Postulatele teoriei relativitatii restranse. Transformarile Lorentz

3. Teoria relativităţii restrânse 103

3. TEORIA RELATIVITĂŢII RESTRÂNSE

3.1. Introducere. Ipoteza eterului

În mecanica newtoniană, invarianţa ecuaţiilor fizicii faţă de transformările Galilei se bazează pe noţiunile de timp universal şi spaţiu absolut: timpul curge la fel în orice punct din spaţiu iar proprietăţile spaţiului sunt independente de timp. Invarianţa ecuaţiilor fizicii corespunde ideii că rezultatul unei experienţe este acelaşi în orice sistem de referinţă inerţial. Până la sfârşitul secolului al XIX-lea aceste premize au fost în perfect acord cu experienţa, dificultăţile apărând o dată cu descoperirea undelor electromagnetice (inclusiv cu natura însăşi a luminii), respectiv cu scrierea ecuaţiilor Maxwell pentru câmpul electromagnetic. Noţiunea de undă elastică, aşa cum este cunoscută în mecanică, presupune un mediu elastic în care interacţia dintre punctele vecine ale spaţiului conduce la propagarea unei perturbaţii, viteza de propagare a undei fiind măsurată faţă de acest mediu. Undele electromagnetice (de exemplu, lumina) se propagă însă şi prin vid (de exemplu, de la Soare la Pământ). Astăzi ştim că undele electromagnetice reprezintă o formă specială de manifestare, de existenţă a materiei, propagarea lor nebazându-se pe existenţa unui mediu, respectiv, pe interacţiile din acesta, ci pe faptul că variaţia temporală a câmpului electric este sursă de câmp magnetic iar variaţiile acestuia produc un câmp electric. Dar, la sfârşitul secolului al XIX-lea, prin analogie cu undele mecanice, s-a presupus existenţa unui mediu care umple întregul spaţiu, numit eter, care să asigure propagarea undelor electromagnetice. Cu privire la acesta s-au acceptat, de la început, o serie de contradicţii, deja din modul în care a fost definit, deoarece eterul ar fi trebuit să reprezinte un fluid perfect pentru a nu perturba mişcarea corpurilor iar pe de altă parte el ar fi trebuit să fie un corp solid deoarece undele electromagnetice sunt unde transversale şi, după cum se ştie din mecanică, undele transversale nu se pot propaga prin fluide ci numai prin medii solide. Elementul care a dus însă la abandonarea modelului bazat pe existenţa eterului şi, în acelaşi timp, a condus la modificarea fundamentală a mecanicii şi,


implicit a fizicii în ansamblul ei, prin schimbarea în esenţă a modului de a gândi şi defini timpul şi spaţiul, l-a reprezentat experienţa Michelson-Morley. Aceasta constă în măsurarea diferenţei dintre timpii de propagare a luminii pe două drumuri diferite cu ajutorul interferenţei luminii. Dispozitivul experimental, adicǎ interferometrul Michelson, este extrem de simplu (Fig. 3.1).

Fig. 3.1

Lumina colimată de la o sursă S este divizată cu ajutorul divizorului de fascicul DF (o oglindă semitransparentă) în două fascicule ce se reflectă pe oglinzile O1 şi respectiv O2, după propagarea pe două direcţii ortogonale. Undele reflectate se reîntorc la oglinda semi-transparentă DF şi prin reflexie, respectiv, transmisie, sunt suprapuse pe detectorul D care măsoară intensitatea în câmpul de interferenţă al celor două unde. Datorită faptului că diferenţa de fază dintre cele două unde (care se traduce în intensitatea luminoasă în câmpul de interferenţă, respectiv în deplasarea maximelor de interferenţă) depinde de diferenţa timpilor de propagare ai undelor în cele două braţe ale interferometrului, acesta reprezintă un instrument simplu şi precis de măsurare a diferenţei de timp tΔ . Să încercăm să calculăm această diferenţă de timp conform ipotezei eterului şi legilor mecanicii clasice.

Fig. 3.2 Să notăm cu c viteza undei faţă de mediul în care se propagă şi cu v viteza interferometrului fată de acest mediu. Experienţa se poate efectua atât cu o undă luminoasă folosind o sursă de lumină precum şi oglinzi şi detector adecvate sau cu


o sursă sonoră, un detector acustic şi suprafeţe reflectante pentru unde sonore. Considerând braţele interferometrului paralele la axele Ox şi Oy (Fig. 3.2), interferometrul deplasându-se cu viteza v faţă de mediul elastic ideal, adică eterul, în sensul pozitiv al axei şi unda propagându-se cu viteza c faţă de eter, se observă din figură că unda emisă de sursă ajunge la DF în punctul A, moment la care oglinzile se găsesc în poziţia B, respectiv, C, se reflectă pe acestea în momentul în care ele se găsesc în poziţiile B1, respectiv C1, şi cele două unde reflectate se reîntâlnesc pe divizorul de fascicul în momentul în care acesta se găseşte în poziţia A2. Considerând braţele interferometrului egale între ele, de lungime , conform legii de compunere a vitezelor din mecanica clasică, în sistemul de referinţă solidar cu interferometrul (Fig. 3.1), unda ce se propagă pe direcţia Ox parcurge distanţa de la DF la O1 cu viteza

l

l vc − şi aceeaşi distanţă de la O1 la DF, cu viteza . Astfel, timpul de propagare al primei unde este:

lvc + 1t

22221

c/v1

1c2

vc

c2vcvc

t−

⋅=−

=+

+−

=llll . (3.1)

Pentru unda ce se reflectă pe oglinda O2, datorită faptului că aceasta se propagă cu viteza c pe direcţia AB, respectiv B1A2 care formează unghiuri egale cu axa Oy (Fig. 3.3), viteza de propagare pe axa Oy în sistemul de

referinţă al interferometrului va fi 22 vc − , astfel că timpul de propagare al acestei unde este: 2t

222222222c/v1

1c2

vc

2

vcvct

−⋅=

−=

−+

−=

llll . (3.2)

Fig. 3.3

Expresiile lui şi pot fi obţinute evident şi în sistemul de referinţă legat de mediul elastic (Fig. 3.2) în care mediul fiind în repaus vom avea aceeaşi viteză de propagare c dar lungimile parcurse se modifică.

1t 2t

Considerând viteza interferometrului v mult mai mică decât viteza de propagare a undei , putem dezvolta expresiile lui şi în serie de

puteri după şi restrânge seriile la primii termeni:

cv,c <<2

1t 2t2 c/v

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=

...c

v83

c

v211

c2t

...c

v

c

v1c2t

4

4

2

22

4

2

2

21

l

l


astfel încât:

2

2

4

4

2

221

c

v21

c2...

c

v85

c

v21

c2ttt ⋅⋅≅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=−=Δ

ll . (3.3)

Notând cu T perioada undelor putem calcula imediat raportul întârzierii faţă de perioadă:

tΔ

2

2

2

2

c

v

c

v21

cT2

Tt

⋅λ

=⋅⋅

=Δ ll (3.4)

care reprezintă, în acelaşi timp, şi raportul deplasării unei franje de interferenţă faţă de interfranja la detector (deplasarea figurii de interferenţă cu o interfranjă se realizează prin introducerea unei diferenţe suplimentare de fază , adică a unei întârzieri egale cu perioada).

π2

Dacă rotim interferometrul cu axa care era paralelă la Ox devine paralelă la Oy şi invers, ceea ce face ca întârzierea calculată corespunzător orientării iniţiale pentru axa Ox să apară acum pentru Oy iar pentru Ox.

o901t

2t

Astfel, prin rotirea interferometrului cu se produce o variaţie a diferenţei timpilor de întârziere

o90τ dată de:

( ) ( ) t2tttttt 1221BA Δ=−−−=Δ−Δ=τ . (3.5)

Ca atare, se va produce o deplasare a franjelor de interferenţă cu o fracţie

2

2

c

v2Tt2

λ=

Δ l din valoarea interfranjei.

Dacă experienţa se efectuează cu unde sonore, măsurătorile confirmă perfect acest rezultat dar dacă experienţa se efectuează cu o undă electromagnetică luminoasǎ nu apare nici o deplasare a franjelor. Faptul că nu apare nici o deplasare a franjelor ne arată că timpii şi sunt egali, adică viteza de propagare a luminii c este independentǎ de viteza de deplasare a interferometrului, fiind o constantă universală, aceeaşi faţă de orice sistem de referinţă.

1t 2t

Acest rezultat nu a dus doar la abandonarea modelului eterului ci şi la modificarea radicală a legilor mecanicii şi implicit, ale fizicii. Pentru a putea explica această comportare, respectiv, pentru a putea deduce legile şi ecuaţiile ce generează aceste fenomene, Einstein a păstrat postulatul conform căruia rezultatele experienţelor trebuie să fie aceleaşi în orice


sistem de referinţă inerţial dar a schimbat postulatul timpului universal cu postulatul constanţei vitezei luminii în vid, c, faţă de orice sistem de referinţă, aceasta devenind o constantă universală. 3.2. Transformările Lorentz

Prima cerinţă este de a deduce noile legi de transformare de la un sistem de referinţă inerţial la altul. Noile relaţii de transformare leagă spaţiul şi timpul măsurate într-un sistem inerţial S de cele măsurate într-un alt sistem inerţial S’ care se deplasează cu o viteză constantă oarecare v faţă de S. Aceste relaţii de transformare numite transformarile Lorentz, trebuie să înlocuiască ecuaţiile de transformare Galilei ce caracterizează mecanica clasică bazată pe timpul universal. Pentru a deduce aceste relaţii să analizăm cazul simplu al unei surse de lumină care emite o undă din originea sistemului S în momentul în care sistemul S’, aflat în mişcare cu viteza v faţă de sistemul S de-a lungul axei comune

, se găseşte cu originea în O’ chiar în originea O a sistemului S. În acest moment observatorii din cele două sisteme îşi reglează cronometrul astfel ca

. Deoarece, conform principiului invarianţei vitezei luminii în vid, lumina se propagă pe orice direcţie cu aceeaşi viteză c în ambele sisteme, suprafaţa fronturilor de undă la un moment ulterior de timp (Fig. 3.4) va fi dată pentru cei doi observatori de ecuaţiile:

'Ox||Ox

0'tt ==

(3.6) 2'22'2'2'

22222

tczyx

tczyx

=++

=++

Fig. 3.4


Satisfacerea simultană a celor două ecuaţii ale frontului de undă în sistemul S şi, respectiv, S’, impusă de principiul invarianţei vitezei luminii în vid este evident, imposibilă în cadrul transformărilor Galilei:

t'tz'zy'y

vtx'x

===

−=

'tt'zz'yy

vt'xx

===

+=

(3.7)

Va trebui să considerăm un alt set de transformari, abandonând timpul absolut ca atare, păstrând relaţiile pentru y şi z şi căutând pentru x şi t o transformare liniară mai generală, de tipul:

.dtcx't

btax'x+=+= (3.8)

Trebuie menţionat că la viteze mici, cv <<0→

, transformarea Galilei este perfect verificată astfel că la limita noile transformări trebuie să conducă la transformările Galilei. Vom încerca să scriem ecuaţiile: şi

sub forma:

c/v( t,x'x'x = )

)

)

( 't,'xxx =

( )( vt'xx

vtx'x+λ=−λ=

(3.9)

unde reprezintă o funcţie ce depinde doar de v şi c şi satisface condiţia . Din ecuaţiile (3.9), obţinem relaţiile de transformare pentru timp:

λ=λ 1lim

0v→

'.t

v'x1t

tvx1't

λ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ−λ=

λ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ−λ

= (3.10)

Relaţiile de transformare ale spaţiului şi timpului vor trebui să lase ecuaţia frontului de undă invariantă, adică substituind variabilele conform ecuaţiilor de transformare în ecuaţia frontului de undă scrisă în sistemul S’ trebuie să obţinem ecuaţia frontului de undă în sistemul S. Efectuând substituţia, obţinem:

't,'z,'y,'x


.cvtc

zy1v

cvxt21vcx

22

2222

222

22

2

222

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ−λ=

=++⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ−λ

λ+λ−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ−λ

−λ

(3.11)

Identificând acum această ecuaţie cu ecuaţia frontului de undă în sistemul S obţinem condiţiile:

.1c

v

01

v

cv

11

v

c

22

22

2

22

2

2

22

=λ−λ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ−λ

+λ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ−λ

−λ

(3.12)

Ecuaţiile (3.12) sunt satisfăcute dacă:

2

2

2 1

1

c

v1

1

β−=

−

=λ (3.13)

unde s-a notat β=cv . Substituind λ în ecuaţiile precedente obţinem

transformările Lorentz:

.1

'xcv't

t

'zz'yy1

'vt'xx

,1

xcvt

't

,z'z,y'y

,1

vtx'x

2

2

2

2

2

2

β−

+=

==

β−

+=

β−

−=

==

β−

−=

(3.14)

3.3. Contracţia lungimilor Să considerăm o bară de lungime în repaus în sistemul S, . Pentru a măsura lungimea faţă de sistemul S’ în mişcare cu viteza v faţă de S,

l 12 xx −=l

'l


'1

'2 xx' −=l , este necesar ca poziţiile extremităţilor barei, şi , să fie

măsurate simultan, adică trebuie ca .

'2x '

1x'1

'2 tt =

Folosind transformările Lorentz pentru coordonatele şi , obţinem: 2x 1x

2

'1x

β

'2

121

xxx

−

−=−=l

adică

21' β−= ll . (3.15)

Astfel, numind lungimea l a barei faţă de sistemul în care aceasta se găseşte în repaus ca lungime proprie, rezultă că lungimea sa faţă de orice alt sistem care se găseşte în mişcare va fi mai mică corespunzător factorului

21 β− . Desigur că volumele se modifică şi ele corespunzător contracţiei uneia

din dimensiuni. De exemplu, pentru un cub, deoarece 'yy Δ=Δ şi 'zz =Δ Δ obţinem:

21V'V β−⋅Δ=Δ . Trebuie subliniat faptul că aceste contracţii de lungimi,

respectiv de arii şi volume, caracterizează dimensiunile propriu-zise ale corpurilor în sistemul în mişcare şi nu modul în care le vede un observator. Dacă, de exemplu, vom fotografia cubul din exemplul precedent el nu va apare deformat (aplatizat) ci doar puţin rotit deoarece, în acest caz, imaginea formată la un moment de timp t este realizată de razele de lumină plecate din diferitele puncte ale obiectului la momente de timp diferite corespunzătoare diferenţelor timpilor de propagare ai luminii de la aceste puncte la observator şi este violată condiţia

, care este premiza pentru deducerea ecuaţiei (3.15). '1

'2 tt =

3.4. Dilatarea timpului

Să considerăm un proces ce se desfăşoară într-un punct de coordonată x în sistemul de referinţă S, între două evenimente ce au loc la momentele de timp şi măsurate cu un cronometru identic cu un alt cronometru solidar cu sistemul de referinţă S’ aflat în mişcare faţă de S cu viteza

1t

2tOx||v

r, şi care marchează

pentru cele două evenimente momentele de timp şi . '1t

'2t


Ţinând cont că pentru cele două evenimente între care se desfăşoară procesul avem 21 xxx == şi folosind transformările Lorentz obţinem:

22

12'1

'2

1

t

1

tttt't

β−

Δ=

β−

−=−=Δ . (3.16)

Astfel, cronometrul în mişcare (solidar cu S’) măsoară un interval de timp mai lung decât cronometrul ce se găseşte în repaus faţă de punctul din spaţiu

în care au loc cele două evenimente între care se desfăşoară procesul a cărui durată proprie este .

'tΔ

tΔ Aceasta face ca particulele elementare cu un timp de viaţă scurt, caracterizat de “ceasul propriu”, să apară pentru un observator faţă de care ele se află în mişcare ca având un timp de viaţă mai lung, cu atât mai mare cu cât ele se mişcă mai repede. Acest fapt nu trebuie interpretat ca reprezentând un rezultat diferit al unei experienţe în cele două sisteme, cel propriu şi cel al laboratorului, deoarece înlănţuirea evenimentelor este întotdeauna invariantă la transformările Lorentz, adică fenomenele se desfăşară la fel corespunzător aceloraşi legi fizice, respectiv unor ecuaţii invariante. 3.5. Compunerea relativistă a vitezelor Să considerăm din nou cele două sisteme de referinţă inerţiale, S, şi, respectiv, S’ aflat în mişcare faţă de S cu viteza Ox||v

r şi un punct material care

se mişcă cu viteza 'ur

⎟⎠

⎞'dt'dz

⎜⎝

⎛ === u,'dt'dyu,

'dt'dxu '

z'y

'x faţă de S’ şi, respectiv, cu

viteza ur

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ===dtdx

dtdzu,

dtdyu,u zyx faţă de sistemul S. Folosind

transformările Lorentz putem scrie:


.u

cv1

1u

cv1

dxcvdt

dz'dt'dzu

ucv1

1u

cv1

dxcvdt

dy'dt'dyu

ucv1

vu

dxcvdt

vdtdx'dt'dxu

x2

2

z2

2

2

'z

x2

2

y2

2

2

'y

x2

x

2

'x

−

β−=−

−==

−

β−=−

−==

−

−=

−

−==

(3.17)

Se observă, în primul rând, că pentru viteze mici, şi 02 →β 0c

uv2→ ,

ecuaţiile (3.17) conduc, la limită, la legile clasice de compunere a vitezelor, , , şi, în al doilea rând, că viteza luminii în vid c

nu poate fi depăşită. Este de remarcat că în cazul în care considerăm o rază de

lumină pentru care cux = re

vuu x'x −= y

'y uu = z

'z uu =

zultă că ccvvc

=

c1

u

2

'x

−

−=

i luminii.

astfel că regăsim

invarianţa viteze 3.6. Spaţiul cuadridimensional Este important să observăm că relaţiile de transformare Lorentz pot fi scrise şi sub forma:

ictx'ictzz'zyy'y

ictx'x

4441

33

22

1411

α+α=

α==α==

α+α=

(3.18)

unde

2

24411

2

24114

cv1

1,

cv1

cvi

−

=α=α

−

=α−=α şi 13322 =α=α .


Matricea transformării este atunci:

{ }

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−

−

−−

=α

2

2

2

2

2

2

2

2

ij

c

v1

100

c

v1

cvi

01000010

c

v1

cvi

00

c

v1

1

(3.19)

Universul nu mai poate fi descris ca un sistem tridimensional ( care evoluează într-un timp absolut, timpul suferind transformări similare spaţiului, astfel cǎ este necesar să se adopte un sistem de referinţă cuadridimensional de coordonate

)z,y,x

zx,yx,xx 321 === şi ictx4 = , pentru care a patra axă este

imaginară. În locul distanţei dintre două puncte din spaţiul tridimensional,

, trebuie să introducem acum invariantul care separă

două evenimente şi

2222 zyx Δ+Δ+Δ=l 2s

( )4321 x,x,x,x ( )'4

'3

'2

'1 x,x,x,x din spaţiul

cuadridimensional:

( ) ( )2222224

23

22

21

2 tczyxxxxxs Δ−Δ+Δ+Δ−=Δ+Δ+Δ+Δ−= .

(3.20) Distanţa spaţială dintre două puncte, , este invariantă la transformarile Galilei dar, aşa cum am vazut în relativitatea restrânsă, ea se schimbă la trecerea de la un sistem de referinţă inerţial la altul conform relaţiilor Lorentz. În schimb, intervalul este un invariant relativist:

l

2s


( )

.st

c

v1

c

v1czy

c

v1

c

v1x

c

v1

xc

vtc

zy

c

v1

tvxtczyxs

2'2'

2

2

2

2

22'2'

2

2

2

22'

2

2

2'4

22'

2

22

2

2

2'22'222222

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

Δ

−

−−Δ+Δ+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Δ

−=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

−

Δ+Δ−

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−Δ+Δ+

−

Δ+Δ−=Δ−Δ+Δ+Δ−=

(3.21)

Această proprietate a intervalului de a fi invariant la transformările Lorentz, deci de a avea aceeaşi valoare în orice sistem de referinţă inerţial, îl face să joace un rol esenţial în teoria relativităţii restrânse.

2s

3.7. Impulsul şi energia relativiste Ţinând cont de transformările Lorentz pentru viteză şi de legea de conservare a impulsului în orice ciocnire, care trebuie să fie valabilă în orice referenţial iniţial, impulsul are în mecanica relativistă următoarea expresie:

v

cv1

mp

2

20 rr

−

= (3.22)

unde este viteza unei particule iar este masa de repaus a particulei. Dacă , atunci se regăseşte formula relativistă pentru impuls

vr

c0m

v << vmp 0rr

= . Forţa relativistă ce actionează asupra unei particule de impuls este: p

r

dtpdFrr

= . (3.23)

Lucrul mecanic efectuat de forţa Fr

este:


∫∫ ==2

1

2

1

x

x

x

x

dxdtdpFdxL (3.24)

pentru o forţă ce acţionează pe axa Ox. Pentru evaluarea lucrului mecanic, să calculăm : dt/dp

2/3

2

2

0

2

20

cv1

dtdvm

cv1

vmdtd

dtdp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

−

= .

Substituind această expresie în relaţia (3.24) şi ţinând cont că vdtdx = , obţinem:

∫∫⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=v

02/3

2

20

t

02/3

2

2

0

cv1

vdvm

cv1

vdtdtdvm

L (3.25)

unde limitele presupun accelerarea particulei din repaus, la , până la valoarea v la momentul de timp . Astfel:

0t =t

cm

cv1

cmL 0

2

2

20 −

−

= . (3.26)

Conform teoremei energiei cinetice, lucrul mecanic efectuat de o forţă acţionând asupra unei particule reprezintă variaţia energiei cinetice a acesteia. Deoarece am presupus că iniţial energia cinetică a particulei este nulă înseamnă că lucrul mecanic efectuat este echivalent cu energia cinetică relativistă a particulei:

20

2

2

20 cm

cv1

cmT −

−

= . (3.27)

Energia totală a particulei, , va fi deci: 20cmTE +=

2

2

2

20 mc

cv1

cmE =

−

= . (3.28)


Aceasta este formula lui Einstein care arată că energia şi masa sunt echivalente. În multe cazuri, energia se scrie în funcţie de impuls, formulă ce poate fi uşor obţinută:

420

22 cmcpE += . (3.29)

3.8. Simultaneitatea în teoria relativităţii retrânse. Conul luminos.

În fizica clasică, datorită universalităţii timpului, două evenimente

simultane într-un sistem de referinţă inerţial sunt simultane în orice sistem de referinţă inerţial, respectiv, dacă evenimentul A este anterior evenimentului B într-un sistem de referinţă, el este anterior în orice alt sistem de referinţă inerţial. În cazul relativităţii restrânse acest lucru nu mai este adevărat decât în anumite condiţii care sunt determinate de natura intervalului care separă cele două evenimente.

Să considerăm un sistem de referinţă inerţial S în raport cu care evenimentul are loc în punctul din spaţiu , descris de coordonatele

( a4a3a2a1 x,x,x,xA ) aP( )aaa z,y,x

)b4b3 x,x) t

la momentul de timp şi evenimentul are loc în punctul din spaţiu , descris de coordonatele

, la momentul de timp . Să presupunem, în acelaşi timp, că fiecare

eveniment este însoţit de emisia unui semnal luminos foarte scurt. Pentru a putea studia ordinea desfăşurării în timp a evenimentelor şi poziţia relativă a punctelor spaţiale raportate la diferite sisteme de referinţă inerţiale este necesar să pornim de la intervalul

at( b2b1 ,x,xB

( bbb z,y,xbP

b

( ) ( )222222222 tctczyxs Δ−−=Δ−Δ+Δ+Δ−= l

care le separă. Acesta poate fi pozitiv sau negativ, ceea ce implică sau .

222 tc Δ<l222 tc Δ>l

Astfel, pentru cazul , considerând că în sistemul S evenimentul B are loc anterior evenimentului A, avem:

0s2 >


c

tt bal

>− . (3.30)

Aceasta ne arată că în sistemul de referinţă S semnalul luminos emis în cadrul evenimentului B la momentul de timp în punctul ajunge în punctul

anterior producerii evenimentului A. Deoarece intervalul este un invariant

relativist, dacă condiţia este satisfăcută în sistemul S ea va fi satisfăcută în orice sistem de referinţă inerţial. Vom numi un interval care satisface condiţia

, interval temporal. Astfel, pentru evenimentele separate prin intervale temporale, putem afirma că ordinea producerii lor este aceeaşi faţă de orice sistem de referinţă inerţial, adică proprietăţile de anterior, simultan şi ulterior au un caracter general. În ceea ce priveşte poziţia relativă a punctelor din spaţiu în care se produc două evenimente separate printr-un interval temporal, vom vedea că aceasta depinde de sistemul de referinţă la care sunt raportate evenimentele. Pentru a evidenţia acest fapt, să considerăm un referenţial inerţial S’, a carui origine trece prin punctul exact în momentul producerii evenimentului B, şi

care se deplasează faţă de sistemul S cu o viteză astfel aleasă încât originea sa să coincidă cu punctul exact în momentul producerii evenimentului A. Astfel,

faţă de sistemul S’, ambele evenimente, A şi B, se produc în acelaşi punct, în originea O’ a sistemului S’. Pentru evenimente separate printr-un interval temporal acest lucru este întotdeauna posibil deoarece condiţia face ca viteza a sistemului S’ faţă de S să fie mai mică decât viteza luminii. Este interesant de observat că rezultatul cu privire la caracterul absolut al succesiunii în timp a evenimentelor, respectiv al relativităţii poziţiei spaţiale rezultă şi direct din expresia de definiţie a intervalului temporal .

bt

s

bP2saP

s2

0s2 >

bP

aP

0>

v

v

2 >

0s2 >

0 Într-adevăr, scriind această condiţie sub forma ( ) 0ttc 22

ba2 >−− l

aP bP,

observăm că anularea distanţei spaţiale dintre punctele şi nu afectează

relaţia , în timp ce anularea diferenţei

l

0s2 > ba tt − face ca ori ştim că

este invariant (variaţia lui prin anularea lui este compensată de variaţia termenului ).

0s2 <2s 2s 2l

( )2ba tt −2c

Cele două evenimente pot fi separate şi printr-un interval , caz în care vorbim de un interval spaţial. În acest caz, faţă de sistemul S, pentru un

0s2 <


semnal luminos emis în cadrul evenimentului B la momentul de timp în punctul , care va ajunge în punctul după producerea evenimentului A

avem:

bt

bP aP

c

tt bal

<− . (3.31)

Acest lucru nu se va întâmpla în orice sistem de referinţă, existând sisteme de refeinţă inerţiale faţă de care evenimentele A şi B sunt simultane sau se petrec în ordine inversă. Aceasta se poate vedea cel mai uşor prin analogie cu discuţia precedentă (pentru intervale temporale) deoarece în relaţia:

( )2b 0ttcs 2a

22 <−−= l

anularea diferenţei nu afectează inegalitatea iar variaţia dată de

schimbarea valorii termenului ba tt −

( )2b

l

0

a2 ttc − este compensată de variaţia lui .

Astfel, evenimentele separate prin intervale spaţiale sunt denumite şi cvazisimultane deoarece pentru ele există totodeauna un sistem de referinţă în care acestea sunt simultane, în timp ce în alte sisteme de referinţă evenimentele se produc succesiv, într-o ordine sau în alta. În acelaşi timp, se observă că, pentru intervalele spaţiale, anularea distanţei dintre punctele şi duce la

schimbarea lui ceea ce nu este posibil, acesta fiind un invariant.

2l

aP bP2s

Pentru a distinge mai clar între cele două situaţii discutate anterior se poate face apel la o modalitate de separare a celor două tipuri de intervale în spaţiul cuadridimensional cu ajutorul conului luminos. Pentru aceasta să coonsiderăm un sistem de referinţă inerţial faţă de care un eveniment A se produce în originea acestuia

la momentul de timp t0yx == z = = . Să considerăm planul ( , ) şi dreptele l ct l±=ct care delimitează un con haşurat în Fig. 3.5. Notând cu B un eveniment oarecare ce se află în interiorul conului şi cu C un eveniment în afara acestuia, observăm că

Fig. 3.5


intervalele ce caracterizează evenimentele B din interiorul conului, sunt de tip temporal, , în timp ce pentru evenimentele C din afara conului acestea sunt de tip spaţial, .

2ss2 0tc 222 >−= l

0tcs 2222 <−= l

În consecinţă, evenimentele din interiorul conului se vor desfăşura în aceeaşi ordine faţă de orice sistem de referinţă inerţial. Astfel, evenimentele din jumătatea superioară a conului vor fi ulterioare evenimentului A, faţă de orice sistem de referinţă inerţial, constituind viitorul absolut al evenimentului A în timp ce evenimentele din jumătatea inferioară sunt anterioare evenimentului A, faţă de orice sistem de referinţă inerţial, constituind trecutul absolut al evenimentului A. Evenimentele de tip C din exteriorul conului vor fi în unele sisteme de referinţă ulterioare şi în altele anterioare sau simultane evenimentului A, dar se vor produce în oricare din aceste sisteme în puncte diferite din spaţiu, în timp ce pentru evenimentele din interiorul conului luminos vor exista sisteme de referinţă faţă de care acestea se produc în acelaşi punct. Trebuie, de asemenea, subliniat faptul că evenimentul A poate determina cauzal doar evenimentele din viitorul absolut şi poate fi determinat cauzal doar de evenimentele din trecutul absolut, neputând apare determinări cauzale între evenimentul A şi evenimentele C din afara conului luminos.


PROBLEME REZOLVATE

3.1. O barǎ, a cǎrei lungime în repaus este , se mişcǎ uniform cu viteza v astfel încât direcţia ei face unghiul

0lr

0ϕ cu direcţia vitezei. Sǎ se calculeze lungimea a barei în sistemul de referinţǎ faţǎ de care ea se mişcǎ şi ce unghi ϕ face aceasta cu direcţia lui v .

lr

Rezolvare: Considerǎm sistemul de referinţǎ

fix şi sistemul (solidar cu bara) în mişcare dupǎ axa cu viteza constantǎ (v. figura alaturatǎ).

S 'SOx

v Contracţia Lorentz are loc numai dupǎ direcţia de mişcare. Aşadar, pe cele douǎ direcţii din planul avem: xOy

⎪⎩

⎪⎨⎧

ϕ=

−ϕ=

.sinc/v1cos

00y

2200x

ll

ll

Atunci lungimea barei în sistemul S este:

02

2

200

20

22

20

2y

2x cos

cv1sincos

cv1 ϕ−=ϕ+ϕ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=+= lllll

şi

2

20

x

y

cv1

tgtg

−

ϕ==ϕ

l

l.

3.2. Dezintegrarea spontanǎ a unui mezon π a permis masurarea timpului de viaţǎ al mezonilor în referenţialul propriu, . Aceşti mezoni se deplaseazǎ cu o vitezǎ egalǎ cu . În referenţialul propriu mezonii pot parcurge o distanţǎ maximǎ

s102,2 6−×=

m

0τc

600998,0

v 0L0 =τ= , dar mezonii produşi la câţiva

kilometri altitudine sunt totuşi înregistraţi pe suprafaţa Pǎmântului. Cum se explicǎ acest fapt ?


Rezolvare: Considerând dilatarea intervalului de timp, timpul de viaţǎ al mezonului pentru observatorul aflat pe Pǎmânt este

s1032

cv1

6

2

20 −⋅=

−

τ=τ ,

deci distanţa parcursǎ de mezon mǎsuratǎ de pe Pǎmânt este m9580vL =τ= . 3.3. Sǎ se calculeze cu ce vitezǎ trebuie sǎ se deplaseze un automobilist faţă de un stop pentru a vedea semaforul roşu colorat în verde. Se dau: 5500verde =λ Å,

Å. 6500rosu =λ

Rezolvare: Pentru a avea loc o deplasare observabilǎ a lungimilor de undǎ de ordinul

Å sunt necesare viteze ale observatorului foarte mari (comparabile cu c ). Deci ne situǎm în cazul efectului Doppler relativist longitudinal. 1000

În cazul apropierii observatorului faţǎ de sursǎ este valabilǎ relaţia:

β−β+

=11v'v sau

β−β+

λ=λ11'

unde şi sunt lungimile de undǎ ale radiaţiei emise şi respectiv recepţionate. λ 'λ Din ultima relaţie se obţine:

s/km48000

1'

1'cv

2

2

≅

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛λλ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛λλ

= .

În cazul depǎrtǎrii de semafor, utilizǎm relaţia: vv −→ :

β−β+

=11v'v sau

β−β+

λ=λ11' .

Deoarece atunci 10 <β< 'λ<λ , adicǎ are loc o deplasare a radiaţiei spre lungimi de undǎ mari; aşadar este imposibil ca semaforul roşu sǎ fie vǎzut verde.


3.4. Douǎ particule relativiste având masele de repaus şi se deplaseazǎ în sensuri opuse cu vitezele şi . În urma ciocnirii celor douǎ particule se obţine o particulǎ cu masa de repaus şi viteza v , mǎrimi ce se cere a fi

calculate. Aplicaţie numerică: , ,

.

01m

kg20−

02m

1v

1v 2v

m0m

01 = 10m02 = 18ms10 −=18

2 ms102v −⋅=

Rezolvare: Masa a particulei complexe şi viteza rezultǎ din legile de

conservare a energiei şi impulsului pe direcţia de mişcare: 0m v

22

20

222

202

221

201

c/v1

cm

c/v1

cm

c/v1

cm

−=

−+

−

22

022

2

20222

1

101

c/v1

vm

c/v1

vm

c/v1

vm

−=

−+

−.

Notând

2222

2

2221

1c/v1

1;c/v1

1;c/v1

1

−=α

−=α

−=α

relaţiile anterioare devin: 0022011 mmm α=α+α ,

1m1m1m 20

2202

2101 −α=−α−−α .

Acesta este un sistem de douǎ ecuaţii cu necunoscutele şi . Rezolvând

sistemul gǎsim: 0m α

022011

2202

21012

mm

1m1mc1cv

α+α

−α−−α=−α

α= ,

11mm2mm2mmm 22

210201020121

202

201

20 −α−α+αα++= .

3.5. Sǎ se studieze mişcarea relativistǎ a unei particule cu sarcinǎ electricǎ într-un câmp magnetic omogen şi constant de inducţie B

qr

.


Rezolvare: Alegem Oz||B

r. Ecuaţia de mişcare este:

( )Bvqdtpd rrr

. ×=

Înlocuim vcEvmp2rrr

== şi obţinem ( )Bvqdtvd

cE2

rrr

×= . Proiectând ultima ecuaţie

pe axe, rezultǎ

0v;vE

Bqcv;vE

Bqcv zx2

yy2

x === &&&

unde înseamnǎ derivata în raport cu timpul. Notǎm v&

c2

EBqc

ω≡=ω (pulsaţia ciclotronicǎ)

şi obţinem 0v;vv;vv zxyyx =ω−=ω= &&& .

Derivǎm în raport cu timpul şi avem: . Aceasta ecuaţie admite ca soluţie expresia:

xv& x2

yx vvv ω−=ω= &&&

( )ϕ+ω= tcosvv 0x . Analog se gǎseşte cǎ ( )ϕ+ω−= tsinvv 0y .

Constantele şi ϕ se determinǎ din condiţiile iniţiale. Se observǎ cǎ la

orice moment .; în planul , perpendicular pe direcţia

lui

0v

v2y .constv2

x ==+ v20 xOy

Br

, viteza particulei rǎmâne constantǎ în timpul mişcǎrii. Integrând ultimele relaţii în raport cu timpul avem:

( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

ϕ+ω+=ωϕ+ω+=

ϕ+ω+=ωϕ+ω+=

tcosry/tcosvyytsinrx/tsinvxx

000

000

unde

qBp

Bqc

Evvr 0

200 ==

ω= ,

cu proiecţia impulsului în planul . 0p xOy Din condiţia rezultǎ 0v z =& z0z v.constv == şi deci: tvzz z00 += . Ecuaţiile descriu poziţia unei particule care descrie în planul un cerc

de ecuaţie , cu raza datǎ de expresia

xOy

( ) ( ) 220

20 ryyxx =−+−

qBp0 . Peste


aceastǎ mişcare circularǎ se suprapune o deplasare uniformǎ de-a lungul axei Oz cu viteza ǎ cu axa paralelǎ pul magnetic şi

Dacǎ 0v z0 = , particula descrie un cerc într-un plan perpendicular pe

z0vcu

. Mişcarea rezultantǎ este deci o spiral cu câmraza qB/pr 0= .

Br

.

Pentru particulele nerelativiste 2c m/qBE/Bqc ≅=ω . 0

3.6. O particu asa relativistǎ m se mişcǎ cu viteza constantǎ ulǎ cu m

r faţǎ de

sistemul inerţial S . Sǎ se calcu a particulei mleze sa relativistǎ suratn observ f , care se deplaseazǎ form faţǎ de

sa de repaus a particulei, atunci:

ma 'm uni

ǎ ǎ de cu viteza u ator a lat în sistemul S

este ma

' Sv paralelǎ cu Ox . Rezolvare:

Dacǎ m0

22'

022

0

c/u1

m'm;

c/u1

mm

−=

−=

şi de aici rezultǎ22'

22

c/u1

c/u1m'm−

−= .

Calculǎm

( ) ( )( )

( ) ( )( ).

c

vu1

c/v1uuvu

c

vu1

c/v1uuvuuuuu 2' −

2

2x

222x

22x

2

2x

222z

2y

2x2'

z2'y

2'x

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−+−=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−++=++=

Prin urmare

2

2x

2

2

2

2

2

2x

2

2

2

2x

2

22x

2u1 =−

2'

c

vu1

cu1

cv1

c

vu1

cv1

c

u

cu

cv

cu

1c

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

− .


Combinând relaţiile, obţinem:

2

2

x2

cv1

ucv1

m'm

−

−⋅= .

3.7. Densitatea unui corp în repaus este 0ρ . Sǎ se determine viteza referenţialului

i m re decât în care densitatea sa este cu 40% ma a 0ρ .

Rezolvare:

Densitatea corpului în repaus este . Pentru un corp în 000 V/m=ρmişcare cu viteza v , volumul se contractǎ astfel cǎ V/m=ρ , unde

220 c/v1/mm −= şi 22

0 c/v1VV −= .

72cv = . Astfel, 2,0

−

0

0 =ρ

ρρ

ceea ce conduce la

Postulatele teoriei relativitatii restranse. Transformarile Lorentz

Documents