POVRŠI U PROSTORU - elearning.rcub.bg.ac.rselearning.rcub.bg.ac.rs/moodle/pluginfile.php/27459/mod_resource... · Površi drugog reda ... su krive drugog reda i i i i i x p Ap2 By2

POVRŠI U PROSTORU

Površ u prostoru može biti zadata jednačinama :  U parametarskom obliku    U eksplicitnom obliku 

),(1 vux ),(2 vuy

),(3 vuz

),( yxfz

21

21

yyyxxx

21

21

vvvuuu

U implicitnom obliku 

0),,( zyxF

x

y

POVRŠI U PROSTORU )sin( yxz

10101010

yx

Eksplicitni oblik ‐ primer 

POVRŠI U PROSTORU

yxz sinsin

10101010

yx

Eksplicitni oblik ‐ primeri 

22 yxz

2222

yx

2222

yx

)( 22 yxez

POVRŠI U PROSTORU 0coscos zycox

10101010

yx

Implicitni oblik ‐ primer 

Schwartz‐ova površ 

POVRŠI U PROSTORU 0sincossincossin xzzyycox

4444

yx

Implicitni oblik ‐ primer 

Giroid 

POVRŠI U PROSTORU

Površi drugog reda 

0222 QPzNyMxFxzEyzDxyCzByAx

Svodjenjem na kanonski oblik dobijaju se:   Elipsoid I kao poseban slučaj sfera  Jednograni hiperboloid  Dvograni hiperboloid  Eliptički paraboloid  Hiperbolički paraboloid  

POVRŠI U PROSTORU

Površi drugog reda 

Preseci sa ravnima paralelnim sa yz‐ravni:                       su krive drugog reda 

i

iiii

pxQPzNyMpzFpEyzyDpCzByAp 0222

ipx

0222 QPzNyMxFxzEyzDxyCzByAx

POVRŠI U PROSTORU

Površi drugog reda 

Preseci sa ravnima paralelnim sa xz‐ravni:                       su krive drugog reda 

iqy

i

iiii

qyQPzNqMxFxzzEqDxqCzBqAx 0222

0222 QPzNyMxFxzEyzDxyCzByAx

POVRŠI U PROSTORU

Površi drugog reda 

0222 QPzNyMxFxzEyzDxyCzByAx

Preseci sa ravnima paralelnim sa xy‐ravni:                       su krive drugog reda 

irz

i

iiii

rzQNyMxFxrEyrDxyCrByAx 0Pr222

POVRŠI U PROSTORU

Površi drugog reda ‐ elipsoid 

0222 QPzNyMxFxzEyzDxyCzByAx

Elipsoid:  12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

Sfera:  2222 rzyx

220

20

20 )()()( rzzyyxx

a, b, c  ‐ poluose elipsoida czcbybaxa

rcba Poseban slučaj 

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

POVRŠI U PROSTORU

Površi drugog reda ‐ elipsoid 

ipx

12

2

2

2

2

2

cz

by

api

2

2

2

2

2

2

1ap

cz

by i

czcbybaxa

111 2

22

2

2

22

2

apc

z

apb

y

ii

ipx

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

POVRŠI U PROSTORU

Površi drugog reda ‐ elipsoid 

iqy czcbybaxa

1

2

2

2

2

2

2

cz

bq

ax i

2

2

2

2

2

2

1bq

cz

ax i

111 2

22

2

2

22

2

bqc

z

bqa

x

ii

iqy

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

POVRŠI U PROSTORU

Površi drugog reda ‐ elipsoid 

irz czcbybaxa

1

2

2

2

2

2

2

cr

by

ax i

2

2

2

2

2

2

1cr

by

ax i

111 2

22

2

2

22

2

crb

y

cra

x

ii

irz

POVRŠI U PROSTORU

Površi drugog reda ‐ elipsoid 

Površi drugog reda ‐ jednograni hiperboloid 

Jednograni hiperboloid:  12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

a, b, c  ‐ poluose hiperboloida 

Oz ‐ imaginarna osa jednogranog hiperboloida i on sa njom nema zajedničkih tačaka 

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

Oy ‐ imaginarna osa 

Ox ‐ imaginarna osa 

POVRŠI U PROSTORU

c – imaginarna poluosa 

Površi drugog reda ‐ jednograni hiperboloid 

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

POVRŠI U PROSTORU

ipx

12

2

2

2

2

2

cz

by

api

2

2

2

2

2

2

1ap

cz

by i

111 2

22

2

2

22

2

apc

z

apb

y

ii

ipx

Površi drugog reda ‐ jednograni hiperboloid 

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

POVRŠI U PROSTORU

iqy

12

2

2

2

2

2

cz

bq

ax i

2

2

2

2

2

2

1bq

cz

ax i

111 2

22

2

2

22

2

bqc

z

bqa

x

ii

iqy

Površi drugog reda ‐ jednograni hiperboloid 

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

POVRŠI U PROSTORU

irz

12

2

2

2

2

2

cr

by

ax i

2

2

2

2

2

2

1cr

by

ax i

111 2

22

2

2

22

2

crb

y

cra

x

ii

irz

Površi drugog reda ‐ jednograni hiperboloid 

POVRŠI U PROSTORU

Površi drugog reda ‐ dvograni hiperboloid 

Dvograni hiperboloid:  12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

a, b, c  ‐ poluose hiperboloida 

POVRŠI U PROSTORU

a, b ‐  imaginarne poluose 

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax 1

2

2

2

2

2

2

cz

by

ax

Površi drugog reda ‐ dvograni hiperboloid 

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

POVRŠI U PROSTORU

12

2

2

2

2

2

cz

by

api

2

2

2

2

2

2

1ap

cz

by iipx

2

2

2

2

2

2

1ap

by

cz i

111 2

22

2

2

22

2

apb

y

apc

z

ii

ipx

Površi drugog reda ‐ dvograni hiperboloid 

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

POVRŠI U PROSTORU

iqy

12

2

2

2

2

2

cz

bq

ax i

2

2

2

2

2

2

1bq

cz

ax i

2

2

2

2

2

2

1bq

ax

cz i

2

2

2

22

2

2

22

2

111

bq

bqa

x

bqc

z i

ii

iqy

Površi drugog reda ‐ dvograni hiperboloid 

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

POVRŠI U PROSTORU

irz

12

2

2

2

2

2

cr

by

ax i

2

2

2

2

2

2

1cr

by

ax i

111 2

22

2

2

22

2

crb

y

cra

x

ii

irz

Površi drugog reda ‐ eliptički paraboloid 

Eliptički paraboloid:  zqy

px 2

22

POVRŠI U PROSTORU

yqz

px 2

22

xqz

py 2

22

Površi drugog reda ‐ eliptički paraboloid 

zqy

px 2

22

POVRŠI U PROSTORU

ipx z

qy

ppi 2

22

ppz

qy i

22

2

ppzqy i

22

22

ipx

Površi drugog reda ‐ eliptički paraboloid 

zqy

px 2

22

POVRŠI U PROSTORU

iqy zq

qpx i 2

22

qqz

px i

22

2

qqzpx i

22

22

iqy

Površi drugog reda ‐ eliptički paraboloid 

zqy

px 2

22

POVRŠI U PROSTORU

irz irq

ypx 2

22

122

22

ii qr

yprx

irz

Površi drugog reda ‐ eliptički paraboloid 

POVRŠI U PROSTORU

Površi drugog reda ‐ hiperbolički paraboloid 

POVRŠI U PROSTORU

Hiperbolički paraboloid:  zqy

px 2

22

xqz

py 2

22

yqz

px 2

22

Površi drugog reda ‐ hiperbolički paraboloid 

POVRŠI U PROSTORU

zqy

px 2

22

ipx z

qy

ppi 2

22

ppz

qy i

22

2

ppzqy i

22

22

ipx

Površi drugog reda ‐ hiperbolički paraboloid 

POVRŠI U PROSTORU

zqy

px 2

22

iqy zq

qpx i 2

22

qqz

px i

22

2

qqzpx i

22

22

iqy

Površi drugog reda ‐ hiperbolički paraboloid 

POVRŠI U PROSTORU

zqy

px 2

22

irz

irqy

px 2

22

iii qr

yprx 1

22

22

irz

Površi drugog reda ‐ hiperbolički paraboloid 

POVRŠI U PROSTORU

Površi drugog reda ‐ hiperbolički paraboloid 

POVRŠI U PROSTORU