Ponencia

“Un sistema experto desarrollado en elsoftware Mathematica para analizar

funciones de R en R”VII FAST WORKSHOP ON APPLIED AND COMPUTATIONAL MATHEMATICS

Robert Ipanaqué Chero

[email protected]

http://www.unp.edu.pe/pers/ripanaque

Trujillo, 08 de Enero de 2014

1

IntroducciónEsta presentación describe el nuevo sistema expertoFunctions, codificado en el lenguaje de programación delMathematica v.9.0. Este sistema experto amplía lascapacidades del Mathematica para analizar funciones realesde variable real.

Específicamente se ha conseguido mejorar las gráficas de lasfunciones definidas a trozos, implementar comandos pararealizar operaciones concernientes al álgebra de funciones yautomatizar el cálculo de la función inversa.

La descripción se hace mostrando, inicialmente, los comandoscon los que cuenta el Mathematica para analizar funciones yluego se muestran los comandos incorporados en el nuevosistema experto; de esta manera el lector puede comparar lassalidas obtenidas.

2

El MathematicaEl Mathematica es un Sistema de Álgebra Computacional(SAC), es decir, es un programa de ordenador que facilita elcálculo simbólico (trabaja con ecuaciones y fórmulassimbólicamente, en lugar de numéricamente).

Cálculo numérico: 4 + 36− 1 −→ 39Cálculo simbólico: 7x − 3x + 6 −→ 4x + 6

Mathematica

Una característica muy importante del Mathematica es que efectúa la reduc-ción de cuantificadores. Esto puede apreciarse al calcular el dominio de lasiguiente función.

In[1]:= Reduce

[∃y

(y =

√2|x |−x2+2√

x(3x−2)

), Reals

]Out[1]= 2

3 < x ≤ 1 +√

3

3

Comandos del Mathematica para analizarfunciones

Comando PiecewiseExpand

Mathematica

Expansión de una expresión con Piecewise anidado en una función con unsolo Piecewise.

In[1]:= Piecewise[{{Piecewise[{{1, x < 1}},2], x > 0}},3]

Out[1]=

{

1 x < 12 True

x > 0

3 TrueIn[2]:= PiecewiseExpand[%]

Out[2]=

1 0 < x < 12 x ≥ 13 True

4

Mathematica

Conversión de un arreglo de funciones especiales a trozos en un único objetoPiecewise.

In[3]:= Piecewise[{{Max[x , x2],−2 < x < 2},{UnitStep[x ], True}}]

Out[3]=

{Max

[x , x2] −2 < x < 2

UnitStep[x ] True

In[4]:= PiecewiseExpand[%]

Out[4]=

1 x ≥ 2x 0 ≤ x ≤ 1x2 −2 < x < 0 ∨ 1 < x < 20 True

5

Mathematica

Expansión de una función con un número infinito de trozos sobre un intervaloacotado.

In[5]:= PiecewiseExpand[Floor[x ],0 < x < 4]

Out[5]=

1 1 ≤ x < 22 2 ≤ x < 33 x ≥ 30 True

6

Comando Plot

Mathematica

Gráfica de la función f (x) = JxK.

In[6]:= Plot[Floor[x ], {x ,−3,3}]

Out[6]= -3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

7

Mathematica

Gráfica de una función obtenida al incluir algunas opciones de Plot.

In[7]:= f [x_]:={

x − Floor[2x ] −1 ≤ x < 1x2 + Floor[x ] 1 ≤ x < 4

In[8]:= Plot[ f [x ], {x ,−2,5}, PlotRange→ All, · · · ]

Out[8]=

-1 1 2 3 4

1

2

3

4

5

8

Suma de funcionesMathematica

Resultado incorrecto de la suma de dos funciones a trozos.

In[9]:= f [x_]:={

7x − 3 −3 < x < 02x + 8 0 ≤ x < 5

In[10]:= g[x_]:={

2x − 6 −2 < x < 2x2 − 2 2 ≤ x < 4

In[11]:= PiecewiseExpand[f [x ] + g[x ]]

Out[11]=

9(x − 1) −2 < x < 02(x + 4) 4 ≤ x < 5

2(2x + 1) 0 ≤ x < 27x − 3 −3 < x ≤ −2

x2 + 2x + 6 2 ≤ x < 40 True

9

Producto de funcionesMathematica

Resultado aparentemente correcto; sin embargo, note que los dominios par-ciales están en desorden y que el producto no debería estar definido parax 6∈ [0, 4] (en este caso tiene el valor 0).

In[12]:= f [x_]:={

7x − 3 −3 < x < 02x + 8 0 ≤ x < 5

In[13]:= g[x_]:={

2x − 6 −2 < x < 2x2 − 2 2 ≤ x < 4

In[14]:= PiecewiseExpand[f [x ] ∗ g[x ]]

Out[14]=

4(x − 3)(x + 4) 0 ≤ x < 2

2(x − 3)(7x − 3) −2 < x < 02(x + 4)

(x2 − 2

)2 ≤ x < 4

0 True

10

Cociente de funcionesMathematica

Resultado incorrecto del cociente de dos funciones a tozos.

In[15]:= f [x_]:={

7x − 3 −3 < x < 02x + 8 0 ≤ x < 5

In[16]:= g[x_]:={

2x − 6 −2 < x < 2x2 − 2 2 ≤ x < 4

In[17]:= PiecewiseExpand[f [x ] ∗ g[x ]]

Out[17]=

Indeterminate x ≥ 5 ∨ x ≤ −3x+4x−3 0 ≤ x < 27x−3

2(x−3) −2 < x < 02(x+4)x2−2 2 ≤ x < 4

ComplexInfinity True

11

Composición de funcionesMathematica

Resultado incorrecto de la composición de dos funciones a tozos.

In[18]:= f [x_]:={

7x − 3 −3 < x < 02x + 8 0 ≤ x < 5

In[19]:= g[x_]:={

2x − 6 −2 < x < 2x2 − 2 2 ≤ x < 4

In[20]:= PiecewiseExpand[Composition[f ,g][x ]]

Out[20]=

7(2x − 6)− 3 3

2 < x < 22(x2 − 2

)+ 8 2 ≤ x <

√7

8 2 ≤ x <√

7 ∨ x ≥ 4 ∨ x ≤ −20 True

12

Inversa de una funciónMathematica

Resultado aparentemente correcto de la inversa de una función; sin embargo,no hay información con respecto al dominio de definición de dicha inversa.

In[21]:= h[x_]:=√

x2 + 7 + xIn[22]:= InverseFunction[h][x ]

Out[22]= x2−72x

13

El sistema experto Functions

Comando PwExpand

Mathematica

Expansión de una expresión con Piecewise anidado en una función con unsolo Piecewise.

In[1]:= Piecewise[{{Piecewise[{{1, x < 1}},2], x > 0}},3]

Out[1]=

{

1 x < 12 True

x > 0

3 TrueIn[2]:= PwExpand[%]

Out[2]=

3 x ≤ 01 0 < x < 12 x ≥ 1Null True

14

Mathematica

Conversión de un arreglo de funciones especiales a trozos en un único objetoPiecewise.

In[3]:= Piecewise[{{Max[x , x2],−2 < x < 2},{UnitStep[x ], True}}]

Out[3]=

{Max

[x , x2] −2 < x < 2

UnitStep[x ] True

In[4]:= PwExpand[%]

Out[4]=

x 0 ≤ x ≤ 1x2 −2 < x < 0 ∨ 1 < x < 20 x ≤ −21 x ≥ 2Null True

15

Mathematica

Expansión de una función con un número infinito de trozos sobre un intervaloacotado.

In[5]:= PwExpand[Floor[x ],0 < x < 4]

Out[5]=

0 0 < x < 11 1 ≤ x < 22 2 ≤ x < 33 3 ≤ x < 4Null True

16

Comando PwPlot

Mathematica

Gráfica de la función f (x) = JxK.

In[6]:= PwPlot[Floor[x ], {x ,−3,3}]

Out[6]= -2. -1. 1. 2. 3.

-3.

-2.

-1.

1.

2.

17

Mathematica

Gráfica de una función obtenida al incluir algunas opciones propias de Plot,conjuntamente con la opción EndsSize.

In[7]:= f [x_]:={

x − Floor[2x ] −1 ≤ x < 1x2 + Floor[x ] 1 ≤ x < 4

In[8]:=

PwPlot[ f [x ], {x ,−2,5}, EndsSize→ 5, PlotRange→ All, · · · ]

Out[8]=

-1.-0.5 0.5 1. 2. 3. 4.-0.5

0.5

1.

1.5

2.

3.

3.5

4.5

5.

18

Suma de funcionesMathematica

Resultado correcto de la suma de dos funciones a trozos.

In[9]:= f [x_]:={

7x − 3 −3 < x < 02x + 8 0 ≤ x < 5

In[10]:= g[x_]:={

2x − 6 −2 < x < 2x2 − 2 2 ≤ x < 4

In[11]:= (f + g)[x ]

Out[11]=

9x − 9 −2 < x < 04x + 2 0 ≤ x < 2

x2 + 2x + 6 2 ≤ x < 4Null True

19

Producto de funcionesMathematica

Resultado correcto del producto de dos funciones a trozos.

In[12]:= f [x_]:={

7x − 3 −3 < x < 02x + 8 0 ≤ x < 5

In[13]:= g[x_]:={

2x − 6 −2 < x < 2x2 − 2 2 ≤ x < 4

In[14]:= (f ∗ g)[x ]

Out[14]=

14x2 − 48x + 18 −2 < x < 04x2 + 4x − 48 0 ≤ x < 2

2x3 + 8x2 − 4x − 16 2 ≤ x < 4Null True

20

Cociente de funcionesMathematica

Resultado correcto del cociente de dos funciones a tozos.

In[15]:= f [x_]:={

7x − 3 −3 < x < 02x + 8 0 ≤ x < 5

In[16]:= g[x_]:={

2x − 6 −2 < x < 2x2 − 2 2 ≤ x < 4

In[17]:= (f/g)[x ]

Out[17]=

3−7x6−2x −2 < x < 0x+4x−3 0 ≤ x < 2

2(x+4)x2−2 2 ≤ x < 4Null True

21

Composición de funcionesMathematica

Resultado correcto de la composición de dos funciones a tozos.

In[18]:= f [x_]:={

7x − 3 −3 < x < 02x + 8 0 ≤ x < 5

In[19]:= g[x_]:={

2x − 6 −2 < x < 2x2 − 2 2 ≤ x < 4

In[20]:= (f ◦ g)[x ]

Out[20]=

14x − 45 3

2 < x < 22x2 + 4 2 ≤ x <

√7

Null True

22

Inversa de una funciónMathematica

Resultado correcto de la inversa de una función.

In[21]:= h[x_]:=√

x2 + 7 + x

In[22]:= IFunction[{h[x ] x > 0 , x ]

Out[22]=

{x2−7

2x x >√

7Null True

23

Mathematica

Resultado correcto de la inversa de una función a trozos.

In[23]:= IFunction

[{2x + 1 x ≤ 0x2 + 1 x > 0

, x]

Out[23]=

x−1

2 x ≤ 1√x − 1 x > 1Null True

24

BibliografíaIPANAQUÉ, R. Y VELESMORO, R., Breve Manual delMathematica 5.1, Eumed.net, 2005,http://www.eumed.net/libros-gratis/2005/ric2/ric2.pdf

WIKIPEDIA, Mathematica,http://es.wikipedia.org/wiki/Mathematica

WOLFRAM MATHEMATICA DOCUMENTATION CENTER,Element,http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Element.html

WOLFRAM MATHEMATICA DOCUMENTATION CENTER,Exists,http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Exists.html

WOLFRAM MATHEMATICA DOCUMENTATION CENTER,ForAll,http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/ForAll.html

25

www.mathematica.com

¡MUCHAS GRACIAS!

26