Podstawowe sposoby opisu niepewności, wybrane zagadnienia zastosowania estymacji rekursywnej dla potrzeb monitorowania i diagnostyki w systemach sterowania Monitorowanie i Diagnostyka w Systemach Sterowania Monitorowanie i Diagnostyka w Systemach Sterowania (MiDwSS MiDwSS) MiDwSS 2013 Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Kierunek: Automatyka i Robotyka Specjalność: Systemy Sterowania i Wspomagania Decyzji Studia stacjonarne II stopnia: rok I, semestr II Opracowanie: dr inż. Tomasz Rutkowski
95
Embed
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki · Wydział Elektrotechniki i Automatyki Kierunek: Automatyka i Robotyka Specjalność: Systemy Sterowania i Wspomagania
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Podstawowe sposoby opisu niepewności,wybrane zagadnienia zastosowania estymacji rekursywnej dla potrzeb monitorowania i diagnostyki w systemach sterowania
Monitorowanie i Diagnostyka w Systemach SterowaniaMonitorowanie i Diagnostyka w Systemach Sterowania((MiDwSSMiDwSS))
MiDwSS 2013
Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Kierunek: Automatyka i Robotyka
Specjalność: Systemy Sterowania i Wspomagania Decyzji
Studia stacjonarne II stopnia: rok I, semestr II
Opracowanie: dr inż. Tomasz Rutkowski
Plan prezentacjiPlan prezentacji
• Podstawowe sposoby opisu niepewności
• Liniowe i rekursywne postaci obserwatorów Luenbergera Filtr RLS (ang. Recursive Least Squares) Filtr WRLS (ang. Weighted Recursive Least Squares) Filtr Kalmana (ang. Kalman Filter, KF )
• Nieliniowe i rekursywne postaci obserwatorów
MiDwSS 2013 2
• Nieliniowe i rekursywne postaci obserwatorów Filtr RLS i WRLS Rozszerzony Filtr Kalmana (ang. Extended Kalman Filter,
EKF)
• Sformułowanie zadań estymacji punktowej (RLS, WRLS) oraz przedziałowej (ang. set bounded) zmiennych i parametrów obiektów dynamicznych (liniowych/nieliniowych) na ruchomym oknie pomiarowym – zadania optymalizacji
Schemat ideowy układu diagnostykiSchemat ideowy układu diagnostyki
• PRZYKŁADOWE ESTYMATORY
MiDwSS 2013 3
• PRZYKŁADOWE ESTYMATORY
Schemat ideowy układu diagnostykiSchemat ideowy układu diagnostyki
• Estymacja parametrów
Filtr RLS
Filtr WRLS
Rozszerzony Filtr Kalmana
estymatory oparte o metody optymalizacji (rozwiązanie odpowiednich zadań optymalizacji prowadzących do estymatpunktowych lub przedziałowych)
…
MiDwSS 2013 4
…
• Estymacja wyjść/stanu:
Obserwator Laundbergera
Filtr Kalmana, Rozszerzony Filtr Kalmana
estymatory oparte o metody optymalizacji (rozwiązanie odpowiednich zadań optymalizacji prowadzących do estymatpunktowych lub przedziałowych)
…
OB
X Y
Θ
Θ
Schemat ideowy układu diagnostyki Schemat ideowy układu diagnostyki –– estymacja parametrówestymacja parametrów
MiDwSS 2013
Θ
5
OB - Obiekt
X - sygnał wejściowy
Y - sygnał wyjściowy
- parametry obiektuΘ
- estymata parametrów obiektuΘ
OB
OB
Y)
YX
Schemat ideowy układu diagnostyki Schemat ideowy układu diagnostyki –– estymacja wyjść/stanuestymacja wyjść/stanu
MiDwSS 2013 6
OB - Obiekt
X - sygnał wejściowy
Y - sygnał wyjściowy
- estymata sygnału wyjściowego z obiektuY)
YYe)
−= - residuum
OB
X Y
Θ
,Θ
Schemat ideowy układu diagnostyki Schemat ideowy układu diagnostyki –– estymacja parametrów i/lub wyjścia/stanuestymacja parametrów i/lub wyjścia/stanu
• Estymacja to proces podejmowania decyzji lub wydawania sądu, co do przybliżonej wartości pewnych parametrów czy zmiennych charakteryzujących dany obiekt, na podstawie dostępnej informacji o obiekcie, łącznie z danymi o procesach w nim zachodzących, uporządkowane w danym zbiorze obserwacji.
MiDwSS 2013 8
• Idea obserwatora stanu polega na wykorzystaniu sygnałów wejściowych i wyjściowych systemu dynamicznego do estymacji (śledzenia zmienności) zmiennych stanu.
• Idea filtracji polega na takim przekształceniu sygnału „wejściowego”, przez filtr o odpowiedniej strukturze, aby wynik filtracji jak najmniej różnił się od sygnału „odniesienia” przy założonym kryterium błędu.
• PODSTAWOWE MODELE NIEPEWNOŚCI
MiDwSS 2013 9
• PODSTAWOWE MODELE NIEPEWNOŚCI
Modele niepewnościModele niepewności
• W praktyce każdy zbiór rzeczywistych obserwacji zawiera informacje obarczone błędami, co związane jest to głównie z niepewnością, niedeterministycznym charakterem obiektu.
• Uwzględniając fakt, iż nie zawsze dysponujemy „pełną” informacją pomiarową (chociażby ze względów finansowych)
MiDwSS 2013 10
problem estymacji można zdefiniować jako szacowanie wielkości niemierzonych (nieznanych) parametrów i zmiennych charakteryzujących obiekt na podstawie dostępnych obserwacji (pomiarów) innych parametrów i zmiennych badanego obiektu oraz na bazie modelu matematycznego obiektu opisującego relacje pomiędzy charakteryzującymi go zmiennymi i parametrami.
Modele niepewnościModele niepewności
• Wykorzystanie modeli matematycznych jak i danych pomiarowych, w celu estymacji nieznanych parametrów i zmiennych charakteryzujących obiekt, jednoznacznie wiąże się z niepewnością.
• Źródła niepewności wynikają przede wszystkim z:
MiDwSS 2013 11
błędów struktury modelu matematycznego, niepewnych parametrów modelu matematycznego, błędów pomiarowych obserwowanych wielkości, błędów metod numerycznych i symulacji (dokładność
obliczeń, błędy zaokrągleń itp.), wiedzy a priori oraz heurystyk wykorzystanych przy budowie
modelu systemu (niepewność w tym przypadku jest bardzo trudna do oszacowania).
Modele niepewnościModele niepewności
• Trudno jest wskazać uniwersalną metodę opisu niepewności.
• Przy wyborze jej odpowiedniej reprezentacji należy wziąć pod uwagę między innymi następujące aspekty związane z jej opisem: przyczyny niepewności,
MiDwSS 2013 12
przyczyny niepewności, ilość jak i jakość dostępnej informacji, typ dostępnej informacji, metody przetwarzania dostępnych informacji, itp.
Modele niepewnościModele niepewności
• Wyróżnia się wiele sposobów opisu niepewności, z których najczęściej wykorzystuje się następujące modele:
probabilistyczny model niepewności,
rozmyty model niepewności,
MiDwSS 2013 13
rozmyty model niepewności,
model niepewności wyrażony w postaci zbiorów ograniczonych (ang. set-bounded).
Modele niepewnościModele niepewności
• Probabilistyczny model niepewności:
nieznane wielkości reprezentowane są przez wartości zmiennych losowych wylosowanych ze ściśle określonych zbiorów, niepewność opisana jest przez rozkład prawdopodobieństwa; trajektorie tych wielkości są reprezentowane przez procesy stochastyczne.
MiDwSS 2013 14
Modele niepewnościModele niepewności
• Probabilistyczny model niepewności
Zmienna losowa:
nxxxX ,,,
21K∈
MiDwSS 2013 15
Prawdopodobieństwo że zmienna losowa X przyjmie wartość ze zbioru [a, b]:
[ ]( )baXP ,∈
Modele niepewnościModele niepewności
• Probabilistyczny model niepewności
Średnia
∑=
=
n
i
ix
n
x
1
1
MiDwSS 2013 16
Wartość oczekiwana (najbardziej prawdopodobna w sensie statystycznym)
( ) ∑=
∞→
=
n
i
in
xn
XE
1
1lim
( )x
mmXXE ==== µ
inne oznaczenia
Modele niepewnościModele niepewności
• Probabilistyczny model niepewności
Wariancja
( )( )[ ] ( )[ ] ( )∑=
∞→
−=−=−=
n
i
in
mxn
mXEXEXE
1
222 1limυ
MiDwSS 2013 17
Odchylenie standardowe
υσ =
wartość rozrzutu realizacji wokół wartości średniej
wartość koncentracji realizacji xiw przedziale [m-σ, m+σ]
( )( )[ ] ( ) ( )222
XEXEXEXE −=−=υ
Modele niepewnościModele niepewności
• Probabilistyczny model niepewności
Dystrybuanta zmiennej losowej X:
( )( )
( )xXPn
xnxF ≤== lim
Przykład: rozkład Gaussa
MiDwSS 2013 18
( ) ( )xXPn
xFn
≤==∞→
lim
Wyraża prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą lub równą x
F(x
)
Modele niepewnościModele niepewności
• Probabilistyczny model niepewności
Gęstość prawdopodobieństwa
( )( )
dx
xdFxf = Przykład: rozkład Gaussa
MiDwSS 2013 19
dx
f(x
) ( )
2
2
1
2
1
−−
=σ
πσ
mx
exf
( )2,~ σmNX
Modele niepewnościModele niepewności
• Probabilistyczny model niepewności
Rozkład Gaussa – podstawowe właściwości
Jeżeli a to
2)(1
1
+−
−bamy
( )2,~ σmNX baXY += ( )22,~ σabamNY +
MiDwSS 2013 20
Jeżeli i są niezależne, oraz ito
( ))(
2
1
2
1
+−−
=σ
πσ
a
bamy
ea
yf
( )2111
,~ σmNX1
X2
X ( )2222
,~ σmNX
( )( )
( )
( )22
2
1
2
21)(
2
1
2
2
2
1
21
2
1σσ
σσπ
+
+−
−
+
=+
mmx
exxf
Modele niepewnościModele niepewności
• Probabilistyczny model niepewności
Kowariancja
( ) ( ) ( ) nnyxyxyx ,,,,,,
2211K
MiDwSS 2013 21
( ) ( )yYxXPyxF ≤≤= i ,
( ) ∑=
∞→
==
n
i
in
xx
nXEm
1
1lim ( ) ∑
=
∞→
==
n
i
in
yy
nYEm
1
1lim
( )[ ] ( )∑=
∞→
−=−=
n
i
xin
xxmx
nmXE
1
22 1limυ ( )[ ] ( )∑
=
∞→
−=−=
n
i
yin
yy mxn
mXE
1
22 1limυ
Modele niepewnościModele niepewności
• Probabilistyczny model niepewności
Kowariancja (cd.)
( )( )[ ] ( )( )∑∞→
−−=−−=
n
yixin
yxxymymx
nmYmXEc
1lim
MiDwSS 2013 22
( )( )[ ] ( )( )∑=
∞→i
yixin
yxxyn 1
yx
xy
xy
c
σσρ =
-gdy zmienne niezależne to: ρxy=0- gdy zmienne zależne to: -1 ≤ ρxy ≤ 1
Modele niepewnościModele niepewności
• Probabilistyczny model niepewności
Macierz wariacyjno-kowarjacyjna dla n zmiennych losowych
xxxxx
ccυ L
MiDwSS 2013 23
=
nnn
n
n
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xx
cc
cc
cc
C
υ
υ
υ
L
MMM
L
L
21
2212
1211
Modele niepewnościModele niepewności
• Probabilistyczny model niepewności
Autokorelacja
( ) ( ) ( )[ ]2121
,, tXtXEttR =
MiDwSS 2013 24
Jeżeli proces jest stacjonarny to:21tt −=τ
( ) ( ) ( )[ ]ττ −= tXtXER ,
Modele niepewnościModele niepewności
• Probabilistyczny model niepewności
Biały szum
( )τR
MiDwSS 2013 25
ττ−
Modele niepewnościModele niepewności
• Model niepewności w postaci zbiorów ograniczonych (ang. set-bounded):
niepewne wielkości reprezentowane są w postaci ograniczeń dolnych i górnych, wewnątrz których na pewno znajdują się nieznane wielkości, trajektorie ograniczeń są modelowane przez ograniczone zbiory w przestrzeni trajektorii.
MiDwSS 2013 26
t
y
ym(t)
ym(t)-εm(t)
ym(t)-εm(t)
+
-
)()()( ttytymm
ε+=
)()()( tttmmm
+−
≤≤ εεε
znane a priori
Pomiar:
Modele niepewnościModele niepewności
• Model niepewności w postaci zbiorów ograniczonych (ang. set-bounded):
niepewne wielkości reprezentowane są w postaci ograniczeń dolnych i górnych, wewnątrz których na pewno znajdują się nieznane wielkości, trajektorie ograniczeń są modelowane przez ograniczone zbiory w przestrzeni trajektorii.
MiDwSS 2013 27
Estymaty zmiennej stanu x(t):
t
x xmax(t)
xmin(t)
x(t)
x(t) ^
2
ˆˆmaxminarg:ˆ zxx
zx
−
∈∈ XX
)](),([)(ˆ maxmintxtxt =X
centrum Czybyszewa
Modele niepewnościModele niepewności
• Rozmyty model niepewności:
bazuje na teorii zbiorów rozmytych, niepewne wielkości reprezentowane są przez wartości zmiennych rozmytych, zdefiniowanych bezpośrednio przez funkcję przynależności.
( )eµ
Zbiór rozmyty błędu prędkości eV
MiDwSS 2013 28
( )Veµ
s
m
eV
1
20− 0 20
„bliski zera” „dodatni duży”„ujemny duży”
• ESTYMACJA PARAMETRÓW
MiDwSS 2013 29
• ESTYMACJA PARAMETRÓW
OB
X Y
Θ
Θ
Schemat ideowy układu diagnostyki Schemat ideowy układu diagnostyki –– estymacja parametrówestymacja parametrów
MiDwSS 2013
Θ
30
OB - Obiekt
X - sygnał wejściowy
Y - sygnał wyjściowy
- parametry obiektuΘ
- estymata parametrów obiektuΘ
Schemat ideowy układu estymacjiSchemat ideowy układu estymacji
UrządzeniaUrządzenia
Stan
Sterowanie
Pomiary wyjść
Estymaty
Źródła błędówsystemu
System/
Obiekt
System/
Obiekt
MiDwSS 2013 31
pomiarowepomiarowe
Estymator
Źródła błędów pomiarowych
Estymaty stanu/
parametrów
Pomiary wejśćUrządzenia
pomiarowe
Urządzenia
pomiarowe
Źródła błędów pomiarowych
Podstawowy model pomiarowyPodstawowy model pomiarowy
• Model pomiarowy
eyy~~
+=
wartość prawdziwawartość mierzona
błąd pomiaru
eyy)
+= ˆ~
yye −=~~
yye ˆ~−=
)
MiDwSS 2013 32
eyy)
+= ˆ~
błąd resztkowy (residuum)
wartość mierzona wartość estymowana
e~
- wartość praktycznie nigdy nieznana; mechanizm generujący ten błądzwykle jest aproksymowany przez pewien znany proces(np. szum gaussowski o zerowej wartości średniej i znanej wariancji σ2
lub zbiór ograniczony o granicach znanych a priori )
e
)
- wartość znana w momencie wyznaczenia wartości estymowanej zmiennej
yye ˆ~−=
)
• ESTYMACJA PARAMETRÓW – LRS, WRLS
MiDwSS 2013 33
• ESTYMACJA PARAMETRÓW – LRS, WRLS
Estymacja parametrów Estymacja parametrów –– filtr RLS (ang. filtr RLS (ang. RecursiveRecursive LeastLeast SquaresSquares))
• Idea RLS
Zakładamy, że pewien obiekt (proces) generuje wektor xskładający się z N zmiennych x(1), x(2),…, x(N)
Zakładamy niezmienność procesu Nie możemy ich zmierzyć bezpośrednio ale dysponujemy
aparaturą pomiarową, która umożliwia pomiar M-
MiDwSS 2013 34
aparaturą pomiarową, która umożliwia pomiar M-elementowego wektora z: z(1), z(2),…, z(M), M>N:
gdzie H to macierz układu pomiarowego o wymiarach MxN
v to addytywny szum pomiarowy
Estymatę x oznaczamy jako a odpowiadający jej błąd
vHxz +=
vxHz ˆˆ +=
x v
Estymacja parametrów Estymacja parametrów –– filtr RLS (ang. filtr RLS (ang. RecursiveRecursive LeastLeast SquaresSquares))
• Idea RLS (cd.)
Estymata będzie tym lepsza im mniejszy będzie błąd sumy kwadratów związany z
∑=
==
M
i
i
TvvvJ
1
2ˆˆ
x
v
MiDwSS 2013 35
podstawiając:
J osiąga minimum gdy:
=i 1
( ) 0ˆˆ
=−−=∂
∂xHzH
x
J T
( ) ( )xHzxHzJT
ˆˆ −−=
Estymacja parametrów Estymacja parametrów –– filtr RLS (ang. filtr RLS (ang. RecursiveRecursive LeastLeast SquaresSquares))
• Idea RLS (cd.)
Po kolejnych przekształceniach
zHxHHTT
=ˆ
( ) zHHHxTT
1
ˆ−
=
MiDwSS 2013 36
( ) zHHHxTT
ˆ =
Czy jest to rozwiązanie efektywne ?
Estymacja parametrów Estymacja parametrów –– filtr RLS (ang. filtr RLS (ang. RecursiveRecursive LeastLeast SquaresSquares))
• Przykład rekurencji
Rekurencyjne wyznaczanie średniej: ∑=
=
n
i
inx
n
x
1
1
=
−
+=+= ∑∑−− 11
11111nn
x
n
xxxx
MiDwSS 2013 37
=
−
+=+= ∑∑== 11 1 i
in
i
innx
nn
x
n
x
n
x
n
x
( )111
111
−−−
−+=−
+=nnnnnxx
n
xx
n
n
x
n
Estymacja parametrów Estymacja parametrów –– filtr RLS (ang. filtr RLS (ang. RecursiveRecursive LeastLeast SquaresSquares))
• Standard rekursywnej, adaptacyjnej estymaty parametrów
nowa estymata = jej prognoza + korekta
korekta = wzmocnienie * (pomiar-prognoza pomiaru)
MiDwSS 2013 38
korekta = wzmocnienie * (pomiar-prognoza pomiaru)
Estymacja parametrów Estymacja parametrów –– filtr RLS (ang. filtr RLS (ang. RecursiveRecursive LeastLeast SquaresSquares))
• Wyprowadzenie RLS
Wykorzystując poprzednie wyprowadzenie dla metody najmniejszych kwadratów:
i wprowadzając oznaczenie bieżącego pomiaru k:
( ) zHHHxTT
1
ˆ−
=
MiDwSS 2013 39
i wprowadzając oznaczenie bieżącego pomiaru k:
Otrzymuje się ostatecznie rekursywną postać filtru RLS:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )kzkHkHkHkxTT
1
ˆ−
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]=+−++=+ kxkhkzkKkxkxT
ˆ11ˆ1ˆ
( ) ( ) ( ) ( )[ ]1ˆ1ˆ +−++= kzkzkKkx
Estymacja parametrów Estymacja parametrów –– filtr RLS (ang. filtr RLS (ang. RecursiveRecursive LeastLeast SquaresSquares))
• Wyprowadzenie RLS (cd.)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1ˆ1ˆ1ˆ +−++=+ kzkzkKkxkx
nowaestymata
jejprognoza
błąd pomiędzy pomiarem a jego prognozą
MiDwSS 2013 40
korekta
( ) ( ) ( )kxkhkzT
ˆ11ˆ +=+
nowy, znanywektor
staraestymata
Estymacja parametrów Estymacja parametrów –– filtr RLS i WRLSfiltr RLS i WRLS
• Algorytm estymacji (dla RLS λ=1, dla WRLS λ<1)1. Inicjalizacja: estymata N-elementowego wektora x na podstawie N
pierwszych pomiarów
( )1,,...,,21
λλλ−−
=NNdiagW
( ) ( ) ( )( ) 1−
⋅⋅= NHWNHNPT
( ) ( ) ( ) ( )NzWNHNPNxT
⋅⋅⋅=ˆ
Nk =
MiDwSS 2013 41
2. Nowy pomiar z(k+1), nowe h(k+1) i nowy szum v(k+1):
3. Modyfikacja wzmocnienia:
Nk =
( ) ( ) ( ) ( )11ˆ11ˆ +++⋅+=+ kvkxkhkzT
( ) ( ) ( ) ( )( ) 1
111−
+⋅⋅++=+ khkPkhkcT
λ
( ) ( ) ( ) ( )111 +⋅+⋅=+ kckhkPkK
Estymacja parametrów Estymacja parametrów –– filtr RLS (ang. filtr RLS (ang. RecursiveRecursive LeastLeast SquaresSquares))
4. Predykcja parametru – korekta estymaty wielkości szukanej:
5. Modyfikacja macierzy P:
6. Następna iteracja:
( ) ( ) ( )( ) ( )NPkhkKkPT
⋅+⋅+−Ι=+ 111
1λ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )kxkhkzkKkxkxT )
⋅+−+⋅++=+ 111ˆ1ˆ
MiDwSS 2013 42
6. Następna iteracja:
Skok do kroku 2
1+= kk
Estymacja parametrów Estymacja parametrów –– filtr WRLS filtr WRLS (ang. (ang. WeightedWeighted RecursiveRecursive LeastLeast SquaresSquares))
• Idea WRLS
Estymata będzie tym lepsza im mniejszy będzie błąd sumy kwadratów związany z , przy uwzględnieniu diagonalnej macierzy wag W:
Schemat ideowy układu diagnostyki Schemat ideowy układu diagnostyki –– estymacja wyjść/stanuestymacja wyjść/stanu
MiDwSS 2013 52
OB - Obiekt
U - sygnał wejściowy
Y - sygnał wyjściowy
- estymata sygnału wyjściowego z obiektuY)
YYe)
−=
Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu
• Idea obserwatora Luenbergera
wymaga znajomości wszystkich zmiennych stanu, wymagane są „idealne” czujniki pomiarowe o
nieograniczonym paśmie znane wszystkie parametry systemu (opis w przestrzeni
stanu, macierze A, B, C, D)
MiDwSS 2013 53
stanu, macierze A, B, C, D)
• Obserwator Luenbergera rzędu zredukowanego
Więcej szczegółowych informacji o obserwatorach pełnym i zredukowanym Luenbergera można znaleźć między innymi w materiałach wykładowych z przedmiotu: „Teoria Sterowania”
Większe zaufanie do pomiaru niżdo predykcji pomiaru
Większe zaufanie do predykcji pomiaru niż pomiaru
Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu
• Algorytm Filtru Kalmana
MiDwSS 2013 71
Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu
• Przykład 1: zastosowania Filtru Kalmana
Odszumianie (filtrowanie) próbkowanych sygnałów zebranych z systemu GPS (10 razy na sekundę) zamontowanego w pojeździe autonomicznym poruszającym się ruchem jednostajnie przyspieszonym (1 m/s2) po prostej drodze. Jakie jest położenie pojazdu?
Pomiar położenia odbywa się z dokładnością 10 m.
Prędkość mierzy się z dokładnością 0.2 m/s.
MiDwSS 2013 72
Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu
• Przykład 1: zastosowania Filtru Kalmana
Jak określić macierze R i Q ?
[ ]TkkER )()( µµ ⋅=
[ ]TkwkwEQ )()( ⋅=
10010)( 22===
sR σ
[ ]
=
⋅
=2
svsEvs
sEQ
MiDwSS 2013 73
[ ]TkwkwEQ )()( ⋅= [ ]
=
⋅
=
2vvs
svsEvs
v
sEQ
⋅⋅⋅
⋅⋅
⋅
=22
2
2
2
2
22
2
)(2
)(
2)(
2)(
TT
T
TTT
Q
vv
vv
σσ
σσ
1.0=T
2.0=vσ
Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu
• Przykład 1: zastosowania Filtru Kalmana
600
800
1000
1200
1400
Pozycja
[m
]
Pozycja pojazdu
prawdziwa
mierzona
estymowana
MiDwSS 2013 74
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-200
0
200
400
Czas [s]
Pozycja
[m
]
Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu
• Przykład 1: zastosowania Filtru Kalmana
10
20
30
40
Bla
d P
ozycji [
m]
Blad pomiaru pozycji i Blad estymacji pozycji
pomiaru
estymaty
MiDwSS 2013 75
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-30
-20
-10
0
Czas [s]
Bla
d P
ozycji [
m]
Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu
• Przykład 1: zastosowania Filtru Kalmana
30
40
50
60
Pre
dkosc [
m/s
]
Predkosc pojazdu
prawdziwa
estymowana
MiDwSS 2013 76
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
10
20
Czas [s]
Pre
dkosc [
m/s
]
Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu
• Przykład 1: zastosowania Filtru Kalmana
0.1
0.2
0.3
0.4
Bla
d p
redkosci [m
/s]
Blad estymacji predkosci
MiDwSS 2013 77
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.3
-0.2
-0.1
0
Czas [s]
Bla
d p
redkosci [m
/s]
Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu
• Przykład 2: zastosowania Filtru Kalmana
Odszumianie (filtrowanie) próbkowanych sygnałów zebranych z analogowego czwórnika RLC. Napięcie zasilania u
we(t) to napięcie o przebiegu bipolarnym
prostokątnym z przedziału 0-1 V, R=5 kΩ, L=2.5 H i C =0.1 µF. Napięcie na kondensatorze mierzone jest co T=10-4 sekundy.
MiDwSS 2013 78
Odchylenie standardowe szumu pomiarowego i procesu przyjęto na poziomie 0.2.
Zaczerpnięty z [1]
Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu
• Przykład 2: zastosowania Filtru Kalmana
( )
=
11
t2
1
Rdx
xdt
dx
( )dt
du
dt
dxx
c
==1
2t( ) ( )tux
c=t
1
MiDwSS 2013 79
( ) ( ) ( )
+−−= t
1tt
1
21
2u
LCx
L
Rx
LCdt
dx
dt
( )( )
( ) ( )tw
LC
tu
LCtx
tx
L
R
LCdt
dx
dt
dx
⋅
+⋅
+
⋅
−−=
1
1
1
1
1
10
2
1
2
1
Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu
• Przykład 2: zastosowania Filtru Kalmana do estymacji stanu
( )
( )( ) ( )twtu
tx
tx
dt
dx
dt
dx
⋅
⋅+⋅
⋅+
⋅
⋅−⋅−=
66
2
1
66
2
1
104
1
104
1
102104
10
( )AT⋅⋅Ι−=
−1
MiDwSS 2013 80
( ) BAeBAT
d⋅⋅Ι−=
−1AT
deA =
( ) ( ) ( ) ( )
+⋅
+⋅
−−=+ kwkukxkx
13.360
0187.0
13.360
0187.0
8013.013.360
0001.09813.01
( ) [ ] ( ) ( )11011 +⋅++⋅=+ kvkxkz
Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu
• Przykład 2: zastosowania Filtru Kalmana do estymacji stanu
MiDwSS 2013 81
Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu
• Przykład 2: zastosowania Filtru Kalmana do estymacji stanu
0 50 100 150 200 250 300-1
0
1
2X1(K) (CZERW) I JEGO POMIAR Z1(K) (NIEB)
k
2X1(K) (CZERW) I JEGO ESTYMATA X1E(K/K)(NIEB)
MiDwSS 2013 82
0 50 100 150 200 250 300-1
0
1
2
k
0 50 100 150 200 250 3000
0.1
0.2WSPÓŁCZYNNIK WZMOCNIENIA KA1(k)
k
Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu
• Przykład 2: zastosowania Filtru Kalmana do estymacji stanu
0 50 100 150 200 250 300-2000
0
2000X2(K) (CZERW) I JEGO POMIAR Z2(K) (NIEB)
k
2000X2(K) (CZERW) I JEGO ESTYMATA X2E(K/K)(NIEB)
MiDwSS 2013 83
0 50 100 150 200 250 300-2000
0
2000
k
0 50 100 150 200 250 300-100
-50
0
50WSPÓŁCZYNNIK WZMOCNIENIA KA2(k)
k
Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu
• Przykład 3: zastosowania Filtru Kalmana do estymacji parametrów
• Rozważamy model postaci:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
+⋅Θ=
⋅+⋅Θ+⋅Θ=+
1
kvkxHkz
kwGkuBkxAkx
MiDwSS 2013 84
gdzie wektor parametrów jest nieznany.
• Wprowadzając nowy wektor zmiennych stanu:
przy czym
Θ
( )kΘ=Θ
( )( )( )
Θ=
k
kxky
Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu
• Przykład 3: zastosowania Filtru Kalmana do estymacji parametrów
• Otrzymuje się nieliniowy model w przestrzeni stanów:
( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( )( ) ( )
+=
+=+
0
,1
kvkyhkz
kwkukyfky
MiDwSS 2013 85
• Rozwiązanie: Rozszerzony Filtr Kalmana (dalsza część wykładu)
przy czym:
( ) ( )( ) ( ) += kvkyhkz
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
,
Θ
⋅Θ+⋅Θ=
k
kuBkxAkukyf
( )( ) ( ) ( ) kxHkyh ⋅Θ=
Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu
• Idea Rozszerzonego Filtru Kalmana
• Rozszerzony Filtr Kalmana przeznaczony jest dla obiektów opisanych modelem nieliniowym i/lub nieliniowym równaniem pomiarowym.
• Równania takiego nieliniowego systemu można zapisać jako:
MiDwSS 2013 86
• Rozszerzony Filtr Kalmana jest Filtrem Kalamana linearyzowanym wokół aktualnej średniej i kowariancji – każdej zmiennej stanu.
f(), h() – funkcje nieliniowe Inna notacja niż poprzednio
Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu
• Idea Rozszerzonego Filtru Kalmana
• Macierze Jacobiego pochodnych cząstkowych funkcji f() względem x i w:
MiDwSS 2013 87
• Macierze Jacobiego pochodnych cząstkowych funkcji h() względem x i v:
Inna notacja niż poprzednio
Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu
• Algorytm Rozszerzonego Filtru Kalmana
MiDwSS 2013 88Inna notacja niż poprzednio
Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu
• Przykład 4: zastosowania Rozszerzonego Filtru Kalmana
spadające ciałoNieliniowa dynamika obiektuNieliniowe równanie pomiarowe d
g
MiDwSS 2013 89
radar
x
r1
r2
Zaczerpnięto z [4]
Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu
• Przykład 4: zastosowania Rozszerzonego Filtru Kalmana
• Model systemu (ciągły)
+
⋅
−=
2
1
2
12
2
1
w
w
x
x
gd
x
x
x
&
&
β1
3
12
1
=
=
=
x
xx
xx
&
MiDwSS 2013 90
• Model pomiaru (ciągły)
3
2
3
2
3
2
0 wxx&
( ) vrxrz +−+=2
21
2
1
β
3
2
20
2
1
x
xed
k
x
⋅
⋅⋅
=
−
ρ
ρ
Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu
• Przykład 4: zastosowania Rozszerzonego Filtru Kalmana
2
3
4
5
Błą
d e
sty
ma
cji w
yso
ko
ści (ft) 2
3
4
5
Błą
d e
sty
ma
cji p
ręd
ko
ści (ft/s)
Rozszerzony Filtr Kalmana
200
400
600
(l
b/ft2
)
MiDwSS 2013 91
0 5 10 15-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Błą
d e
sty
ma
cji w
yso
ko
ści (ft)
czas (s)
0 5 10 15-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Błą
d e
sty
ma
cji p
ręd
ko
ści (ft/s)
czas (s)
0 5 10 15-600
-400
-200
0
Błą
d e
sty
ma
cji w
sp
. β (l
b/ft
czas (s)
Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu
• Przykład 4: zastosowania Rozszerzonego Filtru Kalmana
0
2
4
6
8
10x 10
4
ele
vation (
ft)
Pomiar, Prawdziwa pozycja, Estymat
MiDwSS 2013 92
2 4 6 8 10 12 14 16
-2
czas (s)
2 4 6 8 10 12 14 16-4000
-3000
-2000
-1000
0
czas (s)
Pra
wdziw
a p
ozycja
- E
sty
mata
Estymacja wyjść/stanu Estymacja wyjść/stanu
• Przykład 4: zastosowania Rozszerzonego Filtru Kalmana
40
60
80
100
120
Błą
d e
sty
ma
cji w
yso
ko
ści (f
t)
40
60
80
100
120
Błą
d e
sty
ma
cji p
ręd
ko
ści (f
t/s)
Filtr Kalmana
4000
5000
6000
(l
b/ft2
)
MiDwSS 2013 93
0 5 10 15-100
-80
-60
-40
-20
0
20
Błą
d e
sty
ma
cji w
yso
ko
ści (f
t)
czas (s)
0 5 10 15-100
-80
-60
-40
-20
0
20
Błą
d e
sty
ma
cji p
ręd
ko
ści (f
t/s)
czas (s)
0 5 10 15
0
1000
2000
3000
Błą
d e
sty
ma
cji w
sp
. β (l
b/ft
czas (s)
BibliografiaBibliografia
Materiały wykładowe z przedmiotów (sem. I; studiów I stopnia) : „Modelowanie i Identyfikacja”
„Teoria Sterowania”
[1] Tomasz P.Zieliński, „Cyfrowe przetwarzanie sygnałów – od teorii do zastosowań”. WKŁ, 2007.
MiDwSS 2013
[2] Rudolph. E. Kalman, "A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems", Trasactions of the ASME: Journal of Basic Engineering, vol 82, Series D, pp. 35-45, 1960.
[3] Peter S. Maybeck, „Stochastic models, estimation and control“,Academic Press, 1979.
[4] Arthur Gelb, „Applied Optimal Estimation”. The M.I.T Press, 1974.