-
Peti susret Hrvatskog društva za mehaniku Terme Jezer ica, Donja
Stubica, 6.-7. lipnja 2013.
POSTUPAK ZA ODRE IVANJE CILJANOG UBRZANJA U VIŠEMODALNOJ METODI
NAGURAVANJA
Bali , I., Mihanovi , A., Trogrli , B.
Sažetak: Danas vode a metoda odre ivanja potresne otpornosti je
nelinearna stati ka metoda naguravanja koja je i u sastavu europske
norme EN 1998. U prakti noj primjeni dominantna je metoda
naguravanja zasnovana na prvom modu osciliranja. U ovom radu
prikazana je višemodalna metoda naguravanja uz formulaciju ciljanog
ubrzanja tla kao mjera najniže potresne otpornosti. Kombinacijom
metode naguravanja sa spektrom odgovora jednostupnjevnog sustava
dobiva se ocjena kapaciteta nosivosti i deformacija konstrukcije
usljed djelovanja potresa. Izložen je iterativni postupak za odre
ivanje ciljanog ubrzanja na na in da se zadovolji princip anvelope
i odredi najniža potresna otpornost sustava. U nekoliko koraka, za
odabrano razli ito hipotetsko ubrzanje, postupak vodi ciljanom
ubrzanju koje predstavlja najmanje ubrzanje baze koje dovodi do ra
unskog grani nog stanja nosivosti konstrukcije. Primjena ove metode
pokazana je na primjeru prostornog 5-katnog a/b okvirnog sustava.
Prikazano je naguravanje promatranog sustava linearnom (L)
kombinacijom modova. Analiza je vršena za dva me usobno okomita
smjera. Pokazuje se zna ajan utjecaj viših modova. Isto tako
pokazuje se da je ciljano ubrzanje dobiveno višemodalnom metodom
naguravanja zna ajno manje, pa i višestruko manje od slomnog
ubrzanja s jednim modom. Klju ne rije i: ciljano ubrzanje,
višemodalna metoda naguravanja, linearna kombinacija modova, a/b
okvir
1 UVOD
Jedna od metoda odre ivanja potresne otpornosti sustava je
nelinearna stati ka metoda naguravanja koja je i sastavni dio
europske norme EN 1998. U prakti noj primjeni dominantna je metoda
naguravanja zasnovana na raspodjeli ubrzanja prema prvom modu
osciliranja i konstantnoj raspodjeli po visini konstrukcije. U
mnogim radovima, kao što su [1,2,4-9], promatran je utjecaj viših
modova kod nelinearne metode naguravanja sa zaklju kom da je znatan
njihov utjecaj. U ovom radu prikazana je višemodalna metoda
naguravanja uz formulaciju ciljanog ubrzanja tla kao mjera najniže
potresne otpornosti. Opisan je postupak odre ivanja ciljanog
ubrzanja tla do kojeg se dolazi iterativnim putem, višemodalnim
naguravanjem po na elu anvelope. Prikazano je naguravanje 5-katnog
a/b okvirnog sustava linearnom (L) kombinacijom modova.
U primjeru prikazanom u radu korišten je elasti ni spektar tipa
1 za tlo tipa A prema EN 1998. Krivulje kapaciteta nosivosti odre
ene su metodom naguravanja za svaki mod zasebno, te zatim preba ene
u ADRS format (spektar odgovora ubrzanje-pomak). Oblik modova i
veli ine perioda se odre uju na osnovu linearno elasti nog
modela.
Metoda se može primijeniti kroz slijede i niz koraka: - Postupak
zapo inje izborom konkretnog elasti nog spektra.
17
-
- Odabire se iznos hipotetskog vršnog ubrzanja tla, uobi ajeno
ono koje je najniže od svih modova (ubrzanje prvog moda).
- Za svaki mod, na temelju krivulje kapaciteta nosivosti, odre
uje se razina spektralnog ubrzanja i optere enja uzimaju i u obzir
ciljani pomak prema EN 1998. Oblik vektora optere enja odgovara
obliku odgovaraju eg moda.
- Op i slomni vektor formira se prema nekim mogu im
kombinacijama modova. Kao mogu a modalna kombinacija u radu je
prikazana linearna (L) kombinacija.
- Za ovako formirano optere enje, pomo u nelinearne analize
konstrukcije višemodalnom metodom naguravanja odre en je kapacitet
nosivosti, odnosno ra unsko grani no optere enje. Postavljeni
zadatak se smatra riješenim kada je u granicama zadane to nosti
postignuta jednakost optere enja iz op eg slomnog vektora i ra
unskog grani nog optere enja za pretpostavljeno ubrzanje tla. U
nekoliko koraka, iterativnim postupkom, za odabrano razli ito
hipotetsko ubrzanje i pripadne vektore, odredi se ciljano ubrzanje
koje predstavlja najmanje ubrzanje baze koje dovodi do ra unskog
grani nog stanja nosivosti konstrukcije.
2 ODRE IVANJE CILJANOG UBRZANJA
Kako je prethodno navedeno, postupak traženja ciljanog ubrzanja
po inje odre ivanjem vektora oblika i, pripadnih perioda Ti i
sudjeluju ih masa mei, na osnovu linearno elasti ne analize. Vektor
optere enja Fi, za svaki i-ti mod, odre en je preko faktora
intenziteta djelovanja pi, kao produkt matrice masa M i vekora
i
iii p MF (1) Krivulje kapaciteta nosivosti dobivene su numeri
kim modelom stabilnosti i
nosivosti prostornih linijskih konstrukcija s uvažavanjem
materijalne i geometrijske nelinearnosti [10] s monotono rastu im
vektorom optere enja Fi. Na taj na in odre ene su slomne popre ne
sile na bazu prora unskog modela za svaki mod pojedina no.
U traženju ciljanog ubrzanja, svaki pokušaj po inje s
pretpostavljenom vrijednosti ciljanog ubrzanja tla agr. Za
pretpostavljeni agr, tip elasti nog spektra (tip 1 ili tip 2), tip
tla (parametar tla S) i korekcijski faktor prigušenja ( =1 za =5%
viskozno prigušenje), konstruira se ADRS krivulja. U ADRS format
preba ene su krivulje kapaciteta nosivosti svakog moda.
Spektralno ubrzanje as,i odre eno je za svaki mod, uvažavaju i
pravila EN 1998 i Dodatak B [3], tako da slommi pomak na krivulji
nosivosti iznosi 150% ciljanog pomaka.
utdd
32
(2)
Potrebno je odrediti pripadni elastoplasti ni ekvivalent kod
kojeg sjecište perioda Ti i srodnog ciljanog pomaka dt pada na ADRS
krivulju za pretpostavljeno ubrzanje tla. Mora se prona i jednakost
dobivenog ubrzanja tla agr,i u i-tom pokušaju s pretpostavljenim
ubrzanjem tla agr, iz ega slijedi spektralno ubrzanje as,i.
Postupak odre ivanja bilinearnog dijagrama sila-deformacija je
prikazan na slici 1. Parametar definiran je kao omjer dobivenog
spektralnog ubrzanja i pretpostavljenog ubrzanja tla.
grigr
i,si aa
a (3)
18
-
TC
TC
TC
TC
TC
TC
TD TD
TD
TD
TD
TD
Ti
Ti
Ti
Ti
T i
T i
Sa
Sa
Sa
Sd Sd
Sd Sd
Sd Sd
as,i
as,i
as,i
as,i
as,i
as,i
du,1
du,2
du,1
du,2
du,3du,3
du,1d =t,1
dt,2
dt,1
dt,2
dt,3dt,3
23
a1) b1)
a2) b2)
a3) b3)
a Sgr,i!a Sgr,i!
a Sgr,i! a Sgr,i!
a Sgr! a Sgr!
a Sgr! a Sgr!
a S=gr,ia S=gr,i!=a Sgr !
a S=gr,i! a Sgr!
! ! !a S 2.5gr "
! ! !a S 2.5gr "
! ! !a S 2.5gr "
Sl. 1. Odre ivanje spektralnog ubrzanja as,i: a1)-a3) za Ti TC;
b1)-b3) za Ti
-
g)
h)
200000
400
sim.
0.0
020
0.0
035
0.0
003
0.0
001
0.0
020
0.0
200
500
25.0
2.0
!"s
!"c
#"c
!$s#$s
!$c #$c
ET ( )$
Ec0=30500
$cu
c)b)a)
28.1 kN/m
A1 (greda)
%
%
5 22
5 22
A2
A2 (greda)
18.0 kN/m
25.0 kN
B1 (greda)B2 (greda)C1 (stup)C2 (stup)
Sila u čvoru:
Opterećenje po gredama:
Poprečni presjek:
[MPa]
[MPa]
d)
%
% %%
5 22
22
12
A1
22
e)
35%4 22
B1
% 22
12
22% %
35
25
20
B2
%4 22
%4 22
X
Y
%12 25
C2
50
50
f)
%12 32
C150
50
8.08.0
8.04.0
4.0
4.0
4.0
4.0
4.0
Sl. 2. Primjer: a) prostorni 5-katni okvir; b) oznake popre nih
presjeka; c) optere enje po
gredama; d)-f) diskretizacije popre nih presjeka; g) model
armaturnog elika; h) model betona
Svojstva vektora optere enja promatranih pet modova za smjer x
prikazana su u tablici 1.
Vektor-x smjer Ti [s] mei [%] mei [t] Ffi [kN] agri /g
1 0.839 81.47 688.42 1735 0.405
2 0.265 10.51 88.81 1823 1.75
3 0.146 4.12 34.81 2786 7.90
4 0.097 1.98 16.73 1954 6.32
5 0.076 0.67 5.66 1838 41.70Tablica 1. Svojstva vektora
horizontalnog optere enja za smjer x
Oblik prvog vektora optere enja u grani nom stanju, pripadna
krivulja nosivosti
kao i redoslijed nastajanja plastifikacijskih zglobova za smjer
x prikazani su na slici 3.
Faktor opterećenja
ux
1735 kN
F1
Ff1=
100
246
380
477
532
1
27
34
10
15
20
22
33
1
10
20
2
2
2 33
4
4
4
5
5
66
77
8910
10
12
12
1213
13
13
14
14
1414
15
15
16 17
18
19
19
2021
22
23
24
2526
272728
2829
30
31
31
31
31
31
32
32
3333
33
34
34
26
5
12
18
25
24
31
26
29
30
0.4
0.6
0.2
0.8
0
1.0
0.050 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40
u [m]x
0.3
0.5
0.1
0.7
0.9
Sl. 3. Krivulja nosivosti za vektor 1 (smjer x) i slijed
plastifikacije presjeka
20
-
Konverzija krivulje nosivosti u ADRS format, odre ivanje
elasto-plasti nog ekvivalenta kao i grani nog ciljanog ubrzanja tla
sukladno EN 1998, prikazani su na slici 4. za prvi mod u x
smjeru.
F /mf1 e1Tlo tipa A
Sd [m]
T=
0.4
s
T=
0.1
5s
T=2.0 s
0.00
0.50
1.00
0.0
0
0.0
5
0.1
0
0.1
5
0.2
0
T=0.8
39s
dudt
0.405
!a Sgr
as,1
Sl. 4. Prora un potresne otpornosti za prvi vektor (F1)
3.2 Odre ivanje ciljanog ubrzanja za smjer x Kod odre ivanja
ciljanog ubrzanja za smjer x, kao polazno ubrzanje u prvom koraku,
pretpostavlja se grani no ubrzanje dobiveno za prvi vektor, koje
iznosi agr,1 = 0.405g.
Na slici 5. prikazano je odre ivanje spektralnog ubrzanja
promatranih pet modova, 5-katnog a/b okvira u x smjeru, za
pretpostavljeno polazno ubrzanje agr,1 = 0.405g, odnosno pokazan je
prvi korak u iterativnom postupku odre ivanja ciljanog ubrzanja kod
linearne (L) kombinacije modova. Na slici su prikazani periodi Ti i
krivulje nosivosti promatranih modova. Krivulje nosivosti prvog i
drugog moda su vidljive cijele na slici, dok su krivulje tre eg,
etvrtog i petog moda odsije ene nešto iznad spektralnog ubrzanja od
2.00g.
S /ga
T =10.8
39s
T=
20.2
65s
T=
30.1
46s
T=
40.0
97s
T=
50.0
76s
0.2
5Tlo tipa A
Sd [m]
T=
0.4
s
T=2.0 s
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
0.0
0
0.0
5
0.1
0
0.1
5
0.2
0du,1du,2 dt,1dt,2
0.405
!a Sgr
as,1=0.257
as,2=1.206
as,3=1.400
as,4=0.810as,5=0.720
Sl. 5. Odre ivanje spektralnog ubrzanja modova, 5-katnog a/b
okvira u smjeru x, na
elasti nom spektru za ubrzanje tla 0.405g
21
-
U tablici 2. pokazan je iterativni tok metode s rezultatom za
minimalni agr, za slu aj ciljanog ubrzanja linearne kombinacije
modova za smjer x. Dobiveno ciljano ubrzanje iznosi agr,t = 0.18g,
a njemu pripadna sila u presjeku pri bazi prora unskog modela
iznosi 2197 kN.
agr,i as,1 F1 as,2 F2 as,3 F3 as,4 F4 as,5 F5 Fi FL FL/ Fi 1 2 3
4 5 0.405 0.257 1735 1.206 1051 1.400 478 0.810 133 0.720 40 3437
2303 0.67 0.63 2.98 3.46 2.00 1.78 0.27 0.244 1648 0.815 710 0.930
318 0.534 88 0.479 27 2790 2232 0.80 0.90 3.02 3.44 1.98 1.77 0.22
0.228 1540 0.700 610 0.750 256 0.443 73 0.390 22 2500 2175 0.87
1.04 3.18 3.41 2.01 1.77 0.19 0.212 1432 0.620 540 0.667 228 0.383
63 0.330 18 2281 2190 0.96 1.12 3.26 3.51 2.02 1.74 0.18 0.206 1391
0.592 516 0.628 214 0.352 58 0.320 18 2197 2197 1.00 1.14 3.29 3.49
1.96 1.78 0.17 0.198 1337 0.585 510 0.608 208 0.338 56 0.308 17
2127 2191 1.03 1.16 3.44 3.58 1.99 1.81
Tablica 2. Ciljano ubrzanje pri linearnoj kombinaciji modova za
smjer x Na slici 6. prikazani su vektori optere enja svih sudjeluju
ih modova, krivulja
nosivosti i redoslijed nastajanja plastifikacijskih zglobova za
linearnu kombinaciju modova za smjer x.
0
0.050 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40
0.4
0.2
0.6
1.0
0.8
Faktor opterećenja
1
21
23
25
2
3
57
9
29 3031
F1 F2 F3 F4 F5 FL
276
481
320
166
208
201
143
230
96
465
516 2141391
80
197
305
382
427
2197 kN
760
700
409
216
112
58
73
65
70
131
135
18
15
50
51
35
39
14
4
1718
10
23
92
31
31
16
24
3018
1930
10
6
1512 7
31
31
26
19
15
22
11
28
2027
29
13
3
5
16
1 3
4
1 25
6
6
24
8
26 2123 6
26
3 21
23 5
2931
29
29
13
1516
1719
27
11
0.3
0.1
0.5
0.9
0.7
+ + + + =
u [m]x
ux
Sl. 6. Krivulja nosivosti za linearnu kombinaciju modova za
smjer x
3.3 Odre ivanje ciljanog ubrzanja za smjer y Svojstva vektora
optere enja promatranih modova u y smjeru prikazana su u tablici
3.
Vektor-y smjer Ti [s] mei [%] mei [t] Ffi [kN] agri /g
1 0.953 80.34 678.87 1427 0.392 0.293 10.94 92.44 1572 1.653
0.156 4.51 38.11 2593 4.624 0.101 2.27 19.18 2146 8.085 0.077 0.78
6.59 1576 17.70
Tablica 3. Svojstva vektora horizontalnog optere enja za smjer
y
Odre ivanje ciljanog ubrzanja za linearnu kombinaciju modova za
smjer y prikazano je u tablici 4. Kao polazno ubrzanje u prvom
koraku, pretpostavlja se grani no ubrzanje dobiveno za prvi vektor,
koje iznosi agr,1 = 0.39g. Dobiveno je ciljano ubrzanje agr,t =
0.17g, i njemu pripadna sila pri bazi modela iznosa 1934 kN.
22
-
agr,i as,1 F1 as,2 F2 as,3 F3 as,4 F4 as,5 F5 Fi FL FL/ Fi 1 2 3
4 5 0.39 0.214 1427 1.142 1036 1.388 519 0.803 151 0.698 45 3178
2097 0.66 0.55 2.93 3.56 2.06 1.79 0.25 0.202 1345 0.722 655 0.843
315 0.510 96 0.443 29 2440 1927 0.79 0.81 2.89 3.37 2.04 1.77 0.19
0.184 1225 0.560 508 0.713 267 0.390 73 0.330 21 2094 1927 0.92
0.97 2.95 3.75 2.05 1.74 0.17 0.173 1152 0.505 458 0.638 239 0.345
65 0.308 20 1934 1934 1.00 1.02 2.97 3.75 2.03 1.81
Tablica 4. Ciljano ubrzanje pri linearnoj kombinaciji modova za
smjer y Na slici 7. prikazani su vektori optere enja svih sudjeluju
ih modova, krivulja
nosivosti i redoslijed nastajanja plastifikacijskih zglobova za
linearnu kombinaciju modova za smjer y.
6
1413
1716
4
5
10
16
1
14
7
8
66
8
13
9
1711
12
15
15
15
15
15
12
152
11
14
17
3
15
16
1414
15 15
14
17
1717
87
11
10
12
3
4
5
9
1215
uy
0
0.050 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45
0.4
0.2
0.6
1.0
0.8
Faktor opterećenja
F1 F2 F3 F4 F5 FL
223
411
289
191
220
207
172
245
66
399
458 2391152
61
159
251
320
361
1934 kN
714
625
311
160
124
65
72
74
63
133
141
20
14
52
54
36
440.3
0.1
0.5
0.9
0.7
+ + + + =
u [m]y
Sl. 7. Krivulja nosivosti za linearnu kombinaciju modova za
smjer y
4 ZAKLJU AK
U radu je prikazana formulacija ciljanog ubrzanja i postupak za
njegovo odre ivanje, definiranog kao najmanje ubrzanje baze koje
dovodi do grani nog stanja nosivosti konstrukcije pomo u
višemodalnog naguravanja, što predstavlja najnižu potresnu
otpornost. Postupak se temelji na uzastopnoj primjeni nelinearne
analize konstrukcije višemodalnom metodom naguravanja i uzastopnim
traženjem ciljanog ubrzanja.
Na osnovu dobivenih rezultata na konkretnim primjerima može se
zaklju iti: - Utjecaj viših modova, posebno drugog i tre eg moda,
je veoma zna ajan. - Ciljano ubrzanje uvijek je niže od grani nog
ubrzanja svakog moda pojedina no. - Ciljanom ubrzanju pripadni op i
slomni vektor oblikom se zna ajno razlikuje od
oblika optere enja prvog vektora ali i od oblika optere enja s
konstantnim ubrzanjem po visini konstrukcije sadržanim u EN
1998.
- Višemodalna metoda naguravanja apriori polazi od pretpostavke
da su u stvarnom potresnom djelovanju svi relevantni modovi i
aktivirani.
- Prakti na primjena višemodalnog naguravanja pokazuje da je
potresna otpornost, promatranih okvirnih a/b konstrukcija, niža od
one prema kriteriju ciljanog pomaka u skladu s EN 1998 (Dodatak
B).
- Uklju ivanje viših modova u prikazanim primjerima redovito zna
ajno smanjuje grani no vršno ubrzanje tla, a u nekim situacijama i
za više od dva puta, što je znatno nepovoljnije od zahtjeva za
rezervom u krivulji kapaciteta nosivosti od 150% u odnosu na
karakteristi ni ciljani pomak vrha konstrukcije.
23
-
Literatura: [1] Chopra, A.K., Goel, R.K.: “A modal pushover
analysis procedures for estimating seismic demands for buildings”,
Earthquake Engineering & Structural Dynamics, Vol.31, No.3.,
2002, str. 561–582. [2] Chopra, A.K., Goel, R.K., Chintanapakdee,
C.: “Evaluation of a modified MPA procedure assuming higher modes
as elastic to estimate seismic demands”, Earthquake Spectra,
Vol.20, No.3., 2004, str. 757-778. [3] European Committee for
Standardization (CEN): “EN 1998-1. Eurocode 8: Design of Structures
for earthquake resistance – Part 1: General rules, seismic actions
and rules for buildings”, Brussels, Belgium, 2004. [4] Goel, R.K.,
Chopra, A.K.: “Role of Higher-“Mode” Pushover Analyses in Seismic
Analysis of Buildings”, Earthquake Spectra, Vol.21, No.4., 2005,
str. 1027-1041. [5] Jiang, Y., Li, G., Yang, D.: “A modified
approach of energy balance concept based multimode pushover
analysis to estimate seismic demands for buildings”, Engineering
Structures, Vol.32, No.5., 2010, str. 1272–1283. [6] Kalkan, E.,
Kunnath, S.K.: “Assessment of current nonlinear static procedures
for seismic evaluation of buildings”, Engineering Structures,
Vol.29, 2007, str. 305–316. [7] Kalkan, E., Kunnath, S.K.:
“Adaptive modal combination procedure for nonlinear static analysis
of building structures”, Journal of Structural Engineering,
Vol.132, No.11., 2006, str. 1721–1731. [8] Sasaki, K.K., Freeman,
S.A., Paret, T.F.: “Multi-mode pushover procedure (MMP) - a method
to identify the effects of higher modes in a pushover analysis”,
Proceedings of 6th U.S. National Conference on Earthquake
Engineering, Seattle, USA, 1998, str. 1-12. [9] Shakeri, K.,
Mohebbi, M.: “Single-run modal pushover procedure based on the
modal shear and moment in the stories”, Proceedings of 14th
European Conference on Earthquake Engineering, Ohrid, Republic of
Macedonia, 2010, str. 6199-6207. [10] Trogrli , B., Mihanovi , A.:
“The comparative body model in material and geometric nonlinear
analysis of space R/C frames”, Engineering Computations, Vol.25,
No.2., 2008, str. 155-171.
Autori: Ivan Bali , Sveu ilište u Splitu, Fakultet gra
evinarstva, arhitekture i geodezije, Katedra za teoriju
konstrukcija, Matice hrvatske 15, tel. 021/303-378, e-mail:
[email protected], web stranica: www.gradst.hr Ante Mihanovi ,
Sveu ilište u Splitu, Fakultet gra evinarstva, arhitekture i
geodezije, Katedra za teoriju konstrukcija, Matice hrvatske 15,
tel. 021/303-357, e-mail: [email protected], web stranica:
www.gradst.hr Boris Trogrli , Sveu ilište u Splitu, Fakultet gra
evinarstva, arhitekture i geodezije, Katedra za teoriju
konstrukcija, Matice hrvatske 15, tel. 021/303-352, e-mail:
[email protected], web stranica: www.gradst.hr
24