Ppt himpunan

HIMPUNANKELOMPOK 1ADI NUGRAHA

ENDAH KURNIA SARINEFVI MARDALENAPERZA RAMADHAN

DEFINISI HIMPUNANHimpunan (set) merupakan sekumpulan objek-objek yang berbeda yang dapat didefinisikan dengan jelas. Objek di dalam himpunan dinamakan unsur atau anggota himpunan.Contoh 1 : A = {x, y, z} x ∈ A : x merupakan anggota himpunan A. w ∉ A : w bukan merupakan anggota himpunan A.

PENYAJIAN HIMPUNANa. Mencacahkan anggotanya (enumerasi) Dengan cara ini,

himpunan tersebut dinyatakan dengan menyebutkan semua anggota himpunannya di dalam suatu kurung kurawal. Contoh 2 : - Himpunan empat bilangan ganjil pertama: A = {1, 3, 5, 7}. - Himpunan lima bilangan prima pertama: B = {2, 3, 5, 7, 11}. - Himpunan bilangan asli yang kurang dari 50 : C = {1, 2, ..., 50} - Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

b. Menggunakan simbol standar (baku) Suatu himpunan dapat dinyatakan dalam suatu simbol standar (baku) yang telah diketahui secara umum oleh masyarakat (ilmiah). Contoh 3 : N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... } Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks Himpunan yang universal (semesta pembicaraan) dinotasikan dengan U.

c. Menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan tersebut. Himpunan ini dinotasinya sebagai berikut : { x ⎥ syarat yang harus dipenuhi oleh x } Contoh 5 : (i) A adalah himpunan bilangan asli yang kecil dari 10 A

= { x | x ≤ 10 dan x ∈ N } atau A = { x ∈ N | x ≤ 10 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

(ii) (ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah matematika diskrit}

d. Menggunakan Diagram Venn Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan anggotanya dalam suatu gambar (diagram) yang dinamakan diagram venn.

kardinalitasJumlah unsur dalam suatu himpunan dinamakan kardinalitas dari himpunan tersebut. Misalkan, untuk menyatakan kardinalitas himpunan A ditulis dengan notasi:n(A) atau ⎢A ⎢ Contoh 8 : (i) B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 10 }, atau B = {2, 3, 5, 7 } maka B = 4 ⏐ ⏐ (ii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3 ⏐ ⏐

HIMPUNAN KOSONGJika suatu himpunan tidak mempunyai anggota, dengan kata lain dengan kardinalitas himpunan tersebut sama dengan nol maka himpunan tersebut dinamakan himpunan kosong (null set). Notasi dari suatu himpunan kosong adalah : ∅ atau {} Contoh 9 : (i) P = {Mahasiswa Teknik Industri STT Telkom yang pernah ke Mars}, maka n(P) = 0 Jadi P = ∅ (ii) A = {x | akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 dan x ∈ R}, maka n(A) = 0 Jadi A = {}

HIMPUNAN BAGIANHimpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap unsur A merupakan unsur dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Notasi himpunan bagian : A ⊆ B atau A ⊂ B ,

HIMPUNAN YANG SAMADua himpunan A dan B dikatakan sama jika setiap elemen himpunan B dan sebaliknya jika himpunan A sama dengan himpunan B, maka banyaknya elemen dan himpunan A selalu sama dengan banyaknya elemen himpunan B. urutan tidak diperhatikan.Contoh :Jika A= {a,b,c,d} dan B= {b,d,c,a}Maka himpunan A=B

HIMPUNAN YANG EKIVALENDua buah himpunan dikatakan ekivalen jika masing-masing mempunyai kardinalitas yang sama. Misalkan, himpunan A adalah ekivalen dengan himpunan B berarti kardinal dari himpunan A dan himpunan B adalah sama, notasi yang digunakan adalah : A ~ BContoh : Misalkan A = { 2, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐

HIMPUNAN YANG SALING LEPAS

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki unsur yang sama. Notasi yang digunakan adalah A // B . Contoh : Jika A = { x | x ∈ N, x < 10 } dan B = { 11, 12, 13, 14, 15 }, maka A // B.

HIMPUNAN KUASAHimpunan kuasa (power set) dari himpunan A merupakan suatu himpunan yang unsurunsurnya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Himpunan kuasa dinotasikan oleh P(A). Jumlah anggota (kardinal) dari suatu himpunan kuasa bergantung pada kardinal himpunan asal. Misalkan, kardinalitas himpunan A adalah m, maka P(A) = 2m. ⏐ ⏐Contoh : Jika A = { x, y }, maka P(A) = { ∅, { x }, { y }, { x, y }}

OPERASI TERHADAP HIMPUNANa. Irisan (intersection) Irisan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∩ ‘. Misalkan A dan B adalah himpunan yang tidak saling lepas, maka A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B } Contoh ;1. Misalkan A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {3, 6, 9, 12}, maka A ∩ B = {3} b. Gabungan (union) Gabungan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∪‘. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

Contoh : (i) Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7}

c. Komplemen (complement) Komplemen dari suatu himpunan merupakan unsur -unsur yang ada pada himpunan universal (semesta pembicaraan ) kecuali anggota himpunan tersebut. Misalkan A merupakan himpunan yang berada pada semesta pembicaraan U, maka komplemen dari himpunan A dinotasikan oleh : A = { x | x ∈ U dan x ∉ A } Contoh : Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 5, 6, 8} d. Selisih (difference) Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘– ‘. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka selisih A dan B dinotasikan oleh A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B Contoh : Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 3, 5, 7}, maka A – B = { 1, 4, 6, 8, 9 } dan B – A = ∅

e. Beda Setangkup (Symmetric Difference) Beda setangkup antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘ ⊕ ‘.

Misalkan A dan B adalah himpunan, maka beda setangkup antara A dan B dinotasikan oleh : A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A – B) ∪ (B – A) Contoh : Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ⊕ B = { 1, 4, 7 } f. Perkalian Kartesian (cartesian product) Perkalian kartesian antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘× ‘. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka perkalian kartesian antara A dan B dinotasikan oleh : A × B = {(a, b) a ∈ A dan b ∈ B }⏐ Contoh : (i) Misalkan C = {1, 2, 3}, dan D = { a, b }, maka C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

PERAMPATAN OPERASI HIMPUNAN

Notasi perampatan dapat mempermudah penulisan ekspresi yang panjang.

Contoh : A ∩ ( B1 U B2 U ... U Bn ) = (A ∩ B1) U (A ∩ B2) U ... U (A ∩ Bn) menjadi : A ∩ ( U Bi ) = U ( A ∩ Bi ) n i = 1 n i = 1

HUKUM-HUKUM HIMPUNAN1. Hukum identitas: − A ∪ ∅ = A − A ∩ U = A 2. Hukum null/dominasi: − A ∩ ∅ = ∅ − A ∪ U = U 3. Hukum komplemen: − A ∪ A = U − A ∩ A = ∅ 4. Hukum idempoten: − A ∪ A = A − A ∩ A = A 5. Hukum involusi: ( ) A = A 6. Hukum penyerapan (absorpsi): − A ∪ (A ∩ B) = A − A ∩ (A ∪ B) = A 7. Hukum komutatif: − A ∪ B = B ∪ A − A ∩ B = B ∩ A

8. Hukum asosiatif: − A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C − A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 9. Hukum distributif: − A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) − A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 10. Hukum De Morgan: − B A∩ = B A∪ − B A∪ = B A∩ 11. Hukum komplemen − ∅ = U − U = ∅

PRINSIP DUALITASPrinsip dualitas mengemukakan bahwa dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar. Contoh : AS → kemudi mobil di kiri depan Indonesia→ kemudi mobil di kanan depan

PRINSIP INKLUSI-EKSKLUSIPenggabungan himpunan A dan B membentuk suatu himpunan baru yang tentu saja anggotanya berasal dari himpunan A dan himpunan B. Prinsip yang digunakan ketika bertemu kasus ini disebut prinsip inklusi-eksklusi. Rumusnya : |A B| = |A|+|B| - |A B| Contoh : Berapa banyak bilangan bulat antara 1-100 yang habis dibagi 3 dan 5 ? Jawab : Misalkan : A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5 AB = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5, dapat dihitung dari KPK dari 3 dan 5 adalah 15 Maka untuk mencari jumlah bilangan yang habis dibagi 3 dan 5 dari range 1-100 (A B) dapat dilakukan dengan cara : 1. Menghitung |A|, |B| dan | A B| |A| = 100/3 =33 |B| = 100/5 = 20 | A B|=100/15 = 6 2. Masukan ke dalam rumus : |A B| = |A|+|B| - |A B| |A B| = |33|+|20| - |6| = 47 Sehingga diperoleh jumlah bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 untuk range 1-100 adalah 47 buah.

PARTISIPartisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1,A2….dari A.

PEMBUKTIAN PROPOSISI HIMPUNAN

Proposisi himpunan adalah pernyataan yang menggunakan notasi himpunan. Terdapat beberapa metode untuk membuktikan kebenaran proposisi himpunan, yaitu : 1. Pembuktian menggunakan diagram Venn Pembuktian menggunakan diagram venn dapat dilakukan dengan membuat bentuk diagram venn dari kedua ruas, yaitu ruas kanan dan ruas kiri. Apabila setelah digambarkan kedalam bentuk diagram venn keduanya sama, maka dapat disimpulkan bahwa kesamaan tersebut bernilai benar2. Pembuktian menggunakan table keanggotaan Jika pembuktian menggunakan table keanggotaan, maka dapat direpresentasikan menggunakan 0 dan 1. Dimana 0 merepresentasikan bahwa suatu elemen adalah anggota himpunan dan 1 merepresentasikan bahwa suatu elemen bukan anggota himpunan. 3. Pembuktian menggunakan aljabar himpunan

HIMPUNAN GANDA Himpunan ganda adalah himpunan yang

elemenya boleh berulangContoh : M = { 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 1 }, multiplisitas 1 adalah 4 dan multiplisitas 2 adalah 3, sementara itu multiplisitas 3 adalah 2.

PENGANTAR LOGIKA DAN HIMPUANA FUZZY

Misalkan, U merupakan himpunan semesta pembicaraan (Universal Set). Crisp Set merupakan himpunan bagian dari U yang membedakan antara anggota dan bukan anggotanya dengan batasan yang jelas (pasti). Contoh : A = {x | x ∈ Z dan x > 2} atau A = {3, 4, 5, …} Jelas bahwa 3 ∈ A dan 1∉ A