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Elments de Gomatique Polycopi 2 : Godsie
Pierre-Yves Gilliron Audrey Ueberschlag
Geoffrey Vincent
Lausanne, dition Fvrier 2014
Facult de lEnvironnement Naturel, Architectural et Construit
Institut dIngnierie de lEnvironnement
Gomatique - Topomtrie
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Elments de gomatique
SOMMAIRE
1. GODSIE 3
1.1. BASES ET DFINITIONS 3 1.1.1. FORME DE LA TERRE 3 1.1.2.
GODSIE GOMTRIQUE 4 1.1.3. GODSIE SPATIALE 7 1.1.4. GODSIE PHYSIQUE
GODE 9 1.1.5. ALTITUDES 12 1.2. RFRENCES GODSIQUES 14 1.2.1.
SURFACE DE NIVEAU, GODE ET ELLIPSODE 14 1.2.2. SURFACES DE RFRENCE
15 1.2.3. COORDONNES TERRESTRES 17 1.2.4. ELLIPSODE ET CHANGEMENT
DE SYSTME 20 1.2.5. AZIMUT, AZIMUT MAGNTIQUE 23 1.2.6. SYSTMES
D'ALTITUDES 25
2. SYSTMES DE PROJECTION 27
2.1. DFINITIONS 27 2.2. TYPES DE PROJECTION 29 2.2.1.
PROJECTIONS CONIQUES 29 2.2.2. PROJECTIONS AZIMUTALES 32 2.2.3.
PROJECTIONS CYLINDRIQUES 32 2.3. PROJECTION SUISSE 36 2.3.1.
DFINITION 36 2.3.2. COORDONNES RECTANGULAIRES PLANES 38 2.3.3.
CONVERGENCE DU MRIDIEN 39 2.3.4. CONVERSION DE COORDONNES PLANES ET
GOGRAPHIQUES 40 2.3.5. CONVERSION DE Y, X EN L, B 41 2.3.6.
CONVERSION DE L, B EN Y, X 41 2.3.7. CALCUL DE LA CONVERGENCE DU
MRIDIEN 41 2.3.8. DFORMATION LINAIRE 42 2.3.9. EXEMPLE 43
3. RFRENCES 46
4. TABLE DES FIGURES 47
Avertissement
La plupart des figures de ce polycopi ont t cres lEPFL.
Toutefois, les auteurs ont utilis un certain nombre de ressources
dont les rfrences sont cites. Si lune ou lautre de ces ressources
ne sont pas rfrences correctement ou font lobjet dun droit dusage
particulier, nous vous prions de bien vouloir le signaler lauteur.
Toute utilisation de ce support de cours doit se faire avec le
consentement de lauteur.
2 Godsie
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Elments de gomatique
1. Godsie
1.1. Bases et dfinitions
1.1.1. Forme de la Terre
Les mensurations et la cartographie sont des lments de base
indispensables tout amnagement et dveloppement dun territoire. Sans
les relevs du terrain, sans les cartes et les plans tablis par les
spcialistes, il est impossible de projeter puis de construire les
voies de communication et les grands ouvrages de gnie civil ;
impossible galement de planifier puis de raliser la mise en valeur
et lquipement des zones agricoles, forestires, touristiques ou
urbaines. Le pilote davion, lautomobiliste, le promeneur ou
lalpiniste utilisent des cartes pour la prparation de leurs voyages
ou de leurs excursions. Les armes ont galement besoin dun matriel
cartographique important. Les cartes sont aussi les documents de
base pour diverses tudes en gographie, gologie, climatologie,
agriculture, foresterie et histoire. Cest enfin grce aux cartes
topographiques que nous pouvons acqurir une image synthtique
globale des caractristiques varies d'un pays. Toutefois, avant de
procder aux relevs des dtails dune rgion pour tablir des plans et
des cartes, il y a lieu deffectuer certains travaux prliminaires
pour dterminer un systme de coordonnes li la Terre ainsi que la
position et laltitude de repres qui serviront de points de rfrence
pour les travaux topographiques et cartographiques : cest la tche
de la godsie. Driv du grec, le terme godsie dsigne la science qui a
pour objet ltude gomtrique de la Terre. Cette dfinition trs simple
cache en ralit toute une srie de problmes dont la complexit sest
accrue au cours des sicles, avec le dveloppement de nos
connaissances. Evidemment, les progrs des sciences et des
techniques ont aussi fourni aux godsiens des outils de plus en plus
performants pour les aider dans leurs travaux. Par tude gomtrique
de la Terre, il faut comprendre la recherche de la forme gnrale et
des dimensions de notre plante. En fait, chacun sait que la Terre
est ronde. Mais combien ignorent ou ont tout simplement oubli que
la circonfrence terrestre mesure environ 40000 km et que son rayon
vaut approximativement 6400 km ? Pourtant, ds nos premires leons de
gographie, nous avons tous appris que la Terre a la forme dun
ellipsode de rvolution aplati, que laplatissement terrestre (sans
en connatre la dfinition) est de lordre de 1/300 et que la
diffrence entre les rayons polaires et quatoriaux vaut environ 22
km. Actuellement, on dfinit laplatissement terrestre comme tant le
rapport entre la diffrence des deux axes de lellipse.
Godsie 3
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Elments de gomatique Il est indispensable de prciser que toutes
ces notions concernant notre plante permettent de relativiser
lamplitude des irrgularits du relief terrestre : malgr ses hautes
chanes de montagnes, ses valles profondes et mme ses fosses
ocaniques, le relief de la surface de la Terre est presque
insignifiant. Selon une comparaison souvent utilise, il est
beaucoup moins important que les rugosits de la peau dune orange.
En effet, les points les plus levs ou les plus bas par rapport au
niveau des mers ne sont qu 10 km (Mont-Everest : + 8882 m, Fosse
des Mariannes : - 10860 m). En rduisant le rayon terrestre 6 cm (la
dimension dune belle orange), il ne resterait plus que, par rapport
une surface parfaitement lisse, de minuscules asprits ou de petites
dpressions dont la hauteur ou la profondeur mesureraient au plus
0,1 mm. Et sur ce modle rduit de la Terre, la diffrence entre le
plus grand diamtre et le plus petit ne serait que de 0,4 mm. Toutes
ces valeurs seraient imperceptibles au simple coup dil et seulement
mesurables avec un outil de haute prcision.
1.1.2. Godsie gomtrique
La godsie gomtrique combine les observations par rapport des
objets extrieurs la Terre (toiles, Soleil, Lune, puis, rcemment,
satellites artificiels) et les mesures entre des repres terrestres
(dterminations de longueurs darcs de mridiens ou de parallles), qui
constituent depuis plus de 2000 ans les informations essentielles
pour la recherche de la forme et des dimensions de notre plante.
Lhypothse de la sphricit de la Terre date de Pythagore, au IVme
sicle avant notre re, et lon attribue l'astronome gyptien
Eratosthne la premire valuation de ses dimensions, vers 250 avant
J.-C. Eratosthne savait que, le jour du solstice dt, midi, le
soleil tait la verticale de Syne (aujourdhui Assouan), puisquil se
refltait sur l'eau au fond des puits. Il mesura Alexandrie, le mme
jour, la mme heure, la longueur de lombre porte par un oblisque et
en dduisit langle entre les verticales des deux villes : 7.2 ou
1/50 de circonfrence (Figure 3-1). Il obtint la distance de 5000
stades entre Syne et Alexandrie, partir des premiers travaux
darpentage de la valle du Nil. Un calcul simple lui permit alors
destimer la longueur de la circonfrence terrestre 250000 stades,
soit approximativement 40'000 km.
4 Godsie
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Elments de gomatique
Figure 1-1 : Premire dtermination du rayon terrestre par
Eratosthne 250 ans avant J.C.
Bien sr, les deux villes ne sont, dune part, pas sur le mme
mridien (la diffrence de leur longitude est de prs de 3) ; dautre
part, la valeur admise pour le stade, en mesures actuelles, est
douteuse, de sorte que lexactitude du rsultat peut bon droit passer
pour non prouve. Quoi quil en soit, la mthode tait trouve et elle
fut reprise et perfectionne au cours des sicles en diffrentes
rgions.
Lide dune Terre sphrique est admise jusqu la fin du XVIIme
sicle, date laquelle Huyghens, puis Newton, affirment que la Terre
a la forme dun ellipsode de rvolution aplati selon la ligne des
ples. Au dbut du XVIIIme sicle, lhypothse de Newton est mise en
doute la suite de mesures effectues en France. Pour trancher le
dbat, lAcadmie des Sciences de Paris dcide denvoyer deux expditions
simultanes pour mesurer deux arcs de mridien, lun en Laponie, aussi
prs que possible dun ple, o la courbure de la Terre est minimale,
lautre au Prou, au voisinage de lquateur, o la courbure du mridien
est la plus marque. Aprs plusieurs annes de travail et de multiples
pripties, les rsultats acquis par les deux expditions confirment la
thorie de Newton et servent de base au premier calcul d'un
ellipsode de rfrence, dont les paramtres seront publis par Delambre
en 1799. Au cours du XIXme sicle, des arcs nombreux et souvent trs
tendus sont mesurs sur les cinq continents ; il en rsulte toute une
srie dellipsodes terrestres proposs par des mathmaticiens ou des
godsiens trs clbres. Toutes les dmarches dcrites ci-dessus
utilisent la mthode des arcs, mthode qui consiste mesurer la
longueur dun arc de mridien ou de parallle, ainsi que son
amplitude, partir d'observations astronomiques. Si le principe est
simple, la mise en uvre pratique est dlicate. Il faut en effet
mesurer des arcs longs de plusieurs centaines de kilomtres pour que
leurs amplitudes soient suffisamment grandes. La circonfrence
terrestre mesurant environ 40000 km, lamplitude dun arc de grand
cercle de 100 km est gale 1 grade, cest--dire 1/400 de la
circonfrence : c'est videmment trop peu pour en dduire des
caractristiques de surface.
Godsie 5
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Elments de gomatique Il est dautre part impossible de mesurer
directement une longueur de plusieurs centaines de kilomtres entre
des repres terrestres, ne serait-ce qu' cause de la visibilit. On y
parvient indirectement en implantant entre les deux extrmits de
larc un ensemble de repres auxiliaires formant une chane de grands
triangles juxtaposs (Figure 3-2). Par une simple mesure de
longueurs et dangles, on peut obtenir les coordonnes de tous les
sommets des triangles et finalement la longueur totale de larc. Au
dbut du XXme sicle, le godsien amricain Hayford prconise la mthode
des aires. Selon lui, plutt que de mesurer la longueur des arcs et
de leurs amplitudes, il est prfrable de comparer les coordonnes
gographiques, obtenues par observations astronomiques directes,
avec les coordonnes des mmes points, calcules partir de mesures
terrestres sur une surface de rfrence choisie a priori. Les
paramtres de la surface de rfrence sont ensuite modifis jusqu ce
que les diffrences respectives entre les coordonnes astronomiques
et les coordonnes godsiques, diffrences appeles dviations de la
verticale, deviennent minimales. La dmarche de Hayford, applique
d'abord quelque 270 points de triangulation rpartis sur le
continent nord-amricain, donna les paramtres du premier ellipsode
international admis comme surface de rfrence en 1924. La mthode des
aires sapparente une discipline particulire de lastronomie, appele
astronomie de position, dans laquelle les coordonnes dun lieu de la
Terre sont dtermines partir d'observations des toiles. Lapplication
de ce principe la navigation en mer est bien connue. Chacun sait en
effet que les navigateurs sont capables de calculer la position de
leur bateau, de faire le point selon lexpression consacre, partir
dangles verticaux, mesurs avec un sextant par rapport au Soleil ou
aux autres toiles, et de lheure des observations.
Figure 1-2 : Chane de triangles
6 Godsie
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Elments de gomatique Les godsiens utilisent galement des
variantes perfectionnes de ces mthodes et, partir dobservations
astronomiques seulement, ils peuvent dterminer des coordonnes dont
les valeurs sont indpendantes de toute hypothse sur la forme et les
dimensions de la Terre. Il ny aurait donc pas de diffrence entre
les dterminations astronomiques et godsiques si la surface de
rfrence choisie pour le calcul des mesures terrestres correspondait
exactement celle de la Terre. Ce thme sera dvelopp dans le chapitre
3.2.
1.1.3. Godsie spatiale
Depuis Spoutnik en 1957, les satellites artificiels gravitant
autour de la Terre ont offert aux godsiens des possibilits de
mesure totalement nouvelles. Avec le dveloppement de la technologie
et des ordinateurs, ils ont donn naissance la godsie spatiale. Si
la Terre tait une sphre parfaite avec une densit rpartie
symtriquement par rapport son centre, lorbite dun satellite
artificiel serait dcrite exactement par les lois de Kpler, bien
connues en mcanique cleste. L'orbite relle du satellite est donc
perturbe par plusieurs facteurs, dont les principaux sont le
renflement quatorial et les anomalies du champ de la pesanteur
terrestre, auxquels il faut ajouter lattraction de la Lune et du
Soleil, la rsistance atmosphrique et la pression de radiation
solaire. A cause de toutes ces perturbations, lorbite nest pas fixe
dans lespace ; ses paramtres varient et la description du mouvement
exige des modles mathmatiques trs labors. Lvolution des paramtres
de lorbite livre en revanche des renseignements sur les principales
sources de perturbations du mouvement et permet ainsi ltude de la
forme du gode. Plusieurs types de mesures sont effectus en godsie
spatiale ; tous reviennent valuer une grandeur qui dpend de la
position relative du satellite et du lieu dobservation. La mesure
de directions, selon le principe de la triangulation spatiale, est
la mthode la plus ancienne ; elle a t utilise au cours des annes
1960 et consistait photographier, au moyen de camras spciales, le
satellite sur un fond dtoiles. Les positions respectives de ces
toiles dterminaient des directions de lespace connues grce aux
catalogues astronomiques. Ces directions servaient de rfrence et
permettaient de calculer les directions correspondant aux positions
successives du satellite, puis les segments entre les stations de
prise des photos et enfin les coordonnes de ces stations (Figure
3-3).
Godsie 7
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Elments de gomatique
Figure 1-3 : Premier rseau godsique mondial obtenu par
triangulation spatiale
Le principe de la trilatration spatiale consiste mesurer les
distances stations-satellites en utilisant un canon laser. Un
appareil point sur le satellite met une brve impulsion laser et
dclenche simultanment un compteur lectronique. Le satellite, garni
de prismes-rflecteurs, renvoie limpulsion vers lmetteur et la
distance est calcule partir de la mesure du temps de parcours
aller-retour. Les premiers quipements permettaient dobtenir la
distance station-satellite avec une prcision de quelques mtres. Les
appareils les plus rcents ont une dispersion rduite quelques
centimtres. Les satellites utiliss dans la triangulation et la
trilatration spatiale gravitent autour de la Terre des altitudes
comprises entre 1000 et 5000 km. Pour obtenir une bonne
configuration du rseau des repres, il faut que les distances entre
les stations d'observation soient du mme ordre de grandeur. Lune
des premires techniques de positionnement par satellite utilise
leffet Doppler. Un satellite dont la position est connue chaque
instant met une onde radiolectrique de frquence constante. Capte en
une station au sol, la frquence de londe reue est modifie cause du
mouvement du satellite. En exploitant leffet Doppler mesur
diffrents instants, on peut calculer la position du rcepteur dans
un systme de coordonnes gocentriques. Cette mthode a t mise en uvre
pour la
Figure 1-4 : Orbites polaires des cinq satellites du systme de
TRANSIT
premire fois en 1964 avec la cration du rseau TRANSIT pour la
marine amricaine. Ce systme de positionnement, qui devint
accessible aux tches non militaires ds 1967, tait constitu dun
ensemble de cinq satellites, placs en orbites polaires (passant par
la verticale des ples) quasi circulaires, une altitude denviron
1075 km (Figure 3-4). Le systme est hors service depuis 1996.
Les orbites sont rparties en longitude et la dure approximative
de rvolution dun satellite est de 107 min. Cette disposition permet
un
8 Godsie
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Elments de gomatique observateur situ en un lieu quelconque de
la Terre denregistrer au moins dix passages de satellite par jour.
Lenregistrement des signaux mis durant un seul passage dun
satellite permettait dobtenir la position du rcepteur avec une
prcision de quelques dizaines de mtres. En poursuivant avec
plusieurs rcepteurs de haute qualit et durant plusieurs jours
lenregistrement des signaux mis lors des passages des satellites,
on a russi dterminer la position relative des rcepteurs quelques
dcimtres prs. Dune part, pour les besoins godsiques, cette
technique est aujourdhui largement dpasse. Dautre part, ce systme a
t remplac par dautres systmes de localisation par satellites (cf.
chapitre 9).
1.1.4. Godsie physique gode
Les mthodes godsiques dcrites jusqu prsent sont purement
gomtriques. Si lon considre maintenant les satellites non plus
uniquement comme des points gomtriques auxiliaires, mais comme des
corps pesants se mouvant dans le champ dattraction terrestre,
lanalyse des perturbations de leurs trajectoires et le traitement
des mesures permettent dobtenir non seulement les coordonnes des
stations dobservation, mais aussi le champ de la pesanteur, donc la
forme gomtrique des surfaces de niveau (ou quipotentielles) de ce
champ et par l-mme la forme de la Terre. En 1743, le mathmaticien
franais Clairaut publie sa Thorie de la figure de la Terre o il
tablit la relation entre les axes dun ellipsode, la latitude dun
lieu et lintensit de la pesanteur en ce lieu. Cette tude est la
base de la godsie dynamique. Au XIXme sicle, les mesures
gravimtriques (du champ de la pesanteur) se multiplient et leur
prcision samliore notablement. Au dbut du XXme sicle, la
concordance entre les valeurs des paramtres terrestres dduites des
calculs gomtriques et celles qui rsultent des mesures gravimtriques
tait dj excellente. Cependant, il subsistait certaines divergences
difficiles expliquer par la seule imprcision des mesures. Lorigine
de ces dispersions rside dans les anomalies de la pesanteur et les
dviations de la verticale. Toutes ces imperfections proviennent de
la rpartition irrgulire des masses et de leur densit sur la surface
et lintrieur de lcorce terrestre. Ces difficults ont rendu
ncessaire lintroduction dun modle plus labor pour la forme de la
Terre : le gode. Ce nouveau terme dsigne, en simplifiant, la forme
gnrale de la Terre, reprsente par la surface moyenne des ocans et
son prolongement estim sous les continents. Physiquement, le gode
est une surface de niveau du champ de la pesanteur (Figure 3-5) ;
il est donc partout perpendiculaire la verticale. Mais cette
dfinition fait natre un certain nombre de complications : le gode
ne peut
Godsie 9
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Elments de gomatique pas tre dcrit par une expression
mathmatique simple, car sa forme gomtrique est irrgulire. En outre,
et paradoxalement, la plupart des observations destines dterminer
le gode sont effectues sur la terre ferme, cest--dire l o le gode
est inaccessible. Il faut donc faire une distinction entre la
dtermination de la position, partir dun ellipsode de rfrence, et la
dtermination de laltitude (diffrence de hauteur par rapport au
gode), partir des mesures gravimtriques et des nivellements. Le
principe de la mthode dynamique est assez complexe et peut tre rsum
comme suit : avec un trs grand nombre dobservations diverses,
effectues en des stations bien rparties sur lensemble de la Terre
et concernant plusieurs satellites, on peut tablir un systme
dquations dans lesquelles interviennent notamment les mesures, les
lois de la mcanique cleste et les modles mathmatiques dcrivant les
perturbations des orbites. Il est aussi ncessaire dintroduire une
formulation mathmatique pour le champ de la pesanteur terrestre.
Pour exprimer les carts de ce dernier par rapport un champ
sphrique, on a recours un dveloppement en srie de fonctions
sphriques. Les coefficients du dveloppement ainsi que les
coordonnes des stations sont les inconnues du problme, inconnues
que lon obtient par la rsolution, selon les moindres carrs, d'un
systme dquations. La Figure 3-5 reprsente la forme du gode dtermine
par le calcul dorbites de satellites au Goddard Space Flight Center
(NASA). Ce modle sappuie sur une description du champ de la
pesanteur terrestre par le dveloppement en srie de fonctions
sphriques jusqu lordre 30. Les ondulations, qui atteignent en ralit
une centaine de mtres au maximum par rapport un ellipsode de
rfrence, sont ici exagres 15000 fois.
Figure 1-5 : Le gode
Les modlisations actuelles permettent de dcrire gomtriquement la
Terre comme un corps dformable, grce de nouveaux modles dynamiques
incluant le paramtre temps. De tels modles tiennent compte de
10 Godsie
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Elments de gomatique phnomnes connus, comme loscillation de laxe
des ples, les mares terrestres et lirrgularit de la rotation de
notre plante. Parmi les usages de tels modles, on peut citer deux
exemples : le maintien sur leurs orbites des satellites utilitaires
qui conditionne notamment la qualit de nos tlcommunications, et
ltude de la vitesse de la drive des continents, ncessaire la
prdiction des tremblements de terre. Comme cela a t prcis au dbut
de cet article, la godsie ne sintresse pas seulement la forme et
aux dimensions de la Terre ; elle sert galement acqurir des
informations indispensables la connaissance dtaille et la
cartographie dun pays ou dune rgion. La godsie constitue mme un
pralable cette acquisition. La godsie nationale ou utilitaire a
pour but de matrialiser et de dterminer un ensemble de repres
solidement ancrs dans le sol et dont les positions relatives
peuvent tre connues avec une grande prcision. A lpoque des mesures
par triangulation, ces repres taient distants de 30 50 km. Ils
taient placs sur des endroits levs do la vue est tendue. Leur
position relative tait calcule quelques centimtres prs. Ils
formaient les sommets dun rseau de grands triangles appel rseau de
triangulation fondamentale ou triangulation godsique, ou encore
triangulation de premier ordre dun pays. A partir dun repre origine
appel point fondamental, o l'on a dtermin la latitude et la
longitude ainsi que lazimut dun ct dorientation par des
observations astronomiques trs soignes, on calcule les coordonnes
gographiques des autres repres sur un ellipsode de rfrence. Des
mesures astronomiques sont encore effectues en quelques autres
sommets du rseau afin den bien contrler la position et
lorientation. Avec lavnement de GPS, ces rseaux godsiques de base
ont t moderniss et re-dtermins. Pour cela, les gomtres ont choisi
et implant de nouveaux points stables, plus accessibles et sans
obstructions vers le ciel afin dtre adapt la technique GPS (Figure
3-6).
Figure 1-6 : Nouveau rseau de points fixes du cadre de
coordonnes Suisse MN95
2013 swisstopo (JD100064)
Godsie 11
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Elments de gomatique Le rseau de points fixes de base dcrit
ci-dessus nest pas suffisamment dense pour servir dinfrastructure
aux divers travaux topographiques et autres oprations de gomatique.
Il devra donc tre complt par un maillage plus fin (rseaux de points
fixes du deuxime ordre, puis du troisime et du quatrime ordre),
jusqu ce que lon obtienne une densit de 1 2 repres par km2. Pour
cette opration, on a principalement recours la mthode GPS qui peut
tre complte par des mthodes topomtriques classiques. De plus, le
rseau permanent GPS, appel AGNES1, offre un service de
positionnement qui est directement rattach au rseau des points
fixes du cadre de coordonnes Suisse.
1.1.5. Altitudes
Un repre est caractris non seulement par ses coordonnes
gographiques (longitude et latitude), mais aussi par son altitude,
cest--dire la distance, mesure selon la verticale, entre ce repre
et le gode (dfinition simplifie parce que purement mtrique). L
aussi, la mesure de laltitude, ou altimtrie, doit donc tre prcde
dune tche pralable qui est celle de reprer le gode ou de dfinir le
niveau moyen de la mer en un endroit choisi davance. On y parvient
en observant et en enregistrant, durant une longue priode, les
variations de ce niveau laide dun appareil appel margraphe (Figure
3-7). Le traitement des enregistrements permet de fixer laltitude
zro, que lon matrialise par un repre.
Figure 1-7 : Schma d'un margraphe
Pour dterminer, partir de laltitude dun point fondamental, celle
des autres repres, on procde par nivellement gomtrique et lon
constitue ainsi le rseau altimtrique, form de lignes de
nivellement.
1 AGNES : Automatisches GPS-Netz Schweiz, gr par loffice fdral
de topographie
12 Godsie
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Elments de gomatique Il y a lieu de formuler ici deux remarques
importantes concernant laltimtrie. On pourrait trs bien fixer
arbitrairement laltitude dun repre fondamental et en dduire ensuite
toutes les autres cotes. En fait, la rfrence au gode, cest--dire au
niveau moyen des mers, prsente lintrt de mettre en vidence les
variations de ce niveau. Cest un phnomne important aussi bien pour
la gologie que pour la gographie humaine. Il soulve aussi des
problmes scientifiques difficiles, en particulier celui du niveau
eustatique (variation du niveau de la mer). Est-ce le niveau marin
qui monte ou la plate-forme continentale qui senfonce ? Le volume
total des ocans est-il constant ? A-t-il tendance augmenter ou
diminuer ? Si un grand nombre de margraphes sont en service
aujourdhui, cest avant tout pour essayer de mettre en vidence les
fluctuations du niveau moyen des mers. Ces observations sont
compltes par les mesure de satellites daltimtrie, comme
TOPEX/Poseidon et plus rcemment JASON. Lanalyse des enregistrements
des margraphes franais et italiens installs sur les ctes de la
Mditerrane montre que, depuis plusieurs annes, le niveau moyen de
cette mer monte rgulirement de quelques millimtres par an. La
deuxime remarque, qui peut aussi sappliquer la triangulation, est
la suivante : linfrastructure dun rseau altimtrique se dtriore en
fonction du temps ; les difices sur lesquels sont scells les repres
vieillissent, sont modifis ou dmolis ; des repres sont donc dtruits
ou doivent tre dclasss ; des mouvements locaux du terrain modifient
les altitudes. On arrive donc la conception quun rseau de
nivellement nest jamais dfinitif, mais quil vieillit vite ; il perd
la fois une partie de son infrastructure et de sa prcision.
Lexprience a dmontr que, les zones instables mises part, il est
ncessaire de refaire les cheminements de nivellement tous les 50
ans environ.
Figure 1-8 : Rseau principal de nivellement en Suisse.
2013 swisstopo (JD100064)
La reprise des mesures aprs plusieurs dizaines dannes montre en
effet des diffrences systmatiques, nettement plus importantes que
les imprcisions dues aux observations. Ces diffrences permettent de
dceler les mouvements rcents de lcorce terrestre qui sont galement
dtects par les rseaux de stations GPS permanents.
Godsie 13
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Elments de gomatique Depuis 1950, lAutriche, la France, lItalie
et la Suisse ont mesur une seconde fois une srie de lignes de
nivellement traversant la chane des Alpes et qui avaient t observes
au dbut du sicle. Lanalyse des observations a permis de mettre en
vidence le mouvement toujours ascendant des rgions alpines ; la
vitesse des dplacements verticaux vaut actuellement 1 mm/anne.
1.2. Rfrences godsiques
1.2.1. Surface de niveau, gode et ellipsode
Lobjet de la topographie tant la reprsentation de la
configuration du sol et des lments qui sy trouvent, il faut dfinir
les diffrentes surfaces se rapportant au sol et la Terre en gnral.
La surface du sol (le terrain) telle quon la voit, avec ses
vallonnements, ses montagnes, ses dpressions, etc. est la surface
topographique de la Terre. Gnralement, cest elle quil sagit de
reprsenter. En chacun de ses points, une surface de niveau est
normale la direction de la pesanteur, cest--dire la verticale. Il
existe une infinit de surfaces de niveau, mais l'quipotentielle qui
passe par le niveau moyen des mers prsente un intrt particulier. On
lui attribue la cote zro et on lui donne le nom de gode. Le gode
est la forme relle de la Terre. Le gode prsente des ondulations. Ce
nest pas une forme gomtrique ; il est dfini partir de donnes
physiques (le champ de la pesanteur) et son expression mathmatique
est trs complique. Pour cette raison, on prfre recourir d'autres
surfaces de rfrence pour dcrire la surface de la Terre.
Lellipsode, dont le principe est dvelopp dans le paragraphe
suivant, est la surface mathmatique dont la forme se rapproche le
plus de celle du gode.
Figure 1-9 : Carte du gode mondial, modle EGM96 (source
NASA)
Variations exprimes en m ( 2014 source : http://www.swisstopo.ch
)
14 Godsie
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Elments de gomatique
1.2.2. Surfaces de rfrence
Pour dcrire le gode, donc la forme exacte de la Terre, on le
dfinit par rapport la surface mathmatique dont la forme se
rapproche le plus de celle du gode ; cest un ellipsode de rvolution
aplati aux ples. Il sagit dune surface de rfrence par rapport
laquelle sont exprims les carts du gode. Pour cela, il faut rsoudre
les problmes suivants :
dterminer les dimensions de cet ellipsode ; placer cet ellipsode
pour quil corresponde au mieux avec le
gode pour la zone reprsenter. Ce nest quau XVIIme sicle que lide
de laplatissement de la Terre est apparue et que lon abandonna la
forme sphrique. Depuis cette poque, de nombreuses mesures ont t
faites pour dterminer les dimensions de lellipsode, cest--dire les
paramtres qui le dfinissent :
les deux demi-axes de lellipse gnratrice.
La mthode gomtrique, seule connue alors, consiste mesurer des
longueurs darcs de mridien sous des latitudes diffrentes, une au
voisinage du ple, lautre prs de lquateur. Il faut citer ici les
deux expditions clbres organises au XVIIIe sicle par lAcadmie des
sciences de Paris :
la mesure dun arc de mridien en Laponie (par Clairaut et de
Maupertuis) 1736-1737
la mesure dun arc de mridien au Prou (par Bouguer et La
Condamine) 1735-1744
et dont les rsultats prouvrent pour la premire fois
laplatissement de la Terre aux ples (thorie mise auparavant par
Newton).
Figure 1-10 : L'ellipsode de rvolution
Citons encore la mesure de larc de mridien Dunkerque-Barcelone
(par Delambre et Mchain) 1792-1798, et dont les rsultats servirent
la premire dfinition du mtre en 1799 :
un mtre est la dix-millionime partie du quart du mridien
terrestre.
Godsie 15
-
Elments de gomatique Des procds astronomiques ont aussi t
appliqus pour dterminer laplatissement terrestre (dAlembert et
Laplace au XVIIIme sicle). Enfin, les procds gravimtriques,
permettant de mesurer lintensit de la pesanteur en diffrents points
du globe, conduisent galement la connaissance de la forme du gode.
Aujourdhui, les satellites artificiels permettent de rsoudre plus
aisment ces problmes et surtout apportent une plus grande
exactitude dans les connaissances relatives la Terre. On peut,
partir des variations constates dans la valeur des paramtres qui
fixent une orbite de satellite, obtenir les informations sur le
champ de gravitation et par consquent connatre toujours mieux le
gode. On peut citer, par exemple, la mission du satellite CHAMP
(http://op.gfz-potsdam.de/champ/). Depuis le XVIIIme sicle, de
nombreuses dterminations ont t faites pour connatre les dimensions
de lellipsode de rvolution pouvant reprsenter au mieux la forme de
la Terre, et cela a conduit autant de rsultats diffrents. Aussi les
pays, au fur et mesure qu'ils entreprenaient de cartographier leur
territoire, choisissaient-ils comme surface de rfrence un de ces
ellipsodes particuliers et dont les paramtres semblaient alors les
meilleurs possible. Le Tableau 3-1 donne les dimensions de quelques
ellipsodes et leurs utilisations. Mentionnons encore que, daprs les
connaissances actuelles, le gode accuse une diffrence positive de
17,84 m au ple nord et une diffrence ngative de 27,23 m au ple sud,
ceci par rapport lellipsode dont les dimensions ont t adoptes en
1980 par la XVIIme Assemble gnrale de lUnion Gophysique et Godsique
Internationale (IUGG) (Figure 3-11).
Figure 1-11 : Forme en poire du gode
16 Godsie
-
Elments de gomatique Lellipsode de rvolution est donc la surface
de rfrence mathmatique grce laquelle on peut exprimer le gode. Mais
il est retenir aussi que, cause des relativement petits carts
existant entre le gode et lellipsode, cette dernire surface pourra
tre considre comme surface mathmatique de rfrence pour les calculs
: les mesures faites sur la surface de la Terre sont assimiles des
mesures faites sur un ellipsode de rvolution et exploites comme
telles.
Nom Anne a en mtre
b en mtre
Utilisation
Schmidt 1928 6'3 76804 6'355691 Ancienne cartographie Suisse :
Carte Dufour,
Atlas Siegfried Bessel 1841 6'377'397.155 6'356078.963 Nouvelle
cartographie
suisse Allemagne et Europe de
lEst Delambre 1860 6'376989 6'356323 Carte franaise au 1 :
80'000, Anciennes cartes de lInstitut militaire
belge Clarke 1866
6'378'206.4 6'356'583.8 Angleterre, USA,
Canada, Mexique
Hayford (internatio
nal)
1910 6'378388 6'356'911.946 Adopt en 1924 comme ellipsode
international et
propos pour les nouvelles cartographies
Geodetic Reference System- GRS80
1980 6'378137 6'356'752.314 Adopt par la XVIIme Assemble gnrale
de lInternational Union of
Geodesy and Geophysics (IUGG)
Tableau 1-1 : Ellipsodes de rfrence Pour des tendues terrestres
trs restreintes, on peut substituer une surface sphrique la portion
dellipsode correspondante : la surface de rfrence reprsentative de
la Terre est alors une sphre qui pouse au mieux la courbure de
lellipsode (sphre de courbure moyenne) ; les surfaces de niveau
peuvent tre considres comme tant des sphres concentriques. Cest
ainsi que pour les oprations o cette approximation suffit, on a
choisi
en Suisse le rayon de la sphre de courbure moyenne : R = 6378,8
km
Enfin, si ltendue du domaine o se font des mensurations est
restreinte au point que la courbure de le Terre ne se fait pas
sentir, on assimile la portion correspondante de la sphre (ou de
lellipsode) un plan ; les surfaces de niveau peuvent tre assimiles
des plans horizontaux parallles.
1.2.3. Coordonnes terrestres
Afin de pouvoir situer la position dun point sur la surface de
la Terre, il faut introduire un systme de coordonnes sur cette
surface (Figure 3-12) : on dfinit dabord des lignes de coordonnes,
les mridiens et parallles,
Godsie 17
-
Elments de gomatique puis les coordonnes elles-mmes, latitude et
longitude, qui sont ce quon appelle communment les coordonnes
gographiques.
Figure 1-12 : Lignes de coordonnes
Laxe de rotation de la Terre coupe la surface terrestre en deux
points qui sont les ples terrestres : ple Nord et ple Sud. Tout
plan passant par laxe des ples coupe la surface terrestre suivant
une ligne appele mridien terrestre. Le demi-mridien passant par un
point est le mridien de ce lieu. Le plan perpendiculaire laxe des
ples et passant par le centre de gravit de la Terre coupe la
surface terrestre suivant une ligne appele quateur terrestre. Tout
autre plan perpendiculaire laxe des ples coupe la surface terrestre
suivant une ligne appele parallle terrestre. Les mridiens et
parallles forment la surface de la Terre un systme de lignes de
coordonnes orthogonales. Les dfinitions qui viennent dtre donnes
sont valables quelle que soit la forme de la Terre : gode,
ellipsode ou sphre. Il en va de mme pour la dfinition des
coordonnes (Figure 3-13 et Figure 3-14). La latitude dun point de
la surface de la Terre est langle que fait la normale la surface en
ce point avec le plan de lquateur. Les latitudes se comptent partir
de lquateur, de 0 +90 sur lhmisphre nord, de 0 -90 sur lhmisphre
sud. Souvent, on parle simplement de latitude Nord et de latitude
Sud. La longitude dun point de la surface de la Terre est langle
didre que fait le plan mridien passant par ce point avec un plan
mridien origine ; par convention internationale, ce dernier est
celui passant par Greenwich (observatoire de Londres).
18 Godsie
-
Elments de gomatique Les longitudes sont comptes partir de
Greenwich de 0 360 vers lEst, ou de 0 +180 vers lEst et -180 vers
lOuest. Souvent, on parle simplement de longitude Est et de
longitude Ouest. Souvent aussi, les longitudes sexpriment en heures
(dcoupage de la sphre en 24 fuseaux horaires)
Figure 1-13 : Les coordonnes sur la sphre
Ces formules ne peuvent tre utilises pour calculer la latitude
et la longitude uniquement dans le cas o X Y Z R+ + = . Exemple :
EPFL-Ecublens = 4631 N (Nord) = 634 E (Est de Greenwich) On
considre maintenant l'ellipsode de la Figure 3-14.
Figure 1-14 : Les coordonnes sur l'ellipsode
Godsie 19
-
Elments de gomatique Selon que (, ) expriment la position dun
point sur le gode ou sur un ellipsode ou sur une sphre, ces
coordonnes ont des valeurs diffrentes. Sil sagit de la position sur
le gode, on parle de coordonnes astronomiques ; si cest sur une
surface de rfrence, ce sont des coordonnes godsiques ou
ellipsodiques. Les premires se rfrent la verticale du lieu, tandis
que les secondes le font la normale la surface de rfrence en ce
lieu. Les deux directions sont diffrentes lune de lautre et lcart
angulaire entre les deux est appel dviation de la verticale.
Celle-ci dpend du choix de lellipsode et de sa position par rapport
au gode (Figure 3-15).
Figure 1-15 : La dviation de la verticale
1.2.4. Ellipsode et changement de systme
Gnralits
La latitude et laltitude h que lon obtient partir des coordonnes
gocentriques dpendent des dimensions de lellipsode choisi comme
surface de rfrence et de sa position par rapport la Terre,
cest--dire au gode. Lellipsode choisi et sa position forment ce que
lon appelle le datum godsique. On parle de systme de rfrence
terrestre ou godsique pour un systme de coordonnes cartsiennes
gocentriques associes un datum godsique.
Ellipsode global
Avec le dveloppement de GPS, qui est un systme mondial de
localisation, on se rfre aujourdhui au systme godsique WGS 84
(World Geodetic System) qui dfinit un systme global de coordonnes
cartsiennes gocentriques tridimensionnelles (X, Y, Z) dont :
lorigine est le centre de gravit de la Terre laxe Oz passe par
le ple nord CIO (Conventional
International Origin)
20 Godsie
-
Elments de gomatique
laxe Ox est lintersection du plan normal Oz et contenant
lorigine avec le plan mridien de Greenwich
laxe Oy dfinit un tridre direct. Lellipsode de rfrence de ce
systme WGS 84 a les caractristiques suivantes :
a = 6 378 137.0000 m b = 6 356 752.3142 m voir Tableau 3-1, f =
1/298.257 223 563
ainsi que divers coefficients pour modliser la rotation et le
champ de gravit de la Terre. Dans le contexte de la localisation,
on confond souvent les deux notions et on rduit WGS 84 son
ellipsode.
Ellipsode local
Avant que les techniques spatiales ne permettent de dfinir un
ellipsode global, on a construit les cartes sur des surfaces de
rfrence locales. De manire gnrale, chaque pays a dfini la sienne.
Il faut dfinir les dimensions de lellipsode de rfrence, mais il
faut encore le dplacer et lorienter dans lespace afin quil adhre au
mieux la portion de la Terre reprsenter. Gnralement, on a choisi un
point fondamental dont les coordonnes gographiques (latitude et
longitude) sont assimiles ses coordonnes astronomiques. Ceci
revient fixer la dviation de la verticale zro pour ce point : la
normale lellipsode (mathmatique) et la verticale (physique) sont
confondues (voir Figure 3-15). Sur une tendue limite, un ellipsode
local pouse mieux le gode quun ellipsode global, ce que la Figure
3-16 prsente avec une exagration manifeste.
Figure 1-16 : Ellipsode global - ellipsode local (B : latitude
du lieu)
Godsie 21
-
Elments de gomatique Le systme de rfrence Suisse CH 1903 est
dfini par les paramtres suivants :
Ellipsode de Bessel Point fondamental a = 6 377 397.155 m Bo :
46 57 08.66 b = 6 356 078.962 m Lo : 7 26 22.50 f = 1/299.152 812
8
On a repris les dimensions de lellipsode allemand (Bessel 1841)
mais on la cal l(ancien) observatoire de Berne, ce que les
Allemands avaient fait Berlin. En France, les dimensions de
lellipsode sont lgrement diffrentes et il est cal, videmment,
Paris. Il faut noter une consquence concrte : pour deux pays
voisins, les coordonnes gographiques dun point sur la frontire sont
gnralement diffrentes car elles ne reposent pas sur la mme rfrence
godsique. Un nombre croissant de pays adopte le systme WGS 84 avec
des classes de systmes compatibles et reposant sur des dfinitions
quasi semblables : ITRS : International Terrestrial Reference
System, ETRS89 : European Terrestrial Reference System, CHTRS95 :
Systme de rfrence global pour la Suisse dfini en 1995. Toutefois,
la varit et la quantit de donnes spatiales en usage empchent leur
transformation systmatique. Par exemple, il est plus facile - et
plus utile - de gnraliser lusage de WGS 84 dans laviation civile
que dans les cadastres des canalisations du monde entier. Dans le
premier cas, il sagit dharmoniser les donnes utilises par les
quipements des aroports et par les instruments de bord. Dans le
second cas, il faut considrer les plans et les bases de donnes les
plus diverses. Toutefois, ces changements de systmes de rfrence
sont bien documents par les Instituts nationaux de gographie et de
topographie.
Changement de systme godsique
Pour calculer les coordonnes dun repre exprimes par rapport un
systme de rfrence godsique dans un autre systme, il faut appliquer
aux coordonnes gocentriques une transformation spatiale conforme ou
transformation de Helmert dans lespace dfinie par 7 paramtres :
3 translations (tx, ty, tz) selon les axes Ox, Oy, Oz 3
rotations (x, y, z) autour des mmes axes 1 changement dchelle (1+
m)
Depuis la fin des annes 1980, on a effectu dans notre pays, avec
les techniques GPS, la dtermination dans le systme WGS84 de
nombreux repres du rseau de points fixes, connus en coordonnes et
altitude dans notre systme godsique CH 1903. On a ainsi dtermin des
paramtres officiels permettant de transformer les coordonnes
gocentriques. Paramtres pour la transformation de CH 1903 dans WGS
84 : tx = 660.077 m ty = 13.551 m tz = 369.344 m x = 2.484cc
22 Godsie
-
Elments de gomatique y = 1.783cc z = 2.939cc m = 5.66 ppm Cette
transformation donne une prcision de l'ordre du mtre sur l'ensemble
du territoire national. On peut calculer la transformation inverse
en changeant les signes. On ne lutilise plus pour les travaux de
mensuration. Il faut remarquer le dcalage important entre le centre
de l'ellipsode suisse et celui de l'ellipsode global, qui
correspond au centre de gravit de la Terre (gocentre), dtermin
selon les techniques les plus rcentes. En revanche, on notera la
modestie des rotations. Les coordonnes gographiques (latitude et
longitude) d'un point dpendent de l'ellipsode choisi pour rfrence.
En Suisse, confondre des coordonnes WGS84 et des coordonnes CH03
provoque une faute de env. 300 m. Ceci se produit si l'on omet de
slectionner la transformation adquate pour un rcepteur GPS. Nouveau
systme pour la mensuration Suisse : CH1903+ Le GPS a permis de
mesurer avec grande prcision des points fixes du systme de rfrence
godsique Suisse. Ainsi on a pu mettre en vidence des carts
importants dans la ralisation de CH1903 lchelle du pays. Face ce
constat, lOffice fdral de topographie a dfini un nouveau systme
(CH1903+) et un nouveau cadre de coordonnes (MN95) compatibles avec
les mthodes modernes de mesures et avec le systme godsique global
pour la Suisse CHTRS95. Paramtres pour la transformation de CH
1903+ dans CHTRS95 : tx = 674.374 m ty = 15.056 m tz = 405.346
m
1.2.5. Azimut, azimut magntique
Les mridiens et les parallles forment sur la surface de la Terre
un systme de lignes de rfrence (lignes de coordonnes), dans lequel
il faut galement pouvoir dfinir lorientation dune direction
quelconque. A cet effet, on a :
Lazimut a dune direction est langle quelle fait avec le mridien.
En godsie, lorigine des azimuts est la direction nord du mridien,
appel aussi Nord gographique, et on les compte positivement vers
l'Est de 0 360 (ou de 0gon 400gon), donc dans le sens
Nord-Est-Sud-Ouest (NESO).
Godsie 23
-
Elments de gomatique Lazimut aPQ dun ct PQ situ sur la surface
de rfrence terrestre est langle que font entre elles, au point P,
les tangentes larc PQ et au mridien (Figure 3-17). Cet angle est
situ dans le plan tangent la surface en P (plan horizontal) ; par
consquent lazimut est un angle horizontal. Sauf cas particuliers,
on a : aPQ aQP 180
Figure 1-17 : Les mridiens et azimuts
Lazimut magntique am dune direction est langle quelle fait avec
la direction du Nord magntique (Figure 3-18). Il est aussi compt de
0 360 (ou de 0gon 400gon) partir du nord dans le sens NESO. La
direction du Nord magntique (Nm) est indique par laiguille aimante
dune boussole. La dclinaison magntique m est langle compris entre
la direction du Nord gographique (direction nord du mridien) et
celle du Nord magntique.
m = a - am
Figure 1-18 : La dclinaison magntique
Le ple magntique nest pas fixe et il en rsulte que la direction
du Nord magntique en un lieu varie dans le temps : il y a une
variation sculaire, lente et continue, et une variation journalire,
plus sensible, oscillant par rapport une valeur moyenne (Figure
3-19). Du fait des variations de la direction du Nord magntique,
ainsi qu cause des influences locales auxquelles laiguille aimante
dune boussole peut tre soumise, la rfrence magntique est peu
utilise en topographie.
24 Godsie
-
Elments de gomatique
Figure 1-19 : Variation journalire de la direction du Nord
magntique par rapport sa moyenne
A Lausanne en 2011, la valeur de la dclinaison magntique est
denviron 104. Elle augmente chaque anne denviron 9.
1.2.6. Systmes d'altitudes
L'altitude ellipsodique h est la distance, selon la normale,
entre un repre A et l'ellipsode de rfrence. Il s'agit d'une
grandeur purement gomtrique qui ne correspond pas l'altitude que
l'on obtient par nivellement et qui se rapporte au gode. Pour
passer de l'altitude ellipsodique h l'altitude usuelle H selon le
nivellement, il est ncessaire de connatre l'ondulation ou la cote
du gode N indique sur la Figure 3-20.
Figure 1-20 : La cote du gode (N)
En premire approximation : h = H + N La connaissance prcise du
gode dans une rgion est donc ncessaire si l'on veut pouvoir passer
d'un systme d'altitude l'autre. Elle implique de dterminer, pour un
ensemble de repres :
les altitudes ellipsodiques obtenues par observations des
satellites ;
les altitudes usuelles, issues des travaux de nivellement.
Godsie 25
-
Elments de gomatique
Figure 1-21 : Carte du gode en Suisse, variations exprimes en
m
2013 swisstopo (JD100064) Les recherches concernant les
ondulations du gode ont dbut vers 1930. La multiplication des
mesures gravimtriques prcises, sur les continents dabord, puis en
mer, ainsi que lunification de vastes rseaux de triangulation
constituant des ensembles cohrents trs tendus (Europe, URSS,
Etats-Unis), a permis de raliser les premires cartes donnant, sous
forme de courbes de niveau, les diffrences d'altitude entre le gode
et un ellipsode de rfrence. Plusieurs quipes de chercheurs ont
collect de trs nombreuses mesures et ont prsent des rsultats
largement concordants sous la forme de modles standard de la Terre
(Figure 3-9). La Suisse a galement dvelopp son propre modle local
du gode qui est dcrit par rapport au systme de rfrence godsique
CH1903. Ce modle est disponible auprs de lOffice fdral de
topographie sous forme numrique et permet une interpolation des
valeurs de cote N sur lensemble du territoire. Les valeurs de cotes
du gode stendent de -2m (Genve) + 4m (Grisons). Certains rcepteurs
GPS intgrent directement ce modle numrique de manire fournir
lutilisateur des altitudes usuelles compatibles avec les donnes des
rseaux de nivellement (Figure 3-21). Exemple altitude de lEPFL : h
(hauteur sur lellipsode) : 407,847 m N (cote du gode) : -1,548 m H
(usuelle) = h N = 407,847 (-1,548) = 409,395 m (ref : station AGNES
de lEPFL)
26 Godsie
-
Elments de gomatique
2. Systmes de projection
2.1. Dfinitions Les cartes gographiques et topographiques sont
des reprsentations planes de la surface terrestre. Pour les
obtenir, il faut faire appel aux systmes de projection : ils
tablissent une relation ponctuelle univoque entre deux surfaces
quelconques et il existe une infinit de solutions. Il sagit ici
dobtenir une image plane dune surface de rfrence terrestre,
ellipsode ou sphre. On ne traite que de projections dune de ces
surfaces dans le plan. Sur la surface de rfrence, on a le systme de
coordonnes gographiques (, ), tandis que dans le plan on dfinit un
systme de coordonnes rectangulaires (x, y). Une projection est
dfinie par les relations :
x = 1(, ) et y = 2(, )
Les deux fonctions 1 et 2 pouvant tre tout fait quelconques.
Cependant, on ne retient que les solutions qui prsentent un intrt
du point de vue cartographique. En rgle gnrale, lorsque lon
projette une surface S sur une deuxime surface S, une figure
gomtrique trace sur la surface originale change de grandeur et de
forme sur la surface de projection. On dit que la projection donne
lieu des dformations. On distingue trois types de dformations :
- la dformation linaire ; - la dformation angulaire ; - la
dformation de surface.
Il est possible de trouver des projections qui conservent les
angles ou les surfaces, ou des projections qui conservent certaines
distances (il nexiste aucune projection qui conserve toutes les
longueurs). Lorsque la surface originale est une sphre ou un
ellipsode de rvolution (les surfaces de rfrence employes pour les
calculs godsiques), il est impossible de trouver une projection de
ces surfaces sur un plan ou sur une surface dveloppable (les
surfaces de projection) qui ne provoque aucune dformation. On
choisira alors, suivant le but recherch, la projection qui donne
lieu aux dformations les plus petites ou les moins gnantes. Il y a
plusieurs faons dtablir une classification des divers systmes de
projection mis en uvre pour les travaux de topomtrie et de
cartographie. Cela dpend du critre de classification retenu :
- les proprits de la projection (conformit, quivalence,
quidistance)
- le type de surface de projection qui peut tre non seulement un
plan, mais aussi une surface dveloppable comme un cne ou un
cylindre de rvolution.
Systmes de projection 27
-
Elments de gomatique Les proprits des projections tablissent le
classement suivant :
- les projections conformes ou autogonales, qui conservent les
angles. Elles sont la base des cartographies topographiques car
elles permettent le report direct des angles mesurs sur le terrain.
Elles sont choisies pour un pays ou un groupe de pays, en tenant
compte de ltendue et de la forme gomtrique du territoire et pour
que les dformations linaires soient aussi petites que possible.
- les projections quivalentes, qui conservent les aires. Elles
sont intressantes pour tablir des cartes datlas.
- les projections qui ne conservent ni les angles ni les aires,
mais qui peuvent avoir dautres caractristiques intressantes suivant
les cas.
Le second procd de classement, dpendant du type de la surface de
projection, est le suivant :
- projections coniques ; - projections azimutales ; -
projections cylindriques.
Le cne, le plan ou le cylindre peuvent occuper une position
quelconque par rapport la surface de rfrence. Des exemples de
projections (Figure 4-1) sont dtaills dans la suite de lnonc.
Figure 2-1 : Classification des projections
En outre, on parle de projection normale dans le cas o le plan
est tangent lun des ples ou lorsque laxe du cne ou du cylindre est
confondu avec laxe des ples de la surface de rfrence.
28 Systmes de projection
-
Elments de gomatique La projection est transversale quand laxe
du cne ou du cylindre est perpendiculaire laxe de la surface de
rfrence ou lorsque le plan de projection est tangent la surface en
un point de lquateur. Dans tous les autres cas, la projection est
oblique.
2.2. Types de projection
2.2.1. Projections coniques
Gnralits
Considrons un cne de rvolution dont laxe est confondu avec laxe
NORD-SUD dune sphre reprsentant la Terre et qui est tangent cette
surface selon un parallle de contact de latitude 0 (Figure 4-2).
Par dfinition, une projection conique de la sphre a les
caractristiques suivantes :
- un mridien de la sphre se projette selon la gnratrice du cne
qui lui est tangente ;
- sur la gnratrice du cne, la position dun point est fonction de
sa latitude seulement.
Figure 2-2 : La projection conique
Lorsque lon dveloppe le cne (Figure 4-3), limage de la sphre est
un secteur circulaire sur lequel :
- les mridiens projets forment un faisceau de droites issues de
limage du sommet du cne ;
Systmes de projection 29
-
Elments de gomatique
- les parallles projets sont des cercles concentriques dont le
centre est limage du sommet du cne.
Figure 2-3 : Dveloppement du cne de projection Les mridiens et
les parallles sont orthogonaux sur la sphre et en projection ; ce
sont les directions principales des projections coniques.
Figure 2-4 : Projection de Ptolme (2me sicle aprs J.C.)
30 Systmes de projection
-
Elments de gomatique Exemple : projection conique conforme de
Lambert
(Jean-Henri Lambert, 1728-1777, mathmaticien franais) Cest le
systme de projection qui a t adopt pour la cartographie de la
France : un cne est tangent lellipsode de rvolution le long dun
parallle. Afin de maintenir les dformations linaires dans des
limites acceptables, ce sont en fait 3 cnes successifs qui ont t
placs pour la mtropole, plus un 4e pour la Corse. Le mridien
origine, devenant laxe des y, est celui de lobservatoire de Paris.
Laxe des x est, pour chaque zone, la tangente la projection dun
parallle central, au point situ sur le mridien origine :
- Zone Nord : Lambert I, = 55 gon N, parallle central - Zone
Centre : Lambert II, = 52 gon N, parallle central - Zone Sud :
Lambert III, = 49 gon N, parallle central - Zone Corse : Lambert
IV, = 46,85 gon N, parallle central
Ainsi, les dformations linaires sont normalement comprises entre
-12 cm/km et +16 cm/km, avec maximums +26 cm/km lextrme Nord et +36
cm/km lextrme Sud du pays. Avec la rforme de son systme godsique,
la France a galement dfini un nouveau systme de projection unique
et qui couvre lensemble du territoire, le systme Lambert-93 (Figure
4-5). Bien que les dformations soient importantes au Nord et au Sud
de la France, ce systme unique facilite les oprations de
transformations de coordonnes et permet de travailler avec un seul
systme pour des donnes numriques stockes dans une infrastructure
nationale de godonnes.
Figure 2-5 : Altration linaire des systmes de projection en
France
Systmes de projection 31
-
Elments de gomatique
2.2.2. Projections azimutales
Gnralits
Les projections azimutales peuvent tre considres comme des cas
particuliers des projections coniques dans lesquelles le cne de
projection est ouvert jusqu' ce que son sommet soit en contact avec
la sphre (le cne est devenu un plan) et que le parallle de contact
se rduise un point. Ces projections ont la particularit de
conserver les azimuts au point de contact. On projette la sphre sur
un plan tangent ; dans le cas dune projection azimutale normale, ce
plan est tangent la sphre lun des ples. Les mridiens se projettent
selon des droites concourantes et les parallles selon des cercles
concentriques ferms.
Exemples
On peut citer trois cas particuliers de projections azimutales :
la projection gnomonique, la projection strographique et la
projection orthographique. Il sagit de projections perspectives,
dont le centre de projection est situ sur laxe de rotation de la
Terre.
Figure 2-6 : Les projections gnomonique et strographique
2.2.3. Projections cylindriques
Gnralits
On peut aussi considrer les projections cylindriques comme cas
particuliers des projections coniques. On projette la sphre sur un
cylindre tangent que lon dveloppe pour obtenir le plan :
- projection cylindrique normale : laxe du cylindre concide avec
laxe de rotation de la Terre et le cylindre est tangent la sphre
terrestre le long de lquateur (exemple : projection de
Mercator).
32 Systmes de projection
-
Elments de gomatique
- projection cylindrique transversale : laxe du cylindre est
dans le plan de lquateur et le cylindre tangent la sphre terrestre
le long dun mridien (exemple : projection UTM).
- projection cylindrique oblique : laxe du cylindre est oblique
par rapport laxe de rotation de la Terre et le cylindre tangent la
sphre le long dun grand cercle quelconque (exemple : la projection
suisse).
Dans la suite, trois exemples de projections sont dvelopps. On
peut ajouter ces projections, la projection cylindrique quivalente
et la projection transverse Mercator.
Exemple 1 : Carte plate rectangulaire
(Marin de Tyr, env. 100 ap. J.-C.) Le cylindre est tangent la
sphre le long de lquateur ; les mridiens se projettent selon les
gnratrices du cylindre, les parallles selon des cercles directeurs.
En dveloppant le cylindre, limage des mridiens est faite de droites
parallles entre elles et celle des parallles terrestres de droites
perpendiculaires aux mridiens. Dans le plan, lquateur est une
droite qui dfinit laxe des abscisses x, et le mridien origine
devient laxe des ordonnes y (Figure 4-7). Les formules de la
projection sont les plus simples possible :
x = et y =
Figure 2-7 : La carte plate rectangulaire
La Terre est projete dans un rectangle de largeur 2r et de
hauteur r. Cette projection nest ni conforme, ni quivalente ; les
dformations augmentent en allant depuis lquateur (non dform) vers
les ples (dformation infinie).
Exemple 2 : Projection de Mercator
(Projection cylindrique conforme) En choisissant convenablement
la fonction 2, on peut obtenir une projection conforme :
Systmes de projection 33
-
Elments de gomatique
x r = et ln4 2
y r tg = +
La Terre est projete dans une bande de largeur 2r et de hauteur
infinie. Les dformations linaires augmentent en allant depuis
lquateur vers les ples qui sont rejets linfini ; les parallles
quidistants sont de plus en plus espacs (Figure 4-8).
Figure 2-8 : Carte rsultant de la projection Mercator
Cette projection, dite de Mercator (1512-1594, mathmaticien
flamand de son vrai nom Gerhard Kremer), est conforme et elle a
joui dune grande notorit pour la navigation cause de la proprit
suivante. Une loxodromie, qui est une ligne qui coupe tous les
mridiens sous le mme angle (azimut constant ou mme cap le long dune
route), est reprsente par une droite. Par contre, une orthodromie,
route la plus courte dun point un autre, est projete suivant une
courbe qui diffre dautant plus de la loxodromie que lon se trouve
plus loign de lquateur (Figure 4-9). La projection de MERCATOR a t
utilise pour l'tablissement de cartes petite chelle sur de trs
grandes surfaces et pour des reprsentations gnrales de la Terre
limites en principe aux latitudes jusqu' 75, car les dformations
deviennent trop importantes partir de cette valeur puisque les ples
sont rejets l'infini.
34 Systmes de projection
-
Elments de gomatique
Figure 2-9 : Loxodromie et orthodromie projetes selon
Mercator
Exemple 3 : Projection Universal Transverse Mercator
Une gnralisation du systme Transverse Mercator (il sagit dune
projection cylindrique transversale, le cylindre tant tangent
lellipsode le long dun mridien) pour toute la Terre, a conduit la
projection UTM, construite sur l'ellipsode international (Hayford).
Afin que les dformations linaires restent petites, la zone stendant
de part et dautre du mridien de contact est limite 3 de longitude.
La projection couvre donc un fuseau de 6 damplitude en longitude et
lon a fait un dcoupage de la Terre en 60 fuseaux. Le mridien de
Greenwich est la limite des fuseaux 30 ( louest) et 31 ( lest) ; la
Suisse se trouve dans le fuseau 32. Les formules et tables tablies
pour un fuseau sont valables pour tous les fuseaux, do la
dsignation de systme universel. En projetant le mridien de contact
en vraie grandeur, la dformation linaire atteint +40 cm/km (400
ppm) environ 200 km l'Est et l'Ouest du mridien central. Elle
dpasse mme +1 m/km 300 km. Pour rduire cet allongement des
distances projetes, on applique dans la projection UTM un
coefficient m de 0.9996 sur les distances projetes, donc sur les
coordonnes planes. Le mridien central est ainsi raccourci de 40
cm/km et le coefficient m prend les valeurs suivantes :
- sur le mridien central m = 0.9996 -40 cm/km - 180 km Est ou
Ouest m = 1.0000 vraie grandeur - 240 km m = 1.0004 + 40 cm/km -
300 km m = 1.0007 + 70 cm/km - 340 km m = 1.0010 + 1 m/km
Grandes zones Carrs de 100 km x 100 km
Paris : 31U Rouen : 31 UCQ Berlin : 33U Bastia : 32 TNN Rabat :
29S Toulouse : 31 TCI
Systmes de projection 35
-
Elments de gomatique
Figure 2-10 : Numrotation des fuseaux et des secteurs de la
projection UTM
2.3. Projection Suisse Comme toutes les cartographies, celle de
la Suisse est fonde sur un systme de projection. La premire carte
du pays tablie dans un systme unique a t la Carte Dufour lchelle 1
: 100'000 (1832-1864), selon une projection conique quivalente dite
projection de Bonne (mathmaticien franais du XVIIIme sicle).
Actuellement, toutes les donnes topographiques ainsi que les
nouvelles Cartes nationales dpendent dune projection conforme
adopte en 1903, appele projection Suisse.
2.3.1. Dfinition
Le systme, qui est la base des nouvelles triangulations et
cartographie de la Suisse (1903), est une double projection
conforme, cylindrique axe oblique. La surface de rfrence choisie
est lellipsode de Bessel (1880) : a = 6377397,155 b =
6356078,963
36 Systmes de projection
-
Elments de gomatique Le point central de la projection est situ
lancien observatoire de Berne : Latitude : B =46 57 08,66 N
Longitude : L = 7 26 22,50 E
= 0 h 29 m 45,5s E (systme horaire)
Lellipsode est plac tangent au gode au point central (la normale
lellipsode y est confondue avec la verticale). Il y a dabord une
projection conforme de lellipsode sur une sphre qui lui est
osculatrice, puis une projection conforme de cette sphre sur un
cylindre dont laxe est oblique par rapport laxe de la Terre. Le
dveloppement de ce cylindre donne le plan (Figure 4-11).
Figure 2-11 : La projection suisse
Pour distinguer les coordonnes gographiques du cas gnral (, ),
dans le cadre de la projection suisse, on les dsigne volontiers par
B (pour Breite) et L (pour Lnge), respectivement b et .
(B, L) : coordonnes gographiques sur lellipsode (b, ) :
coordonnes gographiques sur la sphre
La projection de lellipsode sur la sphre est dfinie par des
fonctions : b = 1(B) et = 2(L) choisies pour que la projection soit
conforme et pour que les dformations linaires soient aussi petites
que possible ; elles sont au plus de 1 mm pour 10 km.
Systmes de projection 37
-
Elments de gomatique La sphre est celle de courbure moyenne,
dont le rayon vaut :
r = 6378,816 km La projection conforme de la sphre dans le plan
est une projection de Mercator oblique ; le cylindre est tangent la
sphre le long du grand cercle passant par Berne et perpendiculaire
au mridien de Berne.
2.3.2. Coordonnes rectangulaires planes
En dveloppant le cylindre, on obtient deux droites
perpendiculaires entre elles qui dfinissent le systme de coordonnes
dans le plan de projection : limage du cercle de contact donne laxe
y ; limage du mridien de Berne donne laxe x orient au Nord (Figure
4-12).
Figure 2-12 : Le systme de coordonnes suisses avec leur origine
Berne"
Les autres mridiens que celui de Berne se projettent suivant des
courbes dont la courbure saccentue en sloignant vers lEst ou lOuest
depuis Berne ; limage des parallles est faite de courbes
perpendiculaires aux mridiens (projection conforme). L'origine est
Berne, mais on a introduit une translation de lorigine de 600 km
vers lOuest et de 200 km vers le Sud. Ainsi on a dfini :
Y = y + 600 km et X = x + 200 km. Par ces translations, on
ralise les avantages suivants :
pour lensemble du pays les coordonnes sont toujours positives
;
la plus petite valeur Y est plus grande que la plus grande
valeur X.
Ces coordonnes rectangulaires planes sont appeles aussi
coordonnes nationales. Attention !
Par convention, on a en Suisse : Y en abscisse, croissant dOuest
en Est X en ordonne, croissant du Sud au Nord
38 Systmes de projection
-
Elments de gomatique
Figure 2-13 : Le systme de coordonnes suisses "nationales" ou
"militaires"
Dans ce systme, la Suisse a pour coordonnes limites :
484 km < Y < 834 km 74 km < X < 296 km
Les coordonnes snoncent toujours dans lordre Y, X et elles sont
normalement exprimes en mtres avec deux dcimales : Exemple :
EPFL - Ecublens Y = 533154,13 m X = 152548,06 m
Les calculs lis la projection suisse sont un peu plus simples si
l'on exprime les coordonnes planes sans translation de l'origine,
c'est--dire avec y = Y - 600 km et x = X - 200 km, donc avec y = x
= 0 Berne. Parfois, les coordonnes y, x sont appeles civiles et Y,
X militaires, mais cet usage tend disparatre. Avec la rnovation du
systme godsique suisse (CH1903+), on a introduit un nouveau cadre
de coordonnes MN95 qui diffre quelques peu (1 2 m) de la ralisation
MN03. Afin de distinguer ces deux cadres de coordonnes, on
introduit une translation supplmentaire pour MN95.
YMN95 = y + 2600 km et XMN95 = x + 1200 km.
2.3.3. Convergence du mridien
La convergence du mridien est langle compris entre le mridien et
une parallle laxe des X. Cest lazimut de la direction du Nord de la
carte. Comme cest un angle petit, il est exprim positivement ou
ngativement selon le cas.
Systmes de projection 39
-
Elments de gomatique Dans la projection suisse, on a
- = 0 pour tous les points situs sur le mridien de Berne - >
0 si lon est lest de ce mridien - < 0 si lon est louest de ce
mridien
Les valeurs extrmes pour la Suisse sont :
- lest = + 2,3 (+ 2,6 gon) Grisons - louest = - 1,1 (- 1,2 gon)
Genve
La Figure 4-14 rcapitule les diffrentes directions de rfrence du
Nord, les angles compris entre elles, et les angles dorientation.
Il en dcoule les relations suivantes, les diffrents angles tant
prendre avec leur signe :
Azimut magntique : am = a - m On trouve en marge de toutes les
cartes nationales au 1 : 25000 et 1 : 50000 la valeur de la
correction totale dclinaison et convergence du mridien, valable
pour le milieu de la carte une date donne, ainsi que la variation
annuelle.
Figure 2-14 : Les diffrentes directions de rfrence du Nord
2.3.4. Conversion de coordonnes planes et gographiques
On trouve les dveloppements thoriques et les formules relatives
la projection suisse dans des ouvrages de rfrence. Pour un calcul
rigoureux, il faut utiliser les formules qui y sont dcrites. On
donne ici des formules simplifies qui permettent la conversion avec
une prcision suffisante pour certains usages. Rappelons les
dsignations avec les units quelles ont dans les formules qui
suivront :
- L = longitude E de Greenwich, en secondes sexagsimales
- B = latitude, en secondes sexagsimales - y, x = coordonnes
planes civiles, en mtres
40 Systmes de projection
-
Elments de gomatique En Suisse :
- 1 en latitude correspond 31 m le long dun mridien - 1 en
longitude correspond 21 m le long dun parallle
Les donnes de base suivantes permettent deffectuer les calculs
de transformation de coordonnes entre (B0, L0) et (y, x) (ou (Y,
X)) : Latitude du point central de la projection : B0 = 46 57
08,66
B0 =169'028,66 Longitude du point central de la projection : L0
= 7 26 22,50 L0 = 26'782,50 Coordonnes planes nationales
(militaires) : Y = y + 600'000 m X = x + 200'000 m
2.3.5. Conversion de y, x en L, B
Les formules donnent L, B 1 prs. Cela quivaut connatre y, x 30 m
prs. Calcul de B latitude Nord B = 169029 + 3,239 10-2 x - 2,714
10-9 y2 Pour avoir B (degrs et parties dcimales du degr), diviser B
par 3600. Calcul de L longitude Est de Greenwich L = 26783 + 4,730
10-2 y + 7,926 10-9 y x Pour avoir L (degrs et parties dcimales du
degr), diviser L par 3600.
2.3.6. Conversion de L, B en y, x
Les formules donnent y, x 50 m prs si lon connat B, L 1 prs. Il
faut dabord calculer la longitude rduite et la latitude rduite en
secondes () : = L - 26 783 = B - 169 029 Calcul de y en mtres y = +
21,143 - 1,094 10-4 - 4,423 10-11 3 Calcul de x en mtres x = +
30,877 + 3,745 10-5 2 - 1,937 10-10 2
2.3.7. Calcul de la convergence du mridien
La valeur de la convergence du mridien varie dun lieu un autre ;
elle dpend donc des coordonnes de ce lieu. On donne ci-dessous une
formule qui permet de la calculer partir des coordonnes
rectangulaires planes civiles (y, x).
= convergence du mridien, en gons y, x = coordonnes planes
civiles, en mtres
Systmes de projection 41
-
Elments de gomatique La formule permet dobtenir 1mgon prs si on
connat y, x 10 m prs. Calcul de en gon
gon = + 1,06680 10-5 y + 1,788 10-12 y x - 1,4 10-19 y3 + 4,3
10-19 y x2
Pour avoir (degrs et parties dcimales du degr), multiplier gon
par 0,9.
2.3.8. Dformation linaire
La dformation linaire dpend essentiellement de lloignement par
rapport laxe X = 200 (axe neutre non dform). La projection de la
sphre dans le plan a pour effet un allongement des longueurs. En
introduisant les dsignations :
os : distance sphrique au niveau de la mer s : distance projete
dans le plan de projection (Y, X)
dforme x : coordonne civile moyenne du ct de longueur s r :
rayon de la sphre terrestre (= 6 378,8 km)
On a la relation :
0 xs s = La correction x exprime en mtres pour un ct de 1 km est
:
[ ] [ ]( ) [ ]( )2
225
2 2
2001000 1000 1.23 10 200
2 2.6379xX kmxm m m X km
r
= = =
Ainsi, la correction de dformation linaire en mm par km est
:
[ ] [ ]( )221.23 10 200x ppm X km = et les relations pour
calculer la distance au niveau de la mer en fonction de la distance
plane et rciproquement sont :
[ ]( )60 1 10xs s ppm = [ ]( )60 1 10xs s ppm = +
Le Tableau 4-1 donne la valeur de x pour quelques loignements
par rapport laxe neutre.
(X -200) [km] x [mm/km] 0 0 25 8 50 31
100 123 125 (Sud Tessin) 192 Tableau 2-1 : Les dformations
linaires
42 Systmes de projection
-
Elments de gomatique A l'EPFL - Ecublens :
X = 152.55 km x = 28 mm/km.
La dformation linaire nest pas ngligeable : on doit en tenir
compte dans les applications topomtriques qui font intervenir des
distances mesures dans le terrain et que lon doit utiliser dans le
plan (Y, X) pour des calculs.
Figure 2-15 : Carte de la Suisse avec les valeurs de la
convergence du mridien et de la dformation linaire
Source : swisstopo
2.3.9. Exemple
EPFL - Ecublens Coordonnes nationales : Y = 533 155 m et X = 152
553 m Longitude L : L = 23646
L = 6,5683= 634 06 E ou 0h 26m 16,4s E Latitude B : B =
167480
B = 46,5222 = 46 31 20 N Convergence du mridien : gon = -
0,708gon = - 0 38 12
Systmes de projection 43
-
Elments de gomatique Notes :
44 Systmes de projection
-
Elments de gomatique
Systmes de projection 45
-
Elments de gomatique
3. Rfrences
On donne ici quelques rfrences bibliographiques utiles et
complmentaires au contenu de ce polycopi. Cette liste nest de loin
pas exhaustive.
Rfrences godsiques
Dufour J-P., (2001), Introduction la godsie, Ed. Herms Science
Publication Swisstopo, (2009), Dfinition de la nouvelle mensuration
nationale de la Suisse MN95 , rapport 21, 2009 Projections et
cartographie
Yang Q.H. et al, (2000), Projection transformation : principles
and applications, Ed. Taylor & Francis
Le Fur A., (2007), Pratiques de la cartographie, 2me dition, Ed.
Armand Colin Weger G., (1999), Smiologie graphique et conception et
conception cartographique, cole nationale des sciences
gographiques. Darteyre JP, (2008), Cours de cartographie, cole
nationale des sciences gographiques.
46 Rfrences
-
Elments de gomatique 4. Table des figures Avertissement La
plupart des figures de ce polycopi ont t cres lEPFL. Toutefois, les
auteurs ont utilis un certain nombre de ressources dont les
rfrences sont cites. Si lune ou lautre de ces ressources ne sont
pas rfrences correctement ou font lobjet dun droit dusage
particulier, nous vous prions de bien vouloir le signaler lauteur.
Figure 1-1 : Premire dtermination du rayon terrestre par Eratosthne
250 ans avant J.C.
.............................................................................
5 Figure 1-2 : Chane de triangles
............................................................................
6 Figure 1-3 : Premier rseau godsique mondial obtenu par
triangulation spatiale
..............................................................................................
8 Figure 1-4 : Orbites polaires des cinq satellites du systme de
TRANSIT
................................................................................................................
8 Figure 1-5 : Le gode
..........................................................................................
10 Figure 1-6 : Nouveau rseau de points fixes du cadre de
coordonnes Suisse MN95
.................................................................................
11 Figure 1-7 : Schma d'un margraphe
............................................................... 12
Figure 1-8 : Rseau principal de nivellement en Suisse.
................................. 13 Figure 1-9 : Carte du gode
mondial, modle EGM96 (source NASA) Variations exprimes en m
...................................................................
14 Figure 1-10 : L'ellipsode de rvolution
............................................................. 15
Figure 1-11 : Forme en poire du gode
............................................................ 16
Figure 1-12 : Lignes de coordonnes
................................................................ 18
Figure 1-13 : Les coordonnes sur la sphre
.................................................... 19 Figure 1-14
: Les coordonnes sur l'ellipsode
................................................. 19 Figure 1-15 :
La dviation de la verticale
.......................................................... 20
Figure 1-16 : Ellipsode global - ellipsode local (B : latitude du
lieu)
.........................................................................................................................
21 Figure 1-17 : Les mridiens et azimuts
.............................................................. 24
Figure 1-18 : La dclinaison magntique
.......................................................... 24
Figure 1-19 : Variation journalire de la direction du Nord
magntique par rapport sa moyenne
.............................................................. 25
Figure 1-20 : La cote du gode (N)
...................................................................
25 Figure 1-21 : Carte du gode en Suisse, variations exprimes en m
............ 26 Figure 2-1 : Classification des projections
........................................................ 28 Figure
2-2 : La projection conique
.....................................................................
29 Figure 2-3 : Dveloppement du cne de projection
....................................... 30 Figure 2-4 : Projection
de Ptolme (2me sicle aprs J.C.) ............................ 30
Figure 2-5 : Altration linaire des systmes de projection en France
.....................................................................................................................
31 Figure 2-6 : Les projections gnomonique et strographique
....................... 32 Figure 2-7 : La carte plate
rectangulaire
............................................................ 33
Figure 2-8 : Carte rsultant de la projection Mercator
.................................... 34 Figure 2-9 : Loxodromie et
orthodromie projetes selon Mercator ............. 35 Figure 2-10 :
Numrotation des fuseaux et des secteurs de la projection UTM
....................................................................................................
36 Figure 2-11 : La projection suisse
......................................................................
37
Table des figures 47
-
Elments de gomatique Figure 2-12 : Le systme de coordonnes
suisses avec leur origine Berne"
....................................................................................................................
38 Figure 2-13 : Le systme de coordonnes suisses "nationales" ou
"militaires"
.............................................................................................................
39 Figure 2-14 : Les diffrentes directions de rfrence du Nord
...................... 40 Figure 2-15 : Carte de la Suisse avec les
valeurs de la convergence du mridien et de la dformation linaire
......................................................... 43
48 Table des figures
1. Godsie1.1. Bases et dfinitions1.1.1. Forme de la Terre1.1.2.
Godsie gomtrique1.1.3. Godsie spatiale1.1.4. Godsie physique
gode1.1.5. Altitudes1.2. Rfrences godsiques1.2.1. Surface de
niveau, gode et ellipsode1.2.2. Surfaces de rfrence1.2.3.
Coordonnes terrestres1.2.4. Ellipsode et changement de systme
Gnralits Ellipsode global Ellipsode local Changement de systme
godsique1.2.5. Azimut, azimut magntique1.2.6. Systmes d'altitudes2.
Systmes de projection2.1. Dfinitions2.2. Types de projection2.2.1.
Projections coniques Gnralits Exemple : projection conique conforme
de Lambert2.2.2. Projections azimutales Gnralits Exemples2.2.3.
Projections cylindriques Gnralits Exemple 1 : Carte plate
rectangulaire Exemple 2 : Projection de Mercator Exemple 3 :
Projection Universal Transverse Mercator2.3. Projection
Suisse2.3.1. Dfinition2.3.2. Coordonnes rectangulaires planes2.3.3.
Convergence du mridien2.3.4. Conversion de coordonnes planes et
gographiques2.3.5. Conversion de y, x en L, B2.3.6. Conversion de
L, B en y, x2.3.7. Calcul de la convergence du mridien2.3.8.
Dformation linaire2.3.9. ExempleNotes :3. Rfrences4. Table des
figures