PowerPoint Presentation - · PDF file2 1. Yapı Statiği I-II Adnan ÇAKIROĞLU ve Enver ÇETMELİ. 2. Çözümlü Örneklerle Yapı Statiği Hüsnü...

22

1. Yapı Statiği I-IIAdnan ÇAKIROĞLU ve Enver ÇETMELİ

2. Çözümlü Örneklerle Yapı StatiğiHüsnü CAN

3. Taşıyıcı Sistemler ve Yapı Statiğiİsmail İlhan SUNGUR

4. Yapı Statiği, Sonlu Elemanlar Metodu, Bilgisayar Destekli Sistem AnaliziAzer Arastunoğlu KASUMOV

5. Yapı StatiğiYalçın AKÖZ

6. Yapı Statiği I-IIMustafa KARADUMAN ve Şanser DURAN

7. Matrix Structural MechanicsLewis P. FELTON and Richard B. NELSON

…

Yararlanılabilecek Bazı Kaynaklar

33

GirişYapı Mühendisliğinin AmacıYapı Mühendisliğinde İzlenen YolYapı Statiğinde Yapılan KabullerYapı SistemleriDış Etkiler (Yükler) ve SınıflandırılmasıYapı Sistemleri İçin Bazı TanımlarDenge DenklemleriMesnet TepkileriKesit Tesirleriİzostatik, Hiperstatik ve Oynak (Labil) SistemlerKesit Tesir DiyagramlarıYük-Kesme Kuvveti-Eğilme Momenti Arasındaki Bağıntılarİzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı- Basit Kirişler, Konsol Kirişler ve Konsollu kirişler- Gerber Kirişleri- Üç Mafsallı Çerçeve ve Kemerler- Kafes Sistemlerİzostatik Sistemlerin Hareketli Yüklere Göre Hesabı- Basit Kirişler, Konsol Kirişler ve Konsollu kirişler- Gerber Kirişleri- Üç Mafsallı Çerçeve ve Kemerler- Kafes Sistemler

Konu Başlıkları

44

• İnşaat Mühendisinin görevleri:

- Tasarım (projelendirme) Proje mühendisi- Yapım (inşaat) Şantiye mühendisi- Bakım ve işletme Şantiye mühendisi

Yapı Statiği dersleri, yapıların tasarımı için gereken bilgilerinönemli bir kısmını içermektedir. Diğer bir değişle Yapı Statiğidersi mühendisin kendi alanında karşılaşacağı ve yapmaklayükümlü olduğu çeşitli yapı sistemlerinde uygulanmak üzereçözüm yöntemlerini öğretir.

- Bir yapı sisteminin çözümlenmesi:a) Sistemin kesit tesirlerinin hesaplanması (Yapı Statiği dersi)b) Hesaplanan kesit tesirlerini emniyetle taşıyabilecek şekilde sistemin

boyutlandırılması (Betonarme, Çelik Yapılar dersleri)

Giriş

55

• Yapı, insanların belirli ihtiyaçlarını karşılamak üzere çeşitli yapımmalzemelerini ve tekniklerini kullanarak meydana getirdikleri her türlüyer altı ve yer üstü tesislerine denilmektedir. Yapıların bir mühendislikürünü olabilmeleri için yapıları

- belirli bir güvenlikte

- yeterli bir rijitlikte

- ve en ekonomik olarak

boyutlandırmak gerekmektedir.

Yapı Mühendisliğinin Amacı

66

• Güvenlik: Dış etkiler nedeniyle yapıda oluşan zorlanmalar, yapının taşıyabileceği(karşı koyabileceği) sınır değerlerden belirli bir güvenlik katsayısıkadar küçük olmalıdır.

a) Emniyet gerilmeleri esasına göre boyutlandırma

b) Taşıma gücü esasına göre boyutlandırma: daha güvenilir vegenellikle daha ekonomik sonuçlar veren bir boyutlandırma yöntemidir.

Her iki boyutlandırma yönteminde de, ayrıca yapının stabilite(kararlılık) kontrolü yapılmalıdır.

• Ekonomi:Malzeme + işçilik + bakım masrafları minimum olmalıdır.


77

• Rijitlik: Dış etkiler nedeniyle yapıda meydana gelen yer değiştirmeler sınırlıolmalıdır. Bunun nedenleri kısaca:

a) duvar, döşeme kaplaması … vb. gevrek yapı elemanlarının hasargörmelerinin engellenmesi

b) ikinci mertebe etkilerinin azaltılmasıc) titreşimlerin azaltılmasıd) göz güvenliği ve estetiğin sağlanmasıdır.

(f/L) oranının sınır değeri genel olarak 0,001~0,005 arasında değişsede yapının, yapı elemanının özelliklerine ve kullanım amacına göreyönetmelikler tarafından belirlenir.


88

1) Amaç ve ihtiyaç belirlenir. Amaç ve ihtiyaçlar doğrultusunda mimari projeler hazırlanır.

2) Yapının formu (geometrisi) (çubuk sistem, plak, kabuk, dolu sistem, kafessistem vb.) ve malzemesi (betonarme, çelik, ahşap vb.) seçilir.Örnek: Endüstri yapısı (fabrika, depo vs.)

- Yerinde dökme betonarme sistem- Prefabrike betonarme sistem - Çelik çerçeve sistem- Çelik kafes sistem- Betonarme kolonlu çelik kiriş veya kafes sistem- Ön gerilmeli betonarme sistem vs.

3) Yapının formu (şekli), mesnetleri, birleşim noktaları vs. idealleştirilerek hesapmodeli kurulur.

hesap modeli = idealleştirilmiş sistem = yapı sistemi

Yapı Mühendisliğinde İzlenen Yol

99

4) İşletme yükleri (yapıya kullanım süresi içinde etkiyecek yükler)belirlenir. Bunun için Standartlar ve Yönetmeliklerden yararlanılır.

- TS 498; T.C. Karayolları Fenni Şartnamesi- Deprem Bölgelerinde Yapılacak Binalar Hakkında Yönetmelik (2007)- UBC; DIN 1055; DIN 1972

5) Malzemelerin mekanik özellikleri (E, υ, sınır gerilmeler σs, …) belirlenir(yönetmelikler, malzeme deneyleri)

6) Yapı sisteminin en kesitleri tahmin edilir. İzostatik sistemlerde en kesittahmini yapmak gerekli değildir.


1010

7) Yapı sistemi, işletme yükleri veya bu yüklerin yük güvenlik katsayıları ileçarpılarak elde edilen hesap yükleri altında hesaplanarak kesit zorları veyer değiştirmeler elde edilir (Yapı Statiği bilim dalı)

8) Kesit hesapları ve yer değiştirme kontrolleri yapılır (Mukavemet,Betonarme ve Çelik bilim dalları).

9) En ekonomik çözüm seçilir. Seçim yapılırken yapının estetiği de gözönünde bulundurulur.

• 6-8 adımları tekrarlanır.• Çeşitli alternatif çözümler denenir. Gerekirse 2-8 adımları tekrarlanır.


1111

1) Yapı Statiğinde incelenen sistemler yüklemenin şekline ve şiddetine bağlıdeğildir. Yüklemenin şekline ve/veya büyüklüğüne göre hesap modelideğişmez.

2) Yer değiştirmelerin, denge denklemlerine ve geometrik uygunluk şartlarınaetkisi dikkate alınmayacak kadar küçüktür.

- Kesit zorlarının hesabında (δ)’larihmal edilir.- Denge denklemleri şekil değiştir-memiş sistem üzerinde yazılır.

1. ve 2. varsayımların yapıldığıhesaplamaya 1. Mertebe Teorisidenir.

Yapı Statiğinde Yapılan Kabuller

1212

3) Malzeme lineer elastiktir.

E (Elastisite Modülü)σ=ε

EG G2 (1 )

τ= =γ + υ


1313

• Beton:Yapı Statiğinde Yapılan Kabuller

1414

• Çelik:Yapı Statiğinde Yapılan Kabuller

1515

• Yukarıda yapılan üç varsayımın geçerli olduğu hesaplama yöntemlerindeSüperpozisyon Prensibi geçerlidir.

1 + 2 İzostatik Sistemlerde Süperpozisyon


+ +1 2 3 Hiperstatik Sistemlerde Süperpozisyon

1616

• Bir yapının tümünün veya bir bölümünün idealleştirilmesinden oluşanhesap modeline Yapı Sistemi adı verilmektedir.

• Yapı sistemleri oluştukları yapı elemanlarının türlerine bağlı olarak;- Bir boyutlu sistemler (çubuk sistemler)- İki boyutlu sistemler (yüzeysel taşıyıcı sistemler)- Üç boyutlu sistemler

olmak üzere sınıflandırılmaktadır.

Yapı Sistemleri

Yapı Yapı Sistemi

1717

Yapı Sistemleri

Düzlem yüzeysel taşıyıcı sistem Uzay yüzeysel taşıyıcı sistem

Düzlem çubuk sistem Uzay çubuk sistem

1818

• Yapı elemanlarının sınıflandırılması:

a) Bir boyutlu elemanlar (çubuklar): İki boyutu, diğer boyutunun(uzunluğunun) yanında küçük olan elemanlardır.

- Sabit kesitli çubuk- Değişken kesitli çubuk- Doğru eksenli çubuk- Eğri eksenli çubuk

Yapı Sistemleri

L

h

b

( )h;b L<<

1919

• Yapı elemanlarının sınıflandırılması (devam):b) İki boyutlu elemanlar (yüzeysel taşıyıcı elemanlar): Bir boyutu

(kalınlığı) diğer iki boyutunun yanında küçük olan elemanlardır. Plak, perde, kabuk, levha …

- Plak : Düzlemine dik yükler etkisindeki elemanlardır.- Levha : Düzlemi içindeki yükler etkisindeki elemanlardır.- Perde : Düzlemi içinde ve düzlemine dik yükler etkisindeki elemanlardır.- Kabuk : Eğri yüzeyli elemanlardır.

Yapı Sistemleri

a

tb

a,bt10 20

≤−

2020

• Yapı elemanlarının sınıflandırılması (devam):c) Üç boyutlu elemanlar: Üç boyutu da aynı önemde olan elemanlardır

(kalın plak, kalın levha, temel blokları, baraj gövdesi vb.). Bir yapıda, genel olarak bu yapı elemanlarından bir veya bir kaçı bir

arada bulunmaktadır.

Yapı Statiğin dersinin konusu çubuk sistemlerdir ve düzlem çubuksistemlerine ağırlık verilecektir.

Yapı Sistemleri

(1)(2)

(3)

(2)

(1)

(3)

2121

• Yapı sistemlerinde iç kuvvet (kesit zoru) ve/veya şekil değiştirme ve yerdeğiştirme meydana getiren dış etkilerin tümüne yük olarakadlandırılmaktadır.

Başlıca yükler:

- Dış yükler (yapı yükleri, ilave yükler, kar, rüzgar ve deprem yükleri)- Sıcaklık değişmesi (düzgün sıcaklık değişmesi, farklı sıcaklık değişmesi)- Rötre- Mesnet çökmeleri- İlkel kusurlar- Ön germe ve ard germe

Dış Etkiler (Yükler) ve Sınıflandırılması

2222

• İzostatik ve hiperstatik sistemlerde başlıca yüklerden dolayı oluşanbüyüklükler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:


İzostatik Sistemler Hiperstatik Sistemler Yükler (Dış Etkiler) Kesit Zoru Şekil

Değiştirme Yer

Değiştirme Kesit Zoru Şekil Değiştirme

Yer Değiştirme

Dış yükler var var var var var var Sıcaklık değişmesi yok var var var var var

Rötre yok var var var var var

Mesnet çökmesi yok yok var var var var

İlkel Kusurlar yok yok var var var var

Ön ve Ard germe var var var var var var

2323

• Yüklerle ilgili standart ve yönetmelikler:a)Ulusal yönetmelikler: TS 498

TDY (Deprem YönetmeliğiKarayolları Teknik Şartnamesi

b) ABD yönetmelikleri: ASCE 7-98UBC-97 (deprem)AASHTO (karayolları)AREA (demiryolları)

c) Alman yönetmelikleri: DIN 1055DIN 1072 (karayolları)BE (demiryolları)

d) Avrupa Birliği yönetmelikleri: Eurocode 1Eurocode 8 (deprem)


2424


DIŞ ETKİLER(YÜKLER)

III. TÜRSINIFLANDIRMA

IV. TÜRSINIFLANDIRMA

V. TÜRSINIFLANDIRMA

II. TÜRSINIFLANDIRMA

I. TÜRSINIFLANDIRMA

YAPI YÜKLERİ(Öz Yükler )(g veya G)

İLAVE YÜKLER(İnsan, Araç, Kar vs.)

(q veya Q)

TOPLAM YÜKLER(p=g+q veya P=G+Q)

SABİT YÜKLER(Yapı Yükler i, Kar)

HAREKETLİYÜKLER

(Araç, Vinç vs.)

TEKİL YÜKLER

YAYILI YÜKLER

DİREKT YÜKLER

İNDİREKTYÜKLER

SICAKLIK DEĞİŞİMİ,MESNET

ÇÖKMELERİ, RÖTRE

2525

• I. Tür Sınıflandırma:- Yapı Yükleri (Öz Yükler): Yapı üzerinde devamlı etkiyen yüklerdir.

Yapının taşıyıcı olan veya olmayan kısımlarının ağırlıkları ile toprak itkisigibi yüklerdir.

- İlave Yükler: Yapı üzerinde devamlı olarak bulunmayan insan, kar,deprem, araç vs. gibi yüklerdir.

- Toplam Yükler: Yapı yükleri ile ilave yüklerin toplamından oluşurlar.

• II. Tür Sınıflandırma:- Sabit Yükler: Yapı üzerinde hareket etmeyen yüklerdir. Bu yüklerin

dinamik etkisi yoktur.

- Hareketli Yükler: Yapı üzerinde hareket eden yüklerdir. Bu yüklerindinamik etkisi vardır.


2626

• III. Tür Sınıflandırma:- Tekil Yükler: Sonsuz küçük bir uzunluğa, alana veya hacme etkiyen yüklerdir.

Birimi; N, kN.

- Yayılı Yükler: Sonlu bir hacme, alana veya uzunluğa etkiyen yüklerdir. Birimi;N/m, kN/m, kN/m2, N/m2… Yayılı yükün şiddeti (p) ise

şeklinde tanımlanır. Yayılı yük diyagramında taramanın doğrultusu yükünetkidiği ve şiddetinin ölçüldüğü doğrultu olarak seçilir.

Yük katarı: Şiddetleri ve ara uzaklıkları sabit kalarak sistem üzerinde hareketeden yük gruplarıdır.


x∆

x

p∆

x 0

pp limx∆ →

∆=

∆

2727

• Özel Yayılı Yükler:- Düzgün yayılı yük: Şiddeti sabit olan yüklerdir. Yatayda yayılı yükün şiddeti p ise

sistem üzerinde dx uzunluğuna gelen yük pdx kadardır.

Eğer yayılı yük eğri üzerinde şekildeki gibi yayılı ise, eğrinin birim uzunluğunagelen yük ise

p


p

dx

ds

α

pdx dxpcos ; cosds ds

= α = α

2828

• Özel Yayılı Yükler (devam):- Yamuk yayılı yük: Şiddeti uzunluk boyunca doğrusal değişen yayılı yüktür. Yük

diyagramının denklemi ise

- Üçgen yayılı yük: a noktasındaki şiddeti sıfır olan özel bir yamuk yayılı yüktür.

pa

pb

a bx

xa

xb

px


a b a a b b

a b a b

p p x p x pC , Dx x x x

p(x) Cx D

− −= =

− −

= +

pa

pb

a bx

xa

xb

px

2929

• Özel Yayılı Yükler (devam):- Parabol yayılı yük: Yük diyagramı 20 parabol olan yayılı yüktür. Bu parabolün

denklemi ise

Yukarıdaki yayılı yük tiplerinden bir veya bir kaçı bir araya gelerek bileşik yayılıyükleri oluştururlar.

Etkime doğrultuları, etkime genişlikleri ve başlıca noktalardaki şiddetleri aynıolan yükler eşdeğerdir.

2

4pp(x) x(L x)L

= −


x px

L

3030

• Bileşke: Belirli sayıdaki kuvvetlerin tümüne eşdeğer olan tek kuvvete bukuvvetlerin bileşkesi adı verilir. Bileşkenin karakteristikleri

- Doğrultusu

- Yönü

- Şiddeti

- Uygulama noktası


3131

• Yayılı Yüklerin Bileşkesi:a) Yayılı yükün bileşkesinin şiddeti yük diyagramının alanına eşittir.

b) Yayılı yükün bileşkesinin yeri ise yük diyagramının ağırlık merkezindengeçmektedir.

b

a

xb

x 0 a x

RR lim x p(x)dxx∆ →

∆= ∆ =

∆∑ ∫


a b

R

x∆

R∆p(x)

0

p(x)xdxRxx

R p(x)dx∆

= =∆

∑ ∫∑ ∫

3232


x

q

LR

1R qL21x L3

=

=

R

Rx

x

q

LR

2R qL31x L2

=

=

20 parabol

x

q

LR

1R qL31x L4

=

=

20 parabol

x

q

LR

1R qLn 1

1x Ln 2

=+

=+

n0 parabol

x

q

L R

1R qL41x L5

=

=

30 parabol

3333

• IV. Tür Sınıflandırma:- Direkt Yükler: Yapı sisteminin üzerine doğrudan doğruya etkiyen

yüklerdir.

- İndirekt Yükler: Yapı sisteminin üzerine dolaylı olarak etkiyen yüklerdir.

• V. Tür Sınıflandırma:Sıcaklık değişimi, rötre, mesnet çökmeleri gibi yüklerdir. Bu tür yüklerizostatik sistemlerde şekil değiştirme meydana getirir, iç kuvvetmeydana getirmezler. Hiperstatik sistemlerde ise şekil değiştirme ilebirlikte iç kuvvet de meydana getirirler.


3434

• Düzlem Sistemler: Eleman eksenleri ve yükleri aynı düzlem içinde olansistemlere denir.

• Uzay Sistemler: Eleman eksenleri ve yükleri uzayda herhangi birkonumda olan sistemlere denir.

• Çubuk Ekseni: Çubuğun bütün en kesitlerindeki ağırlık merkezlerinibirbirine birleştiren eğri veya doğruya denir. Çubuk ekseni eğrisel ise buçubuklara eğri eksenli çubuklar, çubuk ekseni bir doğru ise bu türçubuklara da doğru eksenli çubuklar adı verilir.

Yapı Sistemleri İçin Bazı Tanımlar

Çubuk Ekseni

GÇubuk Enkesiti

Enkesit Ağırlık Merkezi

3535

• Dik Kesit: Çubuk ekseni üzerindeki bir noktadan bu eksene çizilen dikdüzlemin çubuk ile ara kesitine verilen isimdir.

• Çubuk Türleri: Doğru eksenli çubuk, eğri eksenli çubuk, sabit kesitliçubuk, değişken kesitli çubuk vb.


Çubuk Ekseni

GÇubuk Enkesiti

Enkesit Ağırlık Merkezi

3636

• Mafsal: Sistemde momentinsıfır olduğu yerlerdir.

• Düğüm Noktaları: Yapıçubuklarının birbirleri ilebirleştikleri noktalardır.

a) Rijit Düğüm Noktası: Yapıçubuklarının rijit olarakbirleştiği noktalardır. Budüğüm noktalarına bağlanançubuklarda dönmelerbirbirine eşit, momentlersıfırdan farklıdır.

b) Mafsallı Düğüm Noktası: Yapıçubuklarının birbiri ile bir miletrafında serbestçe dönebi-lecek şekilde bağlandığıdüğüm noktalarıdır.

Yapı Sistemleri İçin Bazı Tanımlar1 2

1 2M 0 , M 0= =

1 21 2

1 2

0M M 0ϕ ≠ ϕ ≠

= =

3737

• Mesnetler: Yapıların dış ortamla birleştiği yerler mesnet olarak adlandırılır.- Ankastre Mesnet- Sabit Mesnet- Hareketli (Kayıcı) Mesnet- Pandül Ayak- Elastik Ankastre Mesnet

a) Ankastre Mesnet: Ankastre mesnette çubuk, sonsuz rijit bir ortama yerdeğiştirme yapmayacak şekilde bağlanmıştır. Bu mesnet türünde u, v yerdeğiştirmeleri ile ϕ açısal yer değiştirme, yani dönme, sıfırdır.


3838

b) Sabit Mesnet: Sabit mesnetlerde çubuk, dış ortama serbestçedönebilecek şekilde bağlanmıştır. Bu tip mesnetin u ve v yerdeğiştirmeleri sıfırdır.

c) Hareketli (Kayıcı) Mesnet: Hareketli mesnetlerde çubuk, serbestçedönebilecek ve bir doğrultuda serbestçe hareket edebilecek şekildebağlanmıştır. Bu mesnetlerde sadece bir yer değiştirme sıfırdır.


3939

d) Pandül Ayak: Üzerine kuvvetetkimeyen iki ucu mafsallı doğrueksenli çubuklara pandül ayak adıverilmektedir. Bu çubuklarda çubukekseni boyunca olmak üzere sadecebir reaksiyon kuvveti vardır.

d) Elastik Ankastre Mesnetler:- Dönmeye Karşı Elastik Ankastre

Mesnet: Bu tip mesnetlerin u, v yerdeğiştirmeleri sıfırdır. Mesnete birmoment etkidiği zaman bu mesnetϕ kadar döner. Bu dönme momentile orantılıdır.

- Çökmeye Karşı Elastik AnkastreMesnet: Bu tip mesnetlere bir Pkuvveti etki ettiğinde, mesnetkuvvetin büyüklüğü ile orantılıolarak bir miktar çöker.


4040

• Çeşitli dış etkiler altındaki bir sistem hareketsiz ise veya mevcut durumunukoruyor ise bu sistemin dengede olduğu düşünülür. Dengede olan bir cisimüzerine etkiyen kuvvetler, cisim üzerindeki her noktada ve her doğrultudabirbirini dengeler.

• Denge, cismin hareketi ile ilgilidir. Cismin hareketi ise içinde olduğu ortamlasınırlıdır. Yani cismin uzayda yaptığı hareket ile düzlemde yaptığı hareketinbileşenleri ve dolayısı ile denge denklemleri farklıdır.

x

y

Denge Denklemleri

x

y

z

4141

• Düzlem Sistemlerde Denge: Düzlemde, bircismin yaptığı hareket, iki ötelenme ve birdönme bileşeni olmak üzere üç tanedir. Eğerdüzlemdeki bu cisim dengede ise üç tanedenge şartını sağlaması gerekmektedir.

a) Sisteme etkiyen kuvvetlerin x-ekseni üzerindeki izdüşümlerinin toplamı sıfırdır (ΣFX=0).

b) Sisteme etkiyen kuvvetlerin y-ekseni üzerindeki izdüşümlerinin toplamı sıfırdır (ΣFY=0).

c) Sisteme etkiyen kuvvetlerin düzlem içindekiherhangi bir noktaya göre statik momentlerintoplamı sıfırdır (ΣM=0).

Denge Denklemleri

x

y

z

A

VA

UAZθ

4242

• Uzay Sistemlerde Denge: Uzayda, bir cisminyaptığı hareket, üç ötelenme ve üç dönmebileşeni olmak üzere toplam altı tanedir. Eğeruzaydaki bu cisim dengede ise altı tane dengeşartını sağlaması gerekmektedir.

a) Sisteme etkiyen kuvvetlerin x, y, z eksenleriüzerindeki izdüşümlerinin toplamı sıfırdır.(ΣFX=0, ΣFY=0, ΣFZ=0).

b) Kuvvetlerin uzayda seçilen herhangi bir noktayagöre statik momentlerinin x, y, z eksenleriüzerindeki izdüşümlerinin toplamı sıfırdır.(ΣMX=0, ΣMY=0, ΣMZ=0).

Denge Denklemleri

x

y

z

A

VA

UAZθWA

yθ

xθ

4343

• Bir yapıya etkiyen dış kuvvetler, mesnet tepkileriyle birlikte dengededir. Mesnettepkileri belirlenirken, mesnetler kaldırılıp onun yerine mesnet türlerine göre bağkuvvetleri yazılır. Denge denklemleri ile bu kuvvetler bulunur.

• Düzlemde mesnet reaksiyonları sayısı (r) ise;- r<3 ise sistem taşıyıcı değildir.- r=3 ise mesnet tepkileri denge denklemleri ile hesaplanabilir.- r>3 ise sistem hiperstatiktir.

Mesnet Tepkileri

x

y

A Ax

x

y

BAy By

4444

• Bir yapı sisteminde yüklerden (dış etkilerden) oluşan iç kuvvet bileşenlerinekesit zorları (kesit tesirleri, iç kuvvetler) adı verilmektedir. Diğer bir değişletaşıyıcı sistemlerde dış kuvvetlerden dolayı kesit içlerinde meydana gelenzorlanmalara kesit tesirleri denir.

• Yükler ve bunlardan oluşan mesnet tepkileri altında dengede olan bir sistemherhangi bir noktasından kesilerek iki parçaya ayrıldığında, parçaların dengesinibozmamak için her bir parçanın üzerine, diğer parça tarafından uygulananetkileri de yerleştirmek gerekir. Bu durumda kesit ağırlık merkezine bir Rkuvveti ile bir M momenti yerleştirmek gerekir.

• Etki-tepki prensibine göre, sol ve sağ parçalara etkiyen kesit zorları birbirlerineeşit şiddette ve ters yöndedir.

Kesit Tesirleri

i G G

R

R

MM

4545

• Düzlemde Kesit Tesirleri:Yükleri ve çubukları aynı düzlem içinde olan sistemler olan düzlemsistemlerde R ve M kesit tesirleri aşağıdaki şekilde bileşenlere ayrılır veadlandırılır.

a) Normal Kuvvet: R vektörünün çubuk ekseni doğrultusundaki (kesitdüzlemine dik) bileşenidir ve N harfi ile gösterilir. Normal kuvvet, σnormal gerilmelerinin toplamıdır.

b) Kesme Kuvveti: R vektörünün çubuk eksenine dik (kesit düzlemineparalel) doğrultudaki bileşenidir ve V veya T harfi ile gösterilir. Kesmekuvveti, τ kayma gerilmelerinin toplamıdır.

c) Eğilme Momenti: σ normal gerilmelerinin, kesitin ağırlık merkezindengeçen ve sistem düzlemine dik olan eksene göre statik momentlerintoplamına eşittir ve M harfi ile gösterilir.

Kesit Tesirleri

4646

• Düzlemde Kesit Tesirleri (devam):Kesit tesirleri vektörel büyüklükler oldukları için doğrultu, yön ve şiddetlerininbelirtilmesi gerekir. Şiddetleri bir skaler büyüklükle belirtilirken, doğrultularınında isimleriyle belirtildiği hatıra getirilmelidir. Ancak yönlerinin anlatılabilmesi içinbir işaret kabulünün yapılması gerekir. Bunun için bir bakış yönü seçilir. Şekildesağ ve sol kesitler ile kesit tesirlerinin düzlemsel sistemlerde kabul edilen pozitifyönleri gösterilmiştir.

Kesit Tesirleri

NSağ KesitSol Kesit

Bakış Yönü

N

T

T

MM

4747

• Bakış Yönü: Kesit tesirlerinin pozitif yönlerinin tanımlanmasında bakışyönünden yararlanılır. Bu amaçla,

a) Her çubuğun bir tarafı bakış yönü olarak işaretlenir.b) Bakış yönü statik hesapları yapan ve değerlendirenler arasındaki bir

anlaşmadır. Hesapların sonuna kadar aynı bakış yönü kullanılır.

N (Normal Kuvvet): Çubukta uzama meydana getirecek yönde pozitiftir. T (Kesme Kuvveti): Çubuğu saat yönünde döndürmesi halinde pozitiftir. M (Eğilme Momenti): Bakış yönü tarafındaki liflerde çekme (uzama) meydana

getirmesi halinde pozitiftir.

Bakış Yönü

Bakış Yönleri

Kesit Tesirleri

NSağ KesitSol Kesit

Bakış Yönü

N

T

T

MM

4848

• Uzayda Kesit Tesirleri:Yükleri ve çubukları uzayda olan sistemleruzaysal sistemler olarak adlandırılırlar. Butür sistemlerde R ve M kesit tesirlerinin herbirinin üç bileşeni vardır.

a) Normal Kuvvet: R vektörünün çubuk eksenidoğrultusundaki (kesit düzlemine dik)bileşenidir

b) Kesme Kuvveti: R vektörünün çubukeksenine dik (kesit düzlemine paralel)doğrultudaki bileşenidir

c) Eğilme Momenti: σ normal gerilmelerinin,kesitin ağırlık merkezinden geçen ve sistemdüzlemine dik olan eksene göre statikmomentlerin toplamına eşittir.

d) Burulma Momenti: kesitin ağırlık merkezin-den geçen ve Y eksenine göre çubuğuburmaya çalışan momentlerin toplamıdır.

Kesit Tesirleri

y

x

z

G

R

V

N

Vz

xxy

z

M

MM

M

4949

• İzostatik Sistemler: Bütün mesnet tepkileri ve kesit tesirleri yalnız dengedenklemleri ile hesaplanabilen sistemlerdir.

• Hiperstatik Sistemler: Bütün mesnet tepkilerinin ve/veya kesit tesirlerinin hesabıiçin denge denklemlerinin yeterli olmadığı sistemlerdir.

İzostatik, Hiperstatik ve Oynak (Labil) Sistemler

5050

Hiperstatik sistemlerde çözümün elde edilebilmesi için, denge denklemlerininyanında, geometrik süreklilik denklemleri adı verilen ek denklemlere gerekvardır.

• Oynak (Labil) Sistemler: Üzerine etkiyen tüm yükleri taşıyamayan sistemlerdir.Bu sistemlerde, çok küçük yüklerden dolayı çok büyük yer değiştirmelermeydana gelebilir.

İzostatik, Hiperstatik ve Oynak (Labil) Sistemler

Oynak sistemlerde mesnet tepkileri için anlamlıçözümler bulunamaz. Sistemin labil olmaması içinaşağıdaki konulara dikkat edilmelidir:

a) Sistemdeki üç tepki birbirine paralel olmamalıdır.b) Sistemdeki üç tepki aynı noktada kesişmemelidir.

5151

• Dış etkilerden (yüklerden) oluşan kesit tesirlerinin sistem üzerindekideğişimini gösteren diyagramlara kesit tesir diyagramları adıverilmektedir.

• Düzlem çubuk sistemlerde M, N, T (V) diyagramları olmak üzere üç kesittesiri diyagramı çizilir.

• Kesit tesir diyagramları sistemin şeması üzerine veya yatay eksendeçizilirler. Bu diyagramların herhangi bir noktadaki ordinatı, sistemin okesitindeki kesit tesiri (zoru) değerini verir.

Kesit Tesir Diyagramları

5252

• Kesit Tesiri Diyagramlarının Çiziminde Dikkat Edilmesi Gerekenler:

a) Kesit tesir diyagramları ölçekli (veya yaklaşık ölçekli) çizilmelidir.

b) Kesit tesirlerinin ordinatları çubuk eksenlerine dik çizilir.

c) Diyagramların üzerine başlıca noktalardaki değerler yazılır ve bölgelerinişaretleri konur.

d) Kesme kuvveti diyagramında pozitif değerler bakış yönünün aksitarafında, Moment diyagramında pozitif değerler bakış yönü tarafındagösterilir. Normal kuvvet için böyle bir ayırım yoktur.


5353

• Kesit Tesir Diyagramlarının Çizimi:

a) Genel Yol: Sistemin yeter derecede sık kesitlerindeki kesit tesirlerihesaplanarak M, N ve T diyagramları çizilir.

b) Fonksiyonlar Yöntemi: Sistem yeterli sayıda bölgeye ayrılarak her bölgeiçin M(x), N(x) ve T(x) kesit zorlarının fonksiyonları belirlenir vebunların fonksiyonları çizilir.

c) Kritik Kesitler Yardımıyla Çözüm: Sistemin kritik kesit adı verilen sınırlısayıdaki kesitlerinde kesit tesiri (zoru) hesaplanır ve bu değerlerdenyararlanılarak M, N ve T diyagramları çizilir. Bu yol en uygun yoldur.


5454

• Kritik Kesitler: Kesit tesirleri (zorları) diyagramlarının çizilebilmesi için,kesit zorlarının hesaplanması gereken kesitlere kritik kesitler adıverilmektedir.

- Mesnetlerin iki yan noktaları

- Sistemin uç noktaları

- Düğüm noktalarında birleşen çubukların uç noktaları

- Tekil kuvvetlerin ve tekil momentlerin iki yan noktaları

- Yayılı yüklerin başlangıç ve bitiş noktaları ile şekil ve değer değiştirdiğinoktalar


5555

• Kesit yöntemi geometri bakımından her türlü taşıyıcıya uygulanabilen çok güçlübir yöntem olmasına karşın, süreksizliklerin sayısı arttığında işlemlerin sayısı daartar. İşlem hacmindeki artış hata riskini de artırır. Bundan kurtulmak içinhesap kolaylığı olan bir yöntem kullanmak gerekir. Bu yöntemin temelindekesme kuvveti (T) ile moment (M) arasındaki ilişki yatar. Bu ilişki de sonsuzküçük bir çubuk elemanın serbest cisim diyagramında yazılacak dengedenklemleridir.

Yük-Kesme Kuvveti-Eğilme Momenti Arasındaki Bağıntılar

A B

dx

N

TM

dx

N+dN

T+dT

M+dM

5656

• Bu şekil üzerinde denge denklemleri yazılırsa;

N

TM

dx

N+dN

T+dT

M+dM


( )

( )

x

y

2

F 0 N (N dN) 0 N Sabit

dTF 0 T (T dT) qdx 0 qdx

qdx dMM 0 M (M dM) Tdx 0 T

1

22 dx

→

= ⇒ − + = ⇒ =

= ⇒ − + − = ⇒ = −

= ⇒ − + + − = ⇒ =

∑

∑

∑

5757

• (1) numaralı denklem kesme kuvvetinin türevinin yayılı yükün negatif işaretlisinivermektedir. Ayrıca bu denklem aynı noktadaki kesme kuvveti diyagramınınteğetinin eğimini vermektedir.

• (2) numaralı denklem ise eğilme momentinin türevinin kesme kuvvetiniverdiğini göstermektedir.

(1) ve (2). bağıntı kirişin herhangi iki A ve B noktası arasında integre edilip, vesabitler dışarı alınırsa;


B B

B A B AA A

B B

B A B AA A

T qdx T T T qdx

M Tdx M M M Tdx

= + ⇒ − =

= + ⇒ − =

∫ ∫

∫ ∫

Herhangi iki nokta (A ve B) arasındakikesme kuvveti farkı, o iki nokta arasındakiyük diyagramının alanına eşittir.

Herhangi iki nokta (A ve B) arasındakimoment farkı, o iki nokta arasındaki kesmediyagramının alanına eşittir.

5858

• Teorem 1: Sistemin her hangi bir (n) kesitindeki kesit tesirleri belli iken, herhangi bir (n+1) kesitindeki kesit tesirlerinin hesabı için: (n+1) kesitinin solundakalan bütün dış kuvvetler yerine, (n) kesitindeki kesit tesirleri ile (n)-(n+1)kesitleri arasındaki dış kuvvetler alınabilir.


n 1 n

n 1 n

n 1 n n i i

N N

T T Q q(x)dx

M M T a Q x q(x)xdx

+

+

+

=

= − −

= + − −

∑ ∫

∑ ∫

5959

• Teorem 2: Komşu iki kesitteki (n ve n+1) eğilme momentleri belirli iken bu iki kesitarasındaki M diyagramının çiziminde, (n) ve (n+1) kesitlerindeki eğilme momentleriniordinat olarak almak suretiyle çizilen doğrusal diyagrama (çekirdek moment diyagramı)(n) ve (n+1) açıklıklı basit kirişte q(x) yükünden oluşan M0 diyagramı cebrik olarak(işareti göz önüne tutularak) eklenir.


6060

• Pratik Sonuçlar:1) Kesme kuvvetinin sıfır olduğu kesitlerde moment maksimum yada

minimumdur.2) Kesme kuvvetinin pozitif olduğu yerlerde (x) arttıkça moment büyür. Negatif

kesme kuvvetinde bunun tam tersi olur.3) Kirişin belli bir parçasında M’deki değişme miktarı eğer dıştan ayrıca bir

moment etkimiyorsa kesme kuvvet diyagramının alanına eşittir.4) İki kesit arasındaki kesme kuvveti farkı iki kesit arasındaki diyagramın alanına

eşittir.5) Kesme kuvvetinin integrali momenti verir.6) Tekil yükün etkidiği noktada kesme kuvvetinin mutlak değeri o noktadaki tekil

yükün değerine eşittir.7) Tekil kuvvetlerin etki ettiği noktada kesme kuvveti ani olarak değişir.8) Kesme kuvvetinin ani değiştiği yerlerde moment diyagramında köşeler oluşur.9) Yük olmayan bölgelerde kesme kuvveti diyagramı yataydır.10) Yayılı yüklerde kesme kuvveti diyagramı doğrusal, moment diyagramı

paraboldur.


6161


6262

• A noktasında nokta 7 birim yukarı hareketederek 1 noktasına ulaşır.

• Başka kuvvet olmadığı için 2. noktayakadar yatay üzerinde sağa doğru hareketeder.

• X=2 m’de 10 kN’luk kuvvetle karşılaşılannokta, 2’den itibaren 10 birim aşağı inerve 3’e ulaşır.

• 3’den 4’e kadar, nokta yatay üzerindesağa doğru hareket eder.

• 4’de 5 kN’luk kuvvetle karşılaşan nokta 5birim daha aşağı hareket ederek 5noktasına ulaşır.

• 5’ten 6’ya yatay hareket eden nokta 6’dakarşılaştığı 8 kN’luk kuvvetle yukarıhareket ederek B’ye ulaşır.

• Kesme kuvveti diyagramı alanındanmoment diyagramı elde edilir.

Kesme kuvveti ve moment diyagramıdüşey denge ve moment denge koşullarınedeniyle B noktasında kapanmalıdır.

10 kN

A B

5 kN

2 m2 m 1 m


A B

1 2

3

C

4

5

D

6

+

--

10 kN 5 kN

Ax

Ay=7 kN By=8 kN

7

3

5

1

2

+14 8

6363

Basit Kiriş, Konsol Kiriş ve Konsollu Kiriş:

• Mesnetlerinden biri sabit mafsallı ve diğerihareketli mafsallı olan tek açıklıklı kirişlerebasit kiriş adı verilir.

• Bir ucu ankastre diğer ucu boşta olan tekaçıklıklı kirişlere konsol kiriş adı verilir.

• Bir veya iki ucunda konsolu bulunan basitkirişlere konsollu kirişler adı verilir.

A B

ByAyAx

İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı

A B

ByAyAx

AAx

Ay

MA

Örnek-1

64

Verilen kirişin kesme, moment ve normal kuvvet diyagramlarının çizimi.Çözüm: 10 N’luk kuvvetin yatay ve düşey bileşenleri bulunarak mesnet kuvvetleri hesaplanır.

65

T

M

N

Örnek 2

66

Verilen çıkmalı kirişin T,M ve N kuvvet alanlarının kesim metoduyla çizimi.

67

68

69

70

71

Örnek 3

72

Şekilde verilen çıkmalı kirişin T,N ve M diyagramlarının çizimi. [1000 N 45o den etkiyor]

73

Örnek 4

74

Kirişin kesme kuvvet, moment ve normal kuvvet alanın belirlenmesi.

Örnek 5

75

Şekilde verilen çıkmalı kirişin T ve M diyagramlarının çizimi.

Örnek 6

76

Şekilde verilen çıkmalı kirişin T ve M diyagramlarının çizimi ve maksimum momentin hesaplanması.

77

78

Örnek 7

79

Verilen sistemin T, M veN diyagramları ile maksimum açıklık momentinin hesaplanması.

80

81

82

83

84

8585

• Gerber Kirişleri:Basit kiriş, konsol kiriş ve konsollu kirişlerin birbirlerine mafsallı olarakbirleşmelerinden oluşan taşıyıcı ve izostatik sistemlere gerber kirişleri adıverilmektedir. Çok açıklıklı sürekli kiriş olan bu sistemi ilk uygulayan Almanmühendis H. Gerber’dir. Mafsal sayısı, kirişin hiperstatiklik derecesine eşittir.


8686

• Gerber kirişleri pratikte (uygulamada) genellikle çatı aşıkları ve köprü kirişleriolarak kullanılırlar.

• Gerber kirişleri;

- Kısa elemanlar olduğundan prefabrik olarak imal edilebilir ve taşınabilirler.- Meydana gelen her kuvvet izostatiktir. Mesnet çökmesinden, sıcaklık

değişmesinden etkilenmez.


8787

• Gerber kirişleri oluşturulurken, sistemin taşıyıcı olmasına (oynak olmamasına)dikkat edilmelidir.

• Gerber kirişlerinde oynak parçaların bulunmaması için bir takım mafsalyerleştirme kuralları bulunmaktadır.


Oynak parçaHiperstatik parça

Hiperstatik parçaOynak parça

8888

• Gerber kirişlerinde mafsal yerleştirme kuralları:a) Kenar açıklıklara en fazla bir, orta açıklıklara en fazla iki mafsal konulabilir.b) İki mafsal konulan ara açıklıklara komşu açıklıklara mafsal konulmamalıdır.c) Yan yana komşu iki açıklık mafsalsız bırakılmamalıdır.d) Yan yana komşu iki açıklığa iki mafsal konulmamalıdır.e) Mafsallar nasıl yerleştirilirse yerleştirilsin bir açıklık mafsalsız bırakılmalıdır.

- Bir ankastre mesnedi olan gerber kirişlerinde bu kurallarda bazı değişiklikleryapılabilir:

a) Ankastre mesnetli kenar açıklığa iki mafsal konulabilir.b) Yukarıdaki maddelerden (e) maddesi uygulanmayabilir.c) Ankastre mesnetli açıklığa en az bir mafsal konulmalıdır.


8989


Bilinmeyen Reaksiyon Sayısı: 7Denge Denklemleri Sayısı: 3

Gerekli Mafsal Sayısı: 4

Kısaca açıklık sayısının bir eksiği kadar mafsal gereklidir.Açıklık Sayısı: 5

Gerekli Mafsal Sayısı: 5-1=4

9090

• Gerber Kirişlerinin Sabit Yüklere Göre Hesabında İzlenen Yol:1) Sistem mafsallarından kesilerek parçalara ayrılırsa, bu parçalardan bazılarının

tek başına taşıyıcı olmadıkları, diğerlerinin ise taşıyıcı oldukları görülür. Taşınanparçalar kendi üzerindeki yükleri, mafsallardaki kuvvetler ile taşıyan parçalaraaktarırlar. Taşıyan parçalar ise hem üzerindeki yükleri hem de komşuparçalardan aktarılan mafsal kuvvetlerini taşırlar. Sistem üzerindeki parçalarınyükleri nasıl taşıdığını gösteren bu şemaya taşıma şeması adı verilir. Dolaysıylaöncelikle sistemin taşıma şeması çizilir. Bu şemada, taşınan parçalar üstte,taşıyan parçalar ise onların altında gösterilir.

2) Önce taşıyıcı olmayan (taşınan) parçalar tek tek ele alınarak üzerindeki yükleregöre hesaplanarak mafsal kuvvetleri bulunur.

3) Sonra, taşıyıcı parçalar üzerindeki yüklere ve komşu parçalardan aktarılanmafsal kuvvetlerine göre hesaplanarak mesnet tepkileri hesaplanır.

4) Her parçaya ait kesit tesir diyagramları yan yana çizilerek tüm sistemin kesittesir diyagramları elde edilir.


9191


9292


9393


94

Şekilde verilen çerçevenin N, T, M diyagramlarını çiziniz.

(Yükler kN ve çizim için kullanılan kareli kağıtta her bir kare kenarı 1 m dir.)

95

96

N

97

T

98

M

99



100

101

N

102

T

103

M

104



105

106

N

107

T

108

M

109



110

111

N

112

T

113

M

114114

• Üç Mafsallı Sistemler: İki mesnedi sabit olan ve üzerinde bir mafsal bulunansistemlere üç mafsallı sistemler adı verilmektedir.

Eksenleri eğri olan sistemlere “üç mafsallı kemerler”, çokgen olan sistemlere de“üç mafsallı çerçeveler” adı verilir.

- A, B; Sabit mesnetler- AB; Sabit mesnetleri birleştiren çizgi (özengi hattı)- G; Ara mafsalın bulunduğu kesit (anahtar noktası)- f; Ara mafsalın özengi hattına dik uzaklığı- L; Açıklık- f/L; Basıklık oranı

A

B

L

Özengi çizgisi

f

G

Özengi

Özengi

Anahtar

Üç mafsallı kemer


L

Üç mafsallı çerçeve

f

B

A

G

115115

• Üç mafsallı kemerlerde özengi çizgisi genellikle yatay ve eksen 2. derece parabololmaktadır.

• İkinci derece parabole ait bazı geometrik özellikler aşağıda verilmiştir;

x

L

f

20 paraboly

m

xm

ymmϕ

L/2 L/2


2

mm

m

Denklemi :

(m) kesitindeki teğetin eğim

4fy x(L x)L

2(f y )tg L x2

i :

= −

−ϕ =

−

116116

• Üç mafsallı sistemlerde öncelikle mesnet tepkileri hesaplanır, daha sonra kesittesirleri hesaplanır ve diyagramları çizilir.

a) Mesnet tepkilerinin hesabı;- Özengi çizgisi yatay ise:

G

A BAx Bx

Ay By

A BAx Bx

Ay By

G


A yy

B y

G,sol xx

G,sağ x

M 0 Bkontrol : F 0

M 0 A

M 0 Akontrol : F 0

M 0 B

= → == →

= → == →

∑ ∑∑

∑ ∑∑

117117

a) Mesnet tepkilerinin hesabı; (devam)- Özengi çizgisi yatay değil ise:

G

A

B

Ax

Bx

AyBy

A

B

Ax

Bx

Ay

By

G


Ax y

G,sağ

x

yB

x yG,sol

M 0B veB

M 0F 0

kontrol :F 0

M 0A veA

M 0

= → = = == → =

∑∑

∑∑

∑∑

118118

b) Kesit tesirlerinin hesabı;

Kesit tesirleri bilinen şekilde hesaplanır. Her hangi bir “m” kesitindeki kesittesirleri aranıyorsa

- Sistem “m” kesitinden ikiye ayrılır.- Parçalardan birine etkiyen kuvvetlerden faydalanarak o noktadaki pozitif yön

kabulüne göre kesit tesirleri hesaplanır.

c) Kesit tesir diyagramlarının çizilmesi;

- Üç mafsallı çerçevelerde: Kritik kesitlerdeki kesit zorları hesaplanarak M, N ve T(V, Q) diyagramları bilinen şekilde çizilir.

- Üç mafsallı kemerlerde: Eğri eksenli sistemlerde kritik kesit kavramı geçerliolmadığından, yeterli sayıdaki kesitte kesit tesirleri hesaplanır ve M, N, T (V, Q)diyagramları nokta nokta çizilir.


119119

• Üç mafsallı kemerlerde kesit tesirlerinin bulunması:

G

A BAx Bx

Ay By

mPxi

Pyi


AAx

Ay

mPxi

Pyi

mϕ

Tm

MmNm

120120

İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı• Üç mafsallı kemerlerde kesit tesirlerinin bulunması:- Normal kuvvet:

- Kesme kuvveti:

- Eğilme momenti:“m” kesitindeki Mm kesit tesirinin değeri, dış yüklerin “m” kesitine göre momenti alınarak elde edilir.

m x m y m xi m yi m

m y yi m x xi m

F 0 N A Cos A Sin P Cos P Sin 0

N A P Sin A P Cos

= ⇒ + ϕ + ϕ + ϕ − ϕ =

⇒ = − − ϕ − + ϕ

∑

∑ ∑

m x m y m xi m yi m

m y yi m x xi m

F 0 T A Sin A Cos P Sin P Cos 0

T A P Cos A P Sin

= ⇒ + ϕ − ϕ + ϕ + ϕ =

⇒ = − − + ϕ − + ϕ

∑

∑ ∑

AAx

Ay

mPxi

Pyi

mϕ

Tm

MmNm

0 y yi

x xi

T A PH A P= −= +

∑∑

m 0 m mN T Sin HCos= − ϕ − ϕ

m 0 m mT T Cos HSin= ϕ − ϕ

121121

• Üç mafsallı sistemlerde yüklerin düşey olması durumu:Üç mafsallı sisteme etkiyen yüklerin yalnızca düşey olması özel halinde üçmafsallı sistemin mesnet tepkileri ve kesit zorları, aynı açıklıklı basit kirişe aitbüyüklüklerden yararlanılarak hesaplanabilir. Bu kavram eksen eğrisininseçilmesinde ve hareketli yüklere hesapta yardımcı olmaktadır.


x x x x xF 0 A B 0 A B H= ⇒ − = ⇒ = =∑i i

B y i i y

P bM 0 A L P b 0 A

L= ⇒ − = ⇒ = ∑∑ ∑

i iA y i i y

PaM 0 B L Pa 0 B

L= ⇒ − = ⇒ = ∑∑ ∑

G

A BAx Bx

Ay By

mPi

f

G

A0 B0L

ai bi

i iB 0

P bM 0 A

L= ⇒ = ∑∑

i iA 0

PaM 0 B

L= ⇒ = ∑∑

122122

İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı• Üç mafsallı sistemlerde yüklerin düşey olması durumu (devam):

y 0 0G

G

G,sol y G i isol

A A olduğundan bu ifade M 'ye eşittir

M 0 A x P x Hf 0

=

= ⇒ − − =∑ ∑

m 0 m x mT T Cos A Sin= ϕ − ϕ

0G0G

MM Hf 0 Hf

− = ⇒ =

m 0 m x mN T Sin A Cos= − ϕ − ϕ

G

A BAx Bx

Ay By

mPi

f

G

A0 B0L

ai bi

M0G aynı açıklıklı basit kirişte G kesitindeki eğilme momentidir.

m 0m x mM M A y= −

Sonuç olarak, kemer basit kiriş gibi ele alınıp, sırayla mesnet reaksiyonlarını ve kesit tesirleri hesaplanıp, sinφ ve cosφdeğerleriyle çarpılarak kemerin kesit tesirleri elde edilir.

0 y yiT A P= −∑xH A=

123123

• Üç mafsallı sistemlerde eksen eğrisinin seçimi (en ekonomik kemer eğrisi):En ekonomik kemerler, kemerin her kesitinde eğilme momentinin sıfır olduğuveya çok küçük olduğu eğrilerden meydana gelen kemerlerdir.


0GMHf

=

0M(x) M (x) Hy(x)= −

0G0

MM(x) M (x) y(x) 0f

= − =

0

0Gorantı katsayısı

fy(x) M (x)M

=

124124

• Görüldüğü gibi, kemerin y(x) eksen eğrisi, g(x) yükünden dolayı aynı açıklıklıbasit kirişte meydana gelen M0(x) diyagramı ile orantılı olarak seçilirse bütünkesitlerde M(x)≈0 olur. Bu eksen eğrisine g(x) yükünün finiküleri (ip eğrisi) adıverilir.


0

0Gorantı katsayısı

fy(x) M (x)M

=

dM(x)M(x) 0 T(x) 0dx

≅ → = =

(Eksen eğrisi)

Eksen eğrisinin bu şekilde seçilmesi

olduğundan, yapının en ekonomik bir şekilde boyutlandırılmasını sağlar.

Eksen eğrisinin bu şekilde seçilmesi halinde, her kesitte sadece normal kuvvet oluşacaktır.

0GMHNcos f cos

= − =ϕ ϕ

125125

İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre Hesabı• Üç mafsallı gergili kemerler ve çerçeveler:

Mesnetlerinden birisi sabit, diğeri kayıcı olan, üzerinde bir ara mafsal ve aramafsalın iki tarafındaki parçaları birleştiren bir gergi bulunan sistemlere “üçmafsallı gergili sistemler” adı verilmektedir.

Bu tür sistemler, zeminlerin çok çürük olduğu veya sistemin oturduğu kolonveya duvarların yatay itki kuvvetlerini taşıyamadığı veya çok zorlandığıdurumlarda kullanılırlar.

G

A Bgergi

gergi

A B

G

126126

• Üç mafsallı gergili kemerler ve çerçeveler (devam):

Sabit yüklere göre hesap: Bilinmeyenler:a) Gergideki normal kuvvet (S gergi kuvveti)b) Mesnet tepkileri; A, B ve HA

Denklemler:a) Tüm sistemin denge denklemlerinden yararlanarak mesnet tepkileri hesaplanırb) MG=0 mafsal şartından S gergi kuvveti hesaplanır.

Mesnet tepkileri hesaplandıktan sonra kesit tesirleri bilinen şekildehesaplandıktan sonra kesit tesir diyagramları çizilir.


127127

• Kafes Sistemler: Doğru eksenli çubukların birbirlerine mafsallı olarakbirleşmesinden oluşan taşıyıcı sistemler kafes sistemler olarak adlandırılmaktadır.


128128

• Kafes sistemleri oluşturan doğru eksenli çubuklar sadece çekme kuvvetiveya basınç kuvveti, yani sadece eksenel kuvvet etkisi altındadır.

• Kafes sistemler genellikle çelik veya ahşap malzemeden imal edilirler.Açıklıkları ise 9 m’den 300 m’ye kadar değişmektedir.

• Özellikle büyük açıklıklı yapılarda, öz ağırlıkların fazla olması nedeniyle,dolu gövdeli sistemler ekonomik olmamaktadır. Bu nedenle, büyükaçıklıklı yapılarda (çatı sistemleri, köprüler vs.) kafes sistemlerindenfaydalanılır.


129

• Kafes sistemlerde çubukların mafsallı olarak birbirlerine birleştiklerinoktalara düğüm noktaları adı verilmektedir.

• Bir kafesin elemanları narindir, yani boyuna göre kesit boyutları küçükolduğundan ve büyük yanal zorlamaları taşımaya müsait olmadığından,yüklerin yalnızca düğüm noktalarına etki ettiği kabul edilmektedir.


129

130

• Yaygın Kafes Sistemler:


130

131131

• Uygulamada düğüm noktaları tam mafsallı yapılamadığından, sistemde ikincil(sekonder) gerilmeler meydana gelir. Bu gerilmelerin olumsuz etkileriniazaltmak için düğüm noktalarının teşkilinde şu hususlara dikkat etmekgerekmektedir:

a) Çubuk eksenleri ve yükler aynı düzlem (sistem düzlemi) içinde olmalıdır.

b) Yükler düğüm noktalarına etkimelidir.

c) Çubuk eksenleri düğüm noktalarında kesişmelidir.

d) Çubuklar arasındaki açı küçük olmamalıdır (>26,30).

e) Birleşim elemanlarının ağırlık ekseni, çubuk ekseni ile mümkün olduğuncaçakışmalıdır.


132132


Bulonlu veya kaynaklı birleşimler, mafsal kabuledilirler. Bu durumda, eleman uçlarında tek kuvvet bulunur (moment oluşmaz).

133

• Kafes sistem çubuklarının isimlendirilmesi:

• Kafes Sistemlerin Sınıflandırılması:a) Oluşturulma şekline göre:- Basit kafes sistemler: En basit stabil kafes üçgendir (temel üçgen). Basit kafes

sistemler temel üçgene yeni üçgenler eklemek suretiyle oluşan sistemlerdir.


134

• Kafes Sistemlerin Sınıflandırılması (devam):a) Oluşturulma şekline göre:- Bileşik kafes sistemler: Basit kafes sistemlerinin birbirlerine mafsallar ve/veya

çubuklarla birleştirilmesinden oluşan sistemlerdir.

- Karmaşık kafes sistemler: Basit ve bileşik sistemlerin dışında kalan sistemlerdir.Bu sistemlerin taşıyıcı olup olmadıkları kontrol edilmelidir.


135

• Kafes Sistemlerin Sınıflandırılması (devam):b) Başlıkların şekline göre:

c) Dikme ve diyagonallerin şekline göre:


136

• Kafes Sistemlerin Sınıflandırılması (devam):c) Yolun konumuna göre:

Dolaylı yükleme:


137137

• Kafes sistemlerde izostatiklik şartı:Düzlem bir kafes sisteminin izostatik olabilmesi için:

d ; düğüm noktası sayısı,r ; mesnet tepkilerinin sayısı,ç ; çubuk sayısıolmak üzere 2d=r + ç şartı sağlanmalı, ayrıca sistem taşıyıcı olmalıdır.

2d<r + ç kafes sistem statikçe belirsiz2d>r + ç kafes sistem dengede değildir. Sistem mekanizma halindedir.


138138

• Düğüm Noktaları Yöntemi:- Her düğüm noktasına etkiyen kuvvetler (dış

yükler, mesnet tepkileri, çubuk kuvvetleri)denge denklemlerini sağladıklarından, budenklemlerden yararlanılarak çubukkuvvetleri hesaplanabilir.

- Hesaba iki çubuğun birleştiği bir düğümnoktasından başlanır. Her adımda en çok ikibilinmeyen çubuk kuvvetinin bulunduğudüğüm noktaları sıra ile göz önüne alınır.Bu hesaplar yapılırken;

a) Bilinmeyen çubuk kuvvetleri çekmeyönünde (+) alınır.

b) Bilinen çubuk kuvvetleri gerçek yönlerindeyazılır.

Bu yöntem basit kafes sistemlere daimauygulanabilir.


139

• Pratik Sonuçlar:

S1

S2

S1=S2=0


S1

S2

S1=0 S2=-P

P

S1

S2

S1=S3 S2=0

S3S1

S2

S1=S3 S2=-P

P

S3

140140


Düğüm noktaları yöntemi ile kafesteki tüm çubuk kuvvetlerini belirleyiniz.

ÇÖZÜM:• Tüm sistemin serbest cisim diyagramından

hareketle, denge denklemlerini kullanarakE ve C deki mesnet tepkileri hesaplanır.

• A düğümünde bilinmeyen iki çubukkuvveti düğüm noktasının dengesindenhesaplanabilir.

• D, B ve E düğümlerindeki çubuk kuvvetleride ardışık olarak düğümlerin dengedenklemlerinden hesaplanabilir.

• Artık C düğümündeki tüm çubuk kuvvetlerive mesnet tepkileri bilinmektedir. Ancak, Cdüğümünün dengesi, çözümün doğruluğukontrol amacıyla kullanılabilir.

141141

İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre HesabıÇÖZÜM:• Tüm kafes için yazılan denge denklemlerinden

E ve C mesnet tepkileri bulunur.

CM 0(9,0kN)(7,2m) (4,5kN)(3,6m) E(1,8m) 0

E 45kN

=

⇒ − − + =⇒ =

∑

xx C0 0F = ⇒ =∑

y y

y

F 0 9,0kN 4,5kN 45kN C 0C 31,5kN= ⇒ − − + + =

=⇒ −∑

142142


• A düğümünde bilinmeyen yalnızca ikiçubuk kuvveti var. Bunlar düğümnoktasının dengesinden bulunur.Denge denklemleri yazılırsa;FAD=-11,25 kN

FAB=6,75 kN

• D düğümünde şimdi bilinmeyenyalnızca iki çubuk kuvveti kaldı.Burada düğüm noktasının dengesiyazılırsa;FDB=11,25 kN

FDE=-13,50 kN

143143


• B düğümünde bilinmeyen yalnızca ikiçubuk kuvveti var. Bunlar düğümnoktasının dengesinden bulunur.Denge denklemleri yazılırsa;FBC=23,60 kN

FBE=16,90 kN

• E düğümünde şimdi bilinmeyenyalnızca bir çubuk kuvveti kaldı.Burada düğüm noktasının dengesiyazılırsa;FEC=-39,40 kN

144144


• C düğümündeki tüm çubuk kuvvetleri vemesnet tepkileri biliniyor. Yine de, budüğümde yazılacak denge denklemlerindenyararlanılarak çözüm kontrol edilebilir.

( ) ( )

( ) ( )tamam ..F

tamam ..F

y

x

0439531

0439623

54

53

=+−=

=+−=

∑

∑

145145

• Ritter (Kesim) Yöntemi:- Verilen dış yükler ve bunlardan oluşan

mesnet tepkileri altında dengede olan birkafes sistem, yapılan bir kesimle iki parçayaayrılırsa, her bir parça kendine etkiyen dışyükler, mesnet tepkileri ve kesim yapılançubuklardaki çubuk kuvvetlerinin etkisialtında dengededir.

- Yapılan kesimlerin en fazla, bilinmeyen üççubuk kuvveti olacak şekilde yapılmasınadikkat edilirse, bilinmeyen çubuklardakiçubuk kuvvetleri parçalardan birine aitdenge denklemleri ile hesaplanabilir.

- Denge denklemleri, her denklemde birbilinmeyen bulunacak şekilde yazılabilirler.

- Çubuk kuvvetlerinden bazıları hesaplandıktan sonra diğerleri onlara bağlı olarakdenge denklemleri ile bulunabilirler.


146146

FH, GH, and GI çubuk kuvvetlerinihesaplayınız.

ÇÖZÜM:• Tüm sistemin serbest cisim diyagramından

hareketle, denge denklemlerini kullanarakA ve L deki mesnet tepkileri hesaplanır.

• FH, GH, and GI elemanlarından geçen birkesit alınır ve parçalardan birine aitserbest cisim diyagramı çizilir.

• İstenen çubuk kuvvetleri statik dengedenklemleri yazılarak hesaplanır.


147

İzostatik Sistemlerin Sabit Yüklere Göre HesabıÇÖZÜM:• Tüm kafes için yazılan denge denklemlerinden

A ve L mesnet tepkileri bulunur.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 m 6 kN 10 m 6 kN 15 m 6 kN

20 m 1 kN 25 m kN

1 kN 25 m

kN

N

k

= = − − −

− − +

= = − + +

=

=

∑

∑

A

y

M 0L

F 0 20L 7,50

A 12,50L A

148


• FH, GH ve GI çubuklarından geçen bir kesit alıpsağda kalan parçayı serbest cisim olarakdüşünelim.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )7,50 kN 1

0 m 1 kN 5 m mkN

=

− − =

=

∑

G

H

G

I

I

M 0F 5

F 13,13

3, 3 0

• Statik denge koşullarını uygulayarak bilinmeyençubuk kuvvetlerini bulalım.

kN=GIF 13,13

149


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

m15 m

7,5 kN 15 m 1 kN 10 m 1 kN 5

kN

m

m

α = = = α = °

=

−

=

−

=

−

+ α

∑ G

FH

FH

FG 8tan 0,5333 28,07GL

M 0

FF 13,

8 082

cos

kN= −FHF 13,82

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

23

m m

1 kN 10 m 1 kN 5 m 10 m kN

β = = = β = °

= −

=

+ + β =∑ L

H

G

G

H

GI 5tan 0,9375 43,15HI 8

F 1,37cos 0

1

M 0F

kN= −GHF 1,371

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

• Hareketli Yük Çeşitleri:a) I. tip hareketli yük: Sistemin tümünü veya bir bölümünü kaplayan, boyu

değişken düzgün yayılı hareketli yüklerdir (insan, eşya, hafif araç yükleri vb)

b) II. Tip hareketli yük (yük katarı): Şiddetleri ve ara uzaklıkları sabit olan tekilyüklerden oluşan hareketli yüklerdir. (tekerlekli araç yükleri)

İzostatik Sistemlerin Hareketli Yüklere Göre Hesabı

171

• Hareketli Yük Çeşitleri:c) III. tip hareketli yük: Şiddetleri ve ara uzaklıkları sabit olan tekil yükler ile boyu

değişken düzgün yayılı yükten oluşan hareketli yüklerdir (büyük araç +bunların önünde veya arkasında küçük araç yükleri kombinasyonu).

d) IV. Tip hareketli yük: Boyu sabit, düzgün yayılı hareketli yüklerdir (paletli araçyükleri).


172

• Hareketli Yüklere Göre Hesap:- Hareketli yüklerin sistem üzerindeki konumları değişkendir.

- Hareketli yükler etkisindeki bir yapı sisteminin boyutlandırılması için, sisteminher kesitinde, hareketli yüklerden oluşan en elverişsiz (maksimum veminimum) kesit tesirlerinin hesaplanması gerekmektedir.

- Hareketli yüklerden oluşan en elverişsiz büyüklükler genel olarak araştırma ilebulunabilir. Bunun için hareketli yük sistemin üzerinde hareket ettirilerekyükün her konumu için aranan büyüklüğün değeri hesaplanır.

Araştırmanın daha sistematik yapılabilmesi için tesir çizgilerinden yararlanılır.Bunun için 1 birimlik (1 N, 1 kN, 1 ton vb) düşey kuvvet sistem üzerindehareket ettirilerek kuvvetin her konumu için aranan büyüklüğün değerihesaplanır ve bu değerlerden yararlanılarak tesir çizgisi diyagramı çizilir.

Sisteme ait herhangi bir büyüklüğün tesir çizgisi diyagramı çizildikten sonra, bu diyagramdan yararlanarak;

a) Verilen bir yükleme için söz konusu büyüklüğün değerib) Verilen bir hareketli yük için söz konusu büyüklüğün alacağı en elverişsiz

değerler kolaylıkla hesaplanabilir.


173

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

• Tesir Çizgileri:Hareket eden 1 birim yükün herhangibir kesitte meydana getirdiği gerilmefonksiyonlarını gösteren grafiklerdir.Diğer bir değişle, sistem üzerindehareket eden 1 birimlik düşeykuvvetin herhangi bir konumundaoluşan herhangi bir büyüklüğündeğerini, 1 birimlik düşey kuvvetinaltında ordinat almak suretiyle çizilendiyagrama bu büyüklüğe ait tesirçizgisi adı verilmektedir.

Tesir çizgileri, iç kuvvet diyagramlarıile karıştırılmamalıdır. İç kuvvetlersabit bir yük altında kirişin herkesitinde değişim gösterirler. Tesirçizgileri ise kiriş boyunca hareket edenbirim yükün belli bir kesitteoluşturduğu gerilme fonksiyonlarıdır.


194

İzostatik Sistemlerin Hareketli Yüklere Göre Hesabı• Tesir Çizgileri (devam):

Şekildeki sistemde;ηC ; 1 birimlik yük C’de iken A mesnettepkisinin değeriμC ; 1 birimlik yük C’de iken Mm eğilmemomentinin değeri

Tesir çizgisi tanımına göre, bir tesirçizgisi diyagramının herhangi birnoktasındaki ordinatı, o noktanınhizasındaki 1 birimlik düşey kuvvettendolayı söz konusu büyüklüğün değeriniverir.

195

• Tesir çizgisi diyagramlarınınçiziminde uyulacak kurallar:

1. Tesir çizgisi diyagramları sisteminşeması üzerinde değil, 1 birimlikkuvvete dik doğrultu üzerinde çizilir.

2. Tesir çizgisi diyagramları, 1 birimlikkuvvetin dolaştığı sınırlar arasındaçizilir.

3. Ordinatlar 1 birimlik kuvvetinetkime yönünde pozitif olarakalınırlar.

4. Bölgelerin işaretleri ve başlıcanoktalardaki ordinatları diyagramayazılmaktadır.


Kural: İzostatik sistemlerde mesnettepkilerine ve kesit zorlarına ait tesirçizgileri doğru parçalarından oluşurlar.

196

• Tesir Çizgisi Diyagramlarının Elde edilmesi:a) Genel Yol: 1 birimlik kuvvet sistemin üzerinde yeterli sayıda noktaya etkitilir,

kuvvetin her konumu için, tesir çizgisi çizilecek büyüklüğün değeri hesaplanır.Bu değerler yardımıyla, tesir çizgisi nokta nokta elde edilir. Bu yol çok uzundur.

b) Fonksiyonlar Yardımıyla Çizim:- 1 birimlik düşey kuvvet sistemin herhangi bir noktasına etkitilir ve seçilen bir

başlangıç noktasına uzaklığı (x) parametresi ile belirlenir. Tesir çizgisi çizilecekolan büyüklük 1 birimlik kuvvetin konumuna (x parametresine) bağlı olarakifade edilir. Bu şekilde elde edilen fonksiyonun grafiği aranılan tesir çizgisidiyagramını verir.


197

b) Fonksiyonlar Yardımıyla Çizim (devam):- Çoğu kez tesir çizgisi tek bir fonksiyonla

ifade edilemez. Bu durumda sistem yeterlisayıda bölgeye ayrılır ve her bölge içintesir çizgisi fonksiyonları ayrı ayrı tayinedilir. Bu fonksiyonların tanımlı olduklarıbölgelerdeki grafikleri yan yana çizilerekaranan tesir çizgisi diyagramı elde edilir.

- Tesir çizgilerine ait fonksiyonların (x)parametresi yerine, bazı yardımcıbüyüklüklerin (örneğin mesnet tepkilerinin) tesir çizgisi fonksiyonları cinsindenifade edilmesi hesapları hızlandırmaktadır.Bu halde, önce yardımcı büyüklüklere aittesir çizgileri çizilir. Daha sonra, tesirçizgisi aranan büyüklükler yardımcıbüyüklükler cinsinden ifade edilerekbunlara ait tesir çizgileri doğrudandoğruya belirlenir.


198

• Tesir Çizgisi Diyagramlarının Kullanılması:Verilen sabit düşey yüklerden oluşanbüyüklüklerin hesabı

• Tekil yüklerden dolayı:

• q(x) yayılı yükünden dolayı:

• q0 düzgün yayılı yükünden dolayı:

• Toplam yükten dolayı:


Tesir çizgilerinin tanımı göz önündetutulursa, verilmiş olan sabit düşeyyüklerden dolayı tesir çizgisi çizilmiş olanbir büyüklüğün değeri:

1 1 2 2 i i i iQ Q Q Qη + η + + η = η∑

B

A

q(x) (x)dxη∫

0 0q (x)dx q Fη =∫B

i i 0A

Q q(x) (x)dx q Fη + η +∑ ∫

199

200

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

PowerPoint Presentation - · PDF file2 1. Yapı Statiği I-II Adnan ÇAKIROĞLU ve Enver ÇETMELİ. 2. Çözümlü Örneklerle Yapı Statiği Hüsnü...

Documents