ppłk dr inż. Mateusz PASTERNAKmpasternak.wel.wat.edu.pl/Dydaktyka/PA1.pdf · (fonoskopia, identyfikacja mowy, weryfikacja autentyczności nagrań, identyfikacja zarejestrowanych

PODSTAWY AKUSTYKI

ppłk dr inż. Mateusz PASTERNAK

bud. 61 p. 25, tel. 683-76-67

[email protected]

http:// strony.aster.pl/mpasternak

konsultacje: czwartki

oraz poprzez dostępne media elektroniczne

wykład autorski

Zaliczenie przedmiotu na podstawie:

-pozytywnego wyniku kolokwium końcowego z zakresu teorii

i ćwiczeń rachunkowych

- zaliczenia ćwiczeń laboratoryjnych

Program przedmiotu:30 godz. w tym

18 godz. wykładów 6 godz. ćwiczeń rachunkowych 6 godz. ćwiczeń laboratoryjnych

3 pkt. ECTS

ZAŁOŻENIA I CELE PRZEDMIOTU

Zapoznać z podstawowymi zagadnieniami akustyki technicznej, urządzeniami elektronicznymi działającymi z wykorzystaniem zjawisk akustycznych w różnych ośrodkach oraz ich podstawowymi aplikacjami

Treści programowe przedmiotu (SYLABUS)

LITERATURA

podstawowa: A. Arnau, Piezoelectric Transducers and Applications, Springer 2008.D. Morgan, Surface Acoustic Wave Filters, Elsevier 2007

uzupełniająca:T. D. Rossing ed., Springer Handbook of Acoustics, Springer 2007

A. Arnau, Piezoelectric Transducers and Applications, Springer 2008.

W. Heywang, K. Lubitz, W. Wersing, Piezoelectricity Evolution and Future of a Technology, Springer 2008.

W. Soluch (red.), Wstęp do piezoelektroniki, 1980

A. Śliwiński, Ultradźwięki i ich zastosowania, 2001

Z. Jagodziński, Przetworniki ultradźwiękowe,1997

A. Kawalec, M. Pasternak, Podstawy Akustoelektroniki, e-skrypt

G. Kino, Acoustic Waves : Devised Imaging & Analog Signal, 1987

Informacje wstępne

Podstawowe pojęcia związane z fizyką fal dźwiękowych Techniczne zastosowania dźwięku

Akustyka (gr. ακουστική - dotyczący słuchu) – dział fizyki i techniki obejmujący zjawiska związane z powstawaniem, propagacją i oddziaływaniem fal mechanicznych

Podstawowe działy akustyki:akustyka fizyczna (liniowa i nieliniowa, molekularna i kwantowa, akustooptyka/optoakustyka/)geoakustyka (podwodna, morza, atmosfery, hydroakustyka, astroakustyka)akustyka słuchu (psychoakustyka, a. fizjologiczna)akustyka foniczna (a. mowy, a. muzyczna, a. cybernetyczna, elektroakustyka, a. wnętrz => a. architektoniczna, a. budowlana, a. urbanistyczna, a. środowiska)akustyka ultradźwięków akustyka infradźwięków akustyka przemysłowa - wibroakustykaakustyka okrętowabioakustyka akustyka biomedyczna akustyka kryminalna (fonoskopia, identyfikacja mowy, weryfikacja autentyczności nagrań, identyfikacja zarejestrowanych zdarzeń akustycznych

ELEKTRONIKA WSPÓŁCZESNA

ELEKTRONIKA ANALOGOWA

ELEKTRONIKA CYFROWA

TECHNIKA MIKROFAL

OPTOELEKTRONIKA

AKUSTOELEKTRONIKA

ELEKTRONIKA KWANTOWA

0 Hz

16 Hz

16 kHz

1GHz

1THz

infr

adźw

ięki

dźw

ięki

ultr

adźw

ięki

hipe

rdźw

ięki

wyładowania atmosferycznefale sejsmiczne

wibracje dużych obiektówdetonacje

odgłosy zwierzątzjawiska przyrodnicze

drgania płytmaszyny wysokoobrotowe

kawitacjakrótkie piszczałkiodgłosy zwierząt

kolaps grawitacyjnydrgania własne kryształów

badanie zjawisk sejsmicznychgeolokacja

komunikacja akustycznarozrywkasonolokacja

mikroskopiaNDTmedycynahydrolokacjaczyszczenie

spektroskopiaakustycznatechnika sensorowaobróbka sygnałów

gazy 3,4 10 mciecze 1ciała stałe 5

-10

,5 10 m 10 m

-9

-9

gazy 3,4 10 mciecze 1ciała stałe 5

-7

,5 10 m 10 m

-6

-6

gazy 2 10 mciecze 0,1 mciała stałe 0,3 m

-2

gazy 20 mciecze 100 mciała stałe 300 m

naturalneźródła dźwięków

przykłady zastosowań

minimalnedługości fal

ZASTOSOWANIA AKUSTOELEKTRONIKI

- Akustolokacja

- Przetwarzanie sygnałów złożonych

- Filtracja (także dopasowana)

- Generacja sygnałów złożonych

- Stabilizacja drgań

- Sensory

- Zdalna identyfikacja

Specjalne zastosowania akustoelektroniki

telekomunikacja przewodowa zdalna identyfikacja i detekcja

radiokomunikacja detekcja wielkości nieelektrycznych

zero-power radio panele dotykowe

zobrazowanie akustyczne (NDT/NDE) mini żyroskopy

SONARY

Samozasilająca się elektronika

Nadajnik kodu zasilany naciśnięciem palca

Elektryczne buty

szyby okiennepodłogiamortyzatory samochodoweaktywne amortyzatoryinteligentne opony meble (łóżka, fotele itp.)zabawki

ręczna ładowarka

diagnostyka medyczna

aktywatory

materiały inteligentne

dysze

piezo-transformatory

zaawansowane przetwarzanie sygnałów

elektroniczne nosy

akustyka kwantowa

PODSTAWY FIZYCZNE

Fala = ruch zaburzenia w ośrodku ciągłym

cosu A tω=

u

xx1 x2

A

x =00 xK

1

2

3

4

1

2

3

4

1

λ

x

u

czas potrzebny na zmianę fazy fali do położenia 1 do (analogicznie do jednegopełnego obrotu koła) nazywa się okresem T,

liczba cykli fali (w analogii do liczby obrotów koła) w jednostce czasu toczęstotliwość f,

wyrażona w radianach zmiana fazy fali w jednostce czasu (kąt obrotu koła wjednostce czasu) to pulsacja ωωωω

22 f

T

πω π= =

dystans jaki pokonuje fala w czasie trwania jednego okresu nazywam się długościąfali λλλλ

maksymalna wartość u (równa promieniowi koła) jest nazywana amplitudą fali A

u

xx1 x2

A

x =00 xK

Dla dowolnego punktu x opóźnienie fazowe względem początku linyproporcjonalne będzie do przebytej przez falę drogi.

Jeśli współczynnik proporcjonalności oznaczymy przez k to wychylenie liny wdowolnym punkcie wyniesie:

cos( )u A t kxω= −

1 2x xλ = − ( ) ( )2 1 2t kx t kxω ω π− − − =

2kλ π=2

kπλ

=

2

T

πω =

cos2t x

u AT

πλ

= −

ponieważ , zaś cos( )u A t kxω= −

Jest to równanie monochromatycznej fali biegnącej

(tzn. fali sinusoidalnej o stałej amplitudzie i częstotliwości)

Jeśli w czasie jednego okresu T fala pokonuje dystans λto musi się ona poruszać (propagować) z prędkością

stąd

2v f

T k

λ ωλ ωλ

π= = = =

kv

ω=

cos( ) cos -x

u A t x A tv v

ωω ω = − =

cos(u A tω= − kr)

Materiał Gestość [kg/m3] Prędkość [m/s]

Powietrze suche –200C 1,396 319

Powietrze suche 00 C 1,293 331

Powietrze suche 200 C 1,21 344

Powietrze suche 1000 C 0,947 387

Wodór 00C 0,090 1260

Para wod. 1300 C 0,54 450

Woda 200 C 998 1480

Lód 920 3200

Drzewo 600 4500

Szkło 2500 5300

Beton 2100 4000

Stal 7700 5050

Prędkości dźwięku w wybranych ośrodkach

Fale występujące w przyrodzie lub też generowane sztucznie są niemal zawsze superpozycjami (sumami czy też złożeniami) wielu fal monochromatycznych

cos ω1 t⋅( )

cos ω2 t⋅( )

cos ω1 t⋅( ) cos ω2 t⋅( )+

10 5 0 5 102

1

0

1

2

t

dwie fale o 10 % różnicy częstotliwości i ich superpozycja (zielona)

10 5 0 5 10 15 20 25 3010

5

0

5

106

5.22−

f t( )

3010− t

Superpozycja 6 fal

Jeśli każda z fal składowych porusza się z inną prędkością to prędkość fazowa superpozycji jest niezdefiniowana

Dyspersja jest to zależność parametrów ośrodka od częstotliwości, w szczególności mianem tym określa się zależność prędkości fali od częstotliwości w danym ośrodku.

A

B

A’ B’

A’

A

B

B’

xx1 x2 x3 x4 x5 x6

λv

v+dv

λ+ λd

vt

λ+ λdS

(v+dv)t

dλ

dλ

g

Sv

t=

S vt λ= −

gv vt

λ= −

( )d v dv t vt dv tλ = + − = ⋅

dt

dv

λ=

g

dvv v

dλ

λ= −

Prędkość grupowa jest prędkością przemieszczania się maksimum paczki falowej

Gdy sygnał złożony składa się z bardzo dużej liczby fal monochromatycznych to można goopisać przyjmując w charakterze zmiennej liczbę falową

( )( , ) ( ) i t kxu x t A k e dkω∞

−

−∞

= ∫

Wielkość A(k) nazywana jest spektralną gęstością amplitudy pakietu falowego

wykorzystując wzór Eulera dla liczb zespolonych

cos sinie iϕ ϕ ϕ= +można zapisać drgania harmoniczne w postaci wykładniczej, szczególnie dogodnej przyróżniczkowaniu

1( )0 1sin( ) cos( ) i t i ts A t A t Ae Ae

ω ϕ ωω ϕ ω ϕ += + = + = = ɶ

gdzie: 1 0 2

πϕ ϕ= − Wielkość 1iA Ae ϕ=ɶ nazywana jest amplitudą zespoloną

z tego względu wyrażenie

( , ) ( ) cos( )u x t A k t kx dkω∞

−∞

= −∫

( )( , ) ( ) i t kxu x t A k e dkω∞

−

−∞

= ∫

może mieć też postać

Energia fal

Punkty materialne ośrodka uczestniczące w ruchu falowym wykonują jedynie drgania wokół ustalonego położenia równowagi. W każdej jednostce objętości ośrodka przenoszącego fale mechaniczne (sprężyste) zawarta jest energia

2max

2

vE

ρ=

ρ gęstość czyli masa jednostki objętościvmax amplituda prędkości

maxv Aω=

2 2

2

AE

ρω=

Energia ta rozchodzi się z prędkością fali (grupową w przypadku paczki fal)

Natężenie fali - energia przechodząca w jednostce czasu przez jednostkę powierzchniStrumień energii – energia przechodząca w jednostce czasu (moc) przez ustaloną powierzchnię o polu S.

W jednostce czasu fala przebywa drogę

s vt v= =

wnosząc swoją energię do obszaru o objętości

V Ss Sv= =

Ponieważ na jednostkę objętości przypada energia E, na całą objętość przypadnie

ESvΦ =Jest to strumień energii przez powierzchnię S.

Natężenie definiuje się dla powierzchni jednostkowej, zatem

I Ev=

Opis fali w 3D wymaga wiedzy nt. poruszania się czoła fali – czyli zbiór punktów przestrzeni o jednakowej fazie drgań w określonej chwili.Czoło fali ma w ogólności kształt dowolny jednak w przybliżeniu izotropowym można czoło fali opisać za pomocą sfery, walca lub płaszczyzny.

dla źródeł punktowych dla źródeł liniowych

fala płaska dla źródeł płaskich bądź w strefach odległych od innych źródeł

Jeśli w ośrodku nie ma strat (np. na ciepło) to energia przechodząca przez powierzchnie jednakowej fazy musi być stała.

Natężenie fali płaskiej podczas jej propagacji jest stałe.

Dla fal kulistych spada proporcjonalnie do kwadratu odległości (powierzchnie ekwifazowe rosną z kwadratem odległości), zaś dla fal cylindrycznych z pierwszą potęgą odległości

Amplituda fali kulistej spada więc proporcjonalnie do odległości

cos( )A

u tv

= −r

r

dla fali cylindrycznej do pierwiastka kwadratowego z odległości

cos( )A

u tv

= −r

r

Natężenie dźwięku – moc przenoszona przez dźwięk przez jednostkę powierzchni

2[W/m ]D

PI

S=

Natężenie dźwięku dla fal kulistych

24D

PI

rπ=

2( ) 4S r rπ=

10-12

[W/m ]2

0,8 5 [kHz]

10-3

Natężenie progu zerowego

W ośrodku stratnym natężenie fali maleje znacznie szybciej niż rosną powierzchnie ekwipotencjalne – energia konwertowana jest na inne jej postacie.

Jeśli fala pokonała warstwę dx, to spadek natężenia musi być proporcjonalny do natężeniafali padającej i grubości tej warstwy

dI Idxα= −

w.b.0 0xI I= = xI I=

dla skończonych odległości:

0 0

I x

I

dIdx

Iα= −∫ ∫

stąd

0xI I e α−=

spadek natężenia fali jest wykładniczy

Amplituda będzie spadała wg tej samej zależności ale współczynnik pochłaniania będziedwukrotnie mniejszy.

20

x

A A eα−

=

Odwrotność współczynnika tłumienia (pochłaniania) wyr. w [m] to grubość warstwy, po przejściu której natężenie fali maleje e razy

Odwrotność współczynnika tłumienia (pochłaniania) wyr. w [m] to grubość warstwy, po przejściu której natężenie fali maleje e razy

Podwojona odwrotność współczynnika tłumienia (pochłaniania) wyr. w [m] to grubość warstwy, po przejściu której amplituda fali maleje e razy

Tłumienie na ogół rośnie wraz z częstotliwością

2aα ω=

a jest współczynnikiem wyznaczanym empirycznie, dla powietrza

211 s

4 10m

a

≈ ⋅

Na drodze 1 km fala 100 Hz ulega tłumieniu ~1,02 razy zaś fal ultradźwiękowa oczęstotliwości 20 kHz – 10274 razy!Dla fal podłużnych w cieczach współczynnik α jest odwrotnie proporcjonalny dosześcianu prędkości fali i wprost proporcjonalny do lepkości ośrodka.Tak silna zależność od prędkości oraz stosunkowo duża lepkość powietrza powodują, żepochłanianie fal ultradźwiękowych w cieczach jest ok. 100-krotnie słabsze.Fale ultradźwiękowe w wodzie rozchodzą się więc na odległość ~1000 krotnie większąniż w gazach

Przepływ mocy – akustyczny wektor Poyntinga

Przepływ mocy z obszaru 1 do obszaru 2

dS

nv

T Tnn=

obszar 1 obszar 2

dS dS− =vTn Pn

−P = vT

Gęstość przepływu mocy w kierunku n

Zasada Huygensa (wym. hojchensa)Każdy punkt ośrodka, do którego dotarło czoło fali można uważać za źródło nowej fali kulistej. Fale te zwane są falami cząstkowymi i interferują ze sobą. Wypadkową powierzchnię falową tworzy powierzchnia styczna do wszystkich powierzchni fal cząstkowych i to właśnie ją obserwuje się zwykle w ośrodku.

Z zasady Huygensa wynika, że fale rozchodzą się izotropowo (również wstecznie).

Nie zgadza się to całkiem z doświadczeniem.

Poprawkę zasady wprowadził Kirchhoff dodając współczynnik kierunkowy:

0

1( ) (1 cos )

2A Aθ θ= +

Dyfrakcja

Zjawisko zmiany kierunku rozchodzenia się fali na krawędziach przeszkód oraz w ich pobliżu. Zachodzi ono dla przeszkód o dowolnych rozmiarach ale wyraźnie jest obserwowane dla rozmiarów porównywalnych z długością fali.

Jest to bezpośrednia konsekwencja zasady Huygensa

Fala biegnąca z jednego punktu do drugiego przebywa drogę, na której przebycie trzeba w porównaniu z innymi sąsiednimi drogami minimum lub maksimum czasu.Zasada ta prowadzi do wniosku, że fala w ośrodkach jednorodnych rozchodzi się po liniach prostych, a także podlega odbiciom i załamaniom.

Zasada Fermata

Prawo odbicia α β=

Przy odbiciu fali od ośrodka o wyższej sztywności następuje zmiana fazy na przeciwną

0ds

dx=

tor propagacji kaŜdej fali spełnia zasadę Fermata

( )22 2 2ACB s a x b d x= = + + + −

0 0dt ds

dx dx= → =

( )2 2 22

x d x

a x b d x

−=

+ + −

1 2sin sinα α=

Fale rozchodzą się po liniach prostychale tylko w ośrodku jednorodnym

Stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania, zwany współczynnikiem załamania n ośrodka drugiego względem pierwszego, jest równy stosunkowi prędkości rozchodzenia się fali w ośrodku pierwszym do prędkości rozchodzenia się fali w ośrodku drugim. Promień fali padającej, promień fali załamanej i prosta prostopadła (normalna) do granicy ośrodków leżą w jednej płaszczyźnie.Zmiana kierunku rozchodzenia się fali nosi nazwę refrakcji.

Prawo załamania (Snelliusa)

1

2

sin

sin

vn

v

αβ

= =α

β

V1

V2

Związek ten wynika z zasady Fermata

2 2 2 2( )AB s a x b d x= = + + + −

2 22 2

1 2

( )b d xa xt

v v

+ −+= +

0dt

dx=

1 2

2

1

sin

sin

c

v v

cv

v

αβ

= =defc

nv

= 2

1

sin

sin

n

n

αβ

=

b

aa

b

d

x

A

B

wsp. załamania

z zasady Fermata

refrakcja temperaturowarefrakcja wiatrowa

wstępująca zstępująca

Powstawanie stref głośnych i cichych

czasu propagacji = ekstremum

strefa ciszystrefa ciszy

dzieńnoc

powstawanie echa na wodzie w nocy

Temperaturowe anomalie refrakcyjne

Rezonans akustyczny (mechaniczny)

2

2j td x dx

m kx Fedt dt

ωα+ + = szukane rozw. w postacij tx Ae ω=

r-nie charakt. 20 0( )A m j k Fω αω− + + =

20

k

mω =

1

m

ατ

=2 20

/F mA

jωω ω

τ

=− +

( )2

22 20 2

/F mA

ωω ω

τ

=

− +

arg A – przesunięcie fazowe międzyoscylacją własną a oscylacją siły wymuszającej

dla dużych wartości τ

0( )A δ ω→

Efekt Dopplera-Ficeauv

fλ

=

źródło i detektor są w ruchu

1'

' 1

c c c cf f f

u uc u

f c

λ λ λ λ

= = = = = − ∆ − − −

detektor nieruchomy – źródło porusza się z prędkością u

' 1c v c v v

f f fc cλ

+ + = = = +

'c v

f fc u

+=

−

Fala uderzeniowa

źródło szybsze od fali

bat i broń sejsmiczna

powstawanie fali uderzeniowej

sinu

vα=

1 2 3 4

2

3

4

v

v

v

uα

zgodne fazy

Fale na wodzie ( ) 2

2

g th kh g hv th

k

λ ππ λ

⋅= =

na wodzie głębokiej hλ ≪ 1th α ≈ 2

g gv

k

λπ

= =

na wodzie płytkiej hλ ≫ th α α≈ v gh=

zmarszczki na wodzie(fale kapilarne)

10 cmλ < 2v

πσρλ

=

v

λ

fale kapilarne

fale grawitacyjne

Zjawisko TSUNAMI

fale w wodzie płytkiej (sic!)

1510 [J]

h

[m]

v

[km/h]λ

[km]

5000 800 160

10 36 7

26. 12. 2004 – Ocean Indyjski

26. 12. 2004 – Ocean Indyjski

v gh=

l <<h

h

a a a a

propagacjaswobodna

refrakcja(załamanie)

aP

aZ

całkowite odbicie

częściowe odbiciepochłanianie

rozpraszanie

dyfrakcja (ugięcie)

Interesujący rezultat otrzymuje się przy nałożeniu (zsumowaniu) dwóch fal o jednakowych amplitudach i częstotliwościach propagujących się w przeciwnych kierunkach.

cos cosx x

u A t tv v

ω ω = − + +

cos cos 2sin sin2 2

α β α βα β

+ −− = 2

2 sin sinx

u A tπ

ωλ

=

Formalnie twór taki nie jest falą ponieważ zaburzenie nie rozchodzi się!

x0 L

strzałka

węzeł

(2 1)4

x nλ

= +

2

nx

λ=

strzałki

węzły

2L n

λ=

Fale w ośrodkach geometrycznie ograniczonych

Zupełna fala stojąca

Niech fala odbija się całkowicie (zupełnie) pomiędzy dwoma równoległymi płaszczyznamiznajdującymi się w punktach x=0 oraz x=L. W punktach tych muszą znaleźć się węzły fali, co oznacza spełnienie warunku:

22 sin 0

LA

πλ

=

i prowadzi do zależności

2L

nλ = lub

2

vf n

L=

Między dwoma płaszczyznami odległymi o L mogą więc powstawać tylko fale stojące o długościach będących podwielokrotnością 2 L czyli o częstotliwościach będących wielokrotnością v/2L

x0 L

Zupełne odbicie fali od przeszkody jest sytuacją wyidealizowaną. Przypadkiemrealistycznym jest odbicie częściowe (niezupełne). Załóżmy, że na przeszkodę pada fala oamplitudzie APAD, odbija się częściowo od tej przeszkody i propaguje w przeciwnymkierunku z amplitudą AODB. Po nałożeniu tych fal otrzymuje się:

( )

fala biegnąca fala stojąca

cos cos

cos cos cos

PAD ODB

PAD ODB ODB

x xu A t A t

v v

x x xA A t A t t

v v v

ω ω

ω ω ω

= − + + =

= − − + − − + ����������� ���������������

( ) 2cos 2 sin sinPAD ODB ODB

x xu A A t A t

v

πω ω

λ = − − +

albo inaczej

defPAD ODB

PAD ODB

A AWFS

A A

+=

−

Miarą zupełności (czy też niezupełności) odbicia jest tzw. współczynnik fali stojącej określany z zależności:

)1;WFS ∈ ∞

brak odbicia odbicie zupełnedefODB

PAD

A

AΓ =

( )0;1Γ ∈1

1WFS

+ Γ=

− Γ

brak odbicia odbicie zupełne1

1

WFS

WFS

−Γ =

+

całkowite

Odbicie ze zmianą fazy

niezupełna fala stojąca

częściowe

www.igf.fuw.edu.pl/ ~saj/

Wszystko za sprawą interferencji

Akustyczna impedancja ośrodka

Zjawisko odbicia jako efekt niedopasowania impedancyjnego

z równania fali płaskiej 0( , ) sin( )A x t A t kxω= −

0

v p

t xρ

∂ ∂= −

∂ ∂

0 0 cos( )p vv t kxρ ω= − 0 cos( )A

v v t kxt

ω∂

= = −∂

0 00 0 3

0

cos( ) Ns[rayl]

cos( ) m

vv t kxpZ v

v v t kx

ρ ωρ

ω− = = = = −

akustyczny Ohm

1 2

1 2

Z Z

Z Z

−Γ =

+

O0

O0

413 [rayl] przy 20 C

410 [rayl] przy 25 C

Z

Z

=

=

Związki pomiędzy wielkościami akustycznymi

I p

v Z

pv

Zv2

p /Z2

ZvI/v

IZ

p/v

p /I2

p/ZI/p

I/Z

pręd

kość

natę

że

nie ciśnienie im

pedancja

[W/m ]2[N/m ]2

[Ns/m ]3[m/s]

Zwykle kąt odbicia jest różny od prostego

x10-L1

x2

k

k’

v

( )1 1 2 2cosPADu A t k x k xω= − − ( )1 1 2 2cosODBu A t k x k xω ′ ′= − − −

1 1 2 2 1 1 2 21 2 1 22 sin sin

2 2 2 2

k k k k k k k ku A t x x x xω

′ ′ ′ ′+ + − − = − − +

suma

x1

x2

u

-L1

2

2 2

1G

n

L

π = −

k k

w falowodzie w wolnej przestrzeni (nieograniczonej)

1

min G CL

π= = k k

1min 2C Lλ λ= =

W falowodzie mogą się propagować fale o długościach mniejszych od 2L1.

Zbliżanie się wartości długości do długości fali krytycznej odpowiada fizycznie zbliżaniu się kąta padania fali do wartości 90o, przy której fala zachowuje się jak w rezonatorze.

1

min2c

vf f

L= = dyspersja!

dla n=1

n=2

Aby jej węzły znajdowały się w miejscach odbić od prawej ściany x1=0 odpowiednie składowe wektorów falowych muszą być równe co do modułu (zasada zachowania liczby falowej)

1 1k k′ = ±

Nietrywialne rozwiązanie równania uzyskać można tylko dla 1 1k k′ = −

2 2 1 12 sin( )sinu A t k x k xω= −

Aby węzły powstawały także w miejscach odbić od lewej ściany x1=-L1 musi spełniony być warunek:

11

k nL

π=

2 2 11

2 sin( )sinn

u A t k x xL

πω= −

π

dla n

=01

ω=vk

Gn =11

n =21

n =31

n =41

n =51

2

2 1

1

G

nvk v k

L

πω

= = +

2

2 1

1G

v

nk

L

ω

π=

+

2 2

1 1mn cgv v v

ω λω λ

= − = −

2

1

f

min

vv

ωω

= −

vf

λ/λc

1

v0

2222 2 2

c g

π π πλ λ λ

= +

x1

x2

x3

-L1

-L2

0

12 2 1

1

2 sin( )sinPAD

nu A t k x x

L

πω

= −

12 2 1

1

2 sin( )sinODB

nu A t k x x

L

πω

= − −

12 2 1

1

4 sin sin cosPAD ODB

nu u u A k x x t

L

πω

= + = −

Z faktu istnienia węzła fali w x2=-L2 wynika 22

2

nk

L

π=

2 1, 2, 3...n =

co po uwzględnieniu superpozycji 1 21 2

1 2

4 sin sin cosn n

u A x x tL L

π πω

= −

2 22 2 2

1 2

2 fk k

v v

ω π = = = +

k

2 2

1 2

1 22

n nvf

L L

= +

ze związku wynika

1 2 31 2 3

1 2 3

8 sin sin sin cosn n n

u A x x x tL L L

π π πω

=

Analogicznie, dokładając kolejne dwie ściany otrzyma się pudło rezonansowe z falą:

2 2 2

1 2 3

1 2 32

v n n nf

L L L

= + +

rezonujące na częstotliwości

Fale akustyczne w ośrodkach sprężytych

Ośrodkiem sprężystym nazywamy każdy ośrodek, który po przyłożeniu naprężenia odkształca się wytwarzając przy tym siłę przeciwną do kierunku naprężenia. Odkształcenie oznacza zmianę rozmiarów elementu ośrodka. Do takich ośrodków zaliczają się płyny i ciała stałe.Związek pomiędzy naprężeniem a odkształceniem elementu ciała wyrażony jest prawem Hooka. Prawo to obowiązuje tylko dla małych odkształceń.

σ ε∼ T S∼

We wszystkich ośrodkach sprężystych mogą propagować się fale akustyczne (mechaniczne). Rozpatrzmy pewną objętość płynu (cieczy lub gazu) poddaną podłużnemu zaburzeniu tzn. sprężeniu albo rozprężeniu.

Ruch cząsteczek występuje tylko w kierunku x. Rozprężenie można opisać:

p1 p2

x

L

L’

ψψψψ1 ψψψψ2

dx

2 1L L L

L L x x

ψ ψ ψ′ −− ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂

Rozprężenie oznacza zmniejszenie gęstości

gradient gęstości

Zmiana gęstości prowadzi do powstania zmiany ciśnienia.Dla małych zmian gęstości

/L

L x x

ρ ψ ρρ

∂ ∂ ∂− = = ⋅ −

∂ ∂

2

2x x

ρ ψρ

∂ ∂= −

∂ ∂

dpp

dρ

ρ∆ = ∆

wielkość dp/dρ charakteryzuje dany ośrodek (jest stałą materiałową ośrodka) i jest odwrotnie proporcjonalna do iloczynu tzw.współczynnika ściśliwości ośrodka κ oraz gęstości tego ośrodka w stanie niezaburzonym ρ0

0

1 d

dp

ρκ

ρ=

Gradient ciśnienia prowadzi do powstania siły działającej na element objętości w obrębie dx.Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona można napisać

Gradient ciśnienia

2

2

p dp dp

x d x d x

ρ ψρ

ρ ρ∂ ∂ ∂

= = −∂ ∂ ∂

2

2 12( )

pdx p p dx

t x

ψρ

∂ ∂= − − =

∂ ∂

Znak minus jest związany z kierunkiem przyśpieszenia, które skierowane jest w stronę mniejszych ciśnień.

W oparciu o te dwa równania otrzymuje się równanie fali akustycznej w płynie

2 2

2 2

dp

t d x

ψ ψρ

∂ ∂=

∂ ∂

Rozwiązaniem tego równania jest fala w płynie

Prędkość tej fali jest równa

( )0 sin t kxψ ψ ω= −

0

1pv

ρ κρ∂

= =∂

Dla gazów można przyjąć z dobrym przybliżeniem, że zaburzenie jest przekazywane adiabatycznie. Licząc prędkość fali akustycznej w gazie można więc skorzystać z równania przemiany adiabatycznej.

pV nRT const= =

1 0dp p

V dp V pdVdV V

dp p RT

d

χ χχ χ

χ χρ ρ µ

−+ = ⇒ = −

= =

p p

V V M

c cp RTv

c c Mρ= =

p

v

c

cχ =

M

RTp

V=

Materiał Gestość [kg/m3] Prędkość [m/s]

Powietrze suche –20 0C 1,396 319

Powietrze suche 0 0 C 1,293 331

Powietrze suche 20 0 C 1,21 344

Powietrze suche 100 0 C 0,947 387

Wodór 0 0C 0,090 1260

Para wodna 130 0 C 0,54 450

Hel 0 0C 0,179 971

Fale akustyczne w ciałach stałych

Fale akustyczne w strunie

prędkość fali w strunieT

vρ

=

T tzw. napięcie strunyρ gęstość materiału, z którego struna jest wykonana

Załóżmy, że rozwiązanie jednowymiarowego równania falowego ma następującą ogólną postać:

( , ) ( sin cos )sin( )u t x A kx B kx tω ϕ= + +

0 0xu = = 0x Lu = =

Struna jest zamocowana na końcach, z czego wynikają następujące warunki brzegowe:

Po podstawieniu tych w. b. do założonego rozwiązania uzyskuje się następujący układ równań:

0 1 0

sin cos 0

A B

A kL B kL

⋅ + ⋅ =

+ =

Po obustronnym podzieleniu przez czynnik ten znika! Klasyczny przykład fali stojącej.sin( )tω ϕ+

Wyznacznik tego układu ma postać:

0 1

sin coskl kl

Przyrównując ten wyznacznik do zera otrzyma się wyrażenie na tzw. wartości własne zagadnienia (eigenvalues). Fizycznie interpretowane są one jako wszystkie możliwe drgania układu.

sin 0kl = n

nk

l

π=

2n

l

nλ =

n=1, 2, 3 ...

n=1

n=2

n=3

n=

4

2k

πλ

=ponieważ

Objętościowe fale akustyczne w ciałach stałych

Prędkość rozchodzenia się fal sprężystych określona jest przez wzór Newtona

Ev

ρ=

E jest wyznaczanym empirycznie modułem sprężystości (moduł Younga)

Dla fal podłużnych rolę modułu sprężystości pełni zwykle moduł ściśliwości K,

zaś dla fali poprzecznej moduł sztywności G.

Moduł sprężystości równa się z def. :s

F lE

l

∆= 1

s

l F

l E

∆= ⋅z tego

F jest siłą, s powierzchnią przekroju, l długością ośrodka, zaś ∆l spowodowanym przez falę jego wydłużeniem.Stosunek F/s nazywa się naprężeniem i ozn. symbolem Τ (ang. słowa tension),zaś stosunek ∆l/l nazywany jest odkształceniem (albo deformacją) i ozn. przez S;Powyższe równanie można więc przedstawić jako proporcjonalność odkształceń donaprężeń.

Twierdzenie o takiej proporcjonalności nazywa się prawem Hooke’a iobowiązuje tylko dla małych odkształceń.

1S T

E=

Rozważmy propagację fali podłużnej w pręcie o przekroju S i długości l

x+dxx

u u+du

x

W pewnej chwili t wychylenie w punkcie x wynosi u zaś w punkcie x+dx u+du. Wychylenie w punkcie x spowodowane jest naprężeniem Τ, a w punkcie x+dx Τ+∆Τ.Pręt na dystansie dx wydłużył się o du:

l d

l dx x

∆ ∂= =

∂

u ustąd d dx

x

∂=

∂

uu

Z prawa Hook’a:

1uT

x E

∂=

∂

Rozpatrzmy ruch elementu masy pręta zawartej na odcinku pomiędzy x a x+dx.

Element ten ma postać:

dm s dxρ=

Po podziałaniu na obydwie strony równania operatorem przyspieszenia:

2 2

2 2

u udm s dx

t tρ

∂ ∂=

∂ ∂

Z II zasady dynamiki Newtona wiadomo, że lewa strona równania jest siłą działającą na element masy dm. Z kolei naprężenie to stosunek działającej siły do przekroju. Siłę działającą na element dm

można również przedstawić jako różnicę iloczynów naprężeń i przekrojów na dystansie dx :

s( ) s s s sT T

F T dT T T dx T dxx x

∂ ∂ = + − = + − = ∂ ∂

2

2

u T

t xρ

∂ ∂=

∂ ∂

1T

x E

∂=

∂u

2

2

T

t xρ

∂ ∂=

∂ ∂u

2

2

1 T

x E x

∂ ∂=

∂ ∂u/ x⋅∂

2 2

2 2E

t xρ

∂ ∂=

∂ ∂u u

2 22

2 2v

t x

∂ ∂=

∂ ∂u u

ze wzoru NewtonaE

vρ

=

Jest to jednowymiarowe równanie falowe. Łatwo je można uogólnić na przypadek trójwymiarowy:

2 2 2 22 2 2

2 2 2 2v v

t x y z

∂ ∂ ∂ ∂= + + = ∇ ∂ ∂ ∂ ∂

u u u uu

Przedstawione wcześniej prawo Hooka nie rozróżnia kierunków i może bysstosowane jedynie dla struktur liniowych.

1S T

E=

W takim ciele sztywność zależy od kierunku.

Zależność własności fizycznych materiałuod kierunku nazywa się anizotropią.

W ciele anizotropowym każdy kierunek należałoby rozpatrywać oddzielnie.

Ok. 1910 r. Wolfgang Voigt wprowadził pojęcie tensora umożliwiające rozpatrywaniewszystkich kierunków jednocześnie.

0

Τ33

Τ23

Τ13

Τ31

Τ21

Τ11

Τ32

Τ22

Τ12

x2

x3

x1

x3

x2

Τ33

Τ23

Τ32

Τ22

Τ22

Τ32

Τ23

Τ33

0

Sześcian jednostkowy dostatecznie mały aby występujące w nim naprężenia były jednorodne i jego przekrój płaszczyzną prostopadłą do osi x1 oraz działające nań siły. Naprężenia Τii są typu ściskającego natomiast Tij ścinającego. Z symetrii tensora naprężeń wynika możliwość sprowadzenia go do tzw. osi głównych tj. takich, dla których znikają naprężenia typu ścinającego:

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

0 0

0 0

0 0

T T T T

T T T T

T T T T

→

Zabieg ten sprowadza się do takiego wyboru układu współrzędnych, dla którego krawędzie sześcianu jednostkowego są równoległe do trzech głównych kierunków naprężeń.

Τ3

Τ3

Τ2Τ2

Τ1

Τ1

ij ijkl kl

k l

T C S= ∑∑

Stosując zapis tensorowy, dla ciał anizotropowych prawo Hooka można wyrazić następująco

ij ijkl klT C S=

Powszechnie przyjęto umowę o opuszczaniu sumowania po powtarzających się wskaźnikach(tzw. konwencja sumacyjna Einsteina).

Cijkl jest tensorem sztywności (in. stałych sprężystych) i charakteryzuje własności sprężyste ciała anizotropowego we wszystkich kierunkach.Tensor deformacji Skl jest symetryczny, co wynika z symetrii ciał:

kl lkS S=

Co redukuje liczbę jego niezależnych składowych z 9 do 6.

Symetria Skl implikuje symetrię Cijkl

ijkl jiklC C= ijkl klijC C= ijkl ijlkC C=

co redukuje liczbę składowych z 81 do 21. Dla kryształów kubicznych (perowskity) liczba niezależnych składowych redukuje się do 3.

Szczególnym przypadkiem są materiały izotropowe (o własnościach niezależnych od kierunku), dla których tensor sztywności redukuje się do dwóch stałych Lamé λ i µ

( )ijkl ij kl ik jl il jkC λδ δ µ δ δ δ δ= + +

1dla

0 dlaij

i j

i jδ

==

≠

Prawo Hooka nie zależy od czasu ale można go zdynamizować stosując II zasadę dynamiki

m=F a

ij

i

j

TF

x

∂=

∂Z def. naprężeń

2

2

iji

j

Tu

t xρ

∂∂=

∂ ∂

j

ij ijkl

k

uT C

x

∂=

∂1 2 3

1( , , )

2ji

ij

j i

uuS x x x

x x

∂∂= + ∂ ∂

ij ijkl klT C S=

m Vρ=

2 2

2i l

ijkl

j k

u uC

t x xρ

∂ ∂=

∂ ∂ ∂

22 2

2v

t

∂ Ψ= ∇ Ψ

∂

2

2

iji

j

Tu

t xρ

∂∂=

∂ ∂j

ij ijkl

k

uT C

x

∂=

∂

Równanie to ma postać równania falowego dla funkcji Ψ, która ma w ogólności postać fali płaskiej. Każde odkształcenie zmienne w czasie jest więc w ciele stałym źródłem fali.

( )i ii l x vtAe

− = ku

o ogólnym rozwiązaniu

Jednorodne fale płaskie tego typu nazywane są falami objętościowymi.Podstawienie tego rozwiązania do równania falowego pozwala znaleźć prędkości fazowe tych fal.

Są to trzy fale propagujące się w trzech prostopadłych kierunkach: jedna podłużna i dwie poprzeczne (o równych prędkościach propagacji)

11l

Cv

ρ= 44

t

Cv

ρ=

0,63t lv v≈analogi wzoru Newtona dla ciała anizotropowego

dla większości ciał

2

1 2 3x x x

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

laplasjan jest 3D

W ciele izotropowym wszystkie kierunki są równoważne

1111 1122 23232 , ,C C Cλ µ λ µ= + = =oznaczmy

albo wykorzystując umowę o skróconym zapisie

11 12 442 , ,C C Cλ µ λ µ= + = =

11 1, 22 2, 33 3, 23 4, 13 5, 12 6→ → → → → →

po wprowadzeniu stałych Lame do równania falowego w miejsce i rozpisaniu równaniana składowe otrzymamy:

C

22 21 1

0 21 1

22 22 2

0 22 2

2 2 23 3

0 23 3

( )

( )

( )

i

i i

i

i i

i

i i

uu u

t x x x x

uu u

t x x x x

u u u

t x x x x

ρ λ µ µ

ρ λ µ µ

ρ λ µ µ

∂∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Jeśli ośrodek jest nieściśliwy (brak zmian objętości) to równanie redukuje siędo postaci równania fal poprzecznych

22

0 2tρ µ

∂= ∇

∂u

u0

tvµρ

=

Jeśli ośrodek jest bazwirowy to równanie redukuje się do postaci równania fal podłużnych

0div u =

0rot u =

( )2

20 2

2t

ρ λ µ∂

= + ∇∂

uu

0

2lv

λ µρ+

=

Są to fale czysto poprzeczne i czysto podłużne. W ciałach anizotropowych przemieszczenia cząstek medium nie są na ogół prostopadłe ani równoległe do kierunku propagacji fali (czyste).

w zapisie wektorowym ( )2

20 2

grad divt

ρ λ µ µ∂

= + ∇∂

uu + u

2 2

rot

grad div rot rot∇ ∇u=0

u = u u = u

Każde ograniczenie przestrzeni generuje ośrodek propagacji nowych rodzajów fal

Przetnijmy przestrzeń sprężystą na pół i ulokujmy uzyskaną półprzestrzeń w kartezjańskim układzie współrzędnych tak aby oś x3 była prostopadłą do powierzchni

Poszukiwać będziemy fal płaskich (u2=0) propagujących się w kierunku x1 i zanikających w głąb podłoża; równania fal przyjmą postać:

x1

x2

x3

2 2 2 21 1,11 3,31 1,

2 2 2 23 1,13 3,33 3,

( ) 0

( ) 0

t l t tt

t l t tt

v u v v u u u

v u v v u u u

∇ + − − =

∇ + − − =

przy czym obecnie laplasjan jest 2D i ma postać2

1 3x x

∂ ∂∇ = +

∂ ∂

Często w miejsce wektora przemieszczeń wprowadza się jego postać potencjałową

grad rotϕ +u = Φ

potencjał skalarny potencjał wektorowy

szczególna postać potencjału dla fal płaskich ma postać:

1 ,1 ,3

3 ,3 ,1

u

u

ϕ ψ

ϕ ψ

= +

= +

obydwa potencjały są tutaj skalarami; po ich podstawieniu do równań falowych

2 2,

2 2,

0

0

l tt

t tt

v

v

ϕ ϕ

ψ ψ

∇ − =

∇ − =

w.b.

33 310, 0T T= =

po rozpisaniu i podstawieniu potencjałów

( )( )

33 ,33 ,11 ,13

31 ,13 ,11 ,33

2 2 0

2 0

T

T

λ µ ϕ λϕ µψ

µ ϕ ψ ψ

= + + − =

= − + =

poszukiwać będziemy fal płaskich zanikających z głębokością o ogólnej postaci

3 1

3 1

( )

( )

x i kx t

x i kx t

Ae

Be

α ω

β ω

ϕ

ψ

− + −

− + −

=

=

( )

( )

2 2

2 2

2 2 0

2 0

A k iB k

iAk B k

λ µ α λ µ β

α β

+ − + =

− + + =

współczynniki zanikania wyrazić można poprzez wektor falowy, w tym celu poszukiwanepostacie fal wstawia się do równań ruchu, żądając ich spełnienia; stąd

2 22 2 2 2

2 2,

l t

k kv v

ω ωα β= − = −

( )2 2

2 2 22 2

2 22 2

2 2

2 2 0

2 2 0

l t

l t

A k k iB k kv v

iAk k B kv v

ω ωλ µ λ µ

ω ω

+ − − + − =

− − + − =

przyrównując wyznacznik układu do 0 otrzymuje się następujące równanie charakterystyczne(dyspersyjne):

22 2 2

2 2 2 2 2 22 4 1 1 0

t l tk v k v k v

ω ω ω − − − − =

ponieważ vk

ω=

22 2 2

2 2 22 4 1 1 0

t l t

v v v

v v v

− − − − =

równanie to posiada nietrywialne rozwiązania tylko dla 0< v < vt , w szczególności dlaciał spotykanych w przyrodzie o określonych stałych Lame (i prędkościach fal objętościowych)prędkość v przyjmuje wartości:

0,874 0,995t tv v v< <

ciała ściśliwe ciała nieściśliwe

Przy powierzchni propagować się może fala, która nie jest ani poprzeczna ani podłużna.Wektory przemieszczeń tej fali mają postać:

( )

( )

2 23

2 23

1

3

cos

sin

l

t

x k k

x k k

u Ae kx vt

u Be kx vt

− −

− −

= −

= −

Fala to nosi nazwę fali Rayleigha

u3

u1

u

x3

λ

0,2l

k

Najważniejsze własności fali Rayleigha

- amplituda zanika wraz z oddalaniem się od powierzchni na dystansie rzędu λ

- amplituda jest rzędu ułamka długości fali nawet ~λ−5

- fala ta posiada tylko dwie składowe (brak składowej poprzecznej)

- fala ta posiada polaryzację eliptyczną

- wektor przemieszczeń zatacza trajektorie eliptyczne w kierunku przeciwnym do ruchu fali

- jest to fala płaska, fronty falowe są liniami prostymi (ew. odcinkami) – słabe tłumienie

-

- jest przypowierzchniowym złożeniem modów

poprzecznych i wzdłużnych

0,874 0,995t tv v v< <

Każde ograniczenie przestrzeni generuje ośrodek propagacji nowych rodzajów fal

Ograniczmy półprzestrzeń sprężystą do warstwy (płyty) o grubości 2h i ulokujmy ją w kartezjańskim układzie współrzędnych tak aby oś x3 była prostopadła do powierzchni

x2x1

x3

+h

-h

Poszukujemy nowego rodzaju fal propagujących się w kierunki x1

o prędkości v różnej od vl i vt .

Ponieważ jak dla fali Rayleigha problem jest płaski zastosujemy potencjały:

1 ,1 ,3

3 ,3 ,1

u

u

ϕ ψ

ϕ ψ

= +

= +

spełniające równania:

2 2,

2 2,

0

0

l tt

t tt

v

v

ϕ ϕ

ψ ψ

∇ − =

∇ − =

naprężenia wyrażą się jak poprzednio poprzez:

( )( )

33 ,33 ,11 ,13

31 ,13 ,11 ,33

2 2 0

2 0

T

T

λ µ ϕ λϕ µψ

µ ϕ ψ ψ

= + + − =

= − + =

w.b.33 31T T= dla

3x h= ±

Rozwiązań równań falowych 2 2

,

2 2,

0

0

l tt

t tt

v

v

ϕ ϕ

ψ ψ

∇ − =

∇ − =

poszukiwać będziemy w postaci:

1

1

( )3

( )3

( )

( )

i kx t

i kx t

x e

x e

ω

ω

ϕ

ψ

− −

− −

= Φ

= Ψ

Wstawiając prognozowane rozwiązania do równań falowych otrzymamy układ:

2 2,33

2 2,33

( ) 0

( ) 0

l

t

k k

k k

Φ − − Φ =

Ψ − − Ψ =

którego rozwiązania mają postać:

2 2 2 23 3 3

2 2 2 23 3 3

( ) sinh cosh

( ) sinh cosh

l t

l t

x A k k x B k k x

x C k k x D k k x

Φ = − + −

Ψ = − + − sinh , cosh2 2

x x x xe e e ex x

− −− += =

sinh sin , cosh cosx i ix x ix= − =

Podstawiając te rozwiązania do rozwiązań prognozowanych oraz do wyrażenia na potencjały można wyznaczyć wektor przemieszczeń dla nowej fali i korzystając ze wzorów na naprężenia wyrazić na nowo w.b.Otrzyma się w ten sposób układ 4 równań jednorodnych względem współczynników A, B, C i D. Rozwiązanie tego układu istnieje jeśli jego wyznacznik jest równy 0. Otrzymuje się w ten sposób równanie charakterystyczne pozwalające wyznaczyć prędkość nowej fali.Dyskusja całego rozwiązania jest złożona.Rozpatrzmy dwa szczególne (i zarazem najprostsze) przypadki kiedy przemieszczenia na powierzchniach warstwy są względem płaszczyzny x3 symetryczne i antysymetryczne.

W przypadku symetrycznym symetryczne są naprężenia T33 natomiast T31 będą antysymetryczne.

W takim przypadku ogólną postać rozwiązań można zredukować do:

1

1

( )2 21 3 3

( )2 21 3 3

( ) cosh

( ) sinh

i t kx

l

i t kx

t

x B k k x e

x C k k x e

ω

ω

ϕ

ψ

−

−

= −

= −

Dzięki symetrii wystarczy spełnić w.b. tylko w jednej płaszczyźnie ograniczającej warstwęstąd układ:

( )

( )2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 cosh 2 cosh 0

2 sinh sinh 0

l t t

l l t t

k B k k h i k k k C k k h

ik k k B k k h k k k k k h

ρω µ µ− − − − − − =

− − − − − + − =

generujący równanie dyspersyjne (charakterystyczne) w postaci:

22

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2

0

4 1 1

l t

t

l t

v

tgh k k h v

tgh k k h v v

v v

− − − =

−− −

dla cienkich warstw (małe kh) można tgh aproksymować ich argumentami, wtedy równaniedyspersyjne uprości się do postaci:

x

tghx

1

-1

( )2

2 2 2 2 2 24 0t lk k k k k k− + − − =

stąd 2 22 l tv v v= −

Jeśli zaś warstwa jest gruba λ << h to kh są duże i stosunek tgh w równaniu dyspersyjnym jest w przybliżeniu równy 1. W takim wypadku otrzymuje się równanie dyspersyjne jak dla fali Rayleigha.

Dla modów antysymetrycznych T33 będą także antysymetryczne, zaś T31 symetryczne i rozwiązania próbne przyjmą postać:

1

1

( )2 22 3 3

( )2 22 3 3

( ) sinh

( ) cosh

i t kx

l

i t kx

t

x A k k x e

x D k k x e

ω

ω

ϕ

ψ

−

−

= −

= −

Analogicznie jak dla modów symetrycznych dochodzi się do równania dyspersyjnego, któretym razem przyjmie postać:

2 2

2 2 2 2

22 2 2

2

4 1 1

0

2

l l t

t

t

v v

tgh k k h v v

tgh k k h v

v

− −−

− =−

−

Dla płyt cienkich (długich fal) po rozwinięciu tgh w szereg i odrzuceniu wyrazów małych:

( )22

2

2 2

41

3t

t l

vvkh

v v

= −

Dla płyt grubych (krótkich fal) równania przechodzą w postać fali Rayleigha.

Rodzaje przemieszczeń generowanych przez fale Lamba odpowiadają określonym modomfalowym typu symetrycznego i asymetrycznego. Istnieje duże liczba takich modów zależnieod grubości płyty i częstotliwości. Różnią się one między sobą prędkościami fazowymi iścisły ich opis można podać poprzez krzywe dyspersyjne reprezentujące każdy z nich S0, A0,S1, A1 itd.

W płytach mogą też rozchodzić się, podobnie jak fale Lamba, symetryczne i asymetryczne mody poprzeczne.

k

mod SH0

S0

A0

W podobny sposób można poszukiwać fal w różnych ośrodkach.

W podobny sposób można poszukiwać fal w różnych ośrodkach. Do dobrze poznanych rozwiązań zaliczyć należy:

Fale poprzecznex

zx

Fale Love’a z

x

z

x

ul1

ut1

ul2

ut2

Fale Stonley’a

+ - + -SSBW

Elementy krystalografii

Piezoelektryczność, ferroelektryczność i elektrostrykcja

Kryształ to stan skupienia materii, w którym cząsteczki, atomy lub jony zajmują ściśle określone miejsca w przestrzeni i mogą jedynie drgać tylko w obrębie tychże miejsc. W odróżnieniu od ogólnie rozumianego ciała stałego (np. ciała amorficznego) kryształy posiadają określoną symetrię.

κρύσταλλος - lód

Układ krystalograficzny opisuje się często za pomocą sieci Bravis’a wypełnieniając przestrzeń przez wielokrotne powtarzanie translacji tzw. komórki elementarnej. Sieci Bravais uzyskiwane są przez złożenie 7 systemów krystalograficznych i 4 sposobów centrowania. Spośród teoretycznie możliwych 28 (7x4) sposobów złożeń w naturze występuje tylko 14.

Komórka elementarnaosie krystakograficznestałe sieciowe

Sieć przestrzennawskaźniki węzłów sieci

x

y

z

ab

c

β α

γ x

y

z001 011

101

100 110

010

111

000

1 1 12 2 2

Wskaźniki Millera

UKŁADY KRYSTALOGRAFICZNEukład regularny (sześcienny) a = b = c, α = β = γ = 90o (sól kamienna, diament)układ tetragonalny a = b ≠ c, α = β = γ = 90o (kasyteryt, cyrkon, wezuwian)układ heksagonalny a = b ≠ c, α = β = 90o , γ = 120o (beryl, apatyt, grafit)układ trygonalny a = b ≠ c, α = β = 90o , γ = 120o (kalcyt, korund, kwarc)układ rombowy a ≠ b ≠ c, α = β = γ = 90o (siarka, oliwin, struwit)układ jednoskośny a ≠ b ≠ c, α = γ = 90o , β ≠ 90o (gips, ortoklaz)układ trójskośny a ≠ b ≠ c , α ≠ β ≠ γ ≠ 90o (cyanit, aksynit)

heksagonalny

jednoskośny

regularny (kubiczny)

rombowy

tetragonalnytrygonalny

trójskośny

Najsłynniejsze polskie nazwisko w świecie techniki

Prof. Jan Czochralski1885-1953

„Wyciąganie” monokryształu z fazy ciekłej metodą Czochralskiego.

tygi

el

faza ciekła

fazastała

zarodek

rura

kw

arco

wa

uzw

ojen

ia n

agrz

ewni

cy

obojętnygaz

uzwojenia nagrzew

nicy

Y - LiNbO3

26 mm

x

z

3”

36o

grubość 0,5 mm

czystość kryształuliczba wakansów na jedn. obj.rozrzut grubości mierzony w czterech punktach i w środku płytkipromień krzywizny płytkiniejednorodności powierzchni

PIEZOELEKTRYCZNOŚĆ

F = 0

F = 0 F ≠ 0

F ≠ 0

SiO2 LiNbO3 LiTaO3 BaTiO3 SrTiO3 Pb(ZrTi)O3 KNbO3 KNaC4H4O6·4H2O

F

F

F

F

Proste zjawisko piezoelektryczne

Zachodzi też zjawiska odwrotne!

Prawo Hook’a dla piezoelektryka należy uzupełnić o siły wynikające z piezoefektu

E

ij ijkl kl ijk kT C S e E= −

E

ijklC tensor stałych sprężystych przy stałym natężeniu pola elektrycznego E

eijk tensor piezoelektryczny wiążący pole elektryczne z polem odkształceń

Wektor indukcji elektrycznej D, zwykle zależny tylko od wektora natężenia pola elektrycznego E i tensora przenikalności elektrycznej.W materiałach piezoelektrycznych zależy również od tensora deformacji :

S

i ij j ijk jkD E e Sε= +

tensor przenikalności elektrycznej przy stałej deformacji

Wektor indukcji elektrycznej D można też wyrazić poprzez tensor naprężeń:

,

T

i ij j ijk jk

i j k

D E d Tε= +∑ ∑

tensor przenikalności elektrycznej przy stałym naprężeniu T

ijε

S

ijε

dijk tensor podatności piezoelektrycznej.

Wyprowadzone wcześniej równanie ruchu jest spełnione także w ośrodkach piezoelektrycznych jednakże z uwzględnieniem towarzyszącego deformacjom wektora natężenia pola elektrycznego. Wektor ten, ze względu na fakt, ze fale sprężyste propagują się znacznie wolniej niż elektromagnetyczne (~105 razy) można w przybliżeniu uznać za niezmienny, co upoważnia do wyrażenia go poprzez gradient potencjału:

i

i

Edx

ϕ∂= −

Po wstawieniu tego gradientu i naprężeń do równania ruchu otrzymuje się równanie ruchu dla ośrodka piezoelektrycznego w postaci:

2 22

20Ei k

ijkl ijk

j l j k

u uC e

t x x x x

ϕρ

∂ ∂ ∂− − =

∂ ∂ ∂Ponieważ piezoelektryk jest równocześnie dielektrykiem (używa się też określenia piezodielektryk) czyli ośrodkiem nie zawierającym ładunków swobodnych to:

0div =D

Biorąc powyższe pod uwagę i wykorzystując wyrażenie na indukcję elektryczną w piezoelektryku otrzymamy: 22

0jS

ij ijk

i j i k

ue

x x x x

ϕε

∂∂− =

∂ ∂ ∂ ∂

co daje układ 4 równań na przemieszczenia i potencjał, który w przestrzeni swobodnej musi też spełniać równanie Laplace’a 2 0ϕ∇ =

Seignetto-elektryczność, lub ferroelektryczność - elektryczny odpowiednik ferromagnetyzmu

Ferroelektryki charakteryzują się strukturą domenową, tj. posiadają obszary gdzie elementarne momenty dipolowe są ustawione zgodnie. Dlatego poniżej pewnej temperatury (tzw. Temperatury Curie), gdy ruchy termiczne nie burzą tego uporządkowania, zachowują się one podobnie jak ferromagnetyki. Zjawisko to wykryto po raz pierwszy w soli Seignetta. Najbardziej rozpowszechnionym obecnie ferroelektrykiem jest BaTiO3.

Zależność przenikalności elektrycznej od temperatury dla ferroelektryka jest następująca:

1C

C

T Tε − =

−

Dla tytanianu baru ferroelektryczność zanika powyżej temperatury T=485 K, a stała C =1.8 105 K. Ferroelektryki charakteryzują się bardzo dużą przenikalnością elektryczną nawet rzędu 100 000.

Zależność ta nosi nazwę prawa Curie-Weissa.Jaffe 1971

100 mµ

E

Premanencja

koercja

Wszystkie ferroelektryki są piroelektrykami i piezoelektrykami – jednak nie odwrotnie.

Zjawisku zmiany polaryzacji często towarzyszy zmiana objętości kryształu.

BaTiO3 (408K)

KNbO3 (708K)

PbTiO3 (765K)

LiTaO3 (938K)

LiNbO3

(1480K)

T>TC

T<TC

antyferroelektryk

+ +

+ +

+ +

5000

1000

ε [ ]V/m

T [ C]o25 120

BaTiO3

strukturatetragonalna

strukturaregularna

w rzeczywistości przemian jest więcejT >120 oC – regularna5 oC < T < 120 oC – tetragonalna-90 oC < T < 5 oC – jednoskośnaT< -90 oC - rombowa

Piroelektryk jest ferroelektrykiem o bardzo wysokiej temperaturze Curie nie

obserwuje się go w stanie paraelektrycznym (niespolaryzowanym) do zmiany

jego polaryzacji niezbędne jest bardzo silne pole elektryczne lub wysoka temperatura.Efekt piroelektryczny polega na powstawania ładunków elektrycznych na powierzchni kryształów dielektrycznych pod wpływem zmiany ich temperatury. (gdy podczas ogrzewania jeden koniec pręta piroelektryka staje się dodatni, a drugi ujemny, to przy ochładzaniu zajdzie zjawisko odwrotne); wartość ładunku piroelektrycznego zależy od szybkości zmian temperatury i zwykle wynosi ok. 10-15 C/cm2/oC).

Efekt odwrotny nosi nazwę efektu elektrokalorycznego

Elektrostrykcja jest efektem polegającym na zmianie rozmiarów kryształu pod wpływem pola elektrycznego. Odwrócenie kierunku pola nie skutkuje odwróceniem deformacji. Zmiana rozmiarów jest zwykle niewielka i spowodowana reorientacją molekuł. Współczynnik deformacji (elektyrostrykcyjny) jest tensorem 4-tej walencji:

ij ijkl k lS Q P P= × ×

Pi są wektorami polaryzacji

Zjawiska sprzężone

odpowiedź w postaci zmiany

wymuszenie

siła ciepło E statyczne H statyczne

rozmiaru

lub kształtusprężystość rozszerzalność cieplna

piezoelektryczność odwrotna

piezomagnetyzm odwrotny

elektrostrykcja (odwrotność

piroelektryczności)

magnetostrykcja (odwrotność

magnetosprężystości)

temperatury piezokalorycznośćpojemność cieplna elektrokaloryczność

(odwrotność piroelektryczności)

magnetokaloryczność (odwrotność

piromagnetyzmu)

polaryzacji elektrycznej

piezoelektryczność prostapiroelektryczność

(odwrotność elektrokaloryczności)

polaryzacja elektryczna nie obserwowanyelektrosprężystość

(odwrotność elektrostrykcji)

namagnesowania

piezomagnetyzm prosty piromagnetyzm

(odwrotność magnetokaloryczności)

nie obserwowany namagnesowaniemagnetosprężystość

(odwrotność magnetostrykcji)