Potenciales beneficios del diseño de un sistema de rutas de transporte público colectivo urbano formulado a partir de un modelo matemático multiobjetivo aplicando algoritmos genéticos. Caso de estudio: Neiva, Huila. Juan Guillermo Ruiz Fonseca Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería Civil y Agrícola Bogotá, Colombia 2020
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Potenciales beneficios del diseño de un sistema de rutas de transporte
público colectivo urbano formulado a partir de un modelo matemático
multiobjetivo aplicando algoritmos genéticos. Caso de estudio: Neiva,
Huila.
Juan Guillermo Ruiz Fonseca
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería Civil y Agrícola
Bogotá, Colombia
2020
Potenciales beneficios del diseño de un sistema de rutas de transporte
público colectivo urbano formulado a partir de un modelo matemático
multiobjetivo aplicando algoritmos genéticos. Caso de estudio: Neiva,
Huila.
Juan Guillermo Ruíz Fonseca
Trabajo de investigación presentado como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Ingeniería de Transporte - Investigación
Directora:
Ph.D. Sonia Cecilia Mangones Matos
Línea de Investigación:
Planificación del Transporte
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería Civil y Agrícola
Bogotá, Colombia
2020
Agradecimientos
A mi madre y hermano, quienes son las personas que me han acompañado en el camino.
A la directora de este trabajo de investigación, la Ingeniera Sonia Mangones, por su apoyo
incondicional y su orientación en el desarrollo exitoso del mismo.
A la firma Cal y Mayor y Asociados por brindarme el acceso a la información requerida
para realizar esta tesis.
A todas las personas que, de una u otra manera, contribuyeron en este logro de mi vida.
Resumen y Abstract V
Resumen
Los sistemas de transporte público colectivo urbano de las ciudades intermedias de
Colombia presentan una fuerte tendencia al deterioro en las últimas décadas debido, entre
otros, a problemas de tipo estructural y operacional, generando importantes perjuicios para
los usuarios, los operadores y la sociedad en general. A pesar de lo anterior, los métodos
que actualmente se emplean en el medio para el diseño de estos sistemas son heurísticas
de ensayo de “prueba y error”, que no garantizan que las soluciones brindadas permitan
un aprovechamiento adecuado de los recursos disponibles para la prestación de un
servicio de calidad. A partir de esto, el presente trabajo de investigación propuso un
modelo matemático multiobjetivo, solucionado a través del uso de un algoritmo genético,
mediante el cual fue posible sustentar la tesis de que se logran obtener diseños más
optimizados a través de este tipo de herramientas, generando sistemas de mayor
2. Antecedentes del problema de investigación ...................................................... 19 2.1 Situación actual del transporte público colectivo urbano en las ciudades intermedias de Colombia .......................................................................................... 20
2.1.1 Problemática del TPCU a nivel nacional.............................................. 20 2.1.2 Problemática del TPCU en Neiva, Huila .............................................. 26
2.2 Estado del arte del diseño de sistemas de rutas del TPCU ............................ 30 2.2.1 Panorama mundial .............................................................................. 30 2.2.2 Panorama latinoamericano ................................................................. 41 2.2.3 Panorama nacional ............................................................................. 42
4. Formulación matemática del problema ................................................................ 60 4.1 Generalidades y supuestos ........................................................................... 62 4.2 Función objetivo del modelo .......................................................................... 68 4.3 Conjunto de restricciones del modelo ............................................................ 71 4.4 Modelo matemático multiobjetivo ................................................................... 73 4.5 Limitaciones y restricciones del modelo matemático multiobjetivo ................. 76
5. Desarrollo y aplicación del algoritmo genético .................................................... 79 5.1 Generación de soluciones de diseños de sistemas de rutas de TPCU .......... 81
5.1.1 Alternativa de generación de sistemas de rutas # 1: ........................... 84 5.1.2 Alternativa de generación de sistemas de rutas # 2: ........................... 84 5.1.3 Alternativa de generación de sistemas de rutas # 3: ........................... 85
VIII Potenciales beneficios del diseño de un sistema de rutas de TPCU
formulado a partir de un modelo matemático multiobjetivo aplicando
algoritmos genéticos
5.1.4 Alternativa de generación de sistemas de rutas # 4: ........................... 86
5.2 Evaluación de los sistemas de rutas de TPCU generados aleatoriamente .... 87 5.3 Selección de los mejores sistemas de rutas de TPCU evaluados ................. 88 5.4 Proceso de crossover o cruzamiento para generar nuevas soluciones de rutas de TPCU .................................................................................................................. 89 5.5 Mutación de los sistemas de rutas de TPCU generados del proceso de cruzamiento ............................................................................................................. 90 5.6 Elección del mejor sistema de rutas de TPCU en cada población de individuos ................................................................................................................. 91 5.7 Código de programación del algoritmo genético ............................................ 94
6. Elección del mejor sistema de rutas de TPCU obtenido ................................... 102
7. Validación del modelo diseñado ......................................................................... 106 7.1 Determinación de variables de comparación ............................................... 107 7.2 Escenarios de comparación ........................................................................ 109
7.2.1 Escenario 1: situación actual ............................................................ 110 7.2.2 Escenario 2: Sistema Estratégico de Transporte Público SETP ........ 112 7.2.3 Escenario 3: Modelo Matemático Multiobjetivo ................................. 112
7.3 Cuantificación de variables .......................................................................... 115 7.3.1 Índice de pasajero por kilómetro (IPK): ............................................. 115 7.3.2 Cobertura espacial ............................................................................ 116 7.3.3 Cobertura temporal ........................................................................... 120 7.3.4 Costo generalizado del transporte .................................................... 122 7.3.5 Tamaño de la flota ............................................................................ 123 7.3.6 Longitud total .................................................................................... 124 7.3.7 Número de rutas ............................................................................... 124 7.3.8 Transferencias .................................................................................. 125
8. Comparación de resultados obtenidos .............................................................. 127 8.1 Escala de valoración ................................................................................... 127 8.2 Evaluación de los indicadores ..................................................................... 128 8.3 Ponderación de los indicadores ................................................................... 129 8.4 Resultados de la evaluación multicriterio ..................................................... 130
Conclusiones y recomendaciones ............................................................................ 133
AUTOR AÑO CARACTERÍSTICAS LIMITACIONES FORMULACIÓN MATEMÁTICA
Modelo de Baaj y
Mahmassani
1991 Metodología que opera en base a la generación, evaluación y mejora de rutas. Provee grado de interactividad para definición de interacciones y parámetros. Es flexible por su modularidad y permite planificaciones a mediano y largo plazo.
No propone una manera sistemática de varias los parámetros para generar diferentes soluciones.
Israeli y Ceder 1993 Modelo de programación matemática no lineal, con variables mixtas y múltiples objetivos. Tratamiento formal del problema (reduciendo algunos subproblemas a problemas clásicos como el de set covering Método propuesto para la identificación de las soluciones no dominadas
Aplicable únicamente a redes pequeñas (hasta de 8 nodos)
40 Potenciales beneficios del diseño de un sistema de rutas de TPCU formulado a partir de un modelo
2000 Método que genera rutas sin tener en cuenta la matriz de demanda, alcanzando todos los nodos de la red. Calcula frecuencia de los buses en las rutas donde se quiere minimizar el costo de la flota. Propuesta de nuevos operadores genéticos que buscan mejorar las soluciones generando nuevas subrutas, a partir de rutas en las que existe variación de flujo mayor o igual que un parámetro dado.
Parte de soluciones iniciales que no tienen en cuenta la matriz origen-destino. Es decir que no considera la demanda.
Gruttner, Pinninghoff, Tudela, y Díaz
2002 Utiliza algoritmos genéticos en el sentido clásico. La asignación de pasajeros a rutas se efectúa utilizando un modelo logit. Se mencionan resultados obtenidos según la variación de los parámetros que regulan el trade-off entre los distintos objetivos, consistiendo en rutas largas concentradas en zonas de alta demanda cuando se prioriza al operador, y muchas rutas dispersas cuando se prioriza a los usuarios
No considera la demanda.
Fuente: Elaboración Propia
Antecedentes del problema de investigación 41
Recientemente, la facilidad computacional de integrar módulos existentes y de
incorporar interfases gráficas, ha estimulado el desarrollo de nuevos métodos de
solución al problema de ruteo de vehículos de TPCU, los que se diferencian por
factores como: su adaptabilidad (respecto de los datos disponibles, principalmente
aquellos relativos a la topología de la red de tránsito y a la demanda de viajes y
matrices origen-destino), interactividad (con el usuario, de modo que permiten la
incorporación de conocimiento técnico humano en el proceso de toma de
decisiones), eficiencia (calidad en los resultados y tiempos de procesamiento
razonables) y flexibilidad (en cuanto al horizonte de planificación, ya que los
primeros métodos que surgieron se refirieron a planificaciones de corto y mediano
plazo).
2.2.2 Panorama latinoamericano
En cuanto a casos de aplicación de algoritmos para la solución del problema de
optimización de rutas de TPCU a nivel latinoamericano, de acuerdo a las
búsquedas realizadas, la información existente sobre modelos aplicados en países
de Suramérica como Ecuador, permitió encontrar un estudio y propuesta de nuevas
rutas y líneas de transporte para el Distrito Metropolitano de Quito, para el corredor
suroccidental del sistema Metro Bus – Q, mediante el cual se estimaron los tiempos
de viaje de las unidades de transporte público en este corredor, se determinó el
modelo de rutas de transporte más apropiado para desarrollar el proyecto tomando
en cuenta la matriz origen-destino del área de estudio y la función flujo velocidad,
y se generó una herramienta que permite analizar futuras asignaciones o
reasignaciones de rutas a operadores de transporte por parte del organismo
regulador del transporte público urbano en la ciudad de Quito (Bayas Meza, 2011)
Otro caso de aplicación para Suramérica, se encontró en Chile, mediante la tesis
de maestría en Ingeniería Industrial “Optimización en el diseño de redes de
transporte público con objetivos medioambientales mediante algoritmos evolutivos
(Durán Micco, 2016) de la Universidad de Concepción, en la cual se estudia el VRP
42 Potenciales beneficios del diseño de un sistema de rutas de TPCU
formulado a partir de un modelo matemático multiobjetivo aplicando
algoritmos genéticos
multiobjetivo con el fin de minimizar tiempo de viaje y emisiones de CO2 mediante
la formulación de un modelo de programación matemática y dos algoritmos
evolutivos, el segundo correspondiente al problema bimodal, probados en
instancias pequeñas y medianas. Como conclusión de este trabajo se encontró que
los algoritmos evolutivos en general proporcionan mejores resultados y en menor
tiempo que el modelo de programación matemática, resultando competitivos con
otros métodos existentes en la literatura.
2.2.3 Panorama nacional
En relación a Colombia, en los últimos años se ha despertado el interés por el
estudio de problemas tipo VRP, especialmente en aplicaciones concretas, como lo
evidencia la participación en congresos internacionales como el CLAIO (Congreso
Latinoamericano de Investigación de Operaciones) y otros, donde se han
destacado ponencias de casos aplicados del uso de algoritmos para la optimización
de rutas, pero enfocados hacia la distribución de mercancías y la logística
empresarial y no hacia las rutas de transporte público colectivo en el contexto
urbano.
En cuanto a la utilización de algoritmos para el ruteo de vehículos de TPCU en
nuestro país, se puede resaltar la tesis para optar al título de Ingeniero Industrial
“Un modelo de optimización de rutas de transporte urbano en el área metropolitana
de Bucaramanga con VRPTW mediante un algoritmo de optimización por enjambre
de partículas evolutivo (Marín, 2017)” de la Universidad Industrial de Santander –
UIS, en la cual se realizó la formulación de un modelo de optimización de rutas de
transporte urbano en Bucaramanga y su zona metropolitana mediante el uso del
software MATLAB, permitiendo rediseñar las rutas actuales del sistema integrado
de transporte masivo “Metrolínea”, con el fin de disminuir tanto las distancias
recorridas como los tiempos de viaje en cumplimiento de las ventanas de tiempo
establecidas. Los autores decidieron aplicar una metaheurística de optimización
Antecedentes del problema de investigación 43
por enjambre de partículas evolutivo (EPSO) por las buenas soluciones que brinda
en comparación con otras técnicas. Como conclusión de este trabajo investigativo
se encontró que aunque el algoritmo EPSO resuelve el problema de ruteo de
vehículos con ventanas de tiempo, el modelo de rutas resultante no se ajusta al
entorno real, generando un número excesivo de servicios, rigiéndose netamente
por la formulación matemática del problema. Al final se proponen algunas
recomendaciones futuras para la obtención de mejores resultados mediante esta
técnica de optimización.
A pesar de estos avances, se pudo constatar que los mecanismos para el
modelamiento de rutas en Colombia son empíricos (Marín, 2017), y no se realiza
la aplicación de las metodologías de optimización existentes en otros lugares del
mundo. El diseño de rutas de transporte público en Colombia continúa realizándose
de manera subjetiva y manual por medio de metodologías clásicas de evaluación
y comparación de alternativas, sin contar con verdaderas herramientas de apoyo a
la toma de decisiones, que, complementando el conocimiento y experiencia
profesional con elementos cuantitativos, orienten diseños más óptimos en el uso
de recursos como lo exige el contexto social y económico actual del país. Lo
anterior se sustenta en que no se logró evidenciar en ninguno de los rediseños de
rutas de los Sistemas Estratégicos de Transporte Público (SETP) de Colombia, la
utilización de métodos y algoritmos matemáticos como los descritos anteriormente,
sino por el contrario, se validó el uso de métodos empíricos, poco estructurados.
Las ineficiencias en los diseños de los sistemas de transporte público colectivo
urbano de las ciudades intermedias del país ha llevado a que la gran mayoría de
estos sistemas hoy afronten profundas crisis estructurales, perdiendo cada vez más
participación dentro de la distribución modal, lo que redunda en menor demanda
de usuarios. Las personas están migrando a formas de movilizarse menos
sustentables e informales con las graves consecuencias que esto conlleva para la
sostenibilidad ambiental y financiera de estos sistemas (Cal y Mayor – Ikon, 2017).
44 Potenciales beneficios del diseño de un sistema de rutas de TPCU
formulado a partir de un modelo matemático multiobjetivo aplicando
algoritmos genéticos
La anterior oportunidad del conocimiento en nuestro medio abre la puerta para
formular un modelo multiobjetivo de optimización de rutas de transporte público
colectivo urbano (recorridos y cantidad) para las ciudades medianas de Colombia,
que contemple el problema desde varias perspectivas (usuarios, operadores y
sociedad), a partir de la utilización de algoritmos genéticos, proporcionando una
herramienta práctica, funcional, eficiente y flexible, adaptada al contexto
profesional y académico del país, que oriente diseños más óptimos en el uso de
los recursos disponibles a través de elementos cuantitativos que apoyen a los
tomadores de decisiones y diseñadores de estos sistemas, a diseñar
adecuadamente las rutas en cumplimiento con los requerimientos y necesidades
de los usuarios del servicio, contribuyendo a mejorar las condiciones financieras de
los sistemas y la movilidad urbana de las ciudades colombianas. Se validaron las
bondades y la funcionalidad del algoritmo propuesto mediante la comparación de
indicadores operacionales aplicados al caso de prueba real de Neiva, Huila,
Colombia, como se presenta a lo largo de este trabajo de investigación.
Fundamentación teórica 45
3. Fundamentación teórica
Una vez definido el problema de investigación, identificado como la ineficiencia de
los métodos convencionales utilizados en el medio para el diseño de sistemas de
rutas de transporte público colectivo urbano (TPCU) que conduzcan a un mejor
aprovechamiento de los recursos disponibles, brindando altos estándares de
servicio a los usuarios, lo que ha contribuido al deterioro estructural de los sistemas
de la gran mayoría de las ciudades intermedias en Colombia, se procedió a
desarrollar, mediante el presente trabajo de investigación y de acuerdo al resultado
de la revisión del estado del arte en la materia, un modelo matemático multiobjetivo,
solucionado a través del uso de un algoritmo genético, por medio del cual fue
posible sustentar la tesis de que se logran obtener diseños más optimizados a
través de este tipo de herramientas, generando sistemas de mayor eficiencia
operacional y de servicio al usuario en comparación con los métodos tradicionales.
En este sentido, se presenta este capítulo, a través del cual se busca exponer y
comprender toda la fundamentación teórica base para la realización del trabajo de
investigación. La estructura general del capítulo está compuesta por dos acápites
principales: por una parte, se expone el marco teórico de los problemas de
optimización multiobjetivos en el cual se abarca la revisión bibliográfica relacionada
con los mismos, describiendo así, de manera detallada, los parámetros que son la
base fundamental para el desarrollo de la investigación; mientras, de otra parte, se
realiza una exposición similar relacionada con el fundamento teórico y conceptual
de los algoritmos genéticos y su proceso de resolución de problemas de alta
complejidad tipo NP-Hard.
46 Potenciales beneficios del diseño de un sistema de rutas de TPCU
formulado a partir de un modelo matemático multiobjetivo aplicando
algoritmos genéticos
Considerado como el soporte de los conceptos utilizados para el desarrollo del
trabajo de investigación, se ha realizado una ardua revisión bibliográfica en pro de
obtener la información necesaria que permita cumplir con el objetivo de la presente
tesis. Ha sido a partir de dicha revisión de información que se ha estructurado el
presente apartado denominado “Fundamentación teórica”, el cual recoge los
conceptos fundamentales relacionados con algoritmos genéticos y modelos
matemáticos multiobjetivo, base principal de la investigación. A continuación se
realiza la descripción detallada de cada uno de ellos y sus diferentes componentes,
los cuales fueron de gran utilidad dentro del marco del desarrollo de la investigación
en cuanto a los aspectos de formulación matemática y obtención de resultados.
3.1 Modelo matemático multiobjetivo
Como fue presentado en el capítulo anterior, el diseño de un sistema de rutas de
transporte público colectivo urbano (TPCU) puede ser tratado como un problema
de optimización de uno o varios objetivos.
De acuerdo al estado del arte de la materia, a lo largo del tiempo, y en la medida
que ha evolucionado el desarrollo y la capacidad computacional, se han venido
desarrollando diferentes aportes que buscan resolver el problema desde diferentes
ópticas particulares, algunos con algunas limitaciones importantes y otros con
enfoques muy diferentes.
En este caso en particular, luego de la revisión literaria realizada, y a partir de los
objetivos definidos para la validación de la hipótesis de trabajo, se consideró
adecuado que el problema fuera tratado como un problema matemático
multiobjetivo que recogiera, por un lado, la necesidad de optimización de los costos
generalizados de transporte de los usuarios y, por otro, la eficiencia de los recursos
necesarios de los operadores del servicio. Es decir, que la solución del problema
debió proporcionar un sistema de rutas de TPCU balanceado entre los intereses
Fundamentación teórica 47
de ambas partes, sin favorecer a ninguno en particular, lo que se denomina como
un “problema multiobjetivo”.
Es así como en la mayoría de este tipo de problemas de decisión no se tiene un
único objetivo, sino diversos objetivos y muchas veces, en conflicto entre sí. Los
modelos que reflejan dicha situación se denominan multiobjetivo y se caracterizan
por no poseer una única solución óptima, sino que poseen un conjunto de
Soluciones Eficientes o Soluciones No Dominadas. La posibilidad de trabajar con
modelos multiobjetivo brinda flexibilidad, ya que se retira la condición de
representar los objetivos en una única función, lo que muchas veces conduce a
simplificaciones erradas, pero esta mayor flexibilidad genera una mayor
complejidad en la resolución (Collete & Siarry, 2004). A continuación se describen
los principales elementos conceptuales y teóricos de este tipo de problemas de
optimización matemática.
En general, la estructura de un modelo con k objetivos tiene la estructura que se
Z(x): define el conjunto de las distintas funciones objetivo
Zh(x): es una función objetivo en particular, con h=1,2 …. k
En este caso no se dispone de una sola solución óptima, ya que una solución
factible X1 puede ser mejor que otra solución X2 de acuerdo al objetivo Z1, pero
peor según el objetivo Z2, por lo que, sin una jerarquización clara de las funciones
objetivo no se puede determinar qué solución es mejor. Así es como se definen las
soluciones no dominadas, encontrándose que X1 es dominada por X2 si y solo si
se cumple (Durán Micco, 2016):
48 Potenciales beneficios del diseño de un sistema de rutas de TPCU
formulado a partir de un modelo matemático multiobjetivo aplicando
algoritmos genéticos
𝑍ℎ(𝑥2) ≥ 𝑍ℎ(𝑥1); ℎ = 1,2, … , 𝑘
𝑍ℎ(𝑥2) > 𝑍ℎ(𝑥1); 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 ℎ
En otras palabras, X2 domina a X1 si es mejor o igual de acuerdo a todas las
funciones objetivo y estrictamente mejor para al menos un objetivo (Durán Micco,
2016).
Luego, se dice que una solución factible es eficiente si no es dominada, por ninguna
otra solución. El conjunto de soluciones eficientes también se llama conjunto de
Pareto (Durán Micco, 2016).
Para seleccionar una única solución del conjunto de Pareto, se debe asignar algún
valor de comparación entre los distintos objetivos. Según la etapa en que se realice
dicho proceso, los métodos de solución de problemas multiobjetivo, se dividen en
tres familias (Durán Micco, 2016), las cuales se muestran en la Ilustración 3-1.
Ilustración 3-1: Métodos de optimización
Fuente: Elaboración Propia
•La comparación o ponderación entre los objetivos se realiza antes de la ejecución de la optimización. Así, se tiene que realizar solo un proceso de búsqueda, que entregará la solución que represente las prioridades asignadas en un principio. El hecho de realizar solo una búsqueda implica un menor esfuerzo, pero se debe tener en cuenta el trabajo de realizar las ponderaciones antes de la optimización (Durán Micco, 2016)
Métodos de optimización A Priori
•Se requiere participación del tomador de decisiones durante el proceso de optimización para guiar el proceso de búsqueda, según sus preferencias respecto a los objetivos. Es difícil ejecutar este tipo de métodos por la necesidad de monopolizar la atención del tomador de decisiones por un prolongado periodo de tiempo (Durán Micco, 2016).
Métodos de Optimización Progresivos
•Se busca un conjunto de soluciones que están igualmente espaciados dentro del conjunto de Pareto, para luego seleccionar una solución desde este conjunto generado. Estos métodos requieren de un mayor esfuerzo al realizarse múltiples procesos de búsqueda, pero evitan la necesidad de modelar las preferencias del tomador de decisiones (Durán Micco, 2016).
Métodos de Optimización A Posteriori
Fundamentación teórica 49
Por otra parte, existen múltiples métodos para resolver modelos multiobjetivos, no
pudiéndose elegir o destacar unos mejores que otros. Sin embargo, uno de los más
destacados es el método de escalarización que se describe en la siguiente
ilustración.
Ilustración 3-2: Método de escalarización
Fuente: Elaboración Propia
Es importante destacar que para problemas no combinatorios, estos métodos son
capaces de entregar todos los puntos de la frontera de Pareto, si se consideran los
parámetros adecuados. Sin embargo, para problemas combinatorios
multiobjetivos, existen soluciones eficientes o no dominadas que, no pueden ser
encontradas por métodos de escalarización. Esta es una de las complejidades que
presentan los problemas combinatorios multiobjetivos. (Ehrgott & Gandibleux,
2004).
Método de escalarización
Objetivo
Convertir el problema
multiobjetivo en un problema
con un objetivo, el que
se resuelve para encontrar
soluciones eficientes.
Métodos
Suma ponderada
consiste en sumar las
funciones en una única
función, con ponderaciones que pueden ser
obtenidas según distintos
criterios
Dado que las preferencias del
decisor se asignan antes del proceso de optimización, corresponde a un método de optimización A
Priori
E-restricción
consiste en dejar uno de los
objetivos, convertir los
otros en restricciones y
resolver el problema
resultante.
método de optimización A Posteriori, ya
que se obtiene un conjunto de
soluciones eficientes sin considerar las
preferencias del tomador de decisiones
50 Potenciales beneficios del diseño de un sistema de rutas de TPCU
formulado a partir de un modelo matemático multiobjetivo aplicando
algoritmos genéticos
Metaheurísticas multiobjetivo: Debido a la complejidad de los problemas
combinatorios multiobjetivo, es muy difícil resolverlos en forma exacta, por lo que
en general se usan métodos para encontrar aproximaciones de la frontera de
Pareto, principalmente metaheurísticas (Durán Micco, 2016).
Las metaheurísticas son estrategias de alto nivel para explorar el espacio solución
de un problema, mediante la operación en forma iterativa de heurísticas
subordinadas. Estos algoritmos pueden ser adaptados y aplicados a un gran
número de problemas distintos por lo que han sido ampliamente estudiados durante
los últimos años, demostrando su capacidad de resolver problemas complejos.
(Osman & Laporte, 1996) (Talbi, 2009).
Los algoritmos evolutivos (AE) han sido especialmente exitosos en la aplicación a
problemas multiobjetivo, ya que al trabajar con poblaciones de soluciones en vez
de soluciones particulares, permiten encontrar conjuntos de soluciones no
dominadas diversas en una sola ejecución. Estos algoritmos se caracterizan por
aplicar conceptos de la evolución natural de las especies al campo de la
optimización (Durán Micco, 2016).
Los AE corresponden a metaheurísticas basadas en población capaces de resolver
problemas combinatorios de alta complejidad, siendo especialmente apropiados
para la resolución de problemas multiobjetivo, por su habilidad de encontrar
conjuntos de soluciones no dominadas en una única ejecución (Durán Micco,
2016).
A partir de una población inicial, generada mediante un proceso de inicialización
determinado, se inicia el proceso iterativo. En cada iteración o generación, y
mientras no se alcance la condición de término, se seleccionan las soluciones
“padres”, que a través de operadores de cruzamiento y mutación dan origen a la
descendencia. Luego, cada una de las nuevas soluciones debe ser evaluada y
posteriormente se procede a una nueva etapa de selección y reemplazo, en la que
se debe considerar factores de calidad y diversidad (Durán Micco, 2016).
Fundamentación teórica 51
La principal diferencia entre los AE simples y multiobjetivos es que en los últimos
se busca tanto la convergencia de la solución (cercanía a la frontera de Pareto
real), como la diversidad de la misma (que el conjunto de soluciones encontrado
se encuentre bien distribuido sobre la frontera de Pareto). Lo anterior convierte a
las metaheurísticas multiobjetivo en problemas biobjetivos por sí mismos. (Talbi,
2009)
Existen distintos indicadores para determinar la calidad de un conjunto de
soluciones, así como comparar el desempeño de distintos algoritmos. Estos se
pueden dividir entre indicadores basados en convergencia, indicadores basados en
diversidad e indicadores híbridos. Dada la naturaleza biobjetivo de estos métodos,
por lo general se utiliza más de un indicador (Durán Micco, 2016).
Ilustración 3-3: Esquema del funcionamiento de un algoritmo evolutivo
Fuente: Elaboración propia.
3.2 Algoritmos genéticos
El presente aparte comprende la descripción general en cuanto a algoritmos
genéticos se refiere en el caso del ruteo de vehículos, abarcando posteriormente
52 Potenciales beneficios del diseño de un sistema de rutas de TPCU
formulado a partir de un modelo matemático multiobjetivo aplicando
algoritmos genéticos
los componentes y principales características del mismo, las cuales son de vital
importancia dentro del desarrollo del presente trabajo de investigación, pues a partir
de ellos se realizará la programación del algoritmo que cumpla con el objetivo
principal de la investigación.
Generalidades
Basado en la teoría de la evolución de C. Darwin que parte de una población inicial
de individuos para éste caso ruteo de vehículos donde cada uno representa
soluciones iniciales factibles, pero subóptimas, cada una posee un valor que
representa la bondad de dicha solución, ésta bondad representa una adaptación
del ruteo de vehículos al problema, que en su incremento verá proporcionalmente
aumentada la probabilidad de ser seleccionado para el proceso de selección en el
cruzamiento de la información con otro sistema de igual manera. El cruce produce
nuevos sistemas de ruta, los cuales serán descendientes de los anteriores y
compartirán características de las diferentes bondades que maximizan el nivel del
servicio al usuario, ellas son las soluciones obtenidas en el algoritmo que
evolucionan mediante la aplicación de tres operadores: selección, cruzamiento y
mutación que combinan y modifican a los individuos de la población creando una
nueva.
Para la solución del problema de ruteo de vehículos de transporte público,
usualmente se consideran cuatro operadores de mutación: intercambio de la
posición de dos nodos en una ruta, inversión del orden de la ruta, reinserción de un
nodo en una ruta diferente a la original y selección de una sub-ruta para insertarla
en otro lugar de la solución (Petch & Salhi, 2007).
Operadores evolutivos del algoritmo genético
Selección: el algoritmo genético suele utilizar distintas técnicas para seleccionar a
los individuos que deben copiarse hacia la siguiente generación. Algunos de estos
métodos son mutuamente exclusivos, mientras que otros pueden utilizarse en
Fundamentación teórica 53
combinación, un proceso que se lleva a menudo. Las técnicas de selección más
comunes son las que se describen a continuación:
o Selección elitista: garantiza la selección de los miembros más aptos de
cada generación (Aguado & Jiménez, 2013).
o Selección proporcional a la aptitud: los individuos más aptos tienen
más probabilidad de ser seleccionados, pero no la certeza (Aguado &
Jiménez, 2013)
o Selección por rueda de ruleta: es una forma de selección proporcional
a la aptitud en la que la probabilidad de que un individuo sea seleccionado
es proporcional a la diferencia entre su aptitud y la de sus competidores
(Aguado & Jiménez, 2013).
o Selección escalada: al incrementarse la aptitud media de la población,
la fuerza de la presión selectiva también aumenta y la función de aptitud
se hace más discriminadora. Este método puede ser útil para seleccionar
más tarde, cuando todos los individuos tengan una aptitud relativamente
alta y sólo les distingan pequeñas diferencias en la aptitud (Aguado &
Jiménez, 2013).
o Selección por torneo: se eligen subgrupos de individuos de la
población, y los miembros de cada subgrupo compiten entre ellos.
Sólo se elige a un individuo de cada subgrupo para la reproducción
(Aguado & Jiménez, 2013).
o Selección por rango: a cada individuo de la población se le asigna
un rango numérico basado en su aptitud, y la selección se basa
en este ranking, en lugar de las diferencias absolutas en aptitud.
La ventaja de este método es que puede evitar que individuos muy
54 Potenciales beneficios del diseño de un sistema de rutas de TPCU
formulado a partir de un modelo matemático multiobjetivo aplicando
algoritmos genéticos
aptos ganen dominancia al principio a expensas de los menos
aptos, lo que reduciría la diversidad genética de la población y
podría obstaculizar la búsqueda de una solución aceptable
(Aguado & Jiménez, 2013).
o Selección generacional: la descendencia de los individuos
seleccionados en cada generación se convierte en toda la
siguiente generación. No se conservan individuos entre las
generaciones (Aguado & Jiménez, 2013).
o Selección por estado estacionario: la descendencia de los
individuos seleccionados en cada generación vuelve acervo
genético preexistente, reemplazando a algunos de los miembros
menos aptos de la siguiente generación. Se conservan algunos
individuos entre generaciones (Aguado & Jiménez, 2013).
o Selección jerárquica: los individuos atraviesan múltiples rondas
de selección en cada generación. Las evaluaciones de los
primeros niveles son más rápidas y menos discriminatorias,
mientras que los que sobreviven hasta niveles más altos son
evaluados más rigurosamente. La ventaja de este método es que
reduce el tiempo total de cálculo al utilizar una evaluación más
rápida y menos selectiva para eliminar a la mayoría de los
individuos que se muestran poco o nada prometedores, y
sometiendo a una evaluación de aptitud más rigurosa y
computacionalmente más costosa sólo a los que sobreviven a esta
prueba inicial (Aguado & Jiménez, 2013)
Cruce y mutación (Aguado & Jiménez, 2013): Una vez que la selección ha elegido
a los individuos aptos, éstos deben ser alterados aleatoriamente con la esperanza
Fundamentación teórica 55
de mejorar su aptitud para la siguiente generación. Existen dos estrategias básicas
para llevar a cabo este procedimiento las cuales se describen a continuación:
o Cruce: implica elegir a dos individuos para que intercambien segmentos
de su código, produciendo una “descendencia” artificial cuyos individuos
son combinaciones de sus padres. Este proceso pretende simular el
proceso análogo de la recombinación que se da en los cromosomas
durante la reproducción sexual. Las formas comunes de cruzamiento
incluyen al cruzamiento de un punto, en el que se establece un punto de
intercambio en un lugar aleatorio del genoma de los dos individuos, y
uno de los individuos contribuye todo su código anterior a ese punto y el
otro individuo contribuye todo su código a partir de ese punto para
producir una descendencia, y al cruzamiento uniforme, en el que el valor
de una posición dada en el genoma de la descendencia corresponde al
valor en esa posición del genoma de uno de los padres o al valor en
esa posición del genoma del otro padre, elegido con un 50% de
probabilidad.
Los operadores genéticos en este caso son operadores con memoria,
guardando en cada iteración los códigos genéticos de los mejores
individuos a través de las generaciones. Los procesos de evolución
darwiniana generalmente son procesos miméticos a través de
generaciones.
o Mutación: al igual que una mutación en los seres vivos cambia un
gen por otro, una mutación en un algoritmo genético también causa
pequeñas alteraciones en puntos concretos del código de un
individuo.
56 Potenciales beneficios del diseño de un sistema de rutas de TPCU
formulado a partir de un modelo matemático multiobjetivo aplicando
algoritmos genéticos
Componentes de un algoritmo genético
Los componentes del algoritmo genético son los mostrados en la Ilustración 3-4.
Ilustración 3-4: Componentes del algoritmo genético
Fuente: Elaboración Propia
o Problema a optimizar: Generalmente los problemas a optimizar por
medio de algoritmos genéticos son problemas de optimización
complejos, donde se tienen diferentes parámetros o conjuntos de
variables que deben ser combinadas para su solución, así como
problemas con muchas restricciones y problemas con espacios de
búsqueda muy grandes. (Aguado & Jiménez, 2013).
Gracias a sus ventajas, los algoritmos genéticos no requieren
información matemática adicional sobre optimización, por lo que
pueden tomar otro tipo de funciones objetivo y todo tipo de
restricciones definidas sobre espacios discretos, continuos o espacios
de búsqueda combinados (Aguado & Jiménez, 2013).
o Representación para la solución del problema: En cuanto a la
solución del problema lo importante es definir la estructura del
Problema a optimizar
Representación para la solución del problema
Decodificación del cromosoma
Evaluación de un individuo
Fundamentación teórica 57
cromosoma de acuerdo con el espacio de búsqueda. En este caso, la
representación más utilizada es la binaria, debido a la facilidad de
manipulación por los operadores genéticos, su fácil transformación en
números enteros o reales, además de la facilidad que da para la
demostración de teoremas (Aguado & Jiménez, 2013).
o Decodificación del cromosoma: La codificación de números reales
en cadenas de números binarios se debe realizar teniendo en cuenta
que la cadena no representa un número real, sino que este número
binario etiqueta un número dentro del intervalo inicialmente fijado
(Aguado & Jiménez, 2013).
o Evaluación de un individuo: muestra el valor de aptitud de cada uno
de los individuos. Esta aptitud viene dada por una función que es la
unión entre el mundo natural y el problema a resolver
matemáticamente. Esta función de aptitud es particular para cada
problema particular a resolver y representa para un algoritmo
genético lo que el medio ambiente representa para los humanos
(Aguado & Jiménez, 2013).
Ventajas y limitaciones de un algoritmo genético:
La tabla siguiente muestra un comparativo entre las ventajas y limitaciones que
presenta el desarrollo o la aplicación de algoritmos genéticos para la solución de
problemas de optimización.
58 Potenciales beneficios del diseño de un sistema de rutas de TPCU
formulado a partir de un modelo matemático multiobjetivo aplicando
algoritmos genéticos
Tabla 3-1 Ventajas y desventajas del algoritmo genético
VENTAJAS LIMITACIONES
Son intrínsecamente paralelos
El lenguaje para especificar soluciones candidatas debe ser robusto, capaz de tolerar cambios aleatorios que no produzcan errores fatales o resultados son sentido. Por lo que se debe definir una representación del problema.
Tienen descendencia múltiple por lo que pueden explorar el espacio de soluciones en múltiples direcciones a la vez.
Elección cuidadosa de la función de aptitud, al elegirla mal o de manera inexacta, el algoritmo puede terminar resolviendo un problema equivocado o no puede encontrar la solución al problema.
Habilidad para manipular muchos parámetros simultáneamente.
Si el tamaño de la población es muy pequeño, puede que el algoritmo no explore suficientemente el espacio de soluciones para encontrar las más consistentes.
Trabajan sobre un conjunto codificado de soluciones, no sobre las soluciones mismas.
Si el ritmo de cambio genético es demasiado alto o el sistema de selección se escoge inadecuadamente, puede alterarse el desarrollo de esquemas beneficiosos y la población puede entrar en catástrofe.
Utilizan información simple para determinar la aptitud de los individuos
No se recomienda la utilización de algoritmos genéticos en problemas resolubles de manera analítica ya que se utilizaría más tiempo del debido para su solución, pudiéndose realizar por el método analítico tradicional que requiere menos tiempo.
Usan procesos de transición probabilística para la búsqueda de la solución.
Convergencia prematura en poblaciones pequeñas en donde emerge un individuo excesivamente apto que hace que el algoritmo converja hacia el óptimo local que representa ese individuo.
Es bastante útil para resolver problemas cuyo espacio de soluciones potenciales es realmente grande (problemas no lineales)
Funciones de aptitud engañosa, en las que la situación de los puntos mejorados ofrece información engañosa sobre donde se encuentra probablemente el óptimo global.
El paralelismo implícito del algoritmo permite superar un gran número de posibilidades y encontrar resultados óptimos en un corto período de tiempo, tras muestrear directamente solo regiones pequeñas del vasto paisaje adaptativo.
Se desenvuelven bien en problemas con un paisaje adaptativo complejo.
Fundamentación teórica 59
No dependen de un conocimiento previo, sus soluciones son aleatorias, todos los caminos de solución están abiertos por lo que puede generar soluciones novedosas y creativas que de haber estado sujeto a conocimiento previo, posiblemente se hubiese descartado.
Fuente: Elaboración Propia
4. Formulación matemática del problema
Como ha sido mencionado a lo largo de todo este trabajo, la hipótesis central de
esta investigación busca identificar la potencial oportunidad que existe en el
contexto de las ciudades intermedias colombianas, como en el caso de Neiva,
Huila, de obtener diseños de sistemas de rutas de transporte público colectivo
urbano más eficientes (medida dicha eficiencia en términos de indicadores
operacionales que permitan demostrar esta condición a través de un ejercicio
comparativo entre varias alternativas de diseño) por medio de la formulación de un
modelo matemático (Ortúzar, J. de D. y Willumnsen, L., 1996), en contravía de los
métodos empíricos convencionales.
Con el fin de lograr el objetivo anterior, y una vez realizada la revisión del estado
del arte y los fundamentos teóricos que soportan los modelos matemáticos que se
han desarrollado para la resolución de este tipo de problemas de optimización, se
procedió con la formulación de un modelo que considerara la optimización del
problema desde diferentes enfoques (multiobjetivo), con el fin de reducir el impacto
negativo a los usuarios y prestadores del servicio (operadores) de los sistemas,
ayudando a mejorar el deterioro del TPCU de las ciudades intermedias de
Colombia, y proporcionando una verdadera herramienta de apoyo a la toma de
decisiones para los estructuradores de estos sistemas y las entidades públicas,
contribuyendo a mejorar las condiciones financieras, de competitividad y movilidad
urbana de las ciudades intermedias del país.
Con el fin de lograr validar la oportunidad identificada en esta materia, se procedió,
de acuerdo a las problemáticas identificadas, a realizar la formulación de un modelo
Formulación matemática del problema 61
matemático multiobjetivo, adecuado para las condiciones colombianas, orientado
a la obtención de diseños de sistemas de rutas enfocados tanto en maximizar el
nivel de servicio al usuario, reduciendo sus costos generalizados de transporte
(principalmente tiempo de viaje), así como en lograr una minimización de los
recursos necesarios por medio del mejoramiento de la ocupación promedio de los
buses, representado en términos del índice de pasajeros por kilómetro (IPK) de
estos sistemas.
La formulación del modelo matemático multiobjetivo propuesto en este trabajo de
investigación, partió de la revisión detallada de todo el marco conceptual y de
referencia de estudios similares realizados en diferentes partes del mundo
(Mauttone Vidales, Cancela, & Urquhart, 2003), así como de la propuesta emanada
de la iniciativa del investigador a partir de su propia experiencia y comprensión de
la temática. Los principales modelos identificados, que sirvieron como referente de
estudio, se presentaron condensados en el correspondiente capítulo de
“Fundamento teórico”.
De esta manera, el presente capítulo, se estructura de la siguiente manera: en
primer lugar, es necesario establecer las generalidad y supuestos que se
consideraron previamente para la formulación del modelo matemático de
optimización, tales como: su naturaleza multiobjetivo, su aplicabilidad en un caso
de prueba real, los resultados esperados, los insumos necesarios para su
funcionamiento, la definición de su alcance, las restricciones que se considera
tendrán el modelo, entre otros; en segundo lugar, se realiza la formulación formal
del modelo matemático de optimización, es decir las dos (2) ecuaciones
matemáticas que serán objeto de optimización mediante la utilización del algoritmo
genético que será desarrollado más adelante; en tercer lugar, se presenta el
conjunto de restricciones que tendrá el modelo y con las cuales se controlará que
los resultados obtenidos mediante el proceso de optimización se encuentren dentro
de un rango deseable de parametrización, lo cual garantizará la coherencia,
aplicabilidad y equilibrio de los resultados obtenidos; en cuarto lugar, se presenta
62 Potenciales beneficios del diseño de un sistema de rutas de TPCU
formulado a partir de un modelo matemático multiobjetivo aplicando
algoritmos genéticos
de manera general toda la formulación del modelo matemático finalmente definido
por el investigador (funciones objetivo y conjunto de restricciones), el cual se
someterá a prueba mediante el presente trabajo, a fin de demostrar si su uso en
efecto conduce a resultados de sistemas más óptimos en comparación con los
métodos convencionales usados en el medio nacional; finalmente, en quinto lugar,
se resaltan las limitaciones y las restricciones que tiene la herramienta formulada,
con el objeto de establecer la verdadera expectativa de su funcionabilidad, restando
espacio a interpretaciones inadecuadas acerca de sus resultados.
Se destaca que la resolución del modelo matemático multiobjetivo formulado en
este capítulo, será el foco del siguiente, por medio de la presentación del
funcionamiento del algoritmo genético y cómo se emplea para encontrar un valor
cercano al óptimo del problema evaluado, lo que conducirá a establecer la cantidad
de rutas y la secuencia de su trazado que proporcionará los mejores indicadores
de eficiencia en razón de los costos generalizados de transporte y el IPK del
sistema, en los términos establecidos en la función de optimización del problema.
4.1 Generalidades y supuestos
A nivel general, la formulación matemática del problema presenta las siguientes
características preponderantes:
Formulación del problema: Puede realizarse desde diferentes enfoques,
dependiendo del objetivo que se busque. Por tanto, las soluciones podrán ser muy
diferentes en función del actor que busque beneficiarse. Algunos modelos
proponen beneficios para el usuario, otros para el operador del servicio, otros para
la sociedad en general, mientras que otros lo hacen combinando los intereses de
varios actores (funciones multiobjetivos). En general, las formulaciones de los
modelos analizados, varían sustancialmente entre uno y otro, dependiendo
también del contexto en el que deseen ser replicados (Israel & Ceder, 1995). En
Formulación matemática del problema 63
este caso, se buscó que la formulación del problema permitiera obtener un sistema
de rutas de transporte público, es decir, la cantidad de servicios y el trazado de sus
recorridos, que a partir de los patrones espaciales de viaje, permita atender la
demanda maximizando el servicio al usuario (en términos de tiempo de viaje), a la
vez que maximice los recursos necesarios para su operación (índice de ocupación
o de aprovechamiento de los buses). En otros términos, el producto del modelo
matemático deberá ser un sistema de oferta de transporte público, que atienda la
demanda en el momento y el lugar adecuado, de modo tal que permita la
optimización del mismo, en los términos mencionados anteriormente.
No convexidad y no linealidad: La característica principal de este tipo de
problemas, denominados NP-hard, es que no presentan una única solución debido
al número infinito del espectro de posibles soluciones (Mao-Chang, Hani S, & M.
Hadi, 1998). Por tanto, los problemas no presentan convexidad y linealidad,
haciendo más complejo hallar soluciones óptimas o por lo menos cercanas a esto,
lo que conlleva al uso de metaheurísticas para su solución, encontrándose valores
aproximados. En este caso, se buscó resolver el problema por medio de una
metaheurística evolutiva (como se presenta en el siguiente capítulo), que, aunque
dadas las características del problema, no conducen a una solución única exacta,
sí permitirá obtener una solución lo más óptima posible.
Naturaleza combinatoria: En este tipo de problemas, la posibilidad de incluir
diferentes variables es diversa y dependerá del alcance y objetivo que quiera
dársele al modelo. Es bien entendido, que entre más variables se incluyan, la
complejidad del problema aumentará exponencialmente, requiriéndose de una
mayor complejidad para su resolución, debido a la naturaleza combinatoria del
mismo. Para el caso presente, la formulación del problema buscará reducir al
máximo posible las variables involucradas con el fin de minimizar la cantidad de
operaciones y niveles de decisión del algoritmo al momento de su solución. Las
variables empleadas buscarán representar adecuadamente los intereses tanto de
los usuarios (tiempos de viaje), como de los operadores (IPK).
64 Potenciales beneficios del diseño de un sistema de rutas de TPCU
formulado a partir de un modelo matemático multiobjetivo aplicando
algoritmos genéticos
Múltiples objetivos: Generalmente, la formulación matemática en pro de un actor,
irá en dirección contrapuesta a la de otro diferente. Esto ocurre más directamente
en la relación usuario (o sociedad) versus los intereses de los actores privados
como los operadores del sistema (Kepaptsoglou & Karlaftis, 2009). En el primer
caso, típicamente la solución del sistema será un número elevado de rutas de
recorridos muy cortos, mientras que en el segundo, se obtendrán pocas rutas de
gran extensión que tendrán como consecuencia altos tiempos de viajes para los
usuarios. Por esta razón, la solución al problema, debe encontrar un punto medio
de equilibrio mediante la inclusión de factores que propenden a favor de uno y del
otro.
Disposición espacial de las rutas: Uno de los problemas más difíciles de superar
mediante la utilización de modelos matemáticos para el diseño de sistemas de rutas
de transporte público colectivo, tiene que ver con el arreglo espacial de las rutas en
el territorio (Barra & Kawamoto, 2000), ya que no se logran disposiciones
adecuadas en función de garantizar una cobertura adecuada a la totalidad de la
demanda, debido a la complejidad matemática que su formulación supone. Así
mismo, generalmente estos modelos no consideran elementos como usos del suelo
o del sistema de actividades, por tanto en sus resultados no se ven reflejados de
manera directa estos aspectos importantes en la generación y atracción de los
viajes. Con el fin de superar esta dificultad, será necesario utilizar una red de
transporte que permita representar adecuadamente la disposición espacial del
sistema de rutas analizado, a la vez que la visión del experto seguirá siendo
necesaria para realizar un acomodo adecuado de las mismas en el territorio.
Una vez realizada la búsqueda y analizados los modelos existentes, de acuerdo al
estado del arte presentado, se procedió a la formulación del modelo matemático
multiobjetivo propuesto en este trabajo de investigación, por medio del cual se
espera poder validar la hipótesis del mismo, conduciendo a sistemas de rutas que
contribuyan a mejorar el deterioro actual de estos sistemas en las ciudades
Formulación matemática del problema 65
intermedias de Colombia, corrigiendo las fallas estructurales derivadas de diseños
ineficientes y que, por tanto, no satisfacen adecuadamente los niveles de servicio
esperado por los usuarios para ser un modo atractivo para la realización de los
viajes frente a otros menos sustentables, como en el caso de Neiva, Huila.
Las principales consideraciones y supuestos realizados para su formulación, fueron
las siguientes:
El modelo debe ser de naturaleza multiobjetivo, considerando
los intereses de los usuarios y de los operadores. El primero,
se deberá ver reflejado en la minimización de los costos
generalizados de transporte (representado principalmente
por el tiempo de viaje a bordo del vehículo), mientras que el
segundo deberá considerarse en el valor del índice de
pasajeros por kilómetro recorrido de las rutas, lo que es una
medida efectiva del grado de aprovechamiento y de
utilización del sistema y un insumo fundamental para la
evaluación financiera y equilibrio de los sistemas de TPCU.
El modelo deberá poder ser aplicado a un caso real, con el fin
de validar sus potenciales beneficios, que sea representativo
de las condiciones preponderantes del servicio en una ciudad
de tamaño intermedio de Colombia, ya que los casos de
referentes analizados generalmente se han realizado a
situaciones hipotéticas de dimensiones reducidas. Así
mismo, deberá ser contrastable con el diseño de un sistema
realizado por medio de los métodos convencionales y
tradicionales, con el fin de evaluar sus potenciales beneficios
(Cal y Mayor, 2018)
66 Potenciales beneficios del diseño de un sistema de rutas de TPCU
formulado a partir de un modelo matemático multiobjetivo aplicando
algoritmos genéticos
El resultado del modelo matemático deberá ser un modelo de
oferta de servicios, es decir, deberá establecer el recorrido y
la cantidad de rutas que mejor proporcionen una
configuración que atienda la demanda en el momento y en el
lugar que sea ser consumida de acuerdo a la necesidad y a
los patrones de viajes de la población, garantizando un mejor
aprovechamiento de los recursos y contribuyendo a la
viabilización financiera de los sistemas, no solo a través de la
tarifa sino de una mayor productividad de los vehículos.
Los insumos fundamentales para el funcionamiento del
modelo matemático deberán ser dos: la matriz de viajes
origen – destino para un periodo de tiempo determinado y la
red de infraestructura vial (con sus características físicas y
operativas como velocidad, capacidad, número de carriles,
ancho de calzada y demás). La matriz deberá ser utilizada
como elemento que refleje las dinámicas de los patrones
espaciales del comportamiento de la demanda y será
considerada como un reflejo adecuado del sistema de
actividades y de usos del suelo que gobiernan la producción
y atracción de los viajes de una ciudad dentro de un periodo
de tiempo determinado, generalmente el periodo más crítico
de utilización del sistema (hora “pico” o “punta” de mayor
congestión); mientras que, de otro lado, la red vial será
empleada para obtener trazados de rutas que atiendan
adecuadamente la demanda en función de los corredores de
mayor concentración e importancia dentro de la ciudad,
consiguiendo una distribución espacial acorde con las
necesidades de los usuarios y la configuración urbanística de
la ciudad.
Formulación matemática del problema 67
Otro elemento que resulta fundamental en la formulación del
modelo matemático multiobjetivo para el diseño de un
sistema de rutas de transporte público colectivo urbano, es la
definición del alcance que se busca del mismo. En este caso
en particular, se estableció que la salida del modelo deberá
ser un conjunto de rutas que orienten el trazado más
favorable para que los costos generalizados de transporte del
usuario sean los menores posibles, así como para que el
valor global del IPK del sistema obtenido sea el mayor. Sin
embargo, no se pretende eliminar el análisis humano para
conseguir una distribución más adecuada de los servicios,
sino que el modelo sea solamente una verdadera herramienta
de apoyo para la toma de decisiones al estructurador, ya que
como fue mencionado anteriormente, existen elementos que
quedan fuera de la formulación del modelo, dada la
complejidad que esto supone.
Finalmente, el modelo propuesto en este trabajo de
investigación, deberá estar sujeto a un conjunto de
restricciones por medio de las cuales se busca garantizar
soluciones sujetas a la realidad de la operación de los
sistemas y que propendan por garantizar unos niveles de
servicio adecuados para los usuarios de los mismos,
viéndose reflejados principalmente en la capacidad de los
buses con la que será diseñado el sistema y en los intervalos
máximos de despacho que serán permitidos para el cálculo
de la longitud real de recorrido de los buses, variables
fundamental para estimar el valor del IPK de todo el sistema
y que reflejan el nivel del servicio prestado al usuario.
68 Potenciales beneficios del diseño de un sistema de rutas de TPCU
formulado a partir de un modelo matemático multiobjetivo aplicando
algoritmos genéticos
A partir de estas definiciones expuestas anteriormente, y de la revisión del estado
del arte de la materia, se procedió a realizar la formulación matemática del
problema, como es presentado en el siguiente numeral.
4.2 Función objetivo del modelo
El primer paso para la formulación matemática del problema de optimización
multiobjetivo, consistió en la definición de la función objetivo del mismo.
Como fue mencionado anteriormente, el problema es de tipo multiobjetivo,
requiriéndose entonces dos (2) funciones objetivo: una que refleje los intereses de
los operadores y otra el de los usuarios.
La primera función, enfocada en el IPK del sistema, representada por medio de Z1,
buscará la maximización de la relación entre la demanda total movilizada (Q) para
el sistema de rutas evaluado, y la distancia total recorrida por todas las rutas (m)
que pertenecen a tal sistema. Esta última deberá ser el resultado de la sumatoria
del producto entre la distancia (D) de cada ruta (j) y la cantidad de buses requeridos
para su operación dentro del espacio de tiempo definido en su segmento más
cargado (qmáxm) considerando la capacidad de los buses (Cbusm). La longitud
total de cada ruta será obtenida como la sumatoria de la distancia de todos los
segmentos (k) que compongan cada ruta, es decir la distancia entre cada par origen
– destino (i) que atienda de la matriz de viaje, incluyendo los tramos que requiera
recorrer para conectar con el próximo segmento a atender.
A partir de las consideraciones anteriores, la formulación de la primera función
objetivo del problema matemático, es la siguiente:
Formulación matemática del problema 69
𝑀𝑎𝑥 𝑍1 =𝑄
∑ {[∑ (𝐷𝑜𝑖𝑑𝑖+𝑘−1
𝑖=1 𝐷𝑑𝑖𝑜𝑖+1) + 𝐷𝑜𝑘𝑑𝑘
] ∗𝑞𝑚á𝑥𝑚
𝐶𝑏𝑢𝑠𝑚}
𝑗𝑚=1
∀ 𝑖 ∈ 𝑚 ∈ 𝑅
Donde:
𝑍1 = Índice total de pasajeros por kilómetro del sistema de rutas R (pax/km)
𝑄 = Número total de pasajeros por hora que moviliza el sistema de rutas R (pax)
𝑗 = Número de rutas que componen el sistema de rutas R
𝑚 = Ruta del sistema R
𝑘 = Número de segmentos que componen cada ruta m
𝑖 = Segmento de la ruta m
𝐷𝑜𝑖𝑑𝑖= Distancia asociada a la ruta de tiempo mínimo de viaje entre el origen y el
destino del segmento i (km)
𝐷𝑑𝑖𝑜𝑖+1= Distancia asociada a la ruta de mínimo tiempo entre el destino del
segmento i y el origen del segmento i+1 (km)
𝐷𝑜𝑘𝑑𝑘= Distancia asociada a la ruta de tiempo mínimo de viaje entre el origen y el
destino del segmento k (km)
𝑞𝑚á𝑥𝑚 = Número de pasajeros movilizados en el par origen - destino más cargado
de la ruta m (pax/hora)
𝐶𝑏𝑢𝑠𝑚 = Capacidad de pasajeros movilizados por unidad de transporte de la ruta
m (pax/bus)
𝑞𝑚á𝑥𝑚
𝐶𝑏𝑢𝑠𝑚= Número de buses necesarios para atender la cantidad de pasajeros del
segmento más cargado de la ruta m (buses/hora)
𝑅 = Sistema de rutas evaluado
Respecto de la segunda función objetivo, que representa los intereses de los
usuarios a través del tiempo de viaje, denominada Z2, ésta busca minimizar el
costo del tiempo de viaje de todos los usuarios que utilizan cada ruta (m) que
pertenece al sistema R. El tiempo de viaje de cada ruta será la sumatoria del
70 Potenciales beneficios del diseño de un sistema de rutas de TPCU
formulado a partir de un modelo matemático multiobjetivo aplicando
algoritmos genéticos
producto de la cantidad de usuarios movilizados entre un segmento (i) y el tiempo
de viaje entre el origen – destino del mismo y el necesario para conectar con el
siguiente segmento.
A partir de las consideraciones anteriores, la formulación de la segunda función
objetivo del problema matemático, es la siguiente:
𝑀𝑖𝑛 𝑍2 = ∑ {∑ 𝑞𝑜𝑖𝑑𝑖∗ (𝑡𝑜𝑖𝑑𝑖
+𝑘−1𝑖=1 𝑡𝑑𝑖𝑜𝑖+1
) + 𝑞𝑜𝑘𝑑𝑘∗ 𝑡𝑜𝑘𝑑𝑘
}𝑗𝑚=1 ∀ 𝑖 ∈ 𝑚 ∈ 𝑅
Donde:
𝑍2 = Tiempo total de viaje de los usuarios del sistema de rutas R (min)
𝑗 = Número de rutas que componen el sistema de rutas R
𝑚 = Ruta del sistema R
𝑘 = Número de segmentos que componen cada ruta m
𝑖 = Segmento de la ruta m
𝑞𝑜𝑖𝑑𝑖= Cantidad de pasajeros movilizados entre el origen y el destino del segmento
i (pax)
𝑡𝑜𝑖𝑑𝑖= Tiempo de viaje entre el origen y el destino del segmento i (min/pax)
𝑡𝑑𝑖𝑜𝑖+1= Tiempo de viaje entre el destino del segmento i y el origen del segmento
i+1 (min/pax)
𝑞𝑜𝑘𝑑𝑘= Cantidad de pasajeros movilizados entre el origen y el destino del
segmento k (pax)
𝑡𝑜𝑘𝑑𝑘= Tiempo de viaje entre el origen y el destino del segmento k (min/pax)
𝑅 = Sistema de rutas evaluado
Formulación matemática del problema 71
4.3 Conjunto de restricciones del modelo
En segundo lugar, para la formulación del problema matemático de optimización,
es fundamental formular el conjunto de restricciones a las que estará sujeta su
solución. En este caso se establecieron dos (2) restricciones con las cuales se
buscó generar una solución realista enfocada en la capacidad de diseño de los
buses del sistema y otra en un tiempo mínimo de paso de los buses.
La primera restricción, denominada “Restricción de frecuencia mínima”, está
representada por un parámetro mínimo establecido en términos de la cantidad de
buses por unidad de tiempo (fmin) por medio de los cuales debe ser atendida la
demanda de todas las rutas (m) que pertenecen al sistema R. Es decir, que si la
relación qmáxm/Cbusm es inferior al valor establecido, se deberá realizar el ajuste
para trabajar siempre al menos con la frecuencia mínima establecida, para
garantizar la prestación adecuada del servicio. Esta restricción busca que la
solución del problema no conduzca a diseños de rutas de sistemas de transporte
público colectivo urbano TPCU deficientes con intervalos de paso altos en contravía
a lo requerido por los usuarios.
A partir de las consideraciones anteriores, la formulación de la primera restricción
del problema matemático, es la siguiente:
𝑞𝑚á𝑥𝑚
𝐶𝑏𝑢𝑠𝑚≥ 𝑓𝑚𝑖𝑛 ∀ 𝑚 ∈ 𝑅
Donde:
𝑚 = Ruta del sistema R
𝑞𝑚á𝑥𝑚 = Número de pasajeros movilizados en el par origen - destino más cargado
de la ruta m (pax/hora)
𝐶𝑏𝑢𝑠𝑚 = Capacidad de pasajeros movilizados por unidad de transporte de la ruta
m (pax/bus)
72 Potenciales beneficios del diseño de un sistema de rutas de TPCU
formulado a partir de un modelo matemático multiobjetivo aplicando
algoritmos genéticos
𝑞𝑚á𝑥𝑚
𝐶𝑏𝑢𝑠𝑚= Número de buses necesarios para atender la cantidad de pasajeros del
segmento más cargado de la ruta m (buses/hora)
𝑓𝑚𝑖𝑛 = Frecuencia mínima permitida para todas las rutas del sistema R
(buses/hora)
𝑅 = Sistema de rutas evaluado
La segunda restricción del modelo matemático, denominada “Restricción de
capacidad máxima de los buses”, busca limitar la solución del problema matemático
a un valor real de capacidad ofertada por unidad de transporte en términos de
pasajeros movilizados para un nivel de servicio determinado. Esta limitación
pretende asegurar la prestación del servicio con un nivel de ocupación adecuada
con el fin de garantizar al usuario una comodidad mínima, ya que de otro modo, el
problema conduciría a soluciones irreales sin considerar la capacidad de los
vehículos.
A partir de las consideraciones anteriores, la formulación de la segunda restricción
del problema matemático, es la siguiente:
𝐶𝑏𝑢𝑠𝑚 ≤ 𝐶𝑚á𝑥 ∀ 𝑚 ∈ 𝑅
Donde:
𝑚 = Ruta del sistema R
𝐶𝑏𝑢𝑠𝑚 = Capacidad de pasajeros movilizados por unidad de transporte de la ruta
m (pax/bus)
𝐶𝑚á𝑥 = Capacidad de pasajeros movilizados por unidad de transporte de la ruta m
(pax/bus)
𝑅 = Sistema de rutas evaluado
Formulación matemática del problema 73
4.4 Modelo matemático multiobjetivo
Las consideraciones plasmadas anteriormente permitieron orientar la formulación
de un modelo matemático multiobjetivo que responda adecuadamente a las
características de los sistemas de transporte urbano de las ciudades intermedias
de Colombia, con el fin de orientar diseño más adecuados que permitan un mejor
aprovechamiento de los recursos disponibles, a la vez que mejoren los niveles de
servicio prestados a los usuarios. Estas consideraciones llevaron a la formulación
formal del problema que es presentado a continuación: