Pop Ma Nu a is 11

n

Maria Augusta Ferreira Neves | Luís Guerreiro | Ana Moura

11

MatemáticaMatemática • 11.o ano

www.portoeditora.pt/manuais

GUIA DO PROFESSOR

Índice

ÍNDICE

2

1. Resolução de problemas envolvendo triângulos 4

2. Ângulo e arco generalizado. Funções trigonométricas.Resolução de equações trigonométricas 15

3. Produto escalar no plano e no espaço 25

4. Complementos de geometria analítica no plano 33

5. Complementos de geometria analítica no espaço 39

6. Introdução ao estudo da programação linear 48

GEOMETRIA II

1

1. Funções racionais 54

2. Funções irracionais. Radicais 71

3. Operações com funções. Resolução de problemas envolvendo funções 80

4. Taxa média de variação e taxa de variação de uma função. Cálculo da derivada de algumas funções 93

FUNÇÕES II

2

1. Sucessões. Sucessões monótonas. Sucessões limitadas 100

2. Progressões aritméticas e progressões geométricas 107

3. Limites de sucessões 114

SUCESSÕES

3

2004 I S B N 9 7 2 - 0 - 9 0 6 1 7 - 0Execução gráfica: Bloco Gráfico, Lda. • R. da Restauração, 387 4050-506 PORTO • PORTUGAL

Apresentação

ApresentaçãoEstamos perante a publicação de um novo livro de Matemática para o 11.° ano.

A experiência dos últimos anos, os trabalhos de investigação que fizemos e

acompanhámos permitiram-nos evoluir para um novo livro, com uma nova estru-

tura e abordagem das matérias, matérias essas apresentadas partindo de exemplos

em contextos reais.

Na abordagem procura-se orientar o pensamento dos alunos usando a desco-

berta guiada e levando-os a compreender os processos de resolução de problemas.

A conexão entre os conteúdos e outros saberes prévios dos alunos foi uma das

nossas opções metodológicas.

Sugerem-se ainda alguns exemplos práticos relacionando a informação mate-

mática com outros conhecimentos da vida real ou de outras ciências.

A solicitação constante dirigida aos alunos para que expliquem e justifiquem

todos os processos usados na resolução dos problemas é uma das mais-valias

deste manual, ao obrigar o aluno ao raciocínio constante.

Para facilitar o estudo e a aprendizagem propõe-se diversos exemplos e problemas

resolvidos com explicações complementares (que acompanham a resolução a cor

azul).

Consideramos que o aluno depois de compreender as matérias deve praticar

e, para tal, o livro disponibiliza um número muito significativo de exercícios e

de problemas.

Porém, a carga horária da disciplina é insuficiente para que se possam resolver

na aula todos os problemas; como tal, optou-se por incluir a sua resolução no

livro do professor. Assim, o professor pode fotocopiar as resoluções dos problemas

que não tenham sido analisados e resolvidos na aula, permitindo, deste modo, que

o aluno tenha acesso a toda a informação que eventualmente possa necessitar.

No final do livro do professor são, ainda, disponibilizadas indicações específicas

sobre a utilização das calculadoras gráficas.

Agradecemos a todos e em especial aos nossos consultores que de uma forma

ou de outra influenciaram o nosso trabalho.

Aprendemos com todos ao partilhar diferentes opiniões, interagindo uns com

os outros.

Os nossos agradecimentos pela vossa ajuda que, por certo, está aqui integrada.

Os autores

3

1 Resolução de problemas envolvendo triângulos

1 Resolução de problemas envolvendotriângulos

1.1. sin q = �187� ; cos q = �

1157� ; tan q = �

185� ; Pág. 16

1.2. sin q = �1123� ; cos q = �

153� ; tan q = �

152� ;

1.3. sin q = �35

� ; cos q = �45

� ; tan q = �34

� ;

1.4. sin q = ��23�� ; cos q = �

12

� ; tan q =�3� ;

1.5. sin q = 0,6 ; cos q = 0,8 ; tan q = 0,75 ;

1.6. sin q = ��22�� ; cos q = �

�22�� ; tan q = 1 .

2.1. sin (25°) ) 0,42 ; 2.2. cos (37°) ) 0,80 ;

2.3. tan (85°) ) 11,43 ; 2.4. tan (12°) ) 0,21 .

3. Num triângulo [ABC] , rectângulo em A , tem-se

que:

• A�B� , A�C� e B�C� são números positivos

• A hipotenusa [BC] é o maior dos lados,

logo, 0 < < 1 e 0 < < 1 , ou seja,

0 < sin q < 1 e 0 < cos q < 1 .

Como A�C� pode ser um número positivo qualquer,

o mesmo acontece com tan q .

4.1. (51,34)° (2 c. d.) ; Pág. 174.2. (70,53)° (2 c. d.) ;

4.3. 30° ;

4.4. 45° .

5.1. ; q ) 56,31° ;

5.2. ; q ) 14,48° ;

5.3. ; q ) 78,46° ;

5.4. ; q = 30° ;

5.5. ; q = 30° ;

5.6. ; q ) 16,43° .

6. sin �cos- 1 ��13

�� ) 0,94° ; tan �cos- 1 ��13

�� ) 2,83

sin a ) 0,94° ; tan a ) 2,83 .

7. tan �sin- 1 ��13

�� ) 0,35° ; cos �sin- 1 ��13

�� ) 0,94

tan a ) 0,35° ; cos a ) 0,94 .

8. cos (tan- 1 (�5�)) ) 0,408 ; sin (tan- 1 (�5�))) 0,913

cos a ) 0,408 ; sin a ) 0,913 .

9. a2 = b2 + c2 ; sin q = �ac

� ; cos q = �ba� ; tan q = �

bc

� .

9.1. c = 6 ; b = 8

a2 = 82 + 62 § a = 10

sin q = �ac

� = �160� = �

35

�

cos q = �ba� = �

180� = �

45

�

tan q = �bc

� = �68

� = �34

�

9.2. a = 7 ; b = 4

72 = 42 + c2 § c =�33�

sin q =��

733�� ; cos q = �

47

� ; tan q =��

433�� ;

9.3. a = 29 ; c = 21

292 = b2 + 212 § b = 20

sin q = �2219� ; cos q = �

2209� ; tan q = �

2210� ;

9.4. a = �13

� ; b = �14

�

��13

��2

= ��14

��2

+ c2 § c2 = �19

� - �116�

§ c = ��1744�� § c = �

�12

7��

sin q = = ��47�� ; cos q = = �

34

� ;

tan q = = ��37�� .

��12

7��

�

�14

�

�14

�

�

�13

�

��12

7��

�

�13

�

A

B

C

a

b

c

q

5 V√2�

2

V√3

�

3

V√3�

5 1�

4 1�

3

2�

Por outro lado, se, por

exemplo, A�B� = 1 ,

tan q = �A

A

��B

C

�� = A�C�

A B

C

�

A�B��B�C�

A�C��B�C�

4

Geometria II

Geometria II

10.1.

A�B�2+ B�C�

2= A�C�

2

A�B�2+ x2 = 1 § A�B�

2= 1 - x2

§ A�B� =�1 - x2�

sin q = �1x

� = x

cos q =�1 - x2�(sin q) (cos q) = x �1 - x2� ;

10.2.

A�B�2+ B�C�

2= A�C�

2

x2 + B�C�2= 25 § B�C�

2= 25 - x2

(tan q)2 = � �2

= =�25

x-2

x2

� ;

10.3.

A�B�2+ B�C�

2= A�C�

2

32 + x2 = A�C�2§ A�C�

2= x2 + 9

(sin q) * (cos q) = * =

=�x2

3+x

9� ;

10.4.

A�B�2+ B�C�

2= A�C�

2

A�B�2+ x2 = 4 § A�B� =�4 - x2�

sin q = �B�2C�� = �

2x

� ; cos q = �A�2B�� =�

�42- x2��

�4 (

csoisn

qq)2

� = = = .

11.1. sin 30° +�3� tan 60° - 2 sin 60° Pág. 18

= �12

� +�3� *�3� - 2 * ��23�� = �

12

� + 3 -�3�

= �72

� -�3� ;

11.2. sin 30° - 2 cos 60° -�2� cos 45° +�3� tan 30°

= �12

� - 2 * �12

� -�2� * ��22�� +�3� * �

�33��

= �12

� - 1 - 1 + 1 = - �12

� .

12.1. �12

x,37� = sin 30° § x = 12,37 * �

12

� Pág. 19

§ x = 6,185 m ;

12.2. �1x2� = cos 60° § 12 = x * �

12

� § x = 24 m ;

12.3. �1x5� = cos 45° § x = 15 * �

�22��

§ x =�15

2�2�� ) 10,61 m ;

12.4. �8x

� = tan 30° § x = 8 * ��33��

§ x =�8 �

33�

� ) 4,62 m ;

12.5. �6x

� = tan 60° § x = 6 �3� ) 10,39 m ;

12.6. �12

x,5� = cos 30° § x = 12,5 * �

�23��

§ x =�25

4�3�� ) 10,83 m .

13.1. �1x5� = tan 48° § x =�

tan1548°� Pág. 21

§ x ) 13,51 m ;

13.2. �2h4� = sin 9,5° § h = 24 * sin 9,5°

§ h ) 3,96 m ;

13.3. tan q =�30

4+00

50� § tan q = �

15

� ;

q = tan- 1 ��15

�� ) 11,3° ;

13.4. �8x� = tan 4,5° § x =�

tan84,5°�

§ x ) 101,6 m ;

13.5. �1x0� = tan 53° § x = 10 tan 53°

h = 10 tan 53° + 1,5 ) 14,8 m ;

13.6. �50x0

� = sin 18° § x = 500 sin 18°

A�B� = 2x = 1000 sin 18° ) 309 m ;

500 m

18ºx

x

1,5

53º

10 m

1,5 m

2x2

��4 - x2�

4� �x4�

2

�

�

��4

2- x2��

4 ��2x

��2

�

��4

2- x2��

A B

C

x2

q

A�B�* B�C��

(A�C�)2

A�B��A�C�

B�C��A�C�

A B

C

x

3

q

B�C�2

�A�B�

2B�C��A�B�

A B

C

x

5

q

A B

C

x1

V√√1- x2

q√ √

5


13.7.

�3a� = cos 48° § a =�

cos348°�

�3b

� = sin 62° § b =�sin

362°�

�3c�= sin 45° § c =�

sin345°�

a + b + c =�cos

348°� +�

sin362°� +�

sin345°�

) 12,12 m ;

13.8. a)

tan (MEWD) = �85

� ; MEWD = tan- 1 ��85

��AEWD = 2 tan- 1 ��

85

�� ) 116,0° ;

b) tan (MEWC) = �45

� ; MEWC = tan- 1 ��45

��BEWC ) 2 tan- 1 ��

45

�� ) 77,3° ;

c) CEWD = MEWD - MEWC ) tan- 1 ��85

�� - tan- 1 ��45

��) 19,33 .

14. Pág. 22

x ) 67,85 m ; y ) 61,09 m .

15.

784 m (0 c. d.) .

16.

2,58 m (2 c. d.) .

17. Pág. 23

�3x� = sin 35° § x = 3 sin 35° ) 1,721

�3a

� = cos 35° § a = 3 cos 35°

b = 5 - a = 5 - 3 cos 35° ) 2,543

E�P� =�x2 + b2�)�(1,721�)2 + (2�,543)2� ) 3,07

3 km (0 c. d.) .

18. �1x2� = sin 45° § x = 12 sin 45° = 6 �2�

�1b2� = cos 45° § b = 12 cos 35° § b = 6 �2�

a = 30 - 6 �2�

x3

E

A P35º

a b

5

x ) 2,582

y ) 2,868

abc

§x = y tan 42°

y =�tan 4

72t°an+

3ta2n°

32°�

adbdc

§

x = y tan 42°

y (tan 42° + tan 32°) = 7 tan 32°

abc

§

x = y tan 42°

y tan 42° = 7 tan 32° - y tan 32°

abc

§

�yx

� = tan 42°

�7 -

xy

� = tan 32°

adbdc

x

42º 32º7 – yy

h ) 783,92

x ) 657,78

abc

§h = x tan 50°

x =�tan

75000°ta-nta3n0°

30°�

adbdc

§

h = x tan 50°

x (tan 50° - tan 30°) = 700 tan 30°

abc

§

h = x tan 50°

x tan 50° = x tan 30° + 700 tan 30°

abc

§

�hx� = tan 50°

�x +

h700� = tan 30°

adbdc

30º700 m x

h

50º

y ) 61,09

x ) 67,85

adbdc

§y = x tan 42°

x =�tan

14020°ta-nta2n0°

20°�

adbdc

§

y = x tan 42°

x (tan 42° - tan 20°) = 100 tan 20°

abc

§

y = x tan 42°

x tan 42° = 100 tan 20° + x tan 20°

abc

§

�yx� = tan 42°

�100

y+ x� = tan 20°

adbdc

20º100 x

y

42º

M D

E

4 4C

5

a b c 3

45º62º

48º3

6

Geometria II

A�C� =�x2 + a2� =�(6 �2�)2� + (30 -�6 �2�)2�) 23,13

23,13 km (2 c. d.) .

19.1. Pág. 25

�1h2� = sin 53° § h = 12 sin 53°

A = 24 * 12 sin 53° ) 230 m2 ;

19.2. �1h5� = sin 60° § h = 15 sin 60° = 15 �

�23��

A = 30 * 15 ��23�� = 225 �3� ) 389,7 m2 .

20.1. 360° : 8 = 45°

�2h,5� = tan (67,5)° § h = 2,5 tan (67,5)°

A = 8 *

A = 50 tan (67,5)° ) 120,71 m2 ;

20.2.

�2x0� = tan 60° § 20 = x �3� § x =

Lado: L = 2x =

A = 6 *�20

2* L� = 60 *

= 800 �3� ) 1385,6 m2 .

21.1.

A�C�2= 62 + 102

A�C� =�136� ; tan a =

a = tan- 1 � � ) 23,21° ;

21.2.

D�B�2= a2 + a2

D�B� =�2a2� =�2� a

tan (BDWG) = =

BDWG = tan- 1 � � ) 35,26° .

22.1.

ou

P�C� =�(6 + 1�2)2 + 1�22� =�468� ) 21,63 cm ;

22.2. tan a = �1182� = �

32

�

a = tan- 1 ��32

�� ) 56,31° .

E

A C

P

B

F G

a

H

E BP F

G C

12

126

a

1��2�

1��2�

a��2� a

G

a

Ba

AD

5��136�

5��136�

E

A C

5a

V√√136√

40��3�

40��3�

20��3�

60º20

x

5 * 2,5 tan (67,5)°��

2

45º5

h67,5º

2,5’

45º

h

60º

30

30º

90º15

h

53º

24

12

A B

C

12x45º

a b

30

7


23. tan a = �53

� e 0 < a < 90° Pág. 29

1 + tan2 a =�cos

12 a�

1 + ��53

��2

=�cos

12 a� § cos2 a = �

394� ‚M

cos a > 0

§ cos a =

sin2 a = 1 - cos2 a = 1 - �394� = �

2354� ‚M

sin a > 0

sin a =

sin a - 3 cos a = - =

= = .

24. sin a = �14

� e 0 < a < 90°

cos2 a = 1 - sin2 a = 1 - �116� = �

1156�‚M

sin a > 0

cos a =

tan a = = =

tan a - cos a = - = .

25.1. (sin2 a + cos2 a)6 = 16 = 1 ;

25.2. 1 - 2 sin2 a = cos2 a - sin2 acos2 a - sin2 a = (1 - sin2 a) - sin2 a

= 1 - 2 sin2 a ;

25.3. �1

c+os

s

2

ina

a� = 1 - sin a

�1

c+os

s

2

ina

a� =�11-+

ssiinn

2

aa

�

= = 1 - sin a ;

25.4. tan a +�tan

1a� =�

sin a1cos a�

tan a +�tan

1a� =�

csoins

aa� +�

csoins

aa

�

=�sinco

2

sa

a+scinos

a2 a

� =�sin a

1cos a� ;

25.5. (sin a + cos a)2 = 1 + 2 sin a cos a(sin a + cos a)2 = sin2 a + cos2 a + 2 sin a cos a

= 1 + 2 sin a cos a ;

25.6. (cos a - sin a)2 = 2 - (cos a + sin a)2

§ cos2 a + sin2 a - 2 sin a cos a= 2 - (cos2 a + sin2 a + 2 sin a cos a)

§ 1 - 2 sin a cos a� = 2 - 1 - 2 sin a cos a�

§ 1 = 1 ;

25.7. �1 + c

1os a� +�

1 - c1os a� =�

sin22 a�

�1 + c

1os a� +�

1 - c1os a�

= =�1 - c

2os2 a�

=�sin

22 a� ;

25.8. �(csoins2

aa+-csoisn2

aa)2� =�1

1-+

ttaann

aa�

�(csoins2

aa+-csoisn2

aa)2�

=

=�csions

aa+-

csoins

aa� =

= =�11-+

ttaann

aa� ;

25.9. �co

1s2 x� +�

sin12 x� =�

sin2 x -1

sin4 x�

• �co

1s2 x� +�

sin12 x� =�s

siinn

2

2

xx.+

ccooss2

2

xx

�

=�sin2 x.

1cos2 x�

• �sin2 x -

1sin4 x� =�

sin2 x (11- sin2 x)�

=�sin2 x.

1cos2 x� ;

25.10. �1 -

sinco

as a

� +�1 -

sinco

as a� -�

sin2

a�= 0

�1 -

sinco

as a

� +�1 -

sinco

as a� -�

sin2

a�

=

= = 0 .

1.1. Verdadeiro. A hipotenusa é sempre Pág. 34maior do que qualquer um dos catetos;

1.2. Verdadeiro. Os catetos podem ter o mesmo com-

primento;

1.3. a) Verdadeira.

Como 0 < c < a , 0 < �ac

� < 1 .

Logo, 0 < sin a < 1 ;

B

c

AbC

a

�

1 + cos2 a� - 2 cos a� + 1 - cos2 a� - 2 + 2 cos a��

sin a (1 - cos a)

(1 - cos a)2 + sin2 a - 2 (1 - cos a)��

sin a (1 - cos a)

1 -�csoins

aa�

��

1 +�csoins

aa

�

�cos a

co-s a

sin a�

��

�cos a

co+s a

sin a�

(cos a - sin a) (cos a + sin a)��

(sin a + cos a)2�

(1 - cos a) + (1 + cos a)��(1 + cos a) (1 - cos a)

(1 - sin a) (1 + sin a)��

1 + sin a

- 11 �15��

60�15��

4�15��

15

�15��

151

��15�

�14

�

�

��

415��

�15��

4

- 2 �34��

17- 4 �34��

34

- 4��34�

9��34�

5��34�

5��34�

3��34�

8

Geometria II

b) Verdadeira.

Como 0 < b < a , 0 < �ba� < 1 .

Logo, 0 < cos a < 1 ;

c) Verdadeira, pois se c > 0 e b > 0 , tem-se

�bc

� > 0 , ou seja , tan a å ]0 , + ?[ .

1.4. Verdadeiro. sin2 a = sin a * sin a 0 sin (a.a) ;

1.5. Verdadeiro. sin2 a = sin a * sin a = (sin a)2 ;

1.6. e 1.7. Verdadeiras;

h2 + �14

� = 1 § h = �1 - �14

�� § h =

sin 30° = = �12

�

sin 60° =

1.8.Verdadeira.

tan 45° = �aa� = 1 .

2. (A) sin 45° + cos 45° = + =�2� (V)

(B) (tan 45°)5 = 15 = 1 (V)

(C) tan 45° > tan 30° § 1 > (V)

(D) tan a =�csoins

aa� (F)

(E) �cos

12 a� = 1 + tan2 a (V)

(F) cos 60° = �12

� = sin 30° (V)

(G) (tan 60°)4 = (�3�)4 = 32 = 9 (V)

(H) cos a = = = (F)

(I) sin a = �1x� (V)

(J) cos a = (V)

(K) tan a = = (V)

São todas verdadeiras, excepto (D) e (H) .

3.1. �3x� = sin 60° § 3 = x * �

�23��

§ x = § x = 2 �3� .

3.2. �5x� = tan 30° § x = 5 tan 30° § x = ;

3.3. �1x0� = cos 45° § x = § x = 5 �2� .

4.1. Consiste em determinar as medidas Pág. 35dos seus elementos (lados e ângulos);

4.2. • a2 = 122 + 52 § a = 13 m

tan BW = �152� ; BW ) 22,62°

CW = 90° - BW ) 67,38°

• CW = 90° - 27° = 63°

= tan 27° § A�B� =�tan

627°� ) 11,78°

= sin 27° § A�C� =�sin

627°� ) 13,22 m

5.

A = A˚ - A

=�15 *

215

� -�π *

8152

� ��34650

� = 8�= 112,5 - 28,125 π ) 24,14 m2

A

C

B

45º

15 m

D

6�A�C�

6�A�B�

C

A B

27 °

6

C

A B12

5 a = 13

10 �2��

2

5 �3��

3

6��3�

�x2 - 1��

x2 - 11

��x2 - 1�

�x2 - 1��x

A B

C

x1

V√√x2 - 1

a√ √

3 �13��

133

��13�

3��32 + 22�

�3��

3

�2��

2�2��

2

45ºa

a

�3��

2

�12

�

�1

�3��

2

30º

60º

1

12

h =2V√3

1 1

9


6.1. a)

�1a2� = cos 62° § a = 12 cos (62°)

�1b2� = sin 62° § b = 12 sin (62°)

A = �a2b� = ) 29,85 m2 ;

b)

�6a,2� = cos 33° § a = 6,2 cos (33°)

�6h,2� = sin 33° § h = 6,2 sin (33°)

A =

) 14,69 m2 ;

6.2. a) • A1 = 20 * 8 = 160 m2

• A2 =�8 *

28

� = 32 m2

�2a8� = tan (43,5°)

a =�tan (

2483,5°)�

• A3 =�a * (2

20 + 8)� = 14a =

= 14 *�tan (

2483,5°)� ) 413,08 m2

A ) (160 + 32 + 413,08) m2 ) 605,08 m2 ;

b)

�18

a,13� = tan (29,2)°

a =�tan

1(82,193,2)°

� ) 32,4398 m

A1 =�18,13 *

232,4398� ) 294,067 m2

�18

b,13� = sin (29,2)°

§ b =�sin

1(82,91,32)°

� § b ) 37,1623

�bc

� = tan (30,1)°

§ c =�sin

1(82,91,32)°

� * tan (30,1)°

§ c ) 21,5422

A2 = �b2c� ) 400,280 m2

A1 + A2 ) (294,067 + 400,280) m ) 694,35 m2 ;

c)

�4a,2� = tan 43° § a =�

tan4,

423°

�

�4b,2� = tan 40° § b =�

tan4,

420°

�

A = A1 + A2 + A3

=�a *

24,2� + 2 * 4,2 +�

4,22* b�

= 2,1 *�tan

4,423°

� + 8,4 + 2,1 *�tan

4,420°

� ) 28,37 m2

d) �ha� = tan 28° § a =�

tanh28°�

A = * h

= �h2

2

� �4,4 +�tan

128°�� ) 3,14 h2 m2 .

7.1. Pág. 36

A B

C

V

D

M

10 m

N

5 m

�2,2 h +�tan

h28°�� + 2,2 h

��2

28ºa2,2 h

h

2,2 h

h

43º 40º

A1

A2

A34,2 4,2

2

a b

(29,2)º

(30,1)º

A1

A2b

C

BA a

18,13

D

A B

C

D

20 A1

A2

20 A3

a843,5º

88

(3,5 + 6,2 cos (33°)) (6,2 sin (33°))��

2

6,2 m

33ºa

h

3,5 m

12 cos 62° * 12 sin 62°��

2

b

62º

a

12 m

10

Geometria II

A�C�2= 102 + 102

A�C� = 10 �2� ; A�M� = 5 �2�

tan (VAWC) = = =

VAWC = tan- 1 � � ) (35,26)°

V�M� = M�N� = 5

V�N� =�52 + 52� = 5 �2�

tan a = =

a = tan- 1 � �BVWC = 2a ) 70,53°

7.2. a) Face

�26,5� = sin a

a = sin- 1 ��26,5��

AVWB = 2a ) (49,25)° ;

b) Área da face

a2 + 2,52 = 62 § a =�29,75�

Af =

Área da base

h2 + 2,52 = 52

§ h =�18,75�

Ab =

Área total

+ 3 * ) 51,73 m2 .

8.1.

• tan (EBWC) = �23,,12�

EBWC = tan- 1 ��23,,12�� ) (33,27)°

• A�C� =�5,32 +�3,22� =�38,33�

tan (EAWC) =

EAWC = tan- 1 � � ) (18,74)°

• F�C� = 5,32 + 2,12 =�32,5�

tan (BFWC) =

BFWC = tan- 1 � � ) (29,31)° ;

8.2. Aresta do cubo: �3

15,625� m = 2,5 m

• A�B� = 2,5 m;

• A�F� =�2,52 +�2,52� =�12,5� = 2,5 �2� ) 3,53 m

• A�G�=�2,52 +�2,52 +�2,52� = 2,5 �3� ) 4,33 m

tan (FAWG) = = = =

FAWG = tan- 1 � � ) 35,26°

cos (HGWA) = = =

HGWA = BHWG = cos- 1 � � = 54,7356

GOWH = 180° - 2 HGWA ) 70,53° ;

8.3.

A B

C

GH

E

D

F

4

3

10

�3��

3

�3��

32,5

�2,5 �3�

H�G��A�G�

O

H G

A B

�2��

2

�2��

21

��2�

2,5�2,5 �2�

F�G��A�F�

A B

C

GH

E

D

F

O

3,2��32,5�

3,2��32,5�

2,1��38,33�

2,1��38,33�

A B

C

EF

D

5,3

3,2

2,1

5 �29,75��

25 �18,75��

2

5 *�18,75��

2

h 55

2,5

5 *�29,75��

2

BA

V

2,5

a6 6

a

�2��

2

�2��

25

�5 �2�

�2��

2

�2��

25

�5 �2�

V�M��A�M�

5B CN

V

5V√2

a

11


A�C� =�102 + 4�2� =�116�

tan (ACWE) = =

ACWE ) (15,56)°

HDWF = EAWG ) 90° - 15,56° ) 74,44°

H�C� =�102 + 3�2� =�109�

tan (ECWH) = =

ECWH ) (20,96)° .

9.1. Pág. 37

tan (a) = �3105� ; a = tan- 1 (2)

tan (b) = �2105� ; b = tan- 1 ��

43

��a = a - b = tan- 1 (2) - tan- 1 ��

43

�� ) (10,30)° ;

9.2.

�1a5� = cos (42°) § a = 15 cos 42°

�1h5� = sin (42°) § h = 15 sin 42°

�hb

� = tan (35°) § h = b tan (35°)

§ b =�tan (

h35°)� § b =�15

tasnin354°2°

�

A�B� = a + b = 15 cos 42° +�15ta

snin354°2°

� ) 25,48 m ;

9.3.

�2a2� = tan (25°) § a = 22 tan (25°)

�2b2� = cos (25°) § b =�

cos2(225°)�

a + b = 22 tan (25°) +�cos

2(225°)� ) 34,53 m ;

9.4. a)

�50a0

� = sin (40°)

a = 500 sin (40°)

x = 2a = 1000 sin (40°)

x ) 642,79 m ;

b)

Logo,

x =�tan

2(03,123,3)°

� -�tan

2(05,133,4)°

�

x ) 16,89 m ;

c)

0 Logo, x =�15,t1a2ns(i6n2(,438)°,2)°

� ) 5,92 m ;

d)

y = �18,232� - 5,32�2� ) �304,03�05� ) 17,4365

�5,

y32� = tan a

a ) tan- 1 ��175,,433265

�� ) 16,9673

�yx

� = sin a § x = y sin a§ x ) 17,4365 * sin (16,9673)°

x ) 5,09 m .

5,32yx

18,23

a

y = 15,12 sin (48,2)°

x =�tan (6

y2,3)°�

adbdc

§�15

y,12� = sin (48,2)°

�yx�= tan (62,3)°

adbdc

48,2º 62,3º

y15,12

x

y =�tan

2(05,133,4)°

�

x + y =�tan

2(03,123,3)°

�

adbdc

§�20

y,13� = tan (53,4)°

�2x0+,1

y3

� = tan (32,3)°

adbdc

32,3º 53,4º

20,13

yx

40º

500 500

a

b a

22

25º

42º 35º

h15

A Ba b

20 m

10 m

20 m

ab

50 m

15 m

a

4��109�

E�H��H�C�

3��116�

E�A��A�C�

12

Geometria II

10.

11. Pág. 38

h = 24,42 m (2 c. d.) .

12.

�1a,5� = sin (28°) § a = 1,5 sin (28°)

�3b

� = cos (50°) § b = 3 cos (50°)

1 + a + b = 1 + 1,5 sin (28°) + 3 cos (50°)

) 3,63 m .

13.

h ) 2,58 + 1,7 = 4,28 m .

14. 35° 32’ ) (35,533)°

(35,53)° : 2 = (17,767)°

�48a0

� = sin (17,767)°

a = 480 sin (17,767)°

S�1�S�2� = 2a

= 2 * 480 sin (17,767)°

) 292,94 km .

15.1. EOW1O2 = 360° - 215° - 90° = 55°

O1OW2E = 360° - 208° - 90° = 62°

O1EWO2 = 180° - 55° - 62° = 63° ;

15.2. 90° - 55° = 35° ; 90° - 62° = 28°

�ha

� = tan 35°

�1500

h- a

� = tan 28°

adbdc

E

55º

62º

28º

35º h

O2208º

O1215º

a

1500 – a

1500 km

S1

480

17,68º

S2a

a ) 2,58

b ) 3,07

abc

§a = b tan 40°

b =�tan 4

30t°an-

2ta3n°

23°�

adbdc

§

a = b tan 40°

b (tan 40° - tan 23°) = 3 tan 23°

abc

§

a = b tan 40°

b tan 40° = b tan 23° + 3 tan 23°

abc

§

�ab

� = tan 40°

�b +

a3

� = tan 23°

adbdc

23º 40º

3 m b

a

1,7

90º

50º 3 mb

28ºa

1

1,52,2

h ) 24,42

x ) 84,87

abc

§

h = x tan 42°

x =�tan

1402°

ta-n

t2a5n°25°

�

adbdc

§

h = x tan 35°

x (tan 35° - tan 12°) = 80 tan 12°

abc

§

h = x tan 35°

x tan 35° = 80 tan 12° + x tan 12°

abc

§

�hx� = tan 35°

�80

h+ x� = tan 12°

adbdc

12ºh

x80 m

35º

h ) 9,67 m

x ) 10,74 m

abc

§h = x tan 42°

x =�tan

1402°

ta-n

t2a5n°25°

�

adbdc

§

h = x tan 42°

x (tan 42° - tan 25°) = 10 tan 25°

abc

§

h = x tan (42°)

x tan 42° = 10 tan (25°) + x tan (25°)

abc

§

�hx� = tan (42°)

�10

h+ x� = tan (25°)

adbdc

h

x10

25º 42º

13


E�O�1 =�a2 + h2� ) 1486,43 km .

16.

17. 180° - 39° -122° = 19° Pág. 3990° - 19° = 71°

90° - 39° = 122° - 71° = 51°

�5a0� = cos (19°) § a = 50 cos 19°

�5h0� = sin (19°) § h = 50 sin 19°

�hb

� = tan (39°) § b =�50ta

snin391°9°

�

B�C� = a + b = 50 cos (19°) +�50ta

snin391°9°

� ) 67,378 km

Vítor: 30 * t = 50 § t = �5300� § t = 1 h 40 min

Sara: 50 * t = 67,378 § t =�67

5,3078

�

§ t ) 1 h 21 min

A Sara demorou cerca de 1 h 21 min enquanto

que o Vítor demorou 1 h 40 min . Logo, a Sara

chegou primeiro.

18.

A�P� =�a2 + h2� ) 60,18 m

B�P� =�h2 + (1�00 - a�)2� ) 79,86 m

60,18 m de A e 79,86 m de B (2 c. d.) .

19.1. �3O�,C�6� = tan 87° § O�C� = 3,6 tan 87°

§ O�C� ) 68,69 cm ;

19.2. 5 m = 500 cm = O�C�

�530,60

� = tan (BAWO)

BAWO = tan- 1 ��530,60

�� ) 89,59° .

20.1. Triângulo [DEF]

• A =�2 *

22

� m2 = 2 m2

E�F� =�4 + 4� = 2 �2�

• P = (2 + 2 + 2 �2�) = 4 + 2 �2� m

A = 2 m2 ; P = (4 + 2 �2�) m ;

3,6 3,6 BA

O

87ºC

h = 48,063

a = 36,218

abc

§h = a tan 53°

a =�tan

15030°ta+nta3n7°

37°�

adbdc

§

h = a tan 53°

a (tan 53° + tan 37°) = 100 tan 37°

abc

§

h = a tan 53°

a tan 53° = 100 tan 37° - a tan 37°

abc

§

�ha� = tan 53°

�100

h- a� = tan 37°

adbdc

A B

P

53º 37ºa 100 - a

h51º

39º

71º

19ºabB C

A

50º

h ) 483,6

x ) 537,10

abc

§h = x tan 42°

x =�tan

54020°ta-nta2n5°

25°�

adbdc

§

h = x tan 42°

x (tan 42° - tan 25°) = 500 tan 25°

abc

§

h = x tan 42°

x tan 42° = 500 tan 25° + x tan 25°

abc

§

�hx� = tan 42°

�500

h+ x� = tan 25°

adbdc

25º 42º

500 x

h

a ) 852,5829

h ) 1217,6145

abc

§a = h tan (35°)

h =�tan 35°

15+00tan 28°�

adbdc

§

a = h tan (35°)

h (tan 35° + tan 28°) = 1500

abc

§

a = h tan (35°)

1500 - h tan (35°) = h tan (28°)

abc

§

14

Geometria II

20.2. Triângulo [ABC]

O ponto E é equidistante dos lados AB e BC .

Logo, BE é a bissectriz do ângulo ABC .

Como ABWC = 45° , ABWE = 22,5°

= tan (22,5°) § Q�B� =�tan (

12,52,5°)�

) 3,621 = P�B� = C�S� = C�R�

A�B� = A�C� = 1,5 + 2 + Q�B� ) 7,1213

C�B� = F�E� + C�S� + P�B�

= 2 �2� +�tan (

322,5)� ) 10,0711

A =�A�B�

2* A�C�� ) 25,36 m2

P = 2 A�B� + P�Q� ) 24,31 m .

21. Pela semelhança de triângulos.

21.1. DCWA = 28° ;

21.2. DAWC = 90° - 28° = 62° ;

21.3. �||

3

«

0

»AD

0

||� = sin (28°)

||«»AD||= 300 sin (28°) ) 140,84 .

2 Ângulo e arco generalizado. Funçõestrigonométricas. Resolução de equaçõestrigonométricas

1.1. 12° 6’ 36’’ = (12 + 6 : 60 + 36 : 602)° Pág. 42= (12,11)° ;

1.2. 52° 10’ 12’’ = (52 + 10 : 60 + 12 : 602)° = (52,17)° .

2.1. (15,35)° = 15° 21’ ; 0,35 * 60 = 21

2.2. (92,18°) = 92° 10’ 48’’ ; 0,18 * 60 = 10,8 ; 0,8 * 60 = 48

2.3. 216 000” = 60° ; 216 000 : 602 = 60

2.4. 1150’ = 19° 10’ . 1150 : 60 ) 19,17 ; 1150 - 19 * 60 = 10

3.1. 60° = 60 * �1π80� rad = �

π3

� rad ; Pág. 45

3.2. 300° = 300 * �1π80� rad = �

53π� rad ;

3.3. 120° 15’ = (120,25)° = 120,25 * �1π80� rad

= �478210

� π rad ) 2,10 rad ;

3.4. 15° 30’ = (15,5)° = 15,5 * �1π80� rad

= �3316π0

� rad ) 0,27 rad ;

3.5. 12° 12’ 10’’ = (12 + 12 : 60 + 10 : 602)°

= ��4336903

��° =�4336903

� * �1π80� rad ) 0,213 rad .

4.1. �56π� rad =�5 *

6180°� = 150° ;

4.2. �1118π

� rad =�11 *18180°� = 110° ;

4.3. 3,14 rad =�3,14 *π

180°� ) (179,91)° ;

4.4. 1 rad =�1 * π180°� ) (57,30)° ;

4.5. 0,2 rad =�0,2 *π180°� ) (11,46)° .

5. 2π ——— 2πrq ——— s s = qr

5.1. s = �π6

� * 5 = �56π� ) 2,62 cm ;

5.2. 155° = 155 * �1π80� rad = �

3316π

� rad

s = ��3316π

� * 6� cm = �3316π

� cm ) 16,23 cm ;

5.3. s = �π2

� * 1 = �π2

� cm ) 1,57 cm ;

5.4. 230° = 230 * �1π80� rad = �

2138π

� rad

�232π

� =�2138π

� * r § r =�2138π

� *�2138π

� § r = 9 cm ;

5.5. 9π = q * 6 § q = �96π� rad § q = �

32π� rad ;

5.6. 8 = 2r § r = 4 cm .

6. 360° —— π * 62 ; A =�2803*60

36π� = 28π ) 87,96 cm2

280° —— A

AL = 28π cm2 ) 87,96 cm2 .

7.1. a = 395° = 360° + 35° ; Pág. 4735° ; 1.° Q ;

7.2. �134π

� = 3π + �π4

� = 2π + �54π�

�54π� ; 3.° Q ;

13 | 41 3

395 | 360°35 1

28º28º

300

A

D

C

E�Q��Q�B�

A Q B

P

ED

F

S

R

C

2 m

1,5 m

1,5

m

1,5 m

22,5º

15

2 Ângulo e arco generalizado. Funções trigonométricas. Resolução de equações trigonométricas

7.3. 2100° = 5 * 360° + 300°

300° ; 4.° Q ;

7.4. �173π

� = 5π + �23π� = 4π + �

53π�

�53π� ; 4.° Q .

8.1. a = 220° = 180° + 40° ; a å 3.° Q Pág. 49sin (220°) < 0 ; cos (220°) < 0 ;

tan (220°) > 0 ;

8.2. a = 1500° = 4 * 360° + 60° ; a å 1.° Q

sin (1500°) > 0 ; cos (1500°) > 0 ;

tan (1500°) > 0 ;

8.3. �296π

� = 4π + �56π� = 4π + π - �

π6

� ; a å 2.° Q

sin ��296π

� rad� > 0 ; cos ��296π

� rad� < 0 ;

tan ��296π

� rad� < 0 ;

8.4. a = - �34π� = - π + �

π4

� ; a å 3.° Q

sin �- �34π� rad� < 0 ; cos �- �

34π� rad� < 0 ;

tan �- �34π� rad� > 0 ;

8.5. a = - 350° = - 360° + 10° ; a å 1.° Q

sin (- 350°) > 0 ; cos (- 350°) > 0 ;

tan (- 350°) > 0 ;

8.6. a = 1 rad ; a å 1.° Q

sin (1 rad) > 0 ; cos (1 rad) > 0 ; tan (1 rad) > 0 ;

8.7. a = 1° ; a å 11.° Q

sin (1°) > 0 ; cos (1°) > 0 ; tan (1°) > 0 ;

8.8. �234π

� = 5π + �34π� = 6π - �

π4

� ; a å 4.° Q

sin ��234π

�� < 0 ; cos ��234π

�� > 0 ; tan ��234π

�� < 0 .

9.1. sin �π2

� + tan π + 2 cos π - �13

� sin ��32π��

= 1 + 0 + 2 * (- 1) - �13

� (- 1) = 1 - 2 + �13

� = - �23

�;

9.2. - 3 cos �π2

� + sin π - 2 cos �32π� + tan 0 + cos 0

= - 3 * 0 + 0 - 2 * 0 + 0 + 1 = 1 .

10. Se P (x , y) for o ponto associado a um ângulo

a no círculo trigonométrico, tem-se - 1 ≤ x ≤ 1

e - 1 ≤ y ≤ 1 . Logo, como cos a é a abcissa

de P e sin a é a ordenada de P , tem-se

- 1 ≤ cos a ≤ 1 e - 1 ≤ sin a ≤ 1 .

11.1. �53π� = 2π - �

π3

� Pág. 54

sin ��53π�� = sin �- �

π3

�� = - sin �π3

� = -

cos ��53π�� = cos �- �

π3

�� = cos �π3

� = �12

�

tan ��53π�� = tan �- �

π3

�� = - tan �π3

� = -�3� ;

11.2. 150° = 180° - 30°

sin (150°) = sin (180° - 30°) = sin (30°) = �12

�

cos (150°) = cos (180° - 30°)

= - cos (30°) = -

tan (150°) = tan (180° - 30°)

= tan (30°) = - ��33�� .

12.1. cos ��87π�� = cos �π + �

π7

�� = - cos �π7

� ;

12.2. tan ��1192π

�� = tan �2π - �51π2�� = tan �- �

51π2��

= - tan ��51π2�� ;

12.3. sin (- 520°) = sin (- 360° - 160°)

= - sin (160°) = - sin (180° - 20°)

= - sin (20°) .

13.1. sin (π + x) + cos (2π - x) + tan (7π - x) -- cos (x - 3π) = - sin x + cos (- x) ++ tan (π - x) - cos (π - x) = - sin x + cos x -- tan x + cos x = 2 cos x - sin x - tan x ;

13.2. cos (x - π) + sin (7π - x) - tan (π - x)

= cos (x - π) + sin (π - x) + tan x

= - cos x + sin x + tan x .

14. Pág. 59

Em radianos

Em graus

O gráfico de y2 = - sin x é simétrico do gráfico

de y1 = sin x , relativamente ao eixo 0x .

Como sin (- x) = sin x , A x å R , fazendo

y1 = sin x e y2 = sin (- x) obtemos o mesmo

resultado.

15. • Os gráficos de y1 = cos x e Pág. 61y2 = - cos x são simétricos relativamente ao

eixo 0x .

360°- 360°

2π- 2π

�3��

2

�3��

2

17 | 32 5

2100 | 360°300 5

Y1 = sin x

16

Y2 = - sin x

Y2 = - sin x

Y1 = sin x

Geometria II

• Os gráficos de y1 = cos x e y2 = cos (- x) são

coincidentes porque cos (- x) = cos x , A x åR .

16. O gráfico de y2 = cos x pode obter-se do gráfico

de y1 = sin x por um deslocamento de �π2

� na

direcção de 0x e no sentido negativo.

17. Pág. 62

17.1. tan x = 1 § x = �π4

� › x = �54π�

tan x = - 1 § x = �34π� › x = �

74π�

tan x = 0 § x = 0 › x = π › x = 2π .

18. O gráfico de y1 = 3 sin x resulta de Pág. 63uma expansão na vertical do gráfico de y = sin x ,

segundo o factor 3 .

O gráfico de y2 = sin (2x) resulta de uma con-

tracção do gráfico de y = sin x , na direcção de

0x e segundo o factor �12

� .

O gráfico de y3 = 3 sin (2x) resulta de uma con-

tracção do gráfico de y = sin (x) , na direcção de

0x e segundo o factor �12

� , seguida de uma

expansão na direcção de 0y segundo o factor 3 .

O gráfico de y4 resulta do gráfico de y = sin x

mantendo os pontos de ordenada positiva ou

nula e efectuando uma simetria relativamente ao

eixo dos xx dos restantes pontos.

19. Por exemplo:

19.1. y1 = cos x e y2 = 2 + cos x ;

19.2. y1 = cos x e y2 = sin x ;

19.3. y1 = cos x e y2 = 2 + sin x .

20.1. sin x = - 1 Pág. 67§ x = �

32π� + 2kπ ,k å Z ;

20.2. sin x = 0 § x = kπ , k å Z ;

20.3. 2 sin x + 1 = 0 § sin x = - �12

�

§ x = - �π6

� + 2kπ › x = π + �π6

� + 2kπ , k åZ ;

20.4. sin (2x) = 0 § 2x = kπ , k å Z

§ x = �k2π� , k å Z ;

20.5. sin x = �15

� sin- 1 ��15

�� ) 0,201

§ x = 0,201 + 2kπ › x = π - 0,201 + 2kπ ,

k å Z§ x = 0,201 + 2kπ › x = 2,94 + 2kπ , k å Z

(2 c. d.) ;

20.6. sin (2x) = ππ ∫ [- 1 , 1] . A equação é impossível ;

20.7. sin x = - ��22��

§ x = - �π4

� + 2kπ › x = π + �π4

� + 2kπ , k å Z

§ x = - �π4

� + 2kπ › x = �54π� + 2kπ , k å Z ;

y4 = |sin(x)|

0 x

y

1

�2

-�- �2

�

y3 = 3 sin (2x)3

-3

0 x

y

�2

-�- �2

�

-1

0 x

y

1y2 = sin 2x

�2

-�- �2

�

3

-3

0 x

y

y1 = 3 sin x

�2

-�- �2

�

2π- 2π

360°- 360°

17

Y1 = cos x

Y2 = - cos x

Y1 = sin xY2 = cos x

M11FNAGP - 2


20.8. sin (3x) = - ��23��

§ 3x = - �π3

� + 2kπ › 3x = π + �π3

� + 2kπ ,

k å Z

§ x = - �π9

� +�23kπ� › x = �

49π� +�

23kπ� , k å Z .

21.1. 6 sin x - 3 = 0 ‹ x å [0 , 2π]

§ sin x = �12

� ‹ x å [0 , 2π]

§ x = �π6

� › x = �56π� ;

21.2. 2 sin x = �12

� ‹ x å [0 , 2π]

§ sin x = �14

� ‹ x å [0 , 2π]

§ x ) 0,253 › x ) 2,889 ;

sin- 1 ��14

�� ) 0,253 ; π - 0,253 ) 2,889

21.3. sin ��2x

�� = ��23�� ‹ x å [0 , 2π]

§ ��2x

� = �π3

� + 2kπ › �2x

� = π - �π3

� + 2kπ� ‹‹ x å [0 , 2π] , k å Z

§ �x = �23π� + 4kπ › x = �

43π� + 4kπ� ‹

‹ x å [0 , 2π] , k å Z

§ x = �23π� › x = �

43π� ;

21.4. sin ��2x

�� = - ��23�� ‹ x å [0 , 2π]

§ ��2x

� = - �π3

� + 2kπ ‹ �2x

� = π + �π3

� + 2kπ�‹ x å [0 , 2π] , k å Z

§ �x = - �23π� + 4kπ › x = �

83π� + 4kπ� ‹

‹ x å [0 , 2π] , k å Z

§ x å O .

22.1. y1 = sin (2x) ; y2 = - �12

�

sin (2x) = - �12

� § 2x = - �π6

� + 2kπ ›

› 2x = �76π� + 2kπ , k å Z

§ x = - �1π2� + kπ › x = �

71π2� + kπ , k å Z ;

22.2. y1 = 2 sin ��2x

�� ; y2 = - 1

2 sin ��2x

�� = - 1 § sin ��2x

�� = - �12

�

§ �2x

� = - �π6

� + 2kπ › �2x

� = �76π� + 2kπ , k å Z

§ x = - �π3

� + 4kπ › x = �73π� + 4kπ , k å Z .

23.1. 2 cos (2x) = 0§ cos (2x) = 0 Pág. 69§ 2x = �

π2

� + kπ , k å Z

§ x = �π4

� + �k2π� , k å Z ;

23.2. cos x + ��23�� = 0 § cos x = - �

�23��

§ x = �56π� + 2kπ › x = - �

56π� + 2kπ, k å Z ;

23.3. 5 cos x = 1 § cos x = �15

� cos- 1 ��15

�� ) 1,37

§ x = 1,37 + 2kπ › x = - 1,37 + 2kπ , k åZ

(2 c. d.) ;

23.4. 2 cos (2x) + 1 = 0 § cos (2x) = - �12

�

§ 2x = �23π� + 2kπ › 2x = - �

23π� + 2kπ , k åZ

§ x = �π3

� + kπ › x = - �π3

� + kπ , k å Z .

24.1. 3 tan x +�3� = 0 Pág. 70

§ tan x = - ��33��

§ x = - �π6

� + kπ , k å Z ;

24.2. tan (2x) = - 2 tan- 1 (- 2) ) - 1,107

§ 2x = - 1,107 + kπ , k å Z

§ x = - 0,55 + �k2π� , k å Z (2 c. d.) .

25.1. sin x > �12

� ‹ x å [0 , 2π] Pág. 71

• sin x = �12

� ‹ x å [0 , 2π] § x = �π6

� › x = �56π�

sin x > �12

� ‹ x å [0 , 2π] § x å ��π6

� , �56π� ;

25.2. cos x < - �12

� ‹ x å [0 , 2π]

• cos x = - �12

� ‹ x å [0 , 2π]

§ x = �23π� › x = �

43π�

0 x

y

y = cos x

p

2p

4p3

2p3

12–

0 x

y

y = sin x

12

1

2pp5p6

p6

x = �83π� + 4kπ

k = 0± x = �83π� > 2π

k = - 1± x = - �43π� < 0

x = - �23π� + 4kπ

k = 0± x = - �23π� < 0

k = 1± x =�103π

� > 2π

18

Geometria II

• cos x < - �12

� ‹ x å [0 , 2π]

§ x å ��23π� , �

43π� ;

25.3. sin ��2x

�� < 1 ‹ x å [0 , 2π]

• sin ��2x

�� = 1 ‹ �2x

� å [0 , π]

§ �2x

� = �π2

� § x = π

sin ��2x

�� < 1 ‹ x å [0 , 2π]

§ x å [0 , 2π] \ {π}

§ x å [0 , π[ ∂ ]π , 2π] ;

25.4. cos (2x) ≤ �12

� ‹ x å [0 , 2π]

• cos (2x) = �12

� ‹ x å [0 , 2π]

§ 2x = �π3

� + 2kπ › 2x = - �π3

� + 2kπ , k åZ

§ x = �π6

� + kπ › x = - �π6

� + kπ , k å Z‚M

x å [0 , 2π]

§ x = �π6

� › x = �56π� › x = �

76π� › x =�

116π

�

cos (2x) ≤ �12

� ‹ x å [0 , 2π]

§ x å �π6

� , �56π�� ∂ �

76π� , �

116π

��

1.1. cos �π + �π3

�� + sin �π + �π2

�� - tan π Pág. 78

= - cos �π3

� - 1 - 0 = - �12

� - 1 = - �32

� ;

1.2. sin ��74π�� + sin �

54π� + cos �

72π� - tan �- �

74π��

= - sin �π4

� - sin �π4

� + 0 - tan �2π - �74π��

= - ��22�� - �

�22�� - 1 = -�2� - 1 ;

1.3. sin �- �76π�� - sin ��

176π

�� + cos �- �23π�� + tan ��

83π��

= - sin �π + �π6

�� - sin �2π + �56π�� +

+ cos �π - �π3

�� + tan �2π + �23π��

= sin �π6

� - sin �π6

� - cos �π3

� - tan �π3

� = - �12

� -�3� .

2.1. E(x) = sin (- x) + cos ��π2

� - x� = - sin x + sin x = 0 ;

2.2. E(x) = cos (- x) + sin (π - x) + cos (π + x)

= cos x + sin x - cos x = sin x ;

2.3. E(x) = cos (π - x) - cos (3π - x) + sin �- �52π� + x�

= - cos x + cos x - sin �2π + �π2

� - x�= - cos x ;

2.4. E(x) = sin (x - 5π) + cos ��32π� + x� - sin ��

π2

� - x�= - sin (4π + π - x) + sin x - cos x

= - sin x + sin x - cos x = - cos x ;

2.5. E(x) = sin �x - �72π�� + cos (5π - x) - cos �- �

72π� + x�

= - sin �2π + �32π� - x� + cos (π - x) -

- cos �2π + �32π� - x� = cos x - cos x + sin x

= sin x .

3. sin x = �35

� ‹ x å 2.° Q

cos2 x = 1 - �295� § cos2 x = �

1265� ‚M

x å 2.° Q

§ cos x = - �45

� ;

tan x =�csoins

xx

� = = - �34

� ;

cos x + tan x = - �45

� - �34

� = - �3210� .

4. sin (π - x)

= sin x

= -��

521�� .

5. cos (π - a) + tan (π + a)

= - cos a + tan a

= - ��37�� + �

��

2�7��

= - ��37�� +�

�714��

= .- 7 �7� + 3 �14��

21

�35

�

�- �

45

�

0 x

y

y = cos (2x)

12

p6

1

5p6

2p7p6

11p6

0 x

y

1y = sin

2x

p 2p

19

sin (π + a) = -��32�

� ‹

‹ 0 < a < �π2

�

• sin a =��32�

� ‹ 0 < a < �π2

�

cos2 a = 1 - �29

� = �79

�

cos a =��37�

� , a å 1.° Q

• tan a = = ��

2�7��

��32��

�

��37��

cos x = - �25

� ‹ x å 3.° Q

sin2 x = 1 - �245�

sin2 x = �2215� ‚

Mx å 3.° Q

sin x = -��

521��


6. tan x = 4 ‹ - π < x < - �π2

�

1 + tan2 x =�co

1s2 x�

1 + 42 =�co

1s2 x� ‚

Mx å 3.° Q

cos x = - ��117�� = -�

�1177�

�

6.1. sin2 x = 1 - �117�

sin2 x = �1167� ‚

Mx å 3.° Q

sin x = -��

4

17�� = -�

4 �17

17�� ;

6.2. cos (π + x) - 2 cos (π - x)

= - cos x + 2 cos x = cos x = -��

717�� .

7. 1 rad corresponde a ��1π80��° ) (57,3)° .

Logo, um ângulo de 1 radiano tem maior ampli-

tude do que um ângulo de 1° .

8. 0° < q < 90° , logo Pág. 79

8.1. 0 < sin q < 1 ;

8.2. 0 < cos q < 1 .

9. A �x , �12

�x�

• x2 + �x4

2

� = 1 § 5x2 = 4 §x > 0

§ x = ��2

5�� § x =�

2 �5

5��

• y = ��55��

Como q å 3° Q

9.1. sin q = - y = - ��55�� ;

9.2. cos q = - x = -�2 �

55�

� ;

9.3. tan q = �--

yx�= = �

12

� .

10. sin2 q + cos2 q = 1

sin2 q + x2 = 1

sin2 q = ¿�1 - x2� , como π < q < 2π , sin q < 0 ,

logo sin q = -�1 - x2� .

11. Por exemplo, sin ��π3

� + �π6

�� = sin �π2

� = 1

e sin ��π3

�� + sin ��π6

�� = ��23�� + �

12

� 0 1 .

12. Por exemplo, cos �2 * �π6

�� = cos ��π3

�� = �12

�

e 2 cos ��π6

�� = 2 * ��23�� =�3� 0 �

12

� .

13. Por exemplo, tan ��π4

� + 1� ) - 4,6 (1 c. d.)

e tan ��π4

�� + tan 1 ) 1 + 1,6 ) 2,6 (1 c. d.) .

14. sin2 q - cos2 q = 1 § 1 - cos2 q - cos2 q = 1

§ cos2 q = 0 § cos q = 0

§ q = �π2

� + kπ , k å Z ,

logo a condição não é universal.

15.1. 15 * �1180� * π rad = �

1π2� rad ;

15.2. 135 * �1180� π rad = �

34π� rad ;

15.3. 150 * �1180� π rad = �

56π� rad ;

15.4. 275 * �1180� π rad = �

5356�π rad ;

15.5. 330 * �1180� π rad = �

116π

� rad .

16.1. ��1π5� * �

1π80��° = 12° ;

16.2. ��76π� * �

1π80��° = 210° ;

16.3. ��73

� * �1π80��° ) 133,69° ;

16.4. ��2135π

� * �1π80��° = 276° ;

16.5. ��115π

� * �1π80��° = 396° .

17. 2 rad + 4 rad = 7 rad > 2π rad

Como 7 > 2π , os dois arcos têm pontos comuns.

18. 360° ——— π * 100

42° ——— a

a =�42 *3π60* 100� ) 36,65 m

200 m = 20 000 cm

�120000π0

� ) 63,7

36,65 cm ; 64 voltas .

- ��55�

�

�

-�2 �

55�

�

1

x

yA

B

y =x1

2

q

20

Geometria II

19. r1 = 2 cm ; r2 = 3 cm ; a = 0,8 rad Pág. 80

• π * 32 - π * 22 = 9π - 4π = 5π cm2

2π ——— 5π cm2

0,8 ——— A

A =�0,8

2*π

5π� = 2 cm2 .

20. cos q = �12

� ‹ tan q = -�3�

-�3� = § sin q = - ��23�� .

21.1. tan ��54π�� = tan �π + �

π4

�� = tan �π4

� = 1 ;

21.2. sin (405°) = sin (360° + 45°) = sin 45° =��22�� ;

21.3. sin (- 135°) = - sin (135°)

= - sin (180° - 45°) = - sin (45°) = -��22�� ;

21.4. cos ��293π

�� = cos �8π + �53π��

= cos �2π� - �π3

�� = cos �π3

� = �12

� .

22.1. sin q = �12

� ‹ 0° ≤ q ≤ 360°

§ q = 30° › q = 150° ;

22.2. cos q = �12

� ‹ 0° ≤ q ≤ 360°

§ q = 60° › q = 300° ;

22.3. sin q = - ��23�� ‹ 0° ≤ q ≤ 360°

§ q = 240° › q = 300° ;

22.4. cos q = - 1 ‹ 0° ≤ q ≤ 360° § q = 180° ;

22.5. tan q = - 1 ‹ 0° ≤ q ≤ 360°

§ q = 135° › q = 315° .

23.1. P11 (cos 30° , sin 30°) 1 ��23�� , �

12

�� ;

P21 (cos 45° , sin 45°) 1 ��22�� , �

�22�� ;

P31 (cos 60° , sin 60°) 1 ��12

� , ��23�� ;

P41 (cos (180° + 30°) , sin (180° + 30°))

P4 1 �- ��23�� , - �

12

�� ;

P51 (cos (180° + 45°) , sin (180° + 45°))

P5 1 �- ��22�� , - �

�22�� ;

P61 (cos (180° + 60°) , sin (180° + 60°))

P6 1 �- �12

� , - ��23�� .

23.2. P1 1 (cos (- 30°) , sin (- 30°))

P1 1 ��23�� , - �

12

�� ;

P2 1 (cos (- 45°) , sin (- 45°))

P2 1 ��22�� , - �

�22�� ;

P3 1 (cos (- 60°) , sin (- 60°))

P3 1 ��12

� , - ��23�� ;

P41 (cos (180° - 30°) , sin (180° - 30°))

P4 1 �- ��23�� , �

12

�� ;

P51 (cos (180° - 45°) , sin (180° - 45°))

P5 1 �- ��22�� , �

�22�� ;

P61 (cos (180° - 60°) , sin (180° - 60°))

P6 1 �- �12

� , ��23�� .

24. As rectas pedidas passam na origem. Pág. 81São da forma y = mx sendo m = �

yx0

0� se (x0 , y0)

é um ponto da recta.

24.1. P3 P6 ; P3 1 ��12

� , ��23�� ; m =�3� ;

P2 P5 ; P2 1 ��22�� , �

�22�� ; m = 1 ;

P1 P4 ; P11 ��23�� , �

12

�� ; m =��1

3�� =�

�33�� ;

P3 P6 : y =�3�x ; P2 P5 : y = x ; P1 P4 : y =��33��x .

24.2. P1 P4 ; P1 1 ��23�� , - �

12

�� ; m = - ��33�� ;

P2 P5 ; P2 1 ��22�� , - �

�22�� ; m = - 1 ;

P3 P6 ; P3 1 ��12

� , - ��23�� ; m = -�3� ;

P1 P4 : y = - ��33��x ; P2 P5 : y = - x ;

P3 P6 : y = -�3�x .

25. P1 ��23

� , - ��35�� ;

25.1. O círculo trigonométrico tem centro na origem

e raio 1 : x2 + y2 = 1

��23

��2

+ �- ��35��

2

= 1 § �49

� + �59

� = 1

§ 1 = 1 (Verdade) ;

25.2. sin q = - ��35�� ; cos q = �

23

� ; tan q = - ��25�� .

26.1. sin a = - ��22��

§ a = �54π� + 2kπ › a = - �

π4

� + 2kπ , k å Z

± tan a = 1 › tan a = - 1 ;

sin q�

�12

�

21


26.2. tan a = - 1 § a = �π4

� + kπ , k å Z

§ a = �34π� + 2kπ › a = - �

π4

� + 2kπ , k å Z

± cos a = - ��22�� › cos a = �

�22�� .

27. 2 sin (π + q) + cos (2π + q) = - 2 sin q + cos q

= - 2 * �- �45

�� + �35

�

= �85

� + �35

� = �151� .

28.1. ��tan1

q� - 1�2

=�sin

12 q� -�

tan2

q�

��tan1

q� - 1�2

=�tan

12 q� -�

tan2

q� + 1

=�csoins2

2

qq

� -�tan

2q� + 1 =�1 -

sins

2

inq2 q

� -�tan

2q� + 1

=�sin

12 q� - 1 -�

tan2

q� + 1 =�sin

12 q� -�

tan2

q� c.q.d. ;

28.2. sin2 q + 2 = 2 cos2 q + 3 sin2 q2 cos2 q + 3 sin2 q = 2 (1 - sin2 q) + 3 sin2 q= 2 - 2 sin2 q + 3 sin2 q = 2 + sin2 q c.q.d. ;

28.3. (1 + cos q) (1 - cos q) =

= =

= = sin2 q = 1 - cos2 q

= (1 + cos q) (1 - cos q) c.q.d. ;

28.4. �1

c+ossinq

q� =�1c-ossinq

q�

�1

c+ossinq

q� =

=�cos1q-(1si-n2

siqn q)

� =�cos qc(o1s2

-qsin q)

�

=�1c-ossinq

q� c.q.d. ;

28.5. =

• =

= =�sin

c2

oqs+q

3sin

coqs2 q�

= =�1co+s2q

csoins2

qq� ;

• =

=�1co+s2qcsoins2

qq� .

29. Por exemplo:

29.1. y = sin (3x) em 0 , �43π�� ;

29.2. y = - 2 sin ��2x

�� em [0 , 2π] ;

29.3. y = 3 sin ��2x

�� em [0 , 2π] ; Pág. 82

29.4. y = - cos (2x) em [0 , 2π] .

30.1. f (x) = �12

� + sin x ; Df = R

- 1 ≤ sin x ≤ 1 § - 1 + �12

� ≤ �12

� + sin x ≤ 1 + �12

�

§ - �12

� ≤ f (x) ≤ �32

�

Df' = - �12

� , �32

�� ;

30.2. g (x) = 2 + sin ��2x

�� ; Dg = R

- 1 ≤ sin ��2x

�� ≤ 1

§ - 1 + 2 ≤ 2 + sin ��2x

�� ≤ 1 + 2

§ 1 ≤ f (x) ≤ 3

Df' = [1 , 3] ;

30.3. h (x) = 1 + 3 cos2 (3x) ; Dh = R

- 1 ≤ cos (3x) ≤ 1

0 ≤ cos2 (3x) ≤ 1

0 ≤ 3 cos2 (3x) ≤ 3

1 ≤ 1 + 3 cos2 (3x) ≤ 4 § 1 ≤ f (x) ≤ 4

Dh' = [1 , 4] ;

30.4. j (x) = 1 + tan2 x ; Dj = R\�π2

� + kπ , k å Z�tan x å R

tan2 x ≥ 0

1 + tan2 x ≥ 1

Dj' = [1 , + ?[ ;

31.1. 2 sin x = -�3� § sin x = - ��23��

§ x = - �π3

� + 2 kπ › x = �43π� + 2 kπ , k å Z

Soluções em [- π , π] : x = - �23π� › x = - �

π3

� ;

31.2. 5 - 3 tan (2x) = - 6

§ tan (2x) = �131� tan- 1 ��

131�� ) 1,3045

§ 2x = 1,3045 + kπ , k å Z

§ x = 0,6523 + �k2π� , k å Z

sin q��

�2 co

cso

2

sqq+ 1

�

sin q��2 cos q +�

co1s q�

cos q sin q��1 - cos2 q + 3 cos2 q

cos q sin2 q��sin q (sin2 q + 3 cos2 q)

�csoins

qq

�

��

�sin2 q

si+n2

3qcos2 q

�

�tan

1q�

��1 + 3 �

tan12 q�

sin q��2 cos q +�

co1s q�

�tan

1q�

��1 + 3 �

tan12 q�

cos q (1 - sin q)��(1 + sin q) (1 - sin q)

1��sin

12 q�

1��

�sin2 q

sin+

2

cqos2 q

�

1��

1 +�csoins2

2

qq

�

1��1 +�

tan1

2 q�

1��1 +�

tan12 q�

22

cos q = �35

� ‹ - �π2

� < q < 0

sin2 q = 1 - �295�

sin2 q = �1265� ‚M

q å 4.° Q

sin q = - �45

�

Geometria II

Em [- π , π] :

x ≈ - 2,49 › x ≈ - 0,92 › x ≈ 0,65 › x ≈ 2,22

§ x ≈ - 0,79π › x ≈ - 0,29π ›

› x ≈ 0,21π › x ≈ 0,71π (1 c. d.) ;

31.3. 8 sin ��2x

�� = - 1 § sin ��2x

�� = �18

�

sin- 1 ��18

�� ) 0,12533

§ �2x

� = 0,12533 + 2kπ ›

› �2x

� = π - 0,12533 + 2kπ , k å Z

§ x ≈ 0,25066 + 4kπ ›› x = 6,0325 + 4kπ , k åZ

Em [- π , π] : x ≈ 0,08π (2 c. d.) ;

31.4. 3 sin (2x) = - 4 § sin (2x) = - �43

� �- �43

� ≤ - 1�§ x å O ;

31.5. 3 cos2 x = 4 § cos2 x = �43

�

§ cos x = ¿ ��43

�� 43

�� > 1�§ x å O ;

31.6. 12 + cos �x + �1π0�� = - 1

§ cos �x + �1π0�� = - 13 (- 13 < - 1)

§ x å O ;

31.7. - 2 sin2 x + 2 = 1 § - 2 sin2 x = - 1

§ sin2 x = �12

�

§ sin x = - ��22�� › sin x = �

�22��

§ x = �π4

� + �k2π� , k å Z

Em [- π , π] :

x = - �34π� › x = - �

π4

� › x = �π4

� › x = �34π� ;

31.8. cos (2x) = cos x

§ 2x = x + 2kπ › 2 x = - x + 2kπ , k å Z

§ x = 2kπ › x = �23kπ� , k å Z

Em [- π , π] : x = - �23π� › x = 0 › x = �

23π� ;

31.9. sin �- �2x

�� = sin x

§ - �2x� = x + 2kπ› - �

2x� = π - x + 2kπ , k å Z

§ - �32

�x = 2kπ › �2x

� = π + 2kπ , k å Z

§ x = �43kπ� › x = 2π + 4kπ , k å Z

Em [- π , π] : x = 0 ;

31.10. cos (2x) = sin x § cos (2x) = cos ��π2

� - x�§ 2x = �

π2

� - x + 2kπ ›

› 2x = - �π2

� + x + 2kπ , k å Z

§ x = �π6

� + �23kπ� › x = - �

π2

� + 2kπ , k å Z

Em [- π , π] : x = - �π2

� › x = �π6

� › x = �56π� ;

31.11. cos (2x) + cos x = 0

§ cos (2x) = - cos x

§ cos (2x) = cos (π + x)

§ 2x = π + x + 2kπ › 2x = - π - x ++ 2kπ , k å Z

§ x = π + 2kπ › x = - �π3

� + �23kπ� , k å Z

Em [- π , π] :

x = - π › x = - �π3

� › x = �π3

� › x = π ;

31.12. cos2 x + cos x = 0

§ cos x (cos x + 1) = 0

§ cos x = 0 › cos x = - 1

§ x = �π2

� + kπ › x = π + 2kπ , k å Z

Em [- π , π] :

x = - π › x = - �π2

� › x = �π2

� › x = π .

32.1. sin x ≥ �12

� ‹ cos x ≤ 0 ‹ x å [0 , 2π]

§ sin x ≥ �12

� ‹ x å �π2

� , �32π��

§ x å �π6

� , �56π�� © �

π2

� , �32π��

§ x å �π2

� , �56π�� ;

32.2. �cos x ≤ - �12

� › sin x > 0� ‹ x å [0 , 2π]

§ x å �23π� , �

43π�� ∂ [0 , π]

§ x å 0 , �43π�� ;

1

x

y

y = sin x–1

12

– 2p0

y = cos x

p

4p3

2p3

1

y = sin x

12

–1

p6

5p6

23


32.3. \sin x|< 0,2 ‹ x å [0 , 2π]

§ - 0,2 < sin x < 0,2 ‹ x å [0 , 2π]

• Em [0 , 2π]

sin x = - 0,2 sin- 1 (- 0,2) ≈ - 0,201

§ x = 2π - 0,201 › x = π + 0,201

§ x = 6,082 › x = 3,343

sin x = 0,2 sin- 1 (0,2) ≈ 0,201

§ x = 0,201 › x = π - 0,201

§ x = 0,201 › x = 2,940

xå [0 ; 0,201[ ∂ ]2,940 ; 3,343[ ∂ ]6,082 ; 2π] ;

32.4. �cos2 x� ≥ 0,3 § \cos x| ≥ 0,3

§ cos x ≤ - 0,3 › cos x ≥ 0,3

• Em [0 , 2π]

cos x = - 0,3 cos- 1 (- 0,3) ≈ 1,875

§ x = 1,875 › x = 2π - 1,875

§ x = 1,875 › x = 4,408

cos x = 0,3 cos- 1 (0,3) ≈ 1,266

§ x = 1,266 › x = 5,017

x å [0 ; 1,266] ∂ [1,875 ; 4,408] ∂ [5,017 ; 2π] .

33. 2π ——— π * 82 m2

a ——— �163π

� m2

a = =�33*2π64� = �

π6

� rad .

34. 360° - 120° = 240° Pág. 83360° ——— π * 52

240° ——— A

A =�240 *36

π0* 25

� m2 = �503π

� m2 ≈ 52,36 m2 .

35. = cos b

�48

� = cos b ± b = 60°

a = 180 - 2b = 60°

Área do sector circular: A

360° ——— π * 82

60° ——— A

A =�603*6064π� = �

323π

� m2 ≈ 33,51 m2

Perímetro do sector circular: P

360° ——— 2π * 8

60° ——— P

P =�60 *326π0* 8

� m = �83π� m ≈ 8,38 m .

36.1.

360° ——— π * 52

60° ——— A

• A =�60 *36

π0* 52

� = �256π

� m2

�M�5B�� = sin 30° § M�B� = 5 * �

12

�

C�B� = 2 M�B� = 5 m

�M�5A�� = cos 30° § M�A�= 5 �

�23��

• A˚ = = =�25

4�3�� m2

A = ��256π

� -�25

4�3�� m2 ≈ 2,26 m2 ;

�25

2�3��

�2

5 *�5 �

23�

�

��2

C

5

B

A

5

N

M

30º

D

4 m

R C

S

BA

P

4 m 8 m

8 m

Q

a

b

b

P�A��P�Q�

�163π

� * 2π��

64π�

1

x

y y = cos x

–1

2p0–0,3

0,3

1,266 1,875 4,408 5,017

1

x

y

y = sin x–1

2p0–0,2

0,2

0,201 2,94 3,343 6,082

24

Geometria II

36.2.

360° ——— π * 132

60° ——— A

• A =�60° *36

π0* 132

� =�16

69π� m2

O triângulo [PAQ] é equilátero.

P�Q� = 10

N�A� =�100 -�25� = 5 �3�

• A˚ = 10 *�5 �

23�

� = 25 �3� m2

A = ��1669π� - 25 �3�� m2 ≈ 45,19 m2 ;

36.3.

360° ——— π * 202

60° ——— A

• A =�60 *3π60* 202

� =�20

30π� m2

A[PAQ] = 25 �3� m2

A = ��2030π� - 25 �3�� m2 ≈ 166,14 m2 .

37. Lados do triângulo [OBC]

BOWC = 180° - 80° = 100°

BCWO = 180° - 100° - 45° = 35°

§ h = a =�195+

ttaann

3355°°

� ≈ 39,12447

= sin 35° § O�C� =�sin

h35°� ≈ 68,21143

37.1. Comprimento do arco AC

360° ——— 2π O�C�160° ——— C

C =�160 *326π0* O�C�

� ≈ 190,4822

Perímetro = 2 B�C� + C ≈ 2 * 95 + C ) 380,48 m ;

37.2. Área do sector OCA

360° ——— π * O�C�2

160° ——— A

A =�160 *36

π0* O�C�2

� ≈ 6496,533 m2

Área do triângulo [BCO]

A˚ =�B�C�

2* h� ≈ 1858,4123

A = A + 2 A˚ ≈ 10 213,4 m2 .

3 Produto escalar no plano e no espaço

1. »u = (- 1 , 3) ; »v = (3 , - 5) Pág. 87

1.1. »u + »v = (- 1 + 3 , 3 - 5) = (2 , - 2) ;

1.2. 2»u = 2 (- 1 , 3) = (- 2 , 6) ;

h�O�C�

h = a

a =�195+

ttaann

3355°°

�

adbdc

§

h = a

a (1 + tan 35°) = 95 tan 35°

abc

§

h = a

a = 95 tan 35° - a tan 35°

abc

§

�ha� = tan 45°

�95

h- a� = tan 35°

adbdc

95 m

C

B

A

80º

O

80º

45º 95 m

h

B

O

45ºC

a 95 – a

35º

95

10 m

P Q

C B

A

N

60º

N

10 m

10 m 10 m

C B

A

10 m

N

N

60º

3 m

60º 60ºP Q

25


1.3. - 2»v = - 2 (3 , - 5) = (- 6 , 10) ;

1.4. - »u - 2»v = - (- 1 , 3) - 2 (3, - 5)

= (1 , - 3) + (- 6 , 10) = (- 5 , 7) ;

1.5. �12

� »u - 2»v = �12

� (- 1 , 3) - 2 (3 , - 5)

= �- �12

� , �32

�� + (- 6 , 10)

= �- �123� , �

223�� .

2. »u = (- 1 , 2 , 5) ; »v = (0 , - 3 , 2)

2.1. »u + »v = (- 1 + 0 , 2 - 3 , 5 + 2) = (- 1 , - 1 , 7) ;

2.2. »u - �12

� »v = (- 1 , 2 , 5) - �12

� (0 , - 3 , 2)

= (- 1 , 2 , 5) + �0 , �32

� , - 1�= �- 1 , �

72

� , 4� ;

2.3. 2»u + »v = 2 (- 1 , 2 , 5) + (0 , - 3 , 2)

= (- 2 , 4 , 10) + (0 , - 3 , 2)

= (- 2 , 1 , 12) ;

2.4. - »u - 2»v = - (- 1 , 2 , 5) - 2 (0 , - 3 , 2)

= (1 , - 2 , - 5) + (0 , 6 , - 4)

= (1 , 4 , - 9) ;

2.5. �12

� »u - �14

� »v = �12

� (- 1 , 2 , 5) - �14

� (0 , - 3 , 2)

= �- �12

� , 1 , �52

�� + �0 , �34

� , - �12

��= �- �

12

� , �74

� , 2� .

3. M1 (1 , - 2) ; N1 (0 , - 3) Pág. 88

3.1. «»MN = N - M = (0 , - 3) - (1 , - 2) = (- 1 , - 1) ;

«»NM = (1 , 1) ;

3.2. M + «»NM = (1 , - 2) + (1 , 1) = (2 , - 1) ;

N + «»MN = (0 , - 3) + (- 1 , - 1) = (- 1 , - 4) .

4. A1 (1 , - 3 , 5) ; B1 (2 , 3 , - 4)

4.1. «»AB = B - A = (2 , 3 , - 4) - (1 , - 3 , 5)

= (1 , 6 , - 9) ; «»BA = (- 1 , - 6 , 9) ;

4.2. A + «»AB = B1 (2 , 3 , - 4) ;

B + «»BA = A1 (1 , - 3 , 5) .

5.1. »u = (- 10 , 6) ;

\\»u|\=�100 +�36� =�136� =�4 * 34� = 2�34� ;

5.2. »v = �- �12

� , 4� ;

\\»v|\= ��14

� + 16� = ��645�� =�

�265�� ;

5.3. A1 (- 1 , 2) ; B1 (- 5 , - 3)

»w = «»AB = (- 4 , - 5) ;

\\»w|\ =�16 + 2�5� =�41� ;

5.4. »s = (- 1 , 4 , 3) ; \\»s|\=�1 + 16� + 9� =�26� .

6.1. »u = (2 , 3) ; »v = (- 1 ; - 1,5) Pág. 89»u = - 2»v»u e »v são colineares;

6.2. »u = (2 , - 2 , 6) ; »v = (- 1 , - 2 , 3)

»u = k»v § (2 , - 2 , 6) = k (- 1 , - 2 , 3)

§

§ k = - 2 ‹ k = 1 ‹ k = 2 (impossível)

»u e »v não são colineares;

6.3. »u = (0,1 ; 0,2 ; 0,3) ; »v = (5 , 10 , 15)

»v = 50»u

»u e »v são colineares.

7. »u = (4 , - 1 , 6) ; »v = (6 , a , b)

»v = k»u § (6 , a , b) = k (4 , - 1 , 6)

§

a = - �32

� ; b = 9 .

8. »u = (1 , 0 , �3�) ; »v = k»u e \\»v|\= 1

»v = k»u = (k , 0 , �3�k)

\\»v|\= 1 § �k2 + 02� + (��3�k)2� = 1

§ �4k2� = 1 § 2 \k|= 1 § k = ¿ �12

�

»v = ��12

� , 0 , ��23�� ou »v = �- �

12

� , 0 , - ��23�� .

9.1. A1 (- 1 , 6) ; B1 (1,5 ; 6)

M1 ��- 1 +2

1,5� , �

6 +2

6�� = ��

14

� , 6� ;

9.2. A1 (- 1 , 5) ; B1 (2 ; - 3)

M1 ��- 12+ 2� , �

5-2

3�� = ��

12

� , 1� ;

9.3. A1 (- 1 , 3 , 6) ; B1 (6 , - 9 , - 9)

M1 ��- 12+ 6� , �

3 -2

9� , �

6 -2

9��= ��

52

� , - 3 , - �32

�� ;

9.4. A1 (- 1 , 0 , 2) ; B1 �- �12

� , 0 , �13

��

M1 � , �0 +

20

� , �= �- �

34

� , 0 , �76

�� .

2 + �13

�

�2

- 1 - �12

�

�2

k = �32

�

a = - �32

�

b = 9

addbddc

6 = 4k

a = - �32

� §

b = 6k

adbdc

2 = - k

- 2 = - 2k

6 = 3k

adbdc

26

Geometria II

10.1. »a.»b = 5 * 4 * cos (38°) Pág. 92= 20 cos (38°) ) 15,76 ;

10.2. »a.»b = 3 * 4 * cos 90° = 0 ;

10.3. »a.»b = 6,2 * 8,3 * cos (132°)

= 51,46 cos (132°) ) - 34,43 ;

10.4. »a.»b = 3 * 3,2 * cos ��45π� rad�

= 9,6 cos ��45π� rad� ) - 7,77 ;

10.5. »a.»b = 4 * 3 * cos π = - 12 ;

10.6. »a.»b = 6 * 4 * cos (1 rad) ) 12,97 .

11.1. tan (ABWC) = �32

� ; Pág. 94

11.2. ABWC = tan-1 ��32

�� ) 56,31° ;

11.3. B�C�2 = 22 + 32 § B�C� =�13�

cos (ABWC) = =�2 �

1313�� ;

11.4. DCWB = 90° + 90° - ABWC ) 123,69° ;

11.5. «»DC.«»CB = \\«»DC|\ \\«»CB \\ cos (DCWB)

= 5 *�13� cos (180 - ABWC)

= - 5 *�13� cos ABWC

= - 5 *�13� * 2 = - 10 ;

11.6. «»AB.«»CD = \\«»AB \\ \\«»CD \\ cos («»AB ,W «»CD )= 7 * 5 * (- 1) = - 35 ;

11.7. «»AB.«»DC = \\«»AB \\ \\«»DC \\ cos («»AB ,W «»DC )= 7 * 5 * 1 = 35 ;

11.8. «»AB.«»AD = 0 porque «»AB Y «»AD .

12.1. (»u - »v ).»w = [»u + (- »v )].»w Pág. 95= »u.»w + (- »v ).»w

= »u.»w + (- »v.»w ) = »u.»w - »v.»w .

12.2. \\»u + »v \\2 = (»u + »v ).(»u + »v ) \\»a \\2 = »a.»a

= »u.»u + »u.»v + »v.»u + »v.»v

= \\»u|\2 + \\»v|\2 + 2»u.»v .

13. (»u + »v ).(»u - »v ) = »u.»u - »u.»v + »v.»u - »v.»v

= \\»u|\2 - \\»v|\2

»u + »v e »u - »v são ortogonais

§ (»u.»v ).(»u - »v ) = 0

§ \\»u|\2 - \\»v|\2 = 0

§ \\»u|\2 = \\»v|\2 ‚M\\»u|\ ≥ 0 e \\»v|\ ≥ 0

§ \\»u|\ = \\»v|\ .

14. Seja [ABCD] um losango

«»AC.«»BD

= («»AB + «»BC ).(«»BC + «»CD ) ‚M«»CD = - «»AB

= («»AB + «»BC ).(«»BC - «»AB )

= «»AB.«»BC - «»AB.«»AB + «»BC.«»BC - «»BC.«»AB

= «»AB.«»BC - «»AB.«»BC - \\«»AB \\2 + \\«»BC \\2 ‚M\\«»AB \\= \\«»BC \\

= 0 - \\«»AB \\2 + \\«»AB \\2

= 0

«»AC.«»BD = 0 ± «»AC Y «»BD

Logo, as diagonais [AC] e [BD] são perpendi-

culares.

15.1. Pág. 98

15.2. \\»u|\ =�4 + 25� =�29� ;

\\»v|\ =�9 + 4� =�13� ;

\\»w|\ =�4 + 25� =�29� ;

15.3. »u.»v = (- 2 , 5).(3 , 2) = - 6 + 10 = 4;»v.»w = (3 , 2).(2 , - 5) = 6 - 10 = - 4 ;»u.»w = (- 2 , 5).(2 , - 5) = - 4 - 25 = - 29;

15.4. a) cos (»u ,W »v ) = =

± (»u ,W »v ) ) (78,11)° ;

b) cos (»v ,W »w) = = -

± (»v ,W »w) ) (101,89)° ;

c) cos (»u ,W »w) = = - 1

± (»u ,W »w) ) 180° .

- 29��29� *�29�

4��377�

- 4��13� *�29�

4��377�

4��29� *�13�

0-2 2

2

5

-5

3 x

y

u

w

u = (-2, 5)

v

v = (3, 2)

w = (2, -5)

A

B

C

D

�13��

13

2��13�

27


16. A1 (3 , 4) ; B1 (- 2 , 1) e

C1 (- 4 , - 2) ;

16.1. «»AB = B - A = (- 5 , - 3) ; «»BC = C - B = (- 2 , - 3)

«»AC = C - A = (- 7 , - 6) ; «»BA = - «»AB = (5 , 3) ;

a) «»AB.«»BC = (- 5 , - 3).(- 2 , - 3)= 10+ 9= 19 ;

b) «»AC.«»BA = (- 7 , - 6).(5 , 3)

= - 35 - 18 = - 53 ;

16.2. cos («»AB ,W «»BC ) =

= =

± («»AB ,W «»BC ) ) 25,35° .

17. »u = (4 , 2)

17.1. Por exemplo: »a = (2 , 4) , »b = (- 2 , 4) e »c = (4 , - 8) ;

17.2. Seja »n = (a , b) e »n Y »u»n Y »u § (a , b).(4 , 2) = 0

§ 4a + 2b = 0 § 2a + b = 0 § b = - 2a»n = (a , - 2a) , para a å {0} , define a

família de vectores perpendiculares a »u .

18. cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b Pág. 99cos (a + b) = cos [a - (- b)] =

= cos a cos (- b) + sin a sin (- b) = ‚M

cos (- b) = cos bsin (- b)= cos a cos b - sin a sin b

19. Pelo teorema dos co-senos

• x2 = 152 + 102 - 2 * 15 * 10 * cos (50°)

§ x =�325 -�300 co�s (50°�)�

§ x ) 11,50 cm

• 102 = 152 + 11,52 - 2 * 15 * 11,5 cos y

§ 345 cos y = 257,25

§ y = cos- 1 ��25374,525

�� ) 41,8° .

20. A1 (4 , 3) ; B1 (- 2 , 1) Pág. 101

20.1. «»AB = B - A = (- 6 , - 2)

(- 6 , - 2) ;

20.2. a) Seja M o ponto médio de [AB]

M1 (1 , 2)

Seja P (x , y) um ponto da mediatriz de [AB]

«»MP .«»AB = 0

§ (x - 1 , y - 2).(- 6 , - 2) = 0

§ - 6 (x - 1) - 2 (y - 2) = 0

§ - 6x + 6 - 2y + 4 = 0

§ 3x + y - 5 = 0 ;

b) «»AP.«»BP = 0

§ (x - 4 , y - 3).(x + 2 , y - 1) = 0

§ (x - 4) (x + 2) + (y - 3) (y - 1) = 0

§ x2 + 2x - 4x - 8 + y2 - y - 3y + 3 = 0

§ x2 + y2 - 2x - 4y - 5 = 0 ;

c) «»BP.«»AB = 0

§ (x + 2 , y - 1).(- 6, - 2) = 0

§ - 6x - 12 - 2y + 2 = 0

§ 3x + y + 5 = 0 .

21. A1 (1 , 0) ; B1 (- 1 , 4)

21.1. Ponto médio de [AB] : M1 (0 , 2)

«»AB = (- 2 , 4)

«»MP.«»AB = 0

§ (x , y - 2).(- 2 , 4) = 0

§ - 2x + 4y - 8 = 0

§ x - 2y + 4 = 0 ;BA

M (0, 2)

P (x, y)

A B (-2, 1)

P (x, y)

A(4, 3)

P (x, y)

B(-2, 1)

A BM

P (x, y)

A

C

B

10 cm x

15 cm

50º y

19��442�

19��25 + 9� �4 + 9�

«»AB.«»BC��||«»AB||.||«»BC||

28

Geometria II

21.2.

[CB] é um diâmetro da circunferência sendo

C = A + «»BA = (1 , 0) + (2 , - 4) = (3 , - 4)

«»CP.«»BP = 0

§ (x - 3 , y + 4).(x + 1 , y - 4) = 0

§ x2 + y2 - 2x - 19 = 0

ou circunferência de centro A1 (1 , 0)

e raio \\«»AB \\ =�4 + 16� =�20� :

(x - 1)2 + y2 = 20 § x2 + y2 - 2x - 19 = 0 ;

21.3.

«»AP.«»AB = 0 § (x - 1 , y).(- 2 , 4) = 0

§ - 2x + 2 + 4y = 0 § x - 2y - 1 = 0 ;

21.4.

Recta s :

«»OP.«»AB = 0 § (x , y).(- 2 , 4) = 0

§ - 2x + 4y = 0 § x - 2y = 0 .

22. »a = (- 1 , 0 , 2) ; »b = (- 3 , 5, 4) Pág. 103

cos (»a ,W »b ) =

= =

± (»a ,W »b ) ) (45,92)° .

23. »a = (- 1 , 0 , 2) ; \\»a|\= 5

Por exemplo: »b = (2 , 0 , 1) »a.»b = 0 e \\»b \\= 5 .

24. »a = (»i - »j + »k ) ; »a = � , - , �»b = (»j + »k ) ; »b = �0 , , �»c = (- 2»i - »j + »k ) ;

»c = �- , - , �»a.»b = � , - , �.�0 , , �= 0 - + = 0

»a.»b = 0 ± »a Y »b .

»a.»c = � ,- , �.�- ,- , �= - + + = 0

»a.»c = 0 ± »a Y »c .

»c.»b = �- , - , �.�0 , , �= 0 - + = 0

»c.»b = 0 ± »c Y »b .

1.1. Pág. 106

«»AB.«»BC = 0 porque «»AB Y «»BC ;

1.2. «»AB.«»DC = \\«»AB \\ \\«»DC \\ cos («»AB ,W «»DC )= 5 * 5 * cos 0° = 25° ;

1.3. \\«»BD \\= \\«»AC \\=�52 + 52� = 5 �2�

«»AB.«»BD = \\«»AB \\ \\«»BD \\ cos («»AB ,W «»BD)= 5 * 5 �2� * cos (90° + 45°)

= 25 �2� * �- ��22��

= - 25 ;

1.4. «»AO.«»DC = \\«»AO \\ \\«»DC \\ cos («»AO ,W «»DC )

= * 5 * cos (45°)

= *

= 12,5 .

�2��

225 �2��

2

5 �2��

2

D

A

C

B

O

5 cm

1��2�

1��2�

1��2�

1��2�

1��6�

1��6�

2��6�

1��18�

1��18�

2��18�

1��6�

1��6�

2��6�

1��3�

1��3�

1��3�

1��6�

1��6�

1��2�

1��2�

1��3�

1��3�

1��3�

1��6�

1��6�

2��6�

1��6�

1��2�

1��2�

1��2�

1��3�

1��3�

1��3�

1��3�

11��250�

3 + 8��5� �50�

(- 1 , 0 , 2).(- 3 , 5 , 4)��1 + 0 +� 4� �9 + 25� + 16�

AB

rO (0, 0)

s

P (x, y)

P (x, y)

B (-1, 4)A (1, 0)

C (3, -4)

P (x, y)

B (-1, 4)A

29


2.1.

«»AB.«»BC = \\«»AB \\ \\«»BC \\ cos («»AB ,W «»BC )= 1 * 1 * cos 60° = �

12

� ;

2.2. «»OF.«»AO = \\«»OF \\ \\«»AO \\ cos («»OF ,W «»AO)= 1 * 1 * cos 120° = - �

12

� ;

2.3. «»AO.«»OC = \\«»AO \\ \\«»OC \\ cos («»AO ,W «»OC )= 1 * 1 * cos 60° = �

12

� .

3. »a = (1 , 0 , 3) , »b = (2 , - 5 , 0) , »c = (0 , 1 , - 3)

3.1. »a.»b = (1 , 0 , 3).(2 , - 5 , 0) = 2 + 0 + 0 = 2 ;

3.2. »a.»c = (1 , 0 , 3).(0 , 1 , - 3) = 0 + 0 - 9 = - 9 ;

3.3. »b.»c = (2 , - 5 , 0).(0 , 1 , - 3) = 0 - 5 + 0 = - 5 .

4. »u = (1 , 1 , 3) , »v = (0 , 2 , 1)

»u.»v = 0 + 2 + 3 = 5 ;

\\»u|\ =�1 + 1 +� 9� =�11� ;

\\»v|\ =�0 + 4 +� 1� =�5� ;

4.1. - 2»u.»v = - 2 * 5 = - 10 ;

4.2. (»u - »v ).(»v + »u ) = »u.»v� + »u.»u - »v.»v - »v.»u�

= \\»u|\2 - \\»v|\2 = 11 - 5 = 6 ;

4.3. (»u - 2»v ).(»u + 2»v ) = \\»u|\2 - 4 \\»v|\2

= 11 - 4 * 5 = - 9 ;

4.4. »O.(»v + 10»u) - »u.(3»v) = O - 3»u.»v = - 3 * 5 = - 15 .

5.1. 3»u.(4»u + 6»v ) = 12»u.»u + 18»u.»v

= 12 * \\»u|\2 + 18 * (- 1)

= 12 * 9 - 18 = 90 ;

5.2. (3»u + »v ).(5»u - »v )= 15»u.»u - 3»u.»v + 5»v.»u - »v.»v

= 15 \\»u|\2 + 2»u.»v - \\»v|\2

= 15 * 4 + 2 * 0 - 1 = 59 .

6. \\»u||= 3 ; \\»v||= 1 , cos (»u ,W »v ) = �13

� .

(k»u + 2»v ) Y »u § (k»u + 2»v ).»u = 0

§ k»u.»u + 2»v.»u = 0

§ k \\»u||2 + 2 \\»u|| \\»v||cos (»u ,W »v ) = 0

§ 9k + 2 * 1 * 3 * �13

� = 0 § 9k + 2 = 0

§ k = - �29

� .

7. Seja »a = (1 , - 3) . Por exemplo, o vector »b = (3 , 1) é perpendicular a »a .

Seja »u tal que »u = k»b e \\»u||= 5

»u = k (3 , 1) = (3k , k)

\\»u||= 5 § �9k2 + k�2� = 5

§ �10k2� = 5 § \k|�10� = 5

§ |k|= § k = ¿

§ k = ¿

Para k = tem-se »u = � , � ,

por exemplo.

8. »a = (4 , 6) - (1 , 4) = (3 , 2)

»b = (3 , 2) - (7 , - 2) = (- 4 , 4)

cos (»a ,W »b ) = =

= = =

(»a ,W »b ) = cos- 1 � � ) 101,31° .

(101,31)° (2 c. d.) .

9. »u = (1 , 3) e »v = (- 5 , 6)

9.1. »u.»v = (1 , 3).(- 5 , 6) = - 5 + 18 = 13 ;

9.2. cos (»u ,W »v ) = =

=

(»u ,W »v ) = cos- 1 � � ) (58,24)° .

10. L (5 , 5) ; U (1 , 1) ; A (5 , 0) Pág. 107«»UL = (4 , 4) ; «»UA = (4 , - 1) ; «»LA = (0 , - 5)

• cos («»UL ,W «»UA ) =

= =

=

(«»UL ,W «»UA ) = cos- 1 � � ) 59°

• cos («»LU ,W «»LA ) =

= = =

(«»LU ,W «»LA ) = 45°

• («»AU ,W «»AL ) ) 180 - 59° - 45° = 76°

UW ) 59° ; LW = 45° ; AW ) 76° .

�2��

220

��4 �2� * 5

(- 4 , 4).(0 , - 5)��

�16 + 1�6�.5

«»LU.«»LA��||«»LU||||«»LA||

12��544�

12��544�

16 - 4��32� �17�

(4 , 4).(4 , - 1)��16 + 1�6� *�16 + 1�

«»UL.«»UA��||«»UL||||«»UA||

13��610�

13��610�

13��1 + 9� �25 + 3�6�

»u.»v��||»u||||»v||

- 1��26�

- 1��26�

- 4��13� * 4 �2�

- 12 + 8��13� �32�

(3 , 2).(- 4 , 4)��9 + 4� �16 + 1�6�

»a.»b��||»a||||»b||

�10��

23 �10��

2�10��

2

�10��

2

5 �10��

105

��10�

A B

CF

E D

O

60º

30

Geometria II

11. \\»u||=�5� ; \\»v||= 1 ; (»u ,W »v ) = 45° ;

»a = »u + »v ; »b = »u - »v

cos (»a ,W »b ) =

=

=

= =

(»a ,W »b ) = cos- 1 � � ) (38,33)° .

12.1.

(M�I�)2+ (I�P�)2

= (M�P�)2

§ M�I�2 + ��12

� M�I��2

= 5 § �54

� (M�I�)2= 5

§ M�I�2 = 4 §M�I�2 > 0

M�I� = 2 ;

12.2. «»MP = «»MI + «»IP = «»MI + �12

� «»MA

= «»MI - �12

� «»AM ;

12.3. cos a = sin (90 - a) = sin («»MI ,W «»MP) =

= = ��55�� ;

12.4. «»AM.«»MP = - «»MA.«»MP = - \\«»MA \\ * \\«»MP \\cos a

= - 2 *�5� * ��55�� = - 2

13. «»AB.«»BC + «»BC.«»CA + «»CA.«»AB

= - «»BA.«»BC - «»CB.«»CA - «»AC.«»AB

= - 1 * 1 * cos 60° - 1 * 1 ** cos 60° - 1 * 1 * cos 60°

= - �32

� .

14. \\»u + »v||2 = (»u + »v ).(»u + »v )

\\»u + »v||2 = »u.»u + »u.»v + »v.»u + »v.»v

\\»u + »v||2 = \\»u||2 + 2»u.»v + \\»v||2

Logo, 2»u.»v = \\»u + »v||2 - \\»u||2 - \\»v||2

15.1. «»OC.«»OE = \\«»OC \\ * \\«»OE \\ cos («»OC ,W «»OE)= r * r cos (2 * 72°)

= r 2 cos (144)° ) - 0,81 r 2

15.2. «»EC.«»CD = - «»CE.«»CD

= - \\«»CE \\ * \\«»CD \\ cos («»CE ,W «»CD)= 2 L cos (36)° * L cos (36)°

�C�LM�� = cos (36)° ; C�M� = L cos (36)° ; C�E� = 2L cos (36)°

= 2 L2 cos2 (36) ) - 1,31 L2

15.3. E�C� = 12 cm

15.3.1. E�C� = 2L cos (36)°

12 = 2L cos (36)° § L =�cos (

636)°�

\\«»ED \\ =�cos (

636)°� cm ) 7,42 cm ;

15.3.2. «»EC.«»ED = \\«»EC \\ * \\«»ED \\ cos («»EC ,W «»ED)= 12 *�

cos (636)°� * cos (36)°

= 72 ;

15.3.3. «»EC.«»DC = - «»CE.(- «»CD) = «»CE.«»CD

= \\«»CE \\ * \\«»CD \\ cos («»CE ,W «»CD)= 12 *�

cos (636)°� * cos (36)°

= 72 .

16. A1 (0 , 3) ; Pág. 108B1 (- 2 , 1) ; P (x , y)

16.1. M1 ��0 -22

� , �3 +

21

�� = (- 1 , 2) ;

«»MP.«»AB = 0 § (x + 1 , y - 2).(- 2 , 2) = 0

§ - 2x - 2 - 2y + 4 = 0

§ x + y - 1 = 0 § y = - x + 1 ;

A B

D

E

108º

O 72ºrM

54º

36º

L

C

L

A B

C

1

1

1

60º

60º

60º

1��5�

I�P��5�

M

A

I

N

P

aa

90 – a

V√5

4��26�

4��26�

4��36 - 1�0�

4��(6 +��10�) (6� -�1�0�)�

4��6 +��10��.�6 -��10��

»a.»b = (»u + »v ).(»u - »v ) = \\»u||2 - \\»v||2

= 5 - 1 = 4

\\»a|| = �»a.»a� = �(»u + »v)�.(»u +�»v )�= �\\»u||2 +� 2»u.»v�+ \\»v||�2�=�5 + 2 ��5� - 1�cos 45�° + 1� =�6 +��10��

\\»b|| = �»b.»b� = �(»u - »v)�.(»u -�»v )� =

= �\\»u||2 -� 2»u.»v�+ \\»v||�2� =�6 -��10��

»a.»b��||»a||||»b||

31


16.2. «»AP.«»BP = 0 § (x , y - 3).(x + 2 , y - 1) = 0

§ x2 + 2x + y2 - y - 3y + 3 = 0

§ x2 + y2 + 2x - 4y + 3 = 0 .

17. (x + 1)2 + (y - 1)2 = 5

17.1. (1 + 1)2 + (2 - 1)2 = 5 § 4 + 1 = 5

§ 5 = 5 ; A å C ;

17.2. O1 (- 1 , 1) é o centro da circunferência C .

«»AP.«»OA = 0 § (x - 1 , y - 2).(2 , 1) = 0

§ 2x - 2 + y - 2 = 0

§ y = - 2x + 4 .

18. Seja [ABCDEFGH] um cubo de aresta a .

F�C� =�a2 + a2� =�2�a ;

F�D� =�a2 + a2� + a2� =�3�a

18.1. cos («»FD ,W «»FG ) =

«»FD.«»FG = («»FG + «»GD ).«»FG

= «»FG.«»FG + «»FG.«»GD ‚M«»FG Y «»GD

= \\«»FG \\2+ 0

= a2

cos («»FD ,W «»FG ) = =

(«»FD ,W «»FG ) = cos- 1 � � ) (54,74)° ;

18.2. cos («»FD ,W «»FC ) =

«»FD.«»FC = («»FC + «»CD ).«»FC= «»FC.«»FC + «»CD.«»FC ‚

M«»CD Y «»FC

= \\«»FC \\2+ 0 = (�2�a)2 = 2a2

cos («»FD ,W «»FC ) = =

(«»FD ,W «»FC ) = cos- 1 � � ) (35,26)° .

19. W = 20 * 60 * cos 60° = 600 J .

20.

�1v5x

0� = cos (220°) § vx = 150 cos (220°)

�1v5y

0� = sin (220°) § vy = 150 sin (220°)

»v = (150 cos (220°) , 150 sin (220°))

) (- 114,91 ; - 96,42) .

21. A1 (2 , 2 , 3) ; Pág. 109B1 (0 , - 2 , 1) ; P (x , y , z)

21.1. «»AP.«»BP = 0 define a superfície esférica de diâ-

metro [AB]

(x - 2 , y - 2 , z - 3).(x , y + 2 , z - 1) = 0

§ x2 - 2x + y2 - 4 + z2 - z - 3z + 3 = 0

§ x2 + y2 + z2 - 2x - 4z - 1 = 0

Superfície esférica de diâmetro [AB] :

x2 + y2 + z2 - 2x - 4z - 1 = 0 ;

21.2. M1 (1 , 0 , 2)

«»MP.«»AB = 0 define o plano mediador de [AB] .

(x - 1 , y , z - 2).(- 2 , 4 , - 2) = 0

§ - 2x + 2 - 4y - 2z + 4 = 0

§ x + 2y + z - 3 = 0

Plano mediador de [AB] : x + 2y + z - 3 = 0 .

22.

�2v0x� = cos (52°) § vx = 20 cos (52°)

�2v0y� = sin (52°) § vy = 20 sin (52°)

»v = (20 cos (52°) , 20 sin (52°))

) (12,31 ; 15,76) .

20

52ºx

y

vy

vx

220º

150

vx

vy

2��6�

2��6�

2a2

��3�a.�2�a

«»FD.«»FC��||«»FD||||«»FC||

1��3�

1��3�

a2

��3�a.a

«»FD.«»FG��||«»FD||||«»FG||

A B

CD

FE

GH

O (-1, 1)

P (x, y)

A (1, 2)

32

Geometria II

23.

||»P||= 60 * 9,8 = 588 N

= sin 30°

||»F '||=||»P||sin 30°

||»F '||= 588 * �12

�

||»F '||= 294 N

Logo, F > 294 N .

24. »u = (5 , 2) ; »v = (4 , 5)

24.1. »u + »v = (9 , 7) = »r

\\»u + »v||=�81 + 4�9� =�130� ) 11,40 ;

24.2. cos (»r ,W »i ) =

= =

(»r ,W »i ) = cos- 1 � � ) 38° .

4 Complementos de geometria analíticano plano

1.1. A1 (4 , 1) ; B1 (5 , 3) ; Pág. 115C1 (2 , 3) ; D1 (2 , 6) ;

E1 (- 5 , 2) ; F1 (- 5 , 6) ;

G1 (- 2 , 2) ;

1.2. a) mAB =�35--

14

� = 2 ;

b) mAC =�32--

14

� = �-22� = - 1 ;

c) mBD =�62--

35

� = �-33� = - 1 ;

d) mFD =�-65--62

� = 0 ;

e) Não está definido;

f) mEG =�-22-+25

� = 0 ;

1.3. AB : m = 2 ; A1 (4 , 1)

y - 1 = 2 (x - 4) § y = 2x - 8 + 1

§ y = 2x - 7

AC : m = - 1 ; A1 (4 , 1)

y - 1 = - 1 (x - 4) § y = - x + 4 + 1

§ y = - x + 5

BD : m = - 1 ; B1 (5 , 3)

y - 3 = - 1 (x - 5) § y = - x + 5 + 3

§ y = - x + 8

FD : m = 0 ; F1 (- 5 , 6)

y = 6

EF : É uma recta vertical: x = - 5

EG : m = 0 ; E1 (- 5 , 2)

y = 2 .

2.1. P1 (- 1 , 2) ; m = - �12

�

y - 2 = - �12

� (x + 1) § y = - �12

� x - �12

� + 2

§ y = - �12

� x + �32

� ;

2.2. P1 �0 , - �13

�� ; m = - 2

y + �13

� = - 2 (x - 0) § y = - 2x - �13

� .

3. m = - 3 ; A1 (- 1 , 0)

y - 0 = - 3 (x + 1) § y = - 3x - 3

4.1. A1 (- 1 , 0) ; B1 (- 3 , 0) ;

m =�-03-+01

� = 0 ; y = 0 ;

4.2. A1 �0 , �12

�� ; B1 (- 5 , 3) ;

m = = - �12

�

y - �12

� = - �12

� (x - 0) § y = - �12

� x + �12

� ;

4.3. A1 (- 1 , 0) ; B1 (- 2 , - 5) ;

m =�--

52-+

01

� = 5

y - 0 = 5 (x + 1) § y = 5x + 5 .

5. a : Recta vertical x = 3 ;

b : Recta vertical x = - 4 ;

c : (0 , 0) ; (1 , 1) ; m = 1 ; y = x ;

d : (0 , 0) ; (- 4 , 4) ; m = - 1 ; y = - x ;

e : (- 4 , 4) ; (3 , 4) ; m = 0 ; y = 4 ;

f : Recta horizontal y = - 1 .

3 - �12

�

�- 5 - 0

1

-3

-1 0

y

x

y = -3x - 3

9��130�

9��130�

(9 , 7).(1 , 0)��81 + 4�9� * 1

»r.»i��\\»r|| * \\»i||

||»F '||�||»P||

30º

30º

P

F’

F

33M11FNAGP - 3

4 Complementos de geometria analítica no plano

g : (- 4 , 4) ; (- 6 , 2) ;

m =�-26-+44

� = �--

22� = 1

y - 4 = 1 (x + 4) § y = x + 8

h : (3 , 4) ; (5 , 3) ;

m =�35--

43

� = - �12

�

y - 4 = - �12

� (x - 3) § y = - �12

� x + �32

� + 4

§ y = - �12

� x + �121� .

6.1. A1 (- 1 , 2) ; Pág. 116»v = (3 , - 1)

• Vectorial:

(x , y) = (- 1 , 2) + k (3 , - 1) , k å R ;

• Reduzida: m = - �13

� ;

y - 2 = - �13

� (x + 1) § y = - �13

� x + �53

� ;

6.2. A1 (- 2 , 0) ; »v = �- 1 , �12

��• Vectorial:

(x , y) = (- 2 , 0) + k �- 1 , �12

�� , k å R ;

• Reduzida: m = - �12

� ;

y - 0 = - �12

� (x + 2) § y = - �12

� x - 1 .

7. A1 (2 , 4) ; B1 (- 1 , 2)

7.1. «»AB = B - A = (- 3 , - 2) ;

7.2. a) • Vectorial:

(x , y) = (2 , 4) + k (- 3 , - 2) , k å R ;

• Reduzida: m = �23

� ;

y - 4 = �23

� (x - 2) § y = �23

� x + �83

� ;

b) P 1 (1 , 0)

• Vectorial:

(x , y) = (1 , 0) + k (- 3 , - 2) , k å R ;

• Reduzida: m = �23

� ;

y - 0 = �23

� (x - 1) § y = �23

� x - �23

� .

8.1. r : (0 , 3) + k (1 , 3) , k å R ; Pág. 119

s : (x , y) = (- 1 , 5) + k (- 1 , 2) , k å R

»r = (1 , 3) ; »s = (- 1 , 2)

cos a = =

= = ��22�� ± a = 45° ;

8.2. r : y = 2x + 1 ; s = - 3x

»r = (1 , 2) ; »s = (1 , - 3)

cos a = =

= = ��22�� ± a = 45° ;

8.3. r : x + y - 1 = 0 ; s : y = x + 2

»r = (1 , - 1) ; »s = (1 , 1)

cos a = = 0

± a = 90° ;

8.4. r : y = 2x + 3 ; s : y = 2x - 3

r // s ; (r ,W s) = 0° .

9. A1 (4 , 1) ; B1 (0 , 2) ; C1 (- 2 , - 2)

«»BC = (- 2 , - 4) ; «»BA = (4 , - 1) ; «»CA = (6 , 3)

cos («»BC ,W «»BA) =

= =

± («»BC ,W «»BA) ) (102,529)°

cos («»CB ,W «»CA) =

= = �2340� = �

45

�

± («»CB ,W «»CA) ) (36,870)°

(«»AC ,W «»AB) ) 180° - 102,529° - 36,870° = (40,601)°

AW ) (40,601)° ; BW ) (102,529)° ; CW ) (36,870)° .

10. r : y = x ; »r = (1 , 1)

s : (�3� - 1) x + (�3� + 1) y =�3� ;

»s = (�3� + 1 , -�3� + 1)»r.»s = (�3� + 1) + (-�3� + 1) = 2

\\»r||=�2�

\\»s||=�(�3� + 1)�2+ (-�3�� + 1)2� =

=�3 + 1 +� 2 �3�� + 3 +�1 - 2 ��3�� = 2 �2�

cos a = = = �12

�

± a = 60° .

11.1. a : y = - 3x + 1 Pág. 120a = tan- 1 (- 3) + 180° ) (108,43)° ;

11.2. b : y = 2x + �12

�

a = tan- 1 (2) ) 63,43° ;

2��2� * 2 �2�

|»r.»s|��||»r||||»s||

12 + 12��20� �45�

(2 , 4).(6 , 3)��20� �36 + 9�

- 4��340�

- 8 + 4��20� �17�

(- 2 , - 4).(4 , - 1)��4 + 16� *�16 + 1�

|(1 , - 1).(1 , 1)|��

�1 + 1� *�1 + 1�

5�5 �2�

|1 - 6|��5� �10�

|(1 , 2).(1 , - 3)|��

�1 + 4� *�1 + 9�

5�5 �2�

|- 1 + 6|��10� �5�

|(1 , 3).(- 1 , 2)|��

�1 + 9� *�1 + 4�

34

Geometria II

11.3. c : x + 2y - 2 = 0 § 2y = - x + 2

§ y = - �12

� x + 1

a = tan- 1 �- �12

�� + 180 ) 153,43° ;

11.4. d : y = - 2x

a = tan- 1 (- 2) + 180 ) 116,57° ;

11.5. e : y = - 50

a = tan- 1 (0) = 0° ;

11.6. f : x = 1800

O declive não está definido; a = 90° .

12. A1 (- 1 , 5)

12.1. m = tan ��π3

� rad� =�3�

y - 5 =�3� (x + 1) § y =�3�x +�3� + 5

y =�3�x +�3� + 5 ;

12.2. m = tan (1 rad) ) 1,56 (2 c. d.)

y - 5 = 1,56 (x + 1)

§ y = 1,56x + 6,56 (2 c. d.) ;

12.3. m = tan (45°) = 1

y - 5 = 1 (x + 1) § y = x + 6 ;

12.4. m = tan (15°) ) 0,27

y - 5 = 0,27 (x + 1)

§ y = 0,27x + 5,27 (2 c. d.)

13.1. - 1 ; Pág. 124

13.2. �12

� ;

13.3. �15

� ;

13.4. - 2 ;

13.5. - ��22�� ;

13.6. =

= = - - �12

� ;

13.7. =

=�-�22�--3�3�

� =�2� +�3� .

14. y = �12

� x ; y = �12

� x + 1 ; y = �12

� x + 2 ;

y = �12

� x - 1 ; y = �12

� x - 2 (por exemplo).

15. A1 (1 , 5) ; m = 2

y - 5 = 2 (x - 1) § y = 2x + 3 .

16. A1 (- 1 , 3) Pág. 125

16.1. y = �12

� x - �12

� ; m = - 2

y - 3 = - 2 (x + 1) § y = - 2x + 1 ;

16.2. �x -

31

� =�y +

21

� § 2x - 2 = 3y + 3

§ y = �23

� x - �53

� ; m = - �32

�

y - 3 = - �32

� (x + 1) § y = - �32

� x + �32

� ;

16.3. x = 100 ; y = 3 ;

16.4. y = - 5 ; x = - 1 ;

16.5. 2x + 3y - 1 = 0 § y = - �23

� x + �13

� ; m = �32

�

y - 3 = �32

� (x + 1) § y = �32

� x + �92

� ;

16.6. - �2x

� =�y -

53

� + 1 § - 5x = 2y - 6 + 10

§ 2y = - 5x - 4 § y = - �52

� x - 2 ; m = �25

�

y - 3 = �25

� (x + 1) § y = �25

� x + �157� .

17. A1 (6 , 2) ; B1 (- 3 , - 1) ;

C1 (0 , 7) .

17.1. a) «»AB = B - A = (- 3 - 6 , - 1 - 2) = (- 9 , - 3) ;

b) «»BC = C - B = (0 , 7) - (- 3 , - 1) = (3 , 8) ;

c) «»AC = C - A = (0 , 7) - (6 , 2) = (- 6 , 5) ;

17.2. a) Ponto médio de [AB] : M1 ��32

� , �12

�� ;

P (x , y)

«»MP.«»AB = 0

§ �x - �32

� , y - �12

��.(- 9 , - 3) = 0

§ - 9x + �227� - 3y + �

32

� = 0

§ 3x + y - 5 = 0 ;

b) Ponto médio de [BC] : M1 �- �32

� , 3� ;

P (x , y)

«»MP.«»BC = 0

§ �x + �32

� , y - 3�.(3 , 8) = 0

§ 3x + �92

� + 8y - 24 = 0

§ 3x + 8y - �329� = 0

§ 6x + 16y - 39 = 0 ;

c) Ponto médio de [AC] : M1 �3 , �92

�� ;

P (x , y)

«»MP.«»AC = 0

§ �x - 3 , y - �92

��.(- 6 , 5) = 0

§ - 6x + 18 + 5y - �425� = 0

§ 6x - 5y + �92

� = 0

§ 12x - 10y + 9 = 0 ;

- 1 (�2� +�3�)��(�2� -�3�) (�2� +�3�)

- 1��2� -�3�

�3��

2-�3� - 1��

3 - 1

- 1 (�3� + 1)��(�3� - 1) (�3� + 1)

- 1��3� - 1

35


17.3. a) Recta que passa em C 1 (0 , 7) e é

perpendicular a «»AB = (- 9 , - 3) ; m = - 3

y - 7 = - 3 (x - 0) § y = - 3y + 7 ;

b) Recta que passa em A 1 (6 , 2) e é

perpendicular a «»BC = (3 , 8) ; m = - �38

�

y - 2 = - �38

� (x - 6) § y = - �38

� x + �147� ;

c) Recta que passa em B1 (- 3 , - 1) e

é perpendicular a «»AC = (- 6 , 5) ; m = �65

�

y + 1 = �65

� (x + 3) § y = �65

� x + �153� ;

17.4. A1 (6 , 2)

«»BC = (3 , 8) ; m = �83

�

y - 2 = �83

� (x - 6) § y = �83

� x - 14 .

18. r : y = - 2x + 1

s : kx + 3y = 5 § y = - �3k

� x + �53

� ;

18.1. - �3k

� = - 2 § k = 6 ;

18.2. - �3k

� = �12

� § - k = �32

� § k = - �32

� .

19. «»CA = (5 , - 3) ; «»AP = (x - 4 , y)

«»AP.«»CA = 0 § (x - 4 , y).(5 , - 3) = 0

§ 5x - 20 - 3y = 0

§ 3y = 5x - 20

§ y = �53

� x - �230� .

20. A1 (1 , 3) ; r é perpendicular a »v = (- 1 , 2) ;

m = �12

� ; y - 3 = �12

� (x - 1) § y = �12

� x + �52

� .

21. r : y = - 2x + 6 ; »r = (1 , - 2)

21.1.

A1 (0 , 0)

B1 (a , b)

M1 ��2a

� , �2b

��«»AB = (a , b)

21.2. A1 (4 , 6)

B1 (a , b)

M1 ��a +24

� , �b +

26

��«»AB = (a - 4 , b - 6)

21.3. A1 (1 , 2)

B1 (a , b)

M1 ��a +21

� , �b +

22

��«»AB = (a - 1 , b - 2)

; B1 ��153� , �

154�� .

b = �154�

a = �153�

adbdc

§

b = - 2a + 8

a - 2 (- 2a + 8) + 3 = 0

abc

§

b + 2 = - 2a - 2 + 12

a - 1 - 2b + 4 = 0

abc

§

�b +

22

� = - 2 �a +

21

� + 6

(a - 1 , b - 2).(1 , - 2) = 0

adbdc

§M å R«»AB.»r = 0

abc

; B1 �- �152� , �

154�� ;

b = �154�

a = - �152�

adbdc

§

b = - 2a - 2

a - 2 (- 2a - 2) + 8 = 0

abc

§

b + 6 = - 2a - 8 + 12

a - 4 - 2b + 12 = 0

abc

§

�b +

26

� = - 2 �a +

24

� + 6

(a - 4 , b - 6).(1 , - 2) = 0

adbdc

§M å R«»AB.»r = 0

abc

; B1 ��254� , �

152��

b = �152�

a = �254�

adbdc

§

5b = 12

a = 2b

abc

§�2b

� = - 2b + 6

a = 2b

adbdc

§

�2b

� = - 2� �2�a

� + 6

a - 2b = 0

adbdc

§M å R«»AB.»r = 0

abc

A BM

r

A (4, 0)

P (x, y)

(-1, 3)C

36

Geometria II

22.1.Pág. 128

Sistema possível e determinado.

Solução: �5 , �43

�� ;

22.2.


Solução: (1 , - 1) ;

22.3.

Sistema impossível.

As rectas são estritamente paralelas;

22.4.


Solução: (1 , 0) ;

22.5.

Sistema indeterminado.

As rectas são coincidentes;

22.6.


Solução: (3 , 9) .

1 3 x

y

3

6

9

y = x + 6

y = 2x + 3

x = 3

y = 9

abc

§x + 6 = 2x + 3

y = x + 6

abc

§y = 2x + 3

y = x + 6

abc

§

2x - y + 1 = - 2

- 6 - x + y = 0

abc

§x -�

y -2

1� = - 1

- 2 -�x -

3y

� = 0

adbdc

0

1

-1

-1 1

y = -x - 1

y

x

y = - x - 1

y = - x - 1

abc

§- x = y + 1

x + y = - 1

abc

1

y

x

-1

0y = -x + 1

y = x - 11

y = 0

x = 1

abc

§y = - x + 1

x - 1 = - x + 1

abc

§1 - x = y

x - 1 = y

abc

1-1

x

y

0

y = x

- 1y =

x

y = x

0 = - 1

abc

§y = x

y = x - 1

abc

§x - y = 0

2x - 2y = 2

abc

0 4

1

-1

-4

x

y

1

y = x -23

53

y = - x +32

12

3

x = 1

y = - 1

abc

§- �

32

� x + �12

� = �23

� x - �53

�

y = - �32

� x + �12

�

adbdc

§

y = �23

� x - �53

�

y = - �32

� x + �12

�

adbdc

§2x - 3y = 5

3x + 2y = 1

abc

51 x

y

x = 5

y = x -1

3

13

43

0

y = �43

�

x = 5

adbdc

§5 - 3y = 1

x = 5

abc

§

x - 3y = 1

2x - 5 = 5

abc

37


23. Por exemplo:

23.1.

23.2.

23.3.

23.4.

24.1. P1 (1 , 3) Pág. 131r : y = - 2x + 5 § 2x + y - 5 = 0

d (P , r) = = 0 ;

P pertence à recta;

24.2. P (0 , 1) é um ponto de r : y = - 3x + 1

s : y = - 3x + 5 § 3x + y - 5 = 0

d (P , s) =

= = = ;

24.3. A1 (4 , 1) ; B1 (1 , - 2) ;

C1 (- 3 , 2)

«»AC = C - A = (- 7 , 1)

Recta AC

y - 1 = - �17

� (x - 4)

§ 7y - 7 = - x + 4 § x + 7y - 11 = 0

h = d (B , AC) = =��2

5

4

0��

A˚ = = = 12 u. a.

1. (A) 0 ≤ a ≤ 90° ; Pág. 134(B) O ângulo das rectas a e b é agudo e o

ângulo dos vectores »u e »v é recto;

(C) Se a é a inclinação de uma recta r e

a 0 90° , o declive de r é tan (a) ;

(D) A inclinação de uma recta é um valor, em

graus, do intervalo [0 , 180[ ;

(F) As rectas não são paralelas porque têm decli-

ves diferentes;

(I) A bissectriz de um ângulo é uma semi-recta.

2. r : x + 7y = 36 ; Q1 ��92

� , �92

��2.1. �

92

� + 7 * �92

� = 36 § 8 * �92

� = 36

§ 4 * 9 = 36 § 36 = 36 ;

2.2. • Seja x o comprimento da semidiagonal do

quadrado.

Então x2 + x2 = 52 § 2x2 = 25

§ x2 = �225� § x = �

�5

2�� .

• »r = (7 , - 1) é um vector director de r .

Então «»QC é colinear com r e \\«»QC|\= ��5

2�� .

«»QC = k (7 , - 1) , k å R

«»QC = (7k , - k)

\\«»QC|\= ��5

2�� § �(7k)2 +� (- k)2� = �

�5

2��

§ �50k2� = ��5

2�� § \k| 5 *�2� = �

�5

2��

§ k = ��5

2�� *�

5�1

2�� § \k|= �

12

�

§ k = - �12

� › k = �12

�

Logo, «»QC = ��72

� , - �12

�� , - «»QC = «»QA = �- �72

� , �12

�� .

As diagonais de um quadrado são perpendicula-

res e bissectam-se. Então, «»QB e «»QD são orto-

gonais a «»QA e «»QC e têm a mesma norma. Ou

seja, «»QB = �- �12

� , - �72

�� e «»QD = ��12

� , �72

�� .

A = Q + «»QA = ��92

� , �92

�� = �- �72

� , �12

�� = (1 , 5)

B = Q + «»QB = ��92

� , �92

�� = �- �12

� , - �72

�� = (4 , 1)

C = Q + «»QC = ��92

� , �92

�� = ��72

� , - �12

�� = (8 , 4)

D = Q + «»QD = ��92

� , �92

�� = ��12

� , �72

�� = (5 , 8)

y

x0

92

92

Q

5

A

B

C

D

r

�49 + 1� *��2

5

4

0��

��2

||«»AC||.h�

2

|1 - 14 - 11|��

�1 + 49�

C

B

A

h

2 �10��

54 �10��

104

��10�

|3 * 0 + 1 - 5|��

�32 + 1�

|2 * 1 + 3 - 5|��

�22 + 1�

y = - x + 2

y = x + 2

abc

y = 2x + 1

y = x + 2

abc

x + y = 1

2x + 2y = 2

abc

y = x

y = x + 1

abc

38

Geometria II

A1 (1 , 5) ; B1 (4 , 1) ;

C1 (8 , 4) ; D1 (5 , 8) .

3.1. »u1 (6 , 4) ; Pág. 135»v1 (6 , 4);

»w1 (- 5 , 3) ;

3.2. \\»w|\=�25 + 9� =�34�

»a = »w = (- 5 , 3)

= � , � , por exemplo.

3.3. cos (»u ,W »w)=

=

= =

(»u ,W »w) = cos- 1 � � ) (115,35)° ;

3.4.1. • A1 (8 , 6) ;

»u = (6 , 4) ; m = �46

� = �23

�

r : y - 6 = �23

� (x - 8) § 3y - 18 = 2x - 16

§ 2x - 3y + 2 = 0

• B1 (- 5 , 3) ;

»w = (- 5 , 3) ; m = - �35

�

s : - 3 = - �35

� (x + 5) § 5y - 15 = - 3x - 15

§ 3x + 5y = 0

r : 2x - 3y + 2 = 0 ; s : 3x + 5y = 0 ;

3.4.2. cos a = =

a = cos- 1 � � ) (64,65)° ;

3.4.3. Inclinação de r : tan- 1 ��23

�� ) (33,69)°

Inclinação de s :

tan- 1 �- �35

�� + 180° ) (149,04)° ;

3.5. A1 (8 , 6)

3.5.1. a = �π2

� rad , t : x = 8 ;

3.5.2. a = 0 rad ; m = tan (0) = 0 ; t : y = 6 ;

3.5.3. a = 2 rad ; m = tan (2) ) - 2,19

t : y - 6 = - 2,19 (x - 8)

§ y = - 2,19x + 23,52 (2 c. d.) ;

3.6. p : 2x + 3y - 5 = 0 ;

»u = (2 , 3) Y »p ;

A1 (8 , 6)

y - 6 = �32

� (x - 8) § y = �32

� x - 6 ;

3.7. »w = (- 5 , 3) ; m = - �35

�

y = - �35

� x § 5y = - 3x § 3x + 5y = 0

A1 (8 , 6)

d = = =

= =�27

1�7

34�� ) 9,26 ;

3.8. Recta OE : «»QE = »u = (6 , 4) ; m = �46

� = �23

�

y = �23

� x § 3y = 2x § 2x - 3y = 0 ;

C1 (2 , 6)

d (CD , OE) = d (C , OE) =

= =�14

1�3

13�� ) 3,88 ;

3.9.

O�E� = \\»u|\=�36 + 1�6� =�52� = 2 �13�

h = d (C , OE) =�14

1�3

13��

A˚ = = 14 u. a.

5 Complementos de geometria analíticano espaço

1.1. ABE : x = 3 ; FOC : x = 0 ; Pág. 138CAD : y = - 3 ; BOF : y = 0 ; ABO : z = 0 ;

DEF : z = 5 ;

1.2. AB : ; BO : ; OC : ;

CA : ; AD : ; BE : ;

OF : ; CG : ; DE : ;

EF : ; FG : ; GD : .

2.1. A1 (- 3 , 1 , 0) ; Pág. 141»u = (- 1 , 1 , 2)

�x-+13

� =�y -

11

� = �2z

� § - x - 3 = y - 1 = �2z

� ;

y = - 3

z = 5abc

x = 0

z = 5abc

y = 0

z = 5abc

x = 3

z = 5abc

x = 0

y = - 3abc

x = 0

y = 0abc

x = 3

y = 0abc

x = 3

y = - 3abc

y = - 3

z = 0abc

x = 0

z = 0abc

y = 0

z = 0abc

x = 3

z = 0abc

2 �13� *�14

1�3

13��

��2

E

O

h

C

14��13�

|2 * 2 - 3 * 6|��

�4 + 9�

54 �34��

34

54��34�

24 + 30�

�34�|3 * 8 + 5 * 6|��

�9 + 25�

18��1768�

18��1768�

|»u.»w|��||»u|| ||»w||

- 18��1768�

- 18��1768�

- 30 + 12��52� �34�

(6 , 4).(- 5 , 3)��36 + 1�6� �25 + 9�

»u.»w��||»u|| ||»w||

3�34��

34- 5�34��

34

�34��

341

��34�

39

5 Complementos de geometria analítica no espaço

2.2. A1 (0 , 1 , 5) ;

»u = (0 , 1 , 6)

;

2.3. A1 (- 2 , - 1 , 0) ;

»u = (2 , 0 , - 1)

.

3.1. �x -

21

� =�y -

31

� = z § �x -

21

� =�y -

31

� =�z -

10

�

A1 (1 , 1 , 0) e »u = (2 , 3 , 1) (p. e.) ;

3.2. �x-+13

� =�y -

21

� = �5z

�

A1 (- 3 , 1 , 0) e »u = (- 1 , 2 , 5) (p. e.) ;

3.3. �4 +

62x

� =�1

2- y� = �

1z

� § �x +

32

� =�y--21

� = �1z

�

A1 (- 2 , 1 , 0) e »u = (3 , - 2 , 1) (p. e.) ;

3.4. �4 +

32x

� =�6 -

22y

� = z + 5

§ =�y--12

� =�z +

15

�

A1 (- 2 , 3 , - 5) e

»u = ��32

� , - 1 , 1� (p. e.) .

4.1. A1 (1 , 2 , 3) ; r : �x -

21

� =�y -

32

� = z ;

»r = (2 , 3 , 1) ; s : �x -

21

� =�y -

32

� = z - 3 ;

4.2. A1 (0 , - 1 , 2) ; r : ;

»r = (0 , 1 , 0) ; s : ; s = r ;

4.3. A1 (- 1 , 1 , 1) ; r : ;

»r = (0 , 1 , 3) ; s : .

5.1. V1 (0 , 0 , h) com h > 0

A1 (3 , 3 , 0) ; A aresta da base mede 6 .

V = �13

� Ab * h § 96 = �13

� * 62 * h § h = 8

Logo, V1 (0 , 0 , 8) ;

5.2. A1 (3 , 3 , 0) ; B1 (- 3 , 3 , 0) ;

C1 (- 3 , - 3 , 0) ; D1 (3 , - 3 , 0) ;

«»AB = «»DC = (- 6 , 0 , 0) ;

«»DA = «»CB = (0 , 6 , 0)

AB : ; BC : ;

CD : ; DA : .

5.3. V1 (0 , 0 , 8)

«»VA = (3 , 3 , - 8)

«»BV = (3 , - 3 , 8)

«»CV = (3 , 3, 8) ;

«»VD = (3 , - 3 , - 8)

VA : �3x

� = �3y

� =�z--88

� ;

BV : �3x

� = �-y3� =�

z -8

8� ;

CV : �3x

� = �3y

� =�z -

88

� ;

VD : �3x

� = �-y3� =�

z--88

� .

6. A1 (2 , 0 , 0) ; Pág. 142B1 (2 , 1 , 0) ; C1 (0 , 1 , 0) ;

E1 (2 , 0 , 3) ; F1 (2 , 1 , 3) ;

G1 (0 , 1 , 3) ; H1 (0 , 0 , 3)

6.1. «»EF = (0 , 1 , 0) ;

«»CB = (2 , 0 , 0)

«»EF.«»CB = 0 ± (EF ,W CB) = 90° ;

6.2. «»HG = (0 , 1 , 0) ;

«»AB = (0 , 1 , 0)

«»HG = «»AB ± (HG ,W AB) = 0° ;

6.3. «»AG = (- 2 , 1 , 3) ;

«»HE = (2 , 0 , 0)

cos a = =

= =

a = cos- 1 ��2

14�� ) (57,69)° ;

6.4. «»EC = (- 2 , 1 , - 3) ;

«»HF = (2 , 1 , 0)

cos a =

= =

a = cos- 1 � � ) (68,99)° .3��70�

3��70�

|- 4 + 1|��4 + 1 +� 9� *�4 + 1�

|«»EC.«»HF|��||«»EC|| * ||«»HF||

2��14�

4��14� * 2

|- 4|��4 + 1 +� 9� *�4�

|«»AG.«»HE|��||«»AG|| * ||«»HE||

x = 3

z = 0abc

y = - 3

z = 0abc

x = - 3

z = 0abc

y = 3

z = 0abc

x = - 1

y - 1 =�z -

31

�

adbdc

x = 0

y - 2 =�z -

31

�

adbdc

x = 0

z = 2abc

x = 0

z = 2abc

x + 2�

�32

�

�x +

22

� = - z

y = - 1

abc

§�x +

22

� = �-z1�

y = - 1

abc

x = 0

y - 1 =�z -

65

�

abc

§x = 0

�y -

11

� =�x -

65

�

abc

40

Geometria II

7.1. A1 (2 , 0 , 0) ; Pág. 147B1 (0 , 2 , 0) ; C1 (- 2 , 0 , 0) ;

D1 (0 , - 2 , 0) ; E1 (0 , 0 , - 2) ;

F 1 (0 , 0 , 2) ;

7.2. a) A1 (2 , 0 , 0) ;

«»AB = (- 2 , 2 , 0)

AB :

b) B1 (0 , 2 , 0) ;

«»BF = (0 , - 2 , 2)

BF :

7.3. «»AB = (- 2 , 2 , 0) ; F1 (0 , 0 , 2)

- 2 (x - 0) + 2 (y - 0) + 0 (z - 2) = 0

§ - 2x + 2y = 0 § x - y = 0 ;

7.4. A1 (2 , 0 , 0) ;

«»AB = (- 2 , 2 , 0) ;

«»AF = (- 2 , 0 , 2)

Seja »n = (a , b , c)

»n = (a , a , a)

Para a = 1 , »n = (1 , 1 , 1)

ABF : 1 (x - 2) + y + z = 0 § x + y + z - 2 = 0 ;

7.5. «»BF = (0 , - 2 , 2) ; O1 (0 , 0 , 0) ;

0 (x - 0) - 2 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0

§ - 2y + 2z = 0 § y - z = 0 ;

7.6. A1 (2 , 0 , 0) ;

«»FC = (- 2 , 0 , - 2) ;

«»BD = (0 , - 4 , 0)

Seja »n = (a , b , c)

»n = (- c , 0 , c)

Para c = - 1 , »n = (1 , 0 , - 1)

1 (x - 2) + 0 (y - 0) - 1 (z - 0) = 0 .

8.1. a) A1 (2 , 0 , 0) ; B1 (2 , 2 , 0) ;

C1 (0 , 2 , 0) ; V1 (1 , 1 , 5) ;

«»AB = (0 , 2 , 0) ; A1 (2 , 0 , 0)

AB :

b) «»BV = (- 1 , - 1 , 5) ;

B1 (2 , 2 , 0)

BV : �x--12

� =�y--12

� = �5z� § 2 - x = 2 - y = �

5z� ;

c) E1 (1 , 1 , 0) ;

«»VE = (0 , 0 , - 5)

VE : ;

8.2. B1 (2 , 2 , 0) ;

«»BV = (- 1 , - 1 , 5)

- 1 (x - 2) - 1 (y - 2) + 5 (z - 0) = 0

§ - x - y + 5z + 4 = 0 § x + y - 5z - 4 = 0 ;

8.3. «»AB = (0 , 2 , 0) ;

«»AV = (- 1 , 1 , 5) ;

»n = (a , b , c)

»n = (5c , 0 , c) ; para c = 1 , »n = (5 , 0 , 1)

B1 (2 , 2 , 0) é um ponto da recta;

»n = (5 , 0 , 1) é um vector director

;

8.4. V = �13

� Ab * h = �13

� 22 * 5 = �230� u. v. ;

8.5.

M�V�2= 12 + 52 ; M�V� =�26�

AL = 4 * AF = 4 * = 2 * 2 *�26�

= 4 �26�

4 �26� u. a.

9. A1 (0 , 1 , 2) ; B1 (- 1 , 0 , 3) ;

C1 (- 1 , 3 , 0) ; D1 (0 , 0 , 5)

9.1. «»BC = (0 , 3 , - 3)

; x = 0

y - 1 = 2 - zabc

§x = 0

�y -

31

� =�z--32

�

abc

A�B� * M�V��

2

V

1

V

5

M EMA B

�x -

52

� = z

y = 2

abc

§�x -

52

� = �1z

�

y = 2

abc

b = 0

a = 5c

abc

§2b = 0

- a + b + 5c = 0

abc

§»n.«»AB = 0

»n.«»AV = 0

abc

x = 1

y = 1abc

x = 2

z = 0abc

a = - c

b = 0

abc

§- 2a - 2c = 0

- 4b = 0

abc

§»n.«»FC = 0

»n.«»BD = 0

abc

b = a

c = a

abc

§- 2a + 2b = 0

- 2a + 2c = 0

abc

§»n.«»AB = 0

»n.«»AF = 0

abc

x = 0 ‹ 2 - y = z§x = 0

�y--22

� = �2z

�

abc

2 - x = y ‹ z = 0§�x--22

� = �2y

�

z = 0

abc

41


9.2. «»CD = (1 , - 3 , 5) ;

A1 (0 , 1 , 2) ;

1 (x - 0) - 3 (y - 1) + 5 (z - 2) = 0

§ x - 3y + 5z - 7 = 0 ;

9.3. Seja »n = (a , b , c) ;

«»BC = (0 , 3 , - 3) ;

«»CD = (1 , - 3 , 5)

»n = (- 2c , c , c) ; para c = - 1 tem-se

»n = (2 , - 1 , - 1)

2 (x - 0) - (y - 1) - (z - 2) = 0

§ 2x - y - z + 3 = 0 .

10. a : x - y + z = 1 Pág. 14910.1. »n = (1 , - 1 , 1) é normal a a .

Logo n Y b , sendo b // a .

O1 (0 , 0 , 0) å b ;

b : 1 (x - 0) - 1 (y - 0) + 1 (z - 0) = 0

§ b : x - y + z = 0 ;

10.2. Seja »t = (a , b , c) um vector normal ao plano

pedido.

Logo (a , b , c).(1 , - 1 , 1) = 0

§ a - b + c = 0 § b = a + c .

Há uma infinidade de soluções.

Por exemplo, para a = 1 e c = 1 tem-se b = 2 .

»t = (1 , 2 , 1) é normal ao plano pedido.

1 (x - 0) + 2 (y - 0) + 1 (z - 0) = 0

§ x + 2y + z = 0 .

x + 2y + z = 0 (por exemplo).

11.1. x = 0 ; x = 3 ; z = 0 ; z = 3 ; Pág. 150

11.2. a) y = 3 ;

b) D1 (3 , 0 , 3) ; C1 (0 , 3 , 0)

«»DC = (- 3 , 3 , - 3)

F1 (0 , 3 , 3)

- 3 (x - 0) + 3 (y - 3) - (z - 3) = 0

§ - 3x + 3y - 3z § x - y + z = 0 .

12.Pág. 152

(x , y , z) = (0 , 1, 2) + k (1 , - 1 , - 3) , kåR .

13.1. Por exemplo:

a) OCF : x = 0 ; ABE : x = 1 ;

b) ABE : x = 1 ; EBC : y = 1 ;

c) ABE : x = 1 ; OBE : x - y = 0 ;

13.2. ABC : z = 0 ; »u = (0 , 0, 1) é normal a ABC .

Plano BCD : B1 (1 , 1 , 0) ;

C1 (0 , 1 , 0) ; D1 (1 , 0 , 1)

«»BC = (- 1 , 0 , 0) ;

«»BD = (0 , - 1 , 1)

Seja »n = (a , b , c) normal a BCD

Para c = 1 , »n = (0 , 1 , 1)

Seja q o ângulo dos dois planos

cos q =

=

= = .

Logo, q = 45° .

14.1. Pág. 154r : (x , y , z) = (1 , 3 , 0) + l (1 , 0 , 2) , låRa : x + y - 2z - 1 = 0

R1 (1 + l , 3 , 2l) , l å R

R å a § (1 + l) + 3 - 2 (2l) - 1 = 0

§ - 3l + 3 = 0 § l = 1

I1 (2 , 3 , 2) ;

14.2. r : �x -

22

� =�y -

31

� = 1 - z

a : x - y - z = 0

r : (x , y , z) = (2 , 1 , 1) + l (2 , 3 , - 1) ,

l å R

R1 (2 + 2l , 1 + 3l , 1 - l) , l å R

R å a § 2 + 2l - (1 + 3l) - (1 - l) = 0

§ 0 = 0

A equação é indeterminada. Logo, a recta está

contida no plano; r © a = r .

�2��

21

��2�

|(0 , 0 , 1).(0 , 1 , 1)|��

1 *�1 + 1�

|»u.»n|��||»u|| ||»n||

a = 0

b = c

abc

§- a = 0

- b + c = 0

abc

§»n.«»BC = 0

»n.«»BD = 0

abc

y =�y--11

� =�z--32

�§x =�- z

3+ 2�

x = - y + 1

abc

§

3x + z = 2

x = - y + 1

abc

§2x - (1 - x) + z = 1

y = 1 - x

abc

§

2x - y + z = 1

x + y = 1

abc

b = c

a = - 2c

abc

§b = c

a - 3c + 5c = 0

abc

§

3b - 3c = 0

a - 3b + 5c = 0

abc

§»n.«»BC = 0

»n.«»CD = 0

abc

42

Geometria II

15.1. A1 (3 , 0 , 0) ; B1 (0 , 0 , 4)

«»AB = (- 3 , 0 , 4) é um vector director de AB .

x = y § x - y = 0 ; »n = (1 , - 1 , 0) é

normal ao plano.

sin q =

=

=

q = sin- 1 � � ) 25,1° .

16. a : x + y + z + 3 = 0 ; Pág. 155b : x + y + z - 1 = 0

A1 (0 , 0 , - 3) å a

d (a , b) = d (A , b) =

= = u. c.

17.1. Pág. 160

Os três planos intersectam-se no ponto

(1 , 0 , 2) ;

17.2.

»u1 = (1 , - 1 , 1) Y a

»u2 = (1 , - 3 , 0) Y b

»u3 = (2 , - 2 , 2) Y p

»u3 = 2 »u1

Os planos a e p são estritamente paralelos

e secantes a b . O sistema é impossível.

17.3.

O sistema é impossível. Como não há planos para-

lelos, estes intersectam-se dois a dois segundo

rectas paralelas.

18.

O sistema é impossível. Como não há planos para-

lelos, estes intersectam-se dois a dois segundo

rectas paralelas.

z = 3x + 2y - 1

x = - y - 3

0 = 18

adbdc

§

z = 3x + 2y - 1

x = - y - 3

- 5x - 15 + 5y = 3

adbdc

§

z = 3x + 2y - 1

5x + 5y = 3

- x - y = 3

adbdc

§

z = 3x + 2y - 1

2x + 3y + 3x + 2y - 1 = 2

2x + y - 3x - 2y + 1 = 4

adbdc

§

3x + 2y - z - 1 = 0

2x + 3y + z - 2 = 0

2x + y - z - 4 = 0

adbdc

ba

p

x = 2 - y

1 = 3

z = - 1

adbdc

§

x + y = 2

x + y - 1 = 3

z = - 1

adbdc

§

x + y = 2 @ a

x + y + z = 3 § @ b

z = - 1 @ p

adbdc

b

a

p

x - y + z = 0 @ a

x - 3y + 2 = 0 @ b

2x - 2y + 2z = 1 @ p

adbdc

x = 1

y = 0

z = 2

adbdc

§

x = 2y - z + 3

y =�3z

7- 6�

9 *�3z

7- 6� - 8z = - 16

addbddc

§

x = 2y - z + 3

7y - 3z = - 6

9y - 8z = - 16

adbdc

§

x = 2y - z + 3

2 (2y - z + 3) + 3y - z = 0

5 (2y - z + 3) - y - 3z = - 1

adbdc

§

x - 2y + z = 0 @ a

2x + 3y - z = 0 @ b

5x - y - 3z + 1 = 0 @ p

adbdc

4 �3��

3|4|��3�

|0 + 0 - 3 - 1 |��

�1 + 1 +� 1�

3�5 �2�

3�5 �2�

|(- 3 , 0 , 4).(1 , - 1 , 0)|��

�9 + 0 +� 16� *�1 + 1�

|«»AB.»n|��||«»AB|| * ||»n||

43


19.1.

2x - 4y - 6z + 2 = 0 § x - 2x - 3z + 1 = 0

§ p1 = p3

p1 e p3 são coincidentes e secantes a p2

A intersecção é a recta r :

19.2.


P1 (0 , - 4 , 4) .

1.1. P1 (1 , 3 , 4) , Pág. 170»u = (1 , 0 , 2)

1 (x - 1) + 0 (y - 3) + 2 (2 - 4) = 0

§ x + 2z - 9 = 0 ;

1.2. P1 (1 , 0 , 0) , »u = (0 , 0 , 1)

0 (x - 1) + 0 (y - 0) + 1 (z - 0) = 0 § z = 0 ;

1.3. P 1 (0 , 0 , 0) , »u = (1 , - 3 , - 1)

1 (x - 0) - 3 (y - 0) - 1 (z - 0) = 0

§ x - 3y - z = 0 .

2.1. A1 (- 1 , 0 , 2) ;

B1 (0 , 0 , 3) ;

C1 (1 , 0 , 1)

«»AB = (1 , 0 , 1) ; «»AC = (2 , 0 , - 1)

»n = (a , b , c)

Para b = 1 , »n = (0 , 1 , 0)

ABC : 0 (x + 1) + 1 (y - 0) + 0 (z - 0) = 0

§ y = 0 ;

2.2. A1 (1 , - 1 , 0) ;

B1 �- 4 , �12

� , 2� ;

C1 (1 , 0 , 0)

«»AB = �- 5 , �32

� , 2� ;

«»AC = (0 , 1 , 0)

»n = (a , b , c)

Para a = 2 , »n = (2 , 0 , 5)

ABC : 2 (x - 1) + 0 (y + 1) + 5 (z - 0) = 0

§ 2x + 5z - 2 = 0 .

3.1. a : 2x - y + z - 1 = 0 ;

b : 4x - 2y + 2z - 5 = 0

»u = (2 , - 1 , 1) Y a ;

»v = (4 , - 2 , 2) Y b

»v = 2»u e 2 0 5

a e b são estritamente paralelos;

3.2. a : - x + y + 2z = 0 ;

b : 3x - 3y - 6z + 8 = 0

»u = (- 1 , 1 , 2) Y a ;

»v = (3 , - 3 , - 6) Y b

»v = - 3»u e 0 0 8

a e b são estritamente paralelos;

3.3. a : x - �15

� y - �110� z = 0 ;

b : 0,5x - 0,1y - 0,05z + 0,2 = 0

»u = �1 , - �15

� , - �110�� Y a ;

»v = (0,5 ; - 0,1 ; - 0,05)

�01,5� = = = 2

»u = 2»v e 0,4 0 0

a e b são estritamente paralelos.

4. r : (x , y , z) = (1 , 0 , 2) + l (1 , 3 , 2) , l å R

a : x - y + z + 10 = 0

»r = (1 , 3 , 2) é um vector director de r

»n = (1 , - 1 , 1) Y a

»r.»n = (1 , 3 , 2).(1 , - 1 , 1) = 1 - 3 + 2 = 0

± »r Y »n

Como »r Y »n , r // a .

5. a : x - 2y + z - 3 = 0

»n = (1 , - 2 , 1) Y aSeja »r = (a , b , c) o vector director de r

- �110�

�- 0,05

- �15

�

�- 0,1

c = �52

� a

b = 0

abc

§

- 5a + �32

� b + 2c = 0

b = 0

abc

§»n.«»AB = 0

»n.«»AC = 0

abc

c = 0

a = 0

abc

§

c = - a

3a = 0

abc

§a + c = 0

2a - c = 0

abc

§»n.«»AB = 0

»n.«»AC = 0

abc

x = 0

y = - 4

z = 4

adbdc

§

5x - y = 0

x + y + z = 0

x = 0

adbdc

p1 = p3

r p2

x - 2y - 3z + 1 = 0

2x - y + z - 1 = 0abc

x - 2y - 3z + 1 = 0

2x - y + z - 1 = 0

2x - 4y - 6z + 2 = 0

adbdc

44

Geometria II

5.1. r // a § »r Y »n

»r Y »n § »r.»n = 0 § a - 2b + c = 0

§ a = 2b - c

Por exemplo, para b = 1 e c = 1 , tem-se

a = 1 e »r = (1 , 1 , 1)

(x , y , z) = (0 , 0 , 0) + k (1 , 1 , 1) , k å R(por exemplo);

5.2. r Y a § »r e »n são colineares

Por exemplo, »r = (1 , - 2 , 1)

(x , y , z) = (0 , 0 , 0) + k (1 , - 2 , 1) , k å R(por exemplo).

6.1. a : 2x - 2y + 6z - 1 = 0 ; »u = (2 , - 2 , 6) Y a

b : 2x - y - z - 4 = 0 ; »v = (2 , - 1 , - 1) Y b

»u.»v = (2 , - 2 , 6).(2 , - 1 , - 1) = 4 + 2 - 6 = 0

»u.»v = 0 § »u Y »v § a Y b ;

6.2. a : 3x - 3y + z - 8 = 0 ; »u = (3 , - 3 , 1) Y a

b : 4x + 5y + 3z + 8 = 0 ; »v = (4 , 5 , 3) Y b

»u.»v = (3 , - 3 , 1).(4 , 5 , 3) = 12 - 15 + 3 = 0

»u.»v = 0 § »u Y »v § a Y b .

7. r : �x +

21

� =�y -

14

� =�z--11

� ; »r = (2 , 1 , - 1) é

um vector director de r ;

a : 4x + 2y - 2z - 1 = 0 ; »u = (4 , 2 , - 2) Y a

»u = 2»r ; »r é colinear com »u . Então r Y a .

8.1. r : 2 - x = y - 3 = z Pág. 171§ �

x--12

� =�y -

13

� = �1z

�

r : (x , y , z) = (2 , 3 , 0) + k (- 1 , 1 , 1) , kåR

R 1 (2 - k , 3 + k , k) , k å R é um

ponto genérico de r

a : x + y + 2z = 1

R å a § (2 - k) + (3 + k) + 2k = 1

§ 2k = - 4 § k = - 2

Substituindo k por - 2 obtém-se o ponto de

intersecção I1 (4 , 1 , - 2) ;

8.2. r : �x -

21

� =�y -

23

� =�z -

41

�

r : (x , y , z) = (1 , 3 , 1) + k (2 , 2 , 4) , kåR

R 1 (1 + 2k , 3 + 2k , 1 + 4k) , k å R é

um ponto genérico de r

a : x + 3y - 2z - 1 = 0

R å a§ (1 + 2k) + 3 (3 + 2k) - 2 (1 + 4k) - 1 = 0

§ 2k� + 6k� - 8k� + 1 + 9 - 2 - 1 = 0 § 7 = 0

A equação é impossível. Logo, r é estritamente

paralela a a .

9. A1 (1 , 2 , 3)

9.1. x = 1 ;

9.2. y = 2 ;

9.3. z = 3 .

10.1.


��7145� , �

115� , - �

173�� ;

10.2.


��37

� , - �27

� , - �17

�� ;

10.3.

O sistema é indeterminado e não há planos para-

lelos. Os três planos intersectam-se numa recta;

z = 1 + 2y

3x - 10y = - 4

- 4 = - 4 Sistema indeterminado

adbdc

§

z = 1 + 2y

3x - 10y = - 4

3x - 10y = - 4

adbdc

§

z = 1 - 2y

3x - 2y + 4 - 8y = 0

3x + 4y + 7 - 14y = 3

adbdc

§

2y + z = 1

3x - 2y + 4z = 0

3x + 4y + 7z = 3

adbdc

y = - �27

�

x = �37

�

z = - �17

�

adddbdddc

§

y = - 2x - 4z

x = - 10z - 1

10z + 1 - 17z = 2

adbdc

§

y = - 2x - 4z

- x - 10z = 1

- x - 17z = 2

adbdc

§

y = - 2x - 4z

3x - 4x - 8z - 2z = 1

5x - 6x - 12z - 5z = 2

adbdc

§

3x + 2y - 2z = 1

2x + y + 4z = 0

5x + 3y - 5z = 2

adbdc

z = - �73

�

x = �7145�

y = �115�

adddbdddc

§

z = - 5y - 2

x = 14y + 4

28y + 8 - 13y = 9

adbdc

§

z = - 5y - 2

2x - 13y = 9

x - 14y = 4

adbdc

§

z = - 5y - 2

2x - 3y - 10y - 4 = 5

x - 4y - 10y - 4 = 0

adbdc

§

2x - 3y + 2z = 5

- 5y - z = 2

x - 4y + 2z = 0

adbdc

45


10.4.

O sistema é impossível e não há planos paralelos.

Os três planos intersectam-se dois a dois segundo

rectas paralelas;

10.5.

2x - y + z = 1 § - 6x + 3y - 3z = - 3

O sistema é indeterminado. Dois planos são

coincidentes. A intersecção dos três planos é

uma recta;

10.6.

Os três planos são estritamente paralelos. O

sistema é impossível;

10.7.

O sistema é impossível. Dois planos são estrita-

mente paralelos, sendo intersectados pelo ter-

ceiro;

10.8.


�- �4232� , - �

72

� , �1252�� .

11. C1 (0 , - 5 , 0) Pág. 172A1 (4 , 3 , 0) ; r // Oz

11.1. B1 (0 , 5 , 0)

«»AC = (- 4 , - 8 , 0)

«»AB = (- 4 , 2 , 0)

«»AC.«»AB = 16 - 16 = 0 ± «»AC Y «»AB

± AC Y AB .

11.2. Como r // Oz , »e3 = (0 , 0 , 1) é um vector

director de r

r : (x , y , z) = (0 , 5 , 0) + k (0 , 0 , 1) ,

k å R ;

11.3. «»AB = (- 4 , 2 , 0)

«»BD é um vector colinear com »e3 = (0 , 0 , 1) ,

vector director da recta r .

«»AC = (- 4 , 8 , 0)

«»AC.«»AB = (- 4 , 8 , 0).(- 4 , 2 , 0)

= 16 - 16 = 0 ; «»AC Y «»AB

«»AC.»e3 = (- 4 , 8 , 0).(0 , 0 , 1) = 0 ;

«»AC Y «»BD

Como «»AC é perpendicular a dois vectores parale-

los ao plano ABD , «»AC é perpendicular ao plano.

ABD : - 4 (x - 0) - 8 (y - 5) + 0 (z - 0) = 0

§ - 4x - 8y + 40 = 0 § x + 2y - 10 = 0 .

12. Q1 (2 , 2 , 0)

12.1. V1 (0 , 0 , h)

P�Q� = 4

V = �13

� Ab * h

x

y

z

V

R

QP

M

S

6

O

A

C B

x

y

zr

P

O

y = - �72

�

x = - �4232�

z = �1252�

adddbdddc

§

y = - 2x - 5z - 4

x =�- 5

5- 7z�

30 + 42z - 20z = 45

adbdc

§

y = - 2x - 5z - 4

x =�- 5

5- 7z�

- 6 *�- 5

5- 7z� - 4z = 9

addbddc

§

y = - 2x - 5z - 4

5x + 7z = - 5

- 6x - 4z = 9

adbdc

§

y = - 2x - 5z - 4

3x + 2x + 5z + 4 + 2z = - 1

- 4x - 2x - 5z - 4 + z = 5

adbdc

§

- 2x - y - 5z = 4

3x - y + 2z = - 1

- 4x + y + z = 5

adbdc

x + y + z = 1

x + y + z = �32

�

z = 0

adbdc

§

x + y + z = 1

2x + 2y + 2z = 3

z = 0

adbdc

x + y + z = 1

x + y + z = �32

�

x + y + z = �53

�

addbddc

§

x + y + z = 1

2x + 2y + 2z = 3

3x + 3y + 3z = 5

adbdc

2x - y + z = 1

- 6x + 3y - 3z = - 3 ;

x - y = 0

adbdc

2 = 1

x + z = 2

y = 0

adbdc

§

x + z = 1

x + z = 2

y = 0

adbdc

§

x + y + z = 1

x - y + z = 2

y = 0

adbdc

46

Geometria II

32 = �13

� * 42 * h

32 = �136� * h § h = 32 * �

136� § h = 6

V (0 , 0 , 6)

12.2. Q1 (2 , 2 , 0) ; R1 (- 2 , 2 , 0);

V (0 , 0 , 6)

«»QR = (- 4 , 0 , 0) ; «»QV = (- 2 , - 2 , 6)

Seja »n = (a , b , c) normal ao plano QRV

Para c = 1 , »n = (0 , 3 , 1)

QRV : 0 (x - 0) + 3 (y - 0) + 1 (z - 6) = 0

§ 3y + z = 6

12.3. »n = (0 , 3 , 1) é normal ao QRV .

Logo, »n é um vector director da recta r

pedida; (0 , 0 , 0) å R ;

r :

12.4. [«»QV] : P = Q + k «»QV , k å [0 , 1]

[QV] : (x , y , z) = (2 , 2 , 0) + k (- 2 , - 2 , 6) ,

k å [0 , 1]

P 1 (2 - 2k , 2 - 2k , 6k) , k å [0 , 1]

é um ponto genérico de [QV]

a : z = 3

P © a : 6k = 3 § k = �12

�

Para k = �12

� obtém-se o ponto M1 (1 , 1 , 3)

Os triângulos [MVN] e [QVP] são semelhantes.

�N�4M�� = �

V�V�M�Q�� § �

N�4M�� = �

12

�

N�M� = 2

Logo, a secção produzida na pirâmide pelo plano

de equação z = 3 é um quadrado de lado 2 .

A sua área é 4 u. a.

13. C1 (0 , 4 , 0) Pág. 173

13.1.

O�B� = O�C� = A�B� = 4

M�B� = 2

O�B�2 = O�M�2 + M�B�2

42 = O�M�2 + 22

O�M� =�12�

B1 (�12� , 2 , 0)

B' é o simétrico de B relativamente a Oy .

B' é a projecção de G sobre xOy .

Como G pertence ao plano z = 12 , tem-se

G1 (-�12� , 2 , 12) .

13.2. D1 (0 , -4 , 12) ; G1 (-�12� , 2 , 12)«»DG = (-�12� , 6 , 0)

DG :

§ �3� x = - y - 4 ‹ z = 12

§ �3� x + y = - 4 ‹ z = 12

13.3. ABF : x =�12� ;

DG : �3� x + y = - 4 ‹ z = 12

§ (x , y , z) = (�12� , - 10 , 12) .

x =�12�

y = - 10

z = 12

adbdc

§

x =�12�

6 + y = - 4

z = 12

adbdc

§

x =�12�

�3� �12� + y = - 4

z = 12

adbdc

§

x =�12�

�3� x + y = - 4

z = 12

adbdc

�x-�

63�

� =�y +

64

�

z = 12

adbdc

§

�- 2

x

�3�� =�

y +6

4�

z = 12

adbdc

§

�-�

x

12�� =�

y +6

4�

z = 12

adbdc

yC

M

x

BA

B’

O

V

N

QP

Ml

4

§ x = 0 ‹ y = 3z ;x = 0

�3y

� = �1z

�

adbdc

a = 0

b = 3c

abc

§

- 4a = 0

- 2a - 2b + 6c = 0

abc

§»n.«»QR = 0

»n.«»QV = 0

abc

47

6 Introdução ao estudo da programação linear

48

14. A�C� = 6 ; A�V� = 5

V1 (0 , 0 , 8)

14.1. A�B�2 + B�C�2 = A�C�2

‚M

A�B� = B�C�2 A�B�2 = 62

A�B� =�18� § A�B� = 3 �2� u. c. ;

14.2. A�M�2 + M�V�2 = A�V�2 § 32 + h2 = 52

§ h2 = 16 § h = 4 u. c. ;

14.3. Os pontos da base da pirâmide têm cota

O�V� - M�V� = 8 - 4 = 4

A abcissa de A é �B�2C�� = �

A�2B�� =�

3 �2

2��

A ordenada de A é - �A�2B�� = -�

3 �2

2��

Logo, A1 ��3�2

2�� , -�

3�2

2�� , 4�

B1 ��3�2

2�� , �

3�2

2�� , 4� ;

C1 �-�3�

22�

� , �3�

22�

� , 4� ;

D1 �-�3�

22�

� , -�3�

22�

� , 4� ;

14.4. B1 ��3�2

2�� , �

3�2

2�� , 4� ;

C1 �-�3�

22�

� , �3�

22�

� , 4� ;

V1 (0 , 0 , 8)

«»VB = ��3�2

2�� , �

3�2

2�� , - 4� ;

�2� «»VB = (3 , 3 , - 4 �2�) ;

VB : �3x

� = �3y

� = § �3x

� = �3y

� =

«»BC = (- 3 �2� , 0 , 0) = - 3 �2� (1 , 0 , 0)

BC :

14.5. «»VB = ��3�2

2�� , �

3�2

2�� , - 4�

«»VC = �-�3�

22�

� , �3�

22�

� , - 4�

• cos («»VB , «»VC ) =

= = �1265�

BVWC = cos- 1 ��1265�� ) (50,2)°

VBWC =�180 -2

BVWC� ) (64,9)° ;

14.6. Seja N o ponto médio de [BC]

N1 �0 , �3�

22�

� , 0�«»BC = - 3 �2� (1 , 0 , 0) ;

»n = (1 , 0 , 0) é um vector normal ao plano

pedido. Logo, x = 0 ;

14.7. Os pontos A , B e C têm cota 4 ; ABC : z = 4 ;

14.8. A esfera de diâmetro [DB] tem centro em

M1 (0 , 0 , 4) e raio A�M� = 3 .

Equação da esfera: x2 + y2 + (z - 4)2 ≤ 9

6 Introdução ao estudo da programaçãolinear

1.1. Pág. 179

(15 , 0) , (25 , 0) , (20 , 5) , (15 , 5) ;

5

10

15

20

25

30

5 10 15 20 25x = 15

x + y = 25

y = 5(20, 5)

x

y

x + y ≤ 25

x ≥ 15

y ≤ 5

x ≥ 0

y ≥ 0

adddbdddc

x2 + y2 ≤ 9

z = 4

abc

§x2 + y2 + (z - 4)2 ≤ 9

z = 4

abc

- �92

� + �92

� + 16��

��92

� + �92

�� + 16� ��92

� + �92

�� + 16�

«»VB.«»VC��||«»VB|| * ||«»VC||

y =�3 �

22�

�

z = 4

adbdc

8 - z�4�2�

z - 8�- 4�2�

y

C

M

x

BA

D

z

V

O

1.2.

(0 , 0) , (3 , 0) , (2 , 2) , (0 , 3)

1.3.

(0 , 20) , (2 , 10) , (9 , 3) , (18 , 0)

2.1. Pág. 187

Máximo: z = 54 em (6 , 3) ;

2.2.

Máximo: z = 20 em todos os pontos do seg-

mento de recta de extremos (2 , 6) e (5 , 5) .

3.1.

Mínimo: z = 4 em (1 , 1) ;

3.2.

Mínimo: z = 13 em (2 , 3) .

1. Recta r : (3 , 2) , (2 , 0) Pág. 192

m =�23--

02

� = 2

y - 0 = 2 (x - 2)

r : y = 2 x - 4

Recta s : (3 , 2) , (0 , 5)

m = �-33� = - 1

s : y = - x + 5

2.1.

x + 2y = 16

§ y = - �12

�x + 8

3x + y = 18

§ y = - 3x + 18

3x + y ≤ 18

x + 2y ≤ 16

x ≥ 0

y ≥ 0

addbddc

y ≤ 2x - 4

y ≤ - x + 5

abc

IV:y ≥ 2x - 4

y ≤ - x + 5

abc

III:

y ≥ 2x - 4

y ≥ - x + 5

abc

II:y ≤ 2x - 4

y ≥ - x + 5

abc

I:

5

21

r

x

y

3

2

III

IV

II

I

s

10

2

8

4

12

6

2 9 125x + y = 20 x + y = 12

x

y

14161820

18x + 3y = 18

x + y = 12

§ y = - x + 12

x + 3y = 18

§ y = - �13

�x + 6

5x + y = 20

§ y = - 5x + 20

5x + y ≥ 20

x + 3y ≥ 18

x + y ≥ 12

x ≥ 0

y ≥ 0

adddbdddc

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 52x + y = 6

x + 2y = 6

x

(2, 2)

6

y

x + 2y = 6

§ y = - �12

�x + 3

2x + y = 6

§ y = - 2x + 6

2x + y ≤ 6

x + 2y ≤ 6

x ≥ 0

y ≥ 0

addbddc

Geometria II

49M11FNAGP - 4

x y z = x + 3y

0 2 6

0 5 15

1 1 4 @

3 3 12

x y03

30

x y03

60

x y z = 5x + 8y

0 0 0

0 5 40

6 3 54 @

8 0 40

x y z = x + 3y

0 0 0

0 6 18

2 6 20 @

5 5 20 @

10 0 10

x y z = 2x + 3y

0 5 15

0 7 21

2 3 13 @

6 2 18

x y64

06

x y04

86

x y012

120

x y018

60

x y04

200

(0 , 0) , (0 , 8) , (4 , 6) , (6 , 0)

2.2.

(0 , 0) , (0 , 4) , (3,2 ; 2,4) , (4 , 0)

2.3.

2.4.

3. Seja: x o número de banheiras redondas produzi-

das por dia;

y o número de banheiras rectangulares pro-

duzidas por dia.

L = 600x + 300y

Vértices:

(0 , 0) , (0 , 40) , (20 , 30) , (30 , 0)

x

y

30

0

90

20 30

3x + y = 90

80

40

y = - �12

�x + 40

y = - 3x + 903x + y ≤ 90

x + 2y ≤ 80

x ≥ 0

y ≥ 0

addbddc

x – y

= 0

x

y

25

50

25 50

(0, 50)

x = 25

(25, 25)

(0, 0)

x + y = 50O

x + y ≤ 50

x - y ≤ 0

x ≤ 25

x ≥ 0

y ≥ 0

adddbdddc

4

2x + y = 10

x

y

4

0

6

(0, 10)

x + y = 8

8

10

2 5 8 12

(2, 6)

(4, 4)

(12, 0)

x + 2y = 12

y = - 2x + 10

y = - �12

�x + 6

y = - x + 8x + y ≥ 8

x + 2y ≥ 12

2x + y ≥ 10

x ≥ 0

y ≥ 0

adddbdddc

43x + y = 12

x

y

4

0

6

(3,2; 2,4)

x + 2y = 8

x = 3,2

y = 2,4

abc

§x + 2y = 8

3x + y = 12

abc

3x + y = 12

§ y = - 3x + 12

x + 2y = 8

§ y = - �12

�x + 4

x + 2y ≤ 8

3x + y ≤ 12

x ≥ 0

y ≥ 0

addbddc

42

x + 2y = 16

x

y

6

2

4

6

8

03x + y = 18


50

5

x y42

06

x y04

42

x y08

80

x y012

60

x y50

010

Fabrico Acabamento Lucro

x 3 h 1 600 Æ

y 1 h 2 300 Æ

90 h 80 h

x y030

900

x y080

400

A empresa pode obter um lucro máximo de

21 000 Æ correspondente ao fabrico diário de 20

banheiras redondas e 30 rectangulares.

4. Pág. 193

Seja: x o número de quilos do tipo A produzidos

diariamente;

y o número de quilos do tipo B produzidos

diariamente.

L = 0,5x + 0,7y

Devem ser produzidos 1000 kg do tipo A e 4500

do tipo B .

5.

L = 4x + 5y

Devem ser produzidas 8 embalagens de doce da

avó e 12 de geleia real.

y

0 x

0,5x + 0,5y = 10

(8, 12)

5

10

15

20

803

5 10 15 20

(10, 10)

203

0,5x + 0,3y = 8

x = 12

(12, )

y = 12

0,5x + 0,5y = 10

§ y = - x + 20

0,5x + 0,3y = 8

§ y = - �53

�x + �830�

0,5x + 0,3y ≤ 8

0,5x + 0,5y ≤ 10

x ≤ 12

y ≤ 12

x ≥ 0

y ≥ 0

adddbdddc

y

0

0,65x + 0,7y = 3800

(1000, 4500)5000

6000

4000 x

0,3x + 0,2y = 1200

10 000

0,05x + 0,1y = 500

y = - �12

�x + 5000

y = - �1143�x +�

387000�

y = - �32

�x + 6000

0,3x + 0,2y ≤ 1200

0,65x + 0,7y ≤ 3800

0,05x + 0,1y ≤ 500

x ≥ 0

y ≥ 0

adddbdddc

Geometria II

51

1000

x y L = 0,5x + 0,7y

4500

0 0 0

3650

0 5000 3500

4000 0 2000

@20

x y L = 600x + 300y

30

0 0 0

21 000

0 40 12 000

30 0 18 000

@ Lucro máximo

x y0

40006000

0

x y0

�76

10300

�

�38

7000� ) 5430

0

x y0

10 0005000

0

Milho Trigo Centeio

A 30% 65% 5%

B 20% 70% 10%

1200 kg 3800 kg 500 kg

0,5 Æ/kg

0,7 Æ/kg

x y020

200

Pêssego Maçã Lucro

Doce da avó 0,5 kg 0,5 kg 4 Æ

Geleia real 0,3 kg 0,5 kg 5 Æ

8 kg 10 kg

x : n.° deembalagens

y : n.° deembalagens

x y

0

16

�830�

0

8

x y L = 4x + 5y

12

0 0 0

92

0 12 60

10 10 90

@

12 0 48

12 �230� ) 34


52

6.

L = 0,06x + 0,1y

3150 Æ é o maior lucro que o investidor pode

obter.

7. Pág. 194

L = 80x + 5y

60 pares de sapatos e 100 pares de botas.

8.

x : número de embalagens do tipo A

y : número de embalagens do tipo B

L = 1,5x + 2y

y

40

60 x

80

(30, 20)

400

2x + 3y = 120

2x + y = 80

2x + y = 80

§ y = - 2x + 80

2x + 3y = 120

§ y = - �23

�x + 40

2x + 3y ≤ 120

2x + y ≤ 80

x ≥ 0

y ≥ 0

addbddc

y

100

60 122,5 x

0,25x + 0,5y = 65

196

130(60, 100)

(122,5; 0)

8x + 5y = 98080x + 120y = 0

0,25x + 0,5y = 65

§ y = - �12

�x + 130

8x + 5y = 980

§ y = - �85

�x + 196

8x + 5y ≤ 980

0,25x + 0,5y ≤ 65

x ≥ 0

y ≥ 0

addbddc

y

11 250

0 33 750 45 000 x

x + y = 45 000

45 000

x3

y =

x + y ≤ 45 000

y ≤ �3x

�

x ≥ 0

y ≥ 0

addbddc

x y060

400

x y3040

200

45 000

x y L = 0,06x + 0,1y

0

0 0 0

2700

33 750 11 250 3150 @

Lucro

A 6%

B 10%

x : capital a investir em A

y : capital a investir em B

Horas Pele

Sapatos 8 0,25

Botas 5 0,5

980 65 m2

x : n.° de sapatosa fabricar

y : n.° de botas afabricar

x y060

196100

x y060

130100

60

x y L = 80x + 120y

100

0 0 0

16 800

0 130 15 600

122,5 100 9 800

@

Maçãs

2

Laranjas

A

1

80

2

B

120

3

1,5 Æ

2 Æ

Geometria II

53

Devem-se fazer 30 embalagens do tipo A e 20

embalagens do tipo B .

9.

x : número de unidades de 6 kg de M1

y : número de unidades de 6 kg de M2

R = 120x + 100y

80 * 6 = 480 ; 20 * 6 = 120

Deve fazer 480 kg de A e 120 kg de B .

10.

x : número de unidades de P1

y : número de unidades de P2

Deve comprar 300 unidades de P1 e 100 de P2 .

y

250

x

420 (0, 420)

2100 2x + y = 420

350

420 500

(60, 300)

(300, 100)

(500, 0)

5x + 6y = 2100

x + 2y = 500

5x + 6y = 2100

§ y = - �56

�x + 350

x + 2y = 500

§ y = - �12

�x + 250

2x + y = 420

§ y = - 2x + 420

2x + y ≥ 420

x + 2y ≥ 500

5x + 6y ≥ 2100

x ≥ 0

y ≥ 0

adddbdddc

y

80

x

180

(80, 20)

900

x + y = 200

3x + 4y = 120

2x + y = 180

x + y = 200

§ y = - x + 200

2x + y = 180

§ y = - 2x + 180

3x + 4y = 320

§ y = - �34

�x + 80

3x + 4y ≤ 320

2x + y ≤ 180

x + y ≤ 200

x ≥ 0

y ≥ 0

addbddc

0

30

x y L = 1,5x + 2y

20

0 0 0

85

0 40 80

0 0 60

@

B

2

A

M1

1

180

3

M2

320

4

C

1

1

120 Æ

100 Æ

200

300

x y C = 0,4x + 0,6y

100

0 420 252

180

60 300 204

500 0 200

@

x y0

4203500

x y0

5002500

x y0

2104200

M

1

V

P1

2

500

2

P2

420

1

C

5

6

2100

x y080

8020

x y090

1800

x y0

2002000

80

x y R = 120x + 100y

20

0 0 0

11 600

0 80 8000

90 0 10 800

@

1 Funções racionais

54

Funções II1 Funções racionais

1. f é uma função racional inteira porque Pág. 12é definida por um polinómio; g não é uma função

racional porque a variável x figura no radicando.

2. p (x) =�nd (

(xx))

� , sendo n (x) = p (x) e d (x) = 1 ,

para todo x å R .

3.1. 2x - 2 = 2 (x - 1) ;

3.2. x2 - 4 = (x - 2) (x + 2) ;

3.3. 1 - x2 = (1 - x) (1 + x) ;

3.4. �x4

2

� - 49 = ��2x

� - 7� ��2x

� + 7� ;

3.5. x2 - 4x + 3 = (x - 1) (x - 3) ;

3.6. 2x2 - 11x + 5 = 2 (x - 5) �x - �12

�� = (x - 5) (2x - 1) ;

3.7. x3 - x2 = x2 (x - 1) ;

3.8. x3 - x = x (x2 - 1) = x (x - 1) (x + 1) .

4.1. R \ {1} ;

4.2. R \ {- 2 , 2} ;

4.3. R \ {- 1 , 1} ;

4.4. R \ {- 14 , 14} ;

4.5. R \ {1 , 3} ;

4.6. R \ ��12

� , 5� ;

4.7. R \ {0 , 1} ;

4.8. R \ {- 1 , 0 , 1} ;

4.9. f (x) =�4x2

3-x2

4+x1+ 6

�

Df = {x å R : 4x2 - 4x + 6 0 0} = R ;

4.10. f (x) =�3x2 -

26xx - 9�

Df = {x å R : 3x2 - 6x - 9 0 0} = R \ {- 1 , 3} ;

4.11. f (x) =�x3 -

3x4

5

x+2 -

15x

�

Df = {x å R : x3 - 4x2 - 5x 0 0}

= R \ {- 1 , 0 , 5} ;

4.12. f (x) =�x4 - 2

2xx2 - 3�

Df = {x å R : x4 - 2x2 - 3 0 0}

= R \ {-�3� , �3� } .

5.1. f (x) =�x -

34

� Df = R \ {4} Pág. 19

x = 4 ; y = 0

5.2. f (x) =�2x

3-x

5� Df = R \ ��

52

��x = �

52

� ; y = �32

�

5.3. f (x) = �x12� , Df = R \ {0}

x = 0 ; y = 0

5.4. f (x) =�x2

x--x

3- 6

� =�(x -

x3)-(x3+ 2)

� ,

Df = R \ {- 2 , 3}

x = - 2 ; y = 0

5.5. f (x) =�x2

3+x2

x+-512

� ,

Df = R \ {- 4 , 3}

x = - 4 ; x = 3 ; y = 3

5.6. f (x) =�x2

-+x3

2

x+-3

4� ,

Df = R \ {- 4 , 1}

x = - 4 ; x = 1 ; y = - 1

5.7. f (x) =�xx2 --

116

� ,

Df = R \ {- 2 , 2}

x = - 2 ; x = 2 ; y = 0

5.8. f (x) =�xx

2

2

-+

14

� , Df = R

y = 1

6.

Assimptotas: x = 0 ; y = 0 ; y = 2 .

7.1.

Assimptotas: x = 0 ; y = - 1 ; y = 1 ;

y

0 x

–1

1

–3

�x +

x3

� se x > 0

�x-+x3

� se x < 0

adbdc

f (x) =�x

|

+

x|

3� =

y

0 x

2

�x12� se x > 0

2 se x ≤ 0

adbdc

f (x) =

x2 - 16 = 0

§ (x2 - 4) (x2 + 4) = 0

§ x = 2 › x = - 2

x2 + 3x - 4 = 0

§ x = - 4 › x = 1

x2 + x - 12 = 0

§ x = - 4 › x = 3

x2 - x - 6 = 0 § x = 3 › x = - 2

x4 - 2x2 - 3 = 0 § (x2)2 - 2x2 - 3 = 0 § x2 = - 1 › x2 = 3 § x = -�3� › x =�3�

x3 - 4x2 - 5x = 0 § x (x2 - 4x - 5) = 0 § x = 0 › x = - 1 › x = 5

Funções II

7.2.

Assimptotas: x = 1 ; y = - 2 ; y = 2 ;

7.3.

Assimptotas: x = 1 ; y = - 2 ; y = 2 ;

7.4.

Assimptotas: x = 0 ; y = - 2 ; y = 2 ;

8.1. f (x) =�2xx+-

26

� Pág. 21

• Df = R \ {- 2}

• f (0) = - 3 : Intersecção com Oy : (0 , - 3)

• f (x) = 0 § x = 3 : Intersecção com

Ox : (3 , 0)

• Assimptota vertical: x = - 2

Assimptota horizontal: y = 2 ��2xx� = 2�

8.2. f (x) =�22x-+

x6

�

• Df = R \ {2}

• f (0) = 3 : Intersecção com Oy : (0 , 3)

• f (x) = 0 § 2x + 6 = 0 § x = - 3 :

Intersecção com Ox : (- 3 , 0)

• Assimptota vertical: x = 2

Assimptota horizontal: y = - 2 ��-2x

x�= - 2�

8.3. f (x) =�4x-+

22x

�

• Df = R \ {- 2}


• f (x) = 0 § 4 - 2x = 0 § x = 2 : Inter-

secção com Ox : (2 , 0)


Assimptota horizontal: y = - 2 �- �2xx� = - 2�

8.4. f (x) =�2x

3+x

2�

• Df = R \ {- 1}

• f (0) = 0

• f (x) = 0 § x = 0 : Intersecção com os

eixos: (0 , 0)

y

0 x

–2

2–2

2

y

0 x

–2

3

2–3

y

0 x

–3

2

3–2

y

0 x

–2

2

�1 -

x2x

� se x > 0

�1 +

x2x

� se x < 0

adbdc

f (x) =�1 - 2

x|x|� =

y

0 x

–2

2

1

�x2-x1

� se x ≥ 0

�x--2x1

� se x < 0

adbdc

f (x) =�|x

2

-x|1

� =

y

x

–2

2

10

�x2-x1

� se x > 1

�- x

2x+ 1� se x < 1

adbdc

f (x) =�|x

2

-

x

1|� =

55



Assimptota horizontal: y = �32

�

8.5. f (x) =�x2

x+2

1�

• Df = R \ {0}

• f (x) = 0 § x 2 + 1 = 0 § x å O


Assimptota horizontal: y = 1

8.6. f (x) =�1 -

xx2�

• Df = R \ {- 1 , 1}

• f (0) = 0


eixos: (0 , 0)

• Assimptota vertical: x = - 1 e x = 1


8.7. f (x) =�(2x

6-x2

2)2�

• Df = R \ {1}

• f (0) = 0


eixos: (0 , 0)


Assimptota horizontal: y = �32

� ��64xx

2

2� = �32

��

8.8. f (x) =�xx

2

2

+-xx--122

�

• Df = R \ {- 1 , 2}


• f (x) = 0 § x = 3 › x = - 4 ; Intersec-

ção com Ox : (3 , 0) e (- 4 , 0)

• Assimptota vertical: x = 2 e x = - 1


9. Seja r : y = x - 2 ; (0 , - 2) e Pág. 23(2 , 0) são pontos de r .

Logo, y = x - 2 é uma equação de t .

Então, limx" +?

[f (x) - (x - 2)] = 0 .

B .

10.1. f (x) =�2xx+-

35

�

• Df = R \ {- 3} ;

• Pontos de intersecção com os eixos:

�0 , - �53

�� , ��52

� , 0�• Assimptotas: x = - 3 ; y = 2

y

0 x–3

2

525

3–

y

0 x2–1–4 3

1

6

x2 + x - 12 = 0

§ x = 3 › x = - 4

x2 - x - 2 = 0

§ x = 2 › x = - 1

y

0 x1

32

y

0

x

1–1

y

0 x

1

y

x–1

32

0

56

Funções II

10.2. f (x) =�xx

2

2

--

19

�

• Df = R \ {- 3 , 3} ;


�0 , �19

�� , (- 1 , 0) , (1 , 0) ;

• Assimptotas: x = - 3 ; x = 3 ; y = 1 ;

10.3. f (x) =�(x

3-x2

1)2�

• Df = R \ {1} ;

• Pontos de intersecção com os eixos: (0 , 0) ;

• Assimptotas: x = 1 ; y = 3 ;

10.4. f (x) =�x2

3+x

4�

• Df = R ;


• Assimptotas: y = 0 ;

10.5. f (x) =�x2 -

2x - 6� ; x2 - x - 6 = 0

§ x = - 2 › x = 3

• Df = R \ {- 2 , 3} ;

• Pontos de intersecção com os eixos: �0 , - �13

�� ;

• Assimptotas: x = - 2 ; x = 3 ; y = 0 ;

10.6. f (x) =�x2

x+

2

1�

• Df = R ;


• Assimptotas: y = 1 ;

11.1. f (x) =�x2

x- 1� = x - �

1x�

• Df = R \ {0} ;


(- 1 , 0) , (1 , 0) ;

• Assimptotas: x = 0 ; y = x ;

11.2. g (x) =�x2 -

x5-x3+ 4

� = x - 2 -�x -

23

�

• Df = R \ {3} ;


�0 , - �43

�� , (1 , 0) , (4 , 0) ;

y

0 x1

y = x

–1

y

0 x

1

y

0 x3–2

y

x0

y

0 x

3

1

y

0 x–3

1

31–1

57

x2 - 5x + 4 = 0 § x = 1 › x = 4 x2 - 5x + 4 |x - 3- x2 + 3x + 4 x - 2 - 2x + 4

2x - 6- 2


• Assimptotas: x = 3 ; y = x - 2 ;

11.3. f (x) =�x2 -

x4-x2+ 3

� = x - 2 -�x -

12

�

• Df = R \ {2} ;


�0 , - �32

�� , (1 , 0) , (3 , 0) ;

• Assimptotas: x = 2 ; y = x - 2 ;

12. N (t) =�t7+51t0

� ; Pág. 24

• Assimptota horizontal: y = 75 ;

O número de peças montadas diariamente por

um empregado experiente tende a estabilizar

num valor próximo de 75 .

13. Pág. 25

13.1. xy = 500 § y = �50x0

�

P (x) = 2x + 2y

P (x) = 2x + 2 *�50x0

�

P (x) =�2x2 +x1000�

13.2.

Calculando o mínimo de P , verifica-se que o

menor gasto de rede corresponde a x = y ) 22,4 m .

14. C (P) =�10

600-0

P� Pág. 26

14.1.

14.2. C (50) =�100

60-050

� = 12

12 000 Æ

14.3. C (P) = 900 § �10

600-0

P� = 900

§ 600 = 90 000 - 900P

§ 900P = 89 400 § P ) 99,3

P ) 99,3%

15. C� (x) =�2,5x + 1x0 0000� Pág. 27

15.1. a) C (50) =�2,5 * 5050+ 10 000� = 202,5 Æ ;

b) C (500) = = 22,5 Æ ;

c) C (5000) = = 4,5 Æ ;

15.2. Assimptota vertical: x = 0 ;

Assimptota horizontal: y = 2,5 ;

2,5 * 5000 + 10 000��

5000

2,5 * 500 + 10 000��

500

p %

C

100

y

x500 m2

N

0 t

75

y

0 x1 2 3

–2

y = x

– 2

y

0 x1 2 4

–2

y = x

– 2

3

58

x2 - 4x + 3 = 0 § x = 1 › x = 3

x2 - 4x + 3 |x - 2- x2 + 2x + 4 x - 2 - 2x + 3

2x - 4- 1

Funções II

15.3.

15.4. Para uma produção muito elevada, o custo

médio por artigo produzido tende a estabilizar

num valor próximo de 2,5 Æ .

16. Vinho Álcool Pág. 28A 100 L 10 LB x L 0,13x

x + 100 0,13x + 10

16.1. C =�0,x13+x1+00

10�

16.2. C = 0,115 § �0,

x13+x1+00

10� = 0,115

§ 0,115x + 11,5 = 0,13x + 10

§ 0,015x = 1,5 § x = 100

100 L .

17. A : 1 h " �1t� da piscina Pág. 29

B : 1 h " �t +

12

� da piscina

A e B : 1 h " �1t� +�

t +1

2� =�

t2(tt++

22)

� da piscina

T (t) =�t2(tt++

22)

� tempo que leva a encher a piscina

com as duas torneiras abertas.

T (t) < 10 § �t2(tt++

22)

� < 10

§t > 0

t2 + 2t < 20t + 20

§ t2 - 18t - 20 < 0

§t > 0

0 < t < 9 +�101�

§ 0 < t < 19,05 (2 c. d.)

t varia entre 0 e 19,05 h (2 c. d.)

18.1. �x -

21

� -�1

3- x� = 1 Pág. 38

§ �x -

21

� +�x -

31

� - 1 = 0

§ �2 + 3

x --

1x + 1� = 0

§ 6 - x = 0 ‹ x - 1 0 0 § x = 6 ;

18.2. �x

x+

2

1� - x �

x +1

1� = �

32

� § �x

x+

2

1� -�

x +x

1� - �

32

� = 0

§ = 0

§ �2x

2

2

(-x5+x1-)3

� = 0

§ 2x2 - 5x - 3 = 0 ‹ 2 (x + 1) 0 0

§ �x = - �12

� › x = 3� ‹ x 0 - 1

§ x = - �12

� › x = 3 ;

18.3. �x -

x1

� -�x -

11

� - �34

� = �43x�

§ �x -

x1

� -�x -

11

� - �34

� - �43x� = 0

§ = 0

§ 4x2 - 4x - 3x2 + 3x - 3x + 3 = 0 ‹‹ 4x (x - 1) 0 0 §

§ x2 - 4x + 3 = 0 ‹ (x 0 0 ‹ x 0 1)

§ (x = 3 › x = 1) ‹ (x 0 0 ‹ x 0 1)

§ x = 3 ;

18.4. �x2

2-4x

16� -�

x3-x4

� =�x +

54

�

§ �(x - 4

2)4(xx + 4)� -�

x3-x4

� -�x +

54

� = 0

(1) (x + 4) (x - 4)

§ = 0

§ = 0

§ - 3x2 + 7x + 20 = 0 ‹ (x - 4) (x + 4) 0 0

§ x = ‹

‹ (x 0 4 ‹ x 0 - 4)

§ �x = - �53

� › x = 4� ‹ (x 0 4 ‹ x 0 - 4)

§ x = - �53

� .

19.1. �3x

� - 1 >�2x

4+ 1� Pág. 40

§ 4x - 12 > 6x + 3 § 2x < - 15

§ x < - �125� § x å �- ? , - �

125��

- 7 ¿�49 + 2�40��

- 6

24x - 3x2 - 12x - 5x + 20��

(x - 4) (x + 4)

24x - 3x (x + 4) - 5 (x - 4)��

(x - 4) (x + 4)

4x2 - 4x - 3x (x - 1) - 3 (x - 1)��

4x (x - 1)

2x2 - 2x - 3 (x + 1)��

2 (x + 1)

x

C

2,5

59

t2 - 18t - 20 = 0 §

§ t =��18 ¿ 1�282 + 80��

§ t =�18 ¿ 22

�101��

§ t = 9 ¿ �101�

9 – V√101 9 + V√101


19.2. �x3+-

1x

� < 0 § x å ]- ? , - 1[ ∂ ]3 , + ?[

19.3. �xx+-

13

� > 2 § �xx+-

13

� - 2 > 0

§ �x + 1

x--

23x + 6

� > 0 § �-xx-+37

� > 0

§ x å ]3 , 7[

19.4. �2x

x+ 3� ≤ 3 § �

2xx+ 3� - 3 ≤ 0

§ �2x + 3

x- 3x� ≤ 0 § �

- xx+ 3� ≤ 0

§ x å ]- ? , 0[ ∂ [3 , + ?[

20.

20.1. �30

x- x� = �

35

� § �30

x- x� - �

35

� = 0

§ 5x - 90 + 3x = 0 ‹ 30- x 0 0

§ 8x = 90 ‹ x 0 30 § x = 11,25

11,25 cm ;

20.2. �30

x- x� < �

35

� § �30

x- x� - �

35

� < 0

§ �5x5-(3

900-+x3)x

� < 0 § �58(x30--90

x)� < 0

§ x å �- ? , �445�� ∂ ]30 , + ?[

8x - 90 = 0 § x = �445�

21. dA = (340t) m Pág. 44dB = 340 (t + 2) m = (340t + 2 * 340) m

dA - dB = 680 m

2a = 680 § a = 340

2c = 10 000 § c = 5000

c2 = a2 + b2 § 50002 = 3402 + b2

§ b2 = 24 884 400

a2 = 3402 = 115 600

A explosão registou-se sobre um dos ramos da

hipérbole �115

x2

600� -�

24 88y4

2

400� = 1 de focos nos

pontos onde se situam os receptores A e B

(dA - dB = 680 m) .

1.1. �x -

x3

� ; Pág. 49

D = {x å R : x - 3 0 0} ;

1.2. �x

x+

3

1� ;

D = {x å R : x2 + 1 0 0} = R ;

1.3. �2x +-

2x

� ;

D = {x å R : x + 2 0 0} = R \ {- 2} ;

1.4. �x2 +

19x

� ;

D = {xåR : x2 + 9x 0 0} = R \ {0 , - 9}

x2 + 9x = 0 § x (x + 9) = 0 § x = 0 › x = - 9 ;

1.5. �51--

xx2� ;

D = {x å R : 5 - x2 0 0} = R \ {-�5� , �5�} ;

1.6. ;

D = {x å R : �xx-+

31

� 0 0 ‹ x + 1 0 0}

= R \ {- 1 , 3} ;

1.7. ;

D = {x å R : (x2 + 1) (x2 - 8x + 7) 0 0}

= R \ {1 , 7}

x2 - 8x + 7 = 0 § x = 1 › x = 7 ;

1.8. ;

D = {x å R : (x2 - 3) (9x2 - 10x + 1) 0 0}

= R \ �-�3� , �19

� , 1 , �3��9x2 - 10x + 1 = 0 § x = �

19

� › x = 1 ;

1.9. �|x|

1

- 5� -�

2xx+-19

� ;

D = {x å R : |x|- 5 0 0 ‹ 2x - 9 0 0}

= R \ �- 5 , �92

� , 5�|x|- 5 = 0 §|x|= 5 § x = - 5 › x = 5 .

4x2 + x + 1��(x2 - 3) (9x2 - 10x + 1)

x��(x2 + 1) (x2 - 8x + 7)

1��xx-+

31

�30 – x x

60

x �445� 30

8x - 9 0 + + +

5 (30 - x) + + 0 -

0 + -

x - 1 3 + ?

x + 1 0 + + +

3 - x + + 0 -

�x3+-

1x

� 0 + -

- ?

-

+

-

-

+

-

x 0 3

- x + 3 + + 0 -

x 0 + + +

+ 0 -

+

-

-

x 3 7 + ?

- x + 7 + + 0 -

x - 3 0 + + +

�-xx-+37

� + 0 -

- ?

+

-

-

Funções II

2.1. A (x) =�3100xx2

2� = �31x� ; DA = R \ {0}

B (x) = �31x� ; DB = R \ {0}

São equivalentes;

2.2. A (x) =�xx

2

2

-+

255x

� =�(xx-(5x)+(x5)+ 5)

� =�x -

x5

� ;

DA = R \ {0 , - 5}

B (x) =�x -

x5

� ; DB = R \ {0}

Não são equivalentes. DA 0 DB .

3.1. �150xx

2

4� = �21x2� ; D = R \ {0}

�21x2� ; R \ {0} ;

3.2. �36(xx2

--

16)2

� =�6 (x

3-(x1)-

(1x)+

2

1)� =�3

6((xx-+

11))

�

=�2

x(x-+11)

� ;

D = R \ {- 1 , 1} ;

3.3. �1x --

xx

3

4� =�(1 -

xx(1

2)-(1

x2

+)

x2)� =�

x2

x+ 1� ;

D = R \ {- 1 , 1} ;

3.4. �x2

x-2 -4x

2+x

4� =�

x(x(x--2)2

2

)� =�

x -x

2� ;

D = R \ {0 , 2} ;

3.5. �x2 -

x2

5-x4+ 6

� =�((xx--

22))((xx-+

32))

� =�xx-+

32

� ;

D = R \ {- 2 , 2} ;

3.6. �342x2

--88x4� =�

-48(x(

2

x4

--24))

� =

=�2 (x-2

1+ 2)� ;

D = R \ {-�2� , �2�} ;

3.7. �2x +

38x++

x13

2+ 4x2� =

=�(x +

34()x

(+24+)x2)

� =�x2

3+ 2� ;

D = R \ {- 4} ;

3.8. �2x3

x2

-+82x2

x--

x24+ 4

� =

=�(x(x-+46))(2(xx2

--41))

� =�2xx2

+-61

� ;

D = R \ {- 6 , 4} ;

3.9. �(x4-x2

3-)2

2-8x

(4+-49

x)2

�

=

=�(2(x2x--7)

7*)2

1� =�

2x1- 7� ;

D = R \ ��72

�� ;

3.10. �(3

1x8+x3

5-)2

8-x9

� =

= =�2x

3(x3x+-82)

� ;

D = R \ �0 , - �23

� , �23

�� ;

3.11. �4x2

4-x2

4-xy

y+2

y2

� =�(2x -

(2yx)-(2yx)2

+ y)�

=�22xx-+

yy

� ‹ y 0 2x ;

3.12. �xx

2

2

-+3aaxx-+22aa2

2

� =�x2

x2

--axa2

-+2aaxx-+

a2

2

a2

�

=

=�(x(x--a)a)(x(x+-a2+a)a)

� =�xx-+

22aa

� ‹ x 0 a .

4.1. �3x

5+ 2� -�

4x1+0

1� =�

3x1+5

1�

(6) (3) (2)

= =�12x

3+0

11� ,

D = R ;

4.2. �2x� + �

23x� - �

x52� =�

4x +23xx2

- 10� =�

7x2-x2

10� ,

(2x) (x) (2)

D = R \ {0} ;

4.3. �4x� -�

x5-x1

� =�4xx-(x

4--15)x2

� =�- 5xx2

(x+-4x1)- 4

� ,

D = R \ {0 , 1} ;

4.4. x + �1x� =�

x2

x+ 1� , D = R \ {0} ;

4.5. �x -

x1

� - 2x =�x - 1x- 2x2

� =�- 2x2 +x

x - 1� ,

D = R \ {0} ;

4.6. �x -

22

� -�x +

32

� =�2(xx+-

42)-(x3x++2)6

� =�-xx2 -+

410

� ,

D = R \ {- 2 , 2} ;

18x + 12 - 12x - 3 + 6x + 2��

30

x (x - a) - 2a (x - a)��(x - a) (x + a) + a (x - a)

(3x + 2) (3x + 8)��2x (3x - 2) (3x + 2)

(3x + 5 - 3) (3x + 5 + 3)��

2x (9x2 - 4)

[(x - 3) - (4 - x)] [(x - 3) + (4 - x)]��

(2x - 7)2

2x2 (x - 4) - (x - 4)��

(x + 6) (x - 4)

3 (x + 4)��2 (x + 4) + x2 (x + 4)

1 (x2 - 2)��- 2 (x2 - 2) (x2 + 2)

61


4.7. �x2

4- 4� -�

22-xx

� +�x +

32

� Pág. 50

=�x2

4- 4� +�

x2-x2

� +�x +

32

�

(x + 2) (x - 2)

= =�2x2

x+2 -7x

4- 2

� ,

D = R \ {- 2 , 2} ;

4.8. �(3xx--11)2� +�

1 -1

x2� =�(3xx--11)2� -�

(x - 1)1(x + 1)�

(x + 1) (x - 1)

=

= =�(x -

31x)

2

2

+(x

x+ 1)

� ,

D = R \ {- 1 , 1} ;

4.9. �4x2

4- 9� -�

4x2 +31x2x + 9� +�

2x1- 3�

=�(2x - 3)

4(2x + 3)� -�

(2x3+x3)2� +�

2x1- 3�

(2x + 3) (2x - 3) (2x + 3)2

=

=�(-2x

2x+

2

3+)2

2(92xx+-231)

� ,

D = R \ �- �32

� , �32

�� ;

4.10. �x3 -

39x

� +�3 (x

2- 3)2� +�

x2 +1

3x�

=�x (x - 3

3) (x + 3)� +�

3 (x2- 3)2� +�

x (x1+ 3)� =

3 (x - 3) x (x + 3) 3 (x - 3)2

=

=�3x (x

5-x2

3-)2

3(xx + 3)

� =�3x (x

x-(5

3x)-2 (

3x)+ 3)

�

=�3 (x -

5x3)-2 (

3x + 3)

� ,

D = R \ {- 3 , 0 , 3} ;

4.11. �2x� * �

x6

2

� = �3x

� ,

D = R \ {0} ;

4.12. �x2 -

x4

16� *�

x2 +x2

4x� =�(x -

x4

4*)x(x

(x++4)

4)* x2

� =�x

x-

3

4� ,

D = R \ {0 , - 4} ;

4.13. �(x

x+

2

1-)1* 5

� =�x -

51

� ,

D = R \ {- 1 , 1} ;

4.14. (x + 1) : �5x2

x2

- 5� =�

5 ((xx-+

11))(*x

x+

2

1)�

=�5 (x

x2

- 1)� ,

D = R \ {- 1 , 0 , 1} ;

4.15. �x2

2-x

9� : �

x2 +46xx2

+ 9� =�(x - 3)

2x(x + 3)� *�

(x4+x2

3)2�

=�2xx(x+-33)

� ,

D = R \ {- 3 , 0} ;

4.16. �22xx

2

2

--

3xx-+110

� : �xx-+

12

�

= *�xx+-

21

� =�22xx--

15

� ,

D = R \ �- 2 , �52

� , 1� .

5.1. �x2

x+2 -4x

2+x

4� *�4

xx2

2

+-21x6

� : �4xx-+28

�

=

=�x2

x-2

4� ,

D = R \ {- 2 , 0 , 2} ;

5.2. �12

� ��x -1

2� + x� : �

x2

2- 1� * (x + 1)

= �12

� �1 +

xx-

2 -2

2x� *�

x2

2- 1� * (x + 1)

= =�xx--

12

� ,

D = R \ {- 1 , 1 , 2} ;

5.3. ��x12� - �

19

�� : (x + 3) =�99-x2

x2

� *�x +

13

�

=�- (9xx-2 (3x)+(x

3+)

3)� =�

39-x2

x� ,

D = R \ {- 3 , 0} ;

5.4. ��4x� - 1�

2

*�x2 -

x2

16� =�

(4 -x2

x)2

� *�(x - 4)

x2

(x + 4)�

=�xx-+

44

� ,

D = R \ {- 4 , 0 , 4} ;

5.5. �x -�x +

x1

�� : ��x -x

1� + x� =�x

2

x++x1- x

� : �x +

xx-

2

1- x

�

=�x

x+

2

1� *�

xx-2

1� =�

xx-+

11

� ,

D = R \ {- 1 , 0 , 1} ;

(x - 1)2 (x + 1)��(x - 2) (x - 1) (x + 1)

(x + 2)2 * 4 (x - 2) (x + 2) * (x - 2)��

x (x - 2) * x (x + 2) * 4 (x + 2)

2 (x - 1) �x - �12

��

2 (x + 2) �x - �52

��

9x - 27 + 2x2 + 6x + 3x2 - 18x + 27��

3x (x - 3)2 (x + 3)

8x + 12 - 6x2 + 9x + 4x2 + 12x + 9��

(2x + 3)2 (2x - 3)

3x2 + 3x - x - 1 - x + 1��

(x - 1)2 (x + 1)

(3x - 1) (x + 1) - (x - 1)��

(x - 1)2 (x + 1)

4 + 2x2 + 4x + 3x - 6��

(x - 2) (x + 2)

62

Funções II

5.6. : �x2

x-2

4� = *�

x2

x-

2

4�

= =�(x-+x2

2

)2� ,

D = R \ {- 2 , 0 , 2} .

6.1. ��a -a

b� -�

a +1

b� -�

a2 -b

b2�� : �b -

aa

�

= *�- (aa- b)�

=�- [aa(a(a++bb))- a]

� =�- aa(a(a++bb-)

1)�

=�- (aa++bb- 1)

� , a 0 b ‹ a 0 - b ‹ a 0 0 ;

6.2. �x2 - 6

5xxy2

+ 9y2

� * ��x2

1-0x9y2

��- 1

=�(x -5x

32

y)2

� *�(x - 3y

1)0(xx + 3y)�

=�2x (

(xx+-

33yy))

� , x 0 3y ‹ x 0 - 3y ‹ x 0 0 .

7.1. �x +

k1

� +�x -

P3

� =�(x +

51x)-(x

3- 3)

�

§ kx - 3k + px + p = 5x - 3

k = 2 ‹ p = 3 ;

7.2. x -�kxx++3p

� =�xx

2

++

34

� § �x2 + 3

xx+-3kx - p

� =�xx

2

++

34

�

k = 3 ‹ p = - 4 .

8.1. �45+-

xx

� = 2 § �45+-

xx

� - 2 = 0

§ �4 + x

5--10x+ 2x

� = 0

§ 3x - 6 = 0 ‹ 5 - x 0 0 § x = 2 ;

8.2. �x +

53

� = 0 § x å O ;

8.3. �1x� +�

x +1

4� =�

x2 +5

4x�

§ �1x� +�

x +1

4� -�

x (x5+ 4)� = 0

§ �x +

x4(x++x4-)

5� = 0 §

§ 2x - 1 = 0 ‹ x (x + 4) 0 0 § x = �12

� ;

8.4. �x2

6-x

9� +�

3 -x

x� =�

x +x

3�

§ �(x - 3)

6x(x + 3)� -�

x -x

3� -�

x +x

3� = 0

§ = 0

§ - 2x2 + 6x = 0 ‹ (x + 3) (x - 3) 0 0

§ - 2x (x - 3) = 0 ‹ (x 0 - 3 ‹ x 0 3)

§ x = 0

8.5. �xx-+ 3

2� +�

22- x� =�

4 -1

x2� Pág. 51

§ �xx+-

32

� -�(x -

22)

� +�(x - 2)

1(x + 2)� = 0

§ = 0

§ x2 + 3x + 3 = 0 ‹ (x - 2) (x + 2) 0 0

§ x å O ;

8.6. �3(x(x--1)22

)� -�

(2x5- 2)� =�

x -3

x2�

§ �3(x(x--1)22

)� -�

2 (x5- 1)� +�

x (x3- 1)� = 0

(2x) x (x - 1) 2 (x - 1)

§ = 0

§ �2xx

2 -(x

x--16)2� = 0

§ x2 - x - 6 = 0 ‹ 2x (x - 1)2 0 0

§ x = - 2 › x = 3 ;

8.7. �x +

x1

� -�x +

x1

� = 1 -�x2

1+ x�

§ �x +

x1

� -�x +

x1

� +�x (x

1+ 1)� - 1 = 0

§ = 0

§ �-x (

xx

2

+-

13)x

� = 0 § �xx(-(x

x+-13))

� = 0

§ x = - 3 ;

8.8. �1x� +�

x +1

2� +�

x +1

3� = 0

§ = 0

§ �x3(xx2

++21)0(xx++

63)

� = 0

§ 3x2 + 10x + 6 = 0 ‹ x (x + 2) (x + 3) 0 0

§ x =�- 10 ¿�6100 -�72�� ‹ x 0 0 ‹

‹ x 0 - 2 ‹ x 0 - 3 § x =�- 10 ¿62 �7��

§ x =�- 5 -3

�7�� › x =�- 5 +

3�7�� ;

x2 + 5x + 6 + x2 + 3x + x2 + 2x��

x (x + 2) (x + 3)

x2 - x2 - 2x - 1 + 1 - x2 - x��

x (x + 1)

6x (x - 2) - 5x (x - 1) + 6 (x - 1)��

2x (x - 1)2

x2 + 5x + 6 - 2x - 4 + 1��

(x - 2) (x + 2)

6x - x2 - 3x - x2 + 3x��

(x + 3) (x - 3)

k = 3

p = - 4

abc

§3 - k = 0

- p = 4

abc

§

p = 3

k = 2

abc

§p = 5 - k

- 4k = - 8

abc

§k + p = 5

- 3k + p = - 3

abc

§

a (a + b) - (a - b) - b��

(a - b) (a + b)

2x (2 - x) * x2

��2x (2 + x) (x + 2) (x - 2)

�22-xx

�

��22+xx

�

�1x� - �

12

�

��1x

� + �12

�

63


9.1. A = {x å R : x2 - 3x = 4} = {- 1 , 4}

x2 - 3x = 4 § x2 - 3x - 4 = 0

§ x = - 1 › x = 4 ;

9.2. B = �x å R : x +�x -

11

� =�x

x-

2

1�� = O

x +�x -

11

� =�x

x-

2

1� § �

x2

x--x

1+ 1

� =�x

x-

2

1�

§ x2 - x + 1 = x2 ‹ x 0 1 § x = 1 ‹ x 0 1

§ x å O ;

9.3. C = {xåR : (x + 3)3 - (x + 3) = 0} = {- 4 , - 3 , - 2}

(x + 3)3 - (x + 3) = 0 § (x + 3) [(x + 3)2 - 1] = 0

§ x + 3 = 0 › (x + 3)2 = 1

§ x = - 3 › x + 3 = 1 › x + 3 = - 1

§ x = - 3 › x = - 2 › x = - 4 ;

9.4. D = �x å R : 2 +�x -

x1

� =�x +

21

�� = �0 , �13

��2 +�

x -x

1� =�

x +2

1� § 2 +�

x -x

1� -�

x +2

1� = 0

§ = 0

§ = 0

§ 3x2 - x = 0 ‹ (x - 1) (x + 1) = 0

§ x (3x - 1) = 0 ‹ x 0 1 ‹ x 0 - 1

§ x = 0 › x = �13

� .

10.1. 3x < 6 § x < 2 ;

10.2. - 3x < 6 § x > - 2 ;

10.3. - 3x < - 6 § x > 2 ;

10.4. 3x < - 6 § x < - 2 .

11.1. (x - 1) (4 + 5x) > 0

(x - 1) (4 + 5x) = 0 § x = 1 › x = - �45

�

§ x å �- ? , - �45

�� ∂ ]1 , + ?[ ;

11.2. (2 - 3x) (x + 3) < 0

(2 - 3x) (x + 3) = 0 § x = �23

� › x = - 3

§ x å ]- ? , - 3[ ∂ ��23

� , + ?� ;

11.3. (x2 + 6) (3x + 5) < 0 § 3x + 5 < 0

§ x < - �53

� § x å �- ? , - �53

�� ;

11.4. (2 - x) (5x + 7) > 0

(2 - x) (5x + 7) > 0 § x = 2 › x = - �75

�

§ x å �- �75

� , 2� ;

11.5. 3x2 + 8x < 0

3x2 + 8x = 0 § x (3x + 8) = 0 § x = 0 › x = - �83

�

§ x å �- �83

� , 0� ;

11.6. (x2 - 9) (x2 + x) < 0 § xå ]- 3 , - 1[ ∂ ]0 , 3[

x2 - 9 = 0 § x = - 3 › x = 3 ;

x2 + x = 0 § x (x + 1) = 0 § x = 0 › x = - 1

11.7. (x - 1) (4 - x2) (x2 - 3x) < 0

§ x å ]- 2 , 0[ ∂ ]1 , 2[ ∂ ]3 , + ?[

• x - 1 = 0 § x = 1 ;

• 4 - x2 = 0 § x = - 2 › x = 2

• x2 - 3x = 0 § x (x - 3) = 0

§ x = 0 › x = 3

11.8. (3x - 1) (x - 1)2 (x - 3)3 ≥ 0

§ x å �- ? , �13

�� ∂ {1} ∂ [3 , + ?[

0–83

–

2+

75

–

––3

–23

+1

+45

–

2x2 - 2 + x2 + x - 2x + 2��

(x - 1) (x + 1)

2 (x2 - 1) + x (x + 1) - 2(x - 1)��

(x - 1) (x + 1)

64

-3 -1

x2 - 9 0 - - -

x2 + x + + 0 -

0 - 0 +

0 3

- - 0 +

0 + + +

0 - 0 +

+

+

+

0

x - 1 - - - -

4 - x2 - + + +

+ - 0 +

1

0 + + +

+ + - -

0 - + -

2

+

0

0

3

+

-

0

x2 - 3x + + 0 - - - - +- 0

-2

-

0

0

+

�13� 1

3x - 1 0 + + +

(x - 1)2 + + 0 +

(x - 3)2 - - - -

3

- +

+

-

+

+

+

+

0 +

0 - 0 - 0 +

Funções II

12.1. �2x

3+ 3� ≥ 0 § 2x + 3 > 0 § x > - �

32

� ;

12.2. �2x2

-+35x

� < 0 § 2 - 3x < 0

§ 3x > 2 § x > �23

� ;

12.3. �xx

2

2

-+

2255

� ≥ 0 § x2 - 25 ≥ 0

§ x ≤ - 5 › x ≥ 5

§ x å ]- ? , - 5] ∂ [5 , + ?[ ;

12.4. �2x--

31x

� ≥ 0 § x å ��23

� , 1�

12.5. �(x - 3)

x2

(4 + x)� ≥ 0

§ x å ]- ? , - 4[ ∂ {0} ∂ ]3 , + ?[

12.6. �1x� > x § x - �

1x� < 0 § �

x2

x- 1� < 0

§ x å ]- ? , - 1[ ∂ ]0 , 1[

12.7. �3x

1+ 1� ≥ �

1x� § �

3x1+ 1� - �

1x� ≥ 0

§ �xx-(3

3xx+-11)

� ≥ 0

§ �x-(32xx+-

11)

� ≥ 0

§ x å �- ? , - �12

�� ∂ �- �13

� , 0�

12.8. �x2

(x(x-+1)3

3

)2�≤ 0 § x - 1 ≤ 0 ‹ x 0 0 ‹ x 0 - 3

§ x ≤ 1 ‹ x 0 0 ‹ x 0 - 3

§ x å ]- ? , - 3[ ∂ ]- 3 , 0[ ∂ ]0 , 1] ;

12.9. �(3xx2

+-1x)4

5

� ≥ 0 § �x2

(x(3+-1)x

5

2)� ≥ 0

§ xå ]-? , -�3�[ ∂ [- 1 , 0[ ∂ ]0 , �3�[

12.10. �-

x(2

x--

13)4

� ≥ 0 § �(xx2

--31)4

� ≤ 0

§ x = 3 › x2 - 1 < 0

§ x = 3 › x å ]- 1 , 1[

§ x å ]- 1 , 1[ ∂ {3}

13.1. f (x) = �1x�

Df = R \ {0} ; x = 0 ; y = 0 ;

13.2. f (x) =�5x

x- 1�

Df = R \ {0} ; ��15

� , 0� ; x = 0 ; y = 5 ;

13.3. f (x) =�xx--�13�

�

Df = R \ {�3�} ; �0 , ��33�� ; (1 , 0) ;

x =�3� ; y = 1 ;

13.4. f (x) =�2xx+-11

� Pág. 52

Df = R \ {- 1} ; (0 , - 1) ; ��12

� , 0� ;

x = - 1 ; y = 2 ;

13.5. f (x) =�xx

2

2

--

14

�

Df = R \ {- 2 , 2} ; �0 , �14

�� ; (- 1 , 0) ;

(1 , 0) ; x = - 2 ; x = 2 ; y = 1 ;

13.6. f (x) =�x2

x+

2

9�

Df = R ; (0 , 0) ; y = 1 ;

13.7. f (x) =�x2

1+-x -

x2

� ; x2 + x - 2 = 0

§ x = 1 › x = - 2

Df = R \ {- 2 , 1} ; �0 , - �12

�� ;

x = - 2 ; y = 0 ;

5–5

65M11FNAGP - 5

-1

(x + 1)5 - - 0 +

x2 + + + +

3 - x2 - + + +

�3�

+

+

- 0

+

+

+

+

0

-

-

0

+ +

+ 0

+ +

+

�23� 1

x - 1 - - 0-

2 - 3x 0 - -+

-

+

-

+ 0 -

- 1 0

x2 - 1 0 - - -

x - - 0 +

+

-

-

1

0

0

+

+

+

- 0

+

+

- �12� - �

13�

- 2x - 1 0 - -

0

x (3x + 1) + + 0

- -

- 0

+

+

+

+

-

+

0 - -

- 4 0

x2 + 0 ++

x - 3 - - -

+

4 + x + + +

3

-

+

- 0

+

0

-

+

+

+

-

+0 +

-

-�3�-

+

0


13.8. f (x) =�x3 +

x2

5x-2

x+ 8x

�

Df = R \ {0} ;

(1 , 0) ; y = 0 ;

13.9. f (x) =�(x4 - 3

xx2 - 4)2�

Df = R \ {- 2 , 2} ;

(0 , 0) ; x = - 2 ;

x = 2 ; y = 0 .

14.1.

(0 , 0)

14.2. f (x) =�(xx

2

++11)2�

Df = R \ {- 1} ; Assimptotas: x = - 1 ; y = 1

(0 , 1)

14.3. f (x) =�x2 -

5x - 6�

Df = R \ {- 2 , 3} ;

Assimptotas: x = - 2 ; x = 3 ; y = 0

�0 , - �56

��

14.4. f (x) =�(2x

5- 1)2�

Df = R \ ��12

�� ; Assimptotas: x = �12

� ; y = 0

(0 , 5)

15. f (x) =�xx++

44

� = 1 , Df = R \ {- 4}

Assimptotas: y = 1

g (x) =�x2

x+ 1� = x + �

1x� , Dg = R \ {0}

Assimptotas: x = 0 ; y = x

h (x) =�x2

x+ 1� , Dh = R

Assimptotas: y = 0

i (x) = �2x

� , Di = R

Assimptotas: y = �2x

�

j (x) = �2x� , Dj = R \ {0}

Assimptotas: x = 0 ; y = 0

k (x) =�21x2

--x2

2� =�

-2 (

(xx

2

2

--

11))

� = - 2 , Dk = R \ {- 1 , 1}

Assimptotas: y = - 2

l (x) =�(x -

x2

5)2� , Df = R \ {5}

Assimptotas: x = 5 , y = 1

15.1. g , i ;

15.2. f , h , i , k ;

15.3. g , i .

16.1. �9x--

x32� =�

(3 - xx)-(33+ x )

� =�x-+13

� ;

D = R \ {- 3 , 3} ;

16.2. �x2 +

x25--5

10x� =�

(xx--

55)2� =�

x -1

5� ;

D = R \ {5} ;

16.3. = =�x (x

2+ 2)� ;

D = R \ {0} ;

�x +

22

�

��1x

�

�2x

� + 1

��1x

�

y

0 x12

5

y

0 x3–2

§ x2 - x - 6 = 0

§ x = - 2 › x = 3

y

0 x

1

–1

y

0 x

1

–1

66

x2 - x = 0

§ x = 0 › x = 1

x3 + 5x2 + 8x = 0

§ x (x2 + 5x + 8) = 0

§ x = 0

x4 - 3x2 - 4 = 0

§ (x2)2 - 3x2 - 4 = 0

§ x2 = - 1 › x2 = 4

§ x = - 2 › x = 2

Funções II

16.4. �3xx++

3x2

� =�x (

x3++3x)

� = x ;

D = R \ {- 3} ;

16.5. �(2x5--5x)2

2

� =�(5 -

(5x)-(x5)2

+ x)� =�

55-+

xx

� ;

D = R \ {- 5 , 5} ;

16.6. �1

1- x� - �

2x� =�x

x-(12-+

x2)x

� =�x3(x1--

2x)

� ;

D = R \ {0 , 1} ;

16.7. �x2

x-2 -3x

4-x

4� =�(x +

x (1x)-(x

4-)

4)� =�

x +x

1� ;

D = R \ {0 , 4} ;

16.8. �x4

x+

5

x-3

x+

2

x2�

=�x2

x(

2

x(2

x+

3 -x +

1)1)

�

= = x - 1 ;

D = R \ {0} ;

16.9. = =�2

3(xx2

*-x1)

� =�2 (x

32

x-

2

1)� ;

D = R \ {- 1 , 0 , 1} .

17.1. x - �1x�= 0 § �

x2

x- 1� = 0 § x = 1 › x = - 1 ;

17.2. �xx

2

--

24

� = 0 § x2 - 4 = 0 ‹ x - 2 0 0

§ x = - 2 ;

17.3. x +�2x

2- 6� +�

x -1

3� = 2

§ x +�x -

13

� +�x -

13

� - 2 = 0

§ = 0

§ x2 - 5x + 8 = 0 ‹ x - 3 0 0 § x å O ;

17.4. 1 -�4x2

x- 1� = 2 +�

1 -x4x2� § �

1 -2x

4x2� + 1 = 0

§ -�4x2

x- 1� = 1 -�

4x2

x- 1� § x å O ;

17.5. �x -

11

� -�x +

21

� = -�1 -

3x2�

§ �x -

11

� -�x +

21

� -�(x - 1)

3(x + 1)� = 0

§ �x + 1 -

x2

2-x

1+ 2 - 3� = 0

§ - x = 0 ‹ x2 - 1 0 0 § x = 0 ;

17.6. �13

� +�16--

23xx

� =�x2

x-

2

4�

§ �13

� +�32(xx--

12)

� -�(x - 2)

x2

(x + 2)� = 0

§ = 0

§ �3 (x -

3x2)-(6x + 2)

� = 0

§ 3x - 6 = 0 ‹ x 0 2 ‹ x 0 - 2

§ x å O .

18.1. �1x� > 4 § �

1x� - 4 > 0 Pág. 53

§ �1 -

x4x

� > 0 § x å �0 , �14

��

18.2. �1x� < x § �

1x� - x < 0 § �

1 -x

x2

� < 0

§ x å ]- 1 , 0[ ∂ ]1 , + ?[

18.3. �1x� < 10- 3 § �

1x� -�

10100� < 0

§ �10100000-xx

� < 0

§ x å ]- ? , 0[ ∂ ]1000 , + ?[

18.4. x ≥ �4x� § x - �

4x� ≥ 0 § �

x2

x- 4� ≥ 0

§ x å [- 2 , 0[ ∂ [2 , + ?[

x2 - 4 + (2x - 1) (x + 2) - 3x2

��3 (x - 2) (x + 2)

x2 - 3x + 1 + 1 - 2x + 6��

x - 3

�2x

2+ x�

�

�x2

x- 1�

x + �12

� x

�x - �

1x

�

x2 (x - 1) (x2 + x + 1)��

x2 (x2 + x + 1)

67

1 0 0 - 11 1 1 1

1 1 1 |0 0 �14�

1 - 4x + + 0+

x 0 + +-

-

-

+

+ 0 -

- 2 0

x2 - 4 0 - -

2

x - - 0

- 0

+ +

- 0

+

-

-

+

+

0 + +

0

+1000 - x + +

-

1000

1000x 0 +

-

0

+

0

-

+

+ -

- 1 0

1 - x2 0 + +

1

x - - 0

+ 0

+ +

+ 0

-

-

+

-

+

0 - -


18.5. �xx-+

55

� > 0 § x å ]- ? , - 5[ ∂ ]5 , + ?[

18.6. �xx-+

21

� ≤ 0 § x å ]- 1 , 2]

18.7. �xx-+

13

� < 1 § �xx-+

13

� - 1 < 0

§ < 0 § �x-+43

� < 0

§ x + 3 > 0 § x > - 3

§ x å ]- 3 , + ?[ ;

18.8. �3xx--42

� ≥ 3 § �3xx--42

� - 3 ≥ 0

§�3x - 2

x--

34x + 12

� ≥ 0 § �x1-04

� ≥ 0

§ x - 4 > 0 § x > 4 § x å ]4 , +?[ .

19. f (x) =�2x2

x2

+-3xx-+

32

� ; g (x) =�x3

x+2

1�

19.1. Df = {x å R : x2 + 3x + 2 0 0} = R \ {- 2 , - 1}

Dg = {x å R : x2 0 0} = R \ {0} ;

19.2. f (x) = 0 § 2x2 - x - 3 ‹ x å Df

§ �x = - 1 › x = �32

�� ‹ x å Df § x = �32

�

g (x) = 0 § x3 + 1 = 0 ‹ x 0 0 § x = - 1 ;

19.3. f (x) = =�2xx+-

23

� , x 0 - 1

g (x) = x + �x12�

Assimptotas de f : x = - 2 ; y = 2

Assimptotas de g : x = 0 ; y = x

19.4.1. f (x) =�2x2

x2

+-3xx--

32

� = 2

§ �2xx+-23

� - 2 = 0 ‹ x 0 - 1

§�2x- 3

x+-

22x- 4

�= 0 ‹ x 0 - 1 § xåO ;

19.4.2. g (x) ≥ x + 1 § �x3

x+2

1� - x - 1 ≥ 0

§ �x3 + 1 -

x2

x3 - x2

� ≥ 0

§ 1 - x2 ≥ 0 ‹ x 0 0

§ x å [- 1 , 0[ ∂ ]0 , 1] .

20.1.

(x - 3) * (y - 4) = 240

y - 4 =�x2-40

3� § y = 4 +�

x2-40

3�

A = x * y

A (x) = x * �4 +�x2-40

3��

§ A (x) = 4x +�x2-40

3�

§ A (x) =�4x2 - 1x2-x3+ 240x�

§ A (x) =�4x2

x+-2328x

�

20.2. x > 3

x ) 16,4

y = 4 +�16

2,440- 3�

) 21,9

D = ]3 , + ?[ , x ) 16,4 cm ; y ) 21,9 cm .

21.1. xy = 1000 § y =�10

x00� , x å R+

f (x) =�10

x00� ; Df = R+ ;

21.2. É porque xy = 1000 (constante) ;

21.3. y = x + 10

�10

x00� = x + 10 §

x > 0x2 + 10x - 1000 = 0

§x > 0

x = 27,02 (2 c. d.)

x = 27,02 ± y = 37,02 (2 c. d.)

x ) 27,02 cm ; y ) 37,02 cm .

240 cm21,5

2 cm

2 cm

1,5

x

y

1

+

–1

2 (x + 1) �x - �32

��

(x + 2) (x + 1)

x - 1 - x - 3��

x + 3

68

- 1 2

x - 2 - - 0-

x + 1 0 + +-

+

+

+

- 0 +

- 5 5

x - 5 - - 0-

x + 5 0 + +-

+

+

+

- 0 +

Funções II

22.1. Sumo Tomate Pág. 54150 L 0,4 * 150 = 60

x L 0,6x

150 + x 60 + 0,6x

C (x) =�6105+0

0+,6xx

� =�1650000++

61x0x

�

22.2. 0 ≤ x ≤ 1000 - 150 § 0 ≤ x ≤ 850

Dc = [0 , 850]

22.3.

22.4. �160xx

� = �160� = �

35

� = b

b = �35

� = 0,6

y = 0,6 . À medida que se aumenta a quanti-

dade de sumo com a concentração de

60% , a concentração do sumo resul-

tante vai-se aproximando deste valor.

22.5.1. C (x) = 0,55 § �1650000++

61x0x

� = 0,55

§x > 0

600 + 6x = 825 + 5,5x

§ 0,5x = 225 § x =�202,55

� § x = 450 L ;

22.5.2. C (x) < 0,6 , A x å D .

É impossível.

22.6. C (x) > 0,5 § �1650000++

61x0x

� > 0,5

§x > 0

600 + 6x > 750 + 5x

§ x > 150 L

150 L < x ≤ 850 L .

23.1.

23.2. C� (55) =�5 * 5555+ 100� ) 23,18

23,18 Æ ;

23.3. C (x) = 20 § �5x +

x1000� = 20

§x > 0

5x + 1000 < 20x § 15x = 1000

§ x ) 66,7

x ) 67 ;

23.4. �5xx� = 5

y = 5 . À medida que o número de unidades

produzidas aumenta, o seu custo médio

tende a estabilizar em 5 Æ .

23.5. C (x) < 20 § �5x +

x1000� < 20

§x > 0

5x + 1000 < 20x § 15x > 2000

§ x > 66,7

A empresa tem de produzir 67 unidades ou mais.

24.1. Sejam A1 (0 , 0) e Pág. 55

B1 (3 , 2)

m =�23--

0a

� =�3 -

2a

�

y - 0 =�3 -

2a

� * (x - a) § y =�23x --

2aa

�

é uma equação da recta AB .

24.2. A˚ =�a *

2b

� = �12

� a *�3--2a

a�

=�6--2a2

2

a�

24.3. y1 = (- 2x2) / (6 - 2x) / (x > 3)

25. h (t) = 5 +�100,1-tt

�

25.1. h (8) = 5 +�01,01-*

88

� = 7,5 Æ @ salário/hora

8 * 7,5 = 60 Æ ;

25.2. s (t) = t * h (t) = t * �5 +�100,1-tt

��= 5t + t �

(10t- t)� * �

01,1� =

= 5t + (10 - t) * 10 = 5t + 100 - 10t

s (t) = 100 - 5t ;

25.3. s (t) = 55 § 100 - 5t = 55

§ 5t = 45 § t = 9

9h .

69

Como (0 , b) pertence

à recta AB tem-se:

b =�2 *30--a2a

� § b =�3--2a

a�


26.

26.1.

26.2. Ao fim de 15 horas.

26.3. Não. Aumenta apenas durante as primeiras

15 horas.

26.4. �05,8� = 0,16

y = 0,16 ; significa que o medicamento não é

totalmente eliminado. A sua concentração no

corpo, decorrido um intervalo de tempo signi-

ficativamente grande tende a estabilizar em

0,16 p. p. m.

26.5.

27. I é falsa. Pág. 56A função é decrescente em ]- ? , 0[ e em

]0 , + ?[ mas não é decrescente em R \ {0} .

II é verdadeira.

Se f (x) = �1x�

, f (- x) =�-1x�= - �

1x�= - f (x) , A xåR .

III é falsa.

O gráfico da função é simétrico relativamente à

origem do referencial.

IV é verdadeira.

As rectas x = 0 e y = 0 são assimptotas.

28. (B) .

29. f (x) = - �x12� + 1 =�

x2

x-2

1�

I é verdadeira. A recta y = 1 é uma assimptota

horizontal do gráfico de f .

II é falsa. limx" +?

f (x) = 1 .

III é verdadeira.

IV é falsa. limx" -?

f (x) = 1 .

(B) .

30. f (x) =�xx2

--

11

� =�(x -

x1)-(x1+ 1)

� =�x +

11

� e x 0 1

A única assimptota vertical é a recta x = - 1 .

(A) .

31. y =�x2 +

x3-x1+ 1

�

= x + 4 +�x -

51

�

a = 4 , b = 5 , c = - 1

(D) .

32. �x2 +

x4+x3+ 3

� = 0 Pág. 57

§ x2 + 4x + 3 = 0 ‹ x + 3 0 0

§ (x = - 3 › x = - 1) ‹ x 0 - 3 § x = - 1

(C) .

33. Teorema A" 5 horas

Teorema B" 4 horas

Em t horas a torneira A enche �5t� do tanque

e a torneira B enche �4t� do tanque.

Logo, terá que ser �4t� + �

5t� = 1 .

(C) .

34. Se limx " a

f (x) = - ? , a recta de equação

x = a é uma assimptota vertical do gráfico de f .

(A) .

35. (D) .

36. (C) . Pág. 58

37. (A) 3 não pertence ao domínio da condição.

(B) �xx

3

2

--

84

� = 0 § x3 - 8 = 0 ‹ x2 - 4 0 0

§ x å O ; x3 - 8 = 0 § x = 2 .

(D) �2 -

xx

� > 0 § 0 < x < 2 ; 2 - x > 0

§ x < 2 .

(I) O domínio é R \ {0} .

(J) 2x + 1 = 0 § x = - �12

� ; (2x + 1) (x + 3) = 0

§ x = - �12

� › x = - 3 .

38. (A) é falsa; o gráfico de h tem assimptota oblíqua;

(B) é verdadeira; y = �25

� é uma assimptota do

gráfico de i ;

(C) é verdadeira; Df = R \ {-��3�� , ��3��}e Dh = R \ {�3�} ;

1,708t se 0 ≤ t < 7,5

�1,6

1t0t++10

400

� se t ≥ 7,5

adbdc

C (t) =

0,854 (2t) se 0 ≤ 2t < 15

�0,8

5(*2t

2)t++14000

� se 2t ≥ 15

adbdc

C (t) = N (2t) =

15

C

t30 60 90

12,81

0

0,854t se 0 ≤ t < 15

�0,8

5tt++14000

� se t ≥ 15

adbdc

N (t) =

70

x2 + 3x + 1 |x - 1 - x2 + x + 4 x + 4

4x + 1- 4x + 4

5

Funções II

(D) é falso; o gráfico de i não tem assimptotas

verticais.

(B) e (C) são verdadeiras.

39. O gráfico de f (x + h) obtém-se do Pág. 59gráfico de f (x) por um deslocamento de h

unidades na direcção de Ox ,

39.1. para a esquerda se h > 0 ;

39.2. para a direita se h < 0 .

40. O gráfico de f (x) + k obtém-se do gráfico de

f (x) por um deslocamento de k unidades na

direcção de Oy ,

40.1. para cima se k > 0 ;

40.2. para baixo se k < 0 .

41. Se a recta x = a é a única assimptota vertical do

gráfico da função racional x 1 f (x) = �nd (

(xx))

�

podemos concluir que a é o único número real

tal que d (a) = 0 e n (a) 0 0 .

42. Por exemplo, x1 f (x) =�xb-xa

� .

43.1. y é directamente proporcional a x se existe

uma constante c å R \ {0} , tal que y = cx .

43.2. y é inversamente proporcional a x se existe

uma constante k å R \ {0} , tal que xy = k .

44. Por exemplo:

44.1.

44.2. f (x) = 3x + 1 +�x2

1+ 1� =�3x3 +

xx2

2

++

13x + 2� ;

44.3. f (x) = x +�x2

1- 1� =�x

3

x-2 -

x +1

1� ;

44.4. f (x) =�xx

2

--

11

� ;

44.5. f (x) =�x2 +

6xx

2

- 6� .

2 Funções irracionais. Radicais

1.1. �315,625� = 2,5 cm ; Pág. 64

1.2. �352� cm .

2. �2� , �3� , �5� , �6� , �7� (por exemplo).

3. �8� .

4.1. 36�12�

+ 32�15�

- 121�12�

+ 81- �

34�

= 6 + 2 - 11 + (34)- �

34�

= - 3 + 3- 3 = - 3 + �217� = - �

8207� ;

4.2. ��196��- �

12�

+ 32- �

25�

- ��6247��- �

43�

- 1- �

12�

= ��43

��2

�- �

12�

+ (25)- �

25�

- ��43

��3

�- �

43�

- 1

= ��43

��-1+ 2-2 - ��

43

��-4- 1 = �

34

� + �14

� -�28516

� - 1 = -�28516

� .

5.1. �(t + 1)�2� = \t + 1|, t å R

\t + 1|, t å R ;

5.2. �3�3x�� = �

63x� , x å R0

+ ;

5.3. � �3

= (x�13� - �

16�)3= (x�

16�)3= x

�12�

= �x� , x å R0+ ;

5.4. = = 2�43� - �

13�

* �xx

4

4� = 2 , xåR\{0} .

6.1. y = ; D = {x å R : x3 > 0} = R+ ;

6.2. y = 6x�23�

= 6 �3x2� ; D = R ;

6.3. y = 3 �3x� ; D = R .

7.1. 18 ; Pág. 66

7.2. 0 ;

7.3. 0,6 ;

7.4. - 12 .

8. Porque (- 4)�12�

= �- 4� e não existem, em R ,

raízes quadradas de números negativos.

9. São os quadrados dos números inteiros: 02 = 0 ,

12 = 1 , 22 = 4 , 32 = 9 , etc.

10. É um número representável por uma dízima infi-

nita não periódica.

11.1. 3 �217�� = �

13

� ;

11.2. �3- 1� = - 1 ;

11.3. 2 �3- 64� = 2 * (- 4) = - 8 ;

11.4. - 3 �30� = 0 .

12. �481� - �

3- 32� - �36� = 3 - (- 2) - 6 = - 1 .

5��x3�

2�43�

* (x3)�43�

�2

�13�

x4

(2x3)�43�

�2

�13�

x4

x�13�

�x

�16�

�x2

1- 1� se x 0 - 1 ‹ x 0 1

0 se x = - 1 › x = 1

adbdc

f (x) =

71


13.1. �x2� = \x| ;

13.2. �4(x - 3)�4� = \x - 3| ;

13.3. �5(- 5 -� x)3� = - 5 - x ;

13.4. �5(1 - x)�5� = 1 - x ;

13.5. 3 �2a7

1

x

8

3�� = 3 ��3ax

6

��3� = �

3ax

6

� ;

13.6. �12

� 3 �6a4

6

x3

�� = �12

� 3 ��4ax2��

3� = �12

� * �4ax2� = �

2ax2� ;

13.7. 2 �4xx

10

6�� = 2 ��2x4

2�� = 2 �x2

2

� = x2 ;

13.8. 4 4 �16x4

a4�� = 4 4 ��2xa��

4� = 4 ��2xa�� = 2 ��a

x�� .

14.1. �3� ;

14.2. �38� ;

14.3. �33a� ;

14.4. - �464� ;

14.5. �5- 32� ;

14.6. 2 �7x3� ;

14.7. �(x - 1)�3� ;

14.8. 2 �5(x - 1)�3� .

15.1. 8- �

43�

+ 64- �

23�

- 16- �

54�

+ 4- �

32�

= (23)- �

43�

+ (43)- �

23�

- (24)- �

54�

+ (22)- �

32�

= 2- 4 + 4- 2 - 2- 5 + 2- 3 = �116� + �

116� - �

312� + �

18

� = �372� ;

15.2. = a�23� + �

53� - �

12�

= a�161�

= a1 + �

56�

= a �6a5� (a ≥ 0) ;

15.3. = a�14� - �

12� + �

32�

= a�54�

= a1 + �

14�

= a �4a� ;

15.4. = a- �

12� (a�

12�

- a�23�) = 1 - a

�23� - �

12�

= 1 - a�16�

= 1 - �6a� .

16.1. x- �

13�

(6 + 2x) = 6x- �

13�

+ 2x�23�

; Pág. 67

16.2. x- �

34�

+ 2x�14�

= x- �

34�

(1 + 2x) .

17.1. �5� * �20� = �100� = 10 ;

17.2. = �36� ;

17.3. = 3 �aa

7

2

bb

6

3�� = �3a5 b3� = ab �

3a2� ;

17.4. �32� + �326�� - �

881��

= �16 * 2� +�26

�� -�2 �

92�

�

= 4 �2� - +�2 �

92�

� = �7118� �2� ;

17.5. �8� - 2 �32� - �18� - 2 �128�

= 2 �2� - 8 �2� - 3 �2� - 16 �2� = - 25 �2� .

18.1. �3� *�32� = 3

�12�

* 2�13�

= 3�36�

* 2�26�

= (33 * 22)�16�

=�6108� ;

18.2. �37� *�2� = 7

�13�

* 2�12�

= 7�26�

* 2�36�

= (72 * 23)�16�

= �6392� ;

18.3. �57� * �

3x� = 7

�15�

* x�13�

= 7�135�

* x�155�

= (73 * x5)�115�

= �15

73 x5� ;

18.4. �34� * �

4b� = 4

�13�

* b�14�

= 4�142�

* b�132�

= (44 * b3)�112�

= �12

256 b3� .

19.1. �3� (�5� + �3�) = �3� �5� + 3 = �15� + 3 ;

19.2. �5x� (�x� + �5�) = �5�x + 5 �x� ;

19.3. (2 �x� - 1) (3 �x� + 1)

= 6x + 2 �x� - 3 �x� - 1 = 6x - �x� - 1 ;

19.4. �3� (�3� + x �3�) = 3 + 3x ;

19.5. (�2x� - 3 �2�) (�2x� + 3 �2�) = 2x - 18

(x ≥ 0) ;

19.6. (�3� - 2)2 = 3 - 4 �3� + 4 = 7 - 4 �3� .

20.1. A = 2 �20� * �13265

�� = 2 �253060

��= 2 * �

560� = �

530� m2

P = 2 * 2 �20� + 2 * �13265

��= 4 * 2 �5� + 2 *�

5 �6

5��

= 8 �5� + �53

� �5� = �239� �5� m

A = �530� m2 ≈ 16,67 m2 ;

P = �239� �5� m ≈ 21,62 m ;

�2��6

�3a7 b6�

��3 a2 b3�

�318�

��3 3�

a�12� (a�

12�

- a�23�)

��a

a�14�

* a- �

12�

�a- �

32�

a�23�

* a�53�

�a

�12�

72

Funções II

20.2. A =�3 �12�2+ �27�� * �12�

=�6 �3� +2

3 �3��* 2 �3� = 6 * 3 + 3 * 3 = 27 m2

P = 3 �12� + �12� + �27� + 3 �3�

= 6 �3� + 2 �3� + 3 �3� + 3 �3� = 14 �3� m

A = 27 m2 ;

P = 14 �3� m ≈ 24,22 m ;

20.3. h2 + ��232��

2

= (�32�)2

§ h2 + �342� = 32 § h2 = 24 § h = �24�

A =��32� *2

�24�� =�4 �2� *

22 �6��

= 4 �12� = 8 �3� m2

P = 3 �32� = 3 * 4 �2� = 12 �2� m

A = 8 �3� m2 ≈ 13,89 m2 ;

P = 12 �2� m ≈ 16,97 m .

21. r = �4Aπ��

21.1. r = �240π0

�� = �5π0�� cm ≈ 3,99 cm ;

21.2. 12,2 = �4Aπ�� § �

4Aπ� = 12,22

§ A = 595,36π cm2 ≈ 1870,38 cm2 .

22.1. Pág. 70

22.2.

22.3.

23.

24. • f (x) = 3 - �8 + x4� Pág. 71

Df = {x å R : 8 + x4 ≥ 0} = R ; f (0) = 3 - �8�

Função f

Df = R ; Zeros: {- 1 , 1} ; f é crescente

em ]- ? , 0] e decrescente em [0 , + ?[ ;

Máximo: 3 - �8� para x = 0 ;

Contradomínio: ]- ? , 3 - �8�]

x

y

1–1

3 – 8

x

y

1

41

2

3–1–2 2

f

0

4

�x� se x ≥ 0

x2 se x < 0

abc

f (x) =

x

y

1

4

2

–3

0–1

V√x3

42V√x

2V√x – 3

1

x

y

1

41

2

–2

0–1

V√x

–1 3

– Vx + 1

x

y

1

41

2

–2

0–1

V√x

–V√x

73


• g (x) = 3 - �8 + x3�

Dg = {x å R : 8 + x3 ≥ 0} = [- 2 , + ?[

8 + x3 ≥ 0 § x3 ≥ - 8 § x ≥ - 2

Função g

Dg = [- 2 , + ?[ ; Zeros: {1} ;

f é decrescente;

Máximo: 3 para x = - 2 ;

Contradomínio: ]- ? , 3] ;

• h (x) = f (x) + g (x)

Dh = Df © Dg = [- 2 , + ?[ ;

h (- 2) = 6 - �24�

Função h

Dh = [- 2 , + ?[ ; Zeros: {1} ;

f é decrescente em [- 2 ; - 1,69[ e em

]- 0,79 ; + ?[ (2 c. d.) ; f é crescente

em ]- 1,69 ; - 0,79[ (2 c. d.);

Máximos relativos: 6 - �24� para x = - 2 e

0,36 para x = - 0,79 (2 c. d.) ;

Mínimo relativo: 0,20 para x = - 1,69 (2 c. d.) ;

Contradomínio : ]- ? , 6 - �24�] .

• i (x) = f (x) - g (x)

Di = [- 2 , + ?[ ;

i (- 2) = - �24�

Função i

Di = [- 2 , + ?[ ; Zeros: {0 , 1} ;

f é crescente em [- 2 ; 0,75[ (2 c. d.) e

decrescente em ]0,75 , + ?[ (2 c. d.) ;

Máximo: 0,018 (3 c. d.) para x = 0,75 (2 c. d.) ;

Mínimo : - �24� para x = - 2 ;

Contradomínio: ]- ? ; 0,018] (3 c. d.) .

25.1. �2x - 1� - 1 = 0 § �2x - 1� = 1 Pág. 75± 2x - 1 = 1 2 * 1 - 1 - 1 = 0

§ x = 1; § 1 - 1 = 0 § 0 =v 0

25.2. �3x + 5� = - 2 § x å O ;

x

y

10–2 0,75

0,018

– 24

x

y

10–0,79–1,69

6 – 24

x

y

1–1–2 2–1

3

74

Funções II

25.3. �31 - 2x� = 3 § 1 - 2x = 33

§ 2x = - 26 § x = - 13 ;

25.4. �12 - x� - x = 0 § �12 - x� = x

§ 12 - x = x2 § x2 + x - 12 = 0

§ x = - 4 › x = 3

x = - 4 : �12 + 4� + 4 = 0 § 8 = 0 (falso)

x = 3 : �12 - 3� - 3 = 0

§ 3 - 3 = 0 (verdadeiro)

Logo, x = 3 ;

25.5. 3 - x =�3x + 1� ± 9 - 6x + x2 = 3x + 1

§ x2 - 9x + 8 = 0 § x = 1 › x = 8

x = 1 : 3 - 1 = �3 + 1�§ 2 = 2 (verdadeiro)

x = 8 : 3 - 8 = �24 + 1� § - 5 = 5 (falso)

Logo, x = 1 ;

25.6. �3 - 2 ��x�� - �x� = 0 § �3 - 2 ��x�� = �x�

± 3 - 2 �x� = x § 3 - x = 2 �x�

§ 9 - 6x + x2 = 4x § x2 - 10x + 9 = 0

§ x = 1 › x = 9

x = 1 : �3 - 2 ��1�� - �1� = 0

§ �1� - �1� = 0 (verdadeiro)

x = 9 : �3 - 2 ��9�� - �9� = 0

§ �- 3� - 3 = 0 (falso)

Logo, x = 1 ;

25.7. �3x + 1� - �x - 1� = 0 § �3x + 1� = �x - 1�

± 3x + 1 = x - 1 § 2x = - 2 § x = - 1

x = - 1 : �- 3 + 1� - �- 2� = 0

- 1 não pertence ao domínio da condição.

{ } ;

25.8. �2x

� = (x - 1)�12�

± �x4

2

� = x - 1

§ x2 - 4x + 4 = 0 § x = 2

x = 2 : �22

� = �2 - 1� § 1 = 1 (verdadeiro);

25.9. (2x + 3)�12�

= 1 + (x + 1)�12�

± 2x + 3 = 1 + x + 1 + 2 �x + 1�

§ x + 1 = 2 �x + 1�

§ x2 + 2x + 1 = 4x + 4

§ x2 - 2x - 3 = 0

§ x = - 1 › x = 3

x = - 1 : �- 2 + 3� = 1 + �- 1 + 1�§ �1� = 1 (verdadeiro)

x = 3 : �6 + 3� = 1 + �3 + 1�§ 3 = 1 + 2 (verdadeiro)

Logo, x = - 1 › x = 3 .

26.1. (3x + 4)�12�

≥ 2 § �3x + 4� ≥ 2

�3x + 4� = 2 ± 3x + 4 = 4

§ x = 0 (�0 + 4� = 2 (v))

Como x1f

�3x + 4� é crescente e

Df = �- �43

� , + ?��3x + 4� ≥ 2 § x ≥ 0

[0 , + ?[ ;

26.2. (15 - 2x)�12�

- x ≥ 0 § �(15 -�2x)� ≥ x

�15 - 2�x� = x ± 15 - 2x = x2

§ x2 + 2x - 15 = 0 § x = - 5 › x = 3

x = - 5 : �15 + 1�0� = - 5 (falso)

x = 3 : �15 - 6� = 3 § 3 = 3 (verdadeiro)

(15 - 2x)�12�

- x = 0 § x = 3

Se f (x) = (15 - 2x)�12�

- x , Df = �-? , �125��

Como f é decrescente,

f (x) > 0 § x å ]- ? , 3[ .

27. F1 (- 6 , 0) ; F2 (6 , 0) ; P (x , y) Pág. 76

P�F�1� + P�F�2� = 20

�(x + 6)�2 + y2� = 20 - �(x - 6)�2 + y2�

§ x2 + 12x + y2 + 36

= - 40 �(x - 6)�2 + y2� + x2 - 12x + y2 + 436

§ 40 �(x - 6)�2 + y2� = 400 - 24x

± 1600x2 - 19 200x + 1600y2 + 57 600

= 576x2 - 19 200x + 160 000

§ 1024x2 + 1600y2 = 102 400

§ �11002244x0

2

0� +�

11062004y0

2

0� = 1

§ �1x0

2

0� + �

6y4

2

� = 1

1.1. Df = Dg = Dh = R0+ ; Df' = Dg' = Dh' = R0

+ ; Pág. 82

f , g e h são estritamente crescentes;

1.2. �x� <�4x� <�

6x� <… <�

2nx� se 0 < x< 1 ;

�x� >�4x� >�

6x� >… >�

2nx� se x> 1 ;

�x� =�4x� =�

6x� =… =�

2nx� se x = 0 v x = 1 ;

75


1.3. Df = Dg = Dh = R ; Df' = Dg' = Dh' = R ;

f , g e h são estritamente crescentes.

�3x� <�

5x� <�

7x� <… < �

2n�1x�

se x< - 1 ou 0 < x< 1 ;

�3x� > �

5x� > �

7x� >… > �

2n�1x�

se x > 1 ou - 1 < x < 0 ;

�3x� = �

5x� = �

7x� =… = �

2n�1x�

se x = - 1 ou x = 0 v x = 1 .

2.1. �x + 1� = 6 ± x + 1 = 36 § x = 35

x = 35 : �35 + 1� = 6 (v)

{35} ;

2.2. 1 = (3x - 2)�12�

± 1 = 3x - 2 § 3x = 3

§ x = 1

x = 1 : 1 = �3 - 2� (v) ;

2.3. (x - 1)�13�

= 2 § x - 1 = 23 § x = 9 ;

2.4. 3 �x + 1� = x + 1 ± 9 (x + 1) = x2 + 2x + 1

§ x2 - 7x - 8 = 0 § x = - 1 › x = 8

x = - 1 : 3 �- 1 + 1� = - 1 + 1 (v)

x = 8 : 3 �8 + 1� = 8 + 1 (v) ;

2.5. - 1 = 2 (x + 3)�14�

§ x å O ;

2.6. �3x2 + x� = x § x2 + x = x3

§ x3 - x2 - x = 0 § x (x2 - x - 1) = 0

§ x = 0 › x =�1 -

2�5�� › x = �

1 +2�5�� ;

2.7. x - �x� = 1 § x - 1 = �x�

± x2 - 2x + 1 = x § x2 - 3x + 1 = 0

§ x =�3 -

2�5�� › x =�

3 +2�5��

x =�3 -

2�5�� : �

3 -2�5�� -�

3 -2��5�� = 1

§ �3 -

2�5�� - 1 =�

3 -2��5��

§ �1 -

2�5�� =�

3 -2��5��

�falso porque �1 -

2�5�� < 0�

x =�3 +

2�5�� : �

3 +2�5�� -�

3 +2��5�� = 1

§ �3 +

2�5�� - 1 =�

3 +2��5��

§ ��5�

2+ 1� =�

3 +2��5��

(> 0) (> 0)

§ �5 + 1 +

42 �5�� =�

3 +2�5��

§ �3 +

2�5�� =�

3 +2�5�� (v)

��3 +2�5�� ;

2.8. �x + 2� - �2x + 2� = - 1

§ �x + 2� + 1 = �2x + 2�

± x + 2 + 1 + 2 �x + 2� = 2x + 2

§ 2 �x + 2� = x - 1 ± 4 (x + 2) = x2 - 2x + 1

§ x2 - 6x - 7 = 0 § x = - 1 › x = 7

x = - 1 : �- 1 + 2� - �- 2 + 2� = - 1

§ 1 = - 1 (f)

x = 7 : �7 + 2� - �14 + 2� = - 1

§ 3 - 4 = - 1 (v)

{7} ;

2.9. �2x + 1� > 5 § �2x + 1� - 5 > 0 ;

Seja f (x) = �2x + 1� - 5

f (x) = 0 § �2x + 1� = 5

± 2x + 1 = 25 § 2x = 24 § x = 12

(�24 + 1� = 5 é verdade)

Como

• Df = �- �12

� , + ?�• f é crescente

• f (x) = 0 § x = 12 ,

f (x) > 0 § x å ]12 , + ?[ ;

2.10. �x2 + x�+ 5� ≥ x + 5

§ �x2 + x�+ 5� - x - 5 ≥ 0

Seja f (x) = �x2 + x�+ 5� - x - 5

Df = {x å R : x2 + x + 5 ≥ 0} = R

f (x) = 0 § �x2 + x�+ 5� = x + 5

± x2 + x + 5 = x2 + 10x + 25 = 0

§ 9x + 20 = 0 § x = - �290�

x = - �290� : �- �

290��

2

- �290�� + 5� = - �

290� + 5

§ �295� = �

295� (v)

76

Funções II

Dado que:

• f é decrescente

• Df = R

• f (x) = 0 § x = - �290�

f (x) ≥ 0 § x å �- ? , - �290�� .

3.1. y =�x - 3�; deslocamento do gráfico Pág. 83de y = �x� de 3 unidades para a direita;

3.2. y = - 2 �x� ; extensão na vertical do gráfico de

y = �x� , segundo o factor 2 , seguida de uma

simetria relativamente ao eixo dos xx ;

3.3. y = - 3 + �x - 1� ; deslocamento do gráfico de

y = �x� de 1 unidade para a direita, seguido

do deslocamento de 3 unidades para baixo.

4. a)" g ; b)" f ; c)" h .

5. P = 2 π r = 17 140 π

g = �14302�+ 8570�2�

A =�17 1240 π� * �14302�+ 8570�2�

≈ 233 924 027 m2 .

6. A = π r 2

30 = π r12 § r 1 = �

3π0�� § r 1 ≈ 3,09 cm

50 = π r22 § r 2 = �

5π0�� § r 2 ≈ 3,99 cm .

7.1. ��5�

2

- 1� =�

(�5�

2

-

(�

1)5�

(�

+

5�

1)+ 1)

�

= 2 �(�

5

5�-

+

1

1)� =�

�5�2+ 1� .

8.1. Pág. 84

B�P�2= x2 + 62

B�P� = �x2 + 36�

A�P�2= (9 - x)2 + 32

A�P� = �81 + x�2 - 18x� + 9�

B�P� + A�P� = �x2 + 36� + �x2 - 18�x + 90�

8.2. y1 = �x2 + 36� + �x2 - 18�x + 90�

P fica a 6 km de B' e a 3 km de A' .

9.1. Tempo =�ve

elospciadçaode

�

B�C� = �25 + x�2�

C�P� = 12 - x

tBC =��25

30+ x�2��

tCP =�12

40- x�

Logo, T (x) =��x2

3+0

25�� +�

1240- x�

9.2. y1 =��(x2

3+0

2�5)�� +�

(1240- x)�

x ≈ 5,67 km .

B

A12 – x

5

C Px

B’

P

x

A’r

B

A3

6

9 – x

h = 1430 ;

r =�17

2140� = 8570

hg

r

77


10.1. g2 = r2 + 142 Pág. 85

g = �r 2 + 14�2�

�P2

� =�2

2π r� = π r

A = �P2

� g = π r �r 2 + 14�2� ;

10.2. A = 282,7

p r �r 2 + 14�2� = 282,7

r 2 (r 2 + 142) = ��28p2,7��

2

‚M

x = r2

x2 + 142x - ��28p2,7��

2

= 0

x ) - 231,0470 › x = 35,04705 ‚Mr2 ) 35,04705 ‚

Mr > 0

r ) 5,9 cm .

11. V = Ab * h

V = �x2y� * 20

V (x) =�x * 2 �225 - x�2�� * 20

§ V (x) = 20x �25 - x�2� ;

V (x) = 60

§ 20x �25 - x�2� = 60

§ x �25 - x�2� = 3

± x2 (25 - x2) = 9 ‚M

a = x2

§ 25a - a2 - 9 = 0

§ a2 - 25a + 9 = 0 ‚M

x2 = ax2 ) 0,365339 › x2 ) 24,63466

‚M

x > 0x ) 0,6044 › x ) 4,9633

Confirmação com a calculadora:

Como y = 2 �25 - x�2� tem-se

12. x2 + y2 = 102

y = �100 -�x2�

A = �x2y�

A (x) = �12

�x �100 -�x2�

A (x) = 20 § �12

�x �100 -�x2� = 20

§ x �100 -�x2� = 40

± x2 (100 - x2) = 1600 ‚M

a = x2

§ 100a - a2 - 1600 = 0

§ a2 - 100a + 1600 = 0

§ a = 20 › a = 80 ‚M

x2 = a§ x = �20� › x = �80�

Se x = �20� y = �100 -�20� = �80� ) 8,9

Impossível, pois y ≤ 6 .

Se x = �80� , então y = �20� .

x = �80� m ) 8,94 m e y = �20� ) 4,47 m .

13. T = 2p �9280��

13.1. e = 20 cm ; T = 2p �92800

�� = �27p� ) 0,9 s ;

13.2. T = 1,2

2p �98e0

�� = 1,2 § �98e0

�� = �12,p2�

± �98e0

� = ��12,p2��

2

§ e = 980 ��12,p2��

2

§ e ) 35,75 cm ;

13.3. T1 = 3T2

2 p �9e81

0�� = 3 * 2 p �

9e82

0�� e1 > 0 ; e2 > 0

§ �9e81

0� = 9.�

9e82

0� § e1 = 9e2

x

6

12

y 10

x ) 4,963 dm

y ) 1,209 dm

abc

oux ) 0,604 dm

y ) 9,927 dm

abc

x2 + ��2y

��2

= 25

§ ��2y

��2

= 25 - x2

§ y = 2 �25 - x�2�x

5

y

x = r2 er2 > 0

r

14g

78

980 *��12,π2��

2

� * �9180��

= �12,π2� (v)

Verificação

�20�.�100 -�20� = 40

�20� * �80� = 40 (v)

�80�.�100 -�80� = 40 (v)

Funções II

O comprimento do pêndulo de menor período

é �19

� do comprimento do pêndulo de maior

período.

14.1. V = 3xy Pág. 86

x2 + y2 = 122 § y = �144 -�x2�

V (x) = 3x �144 -�x2�

Para x = 8,485 , y = �144 -�x2� = x

As dimensões do sabonete são

3 cm * 8,49 * 8,49 cm (2 c. d.) ;

14.2. 216 cm3 .

15.1. h = 3t (espaço = velocidade * tempo)

d 2 = 9002 + (3t)2

d (t) = �9002 +� 9t2� = 3 �t2 + 90� 000�

d (t) = 3 �t2 + 90� 000� ;

15.2. d (t) = 2000 § 3 �t2 + 90� 000� = 2000

± 9 (t 2 + 90 000) = 20002

§ t 2 =�20

9002

� - 90 000

§ t ) 595,352 s § t ) 9 min 55 s .

16. y2 + 102 = (10 + x)2

y2 = (10 + x)2 - 100

y = �(10 +�x)2 - 1�00�

(D) .

17. (B) .

18. (C) . Pág. 87

19. (A) .

20.1. (3 - x2)�12�

(3 - x2)�32�

= (3 - x2)�12� + �

32�

= (3 - x2)2 ;

20.2. �a2 + 4� = a + 2 só é verdade se a = 0

(a + 2)2 = a2 + 4 + 4a ;

20.3. ��x

2

+ 3�� + 2 �x + 3� =�2 +

�2

x

(

+

x

3�+ 3)

� ;

20.4. �2 + 2x� = �2 (1 +� x)� = �2� �1 + x� ;

20.5. �2x3 + x�5� = �x2 (2x�+ x3)� = |x | �2x + x3� ;

20.6. �(x + 1)�2� = |x + 1| ;

20.7. �x- �

12�

+ x�32�� = x

- �12�

(1 + x2) ;

20.8. �4(x + 7)�2� = �x + 7� só se x + 7 ≥ 0 .

21.1. x2 + y2 = 100

y = �100 -�x2�

A = 4xy = 4x �100 -�x2� ;

21.2.

A área máxima do rectângulo é 200 .

A área é máxima quando x = y , ou seja,

quando o rectângulo inscrito é um quadrado.

Neste caso

L2 + L2 = (2r)2

2L2 = 4r 2

L2 = 2r 2

A = 2r 2

Se A1 = 2r 12 , A2 = 2r 2

2 e �AA

1

2

� = 2 , tem-se

�22

rr

1

2

2

2� = 2 § r 12 = 2r 2

2 §r > 0

r 1 = �2�r 2

Para que a área do rectângulo de área máxima

duplique é necessário multiplicar o raio por

�2� .

l

l

r

d

9000 A

h = 3 t

B

x

12 y

79

3 �20

9002

�� - 90 0�00 + 9�0 000� = 2000

é verdade

3 Operações com funções. Resolução de problemas envolvendo funções

3 Operações com funções. Resolução deproblemas envolvendo funções

1.1. f (x) =�xx++

33

� ; g (x) = 1 Pág. 90

Df = R \ {- 3} e Dg = R

Não são iguais. Df 0 Dg ;

1.2. f (x) =�(x + 3)�2� ; g (x) = (x + 3)

f (x) =�(x + 3)�2� = \x + 3|0 x + 3

Não são iguais. Para x < - 3 , f (x) 0 g (x) ;

1.3. f (x) = �(- 2x)2� = \- 2x|= \2x|, A x å R ;

Df = R

g (x) = \2x|; Dg = R

São iguais;

1.4. f (x) =�3\x|� ; g (x) = \�

3x�| ; Df = Dg = R

São iguais.

2.1. f (x) = 3x ; g (x) = x + �12

� Pág. 92

Df = R ; Dg = R ; Df © Df = R

• (f + g) (x) = f (x) + g (x) = 3x + x + �12

� = 4x + �12

�

f + g : R 2" Rx1 4x + �

12

� ;

• (f - g) (x) = f (x) - g (x)

= 3x - �x + �12

�� = 2x - �12

�

f - g : R 2" Rx1 2x - �

12

� ;

• (fg) (x) = f (x) * g (x)

= 3x * �x + �12

�� = 3x2 + �32

�x

fg : R 2" Rx1 3x2 + �

32

�x ;

• Df © Dg © {x å R : g (x) 0 0} = R \ �- �12

��g

f�� (x) =�

gf (

(xx))

� = +

= 3x *�2x

2+ 1� =�

2x6+x

1�

�gf� : R \ �- �

12

�� 2" R

x1�2x

6+x

1� ;

2.2. f (x) =�x +

x3

� ; g (x) =�x +

x4

�

Df = R \ {0} ; Dg = R \ {- 4} ;

g (x) = 0 § x = 0

Df © Dg = R \ {- 4 , 0}

Df © Dg © {x å R : g (x) 0 0} § R \ {- 4 , 0}

• (f + g) (x) =�x +

x3

� +�x +

x4

�

=�(x + 3x)((xx++44)) + x2

�

=�2x2

x+2 +

7x4+x

12�

f + g : R \ {- 4 , 0} 2" R

x1�2x2

x+2 +

7x4+x

12� ;

• (f - g) (x) =�x +

x3

� -�x +

x4

� =�7xx2 ++

41x2

�

f - g : R \ {- 4 , 0} 2" R

x1�7xx2 ++

41x2

� ;

• (fg) (x) =�x +

x3

�.�x +

x4

� =�xx++

34

�

fg : R \ {- 4 , 0} 2" R

x1�xx++

34

� ;

• ��gf�� (x) =�

x +x

3� : �

x +x

4�

=�x +

x3

� *�x +

x4

� =�x2 + 7

xx2

+ 12�

�gf� : R \ {- 4 , 0} 2" R

x1�x2 + 7

xx2

+ 12� ;

2.3. f (x) =�2x

x- 6� ; g (x) =�

xx+-

13

�

Df = R \ {0} ; Dg = R \ {3} ;

g (x) = 0 § x + 1 = 0 § x = - 1

Df © Dg = R \ {0 , 3}

Df © Dg © {x å R : g (x) 0 0}

§ R \ {- 1 , 0 , 3}

• (f + g) (x) =�2x

x- 6� +�

xx+-

13

� =�3x2 -x2

1-1x3x+ 18

�

f + g : R \ {0 , 3} 2" R

x1�3x2 -

x2

1-1x3x+ 18

� ;

• (f - g) (x) =�2x

x- 6� -�

xx+-

13

� =�x2 -

x2

1-3x

3+x

18�

f - g : R \ {0 , 3} 2" R

x1�x2 -

x2

1-3x

3+x

18� ;

• (fg) (x) =�2(x

x- 3)� *�

xx+-

13

� =�2x

x+ 2�

fg : R \ {0 , 3} 2" R

x1�2x

x+ 2� ;

3x��2x

2+ 1�

3x�x + �

12

�

= g (x) -�

3x� se x < 0

�3

x� se x ≥ 0

adbdc

=

�3- x� se x < 0

�3

x� se x ≥ 0

adbdc

f (x) =

80

Funções II

• ��gf�� (x) =�

2xx- 6� : �

xx+-

13

�

=�2 (xx- 3)� *�

(xx-+

31)

� =�2x2 -x2

1+2x

x+ 18

�

�gf� : R \ {- 1 , 0 , 3} 2" R

x1�2x2 -

x2

1+2x

x+ 18

� .

3.1. f (x) = �1x� ; g (x) =�x� Pág. 93

Df = R \ {0} ; Dg = {x å R : x ≥ 0} = [0 , + ?[

Df © Dg = R \ {0} © [0 , + ?[ = ]0 , + ?[ = R+

g (x) = 0 § x = 0

Df © Dg © {x å R : g (x) 0 0} = R+

• (f + g) (x) = �1x� +�x� ; (f - g) (x) = �

1x� -�x� ;

(fg) (x) = ��xx�

� ; ��gf�� (x) = �

1x� : �x�

= = ��x2

x�� ;

f + g : R+ 2" R

x1 �1x� +�x� ;

f - g : R+ 2" R

x1 �1x� -�x� ;

f * g : R+ 2" R

x1 ��xx�

� ;

�gf� : R+ 2" R

x1 ��x2

x�� ;

3.2. f (x) =�x� ; g (x) =

Df = [0 , + ?[

Dg = {x å R : x + 1 ≥ 0 ‹ x - 1 0 0}

= [- 1 , 1[ ∂ ]1 , + ?[

g (x) = 0 § x + 1 = 0 ‹ x å Dg

§ x = - 1

Df © Dg = [0 , 1[ ∂ ]1 , + ?[ = R0+ \ {1}

Df © Dg © {x å R : g (x) 0 0} = R0+ \ {1}

• (fg) (x) =�x� * =x ≥ 0

��gf�� (x) =�x� * =

x ≥ 0 ��x +

x1

�� (x - 1)

f + g : R0+ \ {1} 2" R

x1�x� +

f - g : R0+ \ {1} 2" R

x1�x� -

fg : R0+ \ {1} 2" R

x1

�gf� : R0

+ \ {1} 2" R

x1 ��x +

x1

�� (x - 1) ;

3.3. f (x) =�x + 1� ; g (x) =�6 - x�

Df = [- 1 , + ?[

Dg = ]- ? , 6]

g (x) = 0 § x = 6

Df © Dg = [- 1 , 6]

Df © Dg © {x å R : g (x) 0 0} = [- 1 , 6[

• (fg) (x) =�x + 1� �6 - x�

=x å [- 1, 6]

�- x2 +�5x + 6�

�gf� (x) = =

x å [- 1, 6[ ��x6+-

1x

��f + g : [- 1 , 6] 2" R

x1�x + 1� +�6 - x�

f - g : [- 1 , 6] 2" R

x1�x + 1� -�6 - x�

(fg) : [- 1 , 6] 2" R

x1�- x2 +�5x + 6�

��gf�� : [- 1 , 6[ 2" R

x1 ��x6+-

1x

�� .

4. Pág. 94

Df © Dg = R

g (x) = 0 § (x - 4 = 0 ‹ x ≥ 3) ›

› (- x = 0 ‹ x < 3) §

§ x = 4 › x = 0

Df © Dg © {x å R : g (x) 0 0} = R \ {0 , 4}

Dg = Rx - 4 se x ≥ 3

- x se x < 3

abc

g (x) =

; Df = Rx + 1 se x ≥ - 1

- x - 1 se x < - 1

abc

f (x) = \x + 1|=

�x + 1��6 - x�

�x2 + x��

x - 1

�x + 1��

x - 1

�x + 1��

x - 1

x - 1��x - 1�

�x2 + x��

x - 1�x + 1��

x - 1

�x + 1��

x - 1

1�x �x�

81

x - 1 3

f (x) 0 x + 1 4 x + 1

g (x) 1 - x - 1 x - 4

- x - 1

- x

M11FNAGP - 6


4.1. Df + g = R

4.2. Df - g = R

4.3. Dfg = R

4.4. D�gf

� = R \ {0 , 4}

5.1.Pág. 95

Df = Dg = R

Df - g = R

5.2. \x|- \x + 1|< �12

�

§ x å �- �34

� , 0� ∂ [0 , + ?[

§ x å �- �34

� , + ?�

› x ≥ 0 x > - �

34

�

- 1 < x < 0

adbdc

§

- 1 < �12

� (v)

x ≥ 0

adbdc

›

›- 2x - 1 < �

12

�

- 1 < x < 0

adbdc

›1 < �

12

� (f)

x ≤ - 1

adbdc

1 se x ≤ - 1

- 2x - 1 se - 1 < x < 0

- 1 se x ≥ 0

adbdc

(f - g) (x) =

- x - 1 se x < - 1

x + 1 se x ≥ - 1abc

g (x) = \x + 1|=

- x se x ≤ 0

x se x ≥ 0abc

f (x) = \x|=

x3

y

1

–4

4–1 0

�x +

x1

� se x ≤ - 1

-�x +

x1

� se - 1 < x < 3 e x 0 0

�xx+-

14

� se x ≥ 3 e x 0 4

adddbdddc

��gf�� (x) =

x3

y

6

1

–12

4 5–3 –1

–4

0

x2 + x se x ≤ - 1

- x2 - x se - 1 < x < 3

x2 - 3x - 4 se x ≥ 3

adbdc

(fg) (x) =

–1 x3

y

1–1

5

7

- 1 se x ≤ - 1

2x + 1 se - 1 < x < 3

5 se x ≥ 3

adbdc

(f - g) (x) =

–1 x0–3 3

y

1

3

5

- 2x + 1 se x ≤ - 1

1 se 1 < x < 3

2x - 3 se x ≥ 3

adbdc

(f + g) (x) =

82

x 0

f (x) - x 0 x

g (x) - x - 1 1 x + 1

- 1

1 - x

0 x + 1

Funções II

6.Pág. 96

g (x) = 2 \x + 3|- 5

f (x) > g (x) § \x - 1|> 2 \x + 3|- 5

§ \x - 1|- 2 \x + 3|+ 5 > 0

§ x å ]- 12 , - 3] ∂ ]- 3 , 0[ ∂ O ∂ O

§ x å ]- 12 , 0[ .

7.1. f (x) = x - 1 ; g (x) = 2x + �12

� Pág. 101

(fog) (- 2) = f (g (- 2)) = f �- �72

�� = - �72

� - 1 = - �92

�

(gof) (- 2) = g (f (- 2)) = g (- 3) = - 6 + �12

� = - �121� ;

7.2. f (x) =�x2� ; g (x) =�x +

11

�

(fog) (- 2) = f (g (- 2)) = f (- 1) =�(- 1)2� = 1

(gof) (- 2) = g (f (- 2)) = g (�4�) § g (2) = �13

� .

8.1. f (x) = x2 + 1 ; g (x) = 2x - 2

Df = R ; Dg = R

• (fog) (x) = f (g (x)) = f (2x - 2)

= (2x - 2)2 + 1 = 4x2 - 8x + 4 + 1 = 4x2 - 8x + 5

Dfog = {x å R : x å Dg ‹ g (x) å Df} = R

• (gof) (x) = g (f (x)) = g (x2 + 1)

= 2 (x2 + 1) - 2 = 2x2

Dgof = {x å R : x å Df ‹ f (x) å Dg} = R

fog : R 2" R gof : R 2" Rx 1 4x2 - 8x + 5 x 1 2x2

8.2. f (x) =�x -

14

� ;

g (x) =�x�

Df = R \ {4} ; Dg = R0+

• (fog) (x) = f (g (x)) = f (�x�) =

Dfog = {x å R : x å Dg ‹ g (x) å Df}

= {x å R : x ≥ 0 ‹ �x� 0 4}

= {x å R : x ≥ 0 ‹ x 0 16} = R0+ \ {16}

• (gof) (x) = g (f (x)) = g ��x -1

4�� = ��

x -1

4��

Dgof = {x å R : x å Df ‹ f (x) å Dg}

= x åR : x 0 4 ‹ �x -

14

� ≥ 0 = ]4 , +?[

fog : R0+ \ {16} 2" R

x 1

gof : ]4 , + ?[ 2" R

x 1 ��x -

14

��

8.3. f (x) = �1x� ; g (x) =�x + 1�

Df = R \ {0} ; Dg = [- 1 , + ?[

• (fog) (x) = f (g (x)) = f (�x + 1�) =


= {x å R : x ≥ - 1 ‹ �x + 1� 0 0}

• (gof) (x) = g (f (x)) = g ��1x�� = ��

1x� + 1�


= x å R : x 0 0 ‹ �1x� ≥ - 1

= ]- ? , - 1] ∂ ]0 , + ?[

1��x + 1�

1��x� - 4

1��x� - 4

x < - 2

x > 1 abc

› x å O ›

x < 0

- 3 < x < 1 abc

› x = - 3 ›x > - 12

x < - 3abc

§

- x - 2 > 0

x > 1 abc

›- 3 > 0

x = 1 abc

›- 3x > 0

- 3 < x < 1 abc

›

9 > 0

x = - 3 abc

›x + 12 > 0

x < - 3abc

§f (x) > g (x)

- x - 3 se x < - 3

x + 3 se x ≥ - 3abc

\x + 3|=

- x + 1 se x < 1

x - 1 se x ≥ 1abc

f (x) = \x - 1|=

83

x

\x + 3|

1

\x - 1|

- x - 3

- x + 1 0 x - 1

\x - 1|- 2|x + 3|+ 5

4

x + 12 - 3 - x - 2

- 3

4 - x + 1

9 - 3x

x + 30 x + 3

- 2 \x + 3| 2x + 6 - 8 - 2x - 60 - 2x - 6

�1x� ≥ - 1 § �

1x� + 1 ≥ 0

§ �1 +

xx

� ≥ 0 §

§ x å ]- ? , - 1] ∂ ]0 , + ?[

0––1

++


fog : ]- 1 , + ?[ 2" R

x 1

gof : ]- ? , - 1] ∂ ]0 , + ?[ 2" R

x 1 ��1x� + 1�

9. f (x) = x - 2 seja g (x) = ax + b

(fog) (x) = f (g (x)) = ax + b - 2

(gof) (x) = g (f (x)) = a (x - 2) + b = ax - 2a + b

ax + b - 2 = ax - 2a + b , A å R

§ b - 2 = - 2a + b § b å R ‹ a = 1

Pode ser qualquer função do tipo:

g (x) = x + b , b å R .

10.1. h (x) = (2x - 1)2 Pág. 102g (x) = 2x - 1 e f (x) = x2 (p. e.) ;

10.2. h (x) =�x + 5�

g (x) = x + 5 e f (x) =�x� (p. e.) ;

10.3. h (x) =�x +

23

�

g (x) = x + 3 e f (x) = �2x� (p. e.) ;

10.4. h (x) = �-�x +

23

��3

g (x) = -�x +

23

� e f (x) = x3 (p. e.) .

11. V = p r2 * 3 Pág. 103V (R) = 3 p R2

(Vor) (t) = V (r (t)) = V (0,6 t�23�)

= 3 p * (0,6 t�23�)2= 3 p * 0,36 t

�43�

= 1,08 p t�43�

V (t) = 1,08 p t�43�

.

12. C (x) = 2,5x + 500

x (t) = 10t , 0 ≤ t ≤ 8

12.1. (Cox) (t) = C (x (t)) = C (10t) = 2,5 * (10t) + 500

= 25t + 500 , 0 ≤ t ≤ 8

(Cox) (t) = 25t + 500 , 0 ≤ t ≤ 8 ;

12.2. (Cox) (8) = 25 * 8 + 500 = 700 Æ

700 Æ . Representa o custo de produção refe-

rente às unidades produzidas em 8 horas.

13.1. f é injectiva. Não é possível traçar Pág. 106uma recta horizontal que intersecte o gráfico

em dois pontos;

13.2.

g não é injectiva: x1 0 x2 e g (x1) = g (x2) ;

13.3.

h não é injectiva: x1 0 x2 e h (x1) = h (x2) .

13.4. f (x) = x2 - 5x + 1

f não é injectiva f (1) = f (4)

13.5. f (x) = \x - 1|

f não é injectiva f (- 1) = f (3)

13.6. f (x) = �x�

f é injectiva

x

y

x

y

1 3–1

x

y

1 4 5 6–3

–1

x

y

x2x1

y1

h

x

y

x2x1

y1g1

��x + 1�

84

Funções II

13.7. f (x) = �3x�

f é injectiva

13.8. f (x) = (x + 1)3

f é injectiva

13.9.

f não é injectiva f ��13

�� = f (2)

14. Se f é estritamente crescente Pág. 107em A então

a > b ± f (a) > f (b) , A a , b å A

Sejam x1 , x2 å A e x1 0 x2

Se x1 0 x2 tem-se x1 > x2 ou x2 > x1

x1 > x2 ± f (x1) > f (x2) ± f (x1) 0 f (x2)

x2 > x1 ± f (x2) > f (x1) ± f (x2) 0 f (x1)

Logo, x1 0 x2 ± f (x1) 0 f (x2) , A x1 , x2 å A

ou seja, f é injectiva.

15. Por exemplo

f é injectiva e não monótona.

16.1. f (x) = �6x� Pág. 110

• Df = R\{0}

• x = �6y� §

y 0 0xy = 6 § y = �

6x�

• Df -1 = R\{0}

f -1 : R\{0} 2" Rx 1 �

6x�

16.2. f (x) = 6x + 1

• Df = R

• x = 6y + 1 § 6y = x - 1 § y =�x -

61

�

• Df -1 = R

f -1 : R 2" Rx 1 �

x -6

1�

16.3. f (x) =�x -

23

�

• Df = R\{3}

• x =�y -

23

� §y 0 3

xy - 3x = 2

§ xy = 2 + 3x § y =�2 +

x3x

�

• Df -1 = R\{0}

f -1 : R 2" Rx 1 �

3xx+ 2�

17. Por exemplo: Pág. 111

17.1. g1 : [0 , 4] 2" Rx 1 y = g (x)

17.2. g2 : [- 3 , 2] 2" Rx 1 y = g (x)

17.3. g3 : [2 , + ?[ 2" Rx 1 y = g (x)

17.4. g4 : [- 5 , 2] 2" Rx 1 y = g (x)

1.1. a) Pág. 114

; Df = Rx se x ≤ 0

�1x� se x > 0

abc

f (x) =

x

y

0–1 1–1

2 3

1

2

3

4

x + 1 se x ≥ 1

�1x� se x < 1

abc

f (x) =

x

y

0–1

1

x

y

1 8–8

–2

2

85

x f (x) g (x)

- 4- 3- 2- 1024

210- 1- 2- 10

0123433

(f + g) (x)

2222223


b)

1.2.

1.3.

1.4. a) (fg) (- 3) = f (- 3) * g (- 3) = 1 * 1 = 1 ;

b) ��gf�� (2) =�

gf (

(22))

� = �-31� = - �

13

� ;

c) (gof) (0) = g ( f(0)) = g (- 2) = 2 ;

d) (fog) (0) = f (g(0)) = f (4) = 0 .

1.5. a) Df = [- 4 , 4] ;

b) Dg = [- 4 , 4] ;

c) Df + g = [- 4 , 4] ;

d) D�gf�= ]- 4 , 4] ;

e) D�g

f�= [- 4 , - 2[ ∂ ]- 2 , 4[ .

1.6. Não. f e g são funções não injectivas;

1.7. (0 , - 2) ; (4 , 0)

m = �24

� = �12

� ; y = �12

� (x - 4) § y = �12

�x - 2

• h : [0 , 4] 2" R

x 1 �12

�x - 2

• x = �12

�y - 2 § x + 2 = �12

�y § y = 2x + 4

h (0) = - 2 ; h (4) = 0

Dh- 1 = [- 2 , 0]

h- 1 : [- 2 , 0] 2" Rx 1 2x + 4

1.8. Por exemplo:

Se i : [0 , 4] 2" R

x 1 - �12

�x

i + h : [0 , 4] 2" Rx 1 - 2

2.1. Função f : (0 , 2) ; (4 , 0) Pág. 115

m = �-24� = - �

12

�

y = - �12

� (x - 4) § y = - �12

�x + 2

f (x) = - �12

�x + 2 ;

Função g : (- 2 , 0) ; (0 , 2)

y = x + 2

g (x) = x + 2 ;

2.2. a) (f + g) (0) = f (0) + g (0) = 2 + 2 = 4 ;

b) (f - g) (0) = f (0) - g (0) = 2 - 2 = 0 ;

c) (fg) (0) = f (0) * g (0) = 2 * 2 = 4 ;

d) ��gf�� (0) =�

gf (

(00))

� = �22

� = 1 ;

e) (fog) (0) = f (g (0)) = f (2) = 1 ;

f) (gof) (0) = g (f (0)) = g (2) = 4 ;

g) (fog) (5) = f (g (5)) = f (7) = - �12

� * 7 + 2 = - �32

� ;

h) (gof) (- 2) = g (f (- 2)) = g (3) = 5 ;

x

y

h–2

4

h–1 y = x

–2

4

x

y

0

–6

2

2

4

–4 4

f – g

f

g

1

–4

–3

–2

3

x

y

0–2

–2

2

2

4

–3–4 4

f + g

f

g

86

x f (x) g (x)

- 4- 3- 2- 1024

210- 1- 2- 10

0123433

(f – g) (x)

20- 2- 4- 6- 4- 3

Funções II

2.3. f (x) = - �12

�x + 2 Df = R

g (x) = x + 2 Dg = R

Df © Dg = R ; Df © Dg © {x å R :

g (x) 0 0} = R\{- 2}

a) (f + g) (x) = �2x

� + 4

f + g : R 2" Rx 1 �

2x

� + 4

b) (fg) (x) = - �12

�x2 + 2x - x + 4 = - �12

�x2 + x + 4

fg : R 2" Rx 1 - �

12

�x2 + x + 4

c) ��gf�� (x) = =�

-2x

x++

44

�

�gf� : R\{- 2} 2" R

x 1 �-2x

x++

44

�

d) (gof) (x) = g (f (x)) = g �- �12

�x + 2� = - �12

�x + 4

gof : R 2" R

x 1 - �12

�x + 4

2.4. a)

b)

c)

d)

3.1. f (x) = 2x ;

g (x) = x + 1

Df = Dg = Df © Dg = R ; g (x) = 0 § x = - 1

f + g : R 2" Rx 1 3x + 1

f - g : R 2" Rx 1 x - 1

fg : R 2" Rx 1 2x2 + 2x

�gf� : R\{- 1} 2" R

x 1 �x2+x1

�

3.2. f (x) = 2x + 1 ;

g (x) = x2 ;

Df = Dg = Df © Dg = R ; g (x) = 0 § x = 0

f + g : R 2" Rx 1 x2 + 2x + 1

f - g : R 2" Rx 1 - x2 + 2x + 1

fg : R 2" Rx 1 2x3 + x2

�gf� : R\{0} 2" R

x 1 �2x

x+2

1�

3.3. f (x) = x + 5 ;

g (x) = x2 - 4 ;

Df = Dg = Df© Dg =R ; g (x) = 0 § x = - 2 › x = 2

f + g : R 2" Rx 1 x2 + x + 1

f - g : R 2" Rx 1 - x2 + x + 9

fg : R 2" Rx 1 x3 + 5x2 - 4x - 20

�gf� : R\{- 2 , 2} 2" R

x 1 �xx2

+-

54

�

x

y

2

0 4

gof

x

y

–2

1 412

–

fg

x

y

f x g

–2 2

4

4

x

y

f + g

–8 1

4

- �12

�x + 2�

x + 2

87


4.1. f (x) = x ;

g (x) = 2x ;

Df = Dg = Df © Dg = R ;

g (x) = 0 § x = 0



(fog) (x) = f (g (x)) = f (2x) = 2x

(gof) (x) = g (f (x)) = g (x) = 2x

fog : R 2" Rx 1 2x

gof : R 2" Rx 1 2x

fg : R 2" Rx 1 2x2

�gf� : R\{0} 2" R

x 1 �12

�

4.2. f (x) = �4x� ;

g (x) = 2x - 1 ;

Df = R\{0} ; Dg = R ; Df © Dg = R\{0}

g (x) = 0 § x = �12

�


= {x å R : x å R ‹ 2x - 1 0 0} = R\�12

�Dgof = {x å R : x å Df ‹ f (x) å Dg}

= x å R : x 0 0 ‹ �4x� å R = R\{0}

(fog) (x) = f (g (x)) = f (2x - 1) =�2x

4- 1�

(gof) (x) = g (f (x)) = g ��4x�� = �

8x� - 1

(fg) (x) = �4x� (2x - 1) =�

8xx- 4�

��gf�� (x) =�

x (2x4- 1)� =�

2x2

4- x�

fog : R\�12

� 2" R

x 1 �2x

4- 1�

gof : R\{0} 2" R

x 1 �8x� - 1

fg : R\{0} 2" R

x 1 �8x

x- 4�

�gf� : R\0 , �

12

� 2" R

x 1 �2x2

4- x�

4.3. f (x) = �x� + 1 ;

g (x) = �x� - 4 ;

Df = Dg = R ; Df © Dg = R0+

g (x) = 0 § �x� = 4 § x = 16


= {x å R : x ≥ 0 ‹ �x� - 4 ≥ 0}

�x� ≥ 4 § x ≥ 16

= [16 , + ?[


= {x å R : x ≥ 0 ‹ �x� + 1 ≥ 0} = R0+

(fog) (x) = f (g (x)) = f (�x� - 4) =��x� - 4� + 1

(gof) (x) = g (f (x)) = g (�x� + 1) =��x� + 1� - 4

(fg) (x) = (�x� + 1) (�x� - 4)

=x ≥ 0

x - 4 �x� + �x� - 4 = x - 3 �x� - 4

��gf�� (x) =

fog : [16 , + ?[ 2" R

x 1 ��x� - 4� + 1

gof : R0+ 2" R

x 1 ��x� + 1� - 4

fg : R0+ 2" Rx 1 x - 3 �x� - 4

�gf� : R0

+\{16} 2" R

x 1

4.4. f (x) = \x - 1|;

g (x) =�x +

11

�

Df = R ; Dg = R\{- 1} ; Df © Dg = R\{- 1}

g (x) 0 0 , A x å Dg


= x å R : x 0 - 1 ‹ �x +

11

� å R = R\{- 1}


= {x å R : x å R ‹ \x - 1|0 -1} = R

(fog) (x) = f (g (x)) = f ��x +1

1�� = ��x +

11

� - 1�= ��1 -x +

x -1

1�� = ��x +

x1

��(gof) (x) = g (f (x)) = g (\x - 1\) = 1

��|x - 1| + 1

�x� + 1��x� - 4

�x� + 1��x� - 4

88

Funções II

(fg) (x) =�|xx-+

11|

�

��gf�� (x) = \x - 1\ : �

x -1

1� = \x - 1 \(x + 1)

fog : R\{- 1} 2" R

x 1 ��x +x

1��

gof : R 2" R

x 1

fg : R\{- 1} 2" R

x 1 �|xx-+

11|

�

�gf� : R\{- 1} 2" R

x 1 (x + 1) \x - 1 \

5.1. f é injectiva; objectos diferentes Pág. 116têm imagens diferentes;

5.2. g não é injectiva; g (- 1) = g (1) ;

5.3. h não é injectiva (por exemplo, tem três zeros);

5.4. i é injectiva (teste da recta horizontal);

5.5. j é injectiva (teste da recta horizontal);

5.6. k não é injectiva (por exemplo, tem dois zeros);

5.7. f é injectiva

5.8. f não é injectiva (f (- 1) = f (1) , por exemplo);

5.9. f é injectiva

5.10. f não é injectiva (por exemplo, f (- 1) = f (1)) .

6.1. Pág. 117

6.2.

6.3.

6.4.

x

y

0

f = f –1

y = x

f –1

x

y

0

fy =

x

f –1

x

y

0

fy =

x

f –1

x

y

0

f

y = x

y = x + 1

x

y

1

0 3–1

2

x

y

3

0 1

f

– 4

5

1��|x - 1| + 1

89


7.1. f (x) = 2x

• Df = R

• x = 2y § y = �2x

�

• Df - 1 = R = D'f

f - 1 : R 2" R ; D'f = Rx 1 �

2x

�

7.2. f (x) = 2x - 3

• Df = R

• x = 2y - 3 § 2y = x + 3 § y =�x +

23

�

• Df - 1 = R = D'f

f - 1 : R 2" R ; D'f = R

x 1 �x +

23

�

7.3. f (x) =�1

2- x�

• Df = R\{1}

• x =�1

2- y� §

y 0 1x - xy = 2

§ xy = x - 2 § y =�x -

x2

�

• Df - 1 = D'f = R\{0}

f - 1 : R\{0} 2" R ; D'f = R\{0}

x 1 �x -

x2

�

7.4. f (x) =�2xx+-11

�

• Df = R\{- 1}

• x =�2yy+-11

� § xy + x = 2 - y - 1

§ xy - 2y = - 1 - x

§ y (x - 2) = - 1 - x § y =�x2+-

1x

�

• Df - 1 = D'f = R\{2}

f - 1 : R\{2} 2" R ; D'f = R\{2}

x 1 �x2+-

1x

�

8.1. f (x) =�x2+x1

�

• Df = R\{- 1}

• x =�y2+y1

� § xy + x = 2y

§ xy - 2y = - x § y (x - 2) = - x

§ y =�2 -

xx

�

• Df - 1 = R\{2}

f - 1 : R\{2} 2" R

x 1 �2 -

xx

�

8.2. Como f e f - 1 são inversas.

f - 1of : Df = R\{- 1} 2" Rx 1 x

f of - 1 : Df- 1 = R\{2} 2" Rx 1 x

9. f (x) = �x� ; g (x) = x2 + 3x Pág. 118

9.1. Df = R0+ ; Dg = R ;

9.2.

9.3. x = �y� §y > 0

x2 = y

Df - 1 = Df' = R0+

f - 1 : R0+ 2" Rx 1 x2

9.4. g não é injectiva (por exemplo, g (- 3) = g (0))

logo, g não tem inversa.

Por exemplo:

g : �- ? , - �32

�� 2" R

x 1 y = g (x)

10.

2x - 3 se x ≥ �32

�

- 2x + 3 se x < �32

�

adbdc

g (x) = \- 2x + 3|= \2x - 3|=

x + 1 se x ≥ - 1

- x - 1 se x < - 1

abc

f (x) = \x + 1|=

x

yf –1

1

4

2

1

3

2

x

y g

–1 1

4

0–2–3–4

–2,25

x

y

f

1 4

1

2

90

Funções II

10.1.

10.2. \x + 1|- \- 2x + 3|> 1 §

§ xåO ∂ �1 , �32

��∂ ��32

� , 3�§ xå ]1 , 3[ ;

10.3.

10.4. Por exemplo, se j (x) = x + 1 e i (x) = \x|,

Dj = Di = R (ioj) (x) = \x + 1|= f (x) .

11.1. • Para x < - 2

(- 2 , - 1) ; (- 3 , - 2)

m =�--

12++

23

� = 1

y + 1 = 1 (x + 2) § y = x + 1 ; f (x) = x + 1

• Para - 2 ≤ x ≤ 0 , f (x) = 0

• Para x > 0 , f (x) = x

11.2.

12.1. d 2 = 4 + y2 Pág. 119d (y) = �4 + y2� ;

12.2. espaço = velocidade * tempo

y = 100t

y (t) = 100t ;

12.3. (doy) (t) = d (y (t)) = d (100t) = �4 + (1�00t)2�

= �4 + 10� 000t2�

(doy) (t) = �4 + 10� 000t2� ;

12.4. (doy) (0,05) = �4 + 10� 000 *� (0,05)�2� ) 5,39

(doy) (0,05) ) 5,39 km ; 0,05 h (ou seja,

3 minutos) após ter partido de A , o carro

encontra-se a uma distância de 5,39 km de P .

13.1. f (x) = �95

� x + 32

x = �95

� y + 32 § 5x = 9y + 160 § 9y = 5x - 160

§ x =�5x -

9160�

f - 1 (x) =�5x -

9160� ;

f - 1 converte graus Fahrenheit em graus Celsius;

13.2.

x

y

32 100 212

32

100

212f

f –1

2 se x < - 2

- x + 1 se - 2 ≤ x ≤ 0

1 se 0 < x < 1

2x - 1 se x ≥ 1

addbddc

(f + g) (x) =

x - 1 se x ≥ 1

- x + 1 se x < 1

abc

g (x) = \1 - x| = \x - 1| =

x + 1 se x < - 2

0 se - 2 ≤ x ≤ 0

x se x > 0

adbdc

f (x) =

x

y

1

4

2

1 32

3

–1–3

–5

–7

x < 3

x ≥ �32

�

adbdc

›x > 1

- 1 ≤ x < �32

�

adbdc

›

x > 5

x < - 1

adbdc

§- x + 4 > 1

x ≥ �32

�

adbdc

›

3x - 2 > 1

- 1 ≤ x < �32

�

adbdc

›x - 4 > 1

x < - 1

adbdc

§

x - 4 se x < - 1

3x - 2 se - 1 ≤ x < �32

�

- x + 4 se x ≥ �32

�

addbddc

(f - g) (x) =

91

x

g (x)

�32

�

f (x)

- 2x + 3

- x - 1 �52

� x + 1

0

- 1

0 x + 1

2x - 35 - 2x + 3

f (x) - g (x) x - 4 �52

� - x + 4- 5 3x - 2

x

g (x)

1

f (x)

- x + 1

x + 1 xx

x - 1

2x - 1

- 2 0

0

- x + 1- x + 1

f (x) + g (x) 2 1- x + 1


13.3. f (x) = f - 1 (x) § �95

� x + 32 =�5x -

9160�

§ 81x + 1440 = 25x - 800

§ 56x = - 2240 § x = - 40

- 40 °F = - 40 °C .

14.1. (s1 , r1) = (6 ; 10)

(s2 , r2) = (8 ; 12,5)

m =�106--182,5

� =�--22,5� = 1,25

r - 10 = 1,25 (s - 6) § r = 1,25s + 2,5

r = 1,25s + 2,5 , o preço real é igual ao preço

em saldo acrescido de 25% e da parcela fixa

de 2,5 Æ ;

14.2. r = 1,25s + 2,5 § 1,25s = r - 2,5

§ s =�r1-,225,5

� § s = �21,5�r -�

12,,255

�

§ s = 0,8r - 2

s = 0,8r - 2 ; o preço de saldo é calculado

abatendo 20% ao preço real e abatendo,

ainda, a parcela fixa de 2 Æ .

15. f (x) = 3x ; g (x) = x - 2

15.1. (fog) (x) = f (g (x)) = f (x - 2) = 3x - 6 ;

15.2. y = 3x - 6 § 3x = y + 6 § x = �3y

� + 2

(fog)- 1 (x) = �3x

� + 2 ;

15.3. y = 3x § x = �3y� ; y = x - 2 § x = y + 2

f - 1 (x) = �3x

� e g- 1 (x) = x + 2 ;

15.4. (g- 1of - 1) (x) = g- 1 (f - 1 (x)) = g- 1 ��3x

�� = �3x

� + 2

(g- 1of - 1) (x) = �3x

� + 2 = (fog)- 1 (x) ;

15.5. f (x) = 2x ; g (x) = x3

(fog) (x) = f (g (x)) = f (x3) = 2x3

2x3 = y § x3 = �2y

� § x = �3 �2y

��(fog)- 1 (x) = �3 �

2x

��f - 1 (x) = �

2x

� ; g- 1 (x) = �3x�

(g- 1of - 1) (x) = g- 1 (f - 1 (x)) = g- 1 ��2x

�� = �3 �2x

��(g- 1of - 1) (x) = �3 �

2x

�� = (fog)- 1 (x) ;

15.6. Se f e g são funções injectivas,

(fog)- 1 (x) = (g- 1of - 1) (x) .

16. f (x) = �x3� ; g (x) = x - 1 Pág. 120(gof) (2) = g (f (2)) = g (�23�) =�23� - 1 = 2 �2� - 1

(D) .

17. f (x) = �x + 1� ; g (x) = �1x�

g (f (x)) = g (�x + 1�) =��x

1

+ 1�� =�

�xx++11�

�

(C) .

18. (D) .

19. (B) .

20. f (x) =�x2

1- 1� ; g (x) = �x�

�gf� (9) =�

gf (

(99))

� = = = �2140�

(C) .

21. (D) .

22. (A) . Pág. 121

23. 1 - x2 > 0

§ - 1 < x < 1

(B) .

24. É simétrico relativamente à recta de equação y = x .

25.1. i) f e g são estritamente crescentes ±gof é estritamente crescente.

Por hipótese:

Ax1 , x2å Df , x1 > x2 ± f (x1) > f (x2) (1)

Ax1 , x2å Dg , x1 > x2 ± g (x1) > g (x2) (2)

Logo,

Ax1 , x2å Dgof , x1 > x2 ±

(1)

f (x1) > f (x2)

±(2)

g (f (x1)) > g (f (x2))

± (gof) é estritamente crescente.

ii) f e g são estritamente decrescentes ±gof é estritamente crescente.

Por hipótese:

Ax1 , x2å Df , x1 > x2 ± f (x1) < f (x2) (1)

Ax1 , x2å Dg , x1 > x2 ± g (x1) < g (x2) (2)

mas, então,

Ax1 , x2å Dgof , x1 > x2 ±

(1)

f (x1) < f (x2)

±(2)

g (f (x1)) > g (f (x2)) ±

± (gof) é estritamente crescente.

De i) e ii) , se f e g são funções com

o mesmo sentido de variação, então gof é

estritamente crescente;

1

+

–1

�810�

�3

�92

1- 1�

��9�

92

Funções II

25.2. i) f é estritamente crescente e g é estrita-

mente decrescente ± gof é estritamente

decrescente

Por hipótese:

Ax1 , x2å Df , x1 > x2 ± f (x1) > f (x2) (1)

Ax1 , x2å Dg , x1 > x2 ± g (x1) < g (x2) (2)

Então:

Ax1 , x2å Dgof , x1 > x2 ±

(1)

f (x1) > f (x2)

±(2)

g (f (x1)) < g (f (x2))

± (gof) é estritamente decrescente.

ii) f é estritamente decrescente e g é estrita-

mente crescente ± gof é estritamente

decrescente

Por hipótese:

Ax1 , x2å Df , x1 > x2 ± f (x1) < f (x2) (1)

Ax1 , x2å Dg , x1 > x2 ± g (x1) > g (x2) (2)

Então:

Ax1 , x2å Dgof , x1 > x2 ±

(1)

f (x1) < f (x2)

±(2)

g (f (x1)) < g (f (x2))

± (gof) é estritamente decrescente.

De i) e ii) , se f e g têm sentidos de

variação diferentes, então gof é estrita-

mente decrescente.

26. Seja f : Df " R estritamente decrescente,

ou seja,

Ax1 , x2å Df , x1 > x2 ± f (x1) < f (x2) (1)

Sejam x1 , x2 å Df tais que x1 0 x2

então: x1 > x2 ou x2 > x1

x1 > x2 ±(1)

f (x1) < f (x2) ± f (x1) 0 f (x2)

x2 > x1 ±(1)

f (x2) < f (x1) ± f (x2) 0 f (x1)

Logo,

Ax1 , x2å Df , x1 0 x2 ± f (x1) 0 f (x2)

pelo que f é injectiva.

27. Por exemplo,

g (x) = ��x2

1+ 1�� + 4� ; Dg = R

f (x) =�x2

1- 4� ; Df = R\{- 2 , 2}


= {x å R : x å R ‹ g (x) å R\{- 2 , 2}}

g (x) > 2 , A x å R

= R

(fog) (x) = f (g (x)) =

= = = x2 + 1

g (x) = ��x2

1+ 1�� + 4� (por exemplo).

28. f (x) = 2x - 1 ; g (x) =�x +

21

�

Df = R ; Dg = R



(fog) (x) = f (g (x)) = 2 �x +

21

� - 1 = x

(gof) (x) = g (f (x)) =�(2x -21) + 1� = x

gof = fog .

29. Não. Para x < 0 , \�x�| não está definido.

4 Taxa média de variação e taxa de varia-ção de uma função. Cálculo da deri-vada de algumas funções

1. f (x) = 3x2 Pág. 127

f (3) - f (0) = 27 - 0 = 27

tmv[0 , 3] = �237� = 9 .

2. f (x) = 3x2 - 2x

2.1. tmv[0 ; 0,5] =�f (0

0,5,5) --

f0(0)

� =�- 0,02,55- 0

� = - 0,5 ;

2.2. tmv[1 ; 2] =�f (2

2) --

f1

(1)� =�

8 -1

1� = 7 .

3. R(x) = 60x - 0,025x2 , 0 ≤ x ≤ 2400

3.1. tmv[200 ; 600] =�R (6

60000) --

R20

(0200)

�

=�27 0004-00

11 000� = 40 ;

3.2. tmv[1800 ; 2200] =

=�11 0004-00

27 000� = - 40 .

4.1. y = x 4.2. y = 2x Pág. 131y ' = 1 ; y ' = 2 ;

4.3. y = - 3x 4.4. y = - �73

�x

y ' = - 3 ; y ' = - �73

� ;

4.5. y = x2 4.6. y = 5x2

y ' = 2x ; y ' = 10x ;

R (2200) - R (1800)��

2200 - 1800

1��x2

1+ 1� + 4 - 4

1��

��x2

1+ 1�� + 4��

2

- 4

1��(g (x))2 - 4

93

4 Taxa média de variação e taxa de variação de uma função. Cálculo da derivada de algumas funções

4.7. y = - 6x2 4.8. y = - �14

�x2

y ' = - 12x ; y ' = - �12

�x ;

4.9. y = x3 4.10. y = - 5x3

y ' = 3x2 ; y ' = - 15x2 ;

4.11. y = - �37

�x3 4.12. y = - �43

�x3

y ' = - �97

�x2 ; y ' = - 4x2 ;

4.13. y = x4 4.14. y = - 2x4

y ' = 4x3 ; y ' = - 8x3 ;

4.15. y = - �x4

4

� 4.16. y = - 5x4

y ' = - x3 ; y ' = - 20x3 ;

4.17. y = x10 4.18. y = 3x25

y ' = 10x9 ; y ' = 75x24 ;

4.19. y = �39x9

99

� 4.20. y = �1x0

10

0

0

�

y ' = 3x98 ; y ' = x99 .

5.1. y = 2 + 2x 5.2. y = x2 + x

y ' = 2 ; y ' = 2x + 1 ;

5.3. y = x2 + 2x + 1 5.4. y = - 2x2 + 3x - 1

y ' = 2x + 2 ; y ' = - 4x + 3 ;

5.5. y = - x3 + 3x2 + 2x - 1 5.6. y = - x5 + 3x2 - 2

y ' = - 3x2 + 6x + 2 ; y ' = - 5x4 + 6x ;

5.7. y = - �x3

3

� + x2 + �12

� 5.8. y = - �x3

3

� - �x2

2

� + �13

�

y ' = - x2 + 2x ; y ' = - x2 - x .

6.1. f (x) = x2 + 3x ; f ' (x) = 2x + 3 ;

6.2. f ' (0) = 3 ; f ' (- 1) = 1 ; f ' (- 3) = - 3 .

7.1. f (x) = �3x� = 3x- 1 Pág. 133

f ' (x) = - 3x- 2 = - �x32� ;

7.2. f (x) = - �1x32� = - 13x- 2

f ' (x) = 26x- 3 = �2x63� ;

7.3. f (x) = 2x - �x12� = 2x - x- 2

f ' (x) = 2 + 2x- 3 = 2 + �x23� ;

7.4. f (x) = 2x ��x12� + 1� = �

2x� + 2x = 2x- 1 + 2x

f ' (x) = - 2x- 2 + 2 = - �x22� + 2 ;

7.5. f (x) = 8 �x� = 8x�12�

f ' (x) = 4x�12� - 1= 4x

- �12�

= ��4

x�� ;

7.6. f (x) = - ��3

x�� = - 3x

- �12�

f ' (x) = �23

�x- �

32�

=�2x

3

�x�� ;

7.7. f (x) = x�12�

x = x�32�

f ' (x) = �32

�x�12�

=�3 �

2x�

� ;

7.8. f (x) = x2 (x + �x�) = x3 + x�52�

f ' (x) = 3x2 + �52

�x�32�

= 3x2 +�5x

2�x�� ;

7.9. f (x) = �3x� (2 + �x�) = 6x- 1 + 3x

- �12�

f ' (x) = - 6x- 2 - �32

�x- �

32�

= - �x62� -�

2x

3

�x�� .

8. t (x) = x2 - 5x ; t ' (x) = 2x - 5 Pág. 135

8.1. P (- 1 , 6) ; t (- 1) = 1 + 5 = 6

m = t ' (- 1) = - 2 - 5 = - 7

y - 6 = - 7 (x + 1) § y = - 7x - 1

y = - 7x - 1 ;

8.2. P (3 , - 6) ; t (3) = - 6

m = t ' (3) = 6 - 5 = 1

y + 6 = 1 (x - 3) § y = x - 9

y = x - 9 ;

8.3. P (2,5 ; - 6,25) ; t (2,5) = - 6,25

m = t ' (2,5) = 5 - 5 = 0

y = - 6,25 .

9. p (x) = x3 - 3x + 3 ; p' (x) = 3x2 - 3

p' (1) = 0 .

10. f ' - B ; g' - A ; h' - C . Pág. 137

11.1. f (x) = x2 - 5x + 4 ; Df = R Pág. 140

f ' (x) = 2x - 5 ; f ' (x) = 0 § x = �52

�

x

y

1–1–2

–3

3

–3

f ’

1

94

Funções II

f é estritamente decrescente em �- ? , �52

��e é estritamente crescente em ��

52

� , + ?� ;

11.2. f (x) = x3 - 3x2 + 1 ; Df = R

f ' (x) = 3x2 - 6x

f ' (x) = 0 § 3x (x - 2) = 0 § x = 0 › x = 2

f é estritamente crescente em ]- ? , 0] e

em [2 , + ?[ e estritamente decrescente em

[0 , 2] ;

11.3. f (x) = 3x4 - 4x3 ; Df = R

f ' (x) = 12x3 - 12x2 = 12x2 (x - 1)

f ' (x) = 0 § x = 0 › x = 1

f é estritamente decrescente em ]- ? , 1]

e estritamente crescente em [1 , + ?[ .

12.

12.1.

12.2. f tem um mínimo relativo igual a 1 no

ponto x = 0 ;

12.3.

13. f (x) = x�23� = �

3x2� ; Df = R

f ' (x) = �23

�x�23� - 1 = �

23

�x- �

13� =�

3 �23x�

� , A x å R\{0}

f ' (x) ≠ 0 , A x å R\{0}

f é estritamente decrescente em ]- ? , 0] e

estritamente crescente em [0 , + ?[

f (0) = 0 é o valor mínimo de f .

1.1. Por observação do gráfico verifica-se Pág. 148que f ' (- 1) < 0 (a tangente tem declive

negativo) e f ' (1) > 0 (a tangente no ponto

de abcissa 1 tem declive positivo).

1.2. V (0 , 1) é o vértice da parábola.

y = a (x - 0)2 + 1 ‚M

A1 (- 1 , 2) pertenceà parábola2 = a (- 1)2 + 1

a = 1

y = x2 + 1 é uma equação da parábola

Seja y = f (x) = x2 + 1

f ' (x) = 2x

f ' (- 1) = - 2 e f ' (1) = 2 .

2.1. f (x) = 12x2

f ' (x) = 24x ;

2.2. f (x) = - �73

�x3

f ' (x) = - 7x2 ;

2.3. f (x) = 13 - 2x - x2

f ' (x) = - 2 - 2x ;

2.4. f (x) = �x3

3

� - �x2

2

� + 1

f ' (x) = x2 - x ;

2.5. f (x) = �12

�x2 + �14

�x - �13

�

f ' (x) = x + �14

� ;

2.6. f (x) = 3x (x2 - 2) = 3x3 - 6x

f ' (x) = 9x2 - 6 .

3.

Ponto de tangência (- 1 , 3)

y ' = - 2x ; m = 2

Equação da tangente:

y - 3 = 2(x + 1) § y = 2x + 5

y = 2x + 5 .

x

y

1–1

5

0 2–2

3

4

y = 4 – x2

y = 2x + 5

1 se x > 0

- 1 se x < 0

abc

f ' (x) =

x

y

1–1

2

0

1

x + 1 se x > 0

- x + 1 se x ≤ 0

abc

f (x) =

95

x 0 1

12x2 0 + + +

f (x) ¢ £

f (x) 0 - 0 +

(x - 1) - - 0 +

x 0

f ' (x) +

f (x) 0 £

x - ?

-

�52� + ?

f ' (x)

¢

+

f (x) £

x 0 2 + ?

f ' (x) 0 - 0 +

f (x) ¢ £

-?

+

£

+

¢

-

-

-

¢


4.1. f (t) = 9 - 2t - 5t2 ; f ' (t) = - 2 - 10t

f ' (1) = - 2 - 10 = - 12 ;

4.2. s (t) = - �3t� + 1 = - 3t - 1 + 1

s' (t) = 3t- 2 = �t32�

s' (- 1) = 3 * (- 1)- 2 = + 3 ;

4.3. y (u) = u3 - 3 �u� = u3 - 3u�12�

y ' (u) = 3u2 - �32

�u- �

12� = 3u2 -�

2 �3

u��

y ' (4) = 3 * 16 -�2 �

3

4�� = 48 - �

34

� = �1849

� .

5. y = x3 - 3x2 + 2x + 1

y ' = 3x2 - 6x + 2

y ' (0) = 2 .

6. y = x (3x - 1) (x + 3)

y = 0 § x = 0 › x = �13

� › x = - 3

y = 3x3 + 8x2 - 3x

y ' = 9x2 + 16x - 3

y ' (0) = - 3

y ' ��13

�� = 9 * ��13

��2

+ 16 ��13

�� - 3 = �130�

y ' (- 3) = 9 * (- 3)2 + 16 (- 3) - 3 = 81 - 48 - 3 = 30 .

7. f (x) = x2 - 7x + 6

f ' (x) = 2x - 7

f ' (x) = - 1 § 2x - 7 = - 1 § x = 3

f (3) = 9 - 21 + 6 = - 6

Ponto de tangência (3 , - 6)

m = - 1

y + 6 = - 1(x - 3) § y = - x - 3

8. f (x) = 7 - 9x - 5x2 + 4x3 Pág. 149f ' (x) = - 9 - 10x + 12x3

f ' (x) = 3 § 12x2 - 10x - 9 = 3

§ 12x2 - 10x - 12 = 0 § x = - �23

� › x = �32

�

São paralelas à recta y = 3x + 2 as tangentes nos

pontos de abcissas - �23

� e �32

� .

9.1. f (x) = x3 - 5x2 + 3x - 20

f ' (x) = 0 § 3x2 - 10x + 3 = 0

§ x = 3 › x = �13

� ;

9.2. g (x) = x5 - 5x3 - 20x

g ' (x) = 0 § 5x4 - 15x2 - 20 = 0 ‚M x2 = a

§ a2 - 3a - 4 = 0

§ a = - 1 › a2 = 4 ‚M x2 = a

§ x2 = - 1 › x2 = 4

§ x = - 2 › x = 2 .

10.1. C e F ;

10.2. B e E ;

10.3. A e D .

11. f , b , e , d , a , c . Pág. 150

12. Por exemplo:

13.1.

13.2.

x

yf ’

0

x

y

1 f ’

0

x

y

A

B

C D

E

x

y

1

–3

5

0 2

6

4

y = 5 – x

–6

3 5 6 7

y = –x – 3

96

Funções II

13.3. Pág. 151

13.4.

13.5.

13.6.

14. x + y = 20 § y = 20 - x

14.1. P = xy

P (x) = x (20 - x)

§ P (x) = 20x - x2 (0 ≤ x ≤ 20)

P ' (x) = 20 - 2x

P ' (x) = 0 § 20 - 2x = 0 § x = 10

x = y = 10 Máx.

14.2. S = x2 + y2

S (x) = x2 + (20 - x)2

S (x) = x2 + 400 - 40x + x2

S (x) = 2x2 - 40x + 400

S ' (x) = 4x - 40

S ' (x) = 0 § x = 10

x = y = 10 Min.

15. 4y + 6x = 300

y =�300

4- 6x�

=�150

2- 3x�

15.1. A = 3x.y

A (x) = 3x *�150

2- 3x� , 0 < x < 50

A (x) =�450x2- 9x2

�

A (x) = 225x - 4,5x2 ;

15.2. A' (x) = 225 - 9x

A' (x) = 0 § 225 - 9x = 0 § x = 25

Máx.

A (25) = 2812,5 m2

x = 25 ± y =�1502- 75� = 37,5

x = 25 m ; y = 37,5 m ;

área máxima: 2812,5 m2 .

16. Pág. 152

V = (12 - 2x)2 * x

V (x) = 4x3 - 48x2 + 144x , 0 < x < 6

V ' (x) = 12x2 - 96x + 144

V ' (x) = 0 § 12x2 - 96x + 144 = 0

§ x = 2 › x = 6 §x < 6

x = 2

Máx.

O quadrado cortado tem

2 cm de lado.62

12 – 2x

x

x

x

y

x x

x

y

0

f ’

x

y

0

f ’

x

y

0

x

y f ’

97

x 0 10

P ' (x) + 0 -

P (x) £ ¢

20

x 10

S ' (x) - 0 +

S (x) ¢ £

x 0 25

A' (x) + 0 -

A (x) £ ¢

50

x 0 2

V ' (x) + 0 -

V (x) £ ¢

6

M11FNAGP - 7


17. A (1 , 3) B (0 , 1)

m =�31--

10

� = 2 ; b = 1

y = 2x + 1

Se g (x) = x2 + x , g ' (x) = 2x + 1 = y

(B) .

18. d (t) = 0 § 80t - 5t2 = 0 § 5t (16 - t) = 0

§ t = 0 › t = 16

(A) .

19. Pág. 153

�hh''((ac))

� < 0 ; h' (e) * h (f) = 0 ; h' (d) * h' (f) < 0

h' (a) * h (d) < 0

(D) .

20. D (x) = 1 + 50x - 25x2

20.1. D (0) = 1

1. Na zona da igreja vivem cerca de 100 habi-

tantes por km2 .

20.2. D ' (x) = 50 - 50x

D ' (x) = 0 § 50 - 50x = 0 § x = 1

Máx.

A densidade populacional é máxima a 1 km

da igreja.

21.1. f (0) < f (1) ; Pág. 154

21.2. f ' (0) < f ' (1) ;

21.3. g ' (x1) < g ' (x2) ;

21.4. g' (x2) > g ' (x3) .

22.1. f ' (a) > 0

Por exemplo:

22.2. A (x0 , y0)

B (0 , y1)

f ' (x0) = 0

f ' (0) = y1 > 0

Por exemplo:

23.1.

o que se ajusta a g ,

Pode ser g (x) = f ' (x) ;

23.2. f pode ser definido por Pág. 155

Então,

Pode ser g (x) = f ' (x)

23.3.

Os possíveis valores de f ' (x) ajustam-se ao

gráfico de g .

O gráfico de g pode ser o gráfico de f ' .

23.4. O gráfico de f ajusta-se ao da função f (x) = �1x�

f ' (x) = ��1x��' = (x- 1)' = (- x- 2) = - �

x12�

O gráfico de g pode ser o gráfico de f ' .

- 1 se - 1 ≤ x < 0

1 se 0 < x < 1

- 1 se 1 < x ≤ 2

adbdc

donde se tem f ' (x) =

- x se - 1 ≤ x < 0

x se 0 ≤ x ≤ 1

- x + 2 se 1 < x ≤ 2

adbdc

f (x) =

0 se x < k

m se x > k (m < 0)

abc

Logo, f ' (x) =

a se x ≤ k

mx + b se x > k (m< 0)

abc

f é do tipo f (x) =

x

y

A

B

0x0

y0

y1

m = 0

m = y1

x

y

a

bA f

m =

c

98

x 0 1

D ' (x) + 0 -D (x) £ ¢

x - 1 0 1

f (x) ¢ £f ' (x) - 0 +

a b c d

h 0 + 0 -

h' + + - +

e f

+ +

0 -

Funções II

24.1.

24.2. P (t) = 15t2 - t3

P ' (t) = 30t - 3t2

P ' (5) = 30 * 5 - 75 = 75

P ' (8) = 30 * 8 - 3 * 64 = 48

P ' (5) = 75 , P ' (8) = 48 ; Ao 5.° dia após

o eclodir da epidemia o número de pessoas

afectadas crescia a uma velocidade de 75

pessoas/dia e ao 8.° dia essa taxa de cresci-

mento era de 48 pessoas/dia.

24.3.

Máx. Máx.de P' de P

O número de pessoas afectadas cresceu até ao

10° dia em que atingiu o máximo de 500 .

A partir daí entrou em decrescimento podendo

considerar-se que a epidemia ficou extinta ao

15.° dia.

A taxa de crescimento foi máxima ao 5.°

dia. Neste dia o número de pessoas afectadas

crescia à razão de 75 pessoas/dia. No 10.°

dia o número de doentes deixou de crescer e,

no 12.° dia já decrescia à razão de 72 pes-

soas/dia.

t

P

P’–225

75

250

500

5 10 15

99

t 0 5

P ' (t) 0 + 75 +P (t) 0 £ 250 £

10

0

12

500

- -72 -

¢ 432 ¢

15

-225

0

1 Sucessões. Sucessões monótonas. Sucessões limitadas

1 Sucessões. Sucessões monótonas.Sucessões limitadas

1.1. an = 2n Pág. 14a1 = 2 ; a2 = 4 ; a3 = 8 ; a4 = 16 ; a5 = 32 ;

1.2. bn = 30

b1 = b2 = b3 = b4 = b5 = 30 ;

1.3. cn = 1 - 2n

c1 = - 1 ; c2 = - 3 ; c3 = - 5 ; c4 = - 7 ; c5 = - 9 ;

1.4. cn = (- 1)n + 1 * �1n

�

c1 = 1 ; c2 = - �12

� ; c3 = �13

� ; c4 = - �14

� ; c5 = �15

� .

2. un =�n2

n- 1�

2.1. a) u1 =�12

1- 1� = 0

b) u5 =�52

5- 1� = �

254�

c) un + 1 =�(n +

n1+)2

1- 1

� =�n2 + 2

nn++11 - 1

�

=�nn

2 ++

21n

� ;

2.2. un = 9,9 § �n2

n- 1� = 9,9 § n2 - 1 = 9,9n

§ n2 - 9,9n - 1 = 0 § n =

§ n = - �110� › n = 10 §

nåN§ n = 10

u10 = 9,9 ;

2.3. un = 6 § �n2

n- 1� = 6 § n2 - 1 = 6n

§ n2 - 6n - 1 = 0

§ n =�6 ¿�

236 + 4��

§ n =�6 ¿ 22

�10��

§ n = 3 ¿ �10�

6 não é termo da sucessão. A equação un = 6 §§ n = 3 ¿ �10� é impossível em N .

3.1. an = �6n

� Pág. 15

a1 = 6 ; a2 = 3 ; a3 = 2 ; a4 = �32

� ; a5 = �65

� ;

bn = 2n - 1

b1 = 1 ; b2 = 3 ; b3 = 5 ; b4 = 7 ; b5 = 9 ;

cn = �39n�

c1 = 3 ; c2 = 1 ; c3 = �13

� ; c4 = �19

� ; c5 = �217� ;

dn = (- 1)n �1n

�

d1 = - 1 ; d2 = �12

� ; d3 = - �13

� ; d4 = �14

� ; d5 = - �15

� ;

en = 4 + (- 1)n

e1 = 3 ; e2 = 5 ; e3 = 3 ; e4 = 5 ; e5 = 3 ;

fn = 5 f1 = f2 = f3 = f4 = f5 = 5 .

3.2.

0

en

n

1

3

2 41 3 5

2

4

5

0

dn

n2 41 3 5

1

–1

0

cn

n2 41 3 5

1

2

3

0

bn

n1

5

2 41 3 5

3

7

9

0

an

n2 41 3 5

6

5

4

3

2

1

9,9 ¿ �9,92 +�4��

2

100

Sucessões

Sucessões

Pág. 164.

.

5.1. 5 , 8 , 11 , 14 , 17 , … ; a diferença entre dois

termos consecutivos é constante e igual a 3 ;

5.2. bn = 3n + 2 .

6.1. 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 ;

6.2.

6.3. bn =�an

a+

n

1�

b1 = �aa

2

1

� = �11

� = 1 ; b2 = �aa

3

2

� = �21

� = 2 ;

b3 = �aa

4

3

� = �32

� ; b4 = �aa

5

4

� = �53

� ; b5 = �aa

6

5

� = �85

� ;

b6 = �aa

7

6

� = �183� ; b7 = �

aa

8

7

� = �2113� ; b8 = �

aa

9

8

� = �3241� ;

b9 = �aa1

9

0� = �5354� .

6.4. bn =�an

a+

n

1�

=�an -

a1

n

+ an�

=�an

a-

n

1� + �

aa

n

n� = + 1

= 1 +�bn

1

- 1

� . bn - 1 =�an

a

-

n

1

�

7.1. an = 6 - �1n

� Pág. 19

an + 1 - an = 6� -�n +

11

� - 6� + �1n

� =�-nn(+n +

n +1)

1�

=�n (n

1+ 1)� > 0 , A n å N

(an) é monótona crescente;

7.2. bn = 6 + (- 1)n

b1 = 5 ; b2 = 7 ; b3 = 5 ; b2 > b1 e b3 < b2

(bn) não é monótona;

7.3. cn =�nn++

31

�

cn + 1 - cn =�nn++

42

� -�nn++

31

�

=

=�(n + 2

-) (

2n + 1)� < 0 , A n å N

(cn) é monótona decrescente.

8. un = (- 3)n ;

u1 = - 3 ; u2 = 9 ; u3 = - 27 ; u2 > u1 e u3 < u2 .

9. vn = (6 - n)2

v5 = 1 ; v6 = 0 ; v7 = 1 ; v6 < v5 e v7 > v6 .

10.1. an = 1 + �1n

� Pág. 23

0 < �1n

� ≤ 1 , A n å N

§ 1 < 1 + �1n

� ≤ 2 , A n å N

§ 1 < an ≤ 2 , A n å N ;

10.2. bn = 5

Toda a sucessão constante é limitada;

10.3. cn = (- 1)n �1n

�

- 1 ≤ cn ≤ �12

� , A n å N ;

10.4.

- 1 ≤ dn ≤ �12

� , A n å N .

11. an =�n +

n3

�

11.1. �14

� ≤ an § �14

� ≤�n +

n3

� § n + 3 ≤ 4n

§ 3n ≥ 3 § n ≥ 1 .

Como n ≥ 1 , A n å N , tem-se que �14

� ≤ an ,

A n å N .

�1n

� se n é ímpar

- 1 se n é par

adbdc

dn =

n2� + n + 4n + 4 - n2� - 2n - 3n - 6��

(n + 2) (n + 1)

1��an

a-

n

1�

substitui-se n por n - 1

em an + 2 = an + an + 1

0

an

n

2

2 41 3

8

5 6 7

35

13

1

4 se n é ímpar

- 3 se n é par

abc

4 , - 3 , 4 , - 3 ; an =

5

0

fn

n

1

3

2 41 3 5

2

4

101


11.2. Como 0 < n < n + 3 , A n å N

�n +

n3

� < 1 , A n å N .

Então,

�14

� ≤ an < 1 , A n å N .

1.1. an =�2 -

23n� Pág. 28

a1 =�2 -

23

� = - �12

� ;

a2 =�2 - 3

2* 2

� = - 2 ;

a3 =�2 - 3

2* 3

� = - �72

� ;

a4 =�2 - 3

2* 4

� = - 5 ;

a5 =�2 - 3

2* 5

� = - �123� .

1.2. bn = (- 1)n *�1 +

nn

�

b1 = (- 1)1 *�1 +

11

� = - �12

� ;

b2 = (- 1)2 *�1 +

22

� = �23

� ;

b3 = (- 1)3 *�1 +

33

� = - �34

� ;

b4 = (- 1)4 *�1 +

44

� = �45

� ;

b5 = (- 1)5 *�1 +

55

� = - �56

� .

1.3. cn =�2 + (- 1

n)n + 1 * n�

c1 =�2 + (-

11)2 * 1� = 3 ;

c2 =�2 + (-

21)3 * 2� = 0 ;

c3 =�2 + (-

31)4 * 3� = �

53

� ;

c4 =�2 + (-

41)5 * 4� = - �

12

� ;

c5 =�2 + (-

51)6 * 5� = �

75

� .

2.1. an = 10 - 2n

• a2 = 10 - 4 = 6

• an = - 16 § 10 - 2n = - 16

§ - 2n = - 26 § n = 13

• an = - 20 § 10 - 2n = - 20

§ - 2n = - 30 § n = 15

2.2. an = (- 1)n * 2n

• a1 = (- 1)1 * 21 = - 2

• a2 = (- 1)2 * 22 = 4

• an = 16 § (- 1)n * 2n = 16 ‚M

16 > 0n é par§ 2n = 24

§ n = 4

• an = - 32 § (- 1)n * 2n = - 32 ‚M

32 < 0n é ímpar§ - 2n = - 25

§ n = 5

3.1.

3.2.

3.3.

Pág. 293.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

4.1. 8 * 1 = 8 ; 8 * 2 = 16 ; Pág. 308 * 3 = 24 ; 8 * 4 = 32

an = 8n ;

4.2.

an = (- 1)n + 1 * 2 ;

2 se n é ímpar

- 2 se n é par

abc

an =

102

n 1 2 3 4 5 n

an 3 8 15 24 35 n (n + 2)

…

…

n 1 2 3 4 5 n

an 2 8 18 32 50 2n * n = 2n2

…

…

n 1 2 3 4 5 n

an 12 24 36 48 60 12n

…

…

n 1 2 3 4 5 n

an 3 5 7 9 11 2n + 1

…

…

n 1 2 3 4 5 n

an 4 8 12 16 20 4n

…

…

n 1 2 3 4 5 n

an 4 8 12 16 20 4n

…

…

n 1 2 3 4 5 n

an 3 5 7 9 11 2n + 1

…

…

n 1 2 3 4 5 n

an 2 4 6 8 10 2n

…

…

n 1 2 4 5 … n

an - 2 4 16 - 32 … (- 1)n * 2n

n 1 2 13 15 … n

an 8 6 - 16 - 20 … 10 - 2n

Sucessões

4.3.

an = (- 1)n * 2 ;

4.4. 1 2 3 4 5 6 … n

2 4 6 8 10 12 … 2n

4 6 8 10 12 14 … 2n + 2

an = 2n + 2 ;

4.5. 1 2 3 4 5 6 … n

2 4 6 8 10 12 … 2n

3 5 7 9 11 13 … 2n + 1

an = 2n + 1 ;

4.6. 1 2 3 4 5 … n

3 6 9 12 15 … 3n

2 5 8 11 14 … 3n - 1

an = 3n - 1 ;

4.7. 21 = 2 ; 22 = 4 ; 23 = 8 ; 24 = 16 ; 25 = 32 .

an = 2n .

5.1.

u1 = 4 ; u2 = 2u1 = 8 ; u3 = 2u2 = 16 ;

u4 = 2u3 = 32 ; u5 = 2u4 = 64 ;

5.2.

u1 = 10 ; u2 = �23

� u1 = �230� ; u3 = �

23

� u2 = �490� ;

u4 = �23

� u3 = �8207� ; u5 = �

23

� u4 = �18610

� ;

5.3.

u1 = 1 ; u2 = u1 + ��12

��1

= 1 + �12

� = �32

� ;

u3 = u2 + ��12

��2

= �32

� + �14

� = �74

� ;

u4 = u3 + ��12

��3

= �74

� + �18

� = �185� ;

u5 = u4 + ��12

��4

= �185� + �

116� = �

3116� ;

5.4.

u3 = u1 + u2 = 1 + 2 = 3 ;

u4 = u2 + u3 = 2 + 3 = 5 ;

u5 = u3 + u4 = 3 + 5 = 8 .

6.1. u2 = �12

� = �12

� * u1 ; u3 = �14

� = �12

� * u2 ;

u4 = �18

� = �12

� * u3 ; u5 = �116� = �

12

� * u4 ; …

6.2. u2 = - �12

� * u1 ; u3 = - �12

� * u2 ; u4 = - �12

� * u3 ; …

7.1.

7.2. c10 = 2 * 10 - 1 = 19 ; c100 = 2 * 100 - 1 = 199 ;

cn + 1 = 2 (n + 1) - 1 = 2n + 1 ;

ct + 7 = 2 (t + 7) - 1 = 2t + 13 ;

7.3. cn < 100 § 2n - 1 < 100 § 2n < 101

§ n < 50,5 §nåN

n ≤ 50 ;

50 termos;

7.4. cn ≥ 1000 § 2n - 1 ≥ 1000 § 2n ≥ 1001

§ n ≥ 500,5 §nåN

n ≥ 1501 ;

Apenas os primeiros 500 termos são inferiores

a 1000 .

O número de termos maior ou igual a 1000 é

infinito;

7.5. cn + 1 - cn = 2 (n + 1) - 1 - (2n - 1)

= 2n + 2 - 1 - 2n + 1 = 2 > 0 , A n å N ;

(cn) é monótona crescente;

7.6. (cn) é a sucessão 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , … dos

números ímpares. Logo, não é limitada.

8. un =�n +

21

� Pág. 31

8.1. u1 = 1 ;

u2 = �32

� ;

u3 = 2 ;

u4 = �52

� ;

u5 = 3 ;

0

un

n2 41 3 5

1

2

3

0

cn

n1

5

2 41 3 5

3

7

9

u1 = - �12

�

un + 1 = �12

� un , A n å N .

adbdc

u1 = 1

un + 1 = �12

� un , A n å N ;

adbdc

u1 = 1

u2 = 2

un + 2 = un + un + 1

adbdc

u1 = 1

un + 1 = un + ��12

��n

adbdc

u1 = 10

un + 1 = �23

� un

adbdc

u1 = 4

un + 1 = 2un

abc

- 2 se n é ímpar

2 se n é par

abc

an =

103


8.2. un = 8,5 § �n +

21

� = 8,5

§ n + 1 = 17 § n = 16 ;

u16 = 8,5 ;

8.3. un = 6,1 § �n +

21

� = 6,1 § n + 1 = 12,2

§ n = 11,2 ∫ N ;

6,1 , por exemplo;

8.4. un + 1 - un =�n + 1

2+ 1

� -�n +

21

� =�n + 2 -2

n - 1�

= �12

� > 0 , A n å N ;

(un) é monótona crescente.

8.5. un ≥ 1 § �n +

21

� ≥ 1 § n + 1 ≥ 2

§ n ≥ 1 , condição universal em N .

1 é um minorante do conjunto dos termos de (un) .

9. (D) .

10.1. u3 > u2 e u4 < u3 ;

10.2. Do conhecimento dos primeiros dez termos

não é possível concluir sobre se a sucessão é,

ou não, limitada;

10.4. Por exemplo, a sucessão un = (- 1)n é limi-

tada (- 1 ≤ un ≤ 1 , A n å N ) e não é

monótona (u1 = - 1 , u2 = 1 e u3 = - 1) ;

10.6. Se (un) é crescente, un + 1 ≥ un , A n å N ,

logo un ≥ u1 , A n å N .

11. (C) . Se k = 10 , uk + 1 = u11 = 3 . Pág. 32

12. un = (- 1)n �n +

n1

�

u1 = - 2 ; u2 = �32

� ; u3 = - �43

� ;

u2 > u1 e u3 < u2 , logo (un) não é monótona;

Se n é par,

un =�n +

n1

� = 1 + �1n

� ;

0 < �1n

� ≤ �12

�

0 < 1 + �1n

� ≤ �32

� , qualquer que seja n par.

Se n é ímpar,

un = -�n +

n1

� = - 1 - �1n

� .

0 < �1n

� ≤ 1

- 1 ≤ - �1n

� < 0

- 2 ≤ - 1 - �1n

� < - 1 , qualquer que seja n

ímpar.

Logo, - 2 ≤ un ≤ �32

� , A n å N ;

(un) é limitada porque - 2 ≤ un ≤ �32

� , A n å N .

13.

t1 = 2

t2 = 2 * 3

t3 = 2 * 3 * 3 = 2 * 32

t4 = 2 * 32 * 3 = 2 * 33

Btn = 2 * 3n - 1 .

14.1. Pág. 33

14.2. f (2) = f (0) + f (1) = 1 + 2 = 3

f (3) = f (1) + f (2) = 2 + 3 = 5

f (4) = f (2) + f (3) = 3 + 5 = 8

15.1. a1 = 12 = 1 ; a2 = �12

� a1 = �12

� ; a3 = �12

� a2 = �14

� ;

a4 = �12

� a3 = �18

� ; a5 = �12

� a4 = �116� ;

15.2. A área de cada quadrado

é metade da área do

quadrado precedente, tal

como a figura sugere.

a1 = 1 ; a2 = �12

� ; a3 = �12

� * �12

� = ��12

��2

= �212�

a4 = �212� * �

12

� = �213�

B

an =�2n

1- 1� .

15.3. ln = �an� =�� = ��n - 1

= � �n - 1

;

ln = � �n -

1

.

16.1. Área de F1 : (20 * 10) cm2 = 200 cm2

Área de F2 : �20 *

210

� cm2 = 100 cm2

Área de F3 : (10 * 5) cm2 = 50 cm2

Área de F4 : �10

2* 5� cm2 = 25 cm2

Área de F5 : (5 * 2,5) cm2 = 12,5 cm2

�2��2

�2��2

1�2

1�2n - 1

t1 = 2

tn + 1 = 3tn , A n å Nabc

�n +

n1

� se n é par

-�n +

n1

� se n é ímpar

adbdc

un =

104

Sucessões

16.2.

16.3. Têm-se:

an + 1 = �12

� an §an>0

�an

a+

n

1� = �12

�

§ �an

a+

n

1� < 1 §an>0

an + 1 < an § an + 1 - an < 0

• Como an + 1 - an < 0 , A n å N , (an) é

decrescente

(an) é decrescente ± an ≤ a1 , A n å N± an ≤ 200 , A n å N ,

an > 0 , A n å N (an é uma área).

• 0 < an ≤ 200 , A n å N ± (an) é limitada.

17. f (n) =�n +

n1

�

17.1. f (20) =�20

2+0

1� = �

2210� ;

17.2. f (n) = 1,01 § �n +

n1

� = 1,01

§ n + 1 = 1,01 n

§ 0,01 n = 1

§ n =�0,

101� § n = 100 .

f (100) = 1,01 ;

17.3. f (n) < 1,001 § �n +

n1

� < 1,001

§ n + 1 < 1,001 n

§ 0,001 n > 1

§ n >�0,0

101� § n > 1000 .

A partir do termo de ordem 1001 (inclusive);

17.4. f (n) =�n +

n1

� = 1 + �1n

�

0 < �1n

� ≤ 1

1 < 1 + �1n

� ≤ 2

1 < f (n) ≤ 2 , A n å N .

18. an =�2nn++

16

� Pág. 34

18.1. an = 7,3 § �2nn++

16

� = 7,3

§ 2n + 6 = 7,3 n + 7,3

§ 5,3 n = - 1,3

§ n = - �15,,33� ∫ N ;

Não. A equação an = 7,3 § n = - �15,,33� é

impossível em N ;

18.2. an + 1 - an =�2

n(n++11+) +

26

� -�2nn++

16

�

=�2nn++

38

� -�2nn++

16

�

=

=�(n-+

23n)-(n

1+0

1)� < 0 , A n å N ;

(an) é monótona decrescente.

18.3. an > 2 § �2nn++16

� > 2 § 2n + 6 > 2n + 1

§ 0n + 6 > 1 é universal em N ;

18.4. an > 2 , A n å N (de 18.3.) (an) é decrescente ± an ≤ a1 , A n å N

± an ≤ 4 , A n å N

2 < an ≤ 4 , A n å N ± (an) é limitada.

19. vn =�n3+n6

�

19.1. v1 =�1 +

36

� = �73

� ;

v2 =�2 +

66

� = �43

� ;

v3 =�3 +

96

� = 1 ;

v1 + v2 + v3 = �73

� + �43

� + 1 = �134� ;

19.2. vn + 1 - vn =�n3+(n

1++16)

� -�n3+n6

�

=�3(

nn++

71)

� -�n3+n6

�

=

=�3n (-n6+ 1)� < 0 , A n å N

(vn) é monótona decrescente;

19.3. vn =�n3+n6

� = �3nn� + �

36n� = �

13

� + �2n

� , A n å N

0 < �1n

� ≤ 1

0 < �2n

� ≤ 2

�13

� < �13

� + �2n

� ≤ �13

� + 2

�13

� < vn ≤ �73

� , A n å N ± (vn) é limitada;

19.4. Por exemplo:

w8 = 8 ; w9 = 9 ; w10 = �185� ;

w9 > w8 e w10 < w9 ± (wn) não é

monótona.

n se n < 10

�n3+n6

� se n ≥ 10

adbdcwn =

n2 + 7n - n2 - 7n - 6��

3n (n + 1)

2n2� + 2n + 8n + 8 - 2n2� - 6n - 6n - 18��

(n + 3) (n + 1)a1 = 200

an + 1 = �12

� an , A n å N

adbdc

105

N.° da figura 1 2 3 4 5

Área da figura 200 100 50 25 12,5


20. an = (- 1)n + 1 * 3 + 1

20.1.

20.2. - 2 ≤ an ≤ 4 , A n å N ± (an) é limitada;

20.3. Por exemplo,

se bn = (- 1)n * 3 + n , an + bn = n + 1

define uma sucessão monótona crescente.

21.

21.1.

21.2. Se n < 3 , bn + 1 - bn = n + 1 - n = 1 > 0

Se n> 3 , bn+1 - bn = (n + 1 - 2) - (n - 2) = 1 > 0 ;

21.3. b2 = 2 , b3 = 3 , b4 = 2

b3 > b2 ‹ b4 < b3 ± (bn) não é monótona;

21.4. Se, por exemplo,

(bn) é monótona se as diferenças un + 1 - un

(para n < k) , vn + 1 - vn (se n > k) e vk + 1 - uk

forem todas não negativas ou não positivas.

22.1. p (x) = - x2 + 6x - 5 Pág. 35

p (x) = 0 § - x2 + 6x - 5 = 0

§ x =

§ x = 1 › x = 5 ;

p (x) = - (x2 - 6x + 9) + 9 - 5 = - (x - 3)2 + 4

Vértice: V1 (3 , 4)

22.2. (un) é a restrição da função p a N .

• (un) é não monótona: u3 > u2 e u4 < u3 ;

• 4 é um majorante do conjunto dos termos de

(un) .

O conjunto dos termos não é limitado inferior-

mente, logo:

• (un) não é limitada;

• u1 = u5 = 0 .

23.1.

23.2.

k = 1,4k = 1,3

k = 1,2

k = 0,9k = 0,75

k = 0,5

0

y

x

3

2 41 3 5

2

4

6

1

–5

- 6 ¿ �36 - 2�0��

- 2

un se n ≤ k

vn se n > k

abc

bn =

0 n

1

3

2 41 3 5

2

4

6

bn

n se n ≤ 3

n - 2 se n > 3

abc

bn =

an

n

4

0 2 41 3 5

–2

4 se n é ímpar

- 2 se n é par

abc

an =

106

Sucessões

23.3.

24.1.

2 Progressões aritméticas e progressões geométricas

1.1. - 2 , 0 , 2 , 4 , 6 ; Pág. 39

1.2. - 2 , - 5 , - 8 , - 11 , - 14 ;

1.3. - 2 , - �32

� , - 1 , - �12

� , 0 ;

1.4. - 2 , - 2 , - 2 , - 2 , - 2 .

2. an = �12

� - 3n

an + 1 - an = �12

� - 3 (n + 1) - ��12

� - 3n�= �

12

�� - 3n� - 3 - �12

�� + 3n� = - 3 .

bn = n2 - 1

bn + 1 - bn = (n + 1)2 - 1 - (n2 - 1)

= n2� + 2n + 1 - 1� - n2� + 1� = 2n + 1 .

an + 1 - an = �12

� , A n å N (é constante);

bn + 1 - bn = 2n + 1 , A n å N (não é constante).

3. un + 1 = un + 3 § un + 1 = un = 3 , A n å N (é

constante).

4. u5 + r = u6 ; u5 + 2r = u7 ; u5 + 3r = u8 ;

14 + 3r = 23 § 3r = 9 § r = 3 .

5. u500 = u1 + (500 - 1) * r Pág. 41

= - �12

� + 499 * �12

� = 249 .

u500 = 249 .

6.1. u1 = 3 ; r = 10

un = u1 + (n - 1) * r = 3 + (n - 1) * 10

= 3 + 10n - 10 = 10n - 7 ;

un = 10n - 7 ;

6.2. u2 = 10 ; u4 = 20

u4 = u2 + (4 - 2) * r § 20 = 10 + 2r § r = 5

un = u2 + (n - 2) * r = 10 + (n - 2) * 5

= 10 + 5n - 10 = 5n

un = 5n ;

6.3. u3 = - 10 e r = 5

un = u3 + (n - 3) * 5 = - 10 + 5n - 15 = 5n - 25

un = 5n - 25 ;

6.4. u6 + u8 = 28 e r = 3

u6 + u8 = 28 ‚M

u8 = u6 + 2r

§ u6 + u6 + 2r = 28

§ 2u6 + 2 * 3 = 28 § u6 = 11

un = u6 + (n - 6) * r = 11 + (n - 6) * 3

= 11 + 3n - 18 = 3n - 7

un = 3n - 7 ;

6.5. u10 = 5 e u30 = - 5

u30 = u10 + (30 - 10) * r §- 5 = 5 + 20r

§ r = - �12

�

un = u10 + (n - 10) * r = 5 + (n - 10) * �- �12

��= 5 - �

12

� n + 5 = - �12

� n + 10

un = - �12

� n + 10 .

7.1. un = - 2n + 1 Pág. 42

r = - 2 < 0 ± (un) é estritamente decrescente;

7.2. un = 3n + �12

�

r = 3 > 0 ± (un) é estritamente crescente.

8.1. 6 , 18 , 30 , 42 , … n = 20 ; Pág. 46r = 18 - 6 = 12

u20 = u1 + 19r = 6 + 19 * 12 = 234

S20 =�u1 +

2u20� * 20 =�

6 +2234� * 20 = 2400 ;

8.2. - 6 , - 2 , 2 , 6 , … ; n = 10

r = - 2 - (- 6) = 4

u10 = u1 + 9r = - 6 + 9 * 4 = 30

S10 =�u1 +

2u10� * 10 =�

- 62+ 30� * 10 = 120 ;

k = 0k = 0,001

k = 0,01k = 0,1

k = 1,8k = 1,75

k = 1,7

107


8.3. 0,5 ; 0,9 ; 1,3 ; 1,7 ; … ; n = 18

r = 0,9 - 0,5 = 0,4

u18 = u1 + 17r = 0,5 + 17 * 0,4 = 7,3

S18 =�u1 +

2u18� * 18 =�0,5 +

27,3

� * 18 = 70,2 ;

8.4. a2 = 3,5 ; a12 = 7,5 ; n = 100

a12 = a2 + (12 - 2) r § 7,5 = 3,5 + 10r

§ r = 0,4

a1 = a2 - r = 3,5 - 0,4 = 3,1

a100 = a1 + 99r = 3,1 + 99 * 0,4 = 42,7

S100 =�a1 +

2a100� * 100 =�3,1 +

242,7� * 100

= 2290 .

9. n1 rn + b é uma progressão aritmética de razão r .

9.1. �10

n = 1n =�

1 +210� * 10 = 55 ;

9.2. �100

n = 13n =�

3 +2300� * 100 = 15 150 ;

9.3. �50

n = 1n - �

30

n = 1n =�

1 +250� * 50 -�

1 +230� * 30

= 1275 - 465 = 810 ;

9.4. �10

n = 1(2n - 1) = * 10 = 100 ;

9.5. �100

n = 1�n +

21

� = * 100 = 2575 ;

9.6. �100

n = 0�8 -

42n� = * 101 = - 2323 .

10. - 20 + (- 19) +… + 50

=�- 202+ 50� * 71 = 1065

11. P. a. (un) ; r = 3 ; u1 = 20

u20 = u1 + 19r = 20 + 19 * 3 = 77

S20 =�u1 +

2u20� *�

20 +2

77� * 20 = 970 .

S20 = 970 km .

12. P. a. (an) ; a1 = 16 800 ; r = 1700

S5 =�a1 +

2a5� * 5 = * 5

= 101 000

S5 = 101 000 Æ .

13. P.a. (an) ; a1 = 15 ; r = 4

S40 =�a1 +

2a40� * 40 =�15 + a

21 + 39r� * 40

=�15 + 152+ 49 * 4� * 40 = 3720

S40 = 3720 lugares.

14. an = n

Sn =�a1 +

2an� * n =�

1 +2

n� * n =�n (n

2+ 1)� .

15.1. - 3 , - 6 , - 12 , - 24 , - 48 ; Pág. 48

15.2. a1 = �ar2� = �-10

2� = - 5

- 5 , 10 , - 20 , 40 , - 80 ;

15.3. r = - 1 ; a4 = - 1 , a3 = �--

11� = 1 ;

a2 = �-11� = - 1 ; a1 = �

--

11� = 1

1 , - 1 , 1 , - 1 , 1 ;

15.4. a2 * r = a3 ; a2 * r * r = a4 § a4 = a2 * r2 ;

6 = 3 * r2 § r2 = 2 § r = ¿ �2�

Se r = �2� , a1 = �ar2� = =

Se r = - �2� , a1 = -

, 3 , 3�2� , 6 , 6�2� ou - ,

3 , - 3�2� , 6 , - 6�2� .

16.1. an = 51 - n

�an

a+

n

1� =�51

5

-

1

(

-

n +

n

1)

� = 51 - n� - 1 - 1 + n� = 5- 1

= �15

� , A n å N

(an) é uma progressão geométrica de razão �15

� ;

16.2. an = ��12

��n + 3

�an

a+

n

1� = = ��12

��n + 4 - n - 3

= �12

� , A n å N


� ;

16.3. an = (- 1)2n + 1

�an

a+

n

1� =�(-(-1)

1

2(

)

n

2

+

n +

1)

1

+ 1

� = (- 1)2n� + 3 - 2n� - 1

= 1 , A n å N

(an) é uma progressão geométrica de razão 1

(sucessão constante);

��12

��n + 1 + 3

��

��12

��n + 3

3�2��

23�2��

2

3�2��

2

3�2��

2

3��2�

16 800 + 16 800 + 4 * 1700��

2

�84

� + (- 48)��

2

1 +�100

2+ 1�

��2

(2 - 1) + (2 * 10 - 1)��

2

108

un = n - 21

u1 = 1 - 21 = - 20

un = 50

§ n - 21 = 50

§ n = 71

u71 = 50

Sucessões

16.4. an = 2 * ��13

��3 - n

�an

a+

n

1� = = ��13

��3� - n� - 1 - 3� + n�

= ��13

��- 1

= 3 , A n å N

(an) é uma progressão geométrica de razão 3 ;

16.5. an = �-5n

1�

�an

a+

n

1� = =�55n +

n

1� = 5n - n - 1 = �15

� , A n å N


� ;

16.6. an = - �n2

� * (0,4)n + 1

�an

a+

n

1� =

= * (0,4)n� + 2 - n� - 1

=�n +

n1

� * 0,4 , não é constante.

(an) não é progressão geométrica.

17. a1 = 5 e a2 = - 10 Pág. 51

r = �aa

2

1

� =�-

510� = - 2

a60 = a1 * r60 - 1 = 5 * (- 2)59 = - 5 * 259 .

18. u7 + u6 = - 488 ; r = 3

u7 + u6 = - 488

§ u6 * r + u6 = - 488

§ u6 * 3 + u6 = - 488 § 4 u6 = - 488

§ u6 = - 122

u10 = u6 * r10 - 6 = - 122 * 34 = - 9882 .

19.1. a2 = 6 ; a3 = 18

r = �aa

3

2

� = �168� = 3 ;

an = a2 * rn - 2 = 6 * 3n - 2 = 2 * 3 * 3n - 2 = 2 * 3n - 1 ;

19.2. a2 = 8 e a4 = 128

a4 = a2 * r 4 - 2 § 128 = 8 * r 2 § r 2 = 16

§ r = ¿ 4

Se r = 4 , an = a2 * r n - 2 = 8 * 4n - 2

= 23 * 22n - 4 = 22n - 1

Se r = - 4 , an = a2 * r n - 2 = 8 * (- 4)n - 2

= 23 * (- 1)n - 2 * 4n - 2

= (- 1)n * 23 * 22n - 4

= (- 1)n * 22n - 1

an = 22n - 1 ou an = (- 1)n * 22n - 1 .

20.1. an = 2 * 3n - 1 (por exemplo);

20.2. an = a3 * r n - 3 . Se r = �12

� :

an = 12 * ��12

��n - 3

= 3 * 22 * 2- n + 3 = 3 * 25 - n

an = 3 * 25 - n (por exemplo);

20.3. a5 = - 16 e r = - 2

an = a5 * r n - 5 = (- 16) * (- 2)n - 5

= - (- 2)4 * (- 2)n - 5 = - (- 2)n - 1

an = - (- 2)n - 1 (por exemplo).

21. an = ��12

��n - 2

Pág. 54

S10 = a1 �11--

rr

n

� = ��12

��- 1

= 2 *

= 4 �1 -�10

124��

=�1205263

� .

22.1. �14

� + �18

� + �116� +… + �

2121� = �

212� + �

213� +… + �

2121�

S20 = �14

� = =

=�220

22

-1

1� =�1

2004987

517552

� ;

22.2. S = �13

� + �16

� + �112� +… +�

15136�

a1 = �13

� ; r = �12

�

an = �13

� ��12

��n - 1

an =�15

136� § �

13

� ��12

��n - 1

=�15

136�

§ ��12

��n - 1

= �5112�

§ ��12

��n - 1

= ��12

��9

§ n - 1 = 9

§ n = 10

S10 = �13

� = �13

�

= �23

� �210

21

-0

1� = �

354112

�

S10 = �23

� �210

21

-0

1� = �

354112

� .

1 - �2110�

�

�12

�

1 - ��12

��10

��

1 - �12

�

�220

22

-0

1�

�2

1 - �2120�

�2

1 - ��12

��20

��1 - �

12

�

1 -�10

124�

��12

�

1 - ��12

��10

��1 - �

12

�

2� (n + 1)�

2�n

-�n +

21

� * (0,4)n + 1 + 1

��- �

n2

� * (0,4)n + 1

�5-n +1

1�

��-5n

1�

2� * ��13

��3 - (n + 1)

��2� * ��

13

��3 - n

109

r =�an

a+

n

1� = = �12

��12

��n + 1 - 2

��

��12

��n - 2


23. u3 = 208 e u5 = 3328

u5 = u3 * r 5 - 3 § 3328 = 208 * r 2

§ r 2 = 16 § r = ¿ 4

Como un > 0 , A n å N , tem-se r = 4

u8 = u3 * r 8 - 3 = 208 * 45 = 212 992

u8 + u9 + u10 + u11 + u12 = u8 �11--

rr

5

�

= 212 992 *�11--

44

5

�

= 212 992 * 341 = 72 630 272 .

24. �uu

2

1

� =�44326000

� = �110095

� ; Pág. 55

�uu

3

2

� =�44438680

� = �556415

�

(un) não é uma progressão geométrica porque

�uun +

n

1� não é constante.

25.1. Valor inicial:

50

Decorrido 1 ano:

P1 = 50 + 0,02 * 50 = 50 * (1,02)

Decorridos 2 anos:

P2 = P1 + 0,02 P1 = P1 (1,02) = 50 * (1,02)2

BPn = 50 * (1,02)n ;

25.2. Trata-se de resolver a equação 50 (1,02)n = 100 .

Consultando a tabela da função obtida com a

calculadora

verifica-se que a população duplicará decorridos cerca

de 36 anos.

26.1. Volume inicial:

v0

Após 1 hora :

v1 = v0 - 0,1 v0 = v0 * 0,9

Após 2 horas :

v2 = v1 - 0,1 v1 = v1 * 0,9 = v0 * (0,9)2

Bvn = v0 * (0,9)n

26.2. Trata-se de resolver a equação vn = �12

� v0 .

vn = �12

� v0 § v0 * (0,9)n = �12

� v0 § (0,9)n = �12

�

Obteve-se na calculadora a tabela da sucessão

un = (0,9)n :

Verifica-se que o volume se reduz a metade decorridas

cerca de 7 horas.

1.1. u1 = 3 ; r = 4 Pág. 60• u7 = u1 + (7 - 1) * r = 3 + 6 * 4 = 27

• u15 = u1 + 14 r = 3 + 14 * 4 = 59

• S10 =�u1 +

2u10� * 10 =�3 + (3 +

29 * 4)�* 10 = 210 ;

1.2. u5 = 6 e r = - 2

• u1 = u5 + (1 - 5) * r = 6 + (- 4) * (- 2) = 14

• u10 = u1 + 9 r = 14 + 9 * (- 2) = - 4

• S5 =�u1 +

2u5� * 5 =�

14 + (14 +2

4 * (- 2))� * 5 = 50

1.3. u4 = 16 ; u9 = 34

• u9 = u4 + (9 - 4) r § 34 = 16 + 5r

§ 18 = 5r § r = �158�

• u1 = u4 + (1 - 4) r = 16 - 3 * �158� = �

256� ;

1.4. r = 3 ; u5 = 17 ; Sn = 549

• u1 = u5 + (1 - 5) r = 17 - 4 * 3 = 5

• Sn = 549 § �u1 +

2un� * n = 549

§ �5 + (3

2n + 2)� * n = 549

§ (3n + 7) * n = 1098

§ 3n2 + 7n - 1098 = 0

§ n =

§ n = 18 › n = �631�

Como n å N , tem-se n = 18 ;

1.5. u4 + u5 + u6 = 63 ; u10 + u12 = 102

.u1 = 1

r = 5 abc

§

u1 = 21 - 4r

6r = 30 abc

§u1 = 21 - 4r

21 - 4r + 10r = 51 abc

§

u1 + 4r = 21

u1 + 10r = 51 abc

§3u1 + 12r = 63

2u1 + 20r = 102 abc

§

(u1 + 3r) + (u1 + 4r) + (u1 + 5r) = 63

(u1 + 9r) + (u1 + 11r) = 102 abc

§

u4 + u5 + u6 = 63

u10 + u12 = 102 abc

•

- 7 ¿�49 + 1�3 176��

6

110

un = u1 + (n - 1) r

un = 5 + (n - 1) * 3

un = 3n + 2

Sucessões

2.1. 7 + 14 + 21 +… + 77 " p. a. (an) ; r = 7

an = a1 + (n - 1) * 7

77 = 7 + 7n - 7

§ n = 11 ;

a11 = 77

S11 =�a1 +

2a11� * 11 =�

7 +277� * 11 = 462 ;

2.2. 14 + 10,5 + 7 + 3,5 +… + (- 17,5) " p. a. (an) ;

r = - 3,5

an = a1 + (n - 1) * (- 3,5)

- 17,5 = 14 - 3,5n + 3,5

§ 3,5n = 35

§ n = 10

a10 = - 17,5

S10 =�a1 +

2a10� * 10 =�14 + (-

217,5)� * 10 = - 17,5 ;

2.3. 64 591 + 64 486 +… + 63 436 " p. a. (an) ;

r = - 105

an = a1 + (n - 1) * (- 105)

§ 63 436 = 64 591 - 105n + 105

§ 105n = 1260

§ n = 12 ;

a12 = 63 436

S12 =�a1 +

2a12� * 12 =�64 591 +

263 436� * 12

= 768 162

S12 = 768 162 .

3.1. un = 5 - 7n

un+1 - un = 5 - 7 (n + 1) - (5 - 7n) = - 7 , A nåN

É uma p. a. de razão - 7 ;

3.2. un = n2 + 1

un + 1 - un = (n + 1)2 + 1 - (n2 + 1)

= n2� + 2n + 1 + 1� - n2� - 1� = 2n + 1 , A n å N

Não é uma p. a. ;

3.3. un = �4n

�

un + 1 - un =�n +

41

� - �4n

� =�4nn-(n

4+n

1-)4

�

=�n (-n +

41)

� , A n å N

Não é uma p. a. ;

3.4. un = �23

� n - 1

un + 1 - un = �23

� (n + 1) - 1 - ��23

� n - 1�= �

23

� , A n å N

É uma p. a. de razão �23

� .

4.

4.1. u1 = 2 ; u2 = u1 - 7 = 2 - 7 = - 5 ;

u3 = u2 - 7 = - 5 - 7 = - 12 ;

u4 = u3 - 7 = - 12 - 7 = - 19 ;

4.2. un + 1 - un = - 7 , A n å N ;

É uma progressão aritmética de razão - 7 ;

4.3. un + 1 - un = - 7 < 0 , A n å N ;

(un) é monótona decrescente;

4.4. un = u1 + (n - 1) * r

un = 2 + (n - 1) * (- 7) = 2 - 7n + 7

= - 7n + 9 ;

un = - 7n + 9 ;

4.5. Sp = - 93 § �u1 +

2up� * p = - 93

§ �2 + (-

27p + 9)� * p = - 93

§ (11 - 7p) * p = - 186

§ - 7p2 + 11p + 186 = 0

§ p = 6 › p = - �371�

Como p å N , tem-se p = 6 ou seja, 6 termos.

5. 6 ; x ; 8,64 " p. g.

�8,

x64� = �

6x

� §x 0 0

6 * 8,64 = x2

§ x = ¿ �51,84� § x ) ¿ 7,2 .

6. (an) é uma progressão geométrica

§ �an

a+

n

1� = r , A n å N , com r å R

e r constante.

7. r = 0,3 ; u2 = 0,9 ; p. g.

7.1. un = u2 * r n - 2

un = (0,9) * (0,3)n - 2 = 3 * 0,3 * (0,3)n - 2

= 3 * (0,3)n - 1

un = 3 * (0,3)n - 1 ;

7.2. u20 = 3 * (0,3)19 ;

7.3. S10 = u1 �11--rr

10

� = 3 *�1 -1(001

,0

3)10

�

= 3 * �170� *�101

1

0

0-10

310

� = �37

� �101

1

0

0-

9

310

� .

8. 21 + 22 +… + 210 = 2 *�11--22

10

� = 2 *�--10

123

� = 2046 .

9. u3 = 90 ; u6 = 2430 Pág. 61

9.1. u6 = u3 * r 6 - 3

2430 = 90 * r 3 § r 3 = 27 § r = 3

u1 = u3 * r 1 - 3 = 90 * 3- 2 = �9302� = 10 ;

u1 = 2

un + 1 = un - 7 abc

111


9.2. S10 = u1 �11--r1

r

0

� = 10 *�11--33

10

� = 295 240 .

10. P. g. : u2 = 24 ; u6 = 384

10.1. u6 = u2 * r 6 - 2

384 = 24 * r 4 § r 4 = 16

§ r = ¿ �416�

§ r = ¿ 2

Se r = 2 , u1 = �224� = 12

Se r = - 2 , u1 = �-24

2� = - 12

r = 2 e u1 = 12 ou r = - 2 e u1 = - 12 ;

10.2. • Se u1 = 12 e r = 2

S10 = 12 *�11--22

10

� = 12 276 ;

• Se u1 = - 12 e r = - 2

S10 = - 12 *�1 -1(+-

22)10

� = 4092 .

11. �π2

� ; �π4

2

� , �π8

3

� , �1π6

4

� , �3π2

5

� , … ��π2

��n

é uma p. g. (an) sendo r = �π2

� ;

11.1. a10 = ��π2

��10

=�1π0

1

2

0

4� ;

11.2. S10 = a1 =�11--rr

10

� = �π2

� * ) 248,92 .

12.1. un = 1 - �1n

�

un + 1 = 1 -�n +

11

�

un + 1 - un = �1 -�n +

11

�� - �1 - �1n

��= �

1n

� -�n +

11

� =�n (n

1+ 1)� .

(A) é falsa e (B) é verdadeira;

un + 1 = 1 -�n +

11

� ;

(C) é falsa; un + 1 - un =�n (n1+ 1)� ;

12.2. un = 2n + 1

u2n = 22n + 1 ; u3n = 23n + 1 ; u5n = 25n + 1

(A) é falsa; u2n = 22n + 1 ;

(B) é falsa; u3n = 23n + 1 ;

(C) é verdadeira; u5n = 25n + 1 ;

12.3.

• v2 = 2v1 + 3

• v2n - 1 = v(2n - 1 - 1) + 1 = v(2n - 2) + 1

= 2v2n - 2 + 3 , para n > 1 ;

(A) é falsa; v2 = 2v1 + 3 ;

(B) é falsa; v2n - 1 = 2v2n - 2 + 3 , para n > 1 ;

12.4.

(A) é verdadeira; un - 1 - un = - 3 , A n å N ;

(B) é falsa; �vn

v+

n

1� = �85

� , A n å N

± (vn) é uma progressão geométrica

de razão �85

� ;

12.5. a2 = 3 ; p. g.

an = a2 * r n - 2 ± an = 3 * r n - 2

Verdadeira;

12.6. (A) é falsa; por exemplo a progressão (un) :

- 1 , - �12

� , - �14

� , … , - ��12

��n - 1

é crescente e un < 0 , A n å N .

(B) é falso; exemplo anterior.

13. x , y , z estão em progressão aritmética de

razão r

x = y - r ; z = y + r

Se r = 2 , x = 1 + 2 = - 1 ; y = 1 ; z = 1 + 2 = 3

Se r = - 2 , x = 1 + 2 = 3 ; y = 1 ; z = 1 - 2 = - 1

3 , 1 , e - 1 .

14. Seja dn o dinheiro que o Vítor Pág. 62tem no banco decorridos n meses.

dn é uma progressão aritmética sendo d1 = 5500

e a razão r = 500 .

• dn = d1 + (n - 1) * r

dn = 5500 + (n - 1) * 500 § dn = 5000 + 500n

• dn = 50 000 § 5000 + 500n = 50 000

§ 500n = 45 000

§ n = 90

dn = 5000 + 500n ; 90 meses.

y = 1

r = ¿ 2

abc

§y = 1

r 2 = 4

abc

§y = 1

1 - r 2 = - 3

abc

§

y = 1

(1 - r) (1 + r) = - 3

abc

§

(y - r�) + y + (y + r�) = 3

(y - r).y.(y + r) = - 3

abc

v1 = 3

vn + 1 = �85

� vn

abc

u1 = 2

un + 1 = un - 3 , A n å N ,abc

v1 = 2

vn + 1 = 2 vn + 3 , A n å Nabc

1 - ��π2

��10

��1 - �

π2

�

112

Sucessões

15. Seja vn a quantidade de vinho existente na pipa

decorridos n dias

vn + 1 = vn - �14

� vn § vn + 1 = �34

� vn

§ �vn

v+

n

1� = �34

� , A n å N

v1 = 510 * �34

� = 382,5 l

(vn) é uma progressão geométrica de razão �34

� ,

sendo v1 = 382,5 , logo

v10 = v1.r 10 - 1 = 382,5 * ��34

��9

) 28,72 l .

16.1. 21 cm por 29,7 cm

A = (21 * 29,7) cm2 = 623,7 cm2 = 624 cm2 ;

16.2. An é uma progressão geométrica de razão �12

� .

An = A4 * ��12

��n - 4

An = 624 * ��12

��n - 4

A1 = 624 * ��12

��- 3

= 624 * 8 = 4992 cm2

A3 = 624 * ��12

��- 1

= 624 * 2 = 1248 cm2

A8 = 624 * ��12

��4

= 39 cm2 .

17. an + 1 - an = �12

� an ; a3 * a4 = �287�

17.1. an + 1 - an = �12

� an , A n å N

§ an + 1 = an + �12

� an , A n å N

§ an + 1 = �32

� an , A n å N ‚M

an > 0 , A n å N

§ �an

a+

n

1� = �32

� , A n å N

r = �32

� ;

17.2. a3 * a4 = �287�

a3 * a3 * r = �287�

(a3)2 * �

32

� = �287� § (a3)

2 = �94

� §a3 > 0

a3 = �32

�

an = a3 * r n - 3 = �32

� * ��32

��n - 3

= ��32

��n - 2

an = ��32

��n - 2

;

17.3.

Recorrendo à calculadora verifica-se que:

36 < an < 59 § n = 11 › n = 12

18.

= 2 * ��53

��4

*�35

4

4

--

11

� =�63215509

� .

19. P. g. : r = �12

� ; S6 = �683�

19.1. S6 = �683� § u1 �

11--

rr

6

� = �683�

§ u1 = �683�

§ u1 * = �683� § u1 �

6332� = �

683�

§ u1 * 63 = 63 * 4 § u1 = 4 ;

19.2. • un = u1 * r n - 1 ± un = 4 * ��12

��n - 1

§ un = 22 * 21 - n § un = 23 - n

• u20 = 23 - 20 = 2- 17 =�131

1072� ;

19.3. S = u20 �11--r1

r

0

� = 2- 17 *

= 2- 17 * 2 * �1 - �2110�� = 2- 16 (1 - 2- 10) .

20. Sn = 2186 ; an é uma p. g. ; Pág. 63a1 = 2 ; r = 3

Sn = 2186

§ a1 �11--

rr

n

� = 2186

§ 2 *�11--

33

n

� = 2186

§ 3n - 1 = 2186

§ 3n = 37

§ n = 7 .

1 - ��12

��10

��1 - �

12

�

�6634�

��12

�

1 - ��12

��6

�1 - �

12

�

= �53

� * �1120� *�5

3

4

4

((35

4

4

--

11))

�

�32

� *�34

3-4

1�

= �53

� *

�54

� *�54

5-4

1�

�34

3-4

1�

�23

�

= �53

� *

�54

5-4

1�

�45

�

1 - ��13

��4

�13

� *1 - �

13

�

=1 - ��

15

��4

�15

� *1 - �

15

�

�13

� + �19

� + �217� + �

811� @ p. g. de razão �

13

�

=�15

� + �215� + �

1125� + �

6125� @ p. g. de razão �

15

�

113M11FNAGP - 8

2187

729

243

81

27

1

3

3

3

3

33

2187 = 37

3 Limites de sucessões

21.

PG: u1 = 1 ; r = 3

S8 = u1 �11--

rr

8

� = 1 *�11--33

8

� = 3280

3280 pessoas.

22. x , y , z são termos consecutivos de uma pro-

gressão aritmética de razão r .

Então x = y - r e z = y + r

y + r , y - 1 , y - r são termos consecutivos de

uma progressão geométrica

Se r = 3 ; x = 5 - 3 = 2 ; y = 5 ; z = 5 + 3 = 8

Se r = - 3 ; x = 5 + 3 = 8 ; y = 5 ; z = 5 - 3 = 2

2 , 5 , 8 ou 8 , 5 , 2 .

23. x , xr , xr 2 são termos consecutivos de uma

progressão geométrica de razão r ;

4x , 5xr , 4xr2 estão em progressão aritmética;

Se r = 2 ; x = 10 ; xr = 20 ; xr 2 = 40 ;

Se r = �12

� ; x = 40 ; xr = 20 ; xr 2 = 10 ;

10 , 20 , 40 .

24. 1.a hipótese

20 * 50 Æ = 1000 Æ .

2.a hipótese

P. a. (an) , sendo a1 = 8 e r = 5

S20 =�a1 +

2a20� * 20 = (a1 + a1 + 19r) * 10

= (8 + 8 + 19 * 5) * 10 = 1110 Æ .

3.a hipótese

P. g. (an) , sendo a1 = �100,20

� = 0,002 e r = 2

S20 = a1 �11--rr

20

� = 0,002 *�11--22

20

�

= 0,002 * (220 - 1) = 2097,15 Æ .

A 3.a hipótese é a melhor e a 1.a é a pior.


1. lim ��1n� + 3� = 0 + 3 = 3 . Pág. 68

2. lim ��1n� - 3� = 0 - 3 = - 3 .

3. lim ��1n� + 5� = 0 + 5 = 5 .

4. lim �n +

n1

� = lim �1 + �1n�� = 1 + 0 = 1 .

5.1. Pág. 72

n > 9998 ± un > 100 ;

5.2.

n > 9 ± un > 100 ;

5.3.

n > 100 ± un > 100 .

6. un = - �n� + 1

6.1. - un = - �n� - 1 ;

6.2. - un > 100 § �n� - 1 > 100

§ �n� > 101 n > 0

§ n > 1012 § n > 10 201 .

x = 40

r = �12

�

abc

›x = 10

r = 2

abc

§

x + 2x + 4x = 70

r = �12

�

abc

›x + 2x + 4x = 70

r = 2

abc

§

x + xr + xr2 = 70

r = 2 › r = �12

�

abc

§

x + xr + xr2 = 70

2r2 - 5r + 2 = 0

abc

x 0 0 §

x + xr + xr2 = 70

4xr2 - 10xr + 4x = 0

abc

§

x + xr + xr2 = 70

4xr2 - 5xr = 5xr - 4x

abc

y = 5

r = ¿ 3

abc

§y = 5

r 2 = 9

abc

§

y = 5

25 - r2 = 16

abc

§

y = 5

�5

4- r� =�

54+ r�

adbdc

§

3y = 15 abc

§

(y - r) + y + (y + r) = 15

�yy--

1r

� =�yy-+

1r

�

adbdc

u1

1 3 9

u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8twuwv10 min

twuwv10 min

114

2r 2 - 5r + 2 = 0

r =�5 ¿�245 - 1�6��

r =�5 ¿

43

�

Sucessões

6.3. Seja L um número positivo qualquer.

- un > L § �n� - 1 > L § �n� > L + 1 n > 0

§ n > (L + 1)2 .

Sendo p o menor inteiro menor ou igual a

(L + 1)2 , podemos afirmar que

A L å R+ , E p å N : n > p ± - un > L ,

ou seja, - un " +? .

- un " +? § un " -? .

7.1. (an) é um infinitamente grande positivo;

7.2. (an) é um infinitamente grande negativo;

7.3. (an) é um infinitamente grande em módulo.

8. un = (- 1)n Pág. 73

8.1. - 1 , 1 , - 1 , 1 , - 1 , 1 ;

8.2. an = - 1 e bn = 1 .

9. Por exemplo: Pág. 749.1. un = (n - 4)2 ; u4 < u3 ‹ u5 > u4 ; un"+? ;

9.2. vn = - (n - 4)2 ; v4 > v3 ‹ v5 < v4 ; vn"-? ;

9.3. an = - �1n� ; (an) é crescente e an " 0 ;

9.4. bn = �1n� ; (bn) é decrescente e bn " 0 .

10. Por exemplo, Pág. 75

11. Por exemplo, na sucessão (un) do exemplo ante-

rior a sucessão dos termos de ordem ímpar é

limitada.

12. an = 8n + (- 1)n * 8n

12.1. a1 = 0 ; a2 = 32 ; a3 = 0 ;

a4 = 64 ; a5 = 0 ; a6 = 96 .

12.2. n = 1 n = 2 n = 3

32 = 16 * 2 64 = 16 * 4 96 = 16 * 6

un = (2n) * 16 = 32n

un = 32n , vn = 0

12.3. (an) não é um infinitamente grande. Se L ≥ 0

não existe uma ordem a partir da qual todos

os termos sejam maiores do que L . (Os ter-

mos de ordem ímpar são todos nulos.)

13.1. an = n + 1 " +? ; Pág. 76

13.2. bn = n2 + 2 " +? ;

13.3. cn = - n + 1 " -? ;

13.4. dn =�n +

11

�" 0 ;

13.5. en =�n2

1+ 2�" 0 ;

13.6. fn =�- n

1+ 1�" 0 .

14.1. lim �3n

1+ 2� = 0 ;

14.2.

Como �n +

13

�" 0 e �- n

1- 3�" 0 ,

(- 1)n �n +

13

�" 0 .

15. an =�12-nn

� Pág. 78

15.1. an + 1 - an =�12-(n(n++11))

� -�12-nn

�

=�2n-+n

2� -�

12-nn

�

=

=�2n (-2n

2+ 2)

� < 0 , A n å N

an + 1 - an < 0 , A n å N § (an) é monó-

tona decrescente;

15.2. an =�12-nn

� = - �12

� + �21n� , A n å N

0 < �1n� ≤ 1

0 < �21n� ≤ �

12

�

- �12

� < - �12

� + �21n� ≤ 0 , A n å N

- �12

� < an ≤ 0 , A n å N ± (an) é limitada;

15.3. Toda a sucessão monótona e limitada é con-

vergente.

16.

(un) é divergente porque tem duas subsucessões

com limites diferentes.

17. A afirmação é verdadeira porque se (an) fosse

convergente para L então todas as subsuces-

sões de (an) eram convergentes para L .

0 se n é ímpar ; 0 " 0 e 1 " 1

1 se n é par

abc

un =�1 + (

2- 1)n

� =

- 2n2� - 2n� + 2n2� - 2 + 2n��

2n (2n + 2)

�n +

13

� se n é par

�- n

1- 3� se n é ímpar

adbdc

(- 1)n *�n +

13

� =

n2 se n é par

1 se n é ímpar

abc

un =

115


18. lim (2 + un) = lim 2 + lim un = 2 + 3 = 5 . Pág. 79

19.1. lim �2 + �1n�� = lim 2 + lim �

1n� = 2 + 0 = 2 ;

19.2. lim ��n +n 1�� = lim �1 + �

1n�� = lim 1 + lim �

1n�

= 1 + 0 = 1 ;

19.3. lim ��n2 +

nn2

+ 1�� = lim �1 + �

1n� + �

n12��

= lim 1 + lim �1n� + lim �

n12� = 1 + 0 + 0 = 1 .

20. an " - 1 e bn " �13

� Pág. 81

20.1. lim (an + bn) = - 1 + �13

� = - �23

� ;

20.2. lim (an - bn) = - 1 - �13

� = - �43

� ;

20.3. lim (an * bn) = - 1 * �13

� = - �13

� ;

20.4. lim ��ab

n

n

�� = = - 3 ;

20.5. lim ��an

a+

n

bn��3

= � �3

= ��23

��3

= �287� .

21. Por exemplo:

an = (- 1)n e bn = (- 1)n * 2

an * bn = (- 1)n * (- 1)n * 2 = [(- 1)n]2 * 2 = 2 " 2 .

22.1. un =�1 +

nsin n� Pág. 83

- 1 ≤ sin n ≤ 1 , A n å N

0 ≤ 1 + sin n ≤ 2 , A n å N

1) 0 ≤�1 +

nsin n� ≤ �

2n� , A n å N

2)

De 1) e 2) pelo teorema das sucessões

enquadradas (TSE), lim un = 0 ;

22.2. un = ��n + c2ons (2n)��

2

- 1 ≤ cos (2n) ≤ 1 , A n å N

n - 1 ≤ n + cos (2n) ≤ n + 1 , A n å N

�n2–n1

� ≤�n + c2ons (2n)� ≤�

n2+n1

� , A n å N

‚M �

n2-n1

� ≥ 0 , A n å N

1) ��n2–n1

��2

≤ ��n + c2ons (2n)��

2

≤ ��n2+n1

��2

, A n åN

2)

De 1) e 2) , pelo TSE, lim un = �14

� .

23.1. lim (1 - n) = - ? ; Pág. 86

23.2. lim (n - 3) = + ? ;

23.3. lim (- n + 1) = - ? ;

23.4. lim ��- 3n2+ 2�� = �

12

� * (- ?) = - ? ;

23.5. lim ��1 -n n�� = lim ��

1n� - 1� = 0 - 1 = - 1 ;

23.6. lim ��1 -n n��

2

= lim ��1n� - 1�

2

= (0 - 1)2 = 1 ;

23.7. lim ��n--2n1

��3

= lim �- �12

� + �21n��

3

= �- �12

� + 0�3

= - �18

� ;

23.8.

�75n� " 0 e �

1n� " 0 ± an " 0 ;

23.9. lim ��n +2

1�� = �?

2� = 0 ;

23.10. lim ��2n4+n

3�� = lim ��

12

� + �43n�� = �

12

� + 0 = �12

� ;

23.11. lim ��2n2

n2

+ 1�� = lim �2 + �

n12�� = 2 + 0 = 2 ;

23.12. lim �- �12

� -�n +

11

��2

= �- �12

� - 0�2

= �14

� ;

23.13. lim ��nn

2

3� - �1n�� = lim ��

1n� - �

1n�� = 0 ;

23.14. lim [(n + 1)3 + n3] = + ? + ? = + ? ;

23.15. lim (- n2 - n3) = - ? - ? = - ? ;

23.16.

• lim �2 + �3n�� = 2 + 0 = 2

• lim ��2n2

n2

+ n�� = lim �2 + �

1n�� = 2 + 0 = 2

• lim an = 2 ;

23.17.��3

n�� + 1 se n é par

2 - ��1

n�� se n é ímpar

adbdc

an =

�2 +

n3

� se n é par

�2n2

n2

+ n� se n é ímpar

adbdc

an =

�75n� se n é ímpar

�1n� se n é par

adbdc

an =�6 +

7(-n

1)n

� =

lim ��n2–n1

��2

= lim ��12

� - �21n��

2

= ��12

� - 0�2

= �14

�

lim ��n2+n1

��2

= lim ��12

� + �21n��

2

= ��12

� + 0�2

= �14

�

addbddc

lim 0 = 0

lim �2n� = 0

adbdc

- 1 + �13

�

�- 1

- 1�

�13

�

116

Sucessões

• lim ��3

n�� + 1� = �?

3� + 1 = 0 + 1 = 1

• lim �2 - ��1

n�� = 2 - �?

1� = 2 - 0 = 2

��3

n�� + 1 " 1 e 2 - �

�1

n�� " 2

± (an) não tem limite.

24.1. lim �3nn

2

2

+-

12

� = lim �3nn

2

2� = �13

� ; Pág. 87

24.2. lim �n12

-+

n3

� = lim �-n2

n� = lim �

-n1� = 0 ;

24.3. lim �-

nn2

2

++

13n

� = lim �-nn2

2

� = - 1 ;

24.4. lim �n5 +

13-n2

n+3

5n� = lim �

-nn

5

3� = lim (- n2) = - ? ;

24.5. lim ��n +n1

� -�n2+n3

�� = lim �n +

n1

� - lim �n2+n3

�

= lim �nn

� - lim �2nn� = 1 - �

12

� = �12

� ;

24.6. lim ��1n

� +�n3

n+2

5�� = lim �

1n

� + lim �nn

3

2� = 0 + lim n

= 0 + ? .

25.1. lim �� = �lim�� Pág. 88

= �lim��= ��14

�� = �12

� ;

25.2. lim = lim

= lim = �0 + 0� + 1 = 1 .

26. un = �2n + 3�" +? ; Pág. 89

vn =�2n

1+ 1�" 0 ;

wn = " 0 ;

26.1. lim (un * vn) = lim ��2n + 3� *�2n

1+ 1��

= lim = lim

=��20++00�

� = 0 ;

26.2. lim �wvn

n� = lim

= lim = lim

= lim = = �12

� .

27.1. lim (- 2n3 + n2 + 1) Pág. 90= lim (- 2n3) = - ? ;

27.2. lim (n8 - n5) = lim n8 = + ? ;

27.3. lim (�n2 + 2� - n)

= lim

= lim = lim = 0 ;

27.4. lim (�n2 + n� - n)

= lim

= lim = lim

= lim = = �12

� ;

27.5. lim (n - �n2 + 1�)

= lim

= lim = lim = 0 ;

27.6. lim (�n2 + n� - �n2 + 1�)

= lim

= lim

= lim

= = �12

� .1 - 0��1 + 0� + �1 + 0�

n� �1 - �1n

��

n� ��1 + �1n

�� + �1 + �n12��

(n2� + n) - (n2� + 1)��

n �1 + �1n

�� + n �1 + �n12��

(�n2 + n� -�n2 + 1�) (�n2 + n� +�n2 + 1�)��

�n2 + n� +�n2 + 1�

- 1��n + �n2 + 1�

n2 - (n2 + 1)��n + �n2 + 1�

(n - �n2 + 1�) (n + �n2 + 1�)��

n + �n2 + 1�

1��1 + 0� + 1

n��

n� ��1 + �1n�� + 1�

n��

n �1 + �1n

�� + n

(n2 + n) - n2

��n2 + n� + n

(�n2 + n� - n) (�n2 + n� + n)��

�n2 + n� + n

2��n2 + 2� + n

(n2 + 2) - n2

��n2 + 2� + n

(�n2 + 2� - n) (�n2 + 2� + n)��

�n2 + 2� + n

�1 + 0� + 1��

4 + 0

n� ��1 + �n22�� + 1�

��n� �4 + �

2n

��

n �1 + �n22�� + n

��4n + 2

�n2 + 2� + n��

4n + 2

�2n

1+ 1�

��n2 +

2

2� + n�

n� ��2n

� + �n3�2��

��n� �2 + �

1n

��2n + 3��2n + 1

2��n2 + 2� + n

n� ��3n

� + �n1�2�� + 1�

��n�

n ��3n

� + �n12�� + n

��n

�3n + 1� + n��

n

n2��4n2�

n2 + 3�4n2 + 1

n2 + 3�4n2 + 1

117


28.1. lim �42n +

n

1� = lim �4n

2*

n

4� Pág. 91

= lim ��24

��n

* �14

� = 0 * �14

� = 0 ;

28.2. lim �46n +

n

1� = lim �4n

6*

n

4� = lim ��

64

��n

* �14

�= + ? * �

14

� = + ? ;

28.3. lim �1 +

25

n

n + 1� = lim �1 +

25

n

n * 5�

= lim

= lim =�0 +

05

� = 0 ;

28.4. lim �33

n +

n

1

-+17

�

= lim =�31+-

00

� = 3 ;

28.5. lim �24

n

n

++

38

�

= lim = lim =�01++

00

� = 0 ;

28.6. lim �2n

6-

n

3n

� = lim ��26

��n

- ��36

��n

= 0 - 0 = 0 ;

28.7. lim (2n + 1 - 2n) = lim (2n * 2 - 2n) = lim 2n = +? ;

28.8. lim �1 - ��23

��n

� = 1 - 0 = 1 ;

28.9. lim �1 - ��32

��n

� = 1 - (+ ?) = - ? .

29.1. un = ��2nn+ 3��

n

• �2n

n+ 3� ≥ 0 , A n å N

• �2n

n+ 3� ≤ �

2nn� , A n å N ,

porque 2n + 3 ≥ 2n , A n å N

0 ≤�2n

n+ 3� ≤ �

2nn�

0 ≤�2n

n+ 3� ≤ �

12

� , A n å N

1) 0 ≤ ��2nn+ 3��

n

≤ ��12

��n

, A n å N

2)

De 1) e 2) pelo TSE, lim un = 0 ;

29.2. un = ��6n3+n

1��

n

• �6n

3+n

1� ≥ 0 , A n å N

• �6n

3+n

1� ≤ �

36nn� , porque 6n + 1 ≥ 6n , A n å N

0 ≤�6n

3+n

1� ≤ �

36nn� , A n å N

1) 0 ≤ ��6n3+n

1��

n

≤ ��12

��n

, A n å N

2)

De 1) e 2) pelo TSE, lim un = 0 ;

29.3. un = ��8n2+n

1��

2n

• �8n

2+n

1� ≥ 0 , A n å N

• �8n

2+n

1� ≤ �

28nn� , porque 8n + 1 ≥ 8n , A n å N

0 ≤�8n

2+n

1� ≤ �

28nn� , A n å N

1) 0 ≤ ��8n2+n

1��

2n

≤ ��14

��2n

, A n å N

2)

De 1) e 2), pelo TSE, lim un = 0 .

30.1. �19

� , �217� , �

811� , … ; a1 = �

19

� ; Pág. 93

r = �13

� ; \r|< 1

S = = �16

� ;

30.2. 4 , - 2 , 1 , - �12

� , �14

� , … ; a1 = 4 ;

r = - �12

� ; \r|< 1

S = = �83

� ;

30.3. 2 , 4 , 8 , 16 , … ; a1 = 2 ; r = 2 > 1

Sn é divergente

lim Sn = lim �2 *�11--

22

n

� = + ? .

4�1 - �- �

12

��

�19

�

�

1 - �13

�

lim 0 = 0

lim ��14

��2n

= lim ��14

��2

n

= lim ��116��

n

= 0

adbdc

lim 0 = 0

lim ��12

��n

= 0

adbdc

lim 0 = 0

lim ��12

��n

= 0

adbdc

��24

��n

+ �43n�

��1 + �

48n�

�24

n

n� + �43n�

�1 + �

48n�

�3n�

3*n�

3� + �

37n�

��1 - �

31n�

��25

��n

�

�51n� + 5

�25

n

n�

��

�51n� +�

5n

5*n

5�

118

Sucessões

31.1. 0,(45) = 0,45 + 0,0045 + 0,000 045 +… Pág. 94

=�1 -

0,405,01� =�

00,,4959

� = �4959� = �

151� ;

31.2. 0,(451) = 0,451 + 0,000 451 + 0,000 000 451 +…

=�1 -

0,405,0101

� =�00,,495919

� = �495919

� ;

31.3. 0,2(12) = 0,2 + 0,012 + 0,000 12 + 0,000 001 2 +…

= �120� +�

10-,001,201

� = �120� +�

00,,09192

�

= �120� +�

91920

� = �373� .

32.1. lim �1 + �1n

��n - 1

Pág. 97

= lim �1 + �1n

��n

* lim �1 + �1n

��- 1

= e * 1 = e ;

32.2. lim �1 +�n +

13

��n

= lim �1 +�n +

13

��(n + 3) - 3

= lim �1 +�n +

13

��n + 3

* lim �1 +�n +

13

��- 3

= e * 1 = e ;

32.3. lim �1 + �1n

��8n

= lim �1 + �88n��

8n

= e8 ;

32.4. lim �1 + �1n

��n2

�= �lim �1 + �

1n

��n

�12

�= e

�12

�= �e� ;

32.5. lim �1 + �1n

��- 3n

= �lim �1 + �1n

��n

- 3

= e- 3 ;

32.6. lim �1 + �31n��

n

= lim �1 + �n

= e�13

�= �

3e� ;

32.7. lim �1 - �21n��

n

= lim �1 - �n

= e- �

12

�= �

�1

e�� = �

�ee�� ;

32.8. lim �1 + �34n��

n

= lim �1 + �n

= e�43

�= �

3e4� ;

32.9. lim ��nn-+

12

��n

= lim � �n

= = �ee

-

2

1

� = e- 3 ;

32.10. lim ��nn2

2++

15

��n2

= lim � �n2

= = �ee

1

5� = e- 4 ;

32.11. lim ��55nn-+

23

��3n

= lim � �3n

= � �3

= (e- 1)3 = e- 3 ;

32.12. lim �1 + �21n��

2n + 1

= lim �1 + �21n��

2n * 2

= �lim �1 + �21n��

2n

2

= e2 .

33. M = C �1 + �ni��

nt Pág. 100

C = 10 000 Æ ; i = 0,033 ; t = 3

33.1. n = 2

M = 10 000 �1 +�0,0

233��

2 * 3

= 11 031,75 Æ ;

33.2. lim �10 000 �1 +�0,0

n33��

3n

= 10 000 �lim �1 +�

0,0n33��

n

3

= 10 000 (e0,033)3

= 10 000 e0,099 ) 11 040,66 Æ .

34.Pág. 103

34.1. Seja A(n) a condição un = 1 + 21 - n

i) A(1) é verdadeira, pois

u1 = 1 + 21 - 1 § 2 = 1 + 20 § 2 = 2 .

ii) A(p) ± A(p + 1)

Hipótese: up = 1 + 21 - p

Tese: up + 1 = 1 + 2p \ 1 + 21 - (p + 1) = 1 + 2p

up + 1 =�1 +

2up� = �

12

� + �12

� up ‚M

por hipótese

= �12

� + �12

� (1 + 21 - p)

u1 = 2

un + 1 =�1 +

2un� , A n å N

adbdc

e- �

25

�

�

e�35

�

1 - �52n�

�1 + �

53n�

lim �1 + �n12��

n2

��lim �1 + �

n52��

n2

1 + �n12�

�1 + �

n52�

lim �1 - �1n

��n

�lim �1 + �

2n

��n

1 - �1n

�

�1 + �

2n

�

�43

�

�n

�12

�

�n

�13

�

�n

119

� lim �1 - �n

3

=

lim �1 + �n

�35

�

�n

�25

�

�n

a1 = 0,45

r = 0,01

a1 = 0,451

r = 0,001

a1 = 0,012

r = 0,01


= �12

� + �12

� + �12

� * 21 - p

= 1 + 2- 1 * 21 - p = 1 + 2- p

\ A(p) = A(p + 1)

De i) e ii) , pelo princípio de indução mate-

mática, podemos concluir que:

un = 1 + 21 - n , A n å N

34.2. lim (un)2n = lim (1 + 21 - n)2n = lim �1 + �

22n��

2n

= e2 .

1. (A) A sucessão n1 1 - �1n� Pág. 108

é crescente e tende para 1 ;

(B) A sucessão n1

não é limitada superiormente e não tende

para + ? ;

(C) A sucessão un = (n - 2)2 não é crescente

(u2 < u1 ‹ u3 > u2) e tende para + ? ;

(G) A sucessão un = (- 1)n * �1n� é um infinité-

simo e não é monótona;

(I) A sucessão an = (- 1)n é limitada e diver-

gente;

(J) A sucessão an = (- 1)n é não convergente e

limitada;

(K) Se un " a , a partir de certa ordem p ,

todos os termos de (un) pertencem ao

intervalo I = ]a - ∂ , a + ∂[ , por muito

pequeno que seja ∂ > 0 . Logo, o número

de termos que não pertencem a I é finito.

(L) O exemplo dado em (G) .

(M) Por exemplo, se an = 1 + �1n

� , (an) é decres-

cente, an > 0 , A n å N e an " 1 .

(N) Se un > 0 , A n å N e (un) é conver-

gente, então lim un ≥ 0 .

(P) A sucessão un = - 2 + �1n

� tem todos os ter-

mos negativos e un " - 2 , logo, tende

para - 5 + 3 (m = - 5) .

(Q) A sucessão un =�(-

n1)n

� é não monótona, limi-

tada e convergente.

2.1. a2 = �14

� a1 ; a3 = �14

� a2


� ;

a1 = 1

Logo, an = a1 * r n - 1 § an = ��14

��n - 1

§ an = 41 - n ;

2.2. an = ��14

��n - 1

= ��14

��- 1

* ��14

��n

= 4 * ��14

��n

lim an = lim �4 * ��14

��n

= 4 * 0 = 0 ,

porque \�14

�|< 1 .

3.1. r1 = �π1

� ; Pág. 109

c1 = �14

� * 2 π r1 = �12

� * π * �π1

� = �12

� ‚M

r2 = �12

� * r1

c2 = �14

� * 2 π r2 = �12

� * π * �21π� = �

14

� ‚M

r3 = �12

� * r2

c3 = �14

� * 2 π r3 = �12

� * π * �41π� = �

18

� ‚M

r4 = �12

� * r3

c4 = �14

� * 2 π r4 = �12

� * π * �81π� = �

116� ‚M

r5 = �12

� * r4

c5 = �14

� * 2 π r5 = �12

� * π *�161π

� = �312� ;

3.2. (cn) é uma progressão geométrica de razão �12

� .

cn = c1 * rn - 1 § cn = �12

� * ��12

��n - 1

§ cn = ��12

��n

lim cn = lim ��12

��n

= 0

Logo, (cn) é um infinitésimo.

3.3. S10 = c1 �11--r1

r

0

� = �12

�. = 1 -�10

124� =�

11002234

� .

4.1. An = �12

� 2 π rn = π rn‚M

An = π * r ��12

��n - 1

A1 = π * r ;

A2 = π * r * �12

� = �π2r

� ;

A3 = π * r * �14

� = �π4r

�

A4 = π * r * �18

� = �π8r

� ;

A5 = π * r * �116� = �

π16

r� ;

4.2. A sucessão (dn) dos diâmetros é uma progres-

são geométrica de razão �12

� sendo d1 = 2r .

Sp = �381� r § d1 = �

381� r

§ 2 r = �381� r

§ 4 r �1 - ��12

��p

� = �381� r

1 - ��12

��p

��12

�

1 - ��12

��p

�1 - �

12

�

rn é uma p. g. de razão

�12

� sendo r1 = r

1 - ��12

��10

��1 - �

12

�

n se n é par

2 se n é ímparabc

120

Sucessões

§r > 0

1 - ��12

��p

= �381� r� * �

41r�

�

§ ��12

��p

= 1 - �3312� § ��

12

��p

= �312�

§ ��12

��p

= ��12

��5

§ p = 5 .

5.1. lim �1 + �1n

�� = 1 + 0 = 1 ;

5.2. an = (- 1)n.�n2

n+

3

1�

=

• lim ��n2

n+

3

1�� = lim �

nn

3

2� = lim n = + ?

• lim �-�n2

n+

3

1�� = - ?

Não existe lim (an) ;

5.3. lim (n + (- 1)n * 3)

= lim n = + ? ; | ((- 1)n * 3 = ¿ 3)

5.4. an = 3 + (- 1)n * 3 =

Como 6 " 6 e 0 " 0 , não existe lim (an) ;

5.5. lim �n + (

n- 1)n

� = lim �nn

� = 1 ; | ((- 1)n = ¿ 1)

5.6. lim �n-+3n

1� = lim �

-n3n� = - �

13

� ;

5.7. lim �n

n-

2

1� = lim �

nn2� = lim �

1n

� = 0 ;

5.8. lim �1-+n2

n� = lim �

-nn2

� = lim (- n) = - ? .

6.1. lim �63

n

n� = lim ��63

��n

= lim 2n = + ? ; Pág. 110

6.2. lim �27

-

-

n

n� = lim ��27

��- n

= lim ��72

��n

= + ? ; \ ��72

� > 1�

6.3. lim �72

-

-

n

n� = lim ��72

��- n

= lim ��27

��n

= 0 ; \ ��27

�< 1�

6.4. lim ��3nn++31

��3

= �lim �3nn��

3

= ��13

��3

= �217� ;

6.5. lim =�+

4?� - = + ? .

7. S = 8 e r = - �14

�

S = 8 § = 8

§ = 8 § a1 = 10

a4 = a1 * r4 - 1 = 10 * �- �14

��3

= - �1604� = - �

352� .

8. • A sucessão (dn) das descidas é uma progressão

geométrica de razão 0,75 , sendo d1 = 4 .

• A sucessão (sn) das subidas é uma progressão

geométrica de razão 0,75 , sendo

s1 = d2 = 4 * 0,75 = 3 .

A distância percorrida é

Sd + Ss =�1 -

d01

,75� +�

1 -s01

,75� =�

0,425� +�

0,325�

= 16 + 12 = 28 .

9. vn =�3 + (

n-+1)1

n * 3� =

9.1. v1 = 0 ; v2 =�2 +

61

� = 2 ; v3 = 0 ;

v4 = �65

� ; v5 = 0 ; v6 = �67

� ;

9.2. 0 <�n +

61

� ≤�2 +

61

� (n par)

logo, 0 ≤ vn ≤ 2 , A n å N

(vn) não é monótona (v2 > v1 e v3 < v2) ;

(vn) é limitada (0 ≤ vn ≤ 2 , A n å N) ;

9.3. Como 0 " 0 e �n +

61

�" 0 , lim vn = 0 .

10. un =�2nn++

21

�

10.1. un + 1 - un =�2(nn++

11)++2

1� -�

2nn++

21

�

=�2nn++33

� -�2nn++21

�

=

=�(2n + 3

-) (

32n + 1)� < 0 , A n å N

(un) é monótona decrescente;

10.2. lim un = lim �2nn++

21

� = lim �2n�n�� = �

12

� ;

10.3. un - �12

� ≤ 10- 3 § �2nn++21

� - �12

� ≤�10

100�

§ �2n +

44n-+

22n - 1

� <�10

100�

§ �4n

3+ 2� ≤�

10100� §

4n + 2 > 03000 ≤ 4n + 2

§ 4n ≥ 2998 § n ≥ 749,5n å N§ n ≥ 750 .

2n2� + n + 6n + 3 - 2n2� - 3n - 4n - 6��

(2n + 3) (2n + 1)

0 se n é ímpar

�n +

61

� se n é par

adbdc

a1�

�54

�

a1��1 - �- �

14

��

3 * 5n + 6 * 5n - 1 - 1��

4

6 se n é par

0 se n é ímparabc

�n2

n+

3

1� se n é par

-�n2

n+

3

1� se n é ímpar

adbdc

121


11. Por exemplo:

11.1. un = - �1n

� ;

11.2. vn = �1n

� ;

11.3. wn = (- 1)n �1n

� .

12. Por exemplo:

12.1. un = 5 - �1n

� ;

12.2. vn = 5 + �1n

� ;

12.3. wn = 5 +�(-

n1)n

� .

13.1. c1 = c2 = c3 = c4 = cn = 3 Pág. 111cn = 3 ; lim cn = 3 ;

13.2. un = c (constante) ± lim un = c

Se un = c , qualquer que seja ∂ å R+ , tem-se,

a partir de qualquer ordem p ,

|un - c| = |c - c| = 0 < ∂ .

Então, un " c .

14.

14.1. u2 = �74

� * 3 = �241� ;

u3 = �74

� * �241� = �

11467

� ;

u4 = �74

� * �11467

� =�106249

� ;

14.2. (un) é uma progressão geométrica de razão �74

�

e u1 = 3 .

un = 3 * ��74

��n - 1

;

14.3. Com �74

� > 1 lim un = + ?

A área aumentava indefinidamente tendendo

para + ? .

14.4. a10 = 3 * ��74

��9

A área do 2.° círculo é 3 * ��74

��19

cm2

π r 2 = 3 * ��74

��19

§ r = �3 * ��74

��19

* �π1��

§ r ) 198,997 cm

2r ) 397,99 cm ) 3,98 m .

15. Os lados estão em progressão geométrica ln de

razão �12

�

ln = l * ��12

��n - 1

Então An = (ln)2 = �l * ��

12

��n - 1

�2

= l2 * ��14

��n - 1

An é uma progressão geométrica de razão �14

� ,

sendo A1 = l2 .

S = = = �43

� l2 .

16. Por exemplo: Pág. 11216.1. an = n e bn = 2n ;

16.2. an = n e bn = n - �1n

� ;

16.3. an = 2n e bn = n ;

16.4. an = n + 3 e bn = n ;

16.5. Não é possível. Se an" +? e bn" +? ,

an * bn " +? ;

16.6. an = n2 e bn = n ;

16.7. an = n e bn = n2 ;

16.8. an = 5n e bn = n .

17. an =�n +

11

� +�n +

12

� +… +�2n

1- 1� + �

21n�

= �n

k = 1�n

1+ k�

an + 1 =�n +

12

� +�n +

13

� +… + �21n� +�

2n1+ 1� +�

2n1+ 2�

= �n + 1

k = 1�n +

11 + k�

an + 1 - an =�n +

12

� +�n +

13

� +… + �21n� +�

2n1+ 1� +

+�2n

1+ 2� - ��n +

11

� +�n +

12

� +… + �21n��

=�2n

1+ 1� +�

2n1+ 2� -�

n +1

1�

=�2n

1+ 1� +�

2 (n1+ 1)� -�

n +1

1�

2(n + 1) 2n + 1 2 (2n + 1)

=

= > 0 , A n å N

an + 1 - an > 0 , A n å N ± (an) é monótona

crescente.

an =�n +

11

� +�n +

12

� +… + �21n� < �

1n

� + �1n

� +… + �1n

� ,

A n å N

an < n * �1n

� , A n å N

1��2 (n + 1) (2n + 1)

2n + 2 + 2n + 1 - 4n - 2��

2 (n + 1) (2n + 1)

l2�

�34

�

A1�1 - �

14

�

u1 = 3

un + 1 = �74

� un , A n å N

adbdc

122

Sucessões

• an < 1 , A n å N

• Como (an) é crescente, tem-se an ≥ a1 ,

A n å N , ou seja, an ≥ �12

� , A n å N

�12

� ≤ an < 1 , A n å N ± (an) é limitada.

(an) é convergente porque toda a sucessão

monótona e limitada é convergente.

18.1. �80n0

� + (- 1)n =

�80n0

� - 1 " - 1 e �80n0

� + 1 " 1

A sucessão é divergente oscilante;

18.2. lim �800 +�(-

n1)n

�� = 800 + 0 = 800

É convergente;

18.3. 800 + (- 1)n * n =

800 - n" -? e 800 + n" +?

É divergente oscilante;

18.4. n2 [(- 1)n + 1] =

2n2 " +? e 0 " 0

É divergente oscilante;

18.5. lim (3n + (- 1)n) = lim 3n = + ?

É propriamente divergente;

18.6. lim �3 + (-

n12

)n * n� = lim �

(-n1

2

)n n� = lim �

(-n1)n

� = 0

É convergente.

19.1. lim an = lim �11-+3nn

2

2� = lim �-

n3

2

n2� = - �13

�

lim bn = lim �1 +

n2

n3� = lim �nn

2

3� = lim �1n

� = 0

cn =

�n-+53

� - 5 " - 5 ; �n +

53

� - 5 " - 5

lim cn = - 5 ;

19.2. • an =�11-+3nn

2

2�

an + 1 - an =�11-+3((nn++11))

2

2� -�11-+3nn

2

2�

= > 0 , A n å N

± (an) é monótona crescente

± an ≥ a1 , A n å N

± an ≥ - 1 , A n å N

1 + n2 > 0 , A n å N e 1 - 3n2 < 0 ,

A n å N ± an < 0 , A n å N

logo, - 1 ≤ an < 0 , A n å N

• bn =�1 +

n2

n3�

0 < n2 < 1 + n3 , ± 0 <�1 +

n2

n3� < 1 ,

A n å N

logo, 0 < bn < 1 , A n å N

• cn =

Se n é ímpar Se n é par

0 <�n +

53

� ≤ �54

� 0 <�n +

53

� ≤ 1

- �54

� - 5 ≤ -�n +

53

� - 5 < - 5 - 5 <�n +

53

� - 5 ≤ - 4

- �245� ≤ cn < - 5 , A n å N - 5 < cn ≤ - 4 , A nåN

Logo, - �245� ≤ cn ≤ - 4 , A n å N ;

19.3. A afirmação é falsa. Se a sucessão não for

monótona, o limite pode não ser majorante

nem minorante do conjunto dos termos (por

exemplo, cn " - 5 e - 5 não é majorante

nem minorante do conjunto dos termos de

(cn)).

Pág. 113

20. tn = n + (- 1)n + 1 (n + 3) =

2n + 3 " +? ; - 3 " - 3

20.1. (tn) não é limitada superiormente porque a

subsucessão dos termos de ordem ímpar é um

infinitamente grande positivo.

(tn) não é um infinitamente grande porque a

subsucessão dos termos de ordem par é con-

vergente.

20.2. Se, por exemplo, sn = �n12� ,

sn.tn =

lim �2n

n+2

3� = lim �

2nn2� = lim �

2n

� = 0 ; lim �-n2

3� = 0 .

Logo, (sn.tn) " 0 .

�2n

n+2

3� se n é ímpar

- �n32� se n é par

adbdc

2n + 3 se n é ímpar

- 3 se n é par

abc

-�n +

53

� - 5 se n é ímpar

�n +

53

� - 5 se n é par

adbdc

8n + 4��(3n2 - 1) (3n2 + 6n + 2)

�n-+53


�n +

53

� - 5 se n é par

adbdc

2n2 se n é par

0 se n é ímpar

abc

800 - n se n é par

800 + n se n é ímpar

abc

�80n0

� + 1 se n é par

�80n0


adbdc

123


21.1. lim �1 +

8n--n2

3n2

� = lim �--

3nn2

2

� = 3 ;

21.2. lim � + 3� = lim + 3

= + 3 = 4 ;

21.3. lim = lim

= = 0 ;

21.4. lim (�n2 + 1� - n)

= lim

= lim = 0 ;

21.5. lim (�n3 + 1� -�n2 + 2�)

= lim

= lim

= lim =

= = + ? ;

21.6. lim = lim

= lim = = 1 ;

21.7. lim �nn+-

((--

11))

n

n� = lim �nn

� = 1 ;

21.8. lim �4n

4

+

n

1 ++

33

n

n

+ 1

� = lim

= lim =�4 +1 +

0 *0

3� = 4 .

22.1.1. P1 = �12

� * 2 π R1 = π R ;

P2 = �12

� * 2 π R2 = �π2R� ;

P3 = �12

� * 2 π R3 = �π4R� ;

22.1.2. (Pn) é uma progressão geométrica de razão �12

� .

Pn = P1 ��12

��n - 1

= π R ��12

��n + 1

Pn = π R * ��12

��n - 1

;

22.1.3. lim Pn = lim �π R * ��12

��n - 1

� = 2 π R * ��12

��n

= 0 ;

22.2.1. a1 = �π2R2

� ; a2 = �12

� * π ��R2

��2

= �π8R2

� ;

a3 = �12

� * π ��R4

��2

= �π32R2

� ;

22.2.2. (an) é uma progressão geométrica de razão �14

� .

an = a1 ��14

��n - 1

=�π2R2

� * ��14

��n - 1

= 2 π R2 ��14

��n

;

an = 2 π R2 ��14

��n

;

22.2.3. lim an = lim �2 π R2 ��14

��n

= 0 .

lim an = 0 ; a área de cada um dos sucessivos

semicírculos vai-se aproximando de 0 .

23.1. A sucessão dos diâmetros Pág. 114[T0 T1] , [T1 T2] , … é uma progressão geomé-

trica dn de razão �12

� , sendo d1 = T�0��T�1� . Logo,

S = = = 2 T�0��T�1� = T�0��T�� c.q.d.

23.2. A sucessão rn dos raios das circunferências cn é

uma progressão geométrica de razão �12

� , sendo

r1 = �12

� T�0��T�1� = �12

�

Logo, rn = �12

� * ��12

��n - 1

= ��12

��n

A sucessão pn dos comprimentos das circun-

ferências cn é dada por pn = 2 π * rn , ou

seja,

pn = 2 π ��12

��n

= π ��12

��n - 1

(Pn) é uma progressão geométrica de razão �12

� ,

sendo P1 = π . Logo,

S = = = 2 π ;π��12

�

P1�1 - �

12

�

T�0��T�1��12

�

d1�1 - �

12

�

4 + ��34

��n

* 3

��

1 + ��34

��n

�4n

4*n

4� +�

3n

4*n

3�

��44

n

n� + �34

n

n�

�1 + 0� + 0��

1 + 0

n� ��1 + �1n

�� + �3n

��

n� �1 + �1n

��

n �1 + �1n�� + 3

��n + 1

�n2 + n� + 3��

n + 1

1 - 0 - 0��0 + 0� +�0 + 0�

n3� �1 - �1n

� - �n13��

��n3� ��

n13� + �

n1�6�� + ��

n14� + �

n2�6��

n3 + 1 - n2 - 2��

n3 ��n13� + �

n1�6�� + n3 ��

n14� + �

n2�6��

(�n3 + 1� -�n2 + 2�) (�n3 + 1� +�n2 + 2�)��

�n3 + 1� +�n2 + 2�

n2� + 1 - n2��n2 + 1� + n

(�n2 + 1� - n) (�n2 + 1� + n)��

�n2 + 1� + n

�0 + 0��

1 + 0

n2� ��1n

� + �n12��

��

n2� �1 + �n12��

n �n + 1��

n2 + 1

0 + 1��1 + 0�

n4� ��n14� + 1�

��

n4� �1 + �n18��

1 + n4

��n8 + 1�

124

Sucessões

23.3. A sucessão (an) das áreas dos círculos limita-

dos por cn é

an = π * (rn)2 = π ��

12

��n

2

= π * ��14

��n

= �π4

� ��14

��n - 1


� ,

sendo a1 = �π4

� . Logo, a soma das áreas de

todos os círculos limitados por cn é

S =�1a-1

r� = = = �

π4

� * �43

� = �π3

�

A área do círculo é c = π * 12 = π .

A área pedida é π - �π3

� = �23π� .

24.1. Pelo teorema de Pitágoras

(ln)2 = (ln + 1)

2 + (ln + 1)2

(ln)2 = 2 (ln + 1)

2

‚M

ln > 0 , A n å Nln =�2� ln + 1

Então,

�lnl+

n

1� = ��22�� , ou seja (ln) é uma

progressão geométrica de razão ��22�� .

• ln = l1 * ��22��

n - 1

= 2 * ��22��

n - 1

an = (ln)2 = �2 * ��

�22��

n - 1

2

= 4 * ��22��

2

n - 1

= 4 * ��12

��n - 1

(an) é uma progressão geométrica de razão

�12

� , sendo a1 = 4 ;

24.2. S = = = 8 .

8 u.a. ;

24.3. A espiral é formada pela sucessão sn de arcos

de circunferência, sendo s1 = �14

� * 2 π * 2 = π

sn = �14

� * 2 π * ln = �14

� * 2 π * 2 * ��22��

n - 1

= π * ��22��

n - 1

(sn) é uma progressão geométrica de razão ��22�� .

Como \��22��|< 1 ,

en = = =

= =

= π (2 +�2�) .

25. A(p + 1) § 3p + 1 = 2p + 3 .

26.1. �5

a = 1a2 = =�

5 * 66* 11� = 55 ;

26.2. �10

a = 5a2 = �

10

a = 1a2 - �

4

a = 1a2

=�10 * 161 * 21� -�

4 * 56* 9

� = 355 .

27. Não. O facto de se saber que a condição se veri-

fica para alguns valores de n não permite con-

cluir que é universal.

28. Não. Pela justificação apresentada Pág. 115no número anterior.

29.1. Seja A(n) a condição

2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)

i) A(1) é verdadeira, pois 2 = 1 (1 + 1)

§ 2 = 2 .

ii) A(p) min ± A(p + 1) ;

Hipótese: 2 + 4 + 6 +… + 2p = p (p + 1)

Tese: 2 + 4 + 6 +… + 2p + 2 (p + 1)

= (p + 1) (p + 2)

2 + 4 + 6 +… + 2p + 2 (p + 1) ‚M

por hipótese twwwuwwwv

= p (p + 1)+ 2 (p + 1)

= (p + 1) (p + 2)

\ A(p) ± A(p + 1)

Por i) e ii) podemos concluir, pelo princípio

de indução matemática, que A(n) é universal

em N ;

29.2. Seja A(n) a condição

1 (1 + 1) + 2 (2 + 1) + 3 (3 + 1) +… + n (n + 1)

=�n (n + 13) (n + 2)�

i) A(1) é verdadeira, dado que

1 (1 + 1) =�1 (1 + 13) (1 + 2)� § 2 = 2 .

5 (5 + 1) (2 * 5 + 1)��

6

2 π (2 +�2�)��

4 - 22 π (2 +�2�)

��(2 -�2�) (2 +�2�)

2 π�2 -�2�

π�

�2 -

2�2��

s1�

1 - ��22��

4�

�12

�

a1�1 - �

12

�

ln

Qn Qn + 1

ln + 1ln

�π4

�

��34

�

�π4

�

�1 - �

14

�

125


ii) A(p)± A(p + 1) .

Hipótese:

1 (1 + 1) + 2 (2 + 1) + 3 (3 + 1) +… +

+ p (p + 1) =�p (p + 13) (p + 2)�

Tese:

1 (1 + 1) + 2 (2 + 1) + 3 (3 + 1) +… +

+ p (p + 1) + (p + 1) (p + 2)

=

1 (1 + 1) + 2 (2 + 1) +… + p (p + 1) + (p + 1) (p + 2)twwwwwwwuwwwwwwwv

‚M

por hipótese

=�p (p + 13) (p + 1)� + (p + 1) (p + 2)

=

=

\ A(p) ± A(p + 1) .

Por i) e ii) podemos concluir, pelo princí-

pio de indução matemática, que A(n) é

universal em N .

29.3. Seja A(n) a condição 64n - 1 = 9k , para k åZ

i) A(1) é verdadeira

641 - 1 = 9k para k å Z § 63 = 9k ,

para k å Z

Proposição verdadeira dado que 63 = 9 * 7 .

ii) A(p)± A(p + 1)

Hipótese: 64p - 1 = 9k , para k å Z

Tese: 64p + 1 - 1 = 9k2 , para k2 å Z

64p + 1 - 1 = 64p * 64 - 1

= 64p * (63 + 1) - 1

= 63 * 64p + 64p - 1 ‚M

por hipótese tuv

= 9 * 7 * 64p + 9k1

= 9 * (7 * 64p + k1)‚M= 9k2

A(p)± A(p + 1)

De i) e ii) , pelo princípio de indução mate-

mática, 64n - 1 é múltiplo de 9 , A n å N .

30. an = an2 + bn + c

an = 2n2 - 6n + 7 .

a = 2

b = - 6

c = 7

adbdc

§

c = 3 - 2 + 16

b = - 6

a = 2

adbdc

§

c = 3 - a - b

b = - 3a

15a - 9a = 12

adbdc

§

c = 3 - a - b

3a + b = 0

15a + 3b = 12

adbdc

§

c = 3 - a - b

4a + 2b + 3 - a - b = 3

16a + 4b + 3 - a - b = 15

adbdc

§

a + b + c = 3

4a + 2b + c = 3

16a + 4b + c = 15

adbdc

§

a1 = 3

a2 = 3

a4 = 15

adbdc

k2 = 7 * 64p + k1 å Z ,

A p å N , A k1 å Z

(p + 1) (p + 2) (p + 3)��

3

p (p + 1) (p + 2) + 3 (p + 1) (p + 2)��

3

(p + 1) (p + 2) (p + 3)��

3

126

127

128

Pop Ma Nu a is 11

Documents

nmero de quilos

ponto mdio

nmero de embalagens

6x 3y

pontos de

se de resolver

estritamente

2x 3y