Pp 5(bab 5)

IIntegralntegral

http://images.google.co.id/imgres?imgurl=http://streams.gandhiserve.org/images/einstein.jpg&imgrefurl=http://streams.gandhiserve.org/einstein.html&h=488&w=381&sz=37&tbnid=bPVjN0hsm4TdKM:&tbnh=130&tbnw=101&prev=/images%3Fq%3Dfoto%2Beinstein%26um%3D1&start=2&sa=X&oi=images&ct=image&cd=2

Slide - Slide - 22IntegralIntegral FT – BUDI LUHURFT – BUDI LUHUR

IntegralIntegral

Jika F(x) adalah sebuah fungsi yg turunannya :Jika F(x) adalah sebuah fungsi yg turunannya : FF′′ (x) = f(x) pd interval tertentu dari sumbu-x, (x) = f(x) pd interval tertentu dari sumbu-x, maka F(x) disebut anti-turunan atau integral tak maka F(x) disebut anti-turunan atau integral tak tentu dari f(x) yg diberikan oleh : tentu dari f(x) yg diberikan oleh : F(x) + CF(x) + CDgn C sebarang konstanta, disebut Konstanta Integrasi.Dgn C sebarang konstanta, disebut Konstanta Integrasi.Anti-diferensiasi adalah proses menemukan anti-Anti-diferensiasi adalah proses menemukan anti-turunan dari suatu fungsi, simbol turunan dari suatu fungsi, simbol ∫∫ menyatakan menyatakan operasi anti-diferensiasi dan ditulis :operasi anti-diferensiasi dan ditulis :

∫∫ f(x) dx = F(x) + Cf(x) dx = F(x) + C


Rumus-rumus Dasar IntegralRumus-rumus Dasar Integral

Culnu

du +=∫ ∫≠>

+=

1a0,a

;Caln

adua

uu

Culnu

du +=∫

Anti-diferensiasi adl. operasi invers dari diferensiasi,Anti-diferensiasi adl. operasi invers dari diferensiasi,maka rumus-rumus anti-diferensiasi dpt diperoleh maka rumus-rumus anti-diferensiasi dpt diperoleh dari rumus-rumus diferensiasi.dari rumus-rumus diferensiasi.Rumus-rumus dasar u/ integrasi dpt dibuktikan dari Rumus-rumus dasar u/ integrasi dpt dibuktikan dari rumus diferensiasi bersangkutan.rumus diferensiasi bersangkutan.

1.1. 2.2.

∫ += Cxdx1

dxvdxudxv)(u ∫∫ ∫ +=+

3.3.

dxuadxua∫ ∫=

4.4. 1mC,1m

uduu

1mm −≠+

+=∫

+

5.5.

6.6.

∫ ≠>+= 1a0,a ;Caln

adua

uu

7.7. ∫ += Cedue uu

c+=∫ ulnu

du


8.8.

10.10.

9.9.

11.11.

∫ +−= Cucosduusin

12.12.

Cusinduucos +=∫

13.13.

cusecduutan +=∫

14.14.

Cusinlnduucot +=∫

15.15.

∫ ++= Cutanuseclnduusec

16.16.

Cucotucsclnduucsc +−=∫

17.17.

∫ += Cutanduusec2

18.18.

∫ +−= Cucotduucsc2

19.19.

∫ += Cusecduutanusec

20.20.

∫ +−= Cucscduutanucsc

∫ +=−

Ca

usinarc

ua

du22

∫ +=+

Ca

utanarc

a

1

ua

du22

∫ +=−

Ca

usecarc

a

1

auu

du22


21. 21. Cau

auln

2a

1

au

du22

++−=

−∫

22. 22. Cua

ualn

2a

1

ua

du22

+−+=

−∫

23. 23. ( ) Cauulnau

du 22

22+++=

+∫

24. 24. ( ) Cauulnau

du 22

22+−+=

−∫

C

a

usinarca

2

1uau

2

1

duua

222

22

++−=

−∫

C)au(ulna2

1auu

2

1

duau

22222

22

+++++=

+∫

25.25.

26.26.

27. 27.

Cauulna2

1auu

2

1

duau

22222

22

+−+−−=

−∫


Selesaikan soal integrasi dibawah ini :Selesaikan soal integrasi dibawah ini :

1.1. ∫ ∫ +== C5xdx55dx

∫ += C6

xdxx

652.2.

3.3. C

x

1C

1

xdxx

x

dx 12

2+−=+

−==∫ ∫

−−

Cz

4

3C

4/3

z

dzzdzz

4/34/3

1/33

+=+=

= ∫∫4.4.

5.5. ∫ ∫ +=== − C3x

1/3

xdxx

x

dx 1/31/3

2/3

3 2

∫ =+− 3)dx5x(2x2

6.6.

∫ ∫ ∫∫ +−= dx3xdx5dxx2 2

C3x2

5x

3

2x 23

++−=

7.7. ∫ ∫ −=− )dxx(xdxxx)(1 3/21/2

∫ ∫∫ −= dxxdxx 3/21/2

Cx5

2x

3

2 5/23/2 +−=


=−+

∫ dxx

45xx2

23

8.8.

Cx

45xx

2

1

C1

4x5xx

2

1

)dx4x5(x

2

12

2

+++=

+−

−+=

−+=−

−∫C2xln ++=

Cxlndx

x +=∫9.9.

10.10. ∫ ∫ ++=

+ 2x

2)d(x

2x

dx

Mis. : u = 2x – 3 ⇒ du = 2 dx Sehingga :

11.11. ∫ − 32x

dx

Culn2

1

u

du

2

1

32x

dx +==− ∫∫

∫ ∫ −+=

− 32x

3)d(2x

2

1

32x

dx

:atau

C32xln2

1 +−=

C32xln2

1 +−=


Integral TrigonometriIntegral Trigonometri

Persamaan-persamaan dibawah ini diperlukan untuk Persamaan-persamaan dibawah ini diperlukan untuk menemukan integral-integral Trigonometri : menemukan integral-integral Trigonometri :

1) sin1) sin22x + cosx + cos22x = 1x = 12) 1 + tan2) 1 + tan22x = secx = sec22xx3) 1 + cot3) 1 + cot22x = cscx = csc22xx

4) sin4) sin22x =x =

( )2xcos12

1 −

5) cos5) cos22x =x =

( )2xcos12

1 +

6) sin 2x = 2 sin x cos x6) sin 2x = 2 sin x cos x

7) 2 sin x cos y = cos (x - y) – cos (x + y)

8) 2 sin x sin y = cos (x – y) – cos (x + y)

9) 2 cos x cos y = cos (x – y) + cos (x + y)

10) sin (x + y) = sin x cos y – cos x sin y

11) cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y


12)12)

ytanxtan1

ytanxtany)(xtg

−+

=+

13) 13) sin x + sin y =

−

+

2

yxcos

2

yxsin2

14) 14) sin x - sin y = 2 cos

−

+

2

yxsin

2

yx

15) cos x – cos y = - 2 sin

−

+

2

yxsin

2

yx


Contoh :Contoh :

Cx2

1cos2x

2

1.dx

2

1sin2dxx

2

1sin +−=

=

∫ ∫1)1)

2)2) ( ) ( ) ( ) ( ) Cxxdxdxx +==∫ ∫ 3sin3

13.3cos

3

13cos

3)3) ).(cossincossin 22∫ ∫= dxxxdxxx

C3

xsind(sinx)xsin

32 +== ∫

4)4) ( ) ( ) ( ) Csec2xln2

12x.d2xtan

2

1dx2xtan +== ∫∫


7)7) Misal : u = sin x ⇒ du = cos x dx Sehingga :

dxxcosxsin10∫

Cx

Cu

duuxdxx +=+== ∫∫ 11

sin

11cossin

11111010

8)8)

∫ +=−

C2

xsinarc

x4

dx2

9)9)

9)9) ∫ +=

+C

xarc

x

dx

3tan

3

1

9 2

∫ ∫ +=−

=−

Cx

arcx

dx

x

dx

5

4sin

4

1

)4(5

4

4

1

1625 222

10)10) ∫ ∫ +=

+=

+C

xarc

x

dx

x

dx

3

2tan

6

1

3)2(

2

2

1

94 222


Integral ParsialIntegral Parsial

Bentuk integral yg sering timbul, adl. suatu integral yg integrannya merupakan hasil ganda dari suatu fungsi x, dgn differensial dari fungsi x yg lain.Andaikan U & V fungsi dari x, maka dicari hasil dari bentuk :

Dalam hitung differensial diketahui, bahwa :d(U.V) = U dV + V dU

atau U dV = d (U.V) – V dUmaka :

∫U.dV

Integral dgn bentuk ini disebut integral parsial.∫ ∫−= dUVU.VdVU


Contoh :

1. Cari : ?

dxex2x3∫

Penyelesaian : Mis. : U = → dU = 2x dx dan : dV = x dx →

Maka :

2x2xe 2xe

2

1V =

Ce2

1ex

2

1

dxxeex2

1dxex

22

222

xx2

xx2x3

+−=

−= ∫∫


2. Hitung :2. Hitung :

dxxx∫ sin

Penyelesaian :Penyelesaian :

Misal : U = x Misal : U = x →→ dx = du dx = du dV = sin x dx dV = sin x dx →→ v = = - cos x v = = - cos x

Maka : Maka :

Atau :

dxsinx∫

∫∫ −−−= cosx)dx(xcosxdxsinxx

Cxxx ++−= sincos

∫∫ = [cosx]dxdxdxsinxx


3. Hitung :3. Hitung :

dxlnxx∫

Penyelesaian : Misal : U = ln x → dU = 1/x dx dan dV = x dx → 2

xV

2

=

)x2

1(xdlndxxlnx 2∫∫ =∴

∫−= )x(lndx2

1xlnx

2

1 22

∫∫ −=−= xdxxxdxx

xxx2

1ln

2

11

2

1ln

2

1 222

Cxxx +−= 22

4

1ln

2

1


Integral Fungsi RasionalIntegral Fungsi Rasional

Suatu fungsi F (x) = , dimana f(x) & g(x) adl. polinomial, disebut : Fungsi Pecah Rasional. Jika pangkat f(x) lebih rendah daripada pangkat g(x), F(x) disebut Proper, sebaliknya F(x) disebut Improper. Sebagai contoh :

Setiap pecahan rasional yg proper dpt dinyatakan sebagai suatu jumlahan dari pecahan-pecahan yg sederhana yg penyebutnya berbentuk :(ax + b)n atau/dan (ax2 + bx + c)n, dimana n bulat positif.

g(x)

f(x)

2323

34

xx

1xx

xx

1xxx

−+−=

−−−−


4 Kemungkinan yg timbul dalam pecahan rasional proper :

(a) Semua faktor dari penyebut linier dan berlainan

Pecahan rasional yg proper F(x), penyebut g(x) dapat dinyatakan sbg perkalian faktor-faktor linier yg berlainan, misalnya : g(x) = (x – a1)(x – a2) ............. (x – an) dimana : , maka :

U/ menghitung A1, A2, ... An (koefisien-koefisien tak tentu) kedua bagian diatas disamakan, a/ mengambil harga-harga x tertentu.

n321 a......aaa ≠≠≠

n

n

3

3

2

2

1

1

ax

A......................

ax

A

ax

A

ax

A

g(x)

f(x)

−++

−+

−+

−=F (x) =


Contoh :Contoh :

1) Tentukan : dxxx

x∫ −−

−6

132

Penyelesaian : Penyebut :

PPecahan rasional dapat ditulis :

Maka dipenuhi bentuk : 3x – 1 = A(x - 3) + B(x + 2) setara/ekivalen dgn : 3x – 1 = (A + B)x + (-3A + 2B)

3)1)(x(x6xx2 −+=−−

3x

B

2x

A

3)2)(x(x

13x

−+

+=

−+−

3)2)(x(x

2)B(x3)A(x

−+++−=


U/ menentukan nilai A & B :Bagian kiri identik dgn bagian kanan, berarti koefisien-koefisien dari x yg berpangkat sama dari kedua bagian tsb harus sama. Jadi : Koefisien x → 3 = A + B

Koefisien xo → -1 = -3A + 2BDari 2 persamaan tsb diperoleh A = 7/5 dan B = 8/5. Shg :

3x5

8

2x5

7

3)2)(x(x

13x

6xx

13x2 −

++

=−+

−=−−

−

∫ ∫∫ −+

+=

−−−

dx3x

1

5

8dx

2x

1

5

7dx

6xx

13x2

dan

Cxx +−++= 3ln5

82ln

5

7


(b) Semua faktor dari penyebut linier, (b) Semua faktor dari penyebut linier, tetapi ada beberapa yg sama tetapi ada beberapa yg sama (berulang)(berulang)

Untuk tiap faktor linier (ax + b) yg timbul n kali dalam penyebut dari pecahan rasional, ditulis sbg penjumlahan dari n pecahan parsial dalam bentuk :

dimana Ai ( i = 1, 2, …………., n) konstanta yg harus dicari.

nn

33

221

b)(ax

A................

b)(ax

A

b)(ax

A

bax

A

+++

++

++

+


Contoh :Contoh :

1) Tentukan : dx3)2)(x(x

19)22x(3x2

2

∫ −++−

Penyelesaian : Perhatikan :

Dgn menyelesaikan persamaan ini didapatkan harga- harga A=3, B=0 dan C = -4. Maka :

22

2

3)(x

C

3x

B

2x

A

3)2)(x(x

1922x3x

−+

−+

+=

−++−

2)C(x3)2)(xB(x3)A(x1922x3x 22 ++−++−=+−

∫ ∫∫ −−

+=

−++−

22

2

3)(x

dx4

2x

dx3dx

3)2)(X(x

19)22x(3x

C3x

42)ln(x3 +

−++=


(c) Beberapa faktor penyebut adl. kuadratis & tak berulang

Untuk tiap-tiap faktor yg memiliki bentuk : , dinyatakan sbg pecahan parsial dari bentuk :

cbxax2 ++

cbxAx

BAx2 ++

+

Contoh :1) Tentukan : ∫ + xx

dx3

Penyelesaian : Penjabaran :

1)x(x

1

xx

123 +

=+

1)x(x

C)x(Bx1)A(x

1x

CBx

x

A2

2

2 ++++=

+++=

Dgn menyelesaikan persamaan didapatkan harga-harga A = 1, B = -1 dan C = 0 Jadi :

C)x(Bx1)A(x1 2 +++=ACxB)x(A1 2 +++=

∫ ∫ ∫ +−=

+dx

1x

x

x

dx

xx

dx23

Cxx ++−= )1ln(2/1ln 2

C1x

xln

2

12

++

=


(d) Beberapa Faktor Penyebut adl. kuadratis dan berulang Untuk faktor kuadratis dgn bentuk yg berulang n kali dlm penyebut pada pecahan rasional yg proper, ditulis sbg jumlahan dari n pecahan parsial dlm bentuk :

di mana A1 dan B1 konstanta yang harus dicari.

cbxax2 ++

n2nn

2222

211

c)bx(ax

BxA..................

c)bx(ax

BxA

cbxax

BxA

++++

+++

+++


Contoh :

1) Tentukan :

∫ +++

dx2)(x

3x2x22

3

Penyelesaian :

Penjabaran :

Maka :

22222

3

2)(x

DCx

2X

BAx

2)(x

3x2x

+++

++=

+++

22

2

2)(x

D)(Cx2)B)(x(Ax

+++++=

D)(Cx2)B)(x(Ax3x2x 23 ++++=++

D)(2BC)x(2ABxAx3x2x 233 +++++=++

Dgn menyelesaikan pers. Didapat : Koefisien : x3 → 2 = A x2 → 0 = B x1 → 1 = 2A + C ; C = -3 x0 → 3 = 2B + D ; D = 2


Diselesaikan dulu integral :

Misalkan :

∫ ∫∫ +−−

+=

+++

dx2)(x

23xdx

2x

2xdx

2)(x

3x2x22222

3

∫ ∫ ++

+−+=

22222

2)(x

dx2

2)(x

xdx32)ln(x

dqqsec2dxqtg2x 2=→=

Jadi bentuk integral :

Lanjutan :Lanjutan :


∫ ∫∫ ==+

dqqdqq

q

x

dx 24

2

22cos24

1sec4

sec2

)2(

∫ += dqq)2cos1(2124

1

C)2x(4

x

2

xtgarc28

1C)q2sin21q(28

12

++

+=++=

Hasil integral seluruhnya :Hasil integral seluruhnya :

Cx

xxtgarcxdx

x

xx ++

++++=+

++∫ )2(2

3

224

1)2(ln)2(

322

222

3



Integral TertentuIntegral Tertentu

Notasi untuk integral tertentu , maka f(x) disebutNotasi untuk integral tertentu , maka f(x) disebut

integran a disebut batas bawah dan b disebut batas atas.integran a disebut batas bawah dan b disebut batas atas.

Untuk menyelesaikan integral tertentu gunakan teorema dasar kalkulus integral, yaitu : jika f(x) kontinu dalam selang [a,b] dan jika F(x) adalah integral tertentu dari f(x), maka :

∫b

a

dxf(x)

F(a)F(b)F(x)dxf(x)b

a

b

a

−==∫


Contoh :Contoh :

1)1)

[ ]3

28

3

2613

3

1x

3

1dxX 33

3

1

33

1

2 ==−=

=∫

2)2)

∫∫ +−=−6

1

26

1

2 4)dx4x(xdx2)(X

3

22142

3

12472

3

216

4(1)2(1)(1)3

14(6)2(6)(6)

3

14x2xx

3

1 23226

1

23

=

+−−

+−=

+−−

+−=

+−=

3)3)

0

π/2

0

π/2

0

π/2

cos(2x)2

1x)sin(2x)d(2

2

1sin(2x)dx∫ ∫

−==

[ ]

[ ] 1)]1(1[2

1)cos()0cos(

2

1

)2..2cos()0.2cos(2

1

−=−−−=−−=

−−=

π

π



4) 4) ∫∫ −−= −−3

2

x/23

2

x/2 )2

xd(e2dxe

)e2(e]2[e 13/232

x/2 −−− −−=−=

)e2(e 3/21 −− −−=

5) 5) ∫−

−

−

−+=

+

10

6

10

62xln

2x

dx

2ln4ln8ln =−=

6) 6) 2

2

2

22 2

xtanarc

2

1

4x

dx

−−∫ =

+

π4

1π4

1π4

1

2

1 =

−−=



7)7) ∫ ∫ ++=+2

0

2

0

21/222 5).(1/2)d(x5)(xdx5xx

2

0

3/222

0

3/22 5)(x3

15)(x

3/2

1

2

1 +=+

=

3

559)55(27

3

1)5(9

3

1

5)(03

15)(2

3

1

3/23/2

3/223/22

−=−=−=

+−+=

8)8) ∫ ∫ −=−−=−1/5

0

1/5

0

101/5

0

99 1)(5x10

1(1/5).1)(1/5)d(5x1)(5xdx1)(5x

[ ]

50

1)10(

50

1

}1)0(5{}1)5/1(5{50

1)15(

50

1 10105/1

0

10

−=−=

−−−=−= x


Soal-soal tambahan :Soal-soal tambahan :

A. Kerjakan soal integrasi berikut ini :A. Kerjakan soal integrasi berikut ini :

1. 1. 4)dx5x4x(2x 23 ++−∫ 2. 2. ∫

+− dx

x

2x

2

1x

3. 3. ∫ − 31)(x

dx

4. 4. ∫ − dyyy1 34

5. 5. ∫ + 2x

3xdx2

6. 6. dxx)x(4 222∫ −

7. 7. ∫ dxxcotx 2

8. 8. dxx3tanx3sec∫

9. 9. dxxx∫ + )cos(sin

10. 10. dxx

e x∫

− 2



11)11)

12. 12.

13. 13.

14. 14.

15. 15.

16. 16.

17. 17.

18. 18.

19. 19.

20. 20.

21. 21.

∫ + 2x1

xdx2

dxeex 33)1( +∫

∫ xdx2sin

∫ dxe6 x3

∫ +12

2

x

x

e

dxe

dxx∫ 2

1cos

dxx∫ 2tan

dxax4

∫dxex4

∫

∫ dxex x32

dxxx 322 sec∫

22. 22. dxe x∫ + )32(

Pp 5(bab 5)

Documents