................ 25 3.2 IJssel- en Markermeer.................................................................................................... 26 3.3 Vecht- en IJsseldelta...................................................................................................... 26 3.4 Benedenrivieren ............................................................................................................ 27 3.5 Diverse toeslagen .......................................................................................................... 27
4 Voorbeeldberekeningen Vecht- en IJsseldelta ........................................ 29 4.1 Versies voor normale en geavanceerde gebruikers............................................................. 29 4.2 Terugkeertijden van afvoer, meerpeil en wind................................................................... 30 4.3 Faalmechanisme overloop: waterstanden ......................................................................... 31
4.3.1 Elementaire uitvoer waterstandsberekening.......................................................... 31 4.3.2 Uitsplitsingen bij de waterstandsberekening ......................................................... 32 4.3.3 Illustratiepunten bij de waterstandsberekening ..................................................... 34
4.5 Waar zijn welke stochasten van invloed voor de toetspeilen? .............................................. 42 4.5.1 Uitsplitsingen voor waterstandsberekeningen in de IJsseldelta ................................ 43 4.5.2 Uitsplitsingen voor waterstandsberekeningen in de Vechtdelta ................................ 46
5.2.1 Formules van Bretschneider ............................................................................... 50
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
viii PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
5.2.2 Effectieve strijklengtes en bodemhoogtes voor Bretschneider ................................. 51 5.2.3 Potentiële wind en open water transformatie ........................................................ 52 5.2.4 Golfgegevens op basis van Hiswa of Swan............................................................ 53
5.3 Transformatie golfgegevens van open water naar de dijkteen ............................................. 53 5.3.1 Dammodule ..................................................................................................... 54 5.3.2 Voorlandmodule................................................................................................ 55
6 Combineren van trage en snelle stochasten ........................................... 59 6.1 Tijdschalen van stochasten............................................................................................. 59 6.2 Trage en snelle stochasten in Hydra-VIJ........................................................................... 59
6.2.1 Tijdbasis van snelle stochasten ........................................................................... 59 6.2.2 Combineren van trage en snelle stochast voor vereenvoudigde situatie van
meerpeil en windsnelheid................................................................................... 60 6.2.3 Combineren van trage en snelle stochasten in Hydra-VIJ ....................................... 63
6.3 Trage en snelle stochasten in Hydra-B ............................................................................. 63 6.4 Commentaar op onafhankelijkheid en duur van de windblokken .......................................... 64
7 Correlatiemodellen ................................................................................. 67 7.1 Theorie model CS (constante spreiding) ........................................................................... 67 7.2 Toepassing model CS..................................................................................................... 70 7.3 Theorie model VS (variabele spreiding) ............................................................................ 70
DEEL 2
8 Inleiding model Hydra-VIJ...................................................................... 75 8.1 Vecht- en IJsseldelta ..................................................................................................... 75 8.2 Stochasten Hydra-VIJ .................................................................................................... 78 8.3 Hoofddoel Hydra-VIJ voor dit rapport............................................................................... 78 8.4 Opzet model aan de hand van een schema....................................................................... 79
10 Tijdsmodellering trage stochasten Hydra-VIJ......................................... 87 10.1 Onderdelen van een afvoer- en meerpeilstatistiek ............................................................. 87 10.2 Tijdsverloop afvoer en meerpeil ...................................................................................... 88 10.3 Correlaties en fases tussen IJsselmeer en de afvoeren ....................................................... 89 10.4 Geknikte trapezia .......................................................................................................... 90
11.5 Fase tussen afvoer en meerpeil ..................................................................................... 108 11.5.1 Fase tussen Vecht en IJsselmeer ....................................................................... 108 11.5.2 Fase tussen IJssel en IJsselmeer ....................................................................... 110
11.6 Correlatie tussen afvoer en meerpeil .............................................................................. 112 11.6.1 Correlatie tussen Vecht en IJsselmeerpeil........................................................... 112 11.6.2 Correlatie tussen IJssel en IJsselmeerpeil ........................................................... 116
12 Probabilistische formules Hydra-VIJ..................................................... 121 12.1 Kansdichtheid blokduur ................................................................................................ 121 12.2 Overschrijdingskans blokduur ....................................................................................... 123 12.3 De overschrijdingsfrequentie......................................................................................... 124 12.4 Formules voor een dijkring ........................................................................................... 126
13 Uitsplitsingen Hydra-VIJ....................................................................... 129 13.1 Het nut van de uitsplitsingen ........................................................................................ 129 13.2 Continue versie probabilistische formules ....................................................................... 130 13.3 Uitsplitsing naar de afvoer ............................................................................................ 132 13.4 Uitsplitsing naar de afvoer en het meerpeil ..................................................................... 134 13.5 Volledige uitsplitsingen................................................................................................. 136 13.6 Alternatieve formule voor de uitsplitsingen ..................................................................... 137 13.7 Windgedomineerde locaties .......................................................................................... 138
15 Inleiding model Hydra-B....................................................................... 147 15.1 Benedenrivierengebied................................................................................................. 147 15.2 Stochasten Hydra-B..................................................................................................... 149 15.3 Hoofddoel Hydra-B ...................................................................................................... 149 15.4 Gebiedsindeling........................................................................................................... 150 15.5 Opzet model aan de hand van een schema ..................................................................... 151
21 Hydra-Zoet ........................................................................................... 193 21.1 Uniformering Hydra-modellen voor de zoete watersystemen............................................. 193 21.2 Hydra-Zoet voor het IJssel- en Markermeer.................................................................... 194 21.3 Hydra-Zoet voor de benedenrivieren.............................................................................. 195
21.3.1 Afvoer gemodelleerd met trapezia..................................................................... 195 21.3.2 Basisformules Hydra-B voor Hydra-Zoet ............................................................ 195 21.3.3 Formules uitsplitsingen Hydra-B voor Hydra-Zoet ............................................... 196 21.3.4 Herformulering wind-waterstandstatistiek .......................................................... 197 21.3.5 Gemeenschappelijke tijdbasis in Hydra-Zoet....................................................... 199
21.4 Hydra-Zoet voor de bovenrivieren ................................................................................. 199 21.4.1 Algemeen ...................................................................................................... 199 21.4.2 Bovenstroomse deel Overijsselse Vecht, van km 52 t/m km 36............................. 200 21.4.3 Bovenstroomse delen van IJssel, Lek en Waal .................................................... 200 21.4.4 Bovenstrooms van Bergsche Maas km 235/km 228. ............................................ 200
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 xi
DEEL 5
Bijlage A Formules voor kansen en frequenties ......................................... 203 Bijlage A.1 Setting en gebruikte notatie........................................................................203 Bijlage A.2 Elementaire formules .................................................................................205 Bijlage A.3 Jaarmaximum en overschrijdingsfrequentie ...................................................206 Bijlage A.4 Overschrijdingsfrequentie berekend met de outcrossingsformule ......................207 Bijlage A.5 Diverse bewijzen .......................................................................................208
Bijlage B Alternatieve formules uitsplitsingen Hydra-VIJ .......................... 213
Bijlage C Formules uitbreiding afvoergolven ............................................. 217
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 13
1 Inleiding
1.1 Aanleiding
Volgens de Wet op de Waterkering [Wwk, 1996] moeten de primaire waterkeringen iedere vijf
jaar worden getoetst. De meest recente Hydraulische Randvoorwaarden zijn die uit 2006
(HR2006), die gebruikt worden in de derde toetsronde, die de periode 2006-2011 beslaat. Voor
de tweede toetsronde zijn de HR2001 gebruikt (periode 2001-2006). Een groot deel van de HR-
onderdelen voor de primaire a-keringen wordt bepaald met zogenaamde Hydra-modellen. Met
uitzondering van het model voor de bovenrivieren zijn dat probabilistische modellen, die zijn
geïmplementeerd in computerprogramma’s. Voor de benedenrivieren is er het probabilistisch
model Hydra-B, voor de Vecht- en IJsseldelta het probabilistisch model Hydra-VIJ. Met Hydra-B
zijn de HR2001, zie [Slomp et al, 2005], en de HR2006 voor de benedenrivieren bepaald. Met
Hydra-VIJ, relatief recent ontwikkeld, zijn alleen de HR2006 voor de Vechtdelta bepaald [Beijk,
2006]; voor de IJsseldelta is om beleidsmatige redenen teruggevallen op een semi-
probabilistische methode.
De modellen Hydra-B en Hydra-VIJ zijn ontwikkeld door Rijkswaterstaat, in samenwerking met
het bureau HKV Lijn in Water, gedurende de jaren 1999 tot heden. Delen van deze
modellen/computerprogramma’s worden nog steeds verder ontwikkeld. De rapportage over
Hydra-B is zeer uitgebreid maar, gezien de lange ontstaansgeschiedenis en het grote aantal
rapporten, soms wat onsamenhangend. De rapportage over Hydra-VIJ is minder uitgebreid,
maar eveneens soms onsamenhangend, en op een enkel onderdeel niet compleet. Het is
daarom gewenst een samenhangende beschrijving te geven van beide modellen.
De modellen Hydra-VIJ en Hydra-B vertonen de nodige verwantschap. In de afgelopen jaren is
echter duidelijk geworden dat de modellen op nog meer uniforme wijze kunnen worden opgezet,
waarbij de modellering van de zogeheten “trage stochasten”, zoals afvoeren en meerpeilen, op
overeenkomstige wijze kan worden uitgevoerd. Na deze uniformering kunnen de
benedenrivieren en de Vecht- en IJsseldelta deel uitmaken van een nieuw probabilistisch model.
Bovendien is gebleken dat ook het IJssel- en Markermeer en de bovenrivieren kunnen worden
opgenomen in dit nieuwe model. Dat betekent dat de primaire a-keringen uit alle zoete
watersystemen dan deel uitmaken van één nieuw probabilistisch model, Hydra-Zoet genaamd.
Dat laatste biedt grote voordelen qua overzichtelijkheid en voor beheer en onderhoud. De
implementatie van het model Hydra-Zoet is eind 2009 gestart, en het model zal binnenkort
worden opgeleverd. Met uitzondering van het Markermeer en de bovenrivieren, zullen voor de
zoete waterssystemen de HR2011 met Hydra-Zoet worden bepaald.
1.2 Doel
Bij het schrijven van dit rapport hebben de volgende hoofddoelen voor ogen gestaan:
• Het geven van een complete en samenhangende beschrijving van de probabilistische
modellen Hydra-VIJ en Hydra-B. Daarbij worden in elk model statistische gegevens, fysische
modellen en probabilistische formules in samenhang met elkaar beschouwd.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
14 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
• Het beschrijven van de formules voor het nieuwe model Hydra-Zoet. Op basis van deze
formules kan dit model geïmplementeerd worden.
Wat het tweede punt betreft: het afronden van de definitieve versie van het voorliggende
rapport heeft door diverse oorzaken veel tijd in beslag genomen. Een conceptversie, met daarin
de formules voor Hydra-Zoet, was echter december 2008 al gereed. De implementatie van
Hydra-Zoet is (mede) gebeurd op basis van die conceptversie.
Behalve de genoemde twee hoofddoelen wordt in dit rapport ook de plaats van de Hydra-
modellen geschetst in de keten van toetsing, ontwerp en beleid.
1.3 Doelgroep en scope van het rapport
Dit rapport is geschreven voor gebruikers van Hydra-VIJ en Hydra-B met belangstelling voor de
achtergronden van de modellen. Ook is het bedoeld voor degenen die betrokken zijn bij een
verdere ontwikkeling van deze modellen en bij de bouw van Hydra-Zoet. Bij voorkeur dient een
lezer vertrouwd te zijn met statistiek en wiskundige formules. De formules in dit rapport worden
zeer gedetailleerd beschreven, en waar nodig voorzien van wiskundige bewijzen.
In dit rapport beperken we ons tot de kern van de modellen Hydra-VIJ en Hydra-B, zodat niet
alle onderdelen van deze modellen in dit rapport worden behandeld. Zo worden bijvoorbeeld
berekeningen voor dijkbekledingen weggelaten en worden uitsluitend de faalmechanismes
overloop (voor waterstandsberekeningen) en golfoverslag (voor benodigde kruinhoogtes)
beschouwd. Zie voor een verdere afbakening paragraaf 2.6.
1.4 Opzet van het rapport
Het rapport valt uiteen in meerdere delen:
• Deel 1 (hoofdstuk 2 t/m 7)
Een algemeen deel waarin aan de orde komt: de plaats van de Hydra’s in de keten van
toetsen, ontwerp en beleid, alsmede fysische/statistische modellen en ideeën die
gemeenschappelijk zijn voor Hydra-VIJ, Hydra-B en Hydra-Zoet.
• Deel 2 (hoofdstuk 8 t/m 14)
Dit deel beschrijft het model Hydra-VIJ, waarin voor de Vecht- en IJsseldelta de statistische
gegevens, fysische modellen en de probabilistische formules worden behandeld.
• Deel 3 (hoofdstuk 15 t/m 20)
Dit deel beschrijft het model Hydra-B, waarin voor de benedenrivieren de statistische
gegevens, fysische modellen en de probabilistische formules worden behandeld.
• Deel 4 (hoofdstuk 21)
Dit deel beschrijft het nog te bouwen model Hydra-Zoet, waarin voor alle zoete
watersystemen de statistische gegevens, fysische modellen en de probabilistische formules
worden behandeld.
• Deel 5 (Bijlage A t/m Bijlage C)
In dit deel worden wiskundige details en bewijzen gegeven.
Deel 1
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 17
2 Toetsing, ontwerp en beleid
2.1 Algemeen
Het overstroombare deel van Nederland is ingedeeld in dijkringgebieden. Ieder dijkringgebied
wordt omsloten door waterkerende objecten (dijk, duin, hoge gronden,…), die het gebied tegen
overstromen beschermen. Ieder dijkringgebied heeft een eigen waarde voor de veiligheidsnorm,
die in de Wet op de Waterkering [Wwk, 1996] is vastgelegd. Deze norm heeft de vorm van een
overschrijdingsfrequentie (aantal keer per jaar) van de belasting op de waterkering, die deze
waterkering nog veilig moet kunnen weerstaan. Deze normen zijn streng: de keringen moeten
belastingen kunnen weerstaan die aanzienlijk zwaarder zijn dan wat tot nu toe (in de afgelopen
50 tot ca 100 jaar) is gemeten. De dijkringgebieden, met hun normfrequenties, zijn weerge-
geven in Figuur 2-1. De Deltacommissie uit 1960 heeft de basis gelegd voor de huidige manier
van normeren.
In de Wet op de Waterkering staat bovendien dat iedere vijf jaar de primaire waterkeringen, die
een dijkringgebied omsluiten, moeten worden getoetst aan de veiligheidsnorm. Bij deze toetsing
maakt de waterkeringbeheerder gebruik van toetsregels, waarbij een vergelijking wordt
gemaakt tussen enerzijds de sterkte van de waterkering en anderzijds de hydraulische belasting
die deze kering nog veilig moet kunnen weerstaan. Voorbeelden van sterkte-eigenschappen van
de kering zijn de aanwezige kruinhoogte en de bekledingsdikte. De hydraulische belasting op de
kering wordt voornamelijk gevormd door de waterstand en golfaanval vlak voor de waterkering.
De toetsregels zijn gebundeld in het Voorschrift Toetsen op Veiligheid (VTV). De toe te passen
belastingen worden gegeven door de Hydraulische Randvoorwaarden (HR), die deels zijn
gegeven in het Hydraulische Randvoorwaardenboek en deels kunnen worden berekend met
computerprogramma’s uit de zogenaamde Hydra-familie, waarvan het eerder genoemde
Hydra-VIJ en Hydra-B deel uitmaken. Samen vormen de HR en het VTV het wettelijk
toetsinstrumentarium. Dit instrumentarium wordt iedere vijf jaar herzien en waar nodig
bijgesteld op basis van de nieuwste informatie en inzichten.
Zowel de hydraulische belastingen als de sterkte-eigenschappen variëren langs een dijkring. Bij
de toetsing wordt daarom een dijkring onderverdeeld in (een aaneengesloten keten van) dijk- of
duinvakken. Dat zijn stukken van de dijkring die wat betreft belasting en sterkte als uniform
mogen worden beschouwd. In de huidige praktijk wordt ieder dijk- of duinvak afzonderlijk
getoetst.
De hydraulische randvoorwaarden (de HR) op de waterkeringen worden per vak bepaald. Wat
betreft de methodiek achter deze HR bepaling wordt onderscheid gemaakt tussen
watersystemen. Dat is nodig omdat de aard van de dreiging in Nederland varieert per regio:
langs de bovenrivieren bijvoorbeeld vormt een extreme rivierafvoer de belangrijkste bedreiging,
terwijl voor een dijk langs de kust de rivierafvoer helemaal niet relevant is; daar is juist een
extreme stormvloed (extreem hoogwater met extreme wind) de belangrijkste bedreiging.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
18 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
Figuur 2-1: De dijkringgebieden van Nederland met de bijbehorende normfrequentie volgens [Wwk,
1996].3
2.2 Veiligheidsbenaderingen
Het vakgebied dat zich bezig houdt met de HR-bepaling blijkt relatief complex, onoverzichtelijk
en daardoor ontoegankelijk te zijn. Eén oorzaak is dat het vakgebied behoorlijk specialistisch is
en klein wat betreft aantal experts. Een tweede belangrijke oorzaak is de grote diversiteit aan
3 In een later stadium zijn ook dijkringen langs de Limburgse Maas onder de wet geplaatst, die in de figuur niet zijn
weergegeven.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 19
huidige methodieken en de grote diversiteit aan sporen waarlangs ontwikkelingen plaatsvinden.
Deze paragraaf geeft een nadere toelichting op die tweede oorzaak.
Binnen Nederland zijn er op hoofdlijnen drie sporen van ontwikkelingen te onderscheiden met
betrekking tot waterveiligheid [Stijnen et al, 2008]:
o Spoor 1: dagelijkse veiligheid
Binnen dit spoor moet, gebaseerd op de huidige wetgeving, de dagelijkse veiligheid van
de waterkeringen worden gegarandeerd.
o Spoor 2: waterveiligheidsbeleid
Binnen dit spoor wordt onderzocht of de huidige wetgeving nog de juiste, meest
adequate representatie geeft van onze veiligheid tegen overstromingen, en of hier
verbeteringen of aanpassingen in nodig zijn.
o Spoor 3: lange termijn kennisontwikkeling
Binnen dit spoor vindt in diverse onderzoeksprojecten lange termijn kennisontwikkeling
plaats. Wetenschappelijke onderzoeken op hoog niveau door de Rijkswaterstaat
Waterdienst, Deltares, universiteiten, kennisinstituten en adviesbureaus spelen hierin
een belangrijke rol.
Los van deze sporen kunnen volgens [TAW, 1998] voor de veiligheid tegen overstroming de
volgende vier veiligheidsbenaderingen worden genoemd:
1. Overbelastingskans op dijkvakniveau.
2. Overbelastingskans op dijkringniveau.
3. Overstromingsrisico op dijkvakniveau.
4. Overstromingsrisico op dijkringniveau.
De eerste benadering is het eenvoudigst, maar kent een aantal inhoudelijke beperkingen. De
vierde benadering sluit het meest aan bij de beleidsmatig gewenste evenwichtige
veiligheidsbenadering. Maar de uitwerking hiervan is zeer complex en de benodigde kennis en
rekentechnieken zijn nog onvoldoende uitgekristalliseerd.
De huidige (uitwerking van de) wetgeving is gebaseerd op de eerste benadering, maar er
bestaat breed draagvlak om te zijner tijd over te gaan op de vierde benadering. Veel
beleidsmatig aangestuurde ontwikkelingsrichtingen in het vakgebied van de HR-bepaling hebben
dan ook het karakter van een verkenning in die richting, met als vertrekpunt de eerste
benadering. Eén van de belangrijkste ontwikkelingstrajecten in dit kader is het project Veiligheid
Nederland in Kaart (VNK). Het rekeninstrument PC-Ring speelt hierbij een centrale rol. Deze
verkennende analyse moet ondermeer informatie geven op basis waarvan gediscussieerd kan
worden over de huidige veiligheid tegen overstromingen in Nederland. Ook relevant is het
project Waterveiligheid 21e eeuw (WV21), dat ten doel heeft te onderzoeken of het huidige
beleid tegen overstromingen en de wettelijke verankering hiervan nog adequaat zijn.
In de huidige wetgeving, gebaseerd op de eerste benadering, speelt de zogenaamde “Hydra-
filosofie” een belangrijke rol, die heeft geleid tot een productenlijn voor operationeel gebruik: de
Hydra-familie. De ontwikkeling van methodes die deze benadering verder uitwerken is echter
nog volop gaande. Een belangrijke complicerende factor hierbij is dat in de afgelopen decennia
voor ieder watersysteem afzonderlijk een methode is ontwikkeld, dus langs gescheiden
ontwikkelsporen. Diverse verschillen zijn daarom “historisch zo gegroeid” in plaats van logisch
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
20 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
onderbouwd. Belangrijk doel van het voorliggende rapport is te beschrijven hoe een aantal van
de Hydra’s, die voor de zoete wateren, geuniformeerd kunnen worden opgenomen in een nieuw
model, Hydra-Zoet genaamd.
2.3 HR en VTV voor de toetsing
2.3.1 HR en Hydra’s per watersysteem
Voor de vijfjaarlijkse toetsing zijn de Hydraulische Randvoorwaarden (HR) nodig, die per
watersysteem voornamelijk worden bepaald met een model uit de Hydra-familie (zie
Figuur 2-2):
• Hydra-VIJ voor de Vechtdelta en IJsseldelta.
• Hydra-B voor het benedenrivierengebied.
• Hydra-M en Hydra-Q voor het IJsselmeer en Markermeer.
• Hydra-R voor de bovenrivieren.
• Hydra-K voor de Hollandse en Zeeuwse Kust en de Ooster- en Westerschelde.
Uitgezonderd Hydra-R voor de bovenrivieren zijn dit probabilistische modellen, terwijl Hydra-R
een deterministisch model is. De eerste vier bolletjes betreffen de zoete watersystemen; het
laatste bolletje de zoute wateren. De HR voor de Waddenzee kunnen op dit moment niet met
een Hydra-model worden bepaald (voor de HR2011 zal dat overigens wel het geval zijn). Omdat
de zoute wateren geen onderwerp vormen van dit rapport, worden Hydra-K (en de Waddenzee)
verder niet meer genoemd.
Welke grootheden precies met de zoete Hydra-modellen kunnen worden berekend, verschilt per
model. Met een Hydra-model kan voor elk van de zoete watersystemen in ieder geval bepaald
worden:
• Het toetspeil: de waterstand behorende bij de normfrequentie.
N.B.: de toetspeilen voor locaties langs het IJssel- en Markermeer, alsmede de toetspeilen
in de as van een rivier op de hele kilometerraaien zijn ook gepubliceerd in het zogenaamde
Randvoorwaardenboek, zie voor de meest recente versie [HR, 2006].
• De benodigde kruinhoogte: dit is, behorende bij de normfrequentie, de kruinhoogte die de
dijk minimaal dient te hebben bij een in de toetsing gebruikt toegestaan overslagdebiet,
uitgezonderd toeslagen als bijvoorbeeld die voor zetting en klink.
• Golfcondities voor het toetsen van bekledingen: significante golfhoogte Hs en de piekperiode
Tp. N.B.: voor Hydra-VIJ is hiervoor wel de meest recente versie van het programma
vereist, die eind december 2008 is opgeleverd.
Wat de term toetspeil betreft nog het volgende. Strikt genomen zijn voor de rivieren de
toetspeilen per definitie alleen waterstanden in de as van de rivier, op gehele kilometerraaiien,
behorende bij de normfrequentie. In dit rapport worden de waterstanden bij de normfrequentie
voor oeverlocaties ook aangeduid als toetspeilen.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 21
Figuur 2-2: Indeling in watersystemen.
2.3.2 VTV
De toetspeilen en benodigde kruinhoogtes spelen een belangrijk doel in de toetsing van de
waterkeringen. Uiteraard wordt de benodigde kruinhoogte gebruikt om te toetsen of een dijk de
vereiste hoogte heeft. Behalve de hoogte is de stabiliteit van de waterkering een belangrijk
onderdeel uit de toetsing. Diverse faalmechanismes, zoals piping en heave, stabiliteit binnen- en
buitenwaarts, microstabiliteit, stabiliteit van de bekleding, etcetera, dienen getoetst te worden.
Toetsregels hiervoor worden gegeven in het Voorschrift Toetsen op Veiligheid [VTV, 2007]. Bij
de stabiliteitstoetsing wordt veelvuldig gebruik gemaakt van het toetspeil, berekend met één
van de Hydra’s of afkomstig uit het Randvoorwaardenboek, en van golfcondities die uit de
Hydra’s volgen. Het Randvoorwaardenboek geeft daarnaast nog aanvullende informatie voor het
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
22 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
toepassen van de toetsregels van het VTV (diverse soorten toeslagen, waterstandsverlopen,
etcetera). De HR – afkomstig uit het Randvoorwaardenboek of berekend met de Hydra-modellen
– leveren, tezamen met de toetsregels uit het VTV, alle informatie die nodig is voor het toetsen
van de waterkeringen.
2.3.3 TMR versus HR
De HR worden gebruikt in de vijfjaarlijkse toetsing. In principe dienen de HR iedere vijf jaar
opnieuw te worden bepaald, rekening houdend met de meest actuele inzichten en gegevens
betreffende statistiek, gebiedsschematisaties en modellen. Beleidsmatig is het soms gewenst,
bijvoorbeeld om al te snelle wisselingen te voorkomen, om de gegevens uit een eerdere
toetsronde te handhaven. Zo zijn voor de IJsseldelta, de beneden- en bovenrivieren, het IJssel-
en Markermeer, de gegevens voor de HR2006 (derde toetsronde) voor een belangrijk deel
overgenomen uit die voor de HR2001. Soms zijn al wel nieuwe HR voor de derde toetsronde
berekend en beschikbaar in de Hydra-modellen. De laatste HR – die voor de toetsing dus geen
officiële status hebben – worden aangeduid als de zogenaamde Thermometer Randvoorwaarden
2006 (TMR2006): deze TMR geven, als ware het een thermometer, de actuele toestand weer.
De TMR2006 voor de benedenrivieren worden uitgebreid behandeld in het achtergrondrapport
[De Waal, 2007], en die voor de IJsseldelta in [Beijk, 2006].
In dit rapport worden zowel gegevens uit de HR2006 als de TMR2006 gebruikt. De reden om
naast de HR2006 ook de TMR2006 te behandelen, is dat alleen in de TMR2006 de IJsseldelta
probabilistisch wordt behandeld; in de HR2006 is dat nog deterministisch, waarbij de hele IJssel
als deel van de bovenrivieren wordt gezien. Met het oog op toekomstige ontwikkelingen is het
gewenst voor de IJsseldelta de probabilistische aanpak te behandelen, die deel uitmaakt van
Hydra-VIJ.
2.4 Hydra’s voor ontwerpen
De toetsing van de primaire waterkeringen vindt iedere vijf jaar plaats. Als een waterkering
wordt afgekeurd, of bij een geheel nieuwe gebiedsinrichting, dient een ontwerp te worden
gemaakt voor een nieuw aan te leggen waterkering (of kunstwerk). Op basis van het Technisch
Rapport Ontwerpbelastingen [Van Velzen en Beyer, 2007] en de Leidraad Rivieren [LR, 2007]
kan hierover het volgende worden gezegd.
Situatie (beoogd project) Gebruikelijke planperioderivierverruiming 50 jaaraanpassing / aanleg groene dijk 50 jaaraanpassing / aanleg dijk in stedelijk gebied 100 jaaraanpassing / aanleg kunstwerk 100 jaar Tabel 2-1: Gebruikelijke planperiode voor verschillende maatregelen.
Een ontwerp wordt gemaakt voor een planperiode van 50 of 100 jaar, zie Tabel 2-1. Gedurende
die periode dient het uitgevoerde ontwerp te blijven funtioneren zonder dat ingrijpende en
kostbare aanpassingen noodzakelijk zijn. Bij voorkeur dient een ontwerp uitbreidbaar te zijn,
wat wil zeggen dat het na uitvoering gemakkelijk uit te breiden valt om aan zwaardere
(ontwerp)eisen te voldoen. Het toekomstgericht ontwerpen is onderdeel van het begrip robuust
ontwerpen. In de Leidraad Rivieren worden drie ontwerpeisen geformuleerd die van belang zijn
voor de bepaling van de ontwerpbelastingen:
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 23
• In de ontwerpbelastingen wordt rekening gehouden met de verwachte toename van de
rivierafvoer en de verwachte toename van de zee- en meerwaterstanden als gevolg van
klimaatverandering gedurende de planperiode.
• Robuust ontwerpen betekent dat de onzekerheid in de waterstand, in zowel boven- als
benedenrivierengebied, wordt opgenomen als een robuustheidstoeslag van 0.3 m. Deze
toeslag kan ook andere onzekerheden opvangen, zoals onzekerheden in de golfoploop. De
beheerder kan van deze toeslag afwijken als uit een probabilistische analyse, waarin alle
relevante onzekerheden zijn meegenomen, blijkt dat de toeslag niet passend is.
• Indien een ontwerp niet uitbreidbaar is, verdient het aanbeveling het ontwerp op extremere
klimaatscenario’s te baseren dan de gemiddelde scenario’s die gewoonlijk als uitgangspunt
dienen.
De toekomstige ontwikkelingen waarmee in het bepalen van de ontwerpbelasting rekening
wordt gehouden, zijn de verwachte autonome ontwikkeling, de verwachte klimaatverandering
en de wijze waarop hierop wordt geanticipeerd door maatregelen te nemen die de effecten van
klimaatverandering beperken. Denk bij die laatste maatregelen bijvoorbeeld aan rivierver-
ruimende maatregelen.
De Hydra’s voor de HR2006 en TMR2006 hebben als invoer statistische gegevens voor de
toetsperiode 2006-2011 (derde toetsronde, met zichtjaar 2011). Sommige Hydra’s bevatten ook
de statistische invoergegevens om klimaatscenario’s door te rekenen. Met deze Hydra’s kunnen
dan ontwerpbelastingen worden bepaald, als tenminste ook overige invoer is toegesneden op de
ontwerpomstandigheden. Denk bij die overige invoer aan waterstands- en golfgegevens, welke
veranderen bij een andere gebiedsschematisatie.
Klimaatomstandigheden en ontwerpbelastingen komen in dit rapport verder niet meer aan de
orde. Om zo duidelijk mogelijk te zijn, wordt steeds één set van gegevens beschouwd, voor één
gebiedsschematisatie, corresponderend met de HR2006 en TMR2006 (bij de behandeling van
Hydra-VIJ) of de HR2006 (bij de behandeling van Hydra-B).
2.5 Hydra’s voor beleidsstudies
Geregeld worden beleidsstudies verricht, waarin bijvoorbeeld effecten van rivierverruimende
maatregelen of klimaatveranderingen worden doorgerekend. Voor dergelijke studies kunnen de
Hydra-modellen eveneens gebruikt worden, mits tenminste statistische gegevens, en
waterstands- en golfgegevens op de juiste wijze worden aangepast. Bijvoorbeeld het project
Waterveiligheid 21e eeuw (WV21) heeft gebruik gemaakt van de uitkomsten van de Hydra-
modellen om een inschatting te maken van overstromingskansen.
Bij het gebruik van de Hydra-modellen moet wel worden opgemerkt dat het volledig opnieuw
berekenen van met name de waterstandsgegevens – nodig bij een andere gebiedsschematisatie
door bijvoorbeeld aanleg van een nevengeul of een dijkverlegging – vaak een zeer grote
inspanning vergt. Bij relatief eenvoudige maatregelen zal men liever een vereenvoudigde
effectberekening uitvoeren, dan alle benodigde invoer voor een Hydra-model genereren om
volledig probabilistisch het effect te bepalen. De Ruimte voor de Rivier projecten in de
benedenrivieren en de IJsseldelta zijn dan ook beoordeeld met versimpelde Hydra-modellen.
Deze modellen zijn speciaal voor de PKB (Planologische Kernbeslissing) of voor een bepaald
project ontwikkeld.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
24 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
2.6 Afbakening rapport
Deze paragraaf beschrijft de scope van dit rapport, waarbij ook wordt aangegeven welke
gegevens als uitgangspunt worden genomen.
• Alleen faalmechanismes overloop en golfoverslag worden beschouwd. Het inmiddels wat
verouderde faalmechanisme 2%-golfoploop blijft buiten beschouwing. Ook worden geen
faalmechanismes voor dijkbekleding behandeld.
• De berekening gebeurt in principe voor een dijkvakberekening. In twee aparte paragrafen
wordt daarnaast de berekening voor een dijkring behandeld, maar tenzij anders vermeld, is
sprake van een berekening op vakniveau.
• Alleen zoete watersystemen worden behandeld, waarvan de meren (Hydra-M) en de
bovenrivieren (Hydra-R) slechts summier, inzoverre de behandeling daarvan nodig is voor
een goed begrip van Hydra-Zoet. Hydra-K en de Waddenzee worden niet behandeld.
• Voor Hydra-VIJ wordt voor de Vechtdelta uitgegaan van statistische/fysische gegevens voor
de HR2006, die voor dit gebied overeen stemmen met de TMR2006. Voor de IJsseldelta
wordt in Hydra-VIJ uitgegaan van de TMR2006 gegevens (deze verschillen van de HR2006
gegevens die semi-probabilistisch zijn bepaald).
• Voor Hydra-B wordt uitgegaan van statistische/fysische gegevens voor de HR2006. De
aspecten seiches en deining uit Hydra-B worden niet behandeld.
• Klimaatscenario’s en ontwerprandvoorwaarden worden niet behandeld.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 25
3 Zoete watersystemen
Een groot deel van dit rapport gaat over Hydra-VIJ en Hydra-B, welke modellen gaan over twee
van de zoete watersystemen: de Vecht- en IJsseldelta respectievelijk de benedenrivieren. In
totaal zijn er vier zoete watersystemen (zie Figuur 2-2):
• Bovenrivieren.
• IJssel- en Markermeer.
• Vecht- en IJsseldelta.
• Benedenrivieren.
Het is de bedoeling om op termijn deze vier zoete watersystemen te integreren in één
probabilistisch model, Hydra-Zoet, dat wordt behandeld in hoofdstuk 21. Om alvast een context
te geven worden in dit hoofstuk van elk van de vier watersystemen genoemd: ten eerste, het
(probabilistisch) model waarmee tot nu toe de HR worden bepaald, en ten tweede de
(stochastische) grootheden die per gebied in het HR-model worden gebruikt.
Voor met name de bovenrivieren is het begrip maatgevende afvoer belangrijk. Dat is per
definitie, voor een beschouwde rivier, de afvoer met een overschrijdingsfrequentie van 1/1250
per jaar, of equivalent hiermee, met een terugkeertijd van 1250 jaar. Bijvoorbeeld voor de Rijn
te Lobith is de maatgevende afvoer gelijk aan 16000 m3/s, wat inhoudt dat gemiddeld eens in
de 1250 jaar een afvoergolf voorkomt waarvan de piekwaarde het niveau 16000 m3/s
overschrijdt.4
3.1 Bovenrivieren
Voor de bovenrivieren wordt voor de HR2006/TMR2006 gebruik gemaakt van Hydra-R. Dit is
een deterministisch model. De toetspeilen, voor T = 1250 jaar, volgen door met Waqua (zie
hoofdstuk 5) waterstanden te bepalen door maatgevende afvoergolven voor de Rijn en de Maas
door te rekenen; de piekwaarden van deze golven zijn gelijk aan de maatgevende afvoeren van
deze rivieren (te Lobith respectievelijk te Borgharen). Hierbij wordt ook rekening gehouden met
relevante laterale toestromingen.
Om een benodigde kruinhoogte te bepalen, wordt het toetspeil vermeerderd met een toeslag
voor golven. Deze wordt deterministisch bepaald met behulp van ontwerpwindsnelheden, die
per windrichting andere waarden kunnen hebben. De windrichting die leidt tot de hoogste
toeslag, is daarbij maatgevend. De benodigde kruinhoogte wordt dan, afgezien van toeslagen
voor bochtwerking en locale opstuwing, gelijk genomen aan het toetspeil vermeerderd met deze
(hoogste) toeslag.
4 Impliciet in het gebruik van de terugkeertijd op deze manier, is dat de afvoerstatistiek ieder jaar hetzelfde blijft
(aanzienlijk langer dan 1250 jaar). In werkelijkheid zullen de rivier(schematisatie) en het klimaat in de loop der tijd veranderen, wat één van de redenen is dat de maatgevende afvoeren van Rijn, Maas, Vecht en IJssel om de zoveel jaar worden herzien (ook gewijzigde inzichten van diverse aard spelen een rol). Het gebruik van de terugkeertijd zoals in de tekst kan dus verwarrend zijn. Wanneer gesproken wordt van een terugkeertijd van T = 1250 jaar voor een zeker niveau, wordt feitelijk bedoeld dat onder de vigerende statistiek dit niveau wordt overschreden met een overschrijdingsfrequentie van 1/1250 per jaar.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
26 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
De (onderliggende) grootheden die centraal staan in de Hydra-R berekeningen voor de
bovenrivieren zijn:
• Rijnafvoer te Lobith voor locaties langs de Rijn of een Rijntak.
• Maasafvoer te Borgharen voor locaties langs de Maas.
• Windsnelheid.
• Windrichting.
Als de bovenrivieren op termijn worden opgenomen in Hydra-Zoet, worden deze grootheden,
die in Hydra-R deterministisch worden meegenomen, als stochasten opgenomen in Hydra-Zoet.
3.2 IJssel- en Markermeer
Voor het IJssel- en Markermeer wordt voor de faalmechanismes overloop en golfoverslag
Hydra-M gebruikt. Stilzwijgend worden tot het IJsselmeer gerekend het Ketel- en Vossemeer,
en tot het Markermeer het IJmeer, Gooi- en Eemmeer, het Nijkerkernauw en de Eem.
Stochasten in Hydra-M zijn:
• IJsselmeerpeil, in m+NAP, voor locaties langs het IJsselmeer.
• Markermeerpeil, in m+NAP, voor locaties langs het Markermeer.
• Windsnelheid, in m/s, (statistiek van potentiële windsnelheid Schiphol).
• Windrichting, in termen van 30°-sectoren, (statistiek van potentiële windsnelheid Schiphol).
Het meerpeil moet hier worden opgevat als een ruimtelijk over het meer gemiddelde waarde;
windopzet maakt dus geen deel uit van de stochast meerpeil. De windsnelheid en windrichting
zijn in Hydra-M gecorreleerd.
3.3 Vecht- en IJsseldelta
Voor de Vecht- en IJsseldelta wordt in dit rapport voor de faalmechanismes overloop en
golfoverslag Hydra-VIJ gebruikt. Een precieze afbakening van beide delta’s wordt verderop in dit
rapport gegeven. Stochasten in Hydra-VIJ zijn:
• Vechtafvoer te Dalfsen, in m3/s, voor locaties in de Vechtdelta.
• IJsselafvoer te Olst, in m3/s, voor locaties in de IJsseldelta.
• IJsselmeerpeil, in m+NAP.
• Windsnelheid, in m/s, (statistiek van potentiële windsnelheid Schiphol).
• Windrichting, in termen van 22.5°-sectoren, (statistiek van potentiële windsnelheid
Schiphol).
• Beheertoestand Ramspolkering (rekening wordt gehouden met een correct functionerende
zowel als met een falende kering).
Het meerpeil moet hier worden opgevat als een ruimtelijk over het meer gemiddelde waarde;
windopzet maakt dus geen deel uit van het meerpeil. De afvoeren en het meerpeil zijn in
Hydra-VIJ gecorreleerd. Hetzelfde geldt voor de windsnelheid en de windrichting.
Opmerking: recente versie Hydra-VIJ voor de meren
Omdat de stochasten van de meren ook voorkomen in Hydra-VIJ, kunnen deze meren behalve
met Hydra-M ook worden doorgerekend met Hydra-VIJ. Voorwaarde is dan wel dat de juiste
waterstandsdatabases en statistische gegevens beschikbaar zijn (in het bijzonder dienen nog
gegevens voor het Markermeer aanwezig te zijn). Dat is inmiddels het geval, en er is reeds een
versie van Hydra-VIJ gebouwd, zie [Duits, 2008d], waarbij de uitvoer van het model passend
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 27
voor de meren is gemaakt; gegevens voor de afvoer en de balgstuw zijn uit de uitvoer
verwijderd. Zie verder hierover ook hoofdstuk 21 over Hydra-Zoet en in het bijzonder pragraaf
21.2.
3.4 Benedenrivieren
Voor de benedenrivieren wordt in dit rapport voor de faalmechanismes overloop en golfoverslag
Hydra-B gebruikt. Een precieze afbakening van het gebied wordt verderop in dit rapport
gegeven. Stochasten in Hydra-B zijn:
• Rijnafvoer te Lobith, in m3/s, voor locaties die gedomineerd worden door de Rijn.
• Maasafvoer te Lith, in m3/s, voor locaties die gedomineerd worden door de Maas.
• Zeewaterstand te Maasmond, in m+NAP.
• Windsnelheid, in m/s, (statistiek van potentiële windsnelheid Schiphol).
• Windrichting, in termen van 22.5°-sectoren, (statistiek van potentiële windsnelheid
Schiphol).
• Beheertoestand Maeslant- en Hartelkering (er wordt rekening gehouden met geopende en
gesloten keringen, alsmede met het falen van de keringen).
De zeewaterstand is in Hydra-B gecorreleerd met de windsnelheid en de windrichting. De afvoer
wordt statistisch onafhankelijk beschouwd van de zeewaterstand, de windsnelheid en de
windrichting. De correlatie tussen de Rijn- en de Maasafvoer wordt in Hydra-B op een
Tabel 4-1: Terugkeertijden van een aantal stochasten voor de Vecht- en IJsseldelta (HR2006-gegevens
voor de Vechtdelta en TMR2006 voor de IJsseldelta). Bron: afvoeren en meerpeil volgens hoofdstuk 11, windsnelheden volgens het Rijkoort Weibull model.5
terugkeertijd T afvoer Lobith afvoer Lith zeewaterstand
Tabel 4-2: Terugkeertijden van een aantal stochasten voor de benedenrivieren (HR2006-gegevens).
Bron: afvoeren volgens hoofdstuk 17, zeewaterstand volgens [Geerse, 2003b], windsnelheden volgens het Rijkoort Weibull model.6
5 De windsnelheden voor T = 10 jaar en hoger zijn berekend met het Rijkoort Weibull model beschreven in [Rijkoort,
1983]. Met dat model kan geen resultaat voor T = 1 jaar worden berekend, het getal daarvoor is afkomstig uit [Verkaik et al, 2003b].
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 31
4.3 Faalmechanisme overloop: waterstanden
4.3.1 Elementaire uitvoer waterstandsberekening
Figuur 4-1 toont het hoofdscherm van Hydra-VIJ. Hier is een database ingeladen met
oeverlocaties voor dijkring 9 (Vollenhove). Voor al de aangegeven oeverlocaties kunnen met
Hydra-VIJ berekeningen worden uitgevoerd. Voor de geselecteerde locatie (geel gemarkeerd),
die hier kortweg wordt aangeduid als Zwarte Water km 14, is een waterstandsberekening
uitgevoerd (faalmechanisme overloop) voor drie terugkeertijden, namelijk T = 1250, 2000 en
4000 jaar. Tabel 4-3 laat een deel van de Hydra-VIJ uitvoer zien. Volgens de normfrequentie
van deze dijkring heeft deze locatie een terugkeertijd van 1250 jaar. Daarvoor resulteert een
waterstand van 1.85 m+NAP. De uitvoer laat zien dat de waterstanden voor T = 2000 en 4000
jaar niet al te zeer verschillen, die blijken respectievelijk (afgerond) 0.06 m en 0.16 m hoger te
zijn dan die voor T = 1250 jaar.
Figuur 4-1: Het hoofdscherm van Hydra-VIJ met locatie Zwarte Water km 14 geel gemarkeerd.
6 De zeewaterstand geldt voor toestandsjaar 2006. Ten opzichte van toestandsjaar 1985 voor Hoek van Holland (de
basispeilen) is een zeespiegelstijging van 0.05 m aangenomen; daarnaast is een verlaging van 0.02 m toegepast om Hoek van Holland te transformeren naar Maasmond. Voor de windsnelheden is de voorgaande voetnoot van toepassing.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
32 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
HYDRA-VIJ Versienummer: 3.0.2 juli 2008 Berekeningsresultaten Naam gebruiker = geerse Datum berekening = 09-12-2008 17:21:52 Invoerdatabase = Oeverloc_dkr_009_Vecht.mdb Locatie = Dkr 9 Zwarte Water km 14-15 Locatie 1 X-coördinaat = 202428 (m) Y-coördinaat = 515247 (m) Berekeningstype = Waterstand Deze berekening is gemaakt zonder klimaatscenario en met statistische gegevens van de Vecht Berekeningsresultaten Frequentie: Waterstand: 1/ 1250 1.850 (m+NAP) Illustratiepunten Percentielen 1/ 2000 1.911 (m+NAP) Illustratiepunten Percentielen 1/ 4000 2.009 (m+NAP) Illustratiepunten Percentielen Terugkeertijd Waterstand (jaren) (m+NAP) 0.5 0.797 1 0.912 2 1.011 5 1.134 10 1.226 25 1.348 50 1.439 100 1.528 250 1.645 500 1.732 1000 1.821 2000 1.911 4000 2.009 10000 2.164 20000 2.307
Tabel 4-3: Deel Hydra-VIJ uitvoer waterstandsberekening Zwarte Water km 14.
4.3.2 Uitsplitsingen bij de waterstandsberekening
Met Hydra-VIJ kunnen zogenaamde “uitsplitsingen” worden berekend, die informatie geven over
de kansen waarmee afvoeren, meerpeilen en wind voorkomen tijdens falen. Strikt genomen
kleven er wat haken en ogen aan de precieze interpretatie van de uitsplitsingen, wat in
hoofdstuk 13 besproken wordt, tezamen met de relevante formules. Hier worden de
uitsplitsingen uitgelegd aan de hand van een voorbeeld, dat correspondeert met de hiervoor
behandelde waterstandsberekening. Tabel 4-4 geeft, aanvullend op Tabel 4-3, de uitvoer met
uitsplitsingen.
De uitsplitsingen vinden plaats naar de volgende grootheden:
• Keringtoestand.
• Afvoer.
• Meerpeil.
• Windsnelheid.
• Windrichting.
Van de eerste vier grootheden staan de gegevens in Tabel 4-4; voor de windrichting komen ze
aan de orde bij de bespreking van de illustratiepunten in de volgende paragraaf.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
Nu wordt uitvoer besproken voor een berekening met faalmechanisme golfoverslag, waarbij
voor een gespecificeerd dijkprofiel een benodigde kruinhoogte wordt bepaald. Daarbij dient een
toelaatbaar overslagdebiet te worden opgegeven, ook kritiek overslagdebiet genoemd. In de
toetsing wordt dat overslagdebiet bepaald door (onder meer) de kwaliteit van de grasmat van
het binnentalud: hoe beter de grasmat, des te meer overslaand water mag worden toegelaten.
Bij faalmechanisme golfoverslag bestaat het hydraulisch belastingniveau (met eenheid m+NAP)
uit de lokale waterstand vermeerderd met de zogenaamde golfoverslaghoogte (met eenheid m).
Hoe die belasting precies wordt gedefinieerd, staat in paragraaf 5.4. Hier noemen we alleen dat
de golfoverslaghoogte een maat is voor het effect van de golven: hogere golfhoogtes en
golfperiodes leveren een grotere golfoverslaghoogte. Ook het opgegeven toelaatbaar
overslagdebiet is van invloed op de golfoverslaghoogte: een kleiner toelaatbaat debiet dat over
de dijk mag slaan (strengere eis in de toetsing), gaat gepaard met een grotere golfoverslag-
hoogte. Bij gelijkblijvende golfhoogte en golfperiode betekent een kleiner toelaatbaar debiet
namelijk dat het effect van de golven belangrijker wordt, wat tot uitdrukking komt in een
toename van de golfoverslaghoogte. Zie voor een beter begrip van dat laatste desgewenst de
precieze definitie in paragraaf 5.4.
De locatie waarvoor Hydra-VIJ uitvoer wordt gegeven is opnieuw Zwarte Water km 14. In de
berekening worden, intern in Hydra-VIJ, windgolven betrokken, die vereisen dat effectieve
strijklengtes en bodemhoogtes zijn gespecificeerd. Deze gegevens worden in Hydra-VIJ gebruikt
om golfgegevens (significante golfhoogte en piekperiode) te bepalen.7 De volgende paragraaf
gaat over de gebruikte strijklengtes, bodemhoogtes en het (fictief gekozen) dijkprofiel. De
daaropvolgende paragrafen geven eenzelfde soort uitvoer als hiervoor besproken, maar dan
voor IP’s die zijn uitgebreid met golfgegevens.
4.4.1 Effectieve bodemhoogtes, strijklengtes en dijkprofiel
Figuur 4-2 geeft het invoerscherm uit Hydra-VIJ waarmee effectieve strijklengtes en effectieve
bodemhoogtes (ook aangeduid als karakteristieke bodemhoogtes) kunnen worden ingevoerd. In
de linkerhelft van het scherm is te zien hoe, per windrichting, deze grootheden kunnen worden
opgegeven; rechts daarvan zijn de effectieve strijklengtes grafisch weergegeven: de zwarte
lijnen geven de strijklengtes, de blauwe de bandijken. De overige aspecten uit het invoerscherm
blijven hier onbesproken, zie daarvoor de handleiding van Hydra-VIJ.
De oeverdatabases uit Hydra-VIJ bevatten defaultwaarden voor de effectieve strijklengtes en
bodemhoogtes, maar deze mogen, op basis van gebiedskennis, door een gebruiker naar eigen
inzicht worden aangepast. Hoe precies de defaultwaarden worden bepaald, en hoe de
strijklengtes en bodemhoogtes in combinatie met de formules van Bretschneider worden
7 De golfgegevens worden intern in Hydra-VIJ bepaald met de formules van Bretschneider, zie paragraaf 5.2, waarbij dus
effectieve strijklengtes en bodemhoogtes zijn vereist. Denkbaar is dat in de toekomst, buiten Hydra-VIJ om, golfgegevens met het golfmodel Swan bepaald worden, in welk geval geen strijklengtes en bodemhoogtes meer nodig zijn. Het voorliggende hoofdstuk gaat uit van de huidige stand van zaken, waarbij strijklengtes en bodemhoogtes zijn vereist.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
38 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
gebruikt om golfgegevens te bepalen, staat in paragraaf 5.2.2. Hier wordt slechts opgemerkt
dat langere strijklengtes leiden tot hogere golven, en hogere bodemhoogtes, vanwege geringere
waterdieptes, tot lagere golven.
Figuur 4-2: Invoerscherm Hydra-VIJ voor effectieve bodemhoogtes en strijklengtes.
Voor faalmechanisme golfoverslag is ook nodig dat een dijkprofiel wordt ingevoerd in Hydra-VIJ.
Uiteraard moet dat een zo goed mogelijk geschematiseerd profiel zijn van de werkelijke dijk.
Hiertoe bevat Hydra-VIJ een profieleditor, waarmee de hellingen en ruwheden van de taluddelen
kunnen worden ingevoerd en daarnaast eventueel aanwezige bermen. Ook kunnen eventueel
een dam en/of voorland worden ingevoerd. Voor het gebruik van de profieleditor wordt
verwezen naar de gebruikershandleiding van Hydra-VIJ. In het voorbeeld uit dit hoofdstuk
wordt simpelweg een standaardprofiel gekozen met een helling van 1 op 3, met standaardruw-
heid 1. Als onderdeel van het profiel moet ook de dijknormaal worden opgegeven. In het
voorbeeld wordt daarvoor 260° genomen (de dijknormaal staat loodrecht op de dijk, gericht
Figuur 4-4: Verloop van afvoer- en meerpeilpercentielen langs de IJssel.
Ramspolkering en bijdragen per keringtoestand
De Ramspolkering is bedoeld om de waterstanden in de Vechtdelta te reduceren, maar heeft
een verhogend effect op de benedenloop van de IJssel. Reden daarvan is dat bij gesloten kering
minder water richting het Zwarte Meer gaat en iets meer richting IJssel. Zonder kering zouden
de toetspeilen in de IJsselmonding met bijna 1 decimeter dalen, bij stadsfront Kampen met
enkele centimeters, terwijl ze bovenstrooms van Kampen onveranderd blijven [Geerse, 2007a].
Ook al heeft de kering betrekkelijk weinig effect op de toetspeilen in de IJsseldelta, toch is het
interessant om te zien hoe de bijdragen per keringtoestand langs de IJssel veranderen. In deze
bijdragen komt het karakter terug van de drie hiervoor beschouwde trajecten: afvoerdominant-,
winddominant- en overgangstraject. Bovenstrooms van Kampen, vanaf km 993, komen tijdens
8 Merk op dat q90% benedenstrooms van km 995 iets oploopt t/m km 998. Deze “hobbel” lijkt curieus, maar is
verklaarbaar. In de benedenrivieren komt een dergelijk verschijnsel eveneens voor, bijvoorbeeld op de Beneden Merwede bij Sliedrecht. Zie voor uitleg desgewenst [Geerse, 2004c].
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
46 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
falen extreme afvoeren voor in combinatie met relatief lage windsnelheden. Bij deze lage
windsnelheden bestaat niet zo veel kans dat de kering zal sluiten, volgens Tabel 4-9 is de dichte
bijdrage 7% of minder.9 In de IJsselmonding is falen het gevolg van extreme stormen uit
westelijke richtingen, in combinatie met lage afvoeren en meerpeilen. Tijdens deze stormen is
de kering vrijwel zeker gesloten, volgens Tabel 4-9 met kans 99.8%. Dat deze kans niet 1.0 is,
komt omdat de kering kan falen. Op het overgangstraject km 994 – km 999, tenslotte, neemt
van boven- naar benedenstrooms de open bijdrage af van 93% tot 0.2%, terwijl de dichte
bijdrage dan toeneemt van 7% tot 99.8%. Hier komt dus een diversiteit van open en dichte
bijdragen voor. Hiervoor zijn de afvoer- en meerpeilpercentielen besproken voor het geval
“O+D”, Tabel 4-9 geeft de percentielen ook voor de gevallen “O” en “D”, maar dergelijke
resultaten hier onbesproken.
Belangrijkste windrichtingen in het overgangsgebied en de IJsselmonding
Tot slot, ook al geeft Tabel 4-9 daarvoor geen informatie, volgt nog een opmerking over de
bijdragen per windrichting. Die windrichting is vooral relevant voor locaties die bedreigd worden
door (extreme) stormen, dus voor locaties in het overgangsgebied en de IJsselmonding. De
uitsplitsingen naar windrichting geven aan dat de belangrijkste richtingen tijdens falen hier W,
WNW en NW zijn. Bijvoorbeeld voor km 995 dragen deze richtingen voor 41% bij tijdens falen,
voor km 997 dragen ze bij voor 77% en op het traject km 999 – km 1002 voor 91% of meer.
4.5.2 Uitsplitsingen voor waterstandsberekeningen in de Vechtdelta
Op dezelfde manier als hiervoor is een gevoeligheidsanalyse uitgevoerd voor de Vechtdelta. Met
Hydra-VIJ zijn voor negen locaties waterstanden bepaald voor één terugkeertijd, namelijk T =
1250 jaar. De resultaten staan in Tabel 4-10 en Figuur 4-5. De gegevens hebben dezelfde aard
als in de voorgaande paragraaf, met dien verstande dat in de figuur nu ook de bijdragen van de
keringtoestand zijn weergegeven, maar verdere uitleg van wat de getallen voorstellen kan
achterwege blijven.
De rol van de diverse stochasten blijkt in de Vechtdelta veel gecompliceerder dan in de
IJsseldelta. Waar in de IJsseldelta alleen locaties in het overgangsgebied, bij en rondom
Kampen, een grote diversiteit aan omstandigheden tonen, blijkt deze diversiteit in de Vechtdelta
vrijwel overál aanwezig. We beperken ons commentaar voor de Vechtdelta tot een aantal
punten, die het best zijn af te lezen uit Figuur 4-5. Het meerpeil blijft weer buiten beschouwing,
om dezelfde reden als hiervoor (sterk verband tussen afvoer en meerpeil, zodat het meerpeil
niet apart becommentarieerd hoeft te worden).
1. Overal in de Vechtdelta, uitgezonderd nabij Dalfsen, kan tijdens falen een grote diversiteit
aan omstandigheden optreden. Bedreigend kunnen zijn: extreme afvoeren met weinig wind,
lage afvoeren met extreme wind en combinaties van verhoogde afvoer en verhoogde wind.
2. De enige “puur afvoergedomineerde” locaties liggen in de buurt van Dalfsen. De reden dat
locaties bovenstrooms van Dalfsen, bijvoorbeeld km 36 (Ommen), minder sterk door de
afvoer worden gedomineerd dan Dalfsen, is dat bovenstrooms van Dalfsen lokale windopzet
9 Dat deze kans nog duidelijk groter is dan 0%, komt omdat de extreme afvoeren samengaan met sterk verhoogde
meerpeilen, zodat ook zonder wind het sluitpeil van 0.50 m+NAP al bereikt wordt; of de kering wel of niet sluit hangt daarom af van de vraag of wel of geen sprake is van instroming richting het Zwarte Meer. Een extreme IJsselafvoer gaat samen met een extreme Vechtafvoer, zodat bij weinig wind geen instroming zal plaatsvinden en het sluitcriterium niet wordt gehaald. Pas bij flink wat wind zal de stromingsrichting omkeren en het sluitcriterium worden gehaald.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 47
een rol speelt.
3. Er zijn geen “puur windgedomineerde” locaties. De meest extreme windsnelheden komen
voor bij locaties aan de noordoostzijde van het Zwarte Meer, waar de windopzet maximaal
is. Voor deze locaties kan falen echter ook optreden bij extreme afvoeren met weinig wind.
4. Uitgezonderd locaties nabij Dalfsen, kan falen met redelijk grote kans samengaan met zowel
een open als dichte kering. Alleen nabij Dalfsen, waar falen samengaat met relatief weinig
wind, is de dichte bijdrage klein (10% of minder), wat dezelfde verklaring heeft als in de
voorgaande paragraaf uitgelegd voor afvoerdominante locaties langs de IJssel.
5. Los van de gegevens uit Tabel 4-10 en Figuur 4-5 volgt hier informatie over de belangrijkste
windrichtingen tijdens falen. Uitgezonderd locaties nabij Dalfsen zijn de belangrijkste
richtingen WZW t/m NW, waarbij gewoonlijk richting W de hoogste bijdrage heeft, maar
incidenteel ook WNW. Op het Zwarte Water en Zwarte Meer doet zich tijdens falen met
minimaal 75% kans één van de richtingen WZW, W, WNW of NW voor (gezamelijke
kansbijdrage van WZW t/m NW is minimaal 75%). Op de Vecht is de concentratie op deze
vier richtingen minder sterk, vooral nabij Dalfsen.
Tabel 5-1: Transformatie van de potentiële windsnelheid u naar windsnelheid u10 op 10 m hoogte boven open water.
5.2.4 Golfgegevens op basis van Hiswa of Swan
Als Hiswa of Swan wordt gebruikt in plaats van Bretschneider zijn geen effectieve strijklengtes
en bodemhoogtes nodig. Deze golfmodellen gaan uit van een 2-dimensionale schematisatie van
het gebied, waar de “gebiedskarakteristieken al inzitten”. Deze golfmodellen worden verder niet
besproken. We merken slechts op dat de gewenste Hs, Tp en θ uitvoer vormen van deze
modellen. N.B.: de golfrichting θ kan in dat geval verschillen van de windrichting.
Zoals gezegd zijn voor Swan en Hiswa geen effectieve strijklengtes en bodemhoogtes nodig.
Wel dient de open water transformatie te worden gebruikt (of een soortgelijke transformatie) bij
berekeningen met deze modellen.
5.3 Transformatie golfgegevens van open water naar de dijkteen
In de vorige paragraaf is behandeld hoe bij een gegeven combinatie van randvoorwaarden
(bijvoorbeeld van de vorm (qV,qIJ,m,u,r,λ) in Hydra-VIJ) de golfgegevens op open water voor de
dijk worden bepaald. Als tussen dit “open water” en de dijk zich een dam en/of voorland
bevinden, moeten de golfgegevens nog vertaald worden naar golfgegevens aan de dijkteen.
Voor deze vertaling bevatten beide Hydra’s een dam- en een voorlandmodule. Deze modules
zijn ontwikkeld ten behoeve van het probabilistisch model Hydra-M, dat gebruikt wordt voor het
IJssel- en Markermeer, zie Deelrapport 9 door De Waal uit [Hydra-M, 1999]. Op basis van deze
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
54 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
referentie volgt hier een beknopte beschrijving van beide modules. Zie ter illustratie van de
werking van de modules Figuur 5-2; de onderdelen uit de figuur worden nog nader uitgelegd.
dijkteen
Figuur 5-2: Overzicht van dam, voorland en dijk; de uitvoerlocatie, met gegevens afkomstig uit
Bretschneider, wordt in de tekst aangeduid als het punt van “open water”.
5.3.1 Dammodule
In de dammodule worden de golfgegevens van buiten de dam getransformeerd naar nieuwe
gegevens direct binnen de dam. Deze transformatie vindt plaats door formules voor
golftransmissie toe te passen. Bij golftransmissie neemt met name de golfhoogte af. De
transformatie van de golfgegevens in de dammodule is gebaseerd op de formules van [Goda,
1969] en [Seelig, 1979]. De transmissie over de dam heeft in de huidige opzet uitsluitend
invloed op de significante golfhoogte. De piekperiode, golfrichting en waterstand voor en na de
dam blijven bij de toegepaste formules gelijk.
De dam moet met twee kenmerken worden gekarakteriseerd. Het eerste kenmerk betreft het
damtype, waarbij gekozen kan worden uit een trapeziumvormige dam, een caisson en een
verticale wand, zie Figuur 5-3. Het tweede kenmerk betreft het kruinniveau in meters ten
opzichte van NAP. De significante golfhoogte direct achter de dam (landzijde) wordt
verondersteld alleen te worden veroorzaakt door golftransmissie over de dam heen – er wordt
geen rekening gehouden met eventuele golfdoordringing door openingen in de dam. Dat laatste
is eigenlijk strijdig met de aanname van een waterstand die voor en na de dam gelijk is indien
sprake is van een afgesloten bassin achter een dam die geen water doorlaat (niet-poreuze
dam). In feite wordt aangenomen dat de dam wat de waterstand betreft gaten bevat (of poreus
is), waardoor voor en na de dam eenzelfde waterstand resulteert, terwijl wat de golven betreft
de dam geen gaten bevat.
Figuur 5-3: Damtypes.
dam caisson wand
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 55
5.3.2 Voorlandmodule
Soms ligt voor de dijk een voorland, waarover zich bodemveranderingen voordoen. In de
voorlandmodule worden de lokale waterstand en de golfgegevens aan het begin van het
voorland getransformeerd naar nieuwe gegevens aan de teen van de dijk.
De transformatie van de hydraulische randvoorwaarden in de voorlandmodule gebeurt met het
WL-model ENDEC (een acroniem voor ENERGY DECAY). Het model is als stand-alone 1-dimensi-
onaal PC-programma ontwikkeld. ENDEC berekent de verandering van de golfhoogte en de
golfrichting, maar niet van de golfperiode, als gevolg van:
• Refractie, draaiing van de golven als gevolg van veranderingen in de bodemhoogte.
• Shoaling, veranderingen in de golfhoogte door bodemhoogteveranderingen.
• Energieverlies door golfbreking.
• Energieverlies door bodemwrijving.
• Energiewinst door golfgroei ten gevolge van wind.
Bovendien berekent ENDEC de (doorgaans geringe) verandering van de waterstand als gevolg
van golf-setdown en golf-setup. In ENDEC wordt de verandering van de golfperiode (afname
door breking of toename door wind) verwaarloosd.
ENDEC is een 1-dimensionaal model, wat grenzen stelt aan de nauwkeurigheid van het model.
Zie voor meer informatie hierover [Hydra-M, 1999; Deelrapport 9].
In het originele ENDEC-model wordt geen opwaaiing door de wind berekend. Omdat er situaties
zijn dat de opwaaiing boven het voorland een rol speelt, is die opwaaiing in een later stadium in
de voorlandmodule ingebouwd, zie voor de manier waarop [Ris, 1997]. In de voorlandmodule
wordt voor het bodemprofiel eerst afzonderlijk de opwaaiing berekend; daarna wordt de
ENDEC-berekening uitgevoerd.
Er dient nog op het volgende te worden gewezen: bij gebruik van de voorlandmodule wordt de
effectieve strijklengte over het voorland “dubbel geteld”. De strijklengtes worden volgens
paragraaf 5.2.2 immers bepaald van bandijk tot bandijk, terwijl ze feitelijk zouden moeten
worden bepaald van de tegenover het voorland liggende bandijk tot aan het begin van het
voorland. Bij relatief korte voorlanden, zeg 100 á 200 meter, is dit acceptabel; de effectieve
strijklengte is immers vaak één of meer kilometers. Bij langere voorlanden kunnen desgewenst
de defaultwaarden voor de strijklengtes (en eventueel de bodemhoogtes) door de gebruiker
worden aangepast.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
56 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
5.4 Hydraulische belasting
Als in Hydra-VIJ of Hydra-B met het faalmechanisme golfoverslag wordt gerekend, moeten de
golfgegevens ter plaatse van de dijkteen worden vertaald naar een hydraulisch belastingniveau
op de dijk. Deze belasting is een niveau in m+NAP, en wordt mede bepaald door het door de
gebruiker opgegeven toelaatbaar (of kritiek) overslagdebiet (zie voor de precieze definitie
hieronder). Hoe beter de kwaliteit van de grasmat van het binnentalud, hoe hoger het
toelaatbaar overslagdebiet mag zijn. Een hoger toelaatbaar overslagdebiet correspondeert met
een lager hydraulische belastingniveau, en daarmee met een lagere benodigde kruinhoogte.
Het is nuttig enkele definities te geven, de eerste afkomstig uit [TAW, 2002] en de twee overige
uit [De Waal, 1999b], zie Figuur 5-4. De stilwaterlijn (SWL) wordt elders in dit rapport meestal
aangeduid als de lokale waterstand.
• De golfoverslag wordt gegeven als een gemiddeld debiet per strekkende meter breedte,
bijvoorbeeld in m3/m per s of in l/m per s. De golfoverslag wordt berekend ten opzichte van
de hoogte van de buitenkruinlijn (zie Figuur 5-4) en er wordt van uitgegaan dat deze
overslag ook de achterkant van de kruin en het binnentalud bereikt.
• De golfoverslaghoogte, in m, is de hoogte ten opzichte van de stilwaterlijn (oftewel de
lokale waterstand) waarbij een bepaald opgegeven debiet optreedt. Iets preciezer gezegd is
de golfoverslaghoogte het verschil tussen het niveau van de buitenkruinlijn en de
stilwaterlijn in de situatie dat de buitenkruinlijn zó hoog ligt dat de overslag daarover
precies gelijk is aan een opgegeven kritiek overslagdebiet.
• Het hydraulische belastingniveau, in m+NAP, is gelijk aan de som van de lokale waterstand
en de golfoverslaghoogte.
teen
NAP
SWL g.o.h.
hydraulisch belastingniveau
buitenkruinlijngolfgegevensdijkteen
Figuur 5-4: Illustratie van de golfoverslagmodule; g.o.h. duidt de “golfoverslaghoogte” aan.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 57
De golfgegevens bij de dijkteen uit Figuur 5-4, eventueel getransformeerd door de dam en/of
voorlandmodule, bestaan uit:13
• De lokale waterstand (oftewel stilwaterlijn).
• De significante golfhoogte Hs.
• De piekperiode Tp.
• De golfrichting θ.
De berekening van de golfoverslaghoogte gebeurt met de module PC-Overslag, die is gebaseerd
op het werk van Van der Meer [TAW, 2002].14 De gebruikte formules worden hier niet
behandeld. Wel benadrukken we nog eens dat het hydraulisch belastingniveau mede afhangt
van het door een gebruiker opgegeven toelaatbaar overslagdebiet. Een kleiner toegestaan
debiet betekent een strenger criterium, dat zoals blijkt uit de definitie van de golfoverslaghoogte
dan correspondeert met een grotere golfoverslaghoogte en dientengevolge een hoger
hydraulisch belastingniveau. Dat laatste vertaalt zich in een hogere benodigde kruinhoogte.
13 Feitelijk wordt in PC-Overslag de periodemaat Tm-1,0 gebruikt, die wordt berekend als Tp/1.1. Vanwege (5.3) geldt in
Hydra-VIJ en Hydra-B dan Tm-1,0 = (1.08/1.1)Ts. 14 Met PC-Overslag kan ook de 2%-oploop worden berekend. Deze oploop maakt ook deel uit van de formules uit de
genoemde referentie, maar komt in dit rapport verder nauwelijks ter sprake.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 59
6 Combineren van trage en snelle stochasten
6.1 Tijdschalen van stochasten
In de modellen Hydra-VIJ en Hydra-B worden zogenaamde trage en snelle stochasten
beschouwd. De trage stochasten variëren aanzienlijk langzamer in de tijd dan de snelle. In
Hydra-VIJ zijn het meerpeil en de afvoer trage stochasten, terwijl de windsnelheid en
windrichting snelle stochasten zijn: tijdens een storm variëren de afvoer en het meerpeil
namelijk relatief weinig. Hydra-B bevat de afvoer als trage stochast en als snelle stochasten de
windsnelheid, windrichting en de zeestand. De keringtoestanden (Ramspolkering in Hydra-VIJ
en de combinatie van Maeslant- en Hartelkering in Hydra-B), of eigenlijk de kansen daarop, zijn
afhankelijk van de trage zowel als de snelle stochasten, en vervullen een aparte rol in de
modellen. Waar hierna van trage en snelle stochasten wordt gesproken, blijven vanwege deze
aparte rol de keringtoestanden buiten beschouwing.
Het hoofddoel van dit hoofdstuk is te demonstreren dat in Hydra-VIJ en Hydra-B geen precieze
tijdsmodellering van de trage stochasten nodig is voor relatief lage uitkomsten van die
stochasten. In Hydra-VIJ is dus voor relatief lage meerpeilen en afvoeren geen precieze
tijdsmodellering nodig; in Hydra-B is voor relatief lage afvoeren geen precieze tijdmodellering
nodig. Wel van belang is dat de zogenaamde momentane kansverdelingen van de trage
stochasten goed in de modellen verwerkt zijn. Een momentane kansverdeling van een grootheid
geeft informatie over de kansen waarmee de grootheid optreedt op een beschouwd tijdstip.
Neem als voorbeeld de momentane overschrijdingskans van het meerpeil M, aangegeven als
P(M>m). Dit is de kans dat op een beschouwd moment het meerpeil niveau m overschrijdt.
Deze kans is ook gelijk aan de fractie van de tijd dat de stochast M het niveau m overschrijdt,
zie voor achtergronden desgewenst Bijlage A.
Samengevat: de tijdsmodellering voor de lagere uitkomsten van de trage stochasten hoeft niet
overeen te stemmen met de werkelijkheid, maar voor de momentane kansverdelingen moet dat
wel zo zijn. De uitleg van bovenstaande bewering wordt nu gegeven, eerst voor Hydra-VIJ, dan
voor Hydra-B.
6.2 Trage en snelle stochasten in Hydra-VIJ
6.2.1 Tijdbasis van snelle stochasten
Bij het opstellen van het model Hydra-VIJ wordt een karakteristieke tijdsduur b ingevoerd. Die
duur moet min of meer overeenstemmen met de duur van de tijdsfluctuaties van de snelle
stochasten, hier de windsnelheid U en de windrichting R. In Hydra-VIJ is b = 12 uur gekozen
(zie hierover paragraaf 6.4). Verder wordt aangenomen dat de stochasten U en R elke 12 uur
een andere waarde aannemen, waarbij de waarden in opeenvolgende duren statistisch
onafhankelijk van elkaar worden aangenomen. We spreken hier, zoals in de literatuur
gebruikelijk, van statistisch onafhankelijke windblokken, waarbij de tijdsperiode b de blokduur
wordt genoemd. Zie desgewenst voor commentaar op de keuze b = 12 uur en de aanname van
onafhankelijkheid tussen de windblokken paragraaf 6.4.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
60 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
In Hydra-VIJ wordt slechts het winterhalfjaar beschouwd (oktober t/m maart), vanwege de
aanname dat bedreigende situaties in de zomer verwaarloosbaar zijn. Dit winterhalfjaar,
kortweg aangeduid als whjaar, bestaat in Hydra-VIJ uit 180 dagen. Dat leidt tot in totaal N =
360 windblokken van duur 12 uur per whjaar. Nummer de perioden in het whjaar als i = 1,
2,..., N. Dan leidt de modellering voor afvoer, meerpeil, windsnelheid en windrichting tot de
volgende rijen van stochasten: Q1, Q2,..., QN, M1, M2,..., MN, U1, U2,..., UN en R1, R2,...,
RN. De stochasten zelf worden met hoofdletters aangeduid, terwijl hun waarden (uitkomsten)
met “normale” letters worden aangeduid. Uitkomsten voor blokduur i worden bijvoorbeeld
aangeduid als (qi,mi,ui,ri).
Nu wordt aangegeven wat de precieze betekenis is van de stochasten in Hydra-VIJ. Voor de
trage stochasten afvoer en meerpeil geldt dat ze gedurende een periode van 12 uur relatief
weinig variëren in de tijd. Vandaar dat Qi en Mi respectievelijk gelijk genomen kunnen worden
aan de gemiddelde afvoer en het gemiddelde meerpeil in blok i. In principe kan de windrichting
gedurende de blokduur wat variëren. Als representatieve windrichting wordt de (vectorieel)
gemiddelde windrichting van de 12 uurwaarden in blok i genomen; deze gemiddelde
windrichting is dus de waarde van stochast Ri. De windsnelheid kan zeker variëren gedurende
de 12 uren in blok i. Bij een constante afvoer, constant meerpeil en constante (representatieve)
windrichting in het blok zal de maximale belasting in het blok vooral bepaald worden door de
maximale windsnelheid in het blok. Feitelijk is dat een benadering, maar in ieder geval wordt in
Hydra-VIJ voor Ui het 12-uursmaximum van de windsnelheid genomen (het maximum van de
12 uurwaarden binnen het blok).
Verdere aannames in Hydra-VIJ zijn dat het tweetal afvoer en het meerpeil gecorreleerd zijn,
evenals het tweetal windsnelheid en windrichting. De afvoer en het meerpeil zijn echter
statistisch onafhankelijk van de wind verondersteld.15
6.2.2 Combineren van trage en snelle stochast voor vereenvoudigde situatie van meerpeil en windsnelheid
Hoofddoel van dit hoofdstuk is uit te leggen dat voor lage uitkomsten van de trage stochasten
alleen de momentane kans van belang is, maar niet het precieze tijdsverloop van deze
stochasten. Beschouw als vereenvoudiging eerst slechts twee modelstochasten: de trage
stochast meerpeil M en de snelle stochast windsnelheid U. In Hydra-VIJ is voor uitkomsten van
de stochasten in de blokduur een belasting H gegeven. In het geval van het hier beschouwde
tweetal stochasten, met uitkomsten (ui,mi) in blokduur i, is de belasting in deze blokduur dan te
schrijven als
( , )i i iH H u m= (6.1)
waarbij H een deterministische functie is. Voor bijvoorbeeld faalmechanisme overloop is H(u,m)
gelijk aan de lokale waterstand (meerpeil vermeerderd met de windopzet). Feitelijk is (6.1) een
benadering, omdat in werkelijkheid de belasting, bij aanname van een langzaam veranderend
meerpeil, zal afhangen van het gedetailleerde tijdsverloop van de wind. De benadering die
15 In de geavanceerde versie van Hydra-VIJ kan optioneel gerekend worden met een correlatie tussen meerpeil en wind.
Die optie heeft echter voor locaties waar de afvoer dominant is fouten tot gevolg, zoals beschreven in Bijlage H.2 van [Geerse, 2006]. Vandaar dat deze optie in officiële berekeningen nooit wordt gebruikt. Hier kan aan worden toegevoegd dat het verwaarlozen van de correlatie tussen meerpeil en wind volgens oriënterende berekeningen slechts kleine “fouten” oplevert, niet meer dan enkele centimeters.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 61
wordt gemaakt is dat de belasting voldoende nauwkeurig bepaald kan worden op basis van het
meerpeil in combinatie met het 12-uursmaximum van de wind.
In Hydra-VIJ moet de overschrijdingsfrequentie FH(h) van niveau h worden berekend, namelijk
het gemiddeld aantal keren per whjaar dat de belasting H het niveau h overschrijdt. Een
overschrijding van niveau h kan het gevolg zijn van een (extreem) verhoogd meerpeil, een
(extreem) verhoogde windsnelheid of van een combinatie van een verhoogd meerpeil en
verhoogde windsnelheid. In kwalitatief opzicht kan een en ander gezegd worden over de duren
van overschrijdingen.
om
u(m) U
M
Figuur 6-1: De isolijn van niveau h, met daarop een punt (m, u(m)).
mg
U
M
m0
x xx
x x x
x xx x
x
overschrijdingen met duur één blokduur
overschrijdingen met duur meerdere blokduren
x x
x
Figuur 6-2: Schematische weergave van enkele overschrijdingen van niveau h; m0 geeft het minimale
meerpeil aan, en mg de grens tussen kortdurende en langdurende faalgebeurtenissen.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
62 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
Beschouw daartoe eerst de zogenaamde isolijn van niveau h, weergegeven in Figuur 6-1,
waarop de punten (u,m) liggen waarvoor H(u,m) = h. Figuur 6-2 toont schematisch drie
overschrijdingen van deze lijn. De kruisjes geven uitkomsten (ui,mi) aan. Punten die zijn
verbonden vormen tezamen één overschrijding, ook faalgebeurtenissen genoemd, waarbij de
pijl de richting van de tijd weergeeft. De overschrijding begint daarbij “direct links van de pijl”
en eindigt aan het eind van de verbonden punten.
De langst durende faalgebeurtenis is degene linksboven. Deze begint bij een zeer hoog
meerpeil, dat daarna langzaam toeneemt en vervolgens langzaam afneemt. De duur van de
overschrijding is in dit voorbeeld 6 blokduren. Tijdens de overschrijding varieert de windsnelheid
flink: blokduren zijn wat de wind betreft immers statistisch onafhankelijk verondersteld, zodat
per blokduur een duidelijk andere windsnelheid (feitelijk 12-uursmaximum) kan voorkomen. De
overige twee faalgebeurtenissen vinden plaats bij een relatief laag meerpeil. Voor dergelijke
meerpeilen is een zeer hoge windsnelheid nodig voor falen: als meerpeil en wind beiden relatief
laag zijn, is immers geen sprake van bedreigende situaties. De twee faalgebeurtenissen duren
slechts één blokduur. Vanwege de zeer hoge windsnelheid, en omdat windblokken onafhankelijk
zijn verondersteld, is de kans zeer klein dat in twee of meer opeenvolgende blokduren zulke
hoge windsnelheden voorkomen.
In principe is geen eenduidige meerpeilgrens aan te geven die kortdurende faalgebeurtenissen
(duur één blokduur) scheidt van faalgebeurtenissen met duur twee of meer blokduren. Ook bij
de laagste meerpeilen bestaat altijd nog de kans op een duur van twee of meer blokduren. In
benadering kan echter worden aangenomen dat een grensniveau mg bestaat dat de
kortstdurende gebeurtenissen (duur één blokduur) scheidt van de langer durende
gebeurtenissen.
De precieze waarde van mg interesseert ons hier niet. Van belang is slechts dat de bijdragen
aan de overschrijdingsfrequentie FH(h) afkomstig van faalgebeurtenissen waarvoor m < mg
eenvoudig zijn uit te rekenen. Geef die bijdragen aan door FH(h,m<mg). Duidt het minimale
meerpeil dat kan optreden aan met m0 en de windsnelheid op de isolijn die correspondeert met
m door u(m), zie Figuur 6-1. De momentane kansdichtheid van het meerpeil wordt aangegeven
met g(m), en de conditionele kans op een overschrijding van h, gegeven meerpeil m, door
P(H>h|m). Merk op dat deze conditionele kans gelijk is aan de kans dat, gegeven m, de
windsnelheid niveau u(m) overschrijdt. Omdat meerpeil en wind onafhankelijk zijn
verondersteld, is die kans dan P(U>u(m)).
De kans dat in een willekeurige blokduur niveau h wordt overschrijden, in combinatie met een
meerpeil m<mg, kan dan worden berekend als
( ) ( )0 0
( , ) ( ) | ( ) ( )g gm m
gm m
P H h M m dm g m P H h m dm g m P U u m> < = > = >∫ ∫ (6.2)
Omdat faalgebeurtenissen waar hier sprake van is slechts één blokduur duren – het betreft dus
geïsoleerde overschrijdingspieken – wordt de bijdrage aan de overschrijdingsfrequentie FH(h)
afkomstig van deze faalgebeurtenissen dan simpelweg verkregen door de kans uit (6.2) te
vermenigvuldigen met het aantal blokduren N in het whjaar:
( )0
( , ) ( ) |gm
H gm
F h m m N dm g m P H h m< = >∫ (6.3)
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 63
Gebruik van het rechterlid voor het hele bereik van meerpeilen (mg = ∞) om zo FH(h) te
berekenen zou tot een overschatting van FH(h) leiden. Het rechterlid geeft immers het
gemiddeld aantal blokduren per whjaar waarin falen optreedt, maar faalgebeurtenissen die
langer dan één blokduur duren mogen voor FH(h) slechts als één overschrijding worden geteld.
Formule (6.3) wordt niet gebruikt in Hydra-VIJ. De formule toont echter wel dat voor relatief
lage meerpeilen voor de (trage) stochast M geen gedetailleerde informatie van het tijdsverloop
nodig is. Wel van belang is dat de momentane kansdichtheid g(m) van M goed in Hydra-VIJ is
verwerkt.
6.2.3 Combineren van trage en snelle stochasten in Hydra-VIJ
Beschouw nu de feitelijke Hydra-VIJ situatie, waarin naast M en U ook de trage en snelle
stochasten Q en R zijn opgenomen. Naast de waarde mg kan ook een waarde qg worden
gekozen, op zo’n manier dat faalgebeurtenissen die plaatsvinden bij m<mg en tévens q<qg
slechts één blokduur duren. De redenering is net als hiervoor dat falen voor dergelijke
meerpeilen en afvoeren alleen kan gebeuren bij zeer hoge windsnelheden, die vanwege de
onafhankelijkheid van de windblokken met verwaarloosbare kans elkaar direct opvolgen in de
tijd. Als analogon van (6.3) kan dan worden geschreven, wanneer g(q,m) de momentane
kansdichtheid van afvoer en meerpeil voorstelt en q0 de minimale afvoer,
( )0 0
( , , ) ( , ) | ,g gq m
H g gq m
F h q q m m N dq dm g q m P H h q m< < = >∫ ∫ (6.4)
In de berekening in Hydra-VIJ van P(H>h|q,m) wordt de gezamelijke kansverdeling van U en R
gebruikt, waarbij ook de kansen op de keringtoestanden van de Ramspolkering een rol spelen.
De kans P(H>h|q,m), waarvan de berekening verderop in dit rapport aan de orde komt, wordt
in Hydra-VIJ gebruikt als onderdeel van de formule om FH(h) te berekenen, maar formule (6.4)
wordt daarbij niet gebruikt. Deze formule is hier alleen geïntroduceerd om duidelijk te maken
dat voor de lagere afvoeren en meerpeilen het tijdsverloop van de stochasten Q en M geen rol
speelt. Wel belangrijk is dat de momentane kansen van deze stochasten op de juiste manier in
Hydra-VIJ verwerkt zijn.
6.3 Trage en snelle stochasten in Hydra-B
Hydra-B bevat de afvoer Q als trage stochast en als snelle stochasten de zeewaterstand M,
windsnelheid U en windrichting R. De tijdbasis voor de snelle stochasten is in Hydra-B een
getijperiode met een duur van 12.42 uur (12 uur en 25 minuten). Als analogon van (6.3) of
(6.4) volgt voor Hydra-B dan, met N’ = 352 getijperioden per whjaar (182 dagen),
( )0
( , ) ' ( ) |gq
H gq
F h q q N dq g q P H h q< = >∫ (6.5)
In de berekening van P(H>h|q) wordt de gezamelijke kansdichtheid van M, U en R gebruikt, en
daarnaast de kansen op de keringtoestanden van de Maeslant- en Hartelkering. Die berekening
komt verderop in dit rapport aan de orde.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
64 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
Formule (6.5) wordt in dit rapport niet gebruikt in de berekening van FH(h). Deze formule dient
hier slechts om aan te geven dat voor de lagere afvoeren het tijdsverloop van de stochast Q
geen rol speelt. Wel belangrijk is dat de momentane kansen van deze stochast op de juiste
manier in Hydra-B verwerkt zijn.
6.4 Commentaar op onafhankelijkheid en duur van de windblokken
Voor de geïnteresseerde lezer volgt beknopt wat commentaar op de keuze van de blokduur in
Hydra-VIJ en op de aanname van onafhankelijkheid tussen de windblokken. Voor Hydra-B
gelden soortgelijke beweringen.
De keuze b = 12 uur in Hydra-VIJ, in combinatie met de aanname van onafhankelijkheid tussen
blokken, is eerder gebruikt in studies waarin probabilistische modellen voor hydraulische
belastingen zijn onderzocht, bijvoorbeeld [Kok et al, 1998]. Niet gerapporteerde
gevoeligheidsanalyses, uitgevoerd met de geavanceerde gebruikersversie van Hydra-VIJ, laten
zien dat de keuze van de blokduur niet erg nauw steekt: andere keuzes, bijvoorbeeld 6, 24 of
48 uur, leveren vrijwel dezelfde resultaten (slechts centimeters verschil voor toetspeilen en
benodigde kruinhoogtes). Wel moet hier worden opgemerkt dat in Hydra-VIJ de windstatistiek
voor een andere periode dan 12 uur op pragmatische wijze wordt bepaald door herschaling van
de 12-uurs statistiek; die herschaling is wel weer een benadering. De ongevoeligheid van de
resultaten, gegeven dat verschillende windperiodes via een herschaling samenhangen, is
theoretisch overigens goed te begrijpen, zoals voor de stochasten afvoer en windsnelheid is
aangetoond in Bijlage A3 uit [Geerse, 2003c].
De fout ten gevolge van de pragmatische herschaling van de ene naar de andere windperiode is
niet precies bekend, maar zal waarschijnlijk beperkt zijn. Voor de bovenrivieren, waar extreme
afvoeren in combinatie met relatief lage windsnelheden van belang zijn, is dit probleem
onderzocht voor faalmechanisme golfoverslag.16 Als de blokduur van 12 uur wordt veranderd in
36 uur, blijken (benodigde) kruinhoogtes met niet meer dan circa 0.05 m te veranderen als de
herschaalde statistiek wordt vervangen door de correcte statistiek voor 36 uur.
Voor de Vecht- en IJsseldelta (en de benedenrivieren) is geen onderzoek verricht naar de fout
als gevolg van de herschaling. De verwachting is echter dat de fout ook voor deze gebieden
gering zal zijn, of zelfs kleiner. De reden is dat in deze gebieden hogere windsnelheden
belangrijker zijn dan voor het bovenrivierengebied, terwijl uit theoretische beschouwingen blijkt
dat voor dergelijke (hoge) windsnelheden de fout in de herschaling steeds kleiner wordt. In
essentie heeft dat als oorzaak dat de statistiek voor de hoge windsnelheden, voor elke blokduur,
consistent moet zijn met de KNMI-statistiek voor het optreden van stormen: als een andere
blokduur wordt gekozen, met een herschaalde statistiek, correspondeert die situatie nog steeds
met het juiste aantal stormen dat volgens de KNMI-statistiek per jaar optreedt. Een precieze
bespreking valt echter buiten het kader van dit rapport.
De aanname van onafhankelijkheid van de windblokken is eveneens, opnieuw alleen voor de
bovenrivieren, onderzocht in [Geerse en Van Veen, 2007]. Het blijkt dat deze aanname
16 Omdat voor de bovenrivieren geen hoge/extreme windsnelheden van belang zijn, kan de rol van de wind met Monte
Carlo methoden worden onderzocht, waarbij de autocorrelatie zoals die in de windmetingen aanwezig is volledig intact wordt gelaten (tenminste binnen een beschouwde blokduur). Deze Monte Carlo methoden zijn niet mogelijk als voor falen hoge/extreme windsnelheden bepalend zijn, omdat dergelijke snelheden niet of nauwelijks voorkomen in de beschikbare meetreeksen van de wind (langste betrouwbare reeksen hebben lengtes van circa 50 jaar).
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 65
kruinhoogtes oplevert die iets aan de conservatieve kant zijn: de overschatting is 0.1 m of
minder. Opnieuw moet verwacht worden dat de overschatting minder wordt naarmate voor
falen hogere windsnelheden belangrijker worden. Voor de Vecht- en IJsseldelta (en de
benedenrivieren) is de verwachting daarom dat de overschatting eveneens circa 0.1 m of
minder zal zijn. Als voor een locatie falen vooral bij hoge/extreme windsnelheden optreedt, zal
de fout nagenoeg nul zijn. Een volledige motivatie van de laatste bewering valt weer buiten het
kader van dit rapport.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 67
7 Correlatiemodellen
In Hydra-VIJ en Hydra-B wordt gebruik gemaakt van correlatiemodellen. In Hydra-VIJ wordt
met zo’n model de correlatie tussen de rivierafvoer (afhankelijk van de toepassing de Vecht- of
de IJsselafvoer) en het IJsselmeerpeil beschreven, en in Hydra-B de correlatie tussen de wind
en de zeewaterstand. Dit hoofdstuk behandelt twee categorieën correlatiemodellen: een model
waarin na een zekere transformatie van de variabelen sprake is van een Constante Spreiding in
de data (model CS) en een model waarin na een zekere transformatie van de variabelen sprake
is van een Variabele Spreiding (model VS). In feite is model CS een speciaal geval van model
VS, maar omdat voor CS enkele eigenschappen gelden die niet voor VS gelden, wordt dat model
apart behandeld.
In dit hoofdstuk worden de stochasten aangeduid als V en W. In het beide modellen is het doel
een bivariate kansdichtheid f(v,w) op te stellen waarvoor geldt:
• De marginale kansdichtheden zijn gelijk aan vooraf gegeven kansdichtheden f(v) en f(w).
• De spreiding volgens de bivariate kansdichtheid is zodanig dat deze overeenstemt met die
in de waarnemingen.
De theorie van beide modellen wordt nu besproken, waarbij de nadruk ligt op wiskundige
preciesie en minder op de motivatie en praktische toepassingen. Voor dergelijke toepassingen
wordt voor de Vecht- en IJsseldelta verwezen naar paragraaf 11.6 van dit rapport en voor meer
uitgebreide toepassingen voor dit gebied naar Hoofdstuk 7 uit [Geerse, 2006]. Daarnaast geeft
het rapport [Geerse en Diermanse, 2006] diverse toepassingen.
7.1 Theorie model CS (constante spreiding)
Deze paragraaf beschrijft het correlatiemodel CS, dat na zekere transformaties van de
variabelen uitgaat van een constante spreiding rond een rechte lijn met helling 45°. Het
correlatiemodel wordt feitelijk vastgelegd in de getransformeerde ruimte, waarna
terugtransformeren de gewenste bivariate kansdichtheid oplevert (zonder dergelijke
transformaties is niet duidelijk hoe een geschikt correlatiemodel kan worden opgesteld). De
beschrijving wordt beknopt gehouden, zie voor een uitgebreidere behandeling [Beijk en Geerse,
2004] en voor de volledige bewijzen [Geerse, 2004a].
Toepassing van het correlatiemodel veronderstelt dat de marginale verdelingen fV(v) en fW(w)
van twee gecorreleerde stochasten V en W gegeven zijn, en dat daarnaast een set van N stuks
gecorreleerde puntenparen beschikbaar zijn, van de vorm (vi, wi), i = 1 t/m N. Geef de
(cumulatieve) marginale verdelingen van V en W aan met FV(v) en FW(w). In het
correlatiemodel worden V en W getransformeerd naar stochasten X en Y, met verdelingen FX(x)
en FY(y). Wat de notatie betreft, indien geen onduidelijkheid kan bestaan, worden indices V, W,
X en Y vaak weggelaten. Zo worden bijvoorbeeld fV(v) en fW(w) ook aangeduid als f(v) en f(w).
In de transformaties, die zometeen expliciet worden beschreven, worden niet alleen de
verdelingen getransformeerd, maar ook de data. Het x-y vlak dat resulteert ná transformatie
wordt de getransformeerde ruimte genoemd, terwijl de niet getransformeerde ruimte wordt
aangeduidt als de fysische ruimte. In de getransformeerde ruimte wordt het model vastgelegd
door de specificatie van (a) de marginale kansdichtheid van X en (b) de conditionele
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
68 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
kansdichtheid van Y gegeven X. Hierbij wordt de marginale kansdichtheid van X gelijk genomen
aan de standaardexponentiële verdeling:
( ) , 0xf x e x−= ≥ (7.1)
De conditionele kansdichtheid van Y gegeven X wordt, op een verschuiving langs een rechte lijn
met helling 45° na, gelijk genomen aan een vaste kansdichtheid λσ. In formule kan dan worden
geschreven, zie Figuur 7-1,
( | ) ( )f y x y xσλ δ= − − (7.2)
In principe mag λσ iedere willekeurige kansdichtheid met gemiddelde 0 zijn, waarbij σ de
standaarddeviatie van de kansdichtheid geeft (de rol van de parameter δ komt aan de orde
zodra de transformaties zijn behandeld). Wel dient aan bepaalde “wiskundig-technische
voorwaarden” te zijn voldaan; zo mogen bijvoorbeeld de staarten van λσ niet al te langzaam
afnemen. De precieze voorwaarden aan λσ worden gegeven in [Geerse, 2004a] en zijn voor de
bespreking hier niet relevant. In toepassingen wordt voor λσ vaak de normale verdeling
genomen; voor deze verdeling is aan de benodigde voorwaarden voldaan.
x [-]
y [-]
Correlatiemodel CS
f(y|x=0)
f(y|x1)
f(y|x2)
Figuur 7-1: Illustratie correlatiemodel in de getransformeerde ruimte, met voor de waarden x = 0, x1 en
x2 de conditionele kansdichtheden f(y|x) aangegeven. Het snijpunt van het assenkruis geeft het punt (x,y) = (0,0), terwijl de lijn met helling 45° als vergelijking heeft y = x+δ. Op deze lijn liggen de verwachtingswaarden E(Y|X=x).
Nu worden de formules voor de transformaties gegeven. Uit (7.1) volgt
( ) 1 exp( )XF x x= − − (7.3)
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 69
Voor FY(y) kan worden geverifieerd dat, indien Λσ(t) de cumulatieve verdeling aangeeft van
λσ(t),
0
0
0
( ) ' ( ) ( ' | )
' ( ' )
( )
y
Y
yx
x
F y dy dx f x f y x
dy dx e y x
dx e y x
σ
σ
λ δ
δ
∞
−∞
∞−
−∞
∞−
=
= − −
= Λ − −
∫ ∫
∫ ∫
∫
(7.4)
In de transformaties worden niet alleen de verdelingen maar ook de data getransformeerd. Dat
gebeurt door onderschrijdingskansen aan elkaar gelijk te stellen:
( ) ( )( ) ( )
V X
W Y
F v F xF w F y
==
(7.5)
Om expliciete formules te geven, is het handig om de transformaties die een punt (v,w)
overvoeren in (x,y) aan te geven als
( )( )
x J vy K w
==
(7.6)
Uit (7.3) volgt
( )( ) ln 1 ( )VJ v F v= − − (7.7)
De transformatie K(w) moet in toepassingen gewoonlijk bepaald worden door het numeriek
oplossen van de vergelijking
( )( ) ( )Y WF K w F w= (7.8)
Merk op dat K(w) van de parameters σ en δ afhangt, omdat FY(y) van σ en δ afhangt.
Het kan nu worden aangetoond dat de gezamelijke kansdichtheid fV,W(v,w), kortweg aangeduid
als f(v,w), kan worden geschreven als
( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( ) dK wf v w f v K w J vdwσλ δ= − − (7.9)
terwijl de marginalen hiervan gegeven worden door de vooraf gegeven f(v) = dFV(v)/dv en
f(w) = dFW(w)/dw.
Uit de constructie van model CS is duidelijk dat X een standaardexponentiële verdeling volgt.
Verder kan worden aangetoond dat Y asymptotisch een exponentiële verdeling volgt (mits de
staart van λσ voldoende snel afneemt, wat zeker het geval is bij een normale verdeling).
Daarnaast blijkt dat de parameter δ zó gekozen kan worden dat Y asymptotisch dan een
standaardexponentiële verdeling volgt. Voor λσ de normale verdeling, met standaarddeviatie σ,
moet dan bijvoorbeeld δ = -σ2/2 worden genomen. De parameter δ speelt overigens geen
belangrijke rol. Deze bepaalt in de getransformeerde ruimte de ligging van de lijn met helling
45°, maar blijkt redundant te zijn in de zin dat de bivariate kansdichtheid f(v,w) uit (7.9) niet
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
70 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
van δ blijkt af te hangen (de transformatie K(w) bevat eveneens een term δ, die wegvalt tegen
de term -δ). Men zou dus gemakshalve altijd δ = 0 kunnen kiezen.
De parameter σ (dimensieloos) heeft in de getransformeerde ruimte een eenduidige
interpretatie: de standaarddeviatie van de conditionele verdeling f(y|x). In de fysische ruimte is
de interpretatie iets minder eenduidig. Nog steeds is het zo dat een kleine σ correspondeert met
een sterke correlatie en een grote met een zwakke correlatie, maar na “terugtransformatie” van
de (x,y)- naar de (v,w)-ruimte is niet langer sprake van een constante spreiding (de
kansdichtheid f(.|v) heeft voor verschillende waarden van v verschillende standaarddeviaties).
Het volgende blijkt het geval te zijn:
• In de limiet σ → 0 is sprake van een zogenaamd 1-1 verband (één op één verband) tussen
V en W: iedere waarde w correspondeert dan met precies één waarde van v, en vice versa.
De punten voldoen aan de vergelijking FV(v) = FW(w). De waarden v en w van het punt
(v,w) uit het 1-1 verband hebben dus dezelfde onderschrijdingskansen.
• De limiet σ → ∞ correspondeert met onafhankelijkheid van V en W. In deze limiet geldt
f(v,w) = f(v)f(w).
7.2 Toepassing model CS
Het is zeker niet gezegd dat model CS in iedere concrete situatie toepasbaar is. Het
veronderstelt immers, in ieder geval ná transformatie, dat de spreiding in de verticale richting
voor iedere waarde van x hetzelfde is. Verder moet de “gehele vorm” van de conditionele
verdeling f(y|x) voor iedere waarde van x ook nog eens gelijk zijn, namelijk op een verschuiving
na weergegeven door λσ. Bij toepassen van model CS moet worden gecontroleerd dat aan deze
eisen is voldaan. Als dat het geval blijkt, kan een geschikte kansdichtheid λσ gekozen worden. In
de praktijk wordt gewoonlijk een specifieke verdeling λ gekozen, veelal de normale verdeling.
Daarna worden een aantal waarden van σ beschouwd. Voor iedere waarde van σ wordt dan
bekeken of na transformatie aan de gestelde eisen is voldaan. Daarbij is dan vooral van belang
of het correlatiemodel een goede beschrijving geeft voor het meest relevante hoogste deel van
de data. Ook is van belang om de modelfit in de fysische ruimte te beoordelen.
In toepassingen zal het zelden zo zijn dat het beschouwde correlatiemodel perfect past bij de
data. Gewoonlijk zal men genoegen nemen met een modelbeschrijving die “een redelijke fit
geeft aan de data”. Wanneer wel of niet van een redelijke fit sprake is, is daarbij een kwestie
van oordeelkundig inzicht.
In paragraaf 11.6 wordt model CS toegepast om de correlatie tussen rivierafvoer (Vecht ofwel
IJssel) en IJsselmeerpeil te beschrijven. Voor die situatie blijkt het model de data niet heel goed
te beschrijven, omdat de spreiding blijkt toe te nemen met x. Model VS, met een variabele
spreiding als functie van x, blijkt dan een betere beschrijving te geven. Dat model wordt nu
behandeld.
7.3 Theorie model VS (variabele spreiding)
Een voor de hand liggende variant van het model CS bestaat eruit de spreiding van de
kansdichtheid λ te laten variëren met x, in welk geval model VS ontstaat. In plaats van een
kansdichtheid λσ(t) wordt dan een kansdichtheid λσ(x)(t) beschouwd (beide kansdichtheden
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 71
dienen gemiddelde 0 te hebben). De formules uit de voorgaande paragraaf blijven nagenoeg
ongewijzigd: de vaste parameter σ hoeft slechts vervangen te worden door σ(x). Figuur 7-2
illustreert model VS, waarbij f(y|x) = λσ(x)(y-x-δ), met σ(x) lineair toenemend met x.
x [-]
y [-]
Correlatiemodel VS
f(y|x=0)
f(y|x1)
f(y|x2)
Figuur 7-2: Illustratie correlatiemodel met variabele spreiding in de getransformeerde ruimte, met voor
de waarden x = 0, x1 en x2 de conditionele kansdichtheden f(y|x) aangegeven. Het snijpunt van het assenkruis geeft het punt (x,y) = (0,0).
Voor de volledigheid worden de belangrijkste formules uit model VS gegeven. De stochast X
volgt opnieuw een standaardexponentiële (cumulatieve) verdeling, zie (7.3), terwijl Y nu,
analoog aan (7.4), als verdeling heeft:
( )0
( ) ( )xY xF y dx e y xσ δ
∞−= Λ − −∫ (7.10)
De transformaties, en dus ook de formules (7.7) en (7.8), blijven ongewijzigd, met dien
verstande dat de transformatie y = K(w) nu afhangt van de “gehele functie σ(x)”, en niet van
slechts één parameter σ. Formule (7.9) blijft eveneens ongewijzigd: slechts hoeft de index σ te
worden vervangen door σ(x).
Voor model VS geldt echter niet meer dat Y asymptotisch een exponentiële verdeling volgt,
maar voor toepassingen is dat laatste niet zo bezwaarlijk.
Tot slot nog de volgende opmerking. Hiervoor zijn twee correlatiemodellen behandeld, die in de
praktijk, zo is gebleken, vaak succesvol kunnen worden toegepast (zie bijvoorbeeld paragraaf
11.6 voor toepassing van CS en VS voor de Vecht- en IJsseldelta). In de literatuur komen
echter veel meer correlatiemodellen voor. Zie voor een aantal van die modellen, en voor een
vergelijking daarvan met de modellen CS en VS, referentie [Geerse en Diermanse, 2006].
Deel 2
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 75
8 Inleiding model Hydra-VIJ
Dit deel van het rapport (hoofdstuk 8 t/m 14) behandelt het model Hydra-VIJ. Het voorliggende
hoofdstuk geeft daarbij een context voor de daaropvolgende hoofdstukken 9 t/m 14. In het
voorliggende hoofdstuk worden achtereenvolgens behandeld: beschrijving van het gebied, de
stochasten uit het model, de belangrijkste onderdelen van het model die onderwerp vormen van
dit rapport en een schema van de opzet van het model/computerprogramma.
8.1 Vecht- en IJsseldelta
De Vechtdelta, zie Figuur 8-1 en Figuur 8-2, bestaat uit het benedenstroomse deel van de
Overijsselse Vecht (benedenstrooms km 36), het Zwarte Water inclusief het Zwolle-IJsselkanaal
en het Zwarte Meer inclusief het Ganzendiep, de Goot en de Veneriete. In deze delta bevinden
zich (delen van) de dijkringen 7, 9, 10 en 53. In de Vechtdelta bevindt zich de Ramspolkering,
waarvan de faalkans is opgenomen in Hydra-VIJ. Deze kering ligt op de scheidslijn tussen het
Ketelmeer en het Zwarte Meer. Het is een balgstuw, die gesloten wordt zodra de waterstand ter
plaatse van de kering het niveau 0.5 m+NAP overschrijdt, en tevens sprake is van stroming van
het Ketelmeer naar het Zwarte Meer. De balgstuw opent weer als de waterstand aan de
Ketelmeerzijde lager wordt dan die aan de Zwarte Meer zijde. Opgemerkt wordt nog dat het
Kampereiland (het geel gekleurde gebied in Figuur 8-1 gelegen tussen dijkring 10 en het Zwarte
Meer) strikt genomen geen deel uitmaakt van de Vechtdelta, omdat dit gebied buitendijks ligt.
Hydra-VIJ bevat echter ook locaties uit dit gebied.
De IJsseldelta bestaat uit het benedenstroomse deel van de IJssel, begrensd door km 974 (nabij
Hattem) en het Keteldiep, zie Figuur 8-1 en
Figuur 8-3. Hierin bevinden zich (delen van) de dijkringen 10, 11 en 53. Tabel 8-1 geeft enkele
gegevens van de dijkringen uit beide delta’s.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
76 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
Figuur 8-1: Weergave van de Vecht- en de IJsseldelta.
Tabel 9-1: Combinaties die met Waqua zijn doorgerekend.
Vecht- en IJsselafvoer
De afvoeren van Vecht en IJssel worden “deterministisch” één op één aan elkaar gekoppeld,
resulterend in 9 verschillende combinaties. Daarbij is er voor gezorgd dat bij iedere Vechtafvoer
een representatieve IJsselafvoer hoort [Geerse, 2006]. Omgekeerd geldt voor de tabel niet dat
bij een IJsselafvoer een representatieve Vechtafvoer hoort: het verband uit Tabel 9-1 geeft bij
een hoge IJsselafvoer juist een veel te extreme Vechtafvoer. Dat is echter niet bezwaarlijk,
omdat voor een locatie in de IJsseldelta de Vechtafvoer fysisch gezien vrijwel geen enkele
invloed heeft op de waterstanden op de betreffende locatie. Die invloed verloopt immers via het
“veraf gelegen” Ketelmeer, waarbij de Vechtdebieten veel kleiner zijn dan de IJsseldebieten.
Voor een locatie in de Vechtdelta heeft de IJsselafvoer echter via het Ketelmeer nog wél enige
invloed op de waterstand op de betreffende locatie, omdat de IJsseldebieten veel groter zijn dan
de Vechtdebieten, vandaar dat bij een Vechtafvoer een representatieve IJsselafvoer is bepaald.
De 9 Vechtafvoeren en de 6 laagste IJsselafvoeren zijn stationair doorgerekend (constant in de
tijd). De drie hoogste IJsselafvoeren zijn als (tijdsafhankelijke) afvoergolven doorgerekend, om
te voorkomen dat de dijk die loopt van Ramspol tot aan IJsselmuiden, die een deel van het
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
84 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
Kampereiland begrensd, continu overstroomt. Bij het doorrekenen van afvoergolven kan deze
dijk (eventueel) alleen om en nabij de top van de afvoergolf overstromen.
Naast de afvoeren op Vecht en IJssel zijn ook laterale debieten opgelegd bij Westerveld,
Kloosterzijl, Streukelerzijl, Zedemude en Kostverlorenzijl. Deze debieten zijn direct gekoppeld
aan de beschouwde Vechtafvoer, waarbij rekening is gehouden met maalstops en het
(verwachte) beheer van de keringen onder hoogwateromstandigheden.
Meerpeil
Er zijn 5 verschillende meerpeilen beschouwd, die allen stationair zijn doorgerekend.
Windsnelheid en windrichting
Alleen de richtingen ZW t/m N zijn doorgerekend, en niet de richtingen NNO t/m ZZW. Voor de
laatste richtingen wordt aangenomen dat nergens in het gebied als gevolg van windopzet hoge
waterstanden kunnen ontstaan. In Hydra-VIJ worden voor deze richtingen de (maximale)
waterstanden gebruikt die horen bij windsnelheid 0 m/s (er wordt dus geen afwaaiing
beschouwd). Naast windsnelheid 0 m/s zijn 7 verschillende windsnelheden beschouwd. De
windsnelheden uit Tabel 9-1 betreffen potentiële windsnelheden te Schiphol, omdat in Hydra-VIJ
de statistiek van de potentiële windsnelheden voor station Schiphol wordt gebruikt. De
potentiële windsnelheden die in Waqua worden gebruikt zijn omgerekend naar open-water
windsnelheden, waarbij ook een vertaling is gemaakt van Schiphol naar het gebied in kwestie
(wanneer potentiële windstatistiek van een station bijvoorbeeld nabij Zwolle beschikbaar zou
zijn geweest, had die laatste vertaling achterwege kunnen blijven). De vertaling van de
Schiphol-windsnelheden naar de open-water windsnelheden boven het gebied is richtings-
afhankelijk (zie Tabel 2.2 uit Faserapport 1 van [Jansen et al, 2005]).
De windsnelheid is ruimtelijk gezien homogeen genomen over het gebied, maar er is wel
tijdsafhankelijk gerekend, door middel van een stormverloop. Dat heeft een voorflank van 23
uur, een topduur van 2 uur en een achterflank van 23 uur, resulterend in een stormduur op het
0-niveau van 48 uur. Deze keuze van het stormverloop is gebaseerd op analyses uit [Geerse,
2006]. De enige parameter die het stormverloop dan karakteriseert is de maximale
windsnelheid van het verloop (open-water windsnelheid boven het gebied). Een voorbeeld voor
een maximale windsnelheid van 30 m/s is weergegeven in Figuur 9-1.
stormverloop
0
5
10
15
20
25
30
35
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
tijd [uur]
win
dsne
lhei
d [m
/s]
Figuur 9-1: Tijdsverloop van een storm.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 85
Ramspolkering
Twee keringtoestanden zijn doorgerekend: een juist functionerende kering (faalt niet) en een
falende kering (faalt wel). De toestand “faalt niet” houdt in dat de kering sluit indien in de
Waquaberekening het sluitcriterium van de kering wordt bereikt (waterstand bij de kering
overschrijdt 0.5 m+NAP met stroming van Ketelmeer naar Zwarte Meer), en weer opent indien
de waterstand bij de kering op het Zwarte Meer hoger wordt dan die op het Ketelmeer.
Toestand “faalt wel” houdt in dat in Waqua met een altijd geopende kering wordt gerekend.
Merk op dat de Waquaberekeningen voor beide toestanden dezelfde resultaten geven indien in
de berekening het sluitcriterium niet wordt gehaald. Hiervan wordt verderop in dit rapport
gebruik gemaakt.
Aantal berekeningen
Het aantal Waquaberekeningen is als volgt. Voor windsnelheid 0 m/s zijn 9 afvoeren, 5
meerpeilen en 2 keringtoestanden doorgerekend, resulterend in 9*5*2 = 90 berekeningen. Voor
de 7 positieve windsnelheden is sprake van 7 richtingen (ZW t/m N), 9 afvoeren, 5 meerpeilen
en 2 keringtoestanden, wat leidt tot 7*7*9*5*2 = 4410 berekeningen. Totaal resulteren
4410+90 = 4500 berekeningen. Zoals hierboven uitgelegd worden voor de 9 richtingen NNO
t/m ZZW de waterstanden gebruikt die horen bij windsnelheid 0 m/s. Dat houdt in dat eenzelfde
waterstand (per locatie) dan 7*9*9*5*2 = 5670 maal wordt gedupliceerd in de waterstands-
database van Hydra-VIJ. In totaal bevat de database per locatie dan 5670+4500 = 10170
(maximale) waterstanden. Dat laatste getal wordt genoemd in het schema uit Figuur 8-4.
9.2 Windgolven
De windgolven in het gebied worden in het huidige Hydra-VIJ bepaald met de golfgroeikrommes
van Bretschneider. In principe kan Hydra-VIJ ook rekenen met windgolven berekend met Swan,
maar op dit moment is geen Swan-model voor de Vecht- en IJsseldelta beschikbaar, en zijn dus
ook geen golfgegevens op basis van Swan voorhanden.
Hoe precies de windgolven met Bretschneider zijn bepaald is uitgelegd in paragraaf 5.2. Kort
gezegd komt het hierop neer. Als invoer voor Bretschneider wordt de open-water windsnelheid
gebruikt, die via een omrekeningstabel uit de potentiële windsnelheid is verkregen. Daarnaast
vereist Bretschneider, per windrichting, effectieve strijklengtes (in m) en bodemhoogtes (in
m+NAP), welke grootheden “default” aanwezig zijn in de Hydra-VIJ database (de bodemhoogtes
zijn nodig om bij iedere waterstand de waterdiepte te kunnen bepalen).
De effectieve strijklengtes en bodemhoogtes zijn op een standaardmanier bepaald, namelijk van
bandijk tot bandijk. Ze moeten worden opgevat als handreiking aan de gebruiker, die op grond
van gebiedskennis de gegeven waarden mag aanpassen. In het computerprogramma Hydra-VIJ
worden intern, op basis van de (eventueel gewijzigde) strijklengtes en bodemhoogtes de
golfgegevens uitgerekend. Nadat dat is gebeurd, zijn voor 10170 combinaties (q,m,u,r,λ) de
significante golfhoogte Hs en de piekperiode Tp bekend. Deze worden geldig geacht voor “open
water”, dat wil zeggen op enige afstand vóór de dijk. Als een dam- en/of voorlandmodule
aanwezig is, worden de golfgegevens vervolgens getransformeerd naar de dijkteen, zoals
beschreven in paragraaf 5.3.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
86 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
9.3 Hydraulische belastingniveaus
Als ter plaatse van de dijkteen, voor elk van de 10170 combinaties (q,m,u,r,λ), de waterstanden
en golfgegevens beschikbaar zijn, kan het hydraulisch belastingniveau H = H(q,m,u,r,λ) op de
dijk worden uitgerekend.
Voor faalmechanisme overloop is het hydraulisch belastingniveau simpelweg gelijk aan de lokale
waterstand. Als deze voor de combinatie (q,m,u,r,λ) wordt aangeduid als hws(q,m,u,r,λ) volgt
dus:
( , , , , ) ( , , , , )wsH q m u r h q m u rλ λ= (9.1)
Voor faalmechanisme golfoverslag is H gelijk aan de lokale waterstand op de betreffende
locatie, vermeerderd met de golfoverslaghoogte. De golfoverslaghoogte is afhankelijk van het
toegestane overslagdebiet en wordt uitgerekend met PC-Overslag, zie paragraaf 5.4 voor meer
uitleg. Als de golfoverslaghoogte in de combinatie (q,m,u,r,λ) wordt aangeduid als
hov(q,m,u,r,λ), krijgt de belasting de vorm
( , , , , ) ( , , , , ) ( , , , , )ws ovH q m u r h q m u r h q m u rλ λ λ= + (9.2)
In Hydra-VIJ is het hydraulisch belastingniveau H(q,m,u,r,λ) niet alleen nodig voor de 10170
combinaties, maar voor willekeurige combinaties (q,m,u,r,λ). Voor dergelijke combinaties wordt
in Hydra-VIJ lineair geïnterpoleerd op basis van de 10170 combinaties.
9.4 Dataverwerking
In het voorgaande is beschreven hoe op basis van de 10170 combinaties uit de Hydra-VIJ
database het hydraulisch belastingniveau H kan worden bepaald. De praktijk heeft geleerd dat
het samenstellen van een dergelijke database zeer veel werk kost. Uiteraard dienen de
Waquaberekeningen zorgvuldig gecontroleerd te worden, alvorens de waterstandsgegevens in
de database opgeslagen kunnen worden. Af en toe, zo is gebleken in [Jansen et al, 2005], geeft
Waqua onfysische resultaten, om uiteenlopende redenen. Denk aan droogval, of aan
ambiguïteiten bij de bepaling van wel of geen instroming voor het sluiten van de
Ramspolkering: zo kunnen zich neren voordoen waarbij ter plaatse van de kering een deel van
de stroming binnenwaarts is gericht en een ander deel buitenwaarts. Verder is gebleken dat het
vullen van de database met de (grote set van) Waquagegevens en de strijklengte- en
bodenhoogtegegevens makkelijk fout kan gaan, met als gevolg een incorrecte database. Mocht
in de toekomst, bijvoorbeeld voor een andere gebiedsschematisatie, het nodig zijn om opnieuw
een database met waterstanden en golven samen te stellen, dan dient dus veel zorg aan allerlei
controles te worden besteed.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 87
10 Tijdsmodellering trage stochasten Hydra-VIJ
Dit hoofdstuk beschrijft de manier waarop in Hydra-VIJ de “trage stochasten” als Vechtafvoer,
IJsselafvoer en het meerpeil gemodelleerd worden in de tijd. Een nadere motivatie van de
parameterkeuzes ten behoeve van de tijdsmodellering komt in het volgende hoofdstuk ter
sprake.
10.1 Onderdelen van een afvoer- en meerpeilstatistiek
Alvorens op de tijdsmodellering van de trage stochasten uit Hydra-VIJ in te gaan, volgt eerst
een opsomming van de statistische onderdelen van een afvoerstatistiek behorende bij een
bepaalde locatie. Het gaat dan om drie onderdelen die vaak bij de berekening van de HR
worden gebruikt. Deze onderdelen zijn overigens niet direct invoer voor Hydra-VIJ, maar ze
worden wel gebruikt om de voor het model benodigde invoer te bepalen.
Van een afvoerstatistiek voor een locatie (Olst dan wel Dalfsen in hoofdstuk 10 t/m 14) worden
vaak drie onderdelen beschouwd:
• Overschrijdingsfrequentie Fwhj(k) van de piekafvoer, in keren/jaar, waarbij de index “whj”
het winterhalfjaar aanduidt. De piekafvoer van een afvoergolf is hierbij gelijk aan het
maximum van de afvoeren binnen de beschouwde golf. Met Fwhj(k) kan eenvoudig worden
berekend welke piekafvoer hoort bij een beschouwde terugkeertijd; die laatste relatie wordt
in rapporten vaak de werklijn genoemd.
• Momentane overschrijdingskans P(Q>q). Dit is de kans dat een dagwaarde van de afvoer
niveau q overschrijdt, welke kans ook geïnterpreteerd kan worden als de fractie van de tijd
dat niveau q door de afvoer wordt overschreden.
• Standaardgolfvormen van de afvoer, die een “representatief” tijdsverloop van de afvoer
geven. Bij iedere piekwaarde k hoort één standaardgolfvorm.
De overschrijdingsfrequentie en de standaardafvoergolven zijn gewoonlijk alleen beschikbaar
voor afvoeren hoger dan de eens per jaar afvoer. Voor lagere afvoeren kan namelijk niet zinvol
meer worden gesproken over golven, omdat voor lage afvoerniveaus het tijdsverloop van de
afvoer te grillig is om daarin nette golven te kunnen onderscheiden. (De momentane
overschrijdingskans, kortweg aangeduid als de “momentane kans”, is wel voor alle
afvoerniveaus zinvol te bepalen.) In Hydra-VIJ wordt de overschrijdingsfrequentie echter
doorgetrokken tot aan de allerlaagste afvoer die kan voorkomen (0 m3/s voor de Vecht en circa
200 m3/s voor de IJssel), waarbij dus aan willekeurig lage golfvormen van de afvoer
terugkeertijden worden toegekend. Het deel van de overschrijdingsfrequentie voor deze lage
afvoeren, met dus afvoeren frequenter dan de eens per jaar afvoer, heeft dan echter geen
fysische betekenis. Ook de bijbehorende lage afvoergolven hebben geen fysische betekenis.
Zoals in hoofdstuk 6 toegelicht, is het ook niet vereist dat de tijdsmodellering en
overschrijdingsfrequenties voor de lagere uitkomsten van een trage stochast realistisch zijn.
Enige vereiste is dat de momentane kans in het lage bereik van een trage stochast realistisch
gemodelleerd is. Dat laatste is wel het geval, zoals zal blijken in hoofdstuk 11.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
88 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
De statistiek voor het IJsselmeer bestaat uit dezelfde drie onderdelen als die voor een
afvoerstatistiek, waarbij hierboven voor afvoergolf dan meerpeilgolf gelezen moet worden. In
Hydra-VIJ wordt voor het IJsselmeer ook weer de overschrijdingsfrequentie doorgetrokken tot
aan het laagst voorkomende meerpeil, waarbij dan ook weer zeer lage meerpeilgolven worden
gebruikt. Voor meerpeilen frequenter dan het eens per jaar meerpeil hebben de overschrijdings-
frequentie en de golfvormen dan, net als voor de afvoer, geen fysische betekenis. Dat hoeft ook
niet, om dezelfde redenen als voor de afvoer. Wel vereist is dat de momentane kans voor het
meerpeil realistisch is gemodelleerd, wat het geval is in Hydra-VIJ (zie hoofdstuk 11).
10.2 Tijdsverloop afvoer en meerpeil
In Hydra-VIJ wordt voor een locatie in de Vechtdelta de statistiek voor de Vecht gebruikt, maar
niet die van de IJssel. Omgekeerd wordt voor een locatie in de IJsseldelta de statistiek van de
IJssel gebruikt, maar niet die van de Vecht. Neem omwille van de uitleg even aan dat een
locatie in de Vechtdelta wordt beschouwd, in welk geval in Hydra-VIJ golven van de Vecht en
van het IJsselmeerpeil een rol spelen. Figuur 10-1 illustreert, wat deze twee stochasten betreft,
de opzet van het model Hydra-VIJ. Daarin is te zien dat zowel afvoer- als meerpeilgolven
worden gemodelleerd met trapezia, zogezegd “afgeknotte driehoeken”, die allen een basisduur
hebben van 30 dagen, zeg maar de duur van een maand. In Hydra-VIJ wordt alleen het
winterhalfjaar beschouwd, afgekort als whjaar, bestaande uit de zes maanden oktober,
november,..., maart, vandaar dat Figuur 10-1 zes trapezia laat zien.
0 30 60 90 120 150 180
tijd t [dagen]
afvo
er e
n m
eerp
eil
Meerpeil, m+NAP
Vecht, m3/s
Figuur 10-1: Afvoer- en meerpeilverloop door middel van trapezia.
Het idee achter de opzet van het model is dat meerpeil- en afvoergolven met piekwaarden
hoger dan het eens per jaar meerpeil en de eens per jaar afvoer, vrij goed kunnen worden
gemodelleerd met dergelijke trapezia, mits tenminste de topduren van de trapezia goed zijn
gekozen. Eigenlijk is de bewering nog iets anders, namelijk dat de verreweg meest relevante
hogere delen van ‘werkelijke’ meerpeil- en afvoergolven goed kunnen worden gemodelleerd
door trapezia, zoals in het volgende hoofdstuk ook zal blijken. De lagere delen van werkelijke
meerpeil- en afvoergolven worden zeker niet goed beschreven door de trapezia. Dat is echter
ook niet nodig! Zoals hierboven gezegd, en aangetoond in hoofdstuk 6, is voor het lagere bereik
van de trage stochasten alleen nodig dat de momentane overschrijdingskansen op de juiste
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 89
manier zijn gemodelleerd. In hoofdstuk 11 wordt gedemonstreerd dat de trapezia in combinatie
met de overschrijdingsfrequentie Fwhj(k) zo kunnen worden gekozen dat inderdaad de juiste
momentane kansen resulteren. Het “onfysische” lage deel van de overschrijdingsfrequentie,
zowel als de “onfysische” lage golven, vormen als het ware een rekentruc om de juiste
momentane kansen in het model te kunnen verwerken.
10.3 Correlaties en fases tussen IJsselmeer en de afvoeren
Bekend is dat hoge afvoeren vaak samen gaan met verhoogde meerpeilen: afvoer en meerpeil
zijn derhalve (positief) gecorreleerd. De opzet van Hydra-VIJ met trapezia maakt het mogelijk
op een voor de hand liggende wijze de correlatie tussen het IJsselmeer en de Vecht in het
model te verdisconteren (we beschouwen hier nog steeds een locatie in de Vechtdelta). Dat
wordt gedaan door een gezamenlijke kansdichtheid f(k,s) te gebruiken, waarbij k hier de
piekwaarde van het afvoertrapezium voorstelt en s de piekwaarde van het meerpeiltrapezium.
Deze f(k,s) heeft betrekking op de basisduur B = 30 dagen. De f(k,s) zal in dit rapport voor elk
van de zes basisduren hetzelfde worden genomen, maar Hydra-VIJ is zo opgezet dat in pricipe
voor elke basisduur een andere f(k,s) kan worden gekozen.18
De marginale verdelingen van f(k,s), aangeduid als fK(k) en fS(s), of wat korter als f(k) en f(s),
vormen de kansdichtheden voor de piekwaarden van de afvoer- en meerpeiltrapezia. De f(k) en
f(s) dienen overeen te stemmen met de overschrijdingsfrequenties voor de Vecht en het
IJsselmeer; het precieze verband tussen de overschrijdingsfrequenties en f(k) en f(s) komt in
hoofdstuk 11 aan de orde. In Hydra-VIJ is een bepaalde formulering gekozen voor de f(k,s),
namelijk het correlatiemodel CS uit hoofdstuk 7, dat in hoofdstuk 11 nader wordt uitgewerkt.
De details van model CS doen er op deze plaats niet toe, maar wel wordt er op gewezen dat het
model, naast de voorgeschreven marginalen f(k) en f(s), slechts één parameter bevat,
aangeduid als σ, die kan worden opgevat als een standaarddeviatie in een soort van
‘getransformeerde ruimte’. Heeft σ een kleine waarde, dan is sprake van een sterke correlatie
tussen k en s; heeft σ een grote waarde, dan is sprake van een zwakke correlatie tussen k en s.
0 30 60 90 120 150 180
tijd t [dagen]
afvo
er e
n m
eerp
eil
Meerpeil, m+NAP
Vecht, m3/s
Figuur 10-2: Afvoer- en meerpeiltrapezia met een faseverschuiving.
18 Die opzet maakt het mogelijk bijvoorbeeld in maart een ander streefpeil voor het meerpeil te hanteren dan in de overige
wintermaanden.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
90 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
In Figuur 10-1 vallen de toppen van het meerpeil en de afvoer tegelijkertijd. In werkelijkheid
zullen de piekwaarden van afvoer- en meerpeilgolven in de regel niet op hetzelfde moment
optreden. De situatie van Figuur 10-1 overschat daarom de mate waarin hoge afvoeren en
meerpeilen samen gaan. Een simpele manier om de in werkelijkheid voorkomende variabiliteit
tussen de tijdstippen van de afvoer- en meerpeilpieken te modelleren is door middel van een
faseverschuiving ϕ, zoals geïllustreerd in Figuur 10-2. Hier is aangenomen dat de piek van de
meerpeilgolven later optreedt dan de piek van de afvoergolven. In Hydra-VIJ wordt een vaste
waarde van ϕ gehanteerd, hoewel in werkelijkheid uiteraard allerlei waardes kunnen
voorkomen. Het probabilistisch meenemen van ϕ – wat leidt tot een gecompliceerder model –
wordt niet wenselijk geacht: gevoeligheidsanalyses laten namelijk zien dat de uitkomsten van
Hydra-VIJ niet erg gevoelig zijn voor de gekozen waarde van ϕ [Geerse, 2006].
10.4 Geknikte trapezia
Het model Hydra-VIJ bevat ook de mogelijkheid om de trage stochasten als geknikte trapezia te
modelleren, als in Figuur 10-3. Naast de getoonde “insnoering”, die tot smallere golven dan de
oorspronkelijke trapezia leidt, zijn ook verbrede golven mogelijk. Met dergelijke geknikte
trapezia is een grotere variatie aan tijdsverlopen van afvoer- en meerpeilgolven mogelijk dan
met de niet-geknikte trapezia. In het bijzonder kan door het vergelijken van Hydra-VIJ
resultaten voor enerzijds niet-geknikte trapezia en anderzijds geknikte trapezia, eenvoudig
worden onderzocht hoe gevoelig de resultaten zijn voor de precieze vorm van de meerpeil- en
afvoergolven.
0 30 60 90 120 150 180tijd t [dagen]
afvo
er o
f mee
rpei
l
Figuur 10-3: Geknikte afvoer- of meerpeiltrapezia.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 91
11 Statistische gegevens Hydra-VIJ
Voor Hydra-VIJ is een grote hoeveelheid statistische invoer nodig, voor de Vecht- en
IJsselafvoer, het IJsselmeerpeil en de wind, die in dit hoofdstuk wordt besproken. Daarbij wordt
zo veel mogelijk geprobeerd inzicht te verschaffen in de aard van de statistische gegevens,
zonder op alle details van de onderliggende analyses in te gaan. Zie voor dergelijke details
desgewenst de achtergrondrapporten: voor afvoeren en meerpeilen [Geerse, 2006]; voor de
wind [Geerse et al, 2002]. In de rest van dit hoofdstuk worden deze referenties niet meer
genoemd, behalve als een expliciete verwijzing erg nuttig is.
De eerstvolgende paragraaf geeft een beknopte opsomming van de benodigde statistische
invoer, waarna de daaropvolgende paragrafen de gegevens beschrijven.
11.1 Opsomming statistische invoer Hydra-VIJ
In hoofdstuk 10 is uitgelegd dat de trage stochasten afvoer en meerpeil worden gemodelleerd
door trapezia met een basisduur van 30 dagen. De aan trapezia gerelateerde gegevens uit de
opsomming corresponderen steeds met deze specifieke basisduur B = 30 dagen.
Vecht (Dalfsen)
• Kansdichtheid f(k) van de piekafvoer, welke gerelateerd is aan de basisduur B.
• Topduur b(k) van de trapezia, als functie van de hoogte k van het trapezium. De
momentane kans P(Q>q) vormt geen invoer van Hydra-VIJ, maar wel dienen f(k) en b(k)
zodanig gekozen te zijn dat ze de juiste P(Q>q) reproduceren.
IJssel (Olst)
• Kansdichtheid f(k) van de piekafvoer, welke gerelateerd is aan de basisduur B.
• Topduur b(k) van de trapezia, als functie van de hoogte k van het trapezium. De
momentane kans P(Q>q) vormt geen invoer van Hydra-VIJ, maar wel dienen f(k) en b(k)
zodanig gekozen te zijn dat ze de juiste P(Q>q) reproduceren.
IJsselmeer
• Kansdichtheid f(s) van het piekmeerpeil, welke gerelateerd is aan de basisduur B.
• Topduur b(s) van de trapezia, als functie van de hoogte s van het trapezium. De
momentane kans P(M>m) vormt geen invoer van Hydra-VIJ, maar wel dienen f(s) en b(s)
zodanig gekozen te zijn dat ze de juiste P(M>m) reproduceren.
Correlaties
• Karakteristieke waarde voor de fase ϕ tussen Vecht- en IJsselmeertrapezia.
• Karakteristieke waarde voor de fase ϕ tussen IJssel- en IJsselmeertrapezia. (Deze waarde
kan verschillen van de fase tussen Vecht en IJsselmeer, maar is in Hydra-VIJ gelijk
gekozen.)
• Parameter σ voor de parametrisatie van de gezamenlijke kansdichtheid f(k,s) voor de
pieken van Vecht- en meerpeiltrapezia.
• Parameter σ voor de parametrisatie van de gezamenlijke kansdichtheid f(k,s) voor de
pieken van IJssel- en meerpeiltrapezia. (Deze waarde kan verschillen van de σ voor de
Vecht en het IJsselmeer, maar is in Hydra-VIJ gelijk gekozen.)
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
92 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
Wind (Schiphol)
• Momentane kansen g(r) op de windrichtingen r, namelijk de richtingen NNO, NO,..., N.
• Conditionele overschrijdingskansen P(U>u|r) van het 12-uursmaximum van de windsnelheid
u, gegeven richting r gedurende de 12-uursperiode (feitelijk betreft het hier de vectorieel
gemiddelde richting in de 12-uursperiode).
11.2 Vecht
De analyses voor de Vecht zijn gebaseerd op dagdebieten te Dalfsen, die slechts voor
deelperioden beschikbaar zijn. Het betreft de perioden:
• 01-01-1960 t/m 31-12-1983.
• 01-10-1993 t/m 31-03-1994.
• 01-10-1998 t/m 31-03-1999.
• 01-10-2000 t/m 31-03-2001.
Strikt genomen zijn veel van de metingen gedaan te Vechterweerd in plaats van Dalfsen. De
afstand tussen Dalfsen en Vechterweerd is echter gering, en omdat geen laterale toestroming
van betekenis plaatsvindt tussen beide plaatsen, mogen de metingen van Vechterweerd ook
geldig worden geacht voor Dalfsen. In de analyses zijn alleen de winterhalfjaren (oktober t/m
maart) van de data gebruikt.
11.2.1 Kansdichtheid piekafvoer trapezia
In Hydra-VIJ is de kansdichtheid f(k) van de piekafvoer van het Vechttrapezium nodig. Geef met
K de stochast piekafvoer aan, en met P(K>k) de overschrijdingskans van de waarde k. Deze
grootheid geeft dus de kans dat, voor een beschouwd afvoertrapezium met basisduur B = 30
dagen, de piekwaarde van het trapezium het niveau k overschrijdt. Omdat het winterhalfjaar is
gevuld met 6 trapezia, is de overschrijdingsfrequentie Fwhj(k) per winterhalfjaar dan gelijk aan
6*P(K>k), zodat P(K>k) kan worden gevonden als
( )
( )6
whjF kP K k> = (11.1)
De overschrijdingsfrequentie Fwhj(k), afgeleid in [Geerse, 2006], is weergegeven in Figuur 11-1.
De data betreffen afvoerpieken, die zijn geselecteerd met een zichtduur van 15 dagen bij een
drempelwaarde van 100 m3/s. Een afvoerpiek wordt geselecteerd als aan de volgende drie
voorwaarden is voldaan:
• De piekwaarde vormt het maximum van alle waarden binnen het venster.19
• De piek bevindt zich precies in het midden van het venster.
• De piekwaarde is groter dan de drempelwaarde.
Deze manier van selecteren stemt overeen met die uit onder andere [Verkaik et al, 2003a]. In
Figuur 11-1 zijn plotposities volgens Gringorton gebruikt. De formule daarvoor is overgenomen
uit de genoemde referentie en luidt:20
19 Wanneer zich twee grootste waarden in het venster bevinden, wordt de tweede nooit als piek geselecteerd. 20 Merk op dat in de plotposities voorbij wordt gegaan aan het probleem dat de data hiaten vertonen. Eigenlijk is bekend
dat de afvoerpiek uit 1998, gelijk aan 383 m3/s, de hoogste is sinds in ieder geval 1960. Die zou in het plaatje dus bij een grotere terugkeertijd T moeten staan dan in Figuur 11-1, maar welke T precies is niet te bepalen. Vanwege de hiaten in de data is het niet mogelijk de juiste figuur te maken, vandaar dat de data pragmatisch worden opgevat als een aansluitende periode van 27 whjaren.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 93
( )
( )( 1)
pern c TT i
n i c d+
=+ + −
(11.2)
met
n = aantal pieken
Tper = tijdsduur waarnemingsperiode, hier gelijk aan het aantal meetjaren (27 whjaren)
i = rangnummer piekwaarde (i = 1 geeft de hoogste piek)
c = 0.12 (constante volgens Gringorton)
d = 0.44 (constante volgens Gringorton)
10-1
100
101
102
103
1040
100
200
300
400
500
600
700Overschrijdingsfrequentie en data Dalfsen
terugkeertijd, jaar
afvo
er D
alfs
en, m
3/s
Figuur 11-1: De data tezamen met de overschrijdingsfrequentie voor Dalfsen, voor z = 15 dagen en
drempel 100 m3/s (plotposities Gringorton).
De formule voor Fwhj(k) luidt:
3
3
180( ) exp , 0 180 m /s100.46
180( ) exp , 180 m /s51.89
whj
whj
kF k k
kF k k
− = − ≤ ≤
− = − >
(11.3)
De maatgevende afvoer wordt gevonden door te stellen Fwhj(k) = 1/1250. Deze afvoer is voor
de Vecht gelijk aan 550 m3/s.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
94 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
Door Fwhj(k) door 6 te delen ontstaat P(K>k). Voor de kansdichtheid f(k) = -dP(K>k)/dk volgt
dan:
3
3
1( ) exp , 0 180 m /s100.46 100.46
1 87.03( ) exp , 180 m /s51.89 51.89
kf k k
kf k k
= − ≤ ≤
− = − >
(11.4)
We merken nog op dat, omdat er 6 trapezia in het winterhalfjaar passen, het lage deel van
Fwhj(k) zo gekozen is dat Fwhj(k=0) = 6. Gevolg hiervan is dat P(K>0) = 1, waaruit blijkt dat f(k)
een “nette” kansdichtheid is, want positief en genormeerd op 1. Zoals eerder gezegd hebben de
grootheden Fwhj(k) en f(k) voor lage waarden van k, zeg k < 180 m3/s, geen fysische betekenis,
omdat voor dergelijke lage waarden niet zinvol nette afvoergolven kunnen worden
onderscheiden. Dat is echter ook niet nodig, zolang de momentane kans P(Q>q) maar goed in
het model verwerkt is, wat verderop inderdaad het geval blijkt te zijn (zie paragraaf 11.2.3).
11.2.2 Trapeziumparameters
De topduur van de trapezia is in Hydra-VIJ een functie van de hoogte k van het trapezium. Deze
topduur, aangegeven als b(k), neemt lineair af van 720 uur bij afvoer 0 m3/s tot 48 uur bij
afvoer 180 m3/s, waarna deze verder constant blijft op 48 uur, zie Figuur 11-2. (N.B.: 720 uur
is gelijk aan de basisduur van 30 dagen). Hoe de trapezia precies zijn bepaald staat in [Geerse,
2006]. Hier volgt alleen wat beknopte informatie.
0 100 200 300 400 500 600 7000
100
200
300
400
500
600
700
800Topduur trapezia Dalfsen
piekafvoer Dalfsen, m3/s
topd
uur,
uur
Figuur 11-2: Topduur van de afvoertrapezia voor de Vechtafvoer.
Zoals eerder gezegd dienen de hogere trapezia, zeg degenen met piekwaarden k > 180 m3/s,
het hogere deel van de Vechtgolven goed te beschrijven (erg lage Vechtgolven, alsmede de
lagere delen van de hogere Vechtgolven, hoeven niet goed beschreven te worden). Om een
goede keuze voor dergelijke trapezia met k > 180 m3/s te maken, is gebruik gemaakt van de
zogenaamde “opschalingsmethode”. Globaal verloopt die methode als volgt:
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 95
1. Eerst zijn voor zichtduur 15 dagen en drempel 180 m3/s afvoerpieken geselecteerd. Dat
levert 21 pieken, weergegeven in Figuur 11-3 door de blauwe lijnen.
2. Iedere piek wordt aangepast, waarbij zogenaamde “nevenpieken” tegen de hoofdpiek
worden aangeschoven. Resultaat is dat de voorflank van een geselecteerde golf geen
dalende stukken meer bevat en de achterflank geen stijgende. Ook wordt een soort
continuïteitscorrectie uitgevoerd waardoor de piekwaarde altijd minimaal 1 dag aanhoudt
(de metingen betreffen dagwaarden, zodat de hoogste waarde altijd 1 dag moet beslaan).
3. Iedere afvoer uit een aangepaste piek wordt gedeeld door de piekwaarde van de golf, zodat
een “genormeerde” aangepaste afvoerpiek ontstaat. Deze zijn weergegeven in Figuur 11-4.
4. De aangepaste, genormeerde pieken worden nu, apart voor de voor- en de achterflank, op
een bepaalde manier gemiddeld: de duur van een relatief niveau v (met 0< v< 1) volgt
daarbij als het gemiddelde van de 21 overschrijdingduren binnen de aangepaste,
genormeerde pieken. Hierdoor ontstaat een representatief geacht tijdsverloop met
piekwaarde 1. Dat verloop is weergegeven in Figuur 11-5 (zwarte lijnen).
5. Een (tijdsymmetrisch) genormeerd “standaardtrapezium” met hoogte 1 en topduur 48 uur
wordt gekozen, als fit aan het hogere deel van de gemiddelde genormeerde golf, eveneens
weergegeven in Figuur 11-5. Afvoertrapezia met willekeurige piekwaarde k volgen door
iedere afvoer uit het genormeerde standaardtrapezium te vermenigvuldigen met k.
Figuur 11-3 toont de gemeten afvoergolven tezamen met het trapezium met topduur 48 uur.
Dan blijkt, wat gezien de constructie van het trapezium ook het geval moet zijn, dat gemiddeld
gezien het trapezium het hogere deel van de afvoergolven redelijk benadert. Wel is te zien dat
de top van het trapezium vaak wat breder is dan de gemeten golf. Die bredere top is het geval
omdat in de modellering van de trapezia ook de duren van de nevenpieken zijn verwerkt. De
golf van 3 januari 1967 bevat bijvoorbeeld een nevenpiek voorafgaand aan de hoofdpiek die ligt
bij t = 0. Dergelijke nevenpieken maken dat de trapezia op de top wat breed uitvallen.
De lagere trapezia, met k < 180 m3/s, hoeven geen reële beschrijving te geven van het
afvoerverloop. De topduren van deze trapezia zijn zo gekozen dat ze in combinatie met de
kansdichtheid f(k) van de piekafvoer de juiste momentane kansen opleveren, wat in de
volgende paragraaf wordt gedemonstreerd.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
96 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
-10 0 100
100
200
300
400piek: 10-Dec-1960
-10 0 100
100
200
300
400piek: 03-Feb-1961
-10 0 100
100
200
300
400piek: 08-Dec-1961
-10 0 100
100
200
300
400piek: 24-Jan-1962
-10 0 100
100
200
300
400piek: 16-Feb-1962
-10 0 100
100
200
300
400piek: 22-Nov-1963
-10 0 100
100
200
300
400piek: 21-Jan-1965
-10 0 100
100
200
300
400piek: 22-Dec-1965
-10 0 100
100
200
300
400piek: 13-Feb-1966
-10 0 100
100
200
300
400piek: 16-Dec-1966
-10 0 100
100
200
300
400piek: 03-Jan-1967
-10 0 100
100
200
300
400piek: 20-Jan-1968
-10 0 100
100
200
300
400piek: 25-Feb-1970
-10 0 100
100
200
300
400piek: 28-Dec-1974
-10 0 100
100
200
300
400piek: 06-Mar-1979
-10 0 100
100
200
300
400piek: 15-Mar-1981
-10 0 100
100
200
300
400piek: 06-Jan-1994
-10 0 100
100
200
300
400piek: 29-Jan-1994
-10 0 100
100
200
300
400piek: 30-Oct-1998
-10 0 100
100
200
300
400piek: 04-Mar-1999
-10 0 100
100
200
300
400piek: 07-Feb-2001
Figuur 11-3: Afvoergolven voor de Vecht te Dalfsen (blauwe lijnen), tezamen met de afvoertrapezia (rode
lijnen).
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 97
-15 -10 -5 0 5 10 150
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Aangepaste golven Dalfsen na normering op 1
tijd, dagen
rela
tieve
afv
oer D
alfs
en, [
-]
Figuur 11-4: Aangepaste, genormeerde afvoergolven.
-15 -10 -5 0 5 10 150
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Gemiddelde golf Dalfsen en gekozen trapezium
tijd, dagen
rela
tieve
afv
oer,
[-]
Figuur 11-5: Genormeerd tijdsverloop van de genormeerde afvoergolven (zwarte lijnen), tezamen met een
trapezium met topduur 48 uur (rode lijnen).
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
98 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
11.2.3 Momentane overschrijdingskansen
Door de keuze van de kansdichtheid f(k) van de piekafvoer en de trapeziumparameters ligt de
momentane overschrijdingskans P(Q>q) vast. Dit is dus de kans dat een dagwaarde van de
afvoer niveau q overschrijdt. Eerst worden de formules gegeven om P(Q>q) te berekenen uit
f(k) en de trapezia. Vervolgens wordt de berekende P(Q>q) vergeleken met de momentane
overschrijdingskansen op basis van de metingen.
tijd
afvoer
k
L(q,k) q
B
b(k)
Figuur 11-6: Notatie voor het trapezium.
Voor de berekening van P(Q>q) is de grootheid L(q,k) nodig, die de overschrijdingsduur
aangeeft, in uren, van niveau q binnen het trapezium met piekhoogte k (zie Figuur 11-6). In
formule is deze duur gelijk aan
( )( , ) ( ) ( ) k qL q k b k B b kk−
= + − (11.5)
Zoals betrekkelijk eenvoudig kan worden afgeleid, wordt P(Q>q) dan gegeven door
( ) ( , )( ) q
f k L q k dkP Q q
B
∞
> =∫
(11.6)
met B = 720 uur en f(k) gegeven door (11.4).
Figuur 11-7 laat P(Q>q) zien, zoals berekend met deze formule. Ter vergelijking wordt ook de
lijn getoond die volgt uit het turven van metingen (tel het aantal dagen waarvoor q wordt
overschreden, en deel dat door het totale aantal meetdagen). De overeenstemming tussen
beide lijnen is vrij goed, hoewel niet perfect. Wel moet bedacht worden dat de lijn volgens de
metingen wordt beïnvloedt door statistische toevalligheden, die er met name voor zorgen dat de
staart van de verdeling niet nauwkeurig bepaald kan worden door turven. Ook is mogelijk dat
de metingen niet helemaal homogeen zijn. Zo is bekend dat de jaren 70 uit de vorige eeuw
tamelijk droog waren in het Vechtgebied. Als gevoeligheidsanalyse is ook de periode 1960-1970
beschouwd. Figuur 11-8 laat zien dat de lijn volgens de metingen dan duidelijk hoger komt te
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 99
liggen. De conclusie is dat f(k) volgens formule (11.4) en de trapezia met parameters als
hiervoor beschreven, de P(Q>q) volgens de metingen goed beschrijft. Hieruit blijkt dat P(Q>q)
op de juiste wijze verwerkt is in Hydra-VIJ.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
10−4
10−3
10−2
10−1
100
Momentane kansen Dalfsen
Vechtafvoer Dalfsen, m3/s
mom
enta
ne o
vers
chrij
ding
skan
s, [−
]
metingenvolgens formule
Figuur 11-7: Momentane overschrijdingskansen volgens de metingen en volgens formule (11.6).
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
10−4
10−3
10−2
10−1
100
Momentane kansen Dalfsen
Vechtafvoer Dalfsen, m3/s
mom
enta
ne o
vers
chrij
ding
skan
s, [−
]
metingenvolgens formule
Figuur 11-8: Momentane overschrijdingskansen volgens de metingen uit 1960-1970 en volgens formule
(11.6).
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
100 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
11.3 IJssel
Deze paragraaf behandelt dezelfde gegevens als hiervoor, maar dan voor de IJssel. De uitleg
blijft beknopt, omdat de gedachtegang analoog is aan die voor de Vecht. De analyses voor de
IJssel zijn gebaseerd op de periode 01-01-1981 t/m 31-03-2005 (debieten afkomstig van een
Q-h relatie te Olst).
11.3.1 Kansdichtheid piekafvoer trapezia
De overschrijdingsfrequentie Fwhj(k) voor de IJssel te Olst wordt gegeven door
3
3
800( ) exp , 200 800 m /s334.9
800( ) exp , 800 m /s269.2
whj
whj
kF k k
kF k k
− = − ≤ ≤
− = − >
(11.7)
Merk op dat een minimumafvoer van 200 m3/s is aangehouden. De maatgevende afvoer wordt
gevonden door te stellen Fwhj(k) = 1/1250. Deze afvoer is voor Olst gelijk aan 2720 m3/s.
Zoals uitgelegd in paragraaf 11.2.1 kan de kansdichtheid f(k) van de piekafvoer in de basisduur
worden bepaald als –d[Fwhj(k)/6]/dk, waaruit volgt
3
3
1 200( ) exp , 200 800 m /s334.9 334.9
1 317.6( ) exp , 800 m /s269.2 269.2
kf k k
kf k k
− = − ≤ ≤
− = − >
(11.8)
De overschrijdingsfrequentie is weergegeven in Figuur 11-9, samen met afvoerpieken, die zijn
geselecteerd met zichtduur z = 15 dagen en een drempel van 400 m3/s. De figuur toont ook
Waquaresultaten: 6 standaardafvoergolven te Lobith zijn met Waqua doorgerekend naar Olst,
resulterend in 6 piekwaarden te Olst, waarvan de terugkeertijden corresponderen met die van
de golven bij Lobith.
Volgens experts is de kwaliteit van de metingen bij Olst niet al te hoog: de voor de metingen
gebruikte Q-h relatie is zeker niet perfect. Vandaar dat voor de keuze van Fwhj(k) vooral is
uitgegaan van de Waquaresultaten.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 101
10-1 100 101 102 103 104 1050
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000Overschrijdingsfrequentie en data Olst
terugkeertijd, jaar
IJss
elaf
voer
Ols
t, m
3/s
dataoverschrijdingsfrequentieWaquagolven
Figuur 11-9: De data en Waquaresultaten, tezamen met de overschrijdingsfrequentie voor Olst, voor
z = 15 dagen en drempel 400 m3/s.
11.3.2 Trapeziumparameters
De topduur b(k) van de trapezia is, net als voor de Vecht, een functie van de hoogte van het
trapezium. De topduur neemt lineair af van basisduur 720 uur bij afvoer 200 m3/s tot 24 uur bij
afvoer 800 m3/s, waarna deze verder constant blijft op 24 uur. Merk op dat de topduur voor de
hogere trapezia voor de IJssel korter is dan voor de Vecht (voor de Vecht is die 48 uur).
Eerder is uitgelegd dat de hogere trapezia, zeg in dit geval voor piekwaarden k > 800 m3/s, de
afvoergolven goed moeten benaderen (tenminste het hoogste deel van de golven). Voor de
Vecht is de keuze van dergelijke trapezia gebaseerd op de opschalingsmethode. Voor de IJssel
is die methode niet gevolgd, omdat 6 met Waqua berekende afvoergolven beschikbaar waren,
op basis waarvan het goed mogelijk blijkt een topduur van de trapezia te kiezen (24 uur dus).
Voor een vergelijking tussen de Waquagolven en de trapezia wordt verwezen naar [Geerse,
2006]. Figuur 11-10 laat afvoergolven voor de IJssel zien, geselecteerd met zichtduur 15 dagen
en drempel 800 m3/s, samen met de trapezia. Zo op het oog leveren de trapezia een vrij goede
beschrijving van de afvoergolven.
De topduren voor de lagere trapezia zijn weer, net als voor de Vecht, gekozen op zo’n manier
dat ze in combinatie met f(k) de juiste momentane kansen opleveren. Dat laatste wordt
gedemonstreerd in de volgende paragraaf.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
102 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 13-Feb-1981
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 15-Mar-1981
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 22-Oct-1981
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 14-Dec-1981
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 11-Jan-1982
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 06-Feb-1982
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 25-Dec-1982
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 07-Feb-1983
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 13-Feb-1984
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 24-Jan-1986
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 07-Jan-1987
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 07-Mar-1987
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 15-Feb-1988
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 21-Feb-1990
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 09-Jan-1991
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 27-Dec-1993
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 01-Feb-1994
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 02-Feb-1995
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 04-Mar-1997
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 05-Nov-1998
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 28-Feb-1999
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 01-Jan-2000
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 09-Mar-2000
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 10-Feb-2001
Figuur 11-10: Eerste deel. Afvoergolven voor de IJssel te Olst (blauwe lijnen), tezamen de trapezia (rode
lijnen).
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 103
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 01-Feb-2002
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 03-Mar-2002
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 16-Nov-2002
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 08-Jan-2003
-10 0 100
500
1000
1500
2000piek: 20-Jan-2004
Vervolg van Figuur 11-10.
11.3.3 Momentane overschrijdingskansen
De momentane overschrijdingskansen op basis van f(k) en de trapezia zijn berekend met
formule (11.6). Figuur 11-11 geeft het resultaat, met daarnaast ook de geturfde lijn volgens de
metingen. De laatste lijn ligt hoger dan die volgens de formule. Reden daarvan is dat de keuze
voor de overschrijdingsfrequentie gebaseerd is op de Waquaresultaten uit Figuur 11-9 en niet
op de metingen, die in Figuur 11-9 hoger blijken te liggen. Omdat de Waquaresultaten
betrouwbaarder worden geacht dan de metingen, wordt geconcludeerd dat de lijn volgens de
formule de beste beschrijving geeft van de “werkelijke” momentane overschrijdingskans.
0 500 1000 1500 2000 2500
10−4
10−3
10−2
10−1
100
Momentane kansen Olst
IJsselafvoer Olst, m3/s
mom
enta
ne o
vers
chrij
ding
skan
s, [−
]
metingenvolgens formule
Figuur 11-11: Momentane overschrijdingskansen volgens de metingen en volgens formule (11.6).
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
104 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
11.4 IJsselmeerpeil
Deze paragraaf behandelt soortgelijke gegevens als hiervoor, maar dan voor IJsselmeerpeilen in
plaats van voor afvoeren. De uitleg zal beknopt worden gehouden, omdat de gedachtegang
analoog is aan die voor de Vecht en de IJssel. De analyses voor het IJsselmeer, beschreven in
[Geerse, 2006], zijn gebaseerd op metingen uit de periode 01-01-1976 t/m 31-03-2005,
waarvan alleen complete winterhalfjaren worden gebruikt. De genoemde referentie bevat
analyses met en zonder trendgecorrigeerde data. In de volgende paragrafen zullen data worden
beschouwd waarop een trendcorrectie is toegepast, op zo’n manier dat ze representatief zijn
voor het jaar 2011.
11.4.1 Kansdichtheid piekafvoer trapezia
De overschrijdingsfrequentie Fwhj(s) voor het IJsselmeer wordt gegeven door
0.05( ) exp , 0.40 0.05 m+NAP0.251
0.05( ) exp , 0.05 0.40 m+NAP0.152
0.177( ) exp , 0.40 m+NAP0.097
whj
whj
whj
sF s s
sF s s
sF s s
− = − − ≤ ≤
− = − ≤ ≤
− = − ≥
(11.9)
De overschrijdingsfrequentie is weergegeven in Figuur 11-12, samen met meerpeilpieken, die
zijn geselecteerd met zichtduur z = 15 dagen en een drempel van –0.20 m+NAP.
10-1
100
101
102
103
104-0.4
-0.3-0.2-0.1
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9
11.1
Overschrijdingsfrequentie en data IJsselmeer
terugkeertijd, jaar
mee
rpei
l, m
+NA
P
Figuur 11-12: De data tezamen met de overschrijdingsfrequentie voor het IJsselmeer, voor z = 15 dagen
en drempel –0.20 m+NAP.
Zoals uitgelegd in paragraaf 11.2.1 kan de kansdichtheid f(s) van de piekwaarde s van het
trapezium worden bepaald als –d[F(s)/6]/ds, waaruit volgt
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 105
1 0.40( ) exp , 0.40 0.05 m+NAP0.251 0.251
1 0.222( ) exp , 0.05 0.40 m+NAP0.152 0.152
1 0.003( ) exp , 0.40 m+NAP0.097 0.097
sf s s
sf s s
sf s s
+ = − − ≤ ≤
+ = − ≤ ≤
− = − ≥
(11.10)
11.4.2 Trapeziumparameters
De trapeziumparameters zijn op dezelfde manier bepaald als voor de Vecht. Voor de hogere
trapezia, in dit geval voor s > 0.05 m+NAP, is daarbij de opschalingsmethode gebruikt.
De topduur b(s) van de trapezia neemt lineair af van 720 uur bij meerpeil –0.40 m+NAP tot 96
uur bij meerpeil 0.05 m+NAP, waarna deze verder constant blijft op 96 uur. Figuur 11-13 laat
de meerpeilgolven zien, samen met de trapezia. Zo op het oog leveren de trapezia gemiddeld
gezien een redelijke beschrijving van de golven.
-10 0 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
piek: 26-Nov-1977
-10 0 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
piek: 05-Jan-1981
-10 0 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
piek: 09-Dec-1981
-10 0 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
piek: 19-Jan-1983
-10 0 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
piek: 18-Jan-1984
-10 0 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
piek: 09-Feb-1984
-10 0 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
piek: 25-Jan-1986
-10 0 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
piek: 06-Jan-1987
-10 0 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
piek: 08-Jan-1988
-10 0 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
piek: 11-Feb-1988
-10 0 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
piek: 07-Mar-1990
-10 0 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
piek: 12-Jan-1991
Figuur 11-13: Eerste deel. Meerpeilgolven voor het IJsselmeer (blauwe lijnen), tezamen de trapezia (rode
lijnen).
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
106 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
-10 0 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
piek: 05-Dec-1992
-10 0 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
piek: 27-Jan-1993
-10 0 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
piek: 06-Jan-1994
-10 0 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
piek: 02-Jan-1995
-10 0 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
piek: 08-Feb-1995
-10 0 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
piek: 09-Jan-1998
-10 0 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
piek: 06-Nov-1998
-10 0 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
piek: 04-Mar-1999
-10 0 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
piek: 05-Mar-2000
-10 0 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
piek: 28-Feb-2002
-10 0 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
piek: 16-Jan-2003
-10 0 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
piek: 10-Feb-2004
Vervolg van Figuur 11-13.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 107
11.4.3 Momentane overschrijdingskansen
De momentane overschrijdingskansen kunnen weer worden berekend met formule (11.6),
waarbij L(q,k) dan moet worden vervangen door L(m,s), die staat voor de overschrijdingsduur
van niveau m binnen het trapezium met piekwaarde s. Nu resulteert Figuur 11-14, waarin ook
de geturfde lijn volgens de metingen is weergegeven. De staart van de lijn volgens de metingen
ligt lager dan die volgens de formule. Bekend is echter dat in de tweede helft van de
meetperiode relatief veel hoge meerpeilen voorkomen. De grootheden f(s) en L(m,s) zijn zo
gekozen dat de lijn volgens de formule met name het tweede (en meest relevant geachte) deel
van de meetperiode goed beschrijft.
−0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
10−4
10−3
10−2
10−1
100
Momentane kansen IJsselmeer
meerpeil, m+NAP
mom
enta
ne o
vers
chrij
ding
skan
s, [−
]
metingenvolgens formule
Figuur 11-14: Momentane overschrijdingskansen volgens de metingen en volgens formule (11.6).
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
108 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
11.5 Fase tussen afvoer en meerpeil
In Hydra-VIJ wordt een faseverschil ϕ aangenomen tussen de afvoer- en meerpeiltrapezia (zie
Figuur 10-2). Aangenomen wordt dat ϕ = 3.5 dag, waarbij het midden van het
meerpeiltrapezium dan 3.5 dag later valt dan het midden van het afvoertrapezium. Die keuze
wordt zowel voor het geval Vecht-IJsselmeer als voor het geval IJssel–IJsselmeer gemaakt. De
onderliggende analyses zijn beschreven in [Geerse, 2006]. Details van de analyse worden hier
niet gegeven, maar wel volgen nu enkele figuren die tijdsverlopen van gemeten afvoer- en
meerpeilgolven tonen.
11.5.1 Fase tussen Vecht en IJsselmeer
Figuur 11-15 laat tijdsverlopen van de Vecht en het IJsselmeer zien, die als volgt tot stand zijn
gekomen. Eerst zijn afvoerpieken van de Vecht geselecteerd, voor drempel 100 m3/s en
zichtduur 15 dagen, voor de winterhalfjaren uit de gehele meetperiode. In het venster dat loopt
van 15 dagen vóór tot 15 dagen ná de afvoerpiek is daar het tijdsverloop van het meerpeil bij
gezocht. Voor sommige afvoerpieken ontbreekt de meerpeilreeks, namelijk van 1960 t/m 1975;
dergelijke afvoerpieken zijn weggelaten. De plaatjes laten een duidelijk verband zien tussen
afvoeren en meerpeilen: hogere afvoeren gaan relatief vaak samen met hogere meerpeilen.
Merk op dat de afvoeren in het kalenderjaar 2000 praktisch constant zijn, op ongeveer niveau
125 m3/s. Dat betreft een fout in de data, reden waarom dit kalenderjaar uit de analyses is
weggelaten.
-15 0 150
100
200
300
400piek: 14-Feb-1976
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 26-Nov-1977
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 13-Jan-1978
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 30-Dec-1978
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 06-Mar-1979
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 20-Dec-1979
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 06-Feb-1980
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 17-Jan-1981
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 15-Mar-1981
-15 0 15-0.5
0
0.5
Figuur 11-15: Eerste deel. Tijdsverlopen van Vechtafvoeren en IJsselmeerpeilen. Selectie op Vechtpieken,
met drempel 100 m3/s en zichtduur 15 dagen. De piek van de afvoer is op tijdstip t = 0 gelegd. De datum van iedere afvoerpiek is boven het subplotje aangegeven.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 109
-15 0 150
100
200
300
400piek: 05-Dec-1981
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 07-Jan-1982
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 01-Feb-1982
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 12-Mar-1982
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 05-Jan-1983
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 02-Feb-1983
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 15-Nov-1993
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 06-Jan-1994
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 29-Jan-1994
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 30-Oct-1998
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 17-Dec-1998
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 17-Jan-1999
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 04-Mar-1999
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 20-Oct-2000
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 08-Nov-2000
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 06-Dec-2000
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 06-Jan-2001
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
100
200
300
400piek: 07-Feb-2001
-15 0 15-0.5
0
0.5
Vervolg van Figuur 11-15.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
110 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
11.5.2 Fase tussen IJssel en IJsselmeer
Voor de IJssel en het IJsselmeer zijn overeenkomstige tijdsverlopen geplot als voor de Vecht en
het IJsselmeer. De afvoerpieken komen uit de periode 01-01-1981 t/m 31-03-2005, (alleen
winterhalfjaren) en zijn geselecteerd met drempel 825 m3/s en zichtduur 15 dagen, waarbij dan
de corresponderende meerpeilverlopen zijn gezocht in het venster van 15 dagen vóór tot 15
dagen ná de afvoerpiek. De plaatjes ogen vergelijkbaar met die voor de Vecht uit Figuur 11-15.
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 15-Mar-1981
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 22-Oct-1981
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 14-Dec-1981
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 11-Jan-1982
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 06-Feb-1982
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 25-Dec-1982
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 07-Feb-1983
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 13-Feb-1984
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 24-Jan-1986
-15 0 15-0.5
0
0.5
Figuur 11-16: Eerste deel. Tijdsverlopen van IJsselafvoeren en IJsselmeerpeilen. Selectie op IJsselpieken,
met drempel 825 m3/s en zichtduur 15 dagen. De piek van de afvoer is op tijdstip t = 0 gelegd. De datum van iedere afvoerpiek is boven het subplotje aangegeven.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 111
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 07-Jan-1987
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 07-Mar-1987
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 21-Feb-1990
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 09-Jan-1991
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 27-Dec-1993
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 01-Feb-1994
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 02-Feb-1995
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 04-Mar-1997
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 05-Nov-1998
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 28-Feb-1999
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 01-Jan-2000
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 09-Mar-2000
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 10-Feb-2001
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 01-Feb-2002
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 03-Mar-2002
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 16-Nov-2002
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 08-Jan-2003
-15 0 15-0.5
0
0.5
-15 0 150
500
1000
1500
2000piek: 20-Jan-2004
-15 0 15-0.5
0
0.5
Vervolg van Figuur 11-16.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
112 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
11.6 Correlatie tussen afvoer en meerpeil
In deze paragraaf wordt het correlatiemodel uit hoofdstuk 7 toegepast, achtereenvolgens voor
puntenparen van Vecht-IJsselmeer en puntenparen IJssel-IJsselmeer. Zie voor de onderliggende
analyses en diverse gevoeligheidsanalyses [Geerse, 2006].
11.6.1 Correlatie tussen Vecht en IJsselmeerpeil
In Hydra-VIJ wordt het correlatiemodel CS gebruikt, dus het model met, in de getransformeerde
ruimte, een constante spreiding. Doel van het correlatiemodel is het bepalen van de
kansdichtheid f(k,s), met k de piekwaarde van het Vechttrapezium en s de piekwaarde van het
IJsselmeertrapezium (voor basisduur B = 30 dagen).
Het correlatiemodel wordt toegepast op n puntenparen (ki,si), i = 1,2,...,n, die als volgt tot
stand zijn gekomen. Eerst zijn Vechtpieken ki geselecteerd, voor zichtduur 15 dagen en
drempelwaarde 0 m3/s (feitelijk dus geen drempel toegepast). Bij iedere Vechtpiek ki is het
bijbehorende meerpeilmaximum si gelijk genomen aan het maximale meerpeil in een venster
van 15 dagen vóór tot 15 dagen ná het tijdstip van de Vechtpiek. De marginale verdeling f(k) is
in de hier beschouwde context gelijk aan degene uit (11.4) terwijl f(s) gelijk is aan degene uit
(11.10). We vatten hierbij de stochast K op de horizontale as op als het 30-daagse maximum
van de Vechtafvoer, en die op de verticale as S als het 30-daagse maximum van het
IJsselmeerpeil.
Het correlatiemodel CS is toegepast met σ = 1.2, welke waarde in Hydra-VIJ wordt gebruikt. De
resultaten staan in Figuur 11-17 (fysische ruimte) en Figuur 11-18 (getransformeerde ruimte).
In de bespreking beperken we ons tot Figuur 11-17. Hierin worden de data getoond, samen met
drie zogenaamde percentiel-lijnen, voor percentielen 10%, 50% en 90%: de bovenste lijn is de
90%-lijn, de middelste de 50%-lijn en de onderste de 10%-lijn. De interpretatie daarvan wordt
uitgelegd met een voorbeeld. Beschouw de 90%-lijn voor het punt (k=300, s=0.48): dit
betekent dat er 90% kans bestaat op een piekwaarde s < 0.48 m+NAP, gegeven dat een
piekwaarde k = 300 m3/s optreedt. Op de 10%-lijn ligt het punt (300, 0.08), wat betekent dat
er 10% kans bestaat op een piekwaarde s < 0.08 m+NAP, bij gegeven piekwaarde k = 300
m3/s. Er is dus 80% kans op piekwaarden s tussen 0.08 m+NAP en 0.48 m+NAP, gegeven een
piekwaarde k = 300 m3/s. Hiermee is de betekenis van de lijnen voldoende helder.
Voordat de modelfit wordt becommentarieerd, merken we eerst op dat de knikken in de
percentiel-lijnen het gevolg zijn van het fitten van f(k) en f(s) door middel van stuksgewijs
exponentiële trajecten (zie (11.4) en (11.10)): elke trajectgrens levert een knik in de lijnen.
Dergelijke knikken kunnen alleen vermeden worden door een vloeiende fit voor f(k) en f(s),
maar zo’n fit is niet uitgevoerd.
Nu volgt een nadere bespreking van de modelfit. Bij een goede fit van het model aan de data
moet circa 80% van de data tussen de beide lijnen liggen. Figuur 11-17 en Figuur 11-18 laten
echter een slechte fit zien. Dat doet twijfel rijzen of Hydra-VIJ, wanneer dit correlatiemodel
wordt gebruikt, wel goede resultaten geeft. Enkele punten zijn hier van belang. Zoals in
paragraaf 11.2 werd opgemerkt heeft f(k) geen fysische betekenis voor relatief lage afvoeren <
180 m3/s, omdat het afvoerverloop dan te grillig wordt om daarin nette golven te kunnen
onderscheiden. Iets soortgelijks geldt voor de meerpeilgolven: f(s) dient alleen een goede
beschrijving van meerpeilpieken te geven voor s groter dan, zeg eens, 0.05 m+NAP. Het is dus
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 113
niet van wezenlijk belang dat data in de linker benedenhoek van Figuur 11-17 goed door het
model worden beschreven. Wel is belangrijk dat het extreme deel van de data (de rechter
bovenhoek) goed beschreven wordt. Zo op het oog geeft het model een redelijke spreiding voor
dit deel van de data.
0 100 200 300 400 500 600-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Puntenparen Vecht en IJsselmeer
afvoer Vecht, m3/s
mee
rpei
l, m
+NA
P
Figuur 11-17: Gecorreleerde data van Vecht en IJsselmeer, samen met de percentiellijnen (10%, 50% en
90%) uit correlatiemodel CS in de fysische ruimte (σ = 1.2).
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
114 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
0 1 2 3 4 5 6 7-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7Puntenparen Vecht en IJsselmeer in getransformeerde ruimte
x: getransformeerde afvoer Vecht [-]
y: g
etra
nsfo
rmee
rde
mee
rpei
l [-]
Figuur 11-18: Gecorreleerde data van Vecht en IJsselmeer, samen met de percentiellijnen (10%, 50% en
90%) uit correlatiemodel CS in de getransformeerde ruimte (σ = 1.2).
Een tweede punt is wellicht belangrijker: een gevoeligheidsonderzoek laat zien dat de Hydra-VIJ
uitkomsten voor de Vechtdelta tamelijk ongevoelig zijn voor de gekozen waarde van σ. Zo
leveren volgens [Geerse, 2006] de keuzes σ = 0.5 en σ = 2 verschillen in toetspeilen van
maximaal 0.03 m. Een zeer kleine zowel als een vrij grote σ leveren dus nauwelijks andere
toetspeilen. Wel blijkt uit het gevoeligheidsonderzoek dat het volledig weglaten van de correlatie
tussen afvoer en meerpeil op het Zwarte Water en Zwarte Meer tot een onderschatting van de
toetspeilen kan leiden van bijna 0.2 m. De conclusie is dus: het meenemen van de correlatie
tussen afvoer en meerpeil is belangrijk, maar de precieze keuze van σ steekt niet erg nauw. Om
deze reden wordt verondersteld dat model CS met de waarde σ = 1.2 een adequate beschrijving
geeft van de afvoer-meerpeil correlatie.
Als zijstapje voor de geïnteresseerde lezer volgt nu een beschouwing voor model VS, waarbij de
correlatie in de getransformeerde ruimte lineair toenemend met x is genomen. De resultaten,
voor de keuze σ(x)=0.2+0.32x, staan in Figuur 11-19 en Figuur 11-20. Dit model geeft zo op
het oog een veel betere beschrijving van de correlatie in de data. Het is op dit moments niet
geïmplementeerd in Hydra-VIJ, maar misschien dat dat in de toekomst zal gebeuren. Onze
verwachting is overigens, gezien de voorgaande alinea, dat model VS niet tot grote
veranderingen in de Hydra-VIJ resultaten zal leiden.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 115
0 100 200 300 400 500 600-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Puntenparen Vecht en IJsselmeer
afvoer Vecht, m3/s
mee
rpei
l, m
+NA
P
Figuur 11-19: Gecorreleerde data van Vecht en IJsselmeer, samen met de percentiellijnen (10%, 50% en
90%) uit correlatiemodel VS in de fysische ruimte,voor σ(x)=0.2+0.32x.
0 1 2 3 4 5 6 7-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7Puntenparen Vecht en IJsselmeer in getransformeerde ruimte
x: getransformeerde afvoer Vecht [-]
y: g
etra
nsfo
rmee
rde
mee
rpei
l [-]
Figuur 11-20: Gecorreleerde data van Vecht en IJsselmeer, samen met de percentiellijnen (10%, 50% en
90%) uit correlatiemodel VS in de getransformeerde ruimte,voor σ(x)=0.2+0.32x.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
116 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
11.6.2 Correlatie tussen IJssel en IJsselmeerpeil
Deze paragraaf geeft eenzelfde soort figuren als hiervoor, maar nu voor de IJssel en het
IJsselmeer. De figuren laten een vergelijkbaar beeld zien als voor de Vecht en het IJsselmeer,
vandaar dat slechts summier commentaar wordt gegeven. In Hydra-VIJ wordt voor de
IJsseldelta model CS gebruikt met dezelfde waarde σ = 1.2 als hiervoor (zie Figuur 11-21 en
Figuur 11-22). Opnieuw blijkt model VS de data beter te beschrijven dan model CS, zoals blijkt
uit Figuur 11-23 en Figuur 11-24 (voor σ(x) is hetzelfde verband gekozen als hiervoor, namelijk
σ(x) = 0.2+0.32x). Omdat de keuze van σ in model CS, zo blijkt uit een gevoeligheids-
onderzoek, weer weinig invloed heeft op de resultaten, is de verwachting dat model VS niet veel
andere resultaten zal geven dan model CS. Vandaar dat, ook voor de IJsseldelta, het gerecht-
vaardigd wordt geacht model CS te gebruiken in Hydra-VIJ.
Verder wordt nog opgemerkt dat volgens [Geerse, 2006] het achterwege laten van de correlatie
tussen IJssel en IJsselmeer tot een onderschatting van de toetspeilen leidt: bij Kampen is die
onderschatting 0.1 m en meer boven- en benedenstrooms daarvan minder.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Puntenparen IJssel en IJsselmeer
afvoer IJssel, m3/s
mee
rpei
l, m
+NA
P
Figuur 11-21: Gecorreleerde data van IJssel en IJsselmeer, samen met de percentiellijnen (10%, 50% en
90%) uit correlatiemodel CS in de fysische ruimte (σ = 1.2).
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 117
0 1 2 3 4 5 6 7-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7Puntenparen IJssel en IJsselmeer in getransformeerde ruimte
x: getransformeerde afvoer IJssel [-]
y: g
etra
nsfo
rmee
rde
mee
rpei
l [-]
Figuur 11-22: Gecorreleerde data van IJssel en IJsselmeer, samen met de percentiellijnen (10%, 50% en
90%) uit correlatiemodel CS in de getransformeerde ruimte (σ = 1.2).
0 500 1000 1500 2000 2500 3000-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Puntenparen IJssel en IJsselmeer
afvoer IJssel, m3/s
mee
rpei
l, m
+NA
P
Figuur 11-23: Gecorreleerde data van IJssel en IJsselmeer, samen met de percentiellijnen (10%, 50% en
90%) uit correlatiemodel VS in de fysische ruimte, voor σ(x)=0.2+0.32x.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
118 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
0 1 2 3 4 5 6 7-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7Puntenparen IJssel en IJsselmeer in getransformeerde ruimte
x: getransformeerde afvoer IJssel [-]
y: g
etra
nsfo
rmee
rde
mee
rpei
l [-]
Figuur 11-24: Gecorreleerde data van IJssel en IJsselmeer, samen met de percentiellijnen (10%, 50% en
90%) uit correlatiemodel VS in de getransformeerde ruimte, voor σ(x)=0.2+0.32x.
11.7 Wind
Voor de wind worden in Hydra-VIJ gegevens gebruikt die indirect afkomstig zijn van uurlijkse
potentiële windsnelheden te Schiphol (zie paragraaf 5.2.3 voor de betekenis van de potentiële
windsnelheid).
Feitelijk zijn in Hydra-VIJ overschrijdingskansen nodig van het 12-uursmaximum van de
windsnelheid u, conditioneel op de windrichting r. Die kansen worden genoteerd als P(U>u|r),
waarbij r = NNO, NO,..., N. Dergelijke kansen zijn bepaald in [Geerse et al, 2002], zie bijlage G,
tezamen met de richtingskansen P(r). Voor de relatief lage windsnelheden, met terugkeertijden
T < 10 jaar, zijn de P(U>u|r) direct bepaald uit de metingen door het turven van
waarnemingen, waarbij de richting die wordt toegekend aan een 12-uursperiode het vectorieel
gemiddelde over de 12 uurwaarden is. Voor T > 10 jaar zijn de kansen bepaald door herschaling
uit het zogenaamde Rijkoort Weibull model afkomstig van het KNMI [Rijkoort, 1983; Geerse,
1999; Verkaik et al, 2003a]. De herschaling bestaat er uit dat de statistiek voor het
winterhalfjaar wordt omgerekend naar een 12-uursperiode. Het lage en hogere bereik van de
windsnelheden is vloeiend op elkaar aangesloten.
De details van de afleiding zijn hier niet van belang. Wel volgt hier wat informatie over
windsnelheden met terugkeertijden T = 10, 100, 1000, 10000 jaar. Zie Tabel 11-1 en de
grafische weergave daarvan in Figuur 11-25. Neem als voorbeeld windsnelheid 14.3 m/s voor
richting NNO en T = 10 jaar. Dat getal houdt in dat gemiddeld eens per 10 jaar een storm
voorkomt waarin minstens één uur optreedt met windrichting NNO tijdens welk uur de
windsnelheid niveau 14.3 m/s overschrijdt. De tabel en de grafiek laten zien dat de hoogste
windsnelheden voorkomen bij de richtingen ZZW t/m NNW.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 119
Quantielen volgens Rijkoort Weibull model, in m/s
T, jaar NNO NO ONO O OZO ZO ZZO Z ZZW ZW WZW W WNW NW NNW N10 14.3 14.6 14.8 14.3 12.6 13.3 14.7 16.9 20.0 22.7 21.9 22.2 20.8 19.2 17.5 14.8100 17.4 17.6 17.8 17.1 16.4 16.6 18.1 20.1 24.1 25.6 26.6 27.3 26.1 24.5 21.7 18.3
r ru C q m u r H q m u r h u C q m u r H q m u r h
du g u r
du g u r du g u r
λ
λ λ
α α
= ≥ = >
= =≥ = > ≥ = >
= + −
∑ ∫
∑ ∑∫ ∫ (12.11)
Wanneer bedacht wordt dat C(q,m,u,r)=1 en C(q,m,u,r)=0 het “totaal aan omstandigheden
voorstellen”, volgt met (12.10) dan
16 16
1 10: ( , , , , ) 0: ( , , , , )
( | , ) ( , ) (1 ) ( , )FW FN
r ru H q m u r h u H q m u r h
P H h q m du g u r du g u rλ λ
α α= =≥ > ≥ >
> = + −∑ ∑∫ ∫ (12.12)
De uiteindelijke formule voor P(H>h|q,m) blijkt dus vrij simpel. De eerste term in het rechterlid
is, afgezien van α, gelijk aan de kans dat, conditioneel op (q,m), de belasting zoals bepaald op
basis van een falende kering niveau h overschrijdt. De tweede term in het rechterlid is, afgezien
van 1-α, gelijk aan de kans dat, conditioneel op (q,m), de belasting zoals bepaald op basis van
een juist functionerende kering niveau h overschrijdt. Beide kansen dienen blijkbaar te worden
gewogen met de faalkans α van de kering. Dit resultaat oogt plausibel, maar is eigenlijk
helemaal niet zo voor de hand liggend. De integraal uit de eerste term van het rechterlid van
(12.12) bevat namelijk windsnelheden waarvoor de kering niet gesloten hoeft te worden
(situaties waarvoor C(q,m,u,r)=0), terwijl in die term toch de faalkans van de kering voorkomt,
die alleen een rol speelt indien C(q,m,u,r)=1. De reden voor de simpele vorm van formule
(12.12) is de relatie (12.1), die het mogelijk maakt om (12.9) te herschrijven tot (12.12).
12.3 De overschrijdingsfrequentie
Het winterhalfjaar bevat 6 afvoer- en meerpeiltrapezia, met elk basisduur B = 30 dagen. Als
PB(H>h) de kans aangeeft dat gedurende een dergelijke basisduur de belasting niveau h
overschrijdt, volgt de overschrijdingsfrequentie F(h) simpelweg als
( ) 6 ( ), keren/jaarBF h P H h= > (12.13)
Bedenk hierbij dat in de zomer (april t/m september) geen voor de veiligheid bedreigende
overschrijdingen geacht worden voor te komen; vandaar dat F(h) in keren per jaar kan worden
gegeven, in plaats van – wat ook mogelijk is – in keren per winterhalfjaar.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 125
Het doel is nu PB(H>h) te berekenen. We brengen in herinnering dat f(k,s) de gezamenlijke
kansdichtheid voor de piekwaarden van de afvoer- en meerpeiltrapezia voorstelt. Dan volgt
( ) ( , ) ( | , )B BP H h dk ds f k s P H h k s> = >∫ (12.14)
waarbij de integratie zich uitstrekt over alle mogelijke piekwaarden (k>0 en s>-0.40), en
PB(H>h|k,s) de kans voorstelt dat, conditioneel op trapezia met piekwaarden k en s, gedurende
duur B de belasting niveau h overschrijdt.
Om de laatste kans te berekenen, wordt als volgt te werk gegaan. De basisduur B wordt
gediscretiseerd in tijdsintervallen van b = 12 uur, wat n(B) = 60 opeenvolgende intervallen
oplevert. Beschouw nu een gegeven piekwaarde k van het afvoertrapezium en een gegeven
piekwaarde s van het meerpeiltrapezium. Geef de gemiddelde afvoer in het j-de tijdsinterval
aan met q(j) en het gemiddelde meerpeil in dit interval met m(j), zie Figuur 12-2. Bedenk dat,
hoewel niet in de notatie tot uitdrukking gebracht, q(j) en m(j) respectievelijk afhangen van k
en s.
B
k
s
j
m(j)
q(j)
Figuur 12-2: Illustratie van de tijdsdiscretisatie van de trapezia, met afvoer q(j) en meerpeil m(j) in blok j.
Omwille van de duidelijkheid is de duur b hier groter gekozen dan 12 uur; ook zijn niet alle n(B) blokken aangegeven.
De aanname in Hydra-VIJ is nu dat wat de wind betreft opeenvolgende 12-uursperioden
statistisch onafhankelijk zijn (merk op: afvoeren en meerpeilen zijn via de modellering met
trapezia juist zeer sterk afhankelijk). Dan geldt
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
126 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
[ ]( )( )
1
( | , ) 1 kans dat in elke 12-uursperiode
1 1 | ( ), ( )
Bn B
j
P H h k s H h
P H h q j m j=
> = − <
= − − >∏ (12.15)
Deze kansen kunnen worden berekend met behulp van (12.12), waarna met (12.14) en (12.13)
F(h) volgt.
12.4 Formules voor een dijkring
De voorgaande formules hebben betrekking op een dijkvak. Als dit dijkvak deel uitmaakt van de
Vechtdelta, dan is de afvoer in het model de Vechtafvoer. Maakt het dijkvak deel uit van de
IJsseldelta, dan is de afvoer in het model de IJsselafvoer. Deze paragraaf geeft formules voor
een dijkring. Randvoorwaarde is wel, omdat in het model niet beide afvoeren als gecorreleerde
stochasten zijn opgenomen, dat de ring ófwel uitsluitend bestaat uit vakken in de Vechtdelta,
ófwel uitsluitend bestaat uit vakken in de IJsseldelta. Voor de praktijk betekent dit dat
bijvoorbeeld dijkring 10 (zie Figuur 8-1) niet in zijn geheel kan worden doorgerekend, omdat
deze vakken in beide delta’s heeft. Hoe met dit probleem om te gaan komt verderop aan de
orde.
Beschouw nu een dijkring R met i = 1, 2,..., n dijkvakken met respectievelijke kruinhoogtes h1,
h2,..., hn. Geef de overschrijdingsfrequentie van de ring aan met
1 2( , ,..., ) overschrijdingsfrequentie dijkring (keren/jaar)R R nF F h h h= = (12.16)
Geef het hydraulisch belastingniveau voor dijkvak i aan met
( , , , , ) hydraulische belasting dijkvak i (m+NAP)i iH H q m u r λ= = (12.17)
Voor de ring R wordt een ‘effectief’ hydraulisch belastingniveau H gedefinieerd als het maximum
over de dijkvakken van het verschil tussen de hydraulische belastingniveaus en de kruinhoog-
tes:
( )
1,2,...,( , , , , ) max ( , , , , )
= effectieve hydraulische belasting dijkring (m)
i ii nH H q m u r H q m u r hλ λ
== = −
(12.18)
De dijkring faalt voor een combinatie (q,m,u,r,λ) dan en slechts dan indien H(q,m,u,r,λ) > 0.
Neem als toelichting aan dat H(q,m,u,r,λ) > 0. Dan moet voor tenminste één dijkvak i gelden
dat Hi(q,m,u,r,λ) – hi > 0, oftewel dat Hi(q,m,u,r,λ) > hi. Dat houdt in dat dijkvak i faalt en
eveneens dat de ring als geheel faalt. Dus H > 0 impliceert dat de dijkring faalt. Omgekeerd is
ook eenvoudig in te zien dat het falen van de ring inhoudt dat H > 0.
De overschrijdingsfrequentie FR van de dijkring kan met de “gebruikelijke” formules uit de
voorgaande paragrafen worden bepaald. De belasting H voor de ring kan namelijk
berekeningstechnisch worden behandeld als een belasting voor een dijkvak, indien als (fictieve)
kruinhoogte de waarde h = 0 wordt genomen. In formule kan worden geschreven
1 2( , ,..., ) ( 0)R R nF F h h h F h= = = (12.19)
waarbij het laatste wordt berekend met de formules voor een dijkvak uit paragraaf 12.3.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 127
Merk op dat indien de ring bestaat uit slechts één dijkvak met belasting H1 en kruinhoogte h1, FR
gelijk wordt aan F(h1), omdat H = H1 – h1 > 0 equivalent is met H1 > h1. In dit geval is de
ringberekening dus identiek aan de vakberekening met kruinhoogte h1 voor één locatie.
Rest nog de vraag hoe om te gaan met dijkringen die vakken hebben in beide delta’s. Een
benaderend antwoord voor de overschrijdingsfrequentie van de ring kan als volgt worden
gevonden. Splits de ring R in een deel R1 met locaties in de Vechtdelta en een deel R2 met
locaties in de IJsseldelta. Dat levert twee overschrijdingsfrequenties FR,1 en FR,2. Neem de
overschrijdingsfrequentie FR van de gehele dijkring dan gelijk aan de som van de twee
antwoorden, dus
,1 ,2 R R RF F F= + (12.20)
Dit vormt een bovengrensbenadering voor het werkelijke antwoord, omdat faalgebeurtenissen
dubbel kunnen worden geteld. Stel bijvoorbeeld dat voor dijkring 10 tijdens een extreme storm
zowel een locatie langs de IJssel als een locatie langs het Zwarte water faalt. De ring als geheel
faalt dan maar één keer, terwijl in het rechterlid van (12.20) twee faalgebeurtenissen worden
geteld. De werkelijke overschrijdingsfrequentie van de ring kan dus kleiner zijn dan het
rechterlid van (12.20). Uiteraard vormt het maximum van FR,1 en FR,2 een ondergrens voor de
werkelijke overschrijdingsfrequentie van de ring. Wanneer dit maximum dicht bij FR uit (12.20)
ligt, kan de werkelijke overschrijdingsfrequentie dus nauwkeurig bepaald worden; als dat niet
het geval is, is de onnauwkeurigheid groter.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 129
13 Uitsplitsingen Hydra-VIJ
13.1 Het nut van de uitsplitsingen
Met het probabilistisch model kan de overschrijdingsfrequentie F(h) van het hydraulisch
belastingniveau h worden berekend. Vaak is er behoefte aan extra informatie over de afvoeren,
meerpeilen, windrichtingen, windsnelheden en keringtoestanden die tijdens een eventuele
overschrijding van niveau h van belang zijn. Men wil bijvoorbeeld weten in welke mate bij
Kampen afvoeren en in welke mate daar windsnelheden van belang zijn tijdens overschrijden
van het toetspeil. Deze informatie wordt gegeven door de uitsplitsingen. Zoals met voorbeelden
toegelicht in hoofdstuk 4, kan de overschrijdingsfrequentie F(h) worden uitgesplitst naar
afvoeren, meerpeilen, windrichtingen, windsnelheden en keringtoestanden. Die uitsplitsingen
geven dan informatie over de kansen waarmee deze grootheden voorkomen tijdens een
faalgebeurtenis voor niveau h. Dit hoofdstuk heeft als doel de precieze berekeningsformules
voor de uitsplitsingen te geven.
Alvorens deze formules te behandelen, moet er op worden gewezen dat strikt genomen tijdens
een faalgebeurtenis helemaal niet kan worden gesproken over (kansen op) dé afvoer, hét
meerpeil, dé windrichting, dé windsnelheid en dé keringtoestand die dan optreden, omdat deze
grootheden tijdens falen kunnen variëren. Dat wordt nu uitgelegd, maar om het simpel te
houden alleen voor de afvoer, en alleen voor faalmechanisme overloop. Om twee redenen is het
niet mogelijk om tijdens een faalgebeurtenis (voor faalmechanisme overloop) voor niveau h te
spreken over dé (ene) afvoer die dan optreedt:
1. Tijdens falen varieert de afvoer, zodat geen unieke afvoer aan het proces van falen kan
worden toegekend. Uitsluitend in de situatie dat een redelijk extreme storm nodig is voor
falen kan redelijkerwijs worden gesproken over één specifieke afvoer tijdens falen.
2. Indien meerdere overschrijdingen van niveau h plaatsvinden tijdens één en hetzelfde
afvoertrapezium, worden deze overschrijdingen gezamenlijk toch gezien als niet meer dan
één maal falen. Tijdens deze verschillende overschrijdingen kunnen (behoorlijk)
verschillende afvoeren optreden.
Beschouw als toelichting op punt 1 eerst sterk afvoergedomineerde locaties, zoals bijvoorbeeld
Olst en Dalfsen. In dat geval treedt falen op, tenminste in goede benadering, als de top van het
afvoertrapezium boven de maatgevende afvoer komt (bij volledig afvoergedomineerde locaties
is uitsluitend de afvoer van invloed op de waterstand). Gedurende enige tijd wordt dan de
maatgevende afvoer overschreden. Volgens berekeningen kan dat al snel met een bedrag van
150 á 300 m3/s zijn voor de IJssel en 30 á 60 m3/s voor de Vecht; in termen van waterstanden
gaat het dan om 1.5 á 3 decimeter. Dus voor afvoergedomineerde locaties kan aan de
faalgebeurtenis geen unieke afvoerwaarde worden toegekend.
Dat geen unieke afvoerwaarde kan worden toegekend tijdens falen, zal ook voor andere dan
afvoergedomineerde locaties gelden. Er zijn echter situaties denkbaar waarin, in ieder geval
benaderenderwijs, tóch gesproken kan worden over een unieke afvoer tijdens falen. Dat is het
geval als falen alleen tijdens een zware of extreme storm kan plaatsvinden. Dat blijkt het geval
in de IJsselmonding, waar falen (kansmatig) uitsluitend het gevolg kan zijn van een extreme
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
130 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
storm, in combinatie met een min of meer dagelijkse waarde van de afvoer en het meerpeil (zie
ook paragraaf 4.5).21 De storm duurt namelijk zo kort dat de meest bedreigende waterstanden,
veroorzaakt door de wind, niet langer dan orde 12 uur duren, gedurende welke periode de
afvoer niet al te veel varieert. Dus hoewel de faalgebeurtenis strikt genomen niet kan worden
toegekend aan een specifieke afvoer, kan benaderenderwijs, als falen het gevolg is van een
zware of extreme storm, toch gesproken worden over een unieke afvoer.
Punt 2 betreft een nog iets fundamenteler probleem dan punt 1. Wanneer tijdens een
afvoertrapezium meerdere overschrijdingen plaatsvinden, kunnen deze bij sterk verschillende
afvoeren optreden. Bijvoorbeeld: tijdens een IJsseltrapezium met piekwaarde 2200 m3/s treedt
een storm op tijdens de top van het trapezium, waardoor het toetspeil wordt overschreden,
terwijl tevens een dag of drie later een storm optreedt op de (neerwaartse) flank van het
trapezium bij een afvoer van 1900 m3/s waarbij opnieuw het toetspeil wordt overschreden.
Deze overschrijdingen worden als één maal falen gezien, terwijl ze bij duidelijk verschillende
afvoeren plaatsvinden.
De voorgaande uitleg betreft faalmechanisme overloop, maar voor faalmechanisme golfoverslag
gelden soortgelijke beschouwingen. Daarnaast geldt niet alleen voor de afvoer, maar eveneens
voor meerpeilen, windrichtingen, windsnelheden en keringtoestanden dat ze tijdens een
faalgebeurtenis geen unieke waarde (hoeven te) hebben. De strekking van de uitleg is dat het
principieel gesproken niet mogelijk is een formule te geven die de kansen op de “unieke”
afvoeren, meerpeilen, windrichtingen, windsnelheden en keringtoestanden geeft tijdens een
faalgebeurtenis. Maar wel blijkt mogelijk op enigszins pragmatische wijze dergelijke kansen toe
te kennen aan deze grootheden tijdens een faalgebeurtenis. Er is een zogenaamd
uitsplitsingsrecept bedacht om dat te doen, waarbij een bepaalde weging van de
omstandigheden tijdens falen wordt uitgevoerd. Over dat recept gaan de volgende paragrafen.
Als voorbereiding volgt echter een herformulering van formule (12.15) voor de berekening van
PB(H>h|k,s).
13.2 Continue versie probabilistische formules
Formule (12.15) heeft een discreet karakter, vanwege het “discrete” product in het rechterlid
van de formule. Nu volgt een “continue” versie van deze formule, met als belangrijkste doel dat
de formules voor de uitsplitsingen dan veel transparanter worden. De overschrijdingsfrequentie
F(h) wordt in Hydra-VIJ overigens uitgerekend op basis van de discrete versie.
Neem aan dat de trapeziumduur begint bij t = 0 en eindigt bij t = B, met t gerekend in uren, en
definieer de grootheden:
α(t,k) Afvoer op tijdstip t in het trapezium met piekwaarde k. m3/s
β(t,s) Meerpeil op tijdstip t in het trapezium met piekwaarde s. m+NAP
Uit (12.15) volgt dan in benadering, waarbij op een standaardmanier een discrete som wordt
vervangen door een continue integraal,
21 Locaties waarvoor een zware of extreme storm nodig is voor falen blijken in de Vecht- en IJsseldelta nauwelijks voor te
komen. Voor de benedenrivieren komen dergelijke locaties juist veel voor, namelijk benedenstrooms van Dordrecht en op het Haringvliet en Hollandsch Diep, waarbij onder storm dan moet worden verstaan een combinatie van storm en stormvloed.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 131
[ ] [ ]( )
[ ]( )
( )
1
0
ln 1 ( | , ) ln 1 | ( ), ( )
1 ln 1 | ( , ), ( , )
n B
Bj
B
P H h k s P H h q j m j
dt P H h t k t sb
α β
=
− > = − >
≅ − >
∑
∫ (13.1)
In dit geval is b = 12 uur. De waarde b zou echter ook anders gekozen kunnen worden. Om de
formules zo algemeen mogelijk te houden, schrijven we hier b in plaats van 12 (uur). De
grootheid P[H>h|α(t,k),β(t,s)] wordt berekend met (12.12). Voor de duidelijkheid wordt
opgemerkt dat die grootheid afhangt van de waarde van b: een kleinere waarde van b levert
een kleinere overschrijdingskans, omdat de overschrijdingskansen van de wind, die impliciet in
(12.12) voorkomen, dan kleiner worden (de precieze manier waarop de windkansen afhangen
van b valt buiten de scope van dit rapport).
Formule (13.1) laat zien dat
[ ]( )0
1( | , ) 1 exp ln 1 | ( , ), ( , )B
BP H h k s dt P H h t k t sb
α β > ≅ − − >
∫ (13.2)
Deze benadering is met name nauwkeurig als de kans P[H>h|α(t,k),β(t,s)] niet al te snel
varieert als functie van de tijd. Men kan echter ook redeneren dat het rechterlid van (13.2), dus
de continue versie, in feite een beter antwoord voor de grootheid PB(H>h|k,s) oplevert dan de
discrete versie uit (12.15), vanuit de gedachte dat de continue versie nauwkeuriger het
tijdsverloop van afvoer en meerpeil volgt. In de nu volgende formules voor de uitsplitsingen
baseren we ons in ieder geval op de continue versie.22
De continue versie voor de berekening van PB(H>h|k,s) zal worden genoteerd als GB(H>h|k,s).
Dus geldt
[ ]( )0
1( | , ) 1 exp ln 1 | ( , ), ( , )B
BG H h k s dt P H h t k t sb
α β > = − − >
∫ (13.3)
met
( | , ) ( | , )B BG H h k s P H h k s> ≅ > (13.4)
In de continue versie van de Hydra-VIJ formules wordt PB(H>h) als analogon van (12.14) dan
gegeven door
( ) ( , ) ( | , )B BG H h dk ds f k s G H h k s> = >∫ (13.5)
terwijl de overschrijdingsfrequentie, als analogon van (12.13), dan volgt als
( ) 6 ( ), keren/jaarBF h G H h= > (13.6)
22 In de programmatuur wordt een herschaling toegepast om resultaten gebaseerd op de discrete versie van PB(H>h|k,s) in
overeenstemming te brengen met resultaten gebaseerd op de continue versie hiervan.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
132 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
13.3 Uitsplitsing naar de afvoer
Het idee achter de uitsplitsingen wordt in deze paragraaf uitgelegd voor de versimpelde situatie
waarin ten eerste het meerpeil in het model afwezig is, en ten tweede de overschrijdings-
frequentie alleen wordt uitgesplitst naar de afvoer, maar niet naar windrichting, windsnelheid en
keringtoestand. Omdat de overschrijdingsfrequentie F(h) gelijk is aan 6 maal PB(H>h), dient
een geschikt wegingsproces te worden gevonden om PB(H>h) uit te splitsen naar de diverse
afvoerniveaus.
We zoeken daartoe een “representatieve” bijdrage voor een afvoerinterval [q1,q2] aan de
overschrijdingskans PB(H>h). Noem die afvoerbijdrage A([q1,q2]). De bijdragen dienen zo te zijn
dat indien een partitie van het hele afvoerbereik wordt beschouwd, de som van alle bijdragen
PB(H>h) oplevert. De precieze, zij het enigszins pragmatische interpretatie van A([q1,q2]) luidt:
de grootheid A([q1,q2])/PB(H>h) geeft de kans dat, conditioneel op falen in duur B, een afvoer
optreedt die ligt tussen q1 en q2. Het pragmatische zit hem er in dat, zoals eerder uitgelegd,
geen sprake is van een unieke afvoer tijdens falen, en dat kansen daarom alleen kunnen
worden toegekend door middel van een wegingsrecept.
Omdat het meerpeil in deze paragraaf niet voorkomt, wordt als analogon van P(H>h|q,m) uit
(12.12) nu P(H>h|q) beschouwd en als analogon van GB(H>h|k,s) uit (13.3) nu GB(H>h|k).
Beschouw eerst een afvoertrapezium met gegeven piekwaarde k. De kans dat tijdens dit
trapezium falen optreedt is GB(H>h|k). Het uitsplitsingsrecept bestaat er uit dat een
faalgebeurtenis die tijdens dit trapezium optreedt “naar evenredigheid” wordt verdeeld over de
afvoeren die binnen het trapezium voorkomen. De bijdrage aan een afvoerniveau q wordt losjes
gezegd daarbij evenredig genomen aan de kans P(H>h|q) en aan de duur dat het niveau q
binnen het trapezium aanhoudt.
tijd
afvoer
k
q
B
q+∆q
∆t1 ∆t2
Figuur 13-1: Weergave van ∆t1 en ∆t2 in het trapezium met piekwaarde k.
Om dit preciezer te omschrijven beschouwen we een interval [q, q+∆q] met ∆q niet al te groot,
zodat P(H>h|q) ≅ P(H>h|q+∆q). De tijdsduur dat afvoeren in [q, q+∆q] optreden tijdens de golf
met piekwaarde k is gelijk aan ∆t(q,k) = ∆t1 + ∆t2, waarbij ∆t1 en ∆t2, zie Figuur 13-1, de duren
in de opgaande en dalende tak vormen gedurende welke de afvoer zich in het beschouwde
interval bevindt. We stellen nu dat de bijdrage aan [q, q+∆q] die geleverd wordt door het
trapezium met piekwaarde k gelijk moet zijn aan
( ) ( )[ , ] | ( | ) ( , )J kA q q q k P H h q t q kb
+ ∆ = > ∆ (13.7)
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 133
waarbij J(k) een evenredigheidsconstante is die zo bepaald moet worden dat alle bijdragen
samen de faalkans GB(H>h|k) opleveren.
Wat de notatie betreft het volgende zijstapje. De factor b in (13.7) is alleen geïntroduceerd om
er voor te zorgen dat de evenredigheidsconstante J(k) dezelfde waarde heeft als in de eerdere
rapporten [Geerse, 2003a; Geerse, 2005]; de b zou immers ook kunnen worden opgenomen in
de evenredigheidsconstante. In de eerdere rapporten ontbreekt de factor b, omdat daarin de
tijd in eenheden van b wordt gerekend, met als gevolg dat b in de formules niet zichtbaar is. In
het voorliggende rapport wordt de tijd in eenheden van uren gerekend, met als voordeel dat
expliciet aan de formules is te zien hoe een verandering van b doorwerkt in allerlei grootheden.
We gaan nu verder met de berekening van J(k). Discretiseer het afvoerbereik van q=0 tot q=k
door n-1 intervallen van breedte ∆q, met q1=0, q2=∆q, q3=2∆q,..., qn=k. Dan moet J(k) zodanig
zijn dat is voldaan aan
( )1
1
( )| ( | ) ( , )n
B i ii
J kG H h k P H h q t q kb
−
=
> = > ∆∑ (13.8)
De sommatie over afvoeren in het rechterlid kan worden vervangen door een sommatie over de
tijd. In plaats van de afvoer te discretiseren met stapjes ∆q kan evengoed de tijd worden
gediscretiseerd in stapjes ∆t, mits tenminste ∆q en ∆t klein genoeg zijn. Met α(t,k) de afvoer als
functie van de tijd, geldt dan in goede benadering
( )1 1
1 1
( | ) ( , ) | ( , )n m
i i ji j
P H h q t q k P H h t k tα− −
= =
> ∆ = > ∆∑ ∑ (13.9)
waarin het tijdsinterval van 0 tot B gediscretiseerd is in m-1 stapjes ∆t: t1=0, t2=∆t, t3=2∆t,...,
tm=B. De sommatie in het rechterlid van (13.9) kan worden benaderd door een integraal over
de tijd, zodat (13.8) de volgende vorm krijgt
( ) ( )0
( )| | ( , )B
BJ kG H h k dt P H h t k
bα> = >∫ (13.10)
Introduceer nu als afkorting
( ) ( )0
1| | ( , )B
BG H h k dt P H h t kb
α> = >∫ (13.11)
Dan is J(k) dus gelijk aan
( )( | )
( )|
B
B
G H h kJ k
G H h k>
=>
(13.12)
Volgens (13.7) is de bijdrage van het interval [q,q+∆q] aan de faalkans GB(H>h|k) dus gelijk
aan
( )( )( | )( ) 1[ , ] | ( | ) ( , ) ( | ) ( , )
|B
B
G H h kJ kA q q q k P H h q t q k P H h q t q kb b G H h k
>+ ∆ = > ∆ = > ∆
> (13.13)
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
134 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
Tot nu toe is, omdat ∆q klein is genomen, het beschouwde afvoerinterval erg smal. Beschouw
nu een interval [q1,q2] van willekeurige breedte. Dit interval kan worden opgedeeld in kleine
deelintervalletjes, waarvan de bijdragen gesommeerd kunnen worden. Analoog aan (13.9) en
(13.10) volgt dan
( ) ( )1 2
1 2[0, ]: ( , ) [ , ]
( )[ , ] | | ( , )t B t k q q
J kA q q k dt P H h t kb α
α∈ ∈
= >∫ (13.14)
Dit is de formule voor de bijdrage van afvoeren in [q1,q2] aan de faalkans GB(H>h|k). Om de
bijdrage van deze afvoeren aan de faalkans GB(H>h) te krijgen, moet k worden uitgeïntegreerd:
( ) ( )1 2 1 2[ , ] ( ) [ , ] |A q q dk f k A q q k= ∫ (13.15)
Ter controle kan worden geverifieerd dat A([q1=0, q2=∞]) gelijk is aan GB(H>h): de bijdragen
van alle afvoeren tezamen moeten immers gelijk zijn aan deze kans. Inderdaad volgt, met
(13.15), (13.14), (13.11), (13.12), en door gebruik te maken van (13.5) maar dan zonder
meerpeilen,
( ) ( )1 2[0, ]: ( , ) [0, ]
( )[ 0, ] ( ) | ( , )
( ) ( ) ( | )
( ) ( | )
( )
t B t k
B
B
B
J kA q q dk f k dt P H h t kb
dk f k J k G H h k
dk f k G H h k
G H h
α
α∈ ∈ ∞
= = ∞ = >
= >
= >
= >
∫ ∫
∫∫
(13.16)
De uitsplitsing van GB(H>h) naar het interval [q1,q2] levert op simpele wijze de uitsplitsing naar
dit interval van de overschrijdingsfrequentie F(h). De laatste uitsplitsing wordt aangegeven als
F([q1,q2]). Met (13.6) volgt
( ) ( )1 2 1 2[ , ] 6 [ , ]F q q A q q= (13.17)
13.4 Uitsplitsing naar de afvoer en het meerpeil
De theorie wordt nu uitgebreid: naast de afvoer wordt nu ook het meerpeil weer in het model
opgenomen. Dan is een formule nodig voor de bijdrage A([q1,q2], [m1,m2]). Startpunt daarvoor
is een geschikte formule voor de bijdrage A([q1,q2], [m1,m2]|k,s), omdat uitintegreren van k en
s dan A([q1,q2], [m1,m2]) oplevert. Om de bijdragen conditioneel op k en s te vinden,
herschrijven we eerst (13.14). Deze formule kan ook, zie (13.11) en (13.12), geschreven
worden als
( )( )
( )1 2[0, ]: ( , ) [ , ]
1 2
[0, ]
| ( , )[ , ] | ( | )
| ( , )t B t k q q
B
t B
dt P H h t kA q q k G H h k
dt P H h t kα
α
α∈ ∈
∈
>
= >>
∫
∫ (13.18)
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 135
B
k
sm2
m1
q1
q2
interval
Figuur 13-2: Weergave van het tijdsinterval bestaande uit tijdstippen waarvoor α(t,k)∈ [q1,q2] en tevens
β(t,s) ∈ [m1,m2].
De uitbreiding naar de situatie inclusief meerpeil is dan vrij evident. Daarvoor moet worden
genomen
( )
( )
( )
1 21 2
[0, ]: ( , ) [ , ],( , ) [ , ]
1 2 1 2
[0, ]
1 | ( , ), ( , )
[ , ],[ , ] | , ( | , )1 | ( , ), ( , )
t B t k q qt s m m
B
t B
dt P H h t k t sb
A q q m m k s G H h k sdt P H h t k t s
b
αβ
α β
α β
∈ ∈∈
∈
>
= >>
∫
∫ (13.19)
Zie als toelichting op het integratie-interval uit de integraal in de teller Figuur 13-2. Om de
formule iets compacter te schrijven definiëren we
( )[0, ]
1( | , ) | ( , ), ( , )B
t B
G H h k s dt P H h t k t sb
α β∈
> = >∫ (13.20)
en
( | , )
( , )( | , )
B
B
G H h k sJ k s
G H h k s>
=>
(13.21)
zodat (13.19) ook kan worden geschreven als
( ) ( )1 21 2
1 2 1 2[0, ]: ( , ) [ , ],
( , ) [ , ]
( , )[ , ],[ , ] | , | ( , ), ( , )t B t k q q
t s m m
J k sA q q m m k s dt P H h t k t sb α
β
α β∈ ∈
∈
= >∫ (13.22)
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
136 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
Door uitintegreren van k en s volgt dan
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2[ , ],[ , ] ( , ) [ , ],[ , ] | ,A q q m m dk ds f k s A q q m m k s= ∫ (13.23)
Het is eenvoudig te verifiëren dat A([q1=0,q2=∞], [m1=-0.4,m2=∞]) = GB(H>h), zoals het geval
moet zijn. De uitsplitsing uit (13.23) impliceert, vanwege (13.6), dat de uitsplitsing van de
overschrijdingsfrequentie dan wordt gegeven door
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2[ , ],[ , ] 6 [ , ],[ , ]F q q m m A q q m m= (13.24)
13.5 Volledige uitsplitsingen
Deze paragraaf behandelt de volledige uitsplitsing van de overschrijdingsfrequentie: naar afvoer
q, meerpeil m, windsnelheid u, windrichting r en keringtoestand ω. Daartoe dient in eerste
instantie een formule te worden gevonden voor A([q1,q2],[m1,m2],[u1,u2],r,ω|k,s). Om die te
vinden, moet eerst P(H>h|q,m) uit (12.9) worden herschreven. De basisformule daarvoor is
16 1
1 0 0
( | , ) ( | , , , , ) ( , , | , )r u
P H h q m du P H h q m u r g u r q mω
ω ω= = ≥
> = >∑∑ ∫ (13.25)
De belasting H is een functie van (q,m,u,r,λ), waarbij λ de waarden λFW en λFN aanneemt.
Omdat de kansdichtheid (onder meer) van ω afhangt, en niet van λ, is het soms handig om de
belasting niet als functie van λ maar als functie van ω te beschouwen. Omdat voor ω = 0 de
belasting kan worden berekend uitgaande van λ=λFW en voor ω=1 door uit te gaan van λ=λFN
definiëren we
als 0 (kering hoeft niet te sluiten of faalt)
( )als 1 (kering sluit daadwerkelijk)
FW
FN
λ ωλ ω
λ ω=
= = (13.26)
zodat de belasting kan worden geschreven als H = H(q,m,u,r,λ(ω)).
Zoals uitgelegd na (12.9) is P(H>h|q,m,u,r,ω) een indicatorfunctie, waarvoor geldt dat deze 1 is
als H(q,m,u,r,λ(ω))>h en 0 als H(q,m,u,r, λ(ω)) ≤ h. Daarom kan (13.25) ook worden
geschreven als,
( )
16 1
1 0 0: , , , , ( )
( | , ) ( , , | , )r u H q m u r h
P H h q m du g u r q mω λ ω
ω= = ≥ >
> = ∑∑ ∫ (13.27)
Formule (13.22) maakt dan duidelijk dat, conditioneel op k en s, voor de volledige uitsplitsing
Bovenstaande manier om IP’s te bepalen wordt zoals gezegd niet gebruikt in Hydra-VIJ. In
plaats daarvan wordt de kansdichtheid genomen die ontstaat door (14.1) te onderwerpen aan
de Rosenblatt-transformatie. In deze transformatie worden q, m en u getransformeerd naar
onafhankelijke, standaardnormale verdelingen. Een voordeel van het dan gevonden illu-
stratiepunt ingeval de kansdichtheid g(q,m,u,|r,ω) onregelmatigheden of knikken vertoont, is
dat het veel robuuster is dan het illustratiepunt exclusief transformatie. Zulke onregelmatig-
heden kunnen het gevolg zijn van op niet geheel nette wijze afgeleide kansverdelingen.
Daarnaast geeft het illustratiepunt inclusief transformatie een meer natuurlijk zwaartepunt van
de kansverdeling op het isovlak.
Een en ander wordt toegelicht voor een sterk versimpelde situatie, namelijk voor een
kansdichtheid van slechts één variabele, zonder daarbij isovlakken te betrekken. Figuur 14-2
toont een kansdichtheid met een scherpe piek. Omdat ter plaatse van deze piek het maximum
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 143
optreedt, wordt het illustratiepunt exclusief transformatie dan gegeven door punt X. Na
transformatie naar een standaardnormale verdeling komt het maximum van de
getransformeerde kansdichtheid bij de waarde 0 te liggen, die na terugtransformeren bij de
mediaan van de oorspronkelijke kansdichtheid komt te liggen. Bij het toepassen van de normale
transformatie komt in dit voorbeeld het illustratiepunt dus bij de mediaan te liggen in plaats van
bij X, wat (gevoelsmatig) een meer natuurlijke waarde vormt dan de piek die ondanks zijn
hoogte weinig kansinhoud heeft. Het voorbeeld is nogal simpel, omdat naast het beschouwen
van maar één variabele ook geen isovlak wordt beschouwd, maar het idee bij het beschouwen
van de getransformeerde g(q,m,u|r,ω) op een isovlak blijft hetzelfde.
Xmediaan
Figuur 14-2 Toelichting van het nut van de Rosenblatt-transformatie om het illustratiepunt te bepalen.
De Rosenblatt-transformatie, zoals in Hydra-VIJ toegepast, heeft de volgende vorm
( )( )
( )
1
1
1
( , , ) ( | , )
( , , , ) ( | , , )
( , , , , ) ( | , , , )
x x q r P Q q r
y y q m r P M m q r
z z q m u r P U u q m r
ω ω
ω ω
ω ω
−
−
−
= = Φ <
= = Φ <
= = Φ <
(14.2)
Hierin is Φ-1 de inverse van de cumulatieve standaardnormale verdelingsfuntie Φ. De variabelen
x, y en z blijken nu onafhankelijke, standaardnormaal verdeelde variabelen te zijn. Onder de
transformatie wordt het isovlak meegetransformeerd, wat een (gekromd) oppervlak oplevert in
de (x,y,z)-ruimte. Voor de duidelijkheid: de onderschrijdingskansen in het rechterlid van (14.2)
worden bepaald door gebruik te maken van g(q,m,u,r,ω). Bijvoorbeeld P(Q<q|r,ω) wordt
verkregen door in g(q,m,u|r,ω) de m en u uit te integreren, en vervolgens de afvoeren te
integreren van -∞ tot q.
Het IP bij gegeven combinatie (r,ω), behorend bij de berekening van F(h), kan nu worden
bepaald met de volgende stappen:
1. Bepaal het isovlak bestaande uit de punten (q,m,u) waarvoor H(q,m,u,r,λ(ω)) = h.
2. Transformeer de variabelen q, m en u naar onafhankelijke standaardnormale variabelen x, y
en z volgens (14.2). Onder deze transformatie gaat het isovlak van niveau h in de (q,m,u)-
ruimte over in een getransformeerd isovlak in de (x,y,z)-ruimte.
3. Zoek op het getransformeerde isovlak het punt (xIP, yIP, zIP) met de kleinste afstand tot de
oorsprong; dat is namelijk het punt waarvoor de getransformeerde kansdichtheid zijn
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
144 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
maximum aanneemt.
4. Transformeer het punt (xIP, yIP, zIP) met de inverse van de Rosenblatt-transformatie terug
naar het punt (qIP, mIP, uIP) dat ligt op het oorspronkelijke isovlak, welk punt dan het
gezochte illustratiepunt vormt.
Berekeningstechnisch blijkt overigens dat stap 4, de terugtransformatie, niet geïmplementeerd
hoeft te worden om het IP te bepalen, zie de systeemdocumentatie [Duits, 2008c], maar
wiskundig verloopt de berekening volgens de stappen 1 t/m 4.
Deel 3
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 147
15 Inleiding model Hydra-B
Dit deel van het rapport (hoofdstuk 15 t/m 20) behandelt het model Hydra-B, waarbij het
voorliggende hoofdstuk een context geeft voor de daaropvolgende hoofdstukken 16 t/m 20.
Hieronder komen aan de orde: een beschrijving van het gebied en van de modelstochasten, de
voor dit rapport belangrijkste onderdelen uit het model, een gebiedsindeling van waar welke
stochasten belangrijk zijn en tot besluit een schema van de opzet van het
model/computerprogramma.
15.1 Benedenrivierengebied
Het benedenrivierengebied bestaat uit (delen van) de dijkringgebieden 14 t/m 25, 34, 34a en
35 (zie dijkringenkaart Figuur 2-1). In dit rapport wordt voor het probabilistisch model
Hydra-B uitgegaan van de modelversie en gegevens voor de HR2006. In dat geval is het
model toepasbaar benedenstrooms van (en inclusief) km 967 op de Lek, km 953 op de Boven
Merwede, km 244 op de Afgedamde Maas en km 227 op de Maas (Figuur 15-1). Voor de
locaties Maas km 227 t/m Bergsche Maas km 246 wordt in Hydra-B de statistiek van de Maas te
Lith gebruikt, omdat deze locaties vooral onder invloed van de Maas staan en minder van de
Rijn (hoe precies de Rijnafvoer voor deze locaties in het model verwerkt wordt, zal later
duidelijk worden). De betreffende locaties worden Maasdominant genoemd. Voor de overige
locaties in het benedenrivierengebied, waarvoor de Rijnafvoer belangrijker is dan de
Maasafvoer, de zogenaamde Rijndominante locaties, wordt de statistiek van de Rijn te Lobith
gebruikt.
In het gebied bevinden zich twee keringen die in Hydra-B zijn opgenomen, waarbij rekening
wordt gehouden met hun beheer en faalkans: de Maeslantkering in de Nieuwe Waterweg (nabij
km 1026) en de Hartelkering in het Hartelkanaal (nabij km 1). Overigens zijn in de
benedenrivieren meer keringen/kunstwerken aanwezig, zoals de Haringvlietsluizen, de
stormstuw in de Hollandsche IJssel en de keersluis in het Heusdensch Kanaal. Deze zijn niet
expliciet in de Hydra-B formules opgenomen: hun beheer is deterministisch gemodelleerd
(zonder faalkans) in de Sobek-berekeningen die ten behoeve van Hydra-B zijn gemaakt.23
Tabel 15-1 geeft enkele gegevens over de dijkringen uit het gebied.
Hydra-B heeft twee soorten locaties, waarvan de gegevens zijn opgenomen in meerdere
databases:
• Aslocaties, gelegen om de kilometer in de as van de rivier, weergegeven in Figuur 15-1.
• Oeverlocaties, gelegen aan de oever, waarvoor defaultwaarden voor strijklengtes en
bodemhoogtes beschikbaar zijn (zie ter verduidelijking ook Figuur 4-1 en Figuur 4-2).
De aslocaties zijn de locaties waarvoor de toetspeilen uit de Hydraulische Randvoorwaarden
worden berekend. Voor de oeverlocaties kunnen, met faalmechanisme golfoverslag, benodigde
kruinhoogtes worden bepaald.
23 Er bestaat een versie van het programma, Hydra-BS, waarin deze keringen/kunstwerken wel (met faalkans) zijn
opgenomen, waarbij ook de mogelijkheid is ingebouwd het Volkerak-Zoommeer in te zetten tijdens hoogwatersituaties en de Maeslantkering als extra faalwijze “niet openen” heeft [Geerse, 2007c; Duits, 2008e]. Vanwege ontbrekende invoer voor de waterstanden, is deze versie nog niet operationeel. Hydra-BS bevat wel minder opties voor de uitvoer; zo ontbreken illustratiepunten en uitsplitsingen.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
148 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
Figuur 15-1: Aslocaties in de benedenrivieren: de locaties westelijk van de stippellijn.
dijkringgebied normfrequentie naam buitenwater
14 1/10000 Zuid-Holland Nieuwe Waterweg, Nieuwe Maas15 1/2000 Lopiker- en Nieuwe Maas, Lek
Krimpenerwaard16 1/2000 Alblasserwaard en de Lek, Boven- en Beneden
Vijfheerenlanden Merwede, Noord17 1/4000 IJsselmonde Nieuwe Maas, Noord, Oude
Maas18 1/10000 Pernis Nieuwe Maas19 1/10000 Rozenburg Nieuwe Waterweg,
Calandkanaal20 1/4000 Voorne-Putten Hartelkanaal, Oude Maas,
Spui, Haringvliet21 1/2000 Hoekse Waard Oude Maas, Dordtsche Kil, Hollandsch
Diep, Spui, Haringvliet22 1/2000 Eiland van Dordrecht Oude Maas, Dordtsche Kil, Wantij
Hollandsch Diep, Nieuwe Merwede23 1/2000 Biesbosch Nieuwe Merwede, Biesbosch24 1/2000 Land van Altena Boven Merwede, Maas, Bergsche
Figuur 15-3: Schema opbouw Hydra-B voor een dijkvakberekening op een oeverlocatie, voor faalmechanisme overslag. Notatie: afvoer Q, zeewaterstand M, windsnelheid U, windrichting R en keringtoestand Ω; HBN = hydraulisch belastingniveau.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 155
16 Hydraulische belastingniveaus Hydra-B
Dit hoofdstuk behandelt enkele onderdelen uit het schema in Figuur 15-3: het blok ‘FYSISCHE
MODELLEN/GEGEVENS’, het blok ‘Hydra-B database’ en van het grijze blok ‘HYDRA-B
REKENHART’ de onderdelen t/m ‘6768 HBN’s op de dijk’. Het betreft louter dingen die met
fysische berekeningen te maken hebben, zonder dat kansen/frequenties daarin een rol spelen.
16.1 Sobekberekeningen
Ten behoeve van de Hydra-B database is met Sobek een groot aantal combinaties van afvoeren,
zeewaterstanden, windsnelheden en windrichtingen doorgerekend, zowel voor open als dichte
Europoortkering. Voor de HR2006 zijn de Sobekberekeningen overgenomen van de HR2001. De
berekeningen zijn in detail beschreven in de [De Deugd, 2002]. De voorliggende paragraaf
beschrijft alleen de gebruikte randvoorwaarden uit de Sobekberekeningen, omdat die belangrijk
zijn voor een goed begrip van de Hydra-B formules.
Het uiteindelijke resultaat van een Sobekberekening is de maximale waterstand op de Sobek
rekenlocaties (gelegen op de Sobektakken). Deze locaties verschillen van de oeverlocaties, en
meestal ook van de gewenste aslocaties om de kilometer. Een vertaalslag is dus nodig. De
doorgerekende combinaties (Tabel 16-1), worden in de volgende paragrafen besproken, waarbij
ook de vertaling van de rekenlocaties naar de as- en oeverlocaties aan de orde komt.
De dijkring faalt voor een combinatie (q,m,u,r,ω) dan en slechts dan als H(q,m,u,r,ω) > 0.
De overschrijdingsfrequentie FR van de dijkring kan met de “gebruikelijke” formules uit de
voorgaande paragrafen worden bepaald. De belasting H voor de ring kan namelijk
berekeningstechnisch behandeld worden als een belasting voor een dijkvak, indien als (fictieve)
kruinhoogte de waarde h = 0 wordt genomen. In formule kan worden geschreven
1 2( , ,..., ) ( 0)R R nF F h h h F h= = = (18.16)
waarbij de laatste term berekend wordt met de formules voor een dijkvak uit paragraaf 18.3.
Merk op dat indien de ring bestaat uit slechts één dijkvak met belasting H1 en kruinhoogte h1, FR
gelijk wordt aan F(h1), omdat H = H1 – h1 > 0 equivalent is met H1 > h1. In dit geval is de
ringberekening dus identiek aan de vakberekening met kruinhoogte h1 voor één locatie.
Rest nog de vraag hoe om te gaan met dijkringen 24 en 35 die zowel Rijn- als Maasdominante
vakken hebben. Een benaderend antwoord voor de overschrijdingsfrequentie van de ring kan
als volgt worden gevonden. Splits de ring R in een deel R1 met Rijndominante locaties en een
deel R2 met Maasdominate locaties. Dat levert twee overschrijdingsfrequenties FR,1 en FR,2.
Neem de overschrijdingsfrequentie FR van de gehele dijkring dan gelijk aan de som van de twee
antwoorden, dus
,1 ,2 R R RF F F= + (18.17)
Dit vormt een bovengrensbenadering voor het werkelijke antwoord, omdat faalgebeurtenissen
dubbel kunnen worden geteld. Stel bijvoorbeeld dat voor dijkring 24 tijdens extreme Rijn- en
Maasafvoeren zowel een locatie langs de Rijn als de Maas faalt. De ring als geheel faalt dan
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 177
maar één keer, terwijl in het rechterlid van (18.17) twee faalgebeurtenissen worden geteld. De
werkelijke overschrijdingsfrequentie van de ring kan dus kleiner zijn dan het rechterlid van
(18.17). Uiteraard vormt het maximum van FR,1 en FR,2 een ondergrens voor de werkelijke
overschrijdingsfrequentie van de ring. Wanneer dit maximum dicht bij FR uit (18.17) ligt, kan de
werkelijke overschrijdingsfrequentie dus nauwkeurig bepaald worden; als dat niet het geval is,
is de onnauwkeurigheid groter.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 179
19 Uitsplitsingen Hydra-B
De uitsplitsingen uit Hydra-VIJ geven de kansen waarmee tijdens falen afvoeren, meerpeilen,
windsnelheden, windrichtingen en keringtoestanden voorkomen. In hoofdstuk 4 zijn concrete
voorbeelden gegeven, voor de Vecht- en IJsseldelta, waarbij veel aandacht is besteed aan de
juiste interpretatie van de uitsplitsingen. Het huidige Hydra-B kent op dit moment alleen
uitsplitsingen naar afvoeren, windrichtingen en keringtoestanden. Concrete voorbeelden,
analoog aan die voor Vecht- en IJsseldelta uit hoofdstuk 4, zijn voor de benedenrivieren
gegeven in [Geerse, 2004c], voor toetspeilen en benodigde kruinhoogtes. Daarnaast geeft
[Duits, 2004a] voor de toetspeilen op de Rijn- en Maastakken (takken eindigen bij Maasmond of
Haringvlietsluizen) resultaten voor uitsplitsingen. In het bijzonder kan daaraan worden gezien
welk bereik van afvoeren belangrijk is tijdens falen. In het zeegebied (vergelijk Figuur 15-2)
blijken dat relatief lage afvoeren te zijn, in het overgangsgebied de “midden-afvoeren” en in het
rivierengebied extreme afvoeren.
In dit hoofdstuk worden de formules voor de uitsplitsingen uit Hydra-B gegeven. De behande-
ling is sterk analoog aan die voor Hydra-VIJ, vandaar dat de motivatie hier beknopter zal zijn
dan die uit hoofdstuk 13 voor Hydra-VIJ. Zoals gezegd kent Hydra-B op dit moment alleen
uitsplitsingen naar afvoeren, windrichtingen en keringtoestanden. Op termijn bestaat wellicht
ook behoefte aan uitsplitsingen naar windsnelheden en zeewaterstanden. De formules uit dit
hoofdstuk zijn algemeen en bevatten ook deze uitsplitsingen.
19.1 Continue versie probabilistische formules
Formule (18.10) heeft een discreet karakter, vanwege het “discrete” product in het rechterlid
van de formule. Nu volgt een “continue” versie van deze formule, met als belangrijkste doel dat
de uitsplitsingsformules dan veel transparanter worden. De overschrijdingsfrequentie F(h) wordt
in Hydra-B overigens uitgerekend op basis van de discrete versie.25
Neem aan dat een beschouwde afvoergolf met piekwaarde k begint (bij afvoerniveau 0 m3/s) op
tijdstip tb en eindigt op tijdstip te en definieer α(t,k) als de afvoer, in m3/s, op tijdstip t binnen
deze golf. Merk op dat tb en te van k afhangen, hoewel dat niet in de notatie tot uitdrukking
komt. De tijd wordt in uren gerekend. Overigens werd in oudere referenties, zoals [Geerse,
2002b; 2003b; 2005] de tijd in eenheden van getijperioden beschouwd. Voor de uniformiteit
wordt in de formules uit het voorliggende rapport de tijd overal in uren gerekend.
Geef met b = 12.42 uur de duur van een getijperiode aan (12 uur en 25 minuten). Dan volgt in
benadering, uit (18.10), waarbij op een standaardmanier een discrete som wordt vervangen
door een continue integraal,
[ ]( )
[ ]( )
1
ln 1 ( | ) ln 1 | ( )
1 ln 1 | ( , )e
b
n
golfj
t
t
P H h k P H h q j
dt P H h t kb
α
=
− > = − >
≅ − >
∑
∫ (19.1)
25 In de programmatuur wordt een herschaling toegepast om resultaten gebaseerd op de discrete versie van Pgolf(H>h|k) in
overeenstemming te brengen met resultaten gebaseerd op de continue versie hiervan.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
180 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
Hieruit blijkt dat
[ ]( )1( | ) 1 exp ln 1 | ( , )e
b
t
golft
P H h k dt P H h t kb
α > ≅ − − >
∫ (19.2)
Deze benadering is met name nauwkeurig als de kans P[H>h|α(t,k)] niet al te snel varieert als
functie van de tijd. Men kan echter ook redeneren dat het rechterlid van (19.2), dus de continue
versie, in feite een beter antwoord voor de grootheid Pgolf(H>h|k) oplevert dan de discrete
versie uit (18.10), vanuit de gedachte dat de continue versie nauwkeuriger het tijdsverloop van
de afvoer volgt. De continue versie voor de berekening van Pgolf(H>h|k) zal worden genoteerd
als Ggolf(H>h|k). Dus geldt
[ ]( )1( | ) 1 exp ln 1 | ( , )e
b
t
golft
G H h k dt P H h t kb
α > = − − >
∫ (19.3)
met
( | ) ( | )golf golfG H h k P H h k> ≅ > (19.4)
In de continue versie van de Hydra-B formules wordt de overschrijdingsfrequentie F(h) als
analogon van (18.12) dan gegeven door
0
( ) ( ) ( | )golfF h dk k G H h kψ∞
= >∫ (19.5)
19.2 Uitsplitsingen naar alle stochasten
In het huidige Hydra-B zijn alleen de uitsplitsingen naar afvoer, windrichting en keringtoestand
geïmplementeerd. In dit hoofdstuk worden echter ook de formules gegeven om uit te splitsen
naar windsnelheid en zeewaterstand. Wellicht dat op termijn deze extra uitsplitsingen ook
worden geïmplementeerd. De theorie uit deze en de volgende paragraaf is afkomstig uit
[Geerse, 2003; Geerse, 2005]. Hieronder wordt een op zichzelf staande verhandeling gegeven,
waarbij voor de motivatie soms wordt verwezen naar de overeenkomstige theorie voor
Hydra-VIJ uit hoofdstuk 13.
Om didactische redenen is het handig eerst de uitsplitsing naar alleen de afvoer te geven.
Startpunt van de afleiding is de uitsplitsing naar afvoeren van de kans Ggolf(H>h|k). Geef de
bijdrage aan deze kans, geleverd door afvoeren in het interval [q1,q2], aan met F([q1,q2]|k).
Analoog aan de motivatie voor Hydra-VIJ, vergelijk formule (13.18), kan hiervoor worden
genomen
( )( )
( )1 2[ , ]: ( , ) [ , ]
1 2
[ , ]
| ( , )[ , ] | ( | )
| ( , )b e
b e
t t t t k q qgolf
t t t
dt P H h t kF q q k G H h k
dt P H h t kα
α
α∈ ∈
∈
>
= >>
∫
∫ (19.6)
Analoog aan (13.20) en (13.21) is het handig om te definiëren
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 181
( )[ , ]
1( | ) | ( , )b e
golf
t t t
G H h k dt P H h t kb
α∈
> = >∫ (19.7)
en
( | )
( )( | )
golf
golf
G H h kJ k
G H h k
>=
> (19.8)
waarna (19.6) ook geschreven kan worden als
( ) ( )1 2
1 2[ , ]: ( , ) [ , ]
( )[ , ] | | ( , )b et t t t k q q
J kF q q k dt P H h t kb α
α∈ ∈
= >∫ (19.9)
De bijdrage aan F(h) geleverd door afvoeren in het interval [q1,q2], volgt door deze grootheid te
vermenigvuldigen met de frequentiedichtheid ψ(k) en vervolgens k uit te integreren:
( ) ( )1 2 1 20
[ , ] ( ) [ , ] |F q q dk k F q q kψ∞
= ∫ (19.10)
Tot zover de uitsplitsing naar de afvoer. Om de uitsplitsing naar alle stochasten te krijgen wordt
eerst (19.9) herschreven. Met (18.9) volgt
( )
1 2
1 2
16
, 1[ , ]: ( , ) [ , ] : ( ( , ), , , , )
[ , ] |
( ) ( , , , | ( , ))O Db e
rt t t t k q q u H t k m u r h
F q q k
J k dt dm du g m u r t kb ω ω ωα α ω
ω α∞
= =∈ ∈ −∞ ≥
=
∑ ∑∫ ∫ ∫ (19.11)
Deze vorm maakt duidelijk dat de uitsplitsing naar alle stochasten, conditioneel op k, genomen
kan worden als
( )2
1 2 1 1 2
1 2 1 2 1 2
[ , ]: ( , ) [ , ] [ , ]: ( ( , ), , , , )
[ , ],[ , ],[ , ], , |
( ) ( , , , | ( , ))b e
m
t t t t k q q m u u u H t k m u r h
F q q m m u u r k
J k dt dm du g m u r t kb α α ω
ω
ω α∈ ∈ ∈ ≥
=
∫ ∫ ∫ (19.12)
Analoog aan (19.10) volgt nu voor de uitsplitsingen, onconditioneel op k,
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 20
[ , ],[ , ],[ , ], , ( ) [ , ],[ , ],[ , ], , |F q q m m u u r dk k F q q m m u u r kω ψ ω∞
= ∫ (19.13)
Het is eenvoudig te verifiëren dat, met q0=0, m0=0 en u0=0,26
( )16
0 0 01 ,
[ , ],[ , ],[ , ], , ( )O Dr
F q m u r F hω ω ω
ω= =
∞ ∞ ∞ =∑ ∑ (19.14)
wat inhoudt dat het “totaal van de uitsplitsingen” de overschrijdingsfrequentie oplevert, wat
natuurlijk het geval moet zijn.
26 De laagste zeewaterstand die kan voorkomen in Hydra-B is iets hoger dan 0.7 m+NAP, zodat voor m0 ook 0.7 genomen
zou kunnen worden. Gemakshalve wordt in de formules als integratiegrens echter 0 als laagste zeewaterstand genomen.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
182 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
Voor de duidelijkheid nog het volgende. In deze formule wordt geen onderscheid gemaakt
tussen de oostelijke en westelijke richtingen, wat mogelijk is door definitie (18.8). Voor de
oostelijke richtingen r = 1 t/m 9 is echter geen “reële” uitsplitsing mogelijk naar keringtoestand
en zeewaterstand. Voor de oostelijke richtingen is immers altijd sprake van geopende keringen:
uit (19.12) en (19.13) volgt voor r = 1 t/m 9, met behulp van (18.8), dat voor ω = ωD het
linkerlid van (19.13) gelijk aan 0 wordt. Ook de zeewaterstand speelt geen werkelijke rol voor
deze richtingen: in de Sobekberekeningen is dan altijd sprake van springtij, terwijl in de
probabilistische formules uit Hydra-B de zeewaterstand dan niet voorkomt. Formeel volgt uit
(19.13) dat F([q1,q2],[m1,m2],[u1,u2],r, ω=ωO) = 0 als mST niet bevat is in het interval [m1,m2],
terwijl als mST wel bevat is in dit interval volgt F([q1,q2],[m1,m2],[u1,u2],r, ω=ωO) =
F([q1,q2],[u1,u2],r, ω=ωO). Voor de oostelijke richtingen kan de situatie als volgt worden
samengevat: er is geen zinvolle uitsplitsing naar m mogelijk, alleen F([q1,q2],[u1,u2],r) kan
zinvol worden berekend, waarbij zich altijd de open keringtoestand voordoet.
Deeluitsplitsingen kunnen verkregen worden door de grootheden waarnaar niet wordt
uitgesplitst te “aggregeren” als in Tabel 19-1.
aggregeren van berekening uit F([q1,q2],[m1,m2],[u1,u2],r,ω) door:
1 afvoer neem [q1,q2] = [q0, ∞)
2 zeewaterstand neem [m1,m2] = [m0, ∞)
3 windsnelheid neem [u1,u2] = [u0, ∞)
4 windrichting sommeer over r = 1 t/m 16
5 keringtoestand sommeer over ω = 0, 1
Tabel 19-1: Aggregatiehandelingen voor de diverse grootheden, waarbij q0=0, m0=0 en u0=0.
Neem als voorbeeld de uitsplitsing naar u en r. Die wordt verkregen als
( )1 2 0 0 1 2,
([ , ], ) [ , ),[ , ),[ , ], ,O D
F u u r F q m u u rω ω ω
ω=
= ∞ ∞∑ (19.15)
19.3 Alternatieve formule voor de uitsplitsingen
De basisformules voor de uitsplitsingen worden gegeven door (19.12) en (19.13). In de eerste
formule komt een integratie over de tijd voor. Het blijkt mogelijk, net als in Hydra-VIJ (zie
paragraaf 13.6), de tijdintegratie te vervangen door een integratie over q, m en u. De dan
verkregen “alternatieve” formules zijn ten eerste eenvoudiger en ten tweede geschikter om te
implementeren dan de eerdere versies.27 Hier volgt een alternatieve formule voor (19.13). Het
bewijs daarvan is analoog aan dat voor Hydra-VIJ (zie Bijlage B) en wordt hier niet gegeven.
Eigenlijk is het bewijs voor Hydra-B simpeler, omdat in Hydra-B slechts één trage stochast
voorkomt (de afvoer), terwijl dat er in Hydra-VIJ twee zijn (afvoer en meerpeil); juist die trage
stochasten maken het bewijs gecompliceerd.28
27In het huidige Hydra-B zijn alleen de uitsplitsingen naar afvoer, windrichting en keringtoestand geïmplementeerd, op
basis van de formules uit paragraaf 19.2 (met een integratie over de tijd). Als ook uitsplitsingen naar wind en zeewaterstand geïmplementeerd worden, vormen de formules uit de voorliggende paragraaf echter een veel beter uitgangspunt.
28[Geerse, 2005] geeft een alternatief bewijs voor de formule uit Hydra-B, dat anders van opzet is, en eenvoudiger, dan dat uit Bijlage B. Dat andere bewijs is echter niet te generaliseren naar twee trage stochasten, wat wel nodig is voor Hydra-VIJ. Vandaar dat een nieuw bewijs nodig was voor Hydra-VIJ, dat ook van toepassing is op Hydra-B.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 183
Nu volgt de alternatieve formule voor de uitsplitsingen. We brengen in herinnering dat L(q,k) de
overschrijdingsduur in uren weergeeft van niveau q, binnen de golf met piekwaarde k. Definieer
dan de niet-negatieve grootheid
1( ) ( ) ( ) ( , ) 0
q
v q dk k J k L q kb q
ψ∞∂
= − ≥∂ ∫ (19.16)
en het faalgebied G door
( ) ( , , , , ) | , , , ,G q m u r H q m u r hω ω= ≥ (19.17)
De karakteristieke functie van G wordt aangegeven met χG(q,m,u,r,ω): deze is 1 voor punten
(q,m,u,r,ω) in G, en 0 voor punten daarbuiten. De uitsplitsing uit (19.13) blijkt nu eveneens te
In de Rosenblatt-transformatie worden q, m en u getransformeerd naar onafhankelijke,
standaardnormale verdelingen. In Hydra-B gebeurt dat volgens:
( )( )
( )
1
1
1
( , , ) ( | , )
( , , , ) ( | , , )
( , , , , ) ( | , , , )
x x q r P Q q r
y y q m r P M m q r
z z q m u r P U u q m r
ω ω
ω ω
ω ω
−
−
−
= = Φ <
= = Φ <
= = Φ <
(20.2)
Hierin is Φ-1 de inverse van de cumulatieve standaardnormale verdelingsfuntie Φ. De variabelen
x, y en z blijken nu onafhankelijke, standaardnormaal verdeelde variabelen te zijn. Onder de
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 189
transformatie wordt het isovlak meegetransformeerd, wat een (gekromd) oppervlak oplevert in
de (x,y,z)-ruimte. Voor de duidelijkheid: de onderschrijdingskansen in het rechterlid van (20.2)
worden bepaald door gebruik te maken van g(q,m,u,r,ω).
De procedure om in Hydra-B het IP bij gegeven combinatie (r,ω) te bepalen, behorend bij de
berekening van F(h), is als volgt:
1. Bepaal het isovlak bestaande uit de punten (q,m,u) waarvoor H(q,m,u,r,ω) = h.
2. Transformeer de variabelen q, m en u naar onafhankelijke standaardnormale variabelen x, y
en z volgens (20.2). Onder deze transformatie gaat het isovlak van niveau h in de (q,m,u)-
ruimte over in een getransformeerd isovlak in de (x,y,z)-ruimte.
3. Zoek op het getransformeerde isovlak het punt (xIP, yIP, zIP) met de kleinste afstand tot de
oorsprong; dat is namelijk het punt waarvoor de getransformeerde kansdichtheid zijn
maximum aanneemt.
4. Transformeer het punt (xIP, yIP, zIP) met de inverse van de Rosenblatt-transformatie terug
naar het punt (qIP, mIP, uIP) dat ligt op het oorspronkelijke isovlak, welk punt dan het
gezochte illustratiepunt vormt.
Berekeningstechnisch blijkt overigens dat stap 4, de terugtransformatie, niet geïmplementeerd
hoeft te worden om het IP te bepalen, zie de systeemdocumentatie [Duits, 2004b], maar
wiskundig verloopt de berekening volgens de stappen 1 t/m 4.
Deel 4
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 193
21 Hydra-Zoet
Dit hoofdstuk gaat over een nieuw probabilistisch model voor de zoete watersystemen,
Hydra-Zoet genaamd, dat de bestaande modellen Hydra-VIJ, Hydra-B, Hydra-M en Hydra-R kan
vervangen. Daarbij wordt de deterministische aanpak uit Hydra-R vervangen door een
probabilistische aanpak.29 Dit nieuwe model wordt op dit moment geïmplementeerd, en wordt
binnenkort opgeleverd. Een eerste conceptversie van het voorliggende rapport heeft als leidraad
voor de implementatie gediend.
Dit hoofdstuk behandelt diverse aspecten van Hydra-Zoet. Eerst worden de ideeën achter
Hydra-Zoet behandeld, waarbij ook de voordelen van het nieuwe model worden aangegeven.
Daarna wordt per watersysteem ingegaan op relevante formules en gegevens.
21.1 Uniformering Hydra-modellen voor de zoete watersystemen
Hiervoor zijn de modellen Hydra-VIJ en Hydra-B behandeld. Het blijkt mogelijk beide modellen
uniformer op te zetten dan nu het geval is, waarbij Hydra-B losjes gezegd op dezelfde leest
wordt geschoeid als Hydra-VIJ. Daartoe wordt de modellering van de trage stochast afvoer, nu
in Hydra-B door middel van standaardafvoergolven, vervangen door een modellering met
trapezia. Aldus wordt Hydra-B geherformuleerd als een “Hydra-VIJ-achtig” model. Verder blijkt
dat Hydra-M (gebruikt voor IJssel- en Markermeer) en Hydra-R (gebruikt voor de bovenrivieren)
eveneens als Hydra-VIJ-achtig model geherformuleerd kunnen worden. Op deze manier kunnen
de vier zoete watersystemen op een uniforme manier worden beschreven met één nieuw model,
Hydra-Zoet genaamd, dat dus geënt is op Hydra-VIJ. Het kenmerk van Hydra-Zoet is dat de
trage stochasten afvoer en meerpeil worden gemodelleerd met trapezia als in Hydra-VIJ. De
snelle stochasten (zeewaterstand, windsnelheid en windrichting) dienen per watersysteem wel
anders geïmplementeerd te worden. Ook de modellering van de keringen (Ramspolkering voor
de Vecht- en IJsseldelta en de Europoortkering voor de benedenrivieren) dient per watersys-
teem anders te gebeuren.
Het vervangen van de modellen Hydra-VIJ, Hydra-B, Hydra-M en Hydra-R door één nieuw
model Hydra-Zoet heeft diverse voordelen:
1. Voor beheer en onderhoud is het een groot voordeel om één model te hebben in plaats van
vier verschillende zoete Hydra’s: diverse modules kunnen gemeenschappelijk gebruikt
worden.
2. De tijdsmodellering in Hydra-Zoet waarbij voor elk watersysteem de (relevante) trage
stochasten met trapezia worden geschematiseerd in plaats van met standaardgolven levert
een eleganter en uniformer model, waarbij de invoer eenvoudiger wordt. Waar bijvoorbeeld
in Hydra-B de standaardafvoergolven als complete tijdreeksen worden ingevoerd, kunnen
trapezia met slechts enkele parameters gekarakteriseerd worden.
29 In Hydra-Zoet is naast een probabilistische versie voor de bovenrivieren ook de deterministische aanpak uit Hydra-R
ingebouwd, zodat voor de bovenrivieren naar keuze probabilistisch of deterministisch kan worden gerekend.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
194 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
3. De uitvoer van berekeningen voor de betreffende watersystemen wordt uniform, en analoog
aan de huidige Hydra-VIJ uitvoer: illustratiepunten worden analoog aan die uit Hydra-VIJ30
en uitsplitsingen worden mogelijk naar de trage stochasten en naar de windsnelheid, wind-
richting, keringtoestand en, voor de benedenrivieren, de zeewaterstand.
4. Hydra-Zoet zal, analoog aan wat nu het geval is voor Hydra-VIJ, zo worden opgezet dat
bepaalde gevoeligheidsanalyses veel eenvoudiger kunnen worden uitgevoerd dan nu het
geval is in Hydra-B en Hydra-M. Bijvoorbeeld klimaatscenario’s met andere statistiek voor
wind, meerpeil, afvoer en zeewaterstand kunnen dan eenvoudiger worden doorgerekend.
De ideeën achter Hydra-Zoet zijn al enkele jaren oud. Er zelfs al een prototype gebouwd, dat
bevredigende resultaten geeft (zie [Duits, 2006]), op basis waarvan een rapport is geschreven
met technische adviezen voor de bouw van een definitief Hydra-Zoet, zie [Duits en Hoekstra,
2006]. In het vervolg van dit hoofdstuk worden, aanvullend op de genoemde referenties en
gedeeltelijk overlappend daarmee, aspecten en formules van Hydra-Zoet per watersysteem
toegelicht.
21.2 Hydra-Zoet voor het IJssel- en Markermeer
De Hydraulische randvoorwaarden voor het IJssel- en Markermeer worden op dit moment
bepaald met het probabilistisch model Hydra-M [Hydra-M, 1999]. Tot deze meren worden ook
een aantal kleinere meren gerekend (en de rivier de Eem):
• IJsselmeer, waartoe ook het Ketel- en het Vossemeer worden gerekend.
• Markermeer, waartoe ook IJburg, de Eem, het Gooi- en Eemmeer en het Nijkerkernauw
worden gerekend.
Als stochasten heeft Hydra-M:
• Het meerpeil M (ruimtelijk gemiddelde van de waterstand, afhankelijk van de locatie het
IJsselmeerpeil dan wel het Markermeerpeil).
• Windsnelheid U (statistiek van Schiphol).
• Windrichting R (statistiek van Schiphol). Beschouwd worden de 12 richtingssectoren
15°-45°, 45°-75°,..., 345°-15°, die kortweg worden aangeduid als 30°, 60°,..., 360°.
Omdat deze stochasten ook voorkomen in Hydra-VIJ (met nog de extra stochasten beheer-
toestand van de balgstuw en de IJssel of Vechtafvoer) kunnen behalve met Hydra-M de
genoemde meren ook worden door gerekend met Hydra-VIJ. De formules van Hydra-Zoet voor
deze meren zijn daarom gelijk aan die uit Hydra-VIJ.
Een voorwaarde om met Hydra-VIJ (of met het nog te bouwen Hydra-Zoet) deze meren door te
rekenen, is dat de juiste waterstandsdatabases en statistische gegevens beschikbaar zijn. Dat is
inmiddels het geval. Bovendien is reeds een versie van Hydra-VIJ gebouwd, zie [Duits, 2008d],
waarbij de uitvoer van het model passend voor de meren is gemaakt (afvoergegevens en
gegevens voor de balgstuw zijn uit de uitvoer verwijderd).
Deze versie is uitgebreid getest, waarbij ook een eerste vergelijking is gemaakt tussen Hydra-M
en Hydra-VIJ. Hierbij zijn vooral de toetspeilen vergeleken, en voor enkele locaties ook
30 Voor de meren geeft Hydra-M op dit moment ook illustratiepunten, die echter niet altijd betrouwbaar lijken. Zo wordt
voor het IJsselmeer voor zeer veel locaties een meerpeil van –0.35 m+NAP gevonden, terwijl Hydra-VIJ, indien toegepast op de meren zoals verderop besproken, veel meer variatie in de meerpeilen uit de illustratiepunten vindt. Die grotere variatie in meerpeilen lijkt veel plausibeler.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 195
benodigde kruinhoogtes. De verschillen blijken relatief beperkt, zij het niet verwaarloosbaar.
Belangrijkste reden voor de verschillen is niet de andere probabilistische rekenmethode (Van
der Made in Hydra-M versus de Hydra-VIJ methode), maar het feit dat de invoer van beide
Hydra’s verschilt. De twee belangrijkste verschillen zijn dat Hydra-M is gebaseerd op 12
windrichtingssectoren en Hydra-VIJ op 16 stuks, en dat de meerpeilstatistiek in beide modellen
verschilt.31 Gevoeligheidsanalyses suggereren dat als de invoer van beide modellen zoveel
mogelijk hetzelfde wordt gemaakt, de verschillen tussen beide modellen gering worden (minder
dan 0.05 á 0.1 m). Nadere gevoeligheidsanalyses, voor toetspeilen en benodigde kruinhoogtes,
zijn echter nodig om deze bewering te onderbouwen.
Bovenstaande maakt duidelijk dat het huidige Hydra-VIJ, met 16 richtingssectoren, op dit
moment al gebruikt kan worden voor de genoemde meren. Met betrekkelijk geringe
aanpassingen aan de code kan Hydra-VIJ ook gebruikt worden met 12 richtingssectoren.32 Na
deze aanpassing kan Hydra-VIJ deel gaan uitmaken van Hydra-Zoet. Het laatste model kan dan
gebruikt worden voor de Vecht- en IJsseldelta en de genoemde meren, waarbij de keuze
bestaat om voor de meren te rekenen met 12 of met 16 richtingssectoren.
21.3 Hydra-Zoet voor de benedenrivieren
21.3.1 Afvoer gemodelleerd met trapezia
Hydra-B bevat de afvoer als stochast; afhankelijk van de locatie is dat de Rijn- of de
Maasafvoer. De afvoer wordt in Hydra-B gemodelleerd met standaardafvoergolven (zie
paragraaf 17.1 en 17.2). De snelle stochasten in Hydra-B zijn de zeewaterstand, windsnelheid
en windrichting, die variëren op een tijdschaal van een getijperiode. De beheertoestand van de
Europoortkering is in Hydra-B eveneens geassocieerd met een getijperiode, zodat de stochast
keringtoestand ook als een snelle stochast kan worden beschouwd.
Het is eenvoudig om de Hydra-B formules om te zetten naar de opzet van Hydra-VIJ/Hydra-
Zoet. Daartoe dienen de nu in Hydra-B gebruikte standaardafvoergolven te worden vervangen
door trapeziumvormige golven. Het gaat dan, voor Lobith zowel als voor Lith, om het kiezen van
een geschikte basisduur B en topduur b(k). Ook dient de kansdichtheid f(k) van de piekafvoer,
die gerelateerd is aan de basisduur, te worden bepaald. Oriënterend onderzoek laat zien dat net
als in Hydra-VIJ een basisduur B van 30 dagen kan worden gekozen. De topduur b(k) en de
kansdichtheid f(k) van de piekafvoer blijken geschikt te kunnen worden gekozen, op zo’n
manier dat de (voorgeschreven) momentane overschrijdingskansen P(Q>q) voor relatief lage q
in zeer goede benadering worden gereproduceerd.33 Definitieve analyses voor het vaststellen
van de parameters moeten echter nog worden uitgevoerd.
21.3.2 Basisformules Hydra-B voor Hydra-Zoet
Nu worden de Hydra-B formules gegeven zoals deze in Hydra-Zoet geïmplementeerd moeten
worden. De standaardafvoergolven uit Hydra-B worden daarbij vervangen door trapezia met
basisduur B = 30 dagen. Op die manier passen er, net als voor Hydra-VIJ, 6 trapezia in het
31 De meerpeilstatistiek uit Hydra-M bevat fouten in de momentane kansen en de overschrijdingsduren. De recenter
afgeleide meerpeilstatistiek uit Hydra-VIJ bevat dergelijke fouten niet. Zie voor een toelichting [Geerse, 2006]. 32De formules om Hydra-VIJ met 12 richtingssectoren te gebruiken zijn volstrekt analoog aan die voor 16 sectoren, en
worden in dit rapport niet gegeven. 33 In [Geerse, 2002b; Duits, 2002] is reeds onderzocht of geschikte keuzes van B, b(k) en f(k) mogelijk zijn. Dat bleek in
redelijke benadering het geval te zijn voor B = 27 dagen. Inmiddels is duidelijk dat B = 30 dagen ook een zeer geschikte keuze is. Vanwege de uniformiteit heeft de keuze B = 30 dagen de voorkeur.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
196 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
winterhalfjaar. De (herziene) formules voor Hydra-B lijken sterk op die uit Hydra-VIJ uit
paragraaf 12.3, maar worden hier voor de volledigheid wel gegeven.
De overschrijdingsfrequentie F(h) wordt net als in Hydra-VIJ gegeven door (12.13):
( ) 6 ( ), keren/jaarBF h P H h= > (21.1)
waarin PB(H>h) de kans op falen gedurende basisduur B weergeeft. Die kans wordt, analoog
aan (12.14), gegeven door
( ) ( ) ( | )B BP H h dk f k P H h k> = >∫ (21.2)
waarin PB(H>h|k) de kans op falen gedurende basisduur B weergeeft, conditioneel op het
optreden van piekafvoer k. Deze conditionele kans kan worden berekend analoog aan (12.15).
De duur B wordt gediscretiseerd in tijdsintervallen met de duur van een getijperiode. Geef met
ntij(B) het aantal getijperioden in duur B aan, dan afgerond tot een geheel getal: voor B = 30
dagen volgt vrijwel exact ntij(B) = 58. Beschouw nu een gegeven piekwaarde k van het
afvoertrapezium en geef de gemiddelde afvoer in het j-de tijdsinterval aan met q(j), met de
kanttekening dat tenminste één van de blokken waar de piekwaarde in valt, de waarde k krijgt
toegekend. Bedenk dat, hoewel niet in de notatie tot uitdrukking gebracht, q(j) afhangt van k.
Omdat bij aanname in Hydra-B opeenvolgende getijperioden statistisch onafhankelijk zijn wat
de wind betreft, geldt dan
[ ]( )
( )
1
( | ) 1 kans dat in elke getijperiode
1 1 | ( )tij
Bn B
j
P H h k H h
P H h q j=
> = − <
= − − >∏ (21.3)
De kans P(H>h|q) wordt gegeven door formule (18.7), die hier opnieuw wordt weergegeven:
9
1 : ( , , , , )
16
10 : ( , , , , ) : ( , , , , )
( | ) ( , )
( , , , | ) ( , , , | )
ST O
O D
r u H q m u r h
O Dr u H q m u r h u H q m u r h
P H h q du g u r
dm du g m u r q du g m u r q
ω
ω ω
ω ω
= ≥
∞
= −∞ ≥ ≥
> =
+ +
∑ ∫
∑ ∫ ∫ ∫ (21.4)
Voor de gebruikte notatie wordt verwezen naar paragraaf 18.2.
21.3.3 Formules uitsplitsingen Hydra-B voor Hydra-Zoet
De formules voor de uitsplitsingen worden in de context van Hydra-Zoet iets anders. De nieuwe
formules verschillen echter weinig van de eerdere Hydra-B formules uit hoofdstuk 19. Ook lijken
ze sterk op de uitsplitsingsformules voor Hydra-VIJ uit hoofdstuk 13, maar dan met de trage
stochast meerpeil verwijderd en de snelle stochast zeewaterstand toegevoegd. Voor de
volledigheid worden de belangrijkste uitsplitsingsformules hieronder gegeven, maar zonder ze
opnieuw te motiveren. Wel wordt verwezen naar de overeenkomstige formules uit Hydra-VIJ.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 197
Voor de (nieuwe) uitsplitsingsformules is de continue versie van PB(H>h|k) nodig. Die luidt,
analoog aan (13.3),
[ ]( )0
1( | ) 1 exp ln 1 | ( , )B
BG H h k dt P H h t kb
α > = − − >
∫ (21.5)
Hierin is b de duur van een getijperiode, oftewel b = 12.42 uur. De tijd t wordt gerekend in
uren, evenals de basisduur, die gelijk is aan B = 30*24 = 720 uur. De grootheid α(t,k) geeft de
afvoer in m3/s als functie van t, binnen het trapezium met piekwaarde k. Definieer verder,
analoog aan (13.11) en (13.12), de grootheden
( ) ( )0
1| | ( , )B
BG H h k dt P H h t kb
α> = >∫ (21.6)
( )( | )
( )|
B
B
G H h kJ k
G H h k>
=>
(21.7)
Voor Hydra-VIJ en Hydra-B zijn respectievelijk in hoofdstuk 13 en 19 twee berekeningswijzen
voor de uitsplitsingen gegeven. Hier wordt slechts de versie gegeven die in paragraaf 13.6 en
19.3 werd aangeduid als de “alternatieve” versie. Definieer, analoog aan (13.34) en/of (19.16):
1( ) ( ) ( ) ( , ) 0
q
v q dk f k J k L q kb q
∞∂= − ≥
∂ ∫ (21.8)
waarbij L(q,k) de overschrijdingsduur in uren weergeeft van niveau q, binnen het trapezium met
piekwaarde k. De uitsplitsing van GB(H>h), gerelateerd aan de basisduur wordt, analoog aan
A q q m m u u r dq dm du v q g m u r q q m u rω ω χ ω= ∫ ∫ ∫ (21.9)
waarbij de conditionele kansdichtheid g(m,u,r,ω|q) dezelfde betekenis heeft als in paragraaf
19.2 en χG(q,m,u,r,ω) de karakteristieke functie van het faalgebied G weergeeft, zoals eveneens
beschreven in de genoemde paragraaf. Het uitintegreren van alle grootheden in (21.9)
resulteert in GB(H>h). De uitsplitsing van de overschrijdingsfrequentie F(h) volgt door (21.9) te
vermenigvuldigen met het aantal trapezia in een winterhalfjaar (6 stuks). Dus geldt
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2[ , ],[ , ],[ , ], , 6 [ , ],[ , ],[ , ], ,F q q m m u u r A q q m m u u rω ω= (21.10)
waarbij deeluitsplitsingen worden verkregen zoals aangegeven in Tabel 19-1.
21.3.4 Herformulering wind-waterstandstatistiek
In Hydra-B wordt voor de westelijke richtingen gebruik gemaakt van de kansdichtheidsfunctie
g(m,u,r), in welk verband wordt gesproken van de wind-waterstandstatistiek (zie paragraaf
17.3). De afleiding van g(m,u,r), gebaseerd op het zogenaamde Volkermodel, wordt gegeven in
[Geerse et al, 2002]. De details doen er hier niet toe, maar het volgende is wel van belang.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
198 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
In de afleiding van g(m,u,r) volgens het Volkermodel komen diverse parameters voor en
bepaalde transformaties Kr(u), voor r = ZW t/m N. Deze parameters en de Kr(u) zijn in de
genoemde referentie bepaald op basis van de statistische gegevens voor de wind en de
zeewaterstand: de windgegevens betreffen de richtingskansen g(r) en de conditionele
verdelingen g(u|r); de zeewaterstandgegevens betreffen de conditionele verdelingen g(m|r),
voor r = ZW t/m N. De g(r), g(u|r) en g(m|r) gelden voor de HR2001, en zijn voor de HR2006
ongewijzigd gebleven. Echter, bij een verandering van deze statistische gegevens, bijvoorbeeld
voor de HR2011 of voor het doorrekenen van klimaatscenario’s, dienen de parameters en
transformaties Kr(u) uit het Volkermodel opnieuw te worden berekend. Die berekening moet
buiten Hydra-B om gebeuren, wat bewerkelijk is en de kans op fouten vergroot.34 Bij het
implementeren van Hydra-Zoet verdient het aanbeveling om de berekening van deze
parameters en transformaties Kr(u) intern in Hydra-Zoet te laten gebeuren.
Daarnaast is het volgende relevant. Om in het Volkermodel parameters geschikt te kunnen
kiezen, blijkt het noodzakelijk de g(m|r) te benaderen door exponentiële verdelingen, die een
locatieparameter Ar en een schaalparameter Br hebben.35 Deze Ar en Br spelen een rol in het
Volkermodel. Inmiddels is bekend dat het Volkermodel nagenoeg equivalent is met (een
geschikte versie van) het correlatiemodel CS uit hoofdstuk 7, waarbij de parameters Ar en Br
niet langer nodig zijn. Model CS is wiskundig eleganter en helderder dan het Volkermodel,
waarbij benaderingen van de g(m|r) door exponentiële verdelingen niet meer nodig zijn. Op
grond van de inzichten uit [Geerse et al, 2002; Geerse, 2004a] is duidelijk dat het gebruik van
model CS tot vrijwel exact dezelfde resultaten voor g(m,u,r) zal leiden als het Volkermodel in
combinatie met exponentiële benaderingen, zodat de Hydra-B resultaten hierdoor vrijwel
ongewijzigd blijven.36 Terzijde: in Hydra-VIJ wordt eveneens model CS gebruikt, in dat geval
om de correlatie tussen afvoer en meerpeil te beschrijven.
Wanneer model CS wordt toegepast in de bepaling van de wind-waterstandstatistiek g(m,u,r),
kan worden volstaan met minder parameters: de volgens [Geerse et al, 2002] nu aanwezige
parameters ρr, Mr, Ar en Br worden dan vervangen door slechts één parameter σr, die een maat
is voor de sterkte van de correlatie voor richting r. Per richting r dient σr zo te worden bepaald
dat de sterkte van de correlatie dezelfde is als die in de wind-waterstandstatistiek uit de
HR2006.37
Op grond van het voorgaande wordt aanbevolen om in Hydra-Zoet model CS te gebruiken in
plaats van het Volkermodel. Bij toepassen van model CS moeten voor elke r = ZW t/m N
bepaalde transformaties worden bepaald, namelijk degenen uit (7.6). Deze kunnen
geautomatiseerd in Hydra-Zoet worden uitgerekend, net als op dit moment in Hydra-VIJ
gebeurt voor model CS. Het is echter ook mogelijk het Volkermodel te blijven gebruiken in
Hydra-Zoet, waarbij dan de bepaling van relevante parameters en de transformaties Kr(u) bij
voorkeur geautomatiseerd dienen te worden uitgevoerd.
34 Bij relatief eenvoudige veranderingen van de statistische gegevens kan beredeneerd worden hoe diverse parameters en
de Kr(u) veranderen. Zie bijvoorbeeld [Geerse, 2007b] voor de situatie waarin de zeewaterstanden met een vaste factor f worden vermenigvuldigd.
35 Deze benaderingen dienen alleen om parameters uit het Volkermodel geschikt te kunnen kiezen, maar de g(m|r) uit Hydra-B worden zeer zeker niet vervangen door deze exponentiële verdelingen.
36 In het geval dat de g(m|r) exponentiële verdelingen zijn, levert model CS exact dezelfde g(m,u,r) als volgens het Volkermodel, zoals aangetoond in hoofdstuk 8 van [Geerse, 2004a]. De g(m|r) uit het huidige Hydra-B zijn echter niet exact exponentieel, maar wel in goede benadering. De lichte afwijking van het exponentiële verband resulteert in een zeer geringe verandering van de correlatiesterkte, die op zijn beurt zeer weinig invloed heeft op de resultaten.
37 De parameter Mr is in het Volkermodel feitelijk redundant: door Kr(u) en ρr op geschikte wijze aan te passen, kan altijd Mr = 1 worden gekozen, zonder daarbij g(m,u,r) te wijzigen. Bij gebruik van model CS spelen daarnaast Ar en Br geen rol meer. Eigenlijk is het zo dat deze parameters uit het Volkermodel slechts marginaal van invloed zijn op de resultaten. De enige echt relevante parameter is ρr, die diect samenhangt met de sterkte van de correlatie. Bij de aanpak met transformaties is ρr te koppelen aan de standaarddeviatie σr uit model CS uit hoofdstuk 7.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 199
Wanneer de genoemde grootheden geautomatiseerd worden uitgerekend, kunnen
klimaatscenario’s veel eenvoudiger worden doorgerekend dan nu het geval is in Hydra-B. Voor
de duidelijkheid: in zo’n klimaatscenario moeten wel g(r), g(u|r) en g(m|r) voorhanden zijn;
verder moet worden aangenomen dat de correlatiesterktes, namelijk de parameters σr in model
CS en ρr in het Volkermodel, in het klimaatscenario ongewijzigd blijven. Wel kunnen de waardes
voor σr en ρr eenvoudig worden gevarieerd, zodat de invloed van andere correlatiesterktes op de
resultaten kan worden onderzocht.
21.3.5 Gemeenschappelijke tijdbasis in Hydra-Zoet
Op dit moment wordt in Hydra-VIJ als tijdbasis 12 uur gebruikt, terwijl in Hydra-B daarvoor een
getijperiode wordt genomen. De keuze van een getijperiode voor de benedenrivieren is
plausibel, omdat de zeewaterstand immers op deze tijdschaal fluctueert. Bekend is echter, zie
ook paragraaf 6.4, dat een iets andere keuze dan een getijperiode vrijwel geen enkele invloed
heeft op de Hydra-B resultaten. Vanwege uniformiteit is het aan te bevelen in Hydra-Zoet een
gemeenschappelijke tijdbasis te gebruiken, waarbij de keuze van 12 uur dan het meest voor de
hand ligt. Het afleiden van windstatistiek is namelijk alleen mogelijk voor een periode van een
geheel aantal uren (de basisgegevens voor de wind zijn immers uurgegevens). De wind-
statistiek voor Hydra-B is feitelijk afkomstig uit die van een 12-uurs statistiek die daarna
herschaald is naar een getijperiode. Bij een uniforme keuze voor 12 uur als tijdbasis is zo’n
herschaling niet meer nodig.
21.4 Hydra-Zoet voor de bovenrivieren
21.4.1 Algemeen
Voor de bovenrivieren worden de dijken in het kader van de HR2006 getoetst met het
computerprogramma Hydra-R. Dit programma rekent deterministisch, waarbij het toetspeil
wordt gecombineerd met ontwerpwindsnelheden. De verwachting is dat op termijn de toetsing
voor de bovenrivieren ook probabilistisch zal gaan gebeuren, wat dan een probabilistisch model
vereist. Qua opzet kan hiervoor Hydra-B zowel als Hydra-VIJ worden gekozen. Omdat Hydra-VIJ
de basis vormt voor Hydra-Zoet wanneer toegepast voor de meren, benedenrivieren en de
Vecht- en IJsseldelta, ligt het dan voor de hand om ook voor de bovenrivieren Hydra-VIJ als
uitgangspunt te nemen.
Voor de bovenrivieren zijn de stochasten meerpeil en beheertoestand van de Ramspolkering uit
Hydra-VIJ overbodig. Deze stochasten moeten voor dit watersysteem uit Hydra-Zoet worden
verwijderd. De windsnelheid en windrichting blijven onderdeel van Hydra-Zoet; desgewenst kan
echter statistiek van een ander windstation dan Schiphol worden gebruikt. De afvoeren van de
Rijn, Maas, Vecht en IJssel dienen als trapezia te worden gemodelleerd. Daarover gaan de
volgende paragrafen. Als voorbereiding hierop geven we eerst de precieze afbakening van de
bovenrivieren.
Onder de bovenrivieren worden in dit rapport de riviertakken verstaan die een normterug-
keertijd hebben van 1250 jaar of lager.38 De linker- en rechteroever van een riviertak kunnen
behoren bij verschillende normterugkeertijden. Volgens de HR2006 hebben de volgende
38 Het is niet altijd duidelijk welke riviertakken door verschillende mensen precies tot de bovenrivieren worden gerekend. In
dit rapport rekenen we alles tot de bovenrivieren dat een normterugkeertijd T = 1250 jaar heeft.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
200 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
riviertakken normterugkeertijd 1250 jaar. Wanneer in de opsomming twee kilometerraaien zijn
genoemd, betreft het eerste getal de linkeroever (gerekend ten opzichte van de
stroomafwaartse richting) en het tweede de rechteroever:39
1. Bovenstroomse deel Overijsselse Vecht, van km 52 t/m km 36 (verder landinwaarts geen
primaire keringen meer).
2. Bovenstrooms van IJssel km 972/km 981.
3. Bovenstrooms van Lek km 943/km 949.
4. Bovenstrooms van Waal km 951/Boven Merwede km 955.
5. Bovenstrooms van Bergsche Maas km 235/km 228; hieronder vallen ook de dijkringen 54
t/m 95 langs de Limburgse Maas, met normterugkeertijden 250 jaar.
Nu volgen voor deze trajecten opmerkingen over de voor Hydra-Zoet benodigde
afvoerstatistiek. Op implementatietechnische zaken wordt niet ingegaan; ook de benodigde
waterstandsdatabases (met Waqua- of Sobekberekeningen) blijven buiten beschouwing.
Dergelijke zaken vallen buiten de scope van dit rapport.
21.4.2 Bovenstroomse deel Overijsselse Vecht, van km 52 t/m km 36
Dit traject kan nu al met Hydra-VIJ, en straks dus met Hydra-Zoet, doorgerekend worden. De
(afvoer)statistiek voor Dalfsen wordt namelijk representatief geacht voor het hele traject km 52
t/m km 36. De overige stochasten kunnen ongewijzigd aanwezig blijven in Hydra-VIJ/Hydra-
Zoet.
21.4.3 Bovenstroomse delen van IJssel, Lek en Waal
De bovenstroomse delen van IJssel, Lek en Waal betreffen de trajecten:
• IJssel km 972/km 981.
• Lek km 943/km 949.
• Waal km 951/Boven Merwede km 955.
Om deze trajecten met Hydra-Zoet door te rekenen is afvoerstatistiek van Lobith nodig. Dat
betekent dat voor deze locatie trapeziumvormige afvoergolven moeten worden bepaald, met
een constante basisduur B en een topduur b(k) en kansdichtheid f(k) die afhankelijk zijn van de
piekwaarde k. Zoals in paragraaf 21.3.1 opgemerkt zijn geschikte keuzes mogelijk voor
basisduur B = 30 dagen.
21.4.4 Bovenstrooms van Bergsche Maas km 235/km 228.
Voor dit traject is statistiek van Borgharen nodig. Daarvoor moeten trapezia worden bepaald
met een constante basisduur B, en een topduur b(k) en kansdichtheid f(k) die afhankelijk zijn
van de piekwaarde k, op zo’n manier dat het hogere deel van de standaardafvoergolven op een
goede manier door de trapezia worden weergegeven. Ook moeten de momentane overschrij-
dingskansen P(Q>q) voor relatief lage q in goede benadering worden gereproduceerd.
Oriënterend onderzoek laat zien dat geschikte keuzes mogelijk zijn, maar alleen met een veel
kortere basisduur dan hiervoor. Voor Borgharen lijkt een keuze van circa 15 dagen het meest
geschikt. Definieve analyses moeten echter nog gedaan worden.
39 Omwille van het overzicht is een enkel klein riviertakje weggelaten.
Deel 5
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 203
Bijlage A Formules voor kansen en frequenties
In dit, en andere rapporten waarin statistische modellen worden beschreven, wordt gebruik
gemaakt van diverse verbanden tussen kansen, overschrijdingsfrequenties en
overschrijdingsduren. Het doel van deze bijlage is om een aantal van deze formules netjes op
een rij te zetten, zodat elders in dit rapport daarnaar verwezen kan worden. De formules zijn
geformuleerd voor continue stochasten, waarin de uitkomst van de stochast dus een willekeurig
reëel getal kan zijn. De formules hebben ook een analogon voor de veelal eenvoudigere situatie
van discrete stochasten, maar de formuleringen daarvoor zijn hier achterwege gelaten en
worden aan de lezer zelf overgelaten.
Bijlage A.1 Setting en gebruikte notatie
Beschouw een willekeurige continue stochast Xt die een functie is van de tijd t. Deze X stelt
bijvoorbeeld een belasting, windsnelheid of rivierafvoer voor. Hier wordt om concreet te zijn als
tijdbasis een dag gekozen: er worden dus dagwaarden beschouwd. De formules in dit hoofdstuk
gelden echter voor een willekeurige tijdbasis, zoals bijvoorbeeld uurwaarden of 12-
uurswaarden. In dit hoofdstuk worden alleen continue stochasten beschouwd, die een “nette”
kansdichtheid bezitten. Als gevolg daarvan is de uitkomst op een “geïsoleerde” uitkomst a gelijk
aan 0, dus P(Xt = a) = 0.
We zullen de gebruikte notatie uiteenzetten. Beschouw de (continue) stochast Xt op de dag-
tijdstippen t = 1, 2, 3,.... Er worden in dit rapport voornamelijk stationaire stochasten
beschouwd, wat inhoudt dat de kansverdeling van Xt op ieder moment dezelfde is (meer in het
bijzonder geldt eveneens dat de verdeling van Xt, Xt+1,.., Xt+n niet van n afhangt). Af en toe
worden ook (meer algemene) niet-stationaire stochasten beschouwd, maar tenzij expliciet
anders wordt vermeld, zijn de beschouwde stochasten altijd stationair. Het gedrag van een
stationaire grootheid blijft zoals gezegd gelijk in de tijd: als Xt bijvoorbeeld een afvoer betreft,
dan wordt dus aangenomen dat gedurende het winterhalfjaar (oktober t/m maart) de
afvoerverdeling niet verandert. Omdat op elk tijdstip de kansverdeling van Xt dezelfde is, mogen
we voor de kans P(Xt > x) dat Xt op moment t niveau x overschrijdt evengoed schrijven
P(X > x); het preciese tijdstip speelt immers geen rol voor de kans.
Een kans van het hier beschouwde type wordt aangeduid als een momentane kans. Een
dergelijke kans zegt iets over de kans op een bepaald tijdstip t. Daarentegen is een kans in de
trant van “de kans dat gedurende een maand de afvoer minimaal één maal het niveau 6000
m3/s overschrijdt” geen momentane kans, omdat deze kans betrekking heeft op een periode in
plaats van op een tijdstip.
Nu volgt de definitie van het begrip top, ook aangeduid als piek. De uitkomsten van de
stochasten Xt, t = 1, 2, 3, ... hebben een bepaald tijdsverloop. Men spreekt dan van een top, of
piek, wanneer gedurende enige tijd een gegeven niveau wordt overschreden. De top begint dus
op het moment dat de betreffende stochast het gegeven niveau overschrijdt en eindigt op het
moment dat de stochast weer onder dat niveau komt. Figuur A-1 geeft een voorbeeld voor het
geval dat Xt een afvoer voorstelt in een periode van 20 dagen; daarin zijn drie toppen te zien
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
204 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
die het niveau x = 10000 m3/s overschrijden. Zogenaamde “halve” toppen aan het begin of eind
van de waarnemingsperiode worden eveneens als een top beschouwd: zo vormen bijvoorbeeld
de eerste twee dagen in Figuur A-1 in de gebruikte terminologie eveneens een top.
In toepassingen wordt bij het onderscheiden van toppen vaak een zichtduur gehanteerd,
waarbij een “volgende top” die binnen de zichtduur valt niet wordt meegeteld als top, zie
bijvoorbeeld de manier van selectie in paragraaf 11.2.1. In deze bijlage wordt een zichtduur
achterwege gelaten.
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
0 5 10 15 20
tijd t [dagen]
daga
fvoe
r x [m
3/s]
Figuur A-1: Drie afvoertoppen die het niveau x = 10000 m3/s overschrijden, in een periode van 20 dagen
(zonder gebruik van een zichtduur).
Stochasten worden vaak aangeduid met hoofdletters, terwijl uitkomsten daarvan worden
aangeduid met de overeenkomstige kleine letter. (N.B.: niet iédere hoofdletter stelt een
stochast voor.) Hier volgt een overzicht van de belangrijkste in dit hoofdstuk gebruikte
grootheden. Waar in het vervolg over een jaarmaximum wordt gesproken, heeft het betreffende
jaar 365 dagen. In toepassingen wordt veelal aangenomen dat bedreigingen in de
zomermaanden (april t/m september) verwaarloosbaar zijn, zodat men zich mag beperken tot
het winterhalfjaar (oktober t/m maart), in welk geval sprake is van 182 dagen.40 In het laatste
geval dient het maximum in de formules te worden beperkt tot dagen in het winterhalfjaar.
N Het aantal dagen per jaar. dagen/jaar
Xt De continue stochast Xt, gegeven op de dagtijdstippen t = 1, 2,
3,.... Aangenomen wordt dat Xt een “nette” kansdichtheids-
functie heeft, zodat geldt P(Xt < x) = P(Xt ≤ x).
afhankelijk
van toepas-
sing
Xjaar Het jaarmaximum van de stochast Xt, dus:
Xjaar = maxX1, X2, ..., XN.
afhankelijk
van toepas-
sing
P(X > x) De momentane kans dat X het niveau x overschrijdt. [-]
P(Xjaar > x) De kans dat Xjaar het niveau x overschrijdt. Deze kans is gelijk
aan de kans dat in een jaar tijd tenminste één maal het niveau x
door X wordt overschreden.
[-]
F(x) Het gemiddeld aantal toppen per jaar van overschrijdingsniveau
x dat door X wordt overschreden.
1/jaar
40 Soms wordt een winterhalfjaar van 180 dagen beschouwd.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 205
F (x|≥1) Het gemiddeld aantal toppen per jaar van overschrijdingsniveau
x dat door X wordt overschreden, gegeven dat in het
beschouwde jaar tenminste één top voorkomt.
1/jaar
D(x) Het gemiddeld aantal dagen per jaar dat X het niveau x
overschrijdt. Deze overschrijdingen kunnen verdeeld zijn over
meerdere toppen; ze hoeven dus niet aansluitend in de tijd voor
te komen.
dagen/jaar
d(x) De gemiddelde overschrijdingsduur van een top die niveau x
overschrijdt.
dagen
Bijlage A.2 Elementaire formules
Zojuist zijn diverse kansen en overschrijdingsfrequentie ingevoerd. Hier volgen een aantal
elementaire formules daarvoor (voor het geval dat Xt stationair is).
Voorafgaand aan deze formules de volgende opmerking. In deze bijlage, en zeer incidenteel
elders in dit rapport, komen formules voor die schijnbaar dimensioneel incorrect zijn. Er wordt
bijvoorbeeld een gelijkheid gegeven met in het linkerlid een kans (dimensieloos), terwijl in het
rechterlid een frequentie staat (dimensie 1/jaar). Om dimensioneel correcte formules te
verkrijgen zou een constante C moeten worden ingevoerd met dimensie 1/jaar, die numeriek
gelijk is aan de waarde 1. Het invoeren van deze constante wordt achterwege, ten koste van
het presenteren van (ogenschijnlijk) dimensioneel incorrecte formules.
De eerste elementaire formule stelt dat het gemiddelde aantal overschrijdingsdagen per jaar
gelijk is aan het aantal overschrijdingstoppen per jaar maal de gemiddelde duur van een
overschrijdingstop:
( ) ( ) ( ), dagen/jaarD x F x d x= (A.1)
Deze formule volgt direct uit de definities van de onderdelen hieruit, en behoeft derhalve geen
bewijs. De volgende formule stelt dat de momentane kans P(X>x) gelijk is aan het gemiddeld
aantal dagen per jaar dat x wordt overschreden gedeeld door het totaal aantal dagen per jaar:
( )( ) , [-]D xP X xN
> = (A.2)
Dit resultaat is zeer plausibel: in feite staat hier dat de momentane kans dat x wordt
overschreden, dus de kans dat op een gegeven moment x wordt overschreden, gelijk is aan de
fractie van de tijd dat x wordt overschreden. Een precies bewijs volgt verderop in deze bijlage.
Formules (A.1) en (A.2) impliceren het volgende verband tussen overschrijdingsfrequentie en
kans:
( )( ) , 1/jaar
( )NP X xF x
d x>
= (A.3)
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
206 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
Bijlage A.3 Jaarmaximum en overschrijdingsfrequentie
In toepassingen wordt in het geval van een voldoend kleine overschrijdingsfrequentie F(x) deze
vaak benaderd door de kans P(Xjaar > x), dat tenminste één maal in een jaar tijd het niveau x
wordt overschreden. De standaard afleiding hiervoor gaat er van uit dat het optreden van de
toppen wordt beschreven door een Poissonproces, met Poissonparameter F(x), gerelateerd aan
een periode van een jaar. De kans dat P(Xjaar < x), oftewel de kans dat geen enkele
overschrijdingstop van niveau x optreedt, wordt dan gegeven door exp(-F(x)), zodat volgt
( )( ) 1 F xjaarP X x e−> = − (A.4)
Omdat voor kleine y geldt dat 1-exp(-y) ≅ y, volgt hieruit dat voor kleine waarden van F(x) de
jaarkans in benadering gelijk is aan de overschrijdingsfrequentie:41
( ) ( ), voor ( ) 0jaarP X x F x F x> ≅ ≅ (A.5)
In de praktijk wordt vaak gesteld dat deze benadering bruikbaar is als F(x) < 0.10, in welk geval
de relatieve fout kleiner is dan 5%.
Formule (A.4) geldt exact onder de aanname dat het aantal toppen per jaar een Poisson-
verdeling volgt. Er bestaat echter een verband tussen de jaarkans en de overschrijdings-
frequentie dat geldig is zonder de aanname van een Poissonverdeling, en zonder dat Xt
stationair hoeft te zijn. Dat verband luidt:
( )( ) ( )
( | 1)jaarF xP X x F x
F x> = ≤
≥ (A.6)
Hierin geeft F(x|≥1), met dimensie 1/jaar, het gemiddeld aantal toppen per jaar van
overschrijdingsniveau x dat door X wordt overschreden, gegeven dat in het beschouwde jaar
sowieso al tenminste één top voorkomt. Dat F(x) een bovengrens vormt voor de kans is
duidelijk, omdat F(x|≥1) altijd minstens 1 is. Merk op dat in de eerste twee leden van (A.6) een
dimensieloos getal staat, terwijl het laatste lid schijnbaar de dimensie 1/jaar heeft. In het
laatste lid wordt echter in feite gedeeld door het getal 1 met dimensie 1/jaar, zodat ook het
rechterlid dimensieloos is.
jaar
aantal toppen groter dan x0
1 0
2 3
3 0
4 0
5 2
6 0
7 0
8 0
9 0
10 3
totaal 10 jaren totaal 8 toppen
Tabel A-1: Voorbeeld als toelichting op verband tussen jaarkans en overschrijdingsfrequentie.
41 De F(x) in de exponent van (A.4) is een dimensieloos getal, omdat in de exponent in feite de F(x) vermenigvuldigd met
1 jaar voorkomt, zijnde het gemiddelde aantal toppen in één jaar tijd, met dimensie 1/jaar * jaar = 1.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 207
Formule (A.6) wordt volledig bewezen in Bijlage A.5, maar spreekt eigenlijk voor zich, zoals nu
met de getallen uit Tabel A-1 wordt gedemonstreerd. In dit voorbeeld worden in 10 jaar tijd 8
toppen geteld die een gegeven niveau x0 overschrijden, die verspreid zijn over (slechts) drie
jaren. De grootheid F(x0|≥1) moet worden berekend door alleen de drie jaren te beschouwen
waarin overschrijdingen voorkomen. Dan volgt
F(x0) = 8/10 = 0.8 toppen/ jaar
F(x0|≥1) = 8/3 = 2.67 toppen/ jaar
F(x0) / F(x0|≥1) = 0.8/2.67 = 0.3 [-]
Volgens formule (A.6) moet nu dus gelden P(Xjaar>x0) = 0.3. De betreffende kans kan ook
direct, dus zonder gebruik van (A.6), worden berekend: er zijn 3 jaren waarin het jaarmaximum
het niveau x0 overschrijdt, op een totaal van 10 jaren; dat levert eveneens een kans van 0.3
op. Formule (A.6) is dus zeer plausibel.
De benadering van de jaarkans door de overschrijdingsfrequentie blijkt te kunnen worden
gemaakt wanneer geldt dat F(x|≥1) ≅ 1. Dat zal zeker het geval zijn als (a) de kans op het
optreden van een top gedurende een jaar zeer klein is en (b) toppen (min of meer)
onafhankelijk van elkaar zijn. Merk op dat aan deze voorwaarden ook voor niet-stationaire
stochasten voldaan kan zijn. Dus ook in het geval dat de kansverdeling van X per seizoen
verschillend is, kan aan (a) en (b) voldaan zijn. De gebruikelijke benadering van de kans door
de frequentie kan derhalve soms ook voor niet-stationaire stochasten worden gemaakt.
Bijlage A.4 Overschrijdingsfrequentie berekend met de outcrossingsformule
Beschouw een stochast X die stationair is, in de zin dat iedere Xt, t = 1, 2, 3, ... dezelfde
kansverdeling heeft. Wanneer deze aanname van stationariteit gerechtvaardigd is, is het
plausibel om te veronderstellen dat de kansverdeling voor twee opeenvolgende dagen eveneens
steeds dezelfde is. Iets precieser, stel dat gt,t+1(xt, xt+1) de simultane kansdichtheid weergeeft
van Xt en Xt+1. Dan wordt aangenomen dat de functies gt,t+1(.,.) voor t = 1, 2, 3, ..., gelijk zijn
aan een vaste functie g(.,.).
Onder deze voorwaarden wordt de gemiddelde overschrijdingsfrequentie gegeven door de
outcrossingsformule, die wordt bewezen in Bijlage A.5:42
1 2( ) ( ) ( 1) ( , )F x P X x N P X x X x= > + − ≤ > (A.7)
Hierin stelt P(X1≤x, X2>x) de kans voor dat op dag t = 1 stochast X zich onder het gegeven
niveau x bevindt, terwijl X zich op dag t = 2 daarboven bevindt. Het is dus de kans dat op dag 1
een overschrijding begint. Deze kans is eveneens gelijk aan de kans dat op dag t een
overschrijding begint, vanwege de aanname dat de kansdichtheden gt,t+1(.,.) alle aan elkaar
gelijk zijn. Voor grote waarden van N, wat hier redelijkerwijs het geval is, is (A.7) ongeveer
gelijk aan F(x) ≅ N P(X1≤x, X2>x). Blijkbaar is het gemiddelde aantal overschrijdingen per jaar
gelijk aan het aantal dagen in een jaar, vermenigvuldigd met de kans dat op een gegeven dag
een overschrijding begint. Dat is een plausibel resultaat. De reden dat de relatie
F(x) ≅ N P(X1≤x, X2>x) niet exact geldt, is dat aan het begin en eind van de periode “halve
42 Voor de hier beschouwde stochast geldt P(X1 ≤ x, X2 > x) = P(X1 < x, X2 > x).
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
208 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
toppen” kunnen voorkomen. Deze halve toppen verhinderen als het ware dat de F(x) niet exact
door N P(X1≤x, X2>x) wordt gegeven.
Het rechterlid van formule (A.7) staat zoals gezegd bekend als de outcrossingsformule. Vaak
wordt het rechterlid alleen gebruikt als bovengrens voor de kans P(Xjaar>x), zie bijvoorbeeld
[Vrouwenvelder et al, 1997]. Het rechterlid is echter exact gelijk aan de frequentie F(x), die op
zijn beurt volgens (A.6) weer een bovengrens vormt voor de kans P(Xjaar>x).
De zojuist gegeven formule heeft een analogon in de situatie dat aan de stationariteit van X niet
is voldaan. Meer algemeen geldt
1
1 11
( ) ( ) ( , )N
t tt
F x P X x P X x X x−
+=
= > + ≤ >∑ (A.8)
Het is duidelijk dat deze formule ingeval van stationariteit reduceert tot (A.7).
Bijlage A.5 Diverse bewijzen
Hieronder volgen de bewijzen van de formules (A.2), (A.6) en (A.8), waarmee alle beweringen
(A.1) t/m (A.8) uit voldoende zijn bewezen. Bedenk daarbij het volgende. Formule (A.1) is in
feite de definitie van d(x), zodat geen bewijs nodig is. Formule (A.3) volgt meteen uit (A.1) en
(A.2). Formules (A.4) en (A.5) zijn reeds toegelicht, terwijl (A.7) een speciaal geval van (A.8)
vormt. De bewijzen van (A.2) en (A.8) zijn aan elkaar verwant, vandaar deze samen worden
beschouwd; daarna volgt het bewijs van (A.6). Eerst volgt wat algemene notatie.
We willen de (continue) stochasten X1, X2, ...., XN bestuderen in een zeer algemene formulering,
waarbij wordt aangenomen dat de stochasten worden beschreven door een simultane
kansdichtheid g(x1,x2,...,xN). Hierin is (x1,x2,...,xN) een mogelijke uitkomst, ook realisatie
genoemd, van de beschouwde stochasten; de verzameling van alle mogelijke punten
(x1,x2,...,xN) die als uitkomst kunnen optreden wordt de uitkomstenruimte Ω genoemd. (Hier is
Ω gelijk aan (-∞,∞)N of aan een deelverzameling daarvan.) De marginale verdeling van Xt wordt
aangegeven door gt(xt). De marginale verdeling van twee opeenvolgende stochasten Xt, Xt+1
wordt aangegeven door gt,t+1(xt,xt+1).
Beschouw nu een vaste waarde a (die een gegeven overschrijdingsniveau voorstelt) en definieer
voor elke t = 1, 2,..., N een functie χt op Ω door
1 2
1 als ( , ,..., )
0 anderszinst
t N
x ax x xχ
>=
(A.9)
Er zijn dus evenveel functies χt als er dagen in een jaar zijn, één voor elke dag in het jaar. De
functie χt kan slechts twee waarden aannemen. Ingeval deze waarde 1 is volgt dat op tijdstip t
(dag t) het niveau a wordt overschreden; ingeval deze waarde 0 is volgt dat op tijdstip t het
niveau a niet wordt overschreden. We zullen dat nader illustreren. Een gegeven realisatie
(x1,x2,...,xN) stelt een gegeven tijdsverloop voor van X over een heel jaar. Een voorbeeld
daarvan wordt gegeven in Figuur A-1, maar dan omwille van de uitleg voor een korter afvoer-
verloop voor t = 1, 2,..., 20. Beschouw nu de waarde a = 10000 m3/s. Dat niveau wordt in de
figuur 7 maal overschreden, namelijk op de tijdstippen t = 1, 2, 7, 8, 14, 15 en 16. Voor deze
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 209
tijdstippen nemen de functies χt (in de beschouwde realisatie) de waarde 1 aan; voor de overige
tijdstippen nemen ze de waarde 0 aan.
Voor elke t = 1, 2,..., N-1 definiëren we verder de functie χt,t+1 op Ω door
1, 1 1 2
1 als en ( , ,..., )
0 anderszins t t
t t N
x a x ax x xχ +
+
≤ >=
(A.10)
Voor elke dag in het jaar, met uitzondering van de laatste dag van het jaar, is er dus een
functie χt,t+1 gegeven. De interpretatie hiervan luidt: als χt,t+1 gelijk is aan 1, dan is tijdstip t het
begin van een overschrijding van niveau a. In Figuur A-1 is dat het geval voor t = 6 en t = 13.
Als χt,t+1 gelijk is aan 0, dan is duidelijk dat t niet het begin van een overschrijding vormt: in dat
geval liggen xt en xt+1 ofwel beiden boven niveau a, ofwel beiden onder niveau a, ofwel xt ligt
boven a en xt+1 ligt daaronder. Wil men het aantal toppen in een jaar tijd weten dat de realisatie
(x1,x2,...,xN) vertoont, dan hoeft alleen maar geteld te worden op hoeveel tijdstippen er een top
begint, afgezien dan van een eventuele halve top aan het begin van de periode. Men hoeft dus
alleen maar het aantal tijdstippen te weten waarvoor χt,t+1 gelijk is aan 1. Daarnaast dient een
eventuele halve top aan het begin apart te worden beschouwd.
Definieer nu twee stochasten Wa en Ya (functies op Ω) die respectievelijk het aantal
overschrijdingsdagen en het aantal overschrijdingstoppen van niveau a in de beschouwde
periode voorstellen. Dus
Wa = het totale aantal dagen in de beschouwde periode dat niveau a overschrijdt
Ya = het totale aantal toppen in de beschouwde periode dat niveau a overschrijdt
Aan de hand van bovenstaande uitleg is direct te verifiëren dat deze stochasten kunnen worden
geschreven als
1 2 1 21
( , ,..., ) ( , ,..., )N
a N t Nt
W x x x x x xχ=
= ∑ (A.11)
1
1 2 1 1 , 1 1 21
( , ,..., ) ( ) ( , ,..., )N
a N t t Nt
Y x x x x x x xχ χ−
+=
= + ∑ (A.12)
De grootheid D(a) uit (A.1) wordt dan gegeven door de verwachtingswaarde van Wa, aangeduid
als E(Wa), terwijl de overschrijdingsfrequentie F(a) wordt gegeven door de verwachtingswaarde
E(Ya).
Merk op dat χt(x1,x2,...,xN) in (A.11) uitsluitend afhangt van xt en niet van de overige
coördinaten. Daarom kunnen we χt ook beschouwen als zijnde een functie van alleen xt; deze
functie zullen we (hoewel formeel gezien een andere notatie dient te worden genomen)
eveneens aanduiden met χt(xt) De χt,t+1 in (A.12) hangt alleen af van xt en xt+1. Deze functie
van xt en xt+1 zullen we analoog aanduiden met χt,t+1(xt,xt+1).
Bewijs van (A.2)
Het bewijs van (A.2) verloopt als volgt. Zoals zojuist uiteengezet noemen we χt(xt) =
χt(x1,x2,...,xN). Met (A.11) volgt dan
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
210 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 21
1
1
1
( ) ( )
... ( , ,..., ) ( , ,..., )
... ( , ,..., ) ( , ,..., )
( ) ( )
( )
( )
a
N N a N
N
N N t Nt
N
t t t t ttN
t t tat
N
tt
D a E W
dx dx dx g x x x W x x x
dx dx dx g x x x x x x
dx g x x
dx g x
P X a
χ
χ
=
=
∞
=
=
=
=
=
=
=
= >
∫
∑∫
∑∫
∑∫
∑
(A.13)
Wanneer nu wordt aangenomen dat X stationair is, volgt D(a) = NP(X>a), waarmee (A.2) is
bewezen. Merk op dat (A.13) een algemener resultaat geeft dat ook bruikbaar is ingeval X niet
stationair is.
Bewijs van (A.8)
Uit (A.12) volgt
1 2 1 2 1 2
1
1 1 1 1 1 1 , 1 1 , 1 11
1 1 1 1 , 1 1
1 11
( ) ( )
... ( , ,..., ) Y ( , ,..., )
( ) ( ) ( , ) ( , )
( ) ( , )
( ) ( , )
a
N N a N
N
t t t t t t t t t tt
a
t t t t t taa
N
t tt
F a E Y
dx dx dx g x x x x x x
dx g x x dx dx g x x x x
dx g x dx dx g x x
P X a P X a X a
χ χ−
+ + + + +=
∞∞
+ + +−∞
−
+=
=
=
= +
= +
= > + ≤ >
∫
∑∫ ∫
∫ ∫ ∫1
∑
(A.14)
waarmee (A.8) is bewezen.
Bewijs van (A.6)
Het volgende deel van (A.6) dient te worden bewezen
( )( )
( 1)jaarF xP X > x
F x |=
≥ (A.15)
Er geldt, omdat het optreden van een top equivalent is met het overschrijden door Xjaar van x,
( ) ( 1)
( ) ( )( | 1) ( | 1)
jaar x
x
x x
P X x P Y
F x E YF x E Y Y
> = ≥
=≥ = ≥
(A.16)
Nu kan worden geschreven
( ) ( 0) ( | 0) ( 1) ( | 1)x x x x x x xE Y P Y = E Y Y P Y E Y Y= = + ≥ ≥ (A.17)
Het echter duidelijk dat onder de voorwaarde Yx = 0 de conditionele verwachting van Yx gelijk is
aan 0, zodat
( ) ( 1) ( | 1)x x x xE Y P Y E Y Y= ≥ ≥ (A.18)
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 211
waaruit met (A.16) blijkt dat (A.15) inderdaad het geval is.
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 213
Bijlage B Alternatieve formules uitsplitsingen Hydra-VIJ
Deze bijlage geeft het bewijs van (13.36). Beschouw eerst fase 0 tussen afvoer en meerpeil,
zodat het midden van de trapezia ligt bij B/2, en neem vooreerst aan q2 = ∞ en m2 = ∞. Neem
verder aan dat beide trapezia een stijgende voorflank en een dalende achterflank hebben
(stijgend betekent hier strikt stijgend en dalend betekent strikt dalend). In principe kunnen
trapezia een horizontaal topniveau hebben. Voor die trapezia wordt hier geen bewijs gegeven.
Door willekeurig kleine aanpassingen kan het horizontale topniveau (met midden ter plaatse van
B/2) echter worden vervangen door een stijgend deel tot B/2 en een dalend deel vanaf B/2.
Voor de praktijk levert zo’n (mimiem) aangepast topniveau dezelfde resultaten, terwijl
wiskundig is bereikt dat ieder niveau in de voorflank van een trapezium dan slechts door één
tijdstip wordt aangenomen, terwijl hetzelfde geldt voor de achterflank. Nadat het bewijs voor de
voorgaande situatie is gegeven, worden de gevallen van fase ongelijk 0 en algemene keuzes
voor q2 en m2 behandeld. In het onderstaande bewijs wordt bekendheid verondersteld met de
Dirac δ-functie.
Definieer de verzamelingen
( , ) [0, ] | ( , )
( , ) [0, ] | ( , )
A q k t B t k q
B m s t B t s m
α
β
= ∈ ≥
= ∈ ≥ (B.1)
Verder wordt top(q,k) gedefinieerd als het (unieke) tijdstip in de voorflank van het
afvoertrapezium met piekwaarde k waarvoor geldt dat op dit tijdstip de waarde q wordt
aangenomen. Er geldt dus α(top(q,k),k) = q. Voor de achterflank wordt een analoge definitie
gebruikt: tneer(q,k) is zodanig dat α(tneer(q,k),k) = q. Voor het meerpeiltrapezium worden
analoge difinities gebruikt: top(m,s) is zodanig dat β(top(m,s),s) = m, en tneer(m,s) is zodanig dat
β(tneer(m,s),s) = m.
Beschouw nu als voorbereiding op het eigenlijke bewijs, voor een willekeurige functie W(q,m),
de volgende integraal over de voorflank van 0 tot B/2:
( )
( )
( )
( ) ( )
1 1
1 1
1 1
1
1
[0, / 2] : ( , ) , ( , )
/ 2
( , ) ( , )0/ 2 / 2
( , ) ( , )0 0
( , )0
( , ), ( , )
( ) ( ) ( , ), ( , )
( ) ( ) ( ) ( , ), ( , )
( , )( , ) ( ) ( , ),
t B t k q t s m
B
A q k B m s
B B
A q k B m s
B s opop
A q km
dt W t k t s
dt t t W t k t s
dt d t t W t k s
t m sdt dm t t m s t W t k mm
α β
α β
χ χ α β
τ δ τ χ χ τ α β τ
δ χ α
∈ ≥ ≥
=
= −
∂= −
∂
∫
∫
∫ ∫
∫
( ) ( )1 1
/ 2
( , ) ( , )( , ) ( , ) ,k s op op
op op
q m
t m s t q kdq dm t q k t m s W q mm q
δ ∂ ∂= −
∂ ∂
∫
∫ ∫
(B.2)
waarbij in de laatste twee stappen respectievelijk de substituties β(τ,s) = m en α(t,k) = q zijn
gedaan. Voor het interval [B/2, B] kan een soortgelijke herschrijving worden gedaan. Voor het
hele interval [0, B] volgt dan
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
214 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
( )
( ) ( )
( )
1 1
1 1
[0, ]: ( , ) , ( , )
( , ), ( , )
( , ) ( , ), ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
t B t k q t s m
k s op opop op
q m
neer neerneer neer
dt W t k t s
t m s t q kdq dm W q m t q k t m sm q
t m s t q kt q k t m sm q
α β
α β
δ
δ
∈ ≥ ≥
∂ ∂= −
∂ ∂
∂ ∂+ −
∂ ∂
∫
∫ ∫ (B.3)
Definieer nu de hulpgrootheid AW door
( )
( )1 1 1 1
1 1
[0, ]: ( , ) , ( , )
[ , ],[ , ]
( , )( , ) ( , ), ( , )
W
q m t B t k q t s m
A q m
J k sdk ds f k s dt W t k t sb α β
α β∞ ∞
∈ ≥ ≥
∞ ∞
= ∫ ∫ ∫ (B.4)
Beschouw verder de specifieke functie W = Wuitspl gegeven door
2
1
( , ) ( , , | , ) ( , , , , )u
uitspl Gu
W q m du g u r q m q m u rω χ ω= ∫ (B.5)
In feite hangt deze functie naast q en m ook af van u1, u2, r, d en ω, maar dat wordt hier niet
expliciet aangegeven. Uitgaande van (13.28) en (13.29) kan nu eenvoudig geverifieerd worden
( ) ( )1 1 1 1 1 2[ , ],[ , ] [ , ],[ , ],[ , ], ,uitsplWA q m A q m u u r ω∞ ∞ = ∞ ∞ (B.6)
waarbij bedacht moet worden dat de integrand in het tweede lid van (B.4) gelijk aan nul wordt
voor k < q1 en voor s < m1, zodat de integraties over k en s daarin ook mogen beginnen bij 0.
De specifieke functie Wuitspl levert in AW dus de uitsplitsing volgens (13.29).
Voor willekeurige functies W volgt, met behulp van (B.3) en (B.4),
( )
( ) ( )
( )
( )
1 1 1 1
1
1 1[ , ],[ , ]
( , ) ( , ) ( , )( , ) , ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
, ( ,
W
k s op opop op
q m q m
neer neerneer neer
m q m
A q m
J k s t m s t q kdk ds f k s dq dm W q m t q k t m sb m q
t m s t q kt q k t m sm q
dq dm W q m dk ds f k
δ
δ
∞ ∞
∞ ∞ ∞
∞ ∞
∂ ∂= −
∂ ∂
∂ ∂+ − ∂ ∂
=
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ( )
( )1
( , ) ( , ) ( , )) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
op opop op
q
neer neerneer neer
J k s t m s t q ks t q k t m sb m q
t m s t q kt q k t m sm q
δ
δ
∞ ∂ ∂−
∂ ∂
∂ ∂+ −
∂ ∂
∫
(B.7)
Verder is eenvoudig te bewijzen dat (voor begrensde functies W)
( ) ( )1 1
2
1 1[ , ],[ , ] [ , ],[ , ]W Wq m
A q m dq dm A q mq m
∞ ∞ ∂∞ ∞ = ∞ ∞ ∂ ∂
∫ ∫ (B.8)
Dit volgt meteen uit het uitintegreren van het rechterlid, tezamen met het feit dat
( )1 1[ , ],[ , ]WA q m∞ ∞ naar nul gaat als q1 of m1 naar ∞ gaat. Omdat (B.7) en (B.8) gelden voor
juli 2010 Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren
HKV LIJN IN WATER PR1391.10 215
willekeurige q1 en m1, moet voor strikt positieve (begrensde) functies W dan volgen, zie ook
(B.4),
( )
( )
( )2
[0, ]: ( , ) , ( , )
( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )( , ) ( , )
1 ( , )( , ) ( , ), ( , )( , )
op opop op
q m
neer neerneer neer
q m t B t k q t s m
J k s t m s t q kdk ds f k s t q k t m sb m q
t m s t q kt q k t m sm q
J k sdk ds f k s dt W t k t sW q m q m b α β
δ
δ
α β
∞ ∞
∞ ∞
∈ ≥ ≥
∂ ∂− ∂ ∂
∂ ∂+ −
∂ ∂ ∂ =
∂ ∂
∫ ∫
∫ ∫ ∫
(B.9)
Het linkerlid hangt niet van W af: blijkbaar is er sprake van een ‘schijnbare’ afhankelijkheid van
W in het rechterlid. Een simpele keuze voor W is W(q,m) = 1. Dan volgt, door in de laatste stap
gebruik te maken van (13.33) en (13.34),
( )
( )2
[0, ]: ( , ) , ( , )
( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )( , ) ( , )
( , )( , )
( , )
op opop op
q m
neer neerneer neer
q m t B t k q t s m
J k s t m s t q kdk ds f k s t q k t m sb m q
t m s t q kt q k t m sm q
J k sdk ds f k s dtq m b
v q mα β
δ
δ
∞ ∞
∞ ∞
∈ ≥ ≥
∂ ∂− ∂ ∂
∂ ∂+ −
∂ ∂ ∂ =
∂ ∂ =
∫ ∫
∫ ∫ ∫
(B.10)
Uit (B.7) volgt nu
( ) ( )1 1
1 1[ , ],[ , ] , ( , )Wq m
A q m dq dm W q m v q m∞ ∞
∞ ∞ = ∫ ∫ (B.11)
Voor de specifieke keuze van Wuitspl uit (B.5) volgt dan vanwege (B.6)
( ) ( )2
1 1 1
1 1 1 2 1 1[ , ],[ , ],[ , ], , [ , ],[ , ]
( , , | , ) ( , , , , ) ( , )
uitsplW
u
Gq m u
A q m u u r A q m
dq dm du g u r q m q m u r v q m
ω
ω χ ω∞ ∞
∞ ∞ = ∞ ∞
= ∫ ∫ ∫ (B.12)
hetgeen bewezen moest worden.
Beschouw nu een fase ϕ ( / 2, / 2)B B∈ − tussen afvoer- en meerpeiltrapezia die ongelijk aan nul
is. Het bewijs loopt voor positieve en negatieve fases hetzelfde.43 Neem hier ϕ > 0 aan. In
plaats van de twee trajecten [0, B/2] en [B/2, B] van hiervoor (namelijk de voor- en
achterflank), beschouwen we nu de vier trajecten:
• Traject [0, ϕ] waarop de afvoer stijgend is en het meerpeil dalend.
• Traject [ϕ, B/2] waarop de afvoer stijgend is en het meerpeil stijgend.
• Traject [B/2, B/2+ϕ] waarop de afvoer dalend is en het meerpeil stijgend.
• Traject [B/2+ϕ, B] waarop de afvoer dalend is en het meerpeil dalend.
43 De gevallen ϕ = -B/2 en ϕ = B/2 vormen eenvoudige varianten van het onderstaande bewijs, en worden hier niet
gegeven.
Overzichtsdocument probabilistische modellen zoete wateren juli 2010
216 PR1391.10 HKV LIJN IN WATER
In bovenstaande bewijs voor ϕ = 0 komt in diverse formules een uitdrukking voor, gerelateerd