Page 1
NERACA MIKROSKOPIK
(Steady State dan Unsteady State Conditions)
Kelompok 5
Adinda Putri Wisman 1006661185
Anissa Permatadietha Ardiellaputri 1006661203
Hermawan 1006775880
Ines Hariyani 1006775893
Linarty 1006686553
Rizki Dwi Saputro 1006775962
Departemen Teknik Kimia
Fakultas Teknik Universitas Indonesia
Depok, 2011
Page 2
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 1
(Neraca Mikrskopik Keadaan Tunak dengan Generasi)
PERPINDAHAN MASSA DENGAN KONVEKSI
I. Konveksi pada Pipa Laminer
Aliran berlapis (laminar flow) dari cairan Newtonian (β¬) yang tidak dapat dikempa
(incompressible) dalam sebuah pipa yang diberi tekanan, ditunjukkan pada gambar 1. Persamaan
distribusi kecepatan dari aliran tersebut adalah.
π£π§ = 2 π£π§ 1 β π
π
2
Secara teori, sebuah cairan (liquid) memiliki spesi π yang uniform dengan konsentrasi ππ΄0
untuk π§ < 0. Untuk π§ > 0, konsentrasi spesi π mulai berubah terhadap fungsi π dan π§ sebagai hasil
dari perpindahan massa dari dinding pipa. Berikut adalah proses pengembangan persamaan dari
konsentrasi spesi π, dengan asumsi viskositas liquid tidak mempengaruhi perpindahan massa.
Dari tabel C.8 pada appendiks C (Tosun, 2006), komponen elemen fluks tak nol untuk spesi π adalah.
r
z
R
βπ§
r
βπ
r
z
Gambar 1. Konveksi melalui sebuah pipa
(1.1)
Page 3
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 2
π²π΄π= βπππ΄π΅
πππ΄
ππ
π²π΄π§= βπππ΄π΅
πππ΄
ππ§+ ππ΄π£π§
Untuk larutan sangat encer, massa jenis total hampir konstan sehingga persamaan (1.2) dan (1.3)
menjadi
π²π΄π= βππ΄π΅
πππ΄
ππ
π²π΄π§= βππ΄π΅
πππ΄
ππ§+ ππ΄π£π§
Membagi persamaan (1.4) dan (1.5) dengan massa molekular dari π, β³π΄, memberikan
πAr= βπAB
βπΈA
βr
πAz= βπAB
βπΈA
βz+ πΈAπ£z
(1.2)
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.7)
(1.6)
Page 4
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 3
Karena tidak ada generasi spesi π, persamaan umum neraca mikroskopik kedaan tunak tanpa
generasi dapat disederhanakan menjadi
Laju masuk
spesi π β
Laju keluar
spesi π = 0
Untuk elemen volume diferensial silinder dengan ketebalan βπ dan panjang βπ§, seperti terlihat pada
gambar, persamaan (1.8) diekspresikan sebagai.
ππ΄π π
2ππβπ§ + ππ΄π§ π§
2ππβπ β ππ΄π π+βπ
2π π + βπ βπ§ + ππ΄π§ π§+βπ§
2ππβπ = 0
Membagi persamaan (1.9) dengan 2ππβπβπ§ dan memberikan limit βπ β 0 dan βπ§ β 0 sehingga.
limβπβ0
(πππ΄π)
πβ (πππ΄π
) π+βπ
βπ+ lim
βπ§β0
ππ΄π§ π§
β ππ΄π§ π§+βπ§
βπ§= 0
atau
1
π
β(πππ΄π)
βπ+
βππ΄π§
βπ§= 0
Subsitusi persamaan (1.6) dan (1.7) pada persamaan (1.11).
π£π§
βπΈA
βπ§=
πAB
π
β
βπ π
βπΈA
βπ + πAB
β2πΈA
βπ§2
Difusi dapat diabaikan karena bilangan dimensi Peclet πππ β« 1, sehingga persamaan (1.12) menjadi.
π£π§
βπΈA
βπ§=
πAB
π
β
βπ π
βπΈA
βπ
Untuk forced convection mass transfer pada silinder dengan radius R, konsentrasi bulk dari ditentukan
dengan formulasi.
πΈπ΄π=
π£π§πΈπ΄ ππππππ
0
2π
0
π£π§ ππππππ
0
2π
0
Integrasi persamaan (1.13).
π£π§
βπΈA
βπ§πππππ
R
0
2π
0
= πAB 1
π
β
βπ π
βπΈA
βπ
R
0
2π
0
πππππ
(1.8)
(1.9)
(1.10)
(1.11)
(1.12)
(1.13)
(1.14)
(1.15)
(1.15)
Konveksi pada arah z
Difusi pada arah r
Difusi pada arah z
Page 5
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 4
Karena π£π§ β π£π§(π§), persamaan (1.15) dapat disusun ulang menjadi.
π£π§
βπΈA
βπ§πππππ
R
0
2π
0
= β(π£zπΈA )
βπ§
R
0
2π
0
πππππ =π
ππ§ π£zπΈA πππππ
R
0
2π
0
Substitusi persamaan (1.14) pada persamaan (1.16).
π£π§βπΈA
βπ§πππππ
R
0
2π
0=
π
ππ§ πΈAb
π£z πππππR
0
2π
0 π¬
= π¬ππΈA b
ππ§
Karena βπΈA βπ = 0 oleh kondisi simetris pada pusat silinder, persamaan (1.15) menjadi.
1
π
β
βπ π
βπΈA
βπ
R
0
2π
0
πππππ = ππ· βπΈA
βπ π =π
Substitusi persamaan (1.17) dan (1.18) pada persamaan (1.15) memberikan persamaan untuk
konsentrasi bulk
π¬ππΈAb
ππ§= ππ·πAB
βπΈA
βπ π=π
(1.16)
(1.17)
(1.18)
(1.19)
Page 6
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 5
A liquid is being transported in a circular plastic tube of inner and outer radii R1 and
R2, respectively. The dissolved O2 (species π) concentration in the liquid is ππ΄0. Develop
an expression relating the increase in O2 concentration as a untion of tubing length as
follows :
a) Over a differential volume element of thickness βπ§, write down the inventory rate equations for
the mass of species π and show that the governing equation is
π¬πππ΄π
ππ§=
2πππ΄π΅
ln(π
2π
1
) (ππ΄β
β ππ΄π)
where ππ΄π΅ is the diffusion coefficient of O2 in a plastic tube and ππ΄β is the concentration of O2 in
the air surrounding the tube. In the development of Eq. (1), note that the molar rate of O2 transfer
through th etubing can be represented by Eq. (B) in Tabel 8.9.
b) Show that the integration of Eq. (1) leads to.
ππ΄π= ππ΄β
β ππ΄ββ ππ΄0
ππ₯π β2πππ΄π΅π§
π¬ ln(π
2π
1
)
Solusi.
a) Pada keadaan tunak (steady conditions) dimana laju akumulasi = 0, dalam kasus ini tidak ada O2
yang tidak larut dalam aliran, persamaan konservasi umum untuk molekul O2 adalah sebagai berikut.
πΏπππ’ πππ π’π O2 β πΏπππ’ ππππ’ππ O2 + πΏπππ’ πππππππ π O2 = 0
a.1. Asumsi π½=0
Pada kasus pipa ini, diasumsikan β=0 dan perpindahan massa tidak mempengaruhi besar viskositas
liquid-nya. Jadi, pada pipa, terdapat dua buah komponen yang tidak mol, yaitu aliran ruah di sumbu z
(Fluks konvektif) dan juga perpindahan (penambahan) molekul O2 yang terlarut dalam aliran Secara
teori, liquid dengan molekul O2 memiliki konsentrasi yang sama ππ΄0 untuk π§ < 0. Untuk π§ > 0,
konsentrasi spesi π berubah sebagai sebuah fungsi ke arah r dan z, dimana aliran perpindahan massa
mengalir dari dinding sepanjang pipa tersebut. Sehingga persamaan perpindahaan massa pada pipa
dapat diekspresikan seperti dibawah ini.
π΄ ππ΄π π
β π΄ ππ΄π π+βπ
+ π΄ ππ΄π§ π§
β π΄ ππ΄π§ π§+βπ§
= 0
SOAL
1
1
2
(2)
(1)
Page 7
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 6
2ππβπ§ ππ΄π π
β 2π π + βπ βπ§ ππ΄π π+βπ
+ 2ππβπ ππ΄π§ π§
β 2ππβπ ππ΄π§ π§+βπ§
= 0
Persamaan diatas kemudian dikalikan dengan 1
2ππβπβπ§, sehingga menghasilkan persamaan yang lebih
sederhana, seperti persamaan di bawah ini.
1
π (πππ΄π
) π
β (π ππ΄π)
π+βπ
βπ+
ππ΄π§ π§
β ππ΄π§ π§+βπ§
βπ§= 0
Kemudian kita dapat melakukan pendekatan βπ β 0 dan βπ§ β 0.
1
π limβπβ0
(πππ΄π)
πβ (π ππ΄π
) π+βπ
βπ+ lim
βπ§β0
ππ΄π§ π§
β ππ΄π§ π§+βπ§
βπ§= 0
β 1
π π
ππ (πππ΄π
) βπππ΄π§
ππ§= 0
ππ΄π dan ππ΄π§
merupakan fluks massa pada arah r dan aliran arah z, dimana besarnya kedua fluks
tersebut, secara matematis dinyatakan dalam persamaan di bawah ini.
ππ΄π= βππ΄π΅
πππ΄π
ππ
ππ΄π§= βππ΄π΅
πππ΄π
ππ§+ ππ΄π
ππ§
Pada ππ΄π§ terjadi penambahan ππ΄π
ππ§ (fluks konvektif) karena pada arah z, perpindahan massa terjadi
disepanjang badan pipa, sehingga terjadi perubahan konsentrasi terhadap volume tabung. Kedua
persamaan fluks terebut kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan hasil pendekatan limβπβ0
dan
limβπ§β0
yang telah kita cari sebelumnya, sehingga menghasilkan persamaan perpindahan massa.
β 1
π π
ππ(π . βππ΄π΅
πππ΄π
ππ) β
π
ππ§ βππ΄π΅
πππ΄π
ππ§+ ππ΄π
ππ§ = 0
1
π π
πππ ππ΄π΅
πππ΄π
ππ + ππ΄π΅
π2ππ΄π
ππ§2β ππ§
πππ΄π
ππ§= 0
1
π π
πππ ππ΄π΅
πππ΄π
ππ + ππ΄π΅
π2ππ΄π
ππ§2= ππ§
πππ΄π
ππ§
Pada larutan dilute liquid, fluks konvektifnya memilki bilangan dimensi Peclet Pe >> 1 dan
ππ΄π΅
πππ΄π
ππ§= 0, maka persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi persamaan di bawah ini.
(3)
(4)
(7)
(5)
(6)
(8)
(9)
(10)
(11)
Page 8
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 7
1
π π
πππ ππ΄π΅
πππ΄π
ππ = ππ§
πππ΄π
ππ§
Untuk konveksi perpindahan massa pada sebuah pipa dengan jari-jari R, konsentrasi aliran βbulkβ
dapat ditentukan melalui persamaan berikut.
ππ΄π=
ππ΄πππ§ π ππ ππ
π
0
2π
0
ππ§π ππ πππ
0
2π
0
ππ΄π ππ§π ππ ππ
π
0
2π
0
= ππ΄πππ§ π ππ ππ
π
0
2π
0
Persamaan ruas kiri dapat disederhanakan sehingga menghasilkan sebuah besaran π¬.
ππ΄π π ππ ππ
π
0
2π
0
ππ§
ππ΄π ππ§π ππ ππ
π
0
2π
0
= π¬ πππ΄π
ππ§
Kemudian, kita dapat menyelesaikan persamaan ruas kanan dengan menuliskan.
ππ΄πππ§ π ππ ππ
π
0
2π
0
= πππ΄π
ππ§ππ§ π ππ ππ
π
0
2π
0
dimana.
πππ΄π
ππ§ππ§ =
1
π π
πππ ππ΄π΅
πππ΄π
ππ
maka.
1
π π
πππ ππ΄π΅
πππ΄π
ππ π ππ ππ
π
0
2π
0
= 1
π π
πππ2 ππ΄π΅
πππ΄π
ππ ππ ππ
π
0
2π
0
ruas kiri ruas kanan
π΄ π = π¬
(12)
(13)
)
(14)
)
(15)
)
(16)
)
(17)
)
(18)
)
Page 9
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 8
= π π
ππ ππ΄π΅ πππ΄π
2π
0
π
0
ππ
= π
πππ΄π
ππ ππ΄π΅ ππ
2π
0
= 2ππ
ππ΄π΅ πππ΄π
ππ
Gabungkan kedua ruas kiri dan kanan, sehingga menghasilkan persamaan.
π¬ πππ΄π
ππ§= 2ππ
ππ΄π΅
πππ΄π
ππ
Berdasarkan Tabel 8.9 Persamaan (B), besar ππ΄π΅ dapat ditentukan dengan formulasi.
Substitusikan persamaan π΅ tersebut ke dalam persamaan sebelumnya, sehingga kita dapat
memperoleh persamaan baru yakni.
π¬ πππ΄π
ππ§= 2ππ
2ππΏ ππ΄π΅ ππ΄ββ ππ΄π
2ππ
πΏ ln(π
1π
2
)
π π
ππ¨π
π
π=
ππ
ππ¨π©
π₯π§(πΉππΉπ
) ππ¨β
β ππ¨π
(19)
)
(20)
)
(21)
)
TERBUKTI
Page 10
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 9
a.2. Asumsi π½ β π
Beberapa asumsi lain pada poin a.2. ini juga sama seperti kasus sebelumnya, dimana koefisien
difusi ππ΄π΅ bernilai konstan, terjadi pada keadaan steady-state, dan tidak terjadi kebocoran, serta
konsentrasi awal O2 dalam aliran adalah ππ΄0, sedangkan konsentrasi akhir dari O2 adalah ππ΄π
dimana
nilai ππ΄π> ππ΄0
.
Untuk perpindahan dari O2 dalam arah radial (r), diasumsikan 0 (nol) karena pada pelat tidak
dapat ditembus oleh molekul O2. Jadi, diasumsikan unsur O2 yang melarut juga berasal dari arah
sumbu z. Sehingga komponen fluks tak-nolnya adalah.
ππ΄π§= βππ΄π΅
πππ΄
ππ§+ ππ΄ππ§
Dengan laju akumulasi = 0, maka persamaan inventarisasinya adalah sebagai berikut.
πΏπππ’ πππ π’π O2 β πΏπππ’ ππππ’ππ O2 + πΏπππ’ πππππππ π O2 = 0
Persamaan tersebut dapat dikembangkan lagi menjadi.
π΄ππ΄π§|π§ β π΄ππ΄π§
|π§+βπ§ + β π = 0
Dengan mensubstitusikan nilai A sebagai komponen luas dan V sebagai komponen volume yang
ditentukan dengan persamaan.
π΄ππππ π π’πππ’ π§ = 2ππβπ
π = 2ππβπβπ§
Maka persamaan (24) dikembangkan lagi menjadi persamaan.
2ππβπππ΄π§|π§ β 2ππβπππ΄π§
|π§+βπ§ + β 2ππβπβπ§ = 0
Persamaan diatas kemudian dikalikan dengan 1
2ππβπβπ§, sehingga menghasilkan persamaan yang lebih
sederhana, seperti persamaan di bawah ini.
πππ΄π§
π§
βπ§β
π ππ΄π§ π§+βπ§
βπ§+ β. π = 0
Lalu, dilakukan pendekatan lim βπ§ β 0.
limβπ§β0
πππ΄π§
π§
β π ππ΄π§ π§+βπ§
βπ§= β β. π
(22)
)
(23)
)
(24)
)
(25)
) (26)
)
(27)
)
(28)
)
(29)
)
Page 11
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 10
βππ(ππ΄π§
)
ππ§+ β. π = 0
βππ(ππ΄π§
)
ππ§= ββ. π
Persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi persamaan di bawah ini.
π(ππ΄π§)
ππ§= β
Dengan metode yang berbeda dengan metode sebelummnya, yakni menggunakan metode pembuktian
satuan, akan dibuktikan bahwa satuan β adalah πππ
π .π3 yang memiliki kesamaan satuan dengan.
π
π=
ππππ
π3
jadi nilai β pada persamaan (32) dapat diganti dengan π
π, yang kemudian menghasilkan persamaan
baru yakni.
π(ππ΄π§)
ππ§=
π
π
dari Tabel 8.9 persamaan (B), kita dapat mengetahui nilai π
π = 2ππΏππ΄π΅(ππ΄β
β ππ΄π)
lnπ
2π
1
Dimana ππ΄β adalah nilai konsentrasi di luar airan (posisi saat O2 bebas) pada π
2 dan ππ΄π
adalah
konsentrasi O2 yang terlarut dalam aliran (pada π
1).
Substitusi persamaan (33) dan (34) ke dalam persamaan (32).
π(ππ΄π§)
ππ§=
2ππΏππ΄π΅(ππ΄ββ ππ΄π
)
π lnπ
2π
1
π(ππ΄π§)
ππ§=
2ππΏππ΄π΅ ππ΄ββ ππ΄π
2ππβππΏ lnπ
2π
1
π(ππ΄π§)
ππ§=
2πππ΄π΅ ππ΄ββ ππ΄π
2ππβπ lnπ
2π
1
karena 2ππβπ = π΄, maka persamaan di atas dapat dirubah menjadi.
(30)
)
(31)
)
(32)
)
(33)
)
(34)
)
(35)
)
(36)
)
(37)
)
Page 12
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 11
π(ππ΄π§)
ππ§=
2πππ΄π΅ ππ΄ββ ππ΄π
π΄ lnπ
2π
1
dengan mensubstitusikan nilai ππ΄π§ pada persamaan (22), maka persamaan diatas dapat dimodiikasi
lagi menjadi.
π
ππ§ βππ΄π΅
πππ΄π΅
ππ§+ ππ΄ππ§ =
2πππ΄π΅ ππ΄ββ ππ΄π
π΄ lnπ
2π
1
karena nilai ππ΄π΅ konstan, ππ΄π΅ = 0, maka
βππ΄π΅
π2ππ΄π΅
ππ§2= 0
Persamaan (39) dapat disederhanakan menjadi persamaan berikut ini.
πππ΄π΅
ππ§π£π§ =
2πππ΄π΅ ππ΄ββ ππ΄π
π΄ lnπ
2π
1
π΄ πππ΄π΅
ππ§π£π§ =
2πππ΄π΅ ππ΄ββ ππ΄π
lnπ
2π
1
nilai dari π΄ dan π£π§ dapat disubstitusikan dengan laju volumetrik (π¬) dengan metode pembuktian
satuan sebagai berikut.
π¬ π3
π = π΄ π£ π2
π
π
Sehingga, persamaan (42) dapat diubah menjadi persamaan dibawah ini.
π π
ππ¨π©
π
π=
ππ
ππ¨π© ππ¨ββ ππ¨π
π₯π§πΉππΉπ
(38)
)
(39)
)
(40)
)
(41)
)
(42)
)
(43)
)
TERBUKTI
Page 13
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 12
b) Persamaan akhir pada point (a) dapat dikembangkan lagi melalui proses integral, seperti
penjabaran di bawah ini.
Kondisi batas.
π§ = 0 ππ΄π= ππ΄0
π§ = π§ ππ΄π= ππ΄π
π¬ πππ΄π
ππ§=
2π ππ΄π΅
ππ(π
2π
1
) ππ΄β
β ππ΄π
πππ΄π
ππ΄ββ ππ΄π
=
2π ππ΄π΅ ππ§
π¬ ππ(π
2π
1
)
πππ΄π
ππ΄ββ ππ΄π
ππ΄π
ππ΄0
= 2π ππ΄π΅ ππ§
π¬ ππ(π
2π
1
)
π§
0
ln ππ΄ββ ππ΄π
ππ΄π
ππ΄0=
2π ππ΄π΅ π§
π¬ ππ(π
2π
1
)
ln ππ΄β
β ππ΄π
ππ΄ββ ππ΄0
=
2π ππ΄π΅ π§
π¬ ππ(π
2π
1
)
ππ΄ββ ππ΄π
ππ΄ββ ππ΄0
= exp
2π ππ΄π΅ π§
π¬ ππ(π
2π
1
)
ππ΄ββ ππ΄π
= ππ΄ββ ππ΄0
exp β2π ππ΄π΅ π§
π¬ ππ(π
2π
1
)
ππ¨π= ππ¨β
β ππ¨ββ ππ¨π
ππ±π© βππ
ππ¨π© π
π ππ (πΉππΉπ
)
(44)
)
TERBUKTI
Page 14
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 13
II. Difusi pada Falling Liquid Film
Absorpsi gas pada dinding kolom yang lembab ditunjukkan pada gambar 2. Cairan Newtonian
(β¬) merupakan cairan incompressible yang tidak dapat dikempa, mengalir pada sebuah plat berlapis
dengan lebar (W) dan panjang (L). Plat tersebut merupakan lapisan tipis dengan ketebalan πΏ yang
dipengaruhi oleh gaya gravitasi. Gas π mengalir pada arah yang sama dengan aliran liquid. Persamaan
distribusi kecepatan pada aliran ini, ditunjukkan dengan persamaan.
π£π§ = π£πππ₯ 1 β π₯
πΏ
2
dimana.
π£πππ =3
2 π£π§ =
πππΏ2
2π
Viskositas liquid dianggap tidak mempengaruhi perpindahan massa.
Secara umum, konsentrasi spesi π pada fasa liquid berubah sebagai fungsi x dan z. Jadi dari
tabel C.7 pada Appendix C, komponen fluks tak-nol adalah.
(2.1)
(2.2)
Page 15
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 14
π²π΄π= βπππ΄π΅
πππ΄
ππ
π²π΄π§= βπππ΄π΅
πππ΄
ππ§+ ππ΄π£π§
Pada larutan dilute liquid, total kepadatan (density) adalah mendekati konstan, sehingga
persamaan (2.3) dan (2.4) menjadi.
π²π΄π₯= βππ΄π΅
πππ΄
ππ₯
π²π΄π§= βππ΄π΅
πππ΄
ππ§+ ππ΄π£π§
Membagi persamaan (2.5) dan (2.6) dengan massa molekular dari π, β³π΄, memberikan.
ππ΄π₯= βπAB
βπΈA
βx
ππ΄π§= βπAB
βπΈA
βz+ πΈAπ£z
Karena tidak ada generasi spesi π, persamaan umum neraca mikroskopik kedaan tunak tanpa
generasi dapat disederhanakan menjadi.
(2.4)
Gambar 2. Difusi pada Falling Liquid Film
(2.3)
(2.6)
(2.5)
(2.8)
(2.7)
Page 16
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 15
Laju masuk
spesi π β
Laju keluar
spesi π = 0
Untuk elemen volume diferensial silinder dengan ketebalan βπ₯ dan panjang βπ§, serta lebar W seperti
terlihat pada gambar 2, persamaan (2.9) diekspresikan sebagai
ππ΄π₯ π₯πβπ§ + ππ΄π§
π§πβπ₯ β ππ΄π₯
π₯+βπ₯
πβπ§ + ππ΄π§ π§+βπ§
πβπ₯ = 0
Membagi persamaan (1.9) dengan πβπ₯βπ§ dan memberikan limit βπ₯ β 0 dan βπ§ β 0 sehingga
limβπ₯β0
ππ΄π₯ π₯
β ππ΄π₯ π₯+βπ₯
βπ₯+ lim
βπ§β0
ππ΄π§ π§
β ππ΄π§ π§+βπ§
βπ§= 0
atau
βππ΄π₯
βπ₯+
βππ΄π§
βπ§= 0
Subsitusi persamaan (1.6) dan (1.7) pada persamaan (1.11).
π£π§
βπΈA
βπ§= πAB
β2πΈA
βπ₯2+ πAB
β2πΈA
βπ§2
Pada arah π§, massa dari spesi π berpindah melalui proses konveksi dan difusi. Difusi dapat diabaikan
karena bilangan dimensi Peclet πππ β« 1, sehingga persamaan (2.13) menjadi.
π£πππ₯ 1 β π₯
πΏ
2
βπΈA
βπ§= πAB
β2πΈA
βπ₯2
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.13)
Konveksi pada arah z
Difusi pada arah x
Difusi pada arah z
(2.14)
Page 17
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 16
H2S is being absorbed by pure water flowing down a vertical wall with a volumetric flow
rate of 6.5 Γ 10-6 m3/s at 200C. The height and the width of the late are 2 m and 0.8 m,
respectively. if the diffusion coefficient of H2S in water is 1.3 Γ 10-9 m2/s and its
solubility is 0.1 kmol/m3, calculate the rate of absorption of H2S into water.
Diketahui. H2S mengalami absorpsi oleh air murni yang mengalir pada sebuah dinding vertikal, yang
memiliki beberapa besaran berikut ini.
π¬ = 6.5 Γ 10-6 m3/s
π = 200C
π» = 2 m
πΏ = 0.8 m
ππ΄π΅ = 1.3 Γ 10-9 m2/s
ππ = 0.1 kmol/m3
Pemahaman Soal.
Berdasarkan soal di atas, problem yang terjadi dimulai ketika senyawa H2S mengalami proses absorbsi
oleh air murni yang mengalir pada sebuah dinding secara vertikal, searah arah π§. Pada proses absorbsi
otomatis terjadi perpindahan molekul dari senyawa H2S ke dalam air. Ketika molekul H2S terabsrobsi
SOAL
2
W
L
x
z
πΏ
πΈβA
Gambar 3. Absorpsi H2S pada dinding vertikal
H2S
Page 18
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 17
oleh air, konsentrasi air yang mengalir akan bertambah, dan nilainya akan semakin tinggi seiring
dengan pergerakan vertikal oleh air menuruni dinding tersebut. Hal ini ditunjukkan oleh profil
konsentrasi berupa garis melengkung berwarna hijau pada Gambar 3. Secara teoritis hal tersebut
dapat dibuktikan dengan pemahaman ketika sebuah molekul teserap oleh molekul lainnya yang
sedang mengalir secara verikal menuruni sebuah dinding, maka konsentrasinya akan bertambah.
Semakin ke bawah nilainya akan semakin tinggi, karena proses absorbsi terus terjadi.
Solusi.
Dengan langkah yang sama dengan penyelesaiian soal nomor 1, asumsi : laju akumulasi = 0, dan laju
generasi β = 0, maka.
πΏπππ’ πππ π’π β πΏπππ’ ππππ’ππ + πΏπππ’ πππππππ π = 0
ππ΄π₯ π₯πβπ§ + ππ΄π§
π§πβπ₯ β ππ΄π₯
π₯+βπ₯
πβπ§ + ππ΄π§ π§+βπ§
πβπ₯ = 0
dimana berdsarkan elemen volum diferensial pada Gambar 3, ketebalan ditunjukkan oleh besaran βπ₯
dan panjang βπ§, serta dinding dengan lebar W.
Persamaan diatas kemudian dikalikan dengan 1
πβπ₯βπ§, sehingga menghasilkan persamaan yang lebih
sederhana, seperti persamaan di bawah ini.
ππ΄π₯ π₯
β ππ΄π₯ π₯+βπ₯
βπ₯ +
ππ΄π§ π§
β ππ΄π§ π§+βπ§
βπ§= 0
Lalu, dilakukan pendekatan lim βπ₯ β 0 dan lim βπ§ β 0.
limβπ₯β0
ππ΄π₯ π₯
β ππ΄π₯ π₯+βπ₯
βπ₯+ lim
βπ§β0
ππ΄π§ π§
β ππ΄π§ π§+βπ§
βπ§= 0
βππ΄π₯
βπ₯+
βππ΄π§
βπ§= 0
Pengembangan persamaan (9), dapat dilakukan dengan mensustitusi kmponen fluks tak-nol pada
kasus perpindahan massa ini, seperti yang telah dituliskan sebelumnya pada persamaan (1.6) dan
(1.7) pada persamaan (1.11), dan menghasilkan persaman baru.
π£π§
βπΈA
βπ§= πAB
β2πΈA
βπ₯2+ πAB
β2πΈA
βπ§2
Telah dijelaskan pada dasar teori, bahwa difusi pada arah z dapat diabaikan. Maka persamaan (6)
ditulis kembali dalam bentuk persamaan dibawa ini.
(1)
(2)
(3)
)
(4)
)
(5)
)
(6)
)
Page 19
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 18
π£πππ₯ 1 β π₯
πΏ
2
βπΈA
βπ§= πAB
β2πΈA
βπ₯2
untuk menyelesaikan persamaan (7) digunakan kondisi batas.
pada π§ = 0 πΈA = πΈA0
pada π₯ = 0 πΈA = πΈβA
pada π₯ = πΏ πππ΄
ππ₯= 0
Berdasarkan problem yang ada, air memiliki konsentrasi awal πΈA0 untuk π§ < 0 (sebelum terjadi
aliran dan proses absorbsi). Pada antar fasa, gas dan liquid (pertemuan kedua permukaan air dan
molekul H2S), diketahui nilai solubility H2S. Sedangkan kondisi batas (21), dimana spesi H2S berada
pada π₯ = πΏ menunjukkan bahwa spesi H2S tidak berdifusi melalui dinding.
Untuk menyelesaikan probem ini digunakan prinsip long contact times, karena kontak antara molekul
air dan H2S terjadi disepanjang dinding vertikal. berbeda dengan konsep short contact times, dimana
secara umum spesi π kontak dengan molekul air (pada kasus ini) menembus /penetrate ke dalam
lapisan film, sehingga spesi π tidak terdeteksi pada π₯ = πΏ . Justru, akan menghasilkan kondisi batas
baru, yakni π₯ = β dimana πΈA = πΈA0.
Untuk sistem ling contact times, pada persegi panjang, elemen volume differensial dari ketebalan βπ₯ ,
panjang βπ§ , dan ketebalan W, persamaan inventarisasinya juga dapat dinyatakan sebagai:
π¬ πΆπ΄π π§ + ππ πβπ΄ β ππ΄π π βπ§ β π¬ ππ΄π π§+ βπ§ = 0
Kemudian membagi persamaan diatas dengan βπ§ dan melimitkan βπ§ menuju 0 maka:
π¬ limβπ§ β0πΆπ΄π π§ β ππ΄π π§+ βπ§
βπ§+ ππ π
βπ΄ β ππ΄π π = 0
atau
π¬ πππ΄π
ππ§= ππ π
βπ΄ β ππ΄π π
Persamaan diatas dapat dipisahkan dan disusun kembali menjadi
π¬ πππ΄π
πβπ΄β ππ΄0
= π ππ ππ§πΏ
0
(ππ΄π )πΏ
ππ΄0
Mengeluarkan integral, menjadi:
ππ = π¬
π πΏln
πβπ΄ β ππ΄0
πβπ΄ β (ππ΄π )πΏ
(9)
(10)
(7)
(8)
Page 20
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 19
Dalam buku Tosun terdapat penurunan ππ dalam keadaan makroskopik (penurunan dapat dilihat
pada buku Tosun persamaan 9.5-130 sampai 9.5-136). Perumusannya adalah
ππ = 4 π·π΄π΅ π£πππ₯
π πΏ
Dengan berbagai pertimbangan berdasarkan nilai Sherwood, nilai Reynold, maka persamaan tersebut
menjadi
ππ = 4π·π΄π΅
ππ‘ππ₯π
Dimana π‘ππ₯π adalah exposure time yang di definisi sebagai
π‘ππ₯π =πΏ
π£πππ₯
Berdasarkan soal yang ada, besaran-besaran diatas dapat dicari melalui langkah awal, yakni
menentukan nilai ππ΄β :
ππ΄β =ππ ππ‘
π
πβ¦ (27)
ππ΄β =0,02336 atm
0,082 πΏ ππ‘ππππ πΎ . 293 πΎ
β¦ (28)
ππ΄β = 9,72 . 10β4 πππππ3 = 9,72 . 10β4 ππππ
π3 β¦ (29)
Kedua, mencari nilai ππ dalam makroskopik, karena pada perumusan ππ data-data yang diketahui
memenuhi dibanding dengan mencari ππ dengan perumusan mikroskopik.
ππ = 4π·π΄π΅
ππ‘ππ₯π
π‘ππ₯π =πΏ
π£πππ₯
π‘ππ₯π =πΏ
ππ΄
karena pada kasus ini yang di tinjau ada pelat persegi maka luas areanya adalah
π΄ = π. πΏ
Page 21
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 20
π‘ππ₯π =πΏ
ππ. πΏ
π‘ππ₯π =π πΏ2
π¬
ππ =
4π·π΄π΅
ππ πΏ2
π¬
ππ = 4π·π΄π΅ . π
π π. πΏ2
ππ = 4. 1,3π₯10β96,5π₯10β6
3,14 .0,8 . 22= 5,79 Γ 10 β8
Lalu, kita mencari nilai ππ΄0 dari persamaan berikut.
ππ =π¬
π πΏln
πβπ΄ β ππ΄0
πβπ΄ β (ππ΄π )πΏ
5,79β8 =6,5π₯10β6
0,8 .2ln
9,72β4 β ππ΄0
9,72β4 β 0,1
1,425β2 = ln 9,72β4 β ππ΄0
β0,09903
π1,425β2=
9,72β4 β ππ΄0
β0,09903
1,01435 β0,09903 = 9,72β4 β ππ΄0
ππ΄0 = 0,101423 πππππ3
Terakhir, kita dapat mencari laju absorbsi dengan rumus .
Laju Absorbsi = ππ΄0π₯ π¬
Laju Absirbsi = 0,101423 πππππ3 π₯ 6,5π₯10β6 π3
π
Laju Absorbsi = π, ππ Γ ππβπ πππππ
Page 22
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 21
Water at 250C flows down a wetted wall column of 5 cm diameter and 1.5 m height at a
volumetric flow rate of 8.5 Γ 10-6 m3/s. Pure CO2 at a pressure of 1 atm flows in the
countercurrent direction. If the solubiity of CO2 is 0.03365 kmol/m3, determine the rate
of absorption of CO2 into water.
Diketahui. Air mengalir pada dinding sebuah tiang, dengan besaran-besaran sebagai berikut.
π¬ = 8.5 Γ 10-6 m3/s
π = 250C
π = 5 cm
π» = 1.5 m
ππ΄π΅ = 1.92 Γ 10-9 m2/s (Appendix D)
ππ΄π = 0.0336 kmol/m3
π = 1 atm
Pemahaman soal.
Problem yang terjadi adalah terdapat sebuah kolom yang lembab (pada dinding bagian dalam kolom
terdapat molekul air (H20). Pada kolom tersebut juga mengalir gas CO2 berlawanan arah jarum jam
(countercurrent directiron), mengitari seluruh dinding kolom. Sehingga terjadilah proses absorbsi
molekul gas CO2 dan menyebabkan terjadinya kontak dengan molekul H20. Dapat disimpulkan bahw
aperpindahan massa yang terjadi adalah perpindahaan CO2 ke araha radial π.
Solusi.
Problem ini diselesaikan dengan mengunakan persamaan inventarisai, dengan kondisi steady state,
dan nilai laju generasinya adalah 0.
πΏπππ’ πππ π’π β πΏπππ’ ππππ’ππ = 0
SOAL
3
πΏ
Air hanya mengalir pada bagian dalam kolom
(aliran ditunjukkan oleh warna biru yang lebih
muda)
Gambar 4. Aliran air pada kolom yang lembab
(1)
x
z
Page 23
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 22
Konsentrasi spesi CO2 berubah sebagai sebuah fungsi ke arah r, dimana aliran perpindahan massa
mengalir dari dinding sepanjang kolom tersebut (sama dengan arah aliran air ke sumbu z). Sehingga
persamaan perpindahaan massa pada kolom dapat diekspresikan seperti dibawah ini.
π΄ ππ΄π π
β π΄ ππ΄π π+βπ
+ π΄ ππ΄π§ π§
β π΄ ππ΄π§ π§+βπ§
= 0
2ππβπ§ ππ΄π π
β 2π π + βπ βπ§ ππ΄π π+βπ
+ 2ππβπ ππ΄π§ π§
β 2ππβπ ππ΄π§ π§+βπ§
= 0
Persamaan diatas kemudian dikalikan dengan 1
2ππβπβπ§, sehingga menghasilkan persamaan yang lebih
sederhana, seperti persamaan di bawah ini.
1
π (πππ΄π
) π
β (π ππ΄π)
π+βπ
βπ+
ππ΄π§ π§
β ππ΄π§ π§+βπ§
βπ§= 0
Kemudian kita dapat melakukan pendekatan βπ β 0 dan βπ§ β 0.
1
π limβπβ0
(πππ΄π)
πβ (π ππ΄π
) π+βπ
βπ+ lim
βπ§β0
ππ΄π§ π§
β ππ΄π§ π§+βπ§
βπ§= 0
β 1
π π
ππ (πππ΄π
) βπππ΄π§
ππ§= 0
Dengan prinsip yang sama pada soal nomor 2, dimana komponen fluks tak-nolnya adalah sebagai
berikut.
ππ΄π= βπAB
βπΈA
βr
ππ΄π§= βπAB
βπΈA
βz+ πΈAπ£z
maka, persamaan (6), dapat dikembangkan lagi dengan mensubstitusi persamaan (7) dan (8).
π£π§
βπΈA
βπ§=
1
rπAB
β
βr
r βπΈA
βπ + πAB
β2πΈA
βπ§2
Perpindan molekular pada arah z sangatlah keci sehingga dapat dianggap 0, sehingga persamaannya
menjadi.
1
rπAB
β
βr
r βπΈA
βπ β π£π§
βπΈA
βπ§= 0
(3)
(4)
(5)
(6)
(8)
(9)
Konveksi pada arah z
Difusi pada arah x
Difusi pada arah z
(2)
(7)
(10)
Page 24
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 23
Untuk menyelesaikan persamaan diatas digunakan kondisi batas berikut ini.
pada π§ = 0 πΈA = 0
pada π = 0 πΈA = πΈβA
pada π = πΏ πππ΄
ππ= 0
Pada π§ = 0, belum terjadi aliran karena belum terjadi proses konveksi sehingga konsentrasi awal
spesi CO2 pada arah z adalah nol (πΈA = 0). Sedangkan saat kondisi π = 0, artinya adalah saat spesi
CO2, tepat akan mengalami proses perpindahan massa (terserap oleh air) konsentrasinya sama dengan
solubility-nya, πΈA = πΈβA . Hal ini karena seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, bahwa CO2,
berpindah pada arah radial. Pada saat π = πΏ, kondisi batas yang terjadi adalah πππ΄
ππ= 0 , dimana hal
ini menjelaskan bahwa spesi CO2 tidak berdifusi menembus dinding dalam kolom.
(12)
(13)
(11)
Page 25
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 24
(Neraca Mikrskopik Keadaan Tidak Tunak tanpa Generasi)
PERPINDAHAN ENERGI
Pemanasan pada Partikel Spherical (berbentuk bola)
Bola pada radius π
awalnya bersuhu sama ππ. Saat π‘ = 0, bola tersebut terekspos pada fluida
dengan temperatur πβ πβ > ππ . Karena perpindahan panas terjadi pada arah r, maka berdasarkan
pada Tabel C.6 Appendix C, komponen fluks tak-nol dituliskan dalam persamaan berikut ini.
ππ = ππ = βπππ
ππ
Untuk volume diferensial partikel berbentuk bola dengan ketebalan βπ, seperti yang ditunjukkan oleh
gambar 5, memiliki persamaan inventarisasi.
Rate
Energy In β
Rate
Energy Out =
Rate of
Energy Accumulation
yang dapat dikembangkan menjadi.
ππ π4ππ2 β ππ π+βπ4π π + βπ 2 =π
ππ‘ 4ππ2βππΔπ π β πβ
Persamaan (3.3) dikalikan dengan 1
4πβπ, dimana βπ β 0, sehingga menghasilkan persamaan.
πΔπ
ππ
ππ=
1
π2lim
βπβ0
π2ππ π β π2ππ π+βπ
βπ
atau
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
Page 26
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 25
πΔπ
ππ
ππ= β
1
π2
π π2ππ
ππ
Substitusi persamaan (3.1) ke dalam persamaan (3.5), sehingga menghasilkan persamaan
pengembangan diferensial untuk temperatur.
πΔπ
ππ
ππ=
π
π2
π
ππ π2
ππ
ππ
Persamaan (3.6) tersebut dapat diselesaikan melalui penentuan kondisi batas, seperti di bawah ini.
pada π‘ = 0 π = πo
pada π = 0 ππ
ππ= 0
pada π = π
πππ
ππ= π πβ β π
Pada kondisi ini, akan digunakan beberapa bilangan dimensi, antara lain.
π =πβ β π
πβ β ππ
π =πΌπ‘
π
2
π =π
π
BiH = π π
π
Mereduksi persamaan (3.6) hingga (3.9), menjadi.
ππ
ππ=
1
π2
π
ππ π2
ππ
ππ
(3.5)
R
Gambar 5. Pemanasan pada Partikel berbentuk Bola
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(4.0)
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
Page 27
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 26
pada π = 0 π = 1
pada π = 0 ππ
ππ= 0
pada π = 1 βππ
ππ= BiHΞΈ
Solusi untuk 0.1 < BiH < 40
π =π’
π
mengkonversi geometri bola menjadi geometri pelat. Substitusi persamaan (4.8) ke persamaan (4.4).
ππ’
ππ=
π2π’
ππ2
Persamaan di atas identik dengan persamaan perpindahan panas keadaan tidak tunak pada geometri
pelat, sehingga penyelesaiannya menjadi persamaan di bawah ini.
π’ = πβπ2π π΄ sin ππ + π΅ cos ππ
atau
π = πβπ2π π΄sin ππ
π+ π΅
cos ππ
π
Dari kondisi batas yang telah ditentukan sebelumnya pada persamaan (4.6) menunjukkan bahwa nilai
π΅ = 0. Pengaplikasian kondisi batas (4.7) memberikan hasil seperti berikut ini.
π΄πβπ2π sin Ξ» β Ξ» cos Ξ» = BiHπ΄πβπ2π sin Ξ»
Dengan penyelesaian π
Ξ»n cot Ξ»n = 1 β BiH
Lima akar pertama dari persamaan (4.13) sebagai fungsi BiH diberikan pada tabel.
BiH Ξ»1 Ξ»2 Ξ»3 Ξ»4 Ξ»5
0 0.000 4.493 7.725 10.904 14.066
0.1 0.542 4.516 7.738 10.913 14.073
0.5 1.166 4.604 7.790 10.950 14.102
1.0 1.571 4.712 7.854 10.996 14.137
2.0 2.029 4.913 7.979 11.086 14.207
10.0 2.836 5.717 8.659 11.653 14.687
(4.6)
(4.7)
(4.5)
(4.8)
(4.9)
(4.10)
(4.11)
(4.12)
(4.13)
Page 28
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 27
Solusi akhirnya adalah sebagai berikut.
π = πΆπ
β
π=1
πβππ2 π
sin πππ
π
Koefisien πΆπ yang tidak diketahui, dapat ditentukan dari kondisi batas (4.5) sehingga.
πΆπ = π
1
0sin πππ ππ
sin2 πππ 1
0ππ
=2
Ξ»n
sin Ξ»n β Ξ»n cos Ξ»n
Ξ»n β sin Ξ»n cos Ξ»n
Penyelesaian akhirnya menjadi
π = 2 1
Ξ»n
sin Ξ»n β Ξ»n cos Ξ»n
Ξ»n β sin Ξ»n cos Ξ»n
β
π=1
πβππ2 π
sin πππ
π
Laju energi yang memasuki bidang bola adalah.
π = 4ππ
2 π ππ
ππ π=π
= β4ππ
π(πβ β π0) ππ
ππ π=1
Substitusi persamaan (4.17) ke dalam persamaan (4.18).
π = 8ππ
π πβ β π0 1
Ξ»n
sin Ξ»n β Ξ»n cos Ξ»n 2
Ξ»n β sin Ξ»n cos Ξ»n
β
π=1
exp βΞ»n2Ο
Besarnya panas yang dipindahkan dapat dihitung melalui persamaan.
π = π ππ‘ = πΏ2
πΌ
π‘
0
π πππ
0
Substitusi persamaan (4.19) ke dalam persamaan (4.20).
π
π0=
6
Ξ»n3
sin Ξ»n β Ξ»n cos Ξ»n 2
Ξ»n β sin Ξ»n cos Ξ»n
β
π=0
1 β exp βΞ»n2Ο
dimana π0 adalah nilai panas yang dipindahkan ke bidang berbentuk bola , dimana driving force-nya
konstan dan sama dengan greatest-nya.
π0 = 4
3 ππ
3 πΔπ πβ β π0
(4.14)
(4.15)
(4.16)
(4.17)
(4.18)
(4.19)
(4.20)
(4.21)
(4.22)
Page 29
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 28
A spherical material of 15 cm in radius is initially at a uniform temperature of 60 Β°C. It is
placed in a room where the temperature is 23 Β°C. Estimate the average heat transfer
coefficient if it takes 42 min for the center temperature to reach 30Β°C. Take π =
0.12 W/m β K and πΌ = 2.7 Γ 10β6m2/s
Solusi.
π
= 15 ππ = 0.15 π
π = 300πΆ
πβ = 250πΆ
π0 = 600πΆ
π‘ = 42 πππππ‘ = 2520 π
π = 0.12 π/π β πΎ
πΌ = 2.7 Γ 10β6m2/s
Untuk menyelesaikan problem di atas, berikut adalah langkah-langkah penyelesaiaanya.
1. Menentukan arah perpindahan panas
Berdasarkan problem tersebut, panas berpindah dari dalam nola ke luar (kulit bola) searah
pada arah radial, hal ini ditunjukkan secara tersirat pada soal dimana suhu awal bola jauh lebih tinggi
dibandingkan dengan suhu fkuilda di sekitar bola, kemudian suhu akhir pusat bola mengalami
penurunan hingga menjadi lebih rendah dibandingkan suhu awalnya. Secara teoritis, panas akan
mengalir dari ebnda bersuhu tinggi ke benda yang bersuhu lebih rendah.
2. Elemen Volume Diferensial
Partikel berbentuk bola dengan jari-jari R berada pada suhu awal seragam T0. Pada t = 0,
partikel tersebut dipaparkan ke dalam fluida dengan temperatur Tβ. Perpindahan panas terjadi dalam
arah r, sehingga satu-satunya fluks energi tak nol adalah :
ππ = ππ = βπππ
ππ
SOAL
4
R
Arah fluks energi
Page 30
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 29
Untuk elemen volumetrik sferis dengan ketebalan βr, maka persamaan laju inventarisasi dapat
dinyatakan sebagai berikut:
ππ π4ππ2 β ππ π+βπ4π(π + βπ)2 =π
ππ‘ 4ππ2βπππΆπ π β πππππ
Dengan mengalikan setiap suku dalam persamaan di atas dengan 1
4πβπ dan melakukan
pendekatan persamaan βrβ0, menghasilkan persamaan sebagai berikut:
ππΆπ
ππ
ππ‘=
1
π2limβrβ0
π2ππ |π β π2ππ |π+βπ
βπ
ππΆπ
ππ
ππ‘= β
1
π2
π π2ππ
ππ
ππΆπ
ππ
ππ‘=
1
π2
π
ππ(π2
ππ
ππ)
3. Menentukan Persamaan Laju Inventarisasi
Problem ini diselesaikan dengan prinsip dasar Neraca Mikroskopik pada Keadaan Unsteady-
State tanpa Generasi, dimana nilai β = 0, dan laju akumulasinya diperhitungkan, sehingga
persamaannya menjadi.
π
ππ‘π ππ πΈπππππ¦ ππ β π
ππ‘π ππ πΈπππππ¦ ππ’π‘ = π
ππ‘π ππ πΈπππππ¦ ππππ’ππ’πππ‘πππ
4. Menentukan kondisi batas
pada π = 0 π = 1
pada π = 0 ππ
ππ= 0
pada π = 1 βππ
ππ= BiHΞΈ
Pada kondisi batas I dimana π = 0, berdasarkan persamaan π =πΌπ‘
π
2 berarti pada saat tersebut
π‘ = 0 dan bila diamati pada kondisinya pada saat waktu belum berjalan π = 1. Sedangkan pada saat
π = 0, berdasarkan persamaan π =π
π
berarti π = 0, dimana kondisi tersebut berada pada titik tengah
sferis, dan saat itulah tidak terjadi perubahan temperatur berdasarkan perubahan posisi, ππ
ππ= 0.
Untuk kondisi batas III, yakni pada saat π = 1 dan meninjau persamaan π =π
π
, berarti π = π
. Hal
tersebut menunjukkan bahwa kondisi ini terjadi tepat pada bagial luar bola (bagian kulitnya),
sehingga fluks konvektif-nya akan sama dengan fluks molekularnya βππ
ππ= BiHΞΈ.
5. Menentukan nilai π
Untuk menentukan besaran ini, digunakan persamaan dasar sebagai berikut.
Page 31
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 30
π =πΌπ‘
π
2
setelah dimasukkan nilai yang terdapat pada soal, maka akan diperoleh.
π =2.7 Γ 10β6m2/s Γ 2520 s
(0.15 m)2
π = π. ππππ
6. Menentukan nilai π½
Untuk menentukan besaran ini digunakan persamaan dasar.
π =πβ β π
πβ β ππ
kita dapat memasukkan nilai suhu yang diketahui dalam soal, dan diperoleh nilai π sebagai
berikut ini.
π =25 β 30
25 β 60
π½ =π
π
7. Menghitung nilai π
Besarakan ini dapat ditentukan dengan persamaan dasar.
π =π
π
nilainya dapat ditentukan dengan memasukkan nilai r dan R yang diperoleh dari soal,
sehingga.
π =0
0,15
π = 0
8. Melakukan pendekatan nilai π β π (mendekati nol),
sehingga dapat ditulisakan limit untuk salah satu faktor pengali pada persamaan akhir (4.17)
sebagai berikut:
limπβ0
sin(π1π)
π= π1
9. Menghitung nilai Ξ»1 berdasarkan persamaan (4.17) dan nilai-nilai π, π, πππ π yang telah
dihitung pada langkah-langkah sebelumnya. Nilai-nilai π, π, πππ π disubtitusikan ke dalam
persamaan (4.17) sebagai berikut:
Page 32
Peristiwa Perpindahan
Neraca Mikroskopik
(Steady State dan Unsteady State Conditions) 31
π = 2 1
ππ π ππππ β πππππ ππ
ππ β π πππππππ ππ πβππ
2 πsin(πππ)
π
β
π=1
Penentuan π dapat dilakukan melalui perhitungan tabel Trial Error. Setelah diperoleh nilai ππ ,
maka kita dapat meencari nilai BiH nya melalui persamaan.
π1 cot π1 = 1 β BiH
terakhir, koeisien perpindahan panasnya π dapat ditentukan dengan persamaan dasar.
BiH = π π
π