PowerPoint Presentationkisi.deu.edu.tr/istem.koymen/ist 1 Böl 3 Tanımlayıcı... · 2013. 1. 4. · Title: PowerPoint Presentation Created Date: 1/4/2013 11:54:37 AM

04.01.2013

1

1

Bölüm 3

Tanımlayıcı İstatistikler

2


• Bir veri setini tanımak veya birden fazla veri setini

karşılaştırmak için kullanılan ve ayrıca örnek

verilerinden hareket ile frekans dağılışlarını sayısal

olarak özetleyen değerlere tanımlayıcı istatistikler

denir.

• Analizlerde kullanılan veri tiplerine (basit,

gruplanmış, sınıflanmış) göre hesaplamalarda

kullanılacak formüller değişmektedir.

3


Yer Ölçüleri

1)Aritmetik ort.

2)Geometrik ort.

3)Harmonik ort.

4)Mod

5)Medyan

6)Kartiller

Değişkenlik Ölçüleri

1) Range

(Değişim Aralığı)

2) Ort. Mutlak sapma

3) Varyans

4) Standart Sapma

5) Değişkenlik(Varyasyon)

Katsayısı

Çarpıklık Ölçüleri

1)Pearson Asimetri Ölçüsü

2)Bowley Asimetri Ölçüsü

Basıklık

Ölçüleri

4

Yer Ölçüleri

• Yer ölçüsünü belirlemek amacıyla veri

analizini yapacak kişi, öncelikle veri seti

için hangi ölçüyü kullanması gerektiğine

karar vermelidir.

5

Tanım

Merkezi Eğilim Ölçüsü

Veri setinin orta noktası veya merkezinin değeridir.

6

1) Aritmetik Ortalama

• Üzerinde inceleme yapılan veri setindeki elemanların toplanıp incelenen eleman sayısına bölünmesiyle elde edilen yer ölçüsüne aritmetik ortalama denir.

• Örnek:

– Sınav notlarının ortalaması,

– Yaz aylarında m2’ye düşen ortalama yağış miktarı

04.01.2013

2

7

Örnek Ortalaması ve Anakütle Ortalaması

µ, “mü” şeklinde telaffuz edilir ve anakütle

ortalamasıdır

x = n

x , x-bar şeklinde telaffuz edilir ve örneklemin ortala

masıdır.

x

N µ =

x

8

Bir Denge Noktası Olarak

Ortalama

• 1, 14, 19, 31, 50 sayılarının ortalaması =23 tür.

Şekil sayıları bir çizgi üzerinde yerleştirilmiş eşit

küçük ağırlıklar şeklinde gösterir.1,14,19,31,50

• Aritmetik ortalama denge noktasıdır.

1 14 19 31 50

9

Eğer çizgiyi üzerinde ağırlıklar olan bir tahta

olarak düşünürsek, tahtayı dengede tutmak için

’nün bulunduğu yerden denge noktası

koymalıyız. Bu aritmetik denge noktasının özelliği;

her bir sayı için xi- ‘yü hesaplarsak pozitif ve

negatif sayılar dengede kalır çünkü toplamları 0

olur.

Herhangi bir veri seti için,

0)( ix

olur.

i

x uzaklığı

i

x

i

x

Örnek: İzmir ilinde ilköğretim ikinci sınıfta okuyan

öğrenciler üzerinde yapılan bir araştırmada rasgele

8 öğrenci seçilmiş ve ailenizde kaç çocuk vardır

sorusuna aşağıdaki gibi cevap vermişlerdir. Ailelerin

çocuk sayılarının ortalamasını hesaplayınız.

1,3,2,1,4,5,6,2

n = 8 i = 1,2,…,8

1 1 1 2 2 3 4 5 63

8

n

i

i

x

xn

Basit Veriler için Aritmetik Ortalama Örneği

Gruplanmış Veriler İçin

Aritmetik Ortalama

nfk

ii

1

k

ii

k

iii

f

fxx

1

1

f : frekans

k: grup sayısı

i = 1,2,3,……….,k

Örnek: Bir otomobil bayisinde 80 gün boyunca yapılan inceleme sonucunda satılan arabaların adetlerine göre dağılımı yandaki tabloda verilmiştir. Buna göre bir gün içinde satılan ortalama araba sayısını hesaplayınız.

1

1

0 12 70 42 32 30 1862,33

80 80

k

i i

ik

i

i

x f

x

f

Araba

(xi)

Gün (fi) xi.fi

0 5 0

1 12 12

2 35 70

3 14 42

4 8 32

5 6 30

∑fi=80

04.01.2013

3

13

Sınıflanmış Veriler İçin Aritmetik

Ortalama

nfk

ii

1

k

ii

k

iii

f

fmx

1

1

f : frekans

k : sınıf sayısı

i = 1,2,3,……….,k

m : sınıf orta noktası

• Sınıflanmış verilerde her bir sınıf içindeki değerlerin neler

olduğu bilinmediğinden dolayı ve yalnızca her bir sınıfın

frekans değerleri bilindiğinden dolayı sınıfı temsil etmek

üzere sınıf orta noktaları hesaplamada kullanılır.

• Kullanılan formül gruplanmış veriler için kullanılan

formüle benzerdir.

Örnek: Bir sınıftaki öğrencilerin boyları hakkında bir araştırma

yapılmaktadır. Bu amaçla 50 öğrencinin boyları ölçülerek

kaydedilmiştir.Öğrencilerin boylarının aritmetik ortalamasını

hesaplayınız.

Sınıflar fi mi mifi

150-157’den az 5 153,5 767,5 157-164’den az 7 160,5 1123,5

164-171’den az 14 167,5 2345 171-178’den az 9 174,5 1570,5 178-185’den az 8 181,5 1452 185-192’den az 4 188,5 754 192-199’dan az 3 195,5 586,5

Toplam 50 8599

1

1

153,5(5) 160,5(7) ... 195,5(3) 8599171,98 .

50 50

k

i i

i

k

i

i

m f

x cm

f

15

Ağırlıklı Ortalama

Veri setindeki gözlemlerin belirli bir kritere göre

ağırlıklandırılması durumunda veri setinin ortalamasının

hesaplanması için kullanılan ortalamadır.

i i

w

i

w xx

w

16

Örnek: Aşağıdaki tabloda şipariş büyüklüklerine göre elde edilen kar

miktarları ve sipariş sayıları verilmiştir. Buna göre bir siparişden elde

edilecek ortalama kar miktarı kaç $’dır?

Sipariş büyüklüğü

Sipariş başına kar xi

Sipariş sayısı wi

xiwi

Küçük $1 120 $120

Orta $3 60 $180

Büyük $6 20 $120

Σwi=200 Σ xiwi=$420

420$2,1

200

i iw

i

w xx

w

17

2) Geometrik Ortalama

• Bir veri setinde bulunan n adet elemanın çarpımının n nci dereceden kökünün alınmasıyla elde edilen yer ölçüsüdür.

nnxxxG ....21

• Geometrik ortalamanın formülüne bakıldığında hesaplama zorluğu olduğundan dolayı logaritma ifadesi kullanılır. Genellikle basit veriler için kullanışlı olup negatif sayılar için kullanışlı değildir.

n

x

GLog

n

i

i 1

log

n

i

ixn

antiG1

log1

log

Geometrik Ortalama’nın

Kullanım Alanları • Ortalama oranları,

• Değişim Oranları,

• Logaritmik dağılış gösteren veri setleri,

için kullanışlıdır.

Örnek: fiyat indeksleri, faiz formülleri.

04.01.2013

4

Örnek: Abac şirketinin yıldan-yıla olan fuel deki

tüketim harcamalarının değişimi yüzde -5, 10, 20, 40,

ve 60. büyüme faktörlerinin geometrik ortalamasını

kullanarak harcamalardaki ortalama yıllık yüzde

değişim belirlenir. Büyüme faktörleri için yüzde

değişim dönüştürme ile elde edilenler;

0.95 1.10 1.20 1.40 1.60

51 2

5

.... (0,95)(1,10)(1,20)(1,40)(1,60)

2.80896 1,229

nnG x x x

1

log0,022276 0,041393 0,079181 0,146128 0,204120

5

0,4485460,08971

5

n

i

i

x

Log Gn

Log G

G = anti log 0,27045 = 100,08971 ≈ 1,229

21

3) Harmonik Ortalama

• Bir veri setinde bulunan n adet elemanın çarpma işlemine göre terslerinin ortalamasının tersinin alınmasıyla elde edilen yer ölçüsüdür. Genellikle basit veriler için kullanışlıdır.

nnxxx

n

n

xxx

H1

....111

....11

1

2121

n

x

H

n

i i

1

1

122

Harmonik Ortalama’nın Kullanım Alanları

Zaman verileri için kullanışlıdır.

Örnek: Zaman birimi başına hız, para birimi başına satın alınan birim sayısı.

Belirli koşullar ve fiyat tipleri için zaman verilerinin

ortalamalarının hesaplanmasında kullanılan bir yer

ölçüsüdür.

Zamana bağlı hız, fiyat verimlilik gibi oransal olarak

ifade edilebilen verilerin ortalamasın alınmasında da

kullanılabilir.

NOT: ARİTMETİK ORT. > GEOMETRİK ORT. > HARMONİK ORT.

23

Örnek: Bir tekstil fabrikasında çalışan dört kişinin bir

pantolonu ütüleme süreleri aşağıda verilmiştir. Buna göre

bu fabrikada bir pantolon ortalama kaç dakikada ütülenir?

İşçi 1: 10 dk. İşçi 2: 6 dk. İşçi 3: 4 dk. İşçi 4 : 5 dk.

240

43

4

10

1

6

1

5

1

4

11

1 1

n

x

H

n

i i

.58,543

240dkH

24

4) Mod

• Bir veri setinde en çok gözlenen ( en çok tekrar eden ) değere veya frekansı en fazla olan şans değişkeni değerine mod adı verilir.

• Veri setinin modu olmayacağı gibi birden fazla da modu olabilir.

• Mod genellikle kesikli şans değişkenli için oluşturulan gruplanmış verilerde aritmetik ortalama yerine kullanılabilir.

04.01.2013

5

25

Mod

• Mod, büyük veri setlerinde verinin daha çok nerede

toplandığını bulmak için kullanılır. Örneğin erkek

kıyafetleri satan bir perakendeci, potansiyel

müşterilerini belirlemek için gömlek kol uzunluğu ve

gömlek yaka ölçüsüyle ilgilenebilir.

• Nicel veri seti çok büyük olmadığı zaman mod

anlamlı olmayabilir.

• Niteliksel veriler için kullanılabilecek tek merkezi

eğilim ölçüsüdür.

26

1) 5,40 1,10 0,42 0,73 0,48 1,10

2) 27 27 27 55 55 55 88 88 99

3) 1 2 3 6 7 8 9 10

Örnekler

Modu 1,10

1 den fazla moda

sahip , 27 ve 55

Modu yok

27

Gruplanmış Veriler İçin Mod

Basit verilerde bulunduğu gibi hesaplanır.

Örnek: Bir otomobil bayisinde 80 gün boyunca yapılan inceleme sonucunda satılan arabaların adetlerine göre dağılımı yandaki tabloda verilmiştir. Buna göre araba satışları için mod değeri nedir?

Araba(xi) Satış adedi (fi)

0 5

1 12

2 35

3 14

4 8

5 6

En yüksek frekansa sahip olan gözlem değeri 2

olduğundan dolayı araba satışları için mod değeri 2’dir. 28

Sınıflanmış Veriler İçin Mod

• Sınıflanmış verilerde mod değeri hesaplanırken ilk olarak

mod sınıfı belirlenir.

• Mod sınıfı frekansı en yüksek olan sınıftır.

• Mod sınıfı belirlendikten sonra bu sınıf içerisinde yer alan

modun tam değeri sınıf frekansı ve kendine komşu olan

sınıf frekansları dikkate alınarak hesaplanır.

29

iL .21

1mod

= Mod Sınıfı Aralığının Alt Sınırı

1 = Mod Sınıfı Frekansı - Kendinden Bir Önceki

Sınıf Frekansı

2 = Mod Sınıfı Frekansı – Kendinden Bir Sonraki

Sınıf Frekansı

i = Mod Sınıfının Sınıf Aralığı

Mod =

ModL



kaydedilmiştir.Öğrencilerin boylarının mod değerini hesaplayınız.

Sınıflar fi

150-157’den az 5 157-164’den az 7

164-171’den az 14 171-178’den az 9 178-185’den az 8 185-192’den az 4 192-199’dan az 3

Toplam 50

Mod sınıfı

04.01.2013

6

Frekansı en yüksek olan sınıf mod sınıfı olarak

belirlenir.

Mod sınıfı belirlendikten sonra formülde ilgili

değerler yerine koyularak mod değeri hesaplanır.

1mod

1 2

(14 7)164 7 168,08 .

(14 7) (14 9)

Mod L i

cm

32

5) Medyan

• Bir veri setini büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe sıraladığımızda tam orta noktadan veri setini iki eşit parçaya ayıran değere medyan adı verilir.

• Veri setinde aşırı uçlu elemanlar olduğunda aritmetik ortalamaya göre daha güvenilirdir.

• Medyan, veri setindeki tüm elemanlardan etkilenmez.

33

Basit Veriler İçin Medyan

2

1n

12

n

• Veri Setinin Hacmi Tek Sayı İse;

nci gözlem değeri medyandır.

• Veri Setinin Hacmi Çift Sayı İse;

ve nci gözlem değerinin aritmetik

ortalaması medyandır.

2

n

34

5.40 1.10 0.42 0.73 0.48 1.10 0.66

0.42 0.48 0.66 0.73 1.10 1.10 5.40

Tam ortadaki değer medyandır.

MEDYAN 0.73

5.40 1.10 0.42 0.73 0.48 1.10

0.42 0.48 0.73 1.10 1.10 5.40

0.73 + 1.10

2

Medyan bu iki noktanın arasına düşmektedir

MEDYAN 0.915

35

Gruplanmış Veriler İçin Medyan

• Gruplanmış verilerde medyan değeri hesaplanırken

veri setinin tam orta noktasının hangi gruba ait

olduğunu belirlemek için birikimli frekans sütunu

oluşturulur.

• Sıra numarası belirlendikten sonra o sıra numarasına

ait grup medyan değeri olarak ifade edilir.

Örnek: Bir un fabrikasının satış mağazasında bir

gün içinde satılan un paketlerinin gramajlarına

göre göre satış adetleri aşağıda verilmiştir. Buna

göre veri seti için medyan değerini hesaplayınız.

Araba Satış adedi Birikimli Frekans ( ∑f )

0 5 5

1 12 17

2 35 52

3 14 66

4 8 74

5 6 80

• n/2 ve (n/2)+1 nci gözlem değerlerine karşılık gelen değerler

(40 ve 41 nci sıra ) 2 olduğundan dolayı medyan değeri 2’dir.

04.01.2013

7

•Frekans dağılımı aşağıdaki gibi olsaydı (n+1)/2 nci

elemana (40 ncı elemana) karşılık gelen değer

8 olacağından dolayı veri setinin medyanı 3 olarak

hesaplanacaktı.


0 5 5

1 12 17

2 22 39

3 32 61

4 14 75

5 4 79

38

Sınıflanmış Veriler İçin Medyan

• Sınıflanmış verilerde medyan değeri hesaplanırken ilk

olarak medyan sınıfı belirlenir.

• Medyan sınıfı birikimli frekanslar dikkate alındığında

toplam frekansın yarısını içinde bulunduran sınıftır.

• Medyan sınıfı belirlendikten sonra medyan sınıfından bir

önceki sınıfın birikimli frekansı ve medyan sınıfı frekansı

dikkate alınarak hesaplanır.

39

if

ff

LMedyanmed

l

i

med.2

Lmed : Medyan sınıfının alt sınırı

fl : Medyan sınıfından bir önceki sınıfın birikimli

frekansı

fmed : Medyan sınıfının frekansı



kaydedilmiştir.Öğrencilerin boylarının mod değerini hesaplayınız.

Sınıflar fi ∑fi

150-157’den az 5 5 157-164’den az 7 12

164-171’den az 14 26 171-178’den az 9 35 178-185’den az 8 43 185-192’den az 4 47 192-199’dan az 3 50

Toplam 50

Medyan sınıfı

2 .

25 12164 .7 170,5

14

il

med

med

ff

Medyan L if

cm

Toplam 50 adet gözlem olduğundan dolayı, birikimli

frekans sütununda 50/2 =25 nci gözlemin

bulunduğu sınıf medyan sınıfı olarak belirlenir.

42

Merkezi

Ölçüm

Tanım Nasıl

Kullanılıyor

Varlığı Her

değer

Dikkate

Alınırmı?

Uç

Değerlerden

Etkilenirmi?

Avantajları ve

Dezavantajları

Ortalama

n

xx

En Bilinen

‘ortalama’

Her zaman

vardır.

Evet

Evet

Birçok

istatistiksel

metodla iyi

çalışır.

Medyan

Orta değer

Sıklıkla

Kullanılır

Her zaman

vardır.

Hayır

Hayır

Birkaç uç değer

varsa genellikle

iyi bir tercihtir

Mod En sık tekrar eden

veri değeri

Ara sıra

kullanılır

Olmayabilir

ya da

birden fazla

olabilir.

Hayır

Hayır

Nominal

düzeyde veriler

için uygundur

Veriler mod etrafında simetrik oldukları zaman, mod, medyan ve artimetik ortalama

birbirlerine eşit olur.

Eğer örneklem aynı anakütleden çekilmişse, aritmetik ortalama diğer ölçülere göre

daha güvenilirdir

04.01.2013

8

43

6) Kartiller •Bir veri setini büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe sıraladığımızda dört eşit parçaya ayıran üç değere kartiller adı verilir.

•İlk % 25’lik kısmı içinde bulunduran 1. Kartil (Q1), % 50’lik kısmı içinde bulunduran 2. Kartil (Q2), % 75’lik kısmı içinde bulunduran 3. Kartil (Q2), olarak adlandırılır.

•%50’lik kısmı içinde bulunduran 2. Kartil (Q2) aynı zamanda veri setinin medyanıdır.

%25 %25

%25 %25

Q1 Q2 Q3

44

Basit Veriler İçin Kartiller

4

1n

• 1.Kartil Q1

nci gözlem değeri,

• 3.Kartil Q3

nci gözlem değeri,

3( 1)

4

n

45

Örnek: İstatistik I dersini alan 10 öğrencinin vize

notları aşağıdaki gibi sıralanmıştır. Buna göre vize

notları için Q1 ve Q3 değerlerini hesaplayınız.

30,42,56,61,68,79,82,88,90,98

(n+1)/4 ‘ncü verinin sıra numarası (10+1)/4 = 2,75’dir.

Q1= 42 + 0,75 .(56 - 42) = 52,5 ,

3(n+1)/4 ‘ncü verinin sıra numarası 3(10+1)/4 =

8,25’dir.

Q3= 88 + 0,25.(90 - 88) = 88,5 ‘dir.

Veri seti aşağıdaki gibi verilseydi,

30,42,56,61,68,79,82,88,90,98

(n+1)/4 ‘ncü verinin sıra numarası (9+1)/4 = 2,5’dir.

Q1= 42 + 0, 5 .(56 - 42) = 49 ,

3(n+1)/4 ‘ncü verinin sıra numarası 3(9+1)/4 = 7,5’dir.

Q3= 82 + 0, 5.(88 - 82) = 85 ,

olarak hesaplanacaktı.

47

Gruplanmış Veriler İçin Kartiller

• Gruplanmış verilerde kartiller hesaplanırken veri

setinin ilk çeyrek ve son çeyrek kısmını tam olarak

ifade etmek amacıyla birikimli frekans sütünü

oluşturulur.

• Gruplanmış verilerde örnek hacminin tek veya çift

olduğuna bakılmaksızın

n/4 ncü eleman 1.Kartil (Q1),

3n/4 ncü eleman ise 3.Kartil (Q3),

olarak ifade edilir.

Örnek: Bir un fabrikasının satış mağazasında bir gün içinde

satılan un paketlerinin gramajlarına göre göre satış adetleri

aşağıda verilmiştir. Buna göre veri seti için Q1 ve Q3 nedir?


0 5 5

1 12 17

2 35 52

3 14 66

4 8 74

5 6 80

• n/4 ncü ( 20 nci ) sıra numarasına karşılık gelen gözlem 2

olduğundan; 1.kartil 2, 3n/4 ncü ( 20 nci ) sıra numarasına

karşılık gelen gözlem 3 olduğundan; 3.kartil 3’dür.

04.01.2013

9

49

Sınıflanmış Veriler İçin Kartiller

• Sınıflanmış verilerde kartiller hesaplanırken ilk olarak

birikimli frekans sütunu oluşturularak kartil sınıfları

belirlenir.

• Kartil sınıfları belirlenirken gruplanmış verilerde olduğu

gibi n/4 ve (3n)/4 ncü sıralardaki elemanların hangi sınıflara

ait iseler o sınıflar kartil sınıfları olur.

• Kartil sınıfları belirlendikten sonra bu sınıflardan bir

önceki sınıfın birikimli frekansı ve mevcut sınıf frekansı

dikkate alınarak kartil değerleri hesaplanır.

50

if

ff

LMedyanQQ

l

i

Q .2

2

22

if

ff

LQQ

l

i

Q.4

3

3

33

if

ff

LQQ

l

i

Q .4

1

11

1. Kartil

3. Kartil

2. Kartil

51

1 1

1

4 .

12,5 12164 .7 164,58

6

il

Q

Q

ff

Q L if

cm

Q1 sınıfı

Q3 sınıfı

3 3

3

3

4 .

37,5 35178 .6 179,88

8

il

Q

Q

ff

Q L if

cm

Sınıflar fi ∑fi

150-157’den az 5 5 157-164’den az 7 12 164-171’den az 14 26 171-178’den az 9 35 178-185’den az 8 43 185-192’den az 4 47 192-199’dan az 3 50

Toplam 50



kaydedilmiştir.Öğrencilerin boylarının birinci ve üçüncü kartillerini

hesaplayınız.

52

Yayılma (Değişkenlik) Ölçüleri

•Bir veri setini tanımak yada iki farklı veri setini

birbirinden ayırt etmek için her zaman yalnızca yer

ölçüleri yeterli olmayabilir.

• Dağılımları birbirinden ayırt etmede kullanılan ve

genellikle aritmetik ortalama etrafındaki değişimi

dikkate alarak hesaplanan istatistiklere yayılma

(değişkenlik) ölçüleri adı verilir.

53

X

123,33

109,33

95,33

81,33

67,33

Fre

kan

s 400

300

200

100

0

X

123,33

109,33

95,33

81,33

67,33

Fre

ka

ns 1200

1000

800

600

400

200

0

Aşağıdaki iki grafik n = 1500 hacimlik alınan iki farklı örnek

doğrultusunda oluşturulan histogramlardır. Her iki örnek ortalaması

yaklaşık olarak 100 olduğuna göre iki örneğin aynı anakütleden

alındığı söylenebilir mi?

54

• Dağılımları birbirinden ayırt etmede kullanılan yayılım ölçüleri aritmetik ortalama etrafındaki değişimleri dikkate alan tanımlayıcı istatistiklerdir.

• Bir veri setinde aritmetik ortalamalardan her bir gözlemin farkı alınıp bu değerlerin tümü toplandığında sonucun 0 olduğu görülür.

04.01.2013

10

55

• Örnek: 4,8,9,13,16 şeklinde verilen bir basit veri için;

105

16139841

n

xx

n

ii

010161013

1091081041

n

ii

xx

• Bu örnekten görüleceği üzere gözlemlerin aritmetik ortalamadan uzaklığı alıp toplandığında 0 elde edildiğinden dolayı bu problem mutlaka değer kullanarak veya karesel uzaklık alınarak ortadan kaldırılır.

56

7) Range (Değişim Aralığı)

• Veri setindeki yayılımı ifade etmede kullanılan en basit

ölçü, değişim aralığıdır. Genel olarak az sayıda veri için

kullanılır.

• En büyük gözlem değeri ile en küçük gözlem değeri

arasındaki fark değişim aralığını verir.

• Veri setindeki tek bir gözlemin aşırı derecede küçük

veya büyük olmasından etkilendiği için bir başka

ifadeyle örnekte yer alan sadece iki veri kullanılarak

hesaplanmasından dolayı tüm veri setinin değişkenliğini

açıklamak için yetersiz kalmaktadır.

57

Değişim Aralığı

Örnek:

Aralık, veri seti içindeki en büyük değerle en küçük değer arasındaki

uzaklığı ölçerek verinin yayılımını ortaya koyar. Örneğin aşağıdaki

şekilde gösterildiği üzere A hisse senedi belirli bir yılda 36$ ila 32$

arasında çeşitlilik gösterirken, B hisse senedi 10$ ila 58$ arasında

gösterdi. Hisse senedinin fiyatındaki aralık A için 36$-32$ = 4$ dır;

B için 58$-10$=48$.Aralıkları kıyasladığımızda B hisse senedinin

fiyat aralığının A ya göre daha çok değişkenlik gösterdiğini

söyleyebiliriz.

10 20 30 32 36 40 50 58 60

Ücret ($)

A hissesinin aralığı

B hissesinin aralığı

58

Kartiller Arası Fark

• Diğer değişkenlik 3. ve 1. kartiller arasındaki farka

dikkat çeker. Çeyrek aralık olarak adlandırılan bu

fark, Q3-Q1, bize veri setinin yarısını içeren genişliği

verir.

59

8) Ortalama Mutlak

Sapma(OMS) • Veri setindeki her bir gözlem değerinin aritmetik ortalamadan

farklarının mutlak değerlerinin toplamının örnek hacmine

bölünmesiyle elde edilir.

• Gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan faklarının toplamı 0

olacağından bu problemi ortadan kaldırmak için mutlak değer

ifadesi kullanılır.

n

xx

OMS

n

i

i

1Basit veriler için:

k

i

i

k

i

ii

f

xxf

OMS

1

1

k

i

i

k

i

ii

f

xmf

OMS

1

1

Gruplanmış veriler için:

Sınıflanmış veriler için : 60



notları için ortalama mutlak sapma değerini

hesaplayınız.

5,1410

145

10

6998...694169301

n

xxOMS

n

ii

30,41,53,61,68,79,82,88,90,98

6910

98....41301

n

xx

n

ii

04.01.2013

11

61

1

1

171,98 .

k

i i

ik

i

i

m f

x kg

f

1

1

470,969.42

50

k

i i

ik

i

i

f m x

OMS

f

Sınıflar fi mi Ifi(mi-x )I

150-157’den az 5 153,5 92,4 157-164’den az 7 160,5 80,36

164-171’den az 14 167,5 62,72 171-178’den az 9 174,5 22,68 178-185’den az 8 181,5 76,17 185-192’den az 4 188,5 66,08 192-199’dan az 3 195,5 70,56

Toplam 50 470,96

Sınıflanmış Veriler İçin Ortalama

Mutlak Sapma Örneği

62

Yayılma Ölçülerinin Gerekliliği

Örnek 1 Örnek 2

Ölçümler 1,2,3,4,5 2,3,3,3,4

Ortalama

3

5

15

5

54321

x 3

5

15

5

43332

x

x dan Uzaklıklar 1-3, 2-3, 3-3, 4-3, 5-3

veya

-2, -1, 0, 1, 2

2-3, 3-3, 3-3, 3-3, 4-3

veya

-1, 0, 0, 0, 1

İki veri seti için uzaklıklar

a) Örnek 1 b) Örnek 2

63

9) Varyans

• Ortalama mutlak sapmada kullanılan mutlak değerli

ifadeler ile işlem yapmanın zor hatta bazı durumlarda

imkansız olması sebebiyle yeni değişkenlik ölçüsüne

ihtiyaç bulunmaktadır.

• Mutlak değer ifadesindeki zorluk aritmetik ortalamadan

farkların karelerinin alınmasıyla ortadan kalkmaktadır.

• Veri setindeki her bir gözlem değerinin aritmetik

ortalamadan farklarının karelerinin toplamının örnek

hacminin bir eksiğine bölünmesinden elde edilen

yayılım ölçüsüne örnek varyansı adı verilir. 64

Basit veriler İçin:

Anakütle Varyansı:

: Anakütle Ortalaması N : Anakütle Hacmi

Örnek Varyansı :

Gruplanmış veriler için:

Sınıflanmış veriler için :

N

xi

2

2

1

1

2

2

n

xxs

n

ii

1

)(

1

1

2

2

k

i

i

k

i

ii

f

xmf

s

1

)(

1

1

2

2

k

i

i

k

i

ii

f

xxf

s

65

n

ii

xx1

2

ifadesi istatistikte bir çok formülde kullanılır ve

kareler toplamı olarak adlandırılır.

• Matematiksel olarak hesaplama kolaylığı sağlaması

açısından formüllerde kareler toplamının açılımı olan

aşağıdaki eşitlik kullanılabilir.

n

xxxx

n

iin

ii

n

ii

2

1

1

2

1

2

66

1

2

1

1

2

2

n

n

xx

s

n

in

ii

11

1

2

2

2

k

ii

k

ii

k

iiik

iii

f

f

xfxf

s

11

1

2

2

2

k

i

i

k

i

i

k

i

iik

i

ii

f

f

mf

mf

s

Gruplanmış Veriler İçin:

Sınıflanmış Veriler İçin :

Basit Veriler İçin:

04.01.2013

12

Örnek: Bir un fabrikasının satış mağazasında bir gün içinde satılan un

paketlerinin gramajlarına göre göre satış adetleri aşağıda verilmiştir.

Buna göre veri seti için varyans değerlerini hesaplayınız.

Araba Satış adedi xi.fi x2i.fi

0 5 0 0

1 12 12 12

2 35 70 140

3 14 42 126

4 8 32 128

5 6 30 150

toplam 80 186 572

2

2

2

2 1

1

186556

80 1,5679

1

k

i iki

i i ki

i

ik

i

i

f x

f x

f

s

f

68

1

1

171,98 .

k

i i

ik

i

i

m f

x kg

f

Sınıflar fi mi fi(mi-x )2

150-157’den az 5 153,5 1707,552 157-164’den az 7 160,5 922,5328

164-171’den az 14 167,5 280,9856 171-178’den az 9 174,5 57,1536 178-185’den az 8 181,5 725,0432 185-192’den az 4 188,5 1091,642 192-199’dan az 3 195,5 1659,571

Toplam 50 6444,48

Sınıflanmış Veriler İçin Ortalama

Varyans Örneği

2

2 1

1

( )6444,48

131,5250 1

1

k

i i

ik

i

i

f m x

s

f

69

10) Standart Sapma

• Varyans hesaplanırken kullanılan verilerin kareleri

alındığından verilerin ölçü biriminin karesi

varyansında ölçü birimi mevcut ölçü birimini karesi

olur.

• Örnek: kg2, cm2 gibi.

• Bu nitelendirme veriler açısından bir anlam

taşımayacağından varyans yerine ortalama

etrafındaki değişimin bir ölçüsü olarak onun pozitif

karekökü olan standart sapma kullanılır. 70

Basit Veriler İçin:

Populasyon Standart Sapması:

: Populasyon Standart Sapması N : Populasyon Hacmi

Örnek Standart Sapması :

Gruplanmış Veriler İçin:

Sınıflanmış Veriler İçin :

N

xi

2

1

1

2

n

xxs

n

ii

1

)(

1

1

2

k

i

i

k

i

ii

f

xmf

s

1

)(

1

1

2

k

i

i

k

i

ii

f

xxf

s

71



notları için varyans ve standart sapmayı hesaplayınız.

22,5049

4538

9

6998...69416930

1

222

1

2

2

n

xxs

n

ii

6910

98....41301

n

xx

n

ii

22,5042 s

30,41,53,61,68,79,82,88,90,98

45,2222,5042 ss→

İstatistik I vizesinden alınan notların ortalama etrafında yaklaşık

olarak 22 puan değiştiği görülmektedir. 72

Aynı soru kareler ortalamasının açılımı kullanılarak

çözüldüğünde aynı sonuçları verecektir.

6901

n

ii

x

22,5042 s

45,2222,5042 ss

30,41,53,61,68,79,82,88,90,98

521481

2

n

i i

x

x x2

30 900

41 1681

53 2809

61 3721

68 4624

79 6241

82 6724

88 7744

90 8100

9

10

69052148

1

2

2

1

1

2

2

n

n

xx

s

n

in

ii

04.01.2013

13

73

CHEBYSHEV TEOREMİ

Herhangi bir veri setinde, verilerin ortalamanın K standart

sapma uzağında bulunması oranı 1-1/K2 dır. Burada K, birden büyük

pozitif sayıdır.

K=2 ve K=3 için;

•Verilerin en az 3/4’ ü (%75) ortalamanın 2 standart sapma uzagında

bulunur.

•Verilerin en az 8/9’ u (%89) ortalamanın 3 standart sapma uzağında

bulunur.

74

• Örnek: X değişkeni bir sınıftaki İstatistik I dersinin başarı notlarını göstermek üzere, örnek ortalamasının 60 varyansının 100 olduğu bilindiğine göre, verilerin ¾ ‘ü hagi aralıkta değişir?

2

1 31 2

4

2

60 2.10

40,80

kk

x s

75

Standart Sapmanın Yorumlanması

- Chebyshev teoreminden, frekans dağılımının şekline

bakılmaksızın, ölçümlerin herhangi bir örneğine uygulanan

kural:

a- Ölçümlerden hiçbirinin ),( sxsxyadasx

aralığına

düşmemesi mümkündür.

b- Ölçümlerin en az ¾’ü )2,2( sxsx

aralığına düşer.-

ortalamanın

c- Ölçümlerin en az 8/9’u )3,3( sxsx

aralığına düşer.-

d- Genellikle, ölçümlerin en az (1-1/k2)’ı ),( ksxksx

aralığına

düşer. (k>1) 76

- Simekrik dağılışlarda standart sapmanın yorumu:

a- Ölçümlerin yaklaşık %68’i

),( sxsxyadasx

aralığına düşer.- ortalamanın 1

standart sapması için

b- Ölçümlerin yaklaşık %95’i )2,2( sxsx

aralığına

düşer.- ortalamanın 2 standart sapması için

c- Temelde, tüm ölçümler )3,3( sxsx

aralığına düşer.

-ortalamanın 3 standart sapması için

77

Ampirik Kural

78

Ampirik Kural

04.01.2013

14

79

Ampirik Kural

80

• Örnek veri seti:

• 50 şirketin AR-GE için harcanan gelirlerinin

yüzdeleri burada tekrar verilmiştir:

13.5 9.5 8.2 6.5 8.4 8.1 6.9 7.5 10.5 13.5

7.2 7.1 9.0 9.9 8.2 13.2 9.2 6.9 9.6 7.7

9.7 7.5 7.2 5.9 6.6 11.1 8.8 5.2 10.6 8.2

11.3 5.6 10.1 8.0 8.5 11.7 7.1 7.7 9.4 6.0

8.0 7.4 10.5 7.8 7.9 6.5 6.9 6.5 6.8 9.5

81

Örnek: Aralıkları içinde kalan bu ölçümlerin kesrini(fraction) hesaplayınız

Çözüm: İlk aralık

• = (8.49 – 1.98, 8.49 + 1.98) = (6.51, 10.47)

50 ölçümün 34’ünün ve ya %68’inin ortalamanın 1 standart sapması içerisinde olduğunu ortaya koyar.

Aralık,

= (8.49 – 3.96 , 8.49 + 3.96 ) = (4.53, 12.45)

50 ölçümün 47’sini ya da %94’ünü içerir.

ortalama etrafında 3 standart sapma aralığı,

= (8.49 – 5.94 , 8.49 + 5.94 ) = (2.55, 14.43)

tüm ölçümleri içerir.

82

Örneklem Anakütle

x - µ z =

2 ondalık basamağa yuvarlanır.

11) z Skoru

z = x - x

s

Verilen bir gözlem değerinin ortalamanın kaç standart

sapma uzağında olduğunu ölçer.

83

z- skorunun Yorumlanması

Bir veri ortalamadan küçük olursa z-skoru değeri negatif olur.

Olağan Veriler : z skoru –2 ve 2 s.s arasında

Olağandışı Veriler: z skoru < -2 veya z skoru > 2 s.s

84

04.01.2013

15

85

• Örnek: 200 çelik işçisinin yıllık gelirleri incelenmiş

ve ortalaması = 24.000$ ve standart sapması s=

2.000$ olarak bulunmuştur. Yıllık geliri 22.000$ olan

Joe Smith’in z-skoru kaçtır?

18.000$

22.000$

Joe

Smith’in

geliri

24.000$

30.000$

86

z=s

xx

= $000.2

$000.24$000.22 =-1.0 bulunur. Burada ki -1.0 ın

anlamı Joe Smith’in yıllık geliri ortalamanın 1 standart

sapma altındadır.

z-skorunun sayısal değeri göreli durumlar için ölçümü

yansıtmaktadır. Bir x değeri için bulunan en büyük

pozitif z-skoru değeri, bu x değerinin diğer bütün

ölçümlerden daha büyük olduğunu gösterir ve mutlak

değerce en büyük negatif z-skoru değeri de bu ölçümün

diğer tüm ölçümlerden daha küçük olduğunu gösterir.

Eğer z skoru 0 veya 0’a yakın ise ölçüm ortalamaya eşit

veya ortalamaya çok yakındır.

87

12) Değişkenlik(Varyasyon)

Katsayısı • İki veya daha fazla populasyon üzerinde aynı şans değişkenleri için yapılan araştırmalarda değişkenliklerin karşılaştırılması için kullanılan bir ölçüdür.

• Standart sapmayı ortalamanın bir yüzdesi olarak ifade eden ve iki veya daha fazla populasyondaki varyasyonu (değişkenliği) karşılaştırmada kullanılan ölçüye varyasyon(değişkenlik) katsayısı denir.

• Örnek: İstanbul’da ve Ankara’da yaşayan ailelerin aylık gelirlerinin değişkenliklerinin karşılaştırılması

Varyasyon

Katsayısı:

100*X

sC

V

88

s

A 8 2

B 5 1

C 15 3

x

Örnek: A,B ve C hisse senetlerinin kapanış fiyatlarına ilişkin yapılan bir

araştırmada, hisse senetlerinin kapanış fiyatlarının ortalamaları ve standart

sapmaları hesaplanmış ve aşağıdaki tabloda verilmiştir. Buna göre hisse senetlerini

kapanış fiyatlarının değişkenlikleri açısından karşılaştırınız ve hangi hisse

senedinin fiyatındaki değişkenlik daha fazladır ifade ediniz.

2*100 *100 25 %25

8

AVA

A

sC

X

Üç hisse senedinin kapanış fiyatlarının değişkenlikleri

karşılaştırıldığında en büyük standart sapma değeri C hisse senedinde

olmasına rağmen en büyük varyasyon katsayısına sahip olduğundan en

fazla değişkenliğin A hisse senedinde olduğu görülür.

1*100 *100 20 %20

5

BVB

B

sC

X

3*100 *100 20 %20

15

CVC

C

sC

X

89

Simetrik Veriler

Eğer veri simetrik ise verinin histogramının sağ tarafı

ve sol tarafı eşit büyüklüktedir

Çarpık Veriler

Eğer veri çarpık ise (simetrik değilse), verinin

histogramın bir kısmı diğer kısmın büyüktür veya

küçüktür.

Tanımlamalar

90

Çarpıklık

04.01.2013

16

91

Çarpıklık (Asimetri) Ölçüleri

• Anakütleleri birbirinden ayırmak için her zaman

yalnızca yer ve yayılım ölçüleri yeterli olmayabilir.

Aşağıda iki farklı anakütleden alınmış örnekler için

oluşturulan histogramlar verilmiştir.

92

13) Asimetri Ölçüleri

PEARSON ÇARPIKLIK ÖLÇÜSÜ

s

xSk p

mod SkP < 0 →Negatif çarpık(Sola)

SkP > 0 → Pozitif Çarpık(Sağa)

SkP = 0 ise dağılış simetrik

s

medXSk p

)(3

veya

BOWLEY ÇARPIKLIK ÖLÇÜSÜ

13

1223 )()(

QQ

QQQQSkb

Skb < 0 → Negatif çarpık(Sola)

Skb > 0 → Pozitif Çarpık(Sağa)

Skb = 0 ise dağılış simetrik

93

Örnek: Aşağıdaki tabloda 30 günlük süre içinde bir restoranın kullandığı

et miktarının dağılımından elde edilen bazı tanımlayıcı istatistikler

verilmiştir. Buna göre pearson ve bowley asimetri ölçülerini hesaplayıp

yorumlayınız.

Ar i t m e t i k O r t .

Mod

Medyan

Q1

Q2

s2

46,6 45,4 46,2 41,5 51,9 54,46

016,046,54

4,456,46mod

s

xSk p

016,046,54

)2,466,46(3)(3

s

medXSk p

010,04,10

1

5,419,51

)5,412,46()2,469,51()()(

13

1223

QQ

QQQQSkb

Sağa Çarpık ,

Pozitif Asimetri

Sağa Çarpık ,

Pozitif Asimetri

Sağa Çarpık,

Pozitif Asimetri

94

Simetrik Dağılım

A.O = Med = Mod

Sağa çarpık dağılım

A.O > Med > Mod

Sola çarpık dağılım

A.O < Med < Mod

İki modlu simetrik dağılım Modu olmayan dağılım Tekdüzen dağılım

95

Sapan gözlem ortalama üzerinde önemli bir etkiye sahip olabilir.

Sapan gözlem standart sapma üzerinde önemli bir etkiye sahip olabilir.

Sapan gözlem dağılımın gerçek histogramının ölçeği üzerinde önemli bir etkiye sahip olabilir.

Sapan gözlem, diğer bütün gözlemlerden uzakta

bulunan gözlemdir.

14) Sapan Gözlemler

96

5 sayı özeti, bir veri setinde minimum değer,

1.Kartil, 2.Kartil(medyan), 3.Kartil’i ve

maksimum değeri içerir.

Kutu grafiği(veya kutu ve bıyık grafiği) bir veri

seti için, sınırları maksimum ve minimum değer

olmak üzere, içinde 1.Kartil, 2.Kartil(medyan) ve

3.Kartil’i bulunduran kutu şeklindeki grafiktir.

15) 5 Sayı Özeti

04.01.2013

17

97

Kutu Grafiği

98

Kutu grafiği hazırlama

• Q1:Kutunun sol kenarı

• Q3:Kutunu sağ kenarı

• Q2:Kutunun ortasındaki çizgi

• Sapan hariç min.: Sol bıyık

• Sapan hariç max.: Sağ bıyık

• Sapan değer kontrolu

Q1 – 1.5(Q3 – Q1)

Q3 + 1.5(Q3 – Q1) bu değerleri aşan veriler * ile gösterilir.

• Örnek:

Yazlık ürünler satan bir mağazada

haftalık satılan t-shirt sayıları

yandaki tabloda verilmiştir.

Verilen tablodan beş sayı özetini

bulunuz ve kutu grafiğini çiziniz.

27 22 20

17 18 18

22 21 29

20 32 17

30 19 28

25 20 31

22 23 21

28 22 24

18 18 32

25 18 44

17

• Çözüm:

Öncelikle veriler yandaki gibi

sıralanırsa;

Q1=(31+1)/4=8.sıraya karşılık

gelen veri olur.

Q1=18

Q3=3(31+1)/4=24. sıraya karşılık

gelen veri olur.

Q3=28

Minimum değer=17,

Maksimum değer=44 ve

Medyan(Q2)=22 olur.

Sapan değerleri kontrol etmek için;

Q1-1,5(Q3-Q1)=18-1,5(28-18)=3

Q3+1,5(Q3-Q1)=28+1,5(28-18)=43

bulunur. Bu durumda elimizdeki

44 değeri sapan değerdir ve * ile

gösterilir..

17 20 25

17 20 25

17 21 27

18 21 28

18 22 28

18 22 29

18 22 30

18 22 31

19 23 32

20 24 32

44

20

25

30

35

40

45 *

Medyan(Q2)=22

44 sapan değer

102

Kutu Grafiği

Figure

2-16

04.01.2013

18

103

Figure 2-17

Kutu Grafiği

104

16) Basıklık Ölçüsü

A

B

A = B

Aşağıdaki A ve B dağılımlarının ortalamaları, değişkenlik

ölçülerinin aynı olmasından dolayı ve hatta ikisinin de

simetrik olmalarından dolayı bu iki dağılışı ayırt etmek için

Basıklık Ölçüsü kullanılır.

105

Herhangi bir olasılık fonksiyonunun şekli ile ilgili

parametrelerden bir tanesi de basıklık ölçüsüdür.

Basıklık Ölçüsü ortalamaya göre dördüncü momentten

gidilerek hesaplanır ve 4 olarak gösterilir.

4

44

4 = 3 ise Seri Normal

4 < 3 ise Seri Basık

4 < 3 ise Seri Sivri Ya da Yüksek

n

xn

i

i

1

4

4

Basit Seri İçin

PowerPoint Presentationkisi.deu.edu.tr/istem.koymen/ist 1 Böl 3 Tanımlayıcı... · 2013. 1. 4. · Title: PowerPoint Presentation Created Date: 1/4/2013 11:54:37 AM

Documents