POLINOMIO DE GRADO N MATEMATICA BASICA II
Regla de Ruffini Al dividir un polinomio
012
22
21
1 axaxaxaxaxaPn
nn
nn
n
...............
por un polinomio Q de grado 1 de la forma x - xQEl resultado ser un
polinomio C de grado n 1 01
22
22
11 cxcxcxcxcC
nn
nn
...............
Aplicamos la siguiente regla : Se trazan dos rectas se escriben los coeficientes del polinomio P en orden de grado decreciente
an an-1 an-2 a2 a1 a0 . . . . . . .
Se ubica convenientemente el valor
y se procede con el siguiente algoritmo
Bajamos el coeficiente principal an como cn-1
cn-1
multiplicamos cn-1 x y colocamos debajo de an-1
cn-1
Sumamos an-1+ cn-1
cn-2
y multiplicamos ese resultado cn-2 x y colocamos debajo de an-2
cn-2
cn-3
c2 c1 c0
c1 c0 r
Y repetimos sucesivamente el procedimiento hasta terminar de operar los coeficientes
8a
9
8b
8c
10
8e
En el esquema a2 a1 a0 . . . . . . .
cn-1
cn-1
cn-2
cn-2
cn-3
c2 c1 c0
c1 c0 r
an an-1 an-2
Los ci son los coeficientes del polinomio cociente
012
22
21
1 cxcxcxcxcCn
nn
n
...............
Y r es el resto que resulta de dividir P / Q P
r
Q
C
Observe que si P es divisible por Q, r = 0
y tambin que si r = 0 ; es raz del polinomio
. . . . . . .
. . . . . . . 8a
9
8b 8c
10 8e
Teorema de Gauss
012
22
21
1 axaxaxaxaxaPn
nn
nn
n
...............Sea
Si P admite races racionales, stas races sern de la forma qp
donde p es divisor de a0
Si P = x3 - 2x2 x + 2 a0 = 2 y an = 1 p: divisores de 2 son 2 ; 1
q: divisores de 1 son 1 1
1
11
1
12
1
22
1
2
qp
posibles races son: 2 ; 1
Es claro que los valores p/q hallados no son necesariamente las races, sino que pueden ser races,
porque, si el polinomio admite races racionales, entonces esas races son de la forma p/q pero . . .
No todos los p/q tienen que ser necesariamente races
del polinomio P
Si las races no son racionales; son irracionales o complejas, en ese caso no estarn entre los
valores hallados de la forma p/q
y q es divisor de an
9
8a
8b
8c
Para comprobar cuales son races y cuales no, una alternativa es especializar en el Polinomio cada uno de los valores de p /q que son
posibles races.
y las posibles races son: 2 ; 1 Si P = x3 - 2x2 x + 2
Para x = 2 P = 23 2 22 2 + 2 = 8 8 2 + 2 = 0 x = 2 es raz
Para x = -2 P = (-2)3 2 (-2)2 (-2) + 2 = - 8 8 + 2 + 2 = -12 x = - 2 no es raz
Para x = -1 P = (-1)3 2 (-1)2 (-1) + 2 = - 1 2 + 1 + 2 = 0 x = -1 es raz
Para x = 1 P = 13 2 12 1 + 2 = 1 2 1 + 2 = 0 x = 1 es raz
P es polinomio es de grado 3 y tiene entonces tres races; por ser las tres races racionales, pudieron ser encontradas mediante el Teorema de Gauss
Observe tambin que la aplicacin del Teorema de Gauss nos proporcion una posible raz de la forma p/q; x = -2 que result no ser raz de P
Porque el teorema de Gauss proporciona todas las races racionales, pero no todas las expresiones p/q tienen
necesariamente que ser races del polinomio
9
8a
8b
8c
Descomposicin de un polinomio en un producto de factores binomiales
012
22
21
1 axaxaxaxaxaPn
nn
nn
n
...............Sea
Cuyas races son 1; 2; 3; . . . . . n-1; n El polinomio P puede escribirse
)x()x(...)x()x()x(aP nnn 1321
Observe que si x toma el valor de cualquiera de las races i
Habr al menos un factor que ser (x - i) = (i - i ) = 0 Haciendo P = 0
Puede suceder que un valor i sea r veces raz de un polinomio
entonces tenemos una raz mltiple; y suponiendo que 1 es dos veces raz del polinomio y 2 es tres veces raz del polinomio y las restantes
races son simples, el polinomio factoreado ser . . .
)x()x(...)x()x()x(aP jjn 133
22
1
9
8a
8b
8c 8d
8e
8 a) Para hallar las races de 122 23 xxxP
Aplicamos el Teorema de Gauss e identificamos an = 2 y a0 = -1
Los divisores de a0 son p = 1 Los divisores de an son p = 1; 2
Las posibles races son de la forma 2
1
2
111 ;;;
qp
Podramos especializar el polinomio con cada uno de estos valores, pero estaramos solamente comprobando si esos valores son o no races del polinomio; en cambio si aplicamos la Regla de Ruffini, al verificar una raz, hallamos tambin un polinomio de grado inferior que es submltiplo de P y en consecuencia sus races son races
de P; de manera que si las races no fueran todas racionales, vamos situndonos en mejores condiciones para resolver el polinomio, aplicamos entonces Ruffini.
El sentido de aplicar Ruffini es que si es raz del polinomio P, entonces P es divisible por (x - ). Detectamos si es raz del polinomio P y al mismo tiempo
obtenemos los coeficientes de un polinomio de grado inferior, cuyas races son los mismos valores de races que nos restan encontrar an
Ruffini Gauss
8 e 8 d 8 c 8 b
122 23 xxxP
-1
1
2
2
1 3
3 1
2
2 -1 2
2
1
2
111 ;;;
qp
0 1 No es raz del polinomio
-1
-1
2
-2
-3 5
-5 3
-6
2 -1 2
0 -1 No es raz del polinomio
-1
2
1
0 2
1 0
0
2 -1 2
1/2 ES raz del polinomio
2
1
Ruffini Gauss
8 e 8 d 8 c 8 b
2
-1
-1
2 0 2
2
1
0 No es raz del polinomio
2
1
Hemos encontrado que 1/2 es raz del polinomio, entonces es posible escribir
122 23 xxxP como )x)(x(P 2221 2
Buscamos ahora races para el polinomio mltiplo de
menor grado 2
1
2
5
De (2x2 + 2) = 0 despejamos x 022 2x 22 2 x ix 1
Entonces: 122 23 xxxP )ix)(ix)(x( 2
12
Las races son 1 = 1/2 ; 2 = i ; 3 = -i Observe que se cumple que: si P tiene
races racionales, stas son de la forma p/q; en este caso existe una raz racional y dos races complejas
asimismo se verifica que: si un nmero complejo es raz de un polinomio, su conjugado tambin es
raz del mismo polinomio.
Ruffini Gauss
Factoreo
Como ejercicio te propongo que verifiques los resultados obtenidos
8 e 8 d 8 c 8 b
8 b) Para encontrar las races de 32
113
2
1 23 xxxP
Multiplicamos previamente todo el polinomio por 2, para eliminar los coeficientes con forma de fraccin y hallamos un polinomio equivalente
6116 23 xxxP Que este polinomio es equivalente al polinomio dado, significa que sus races son las mismas
an = 1 y a0 = -6
p = 1; 2; 3; 6 y q = 1 6321 ;;;qp
-6
1
1
-5 6
6 -5
0
1 -6 11
1
entonces
6116 23 xxxP )xx)(x( 651 22
Buscamos ahora las races de )xx( 65 22
Para aplicar el Teorema de Gauss
Aplicando la Regla de Ruffini
Ruffini Gauss
Factoreo
8 e 8 d 8 c
Aplicando la frmula de la ecuacin de segundo grado encontramos las races de
065 22 xx
2
15
12
61455 2)(x2 = 3
x3 = 2
Las races de
Son x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3
6116 23 xxxP
)x)(x)(x(P 321 Pero recordemos que este es un polinomio equivalente del que realmente nos interesa, y que hemos
comenzado multiplicando por 2 para trabajar con mas comodidad; de manera que lo recomponemos
dividiendo todo el polinomio factoreado por 2
)x)(x)(x(P 3212
1
Comprobamos que las races obtenidas son racionales (enteros) y estn incluidas entre las posibles races de la forma p/q
Factoreo Gauss
8 e 8 d 8 c
8 c) Al polinomio xxxxP 44 234 Le falta el trmino independiente
Podemos comenzar sacando factor comn x )xxx(xP 4423
Encontramos que la primera raz x1 = 0 (si x = 0 al ser x un factor, se anula toda la expresin)
Buscamos entonces las restantes races en 4423 xxx
an = 1 y a0 = -4
p = 1; 2; 4 y q = 1 421 ;;
qp
donde
-4
1
1
2 -2
-2 2
1 1 -4
1
-6 0
1 No es raz
-4
1
-1
0 -4
4 0
1 1 -4
-1
0
-1 ES es raz; x2 = -1
p son divisores de a0
q son divisores de an
Ruffini Gauss
Factoreo
8 e 8 d
despejamos 042 x 4x
el polinomio P se puede factorear (transformarlo en un producto de factores binomiales)
)xxx(xP 4423
)x)(x(xP 41 2
)x)(x)(x(x 221
42 x
Factoreo Buscamos ahora las races de 42 x
entonces )x)(x(x 41 2 )xxx(xP 4423
x3 = 2 y x4 = -2
Con x1 = 0 y x2 = -1 hallados
8 e 8 d
124
71433 2
ix
2
11 x
ix2
7
2
73
2
793
2
43
2
12 x
ix2
7
2
74
4
73 24 xxP
Puede factorearse como
ixixxxP
2
7
2
7
2
1
2
1
a = 1; b = 3; c= -7/4
Factoreo
Es posible aplicar la frmula para la ecuacin bicuadrtica, que no es otra cosa que: a la frmula de la ecuacin de segundo grado
aacbb
x2
4221
Aplicarle nuevamente raz cuadrada, y as
aacbb
x2
42
4321
4
73 24 xxP8 d) Si Polinomio de grado cuatro con los
trminos de grado 3 y 1 nulos
8 e
-5
i
1
i
-5 + i 6 - 5i
5 + 6i -1 - 5i
6i
1 -5 7 6
-6
0
-i
-5 6 0 1
-i 5i -6i )xx)(ix)(ix(P 652
12
61455 2
32
)(x 2
15
2
2425532
x
33 x
24 x
Finalmente
)x)(x)(ix)(ix(P 23
]ix)i(x)i(x)[ix(P 6565 23
Ruffini Factoreo
6575 234 xxxxP8 e) Si Sabiendo por la consigna que
i es raz del polinomio
Entonces i tambin es raz del polinomio; aplicaremos Ruffini para esas dos races conocidas y el polinomio de grado 4
quedar reducido a un polinomio de grado 2
Factorear un polinomio es transformar la expresin
012
22
21
1 axaxaxaxaxaPn
nn
nn
n
...............
En otra de tipo
)x)(x.....().........x)(x(aP nnn 121
Donde los i son las races del polinomio con 1 i n
Puede suceder que 1 = 2 = 3 entonces diremos que ese valor de 1 es tres veces raz del polinomio lo que es lo mismo 1 es raz triple de P
En un polinomio de grado 8 (que tiene n races) pueden haber, por ejemplo 2 races dobles, una triple y una simple, en ese caso ser
)x()x()x()x(aP n 43
32
22
1
1 es raz doble 3 es raz triple
2 es raz doble 4 es raz simple
Races mltiples
9 10
9) Para factorear el polinomio x4 - 4 x3 + 6 x2 - 8 x + 8 sabiendo que
x = 2 es una raz doble.
Buscamos las restantes races aplicando Ruffini
-8
2
1
2
-2 2
4 -4
-4
1 -4 6 8
-8
0
2
0 2 0 1
2 0 4
Por ser x = 2 raz doble, volvemos a aplicar Ruffini para x = 2
Ahora despejamos x de la expresin resultante
022 x 2xix 23
ix 24 Conocidas todas las races, factoreamos el polinomio
)ix)(ix)(x)(x(P 2222 Que tambin se puede escribir
)x()x(P 22 22
)xxx)(x(P 4222 23
)x)(x)(x(P 222 2
Ruffini Factoreo
10 a) determinar la multiplicidad de = 1 en P = (x - 1)2 (x2 - 1) (x3 - 1)
P es un polinomio de grado 7 porque (x - 1)2 y (x2 - 1) son de grado 2 ; y (x3 - 1) es de grado 3; entonces P es de grado 7
Significa que P tiene 7 races, que pueden repetirse varias veces; o ser todas iguales ser todas diferentes, etc.
Analizamos por separado cada factor (x - 1)2 = (x - 1) (x - 1) Ac x = 1 es dos veces
raz del polinomio
(x2 - 1) = (x 1 ) (x + 1) ac x = 1 es una vez ms raz del polinomio
En x3 1 -1
1
1
1 1
1 1
0
1 0 0
1 Resolviendo x2 + x + 1 = 0 se obtienen las restantes races
1 es nuevamente una vez mas raz del polinomio
tambin x = -1 es raz del polinomio
Ruffini Factoreo
10 b
ixix)x()x()x()x(P
2
3
2
1
2
3
2
11111 2
= 1 es cuatro veces raz de P; el orden de multiplicidad de =1 es 4
Resolviendo P = x2 + x + 1 = 0 con la frmula de la ecuacin de segundo grado
Para a x2 + b x + c = 0
acabb
x
2
42
21
Resolvemos con a = 1; b= 1; c=1
12
11411 2
2
31
2
31 i
ix2
3
2
11
ix2
3
2
12
P = (x - 1)2 (x2 - 1) (x3 - 1) es
ixix)x()x()x()x()x(P
2
3
2
1
2
3
2
111111
Diferencia de cuadrados
Factoreo
10 b
Factoreamos P y obtenemos
Con seguridad el factor
Podemos afirmar entonces que el orden de multiplicidad de la raz = 0 en
10 b) Para determinar la multiplicidad de = 0 en
Es k = 3
368 6xxxP
)xx(xP 6353
635 xx No tiene raz 0
)xx(xP 6353
Factoreo
Relaciones entre Races y Coeficientes Dado un polinomio
012
22
21
1 axaxaxaxaxaPn
nn
nn
n
...............
Con races 1; 2; 3; . . . . n-1; n Es posible establecer
relaciones entre las races i y los coeficientes ai de P 1 + 2 + 3 + n-1 + n =
1 2 + 1 3 + . . . . + n-1 n =
n
n
aa 1
n
n
aa 2
1 2 3 + . . . . + n-2 n-1 n = n
n
aa 3
1 2 3 n-2 n-1 n =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n
n
aa
)( 01
La suma de las races es igual al segundo coeficiente cambiado de signo,
dividido por el coeficiente principal
La suma de los productos binarios de las races es igual al tercer coeficiente, dividido por el coeficiente principal
Anlogas reglas valen para las sumas de los productos ternarios, cuaternarios, etc, con signos + alternativamente
El producto de las n races es igual al trmino independiente dividido por el coeficiente principal, con signo + -, segn que n sea par o impar,
respectivamente
11a 11b 11c
11) a) Sea P = 2 x3 - 11 x2 + 17 x - 6 ; hallar todas sus races sabiendo que el producto de dos de ellas es 1.
Por ser P de grado 3, sabemos que P tiene 3 races
Por relaciones entre races y coeficientes
1 2 3 =
2
61 3)(
1 2 3 n-2 n-1 n = n
n
aa
)( 01
331 ))((3
1 2 3 = 3
1 2 = 1 1 3 = 3 3 = 3
-6
2
6
-5 2
6 -15
0
2 -11 17
3
pero entonces
ahora resolvemos la ecuacin
0252 2 xx
22
22455 221
x 4
35
4
95
x1 = 2
x2 = 1/2 Factoreando )x)(x)(x(P 21232
Aplicamos Ruffini con la raz conocida
Te propongo la verificacin de los resultados, que consiste en efectuar el producto de los factores binomiales y obtener el polinomio P 11 c 11 b
11 b i) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m 0, determinar m para que las races de P sean opuestas
Si las races de P deben ser opuestas 1 = - 2
Aplicando relaciones entre races y coeficientes 1 + 2 = n
n
aa 1
en nuestro caso
1 + 2 = m)m(
8
17 pero por otro lado,
sabemos que 1 + 2 = - 2 + 2 = 0
Entonces podemos escribir 1 + 2 = 08
17
m)m(
entonces m 0
y 017 )m( 077 m 77 m 1m
Verificamos para m = 1 11178 2 x)(xP 18 2 xP
Igualando el polinomio a 0 y despejando x tengo las races
018 2 x8
1x
ix8
11
ix8
12 11 c
11 b ii) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m 0, determinar m para que las races de P sean recprocas
Si las races de P deben recprocas
Aplicando relaciones entre races y coeficientes 1 2 = na
a0
en nuestro caso
1 2 = m81 pero por otro lado,
sabemos que 1 2 =
Entonces podemos escribir
1 2 = con m 0
y 18 m
2
1
1
m811
2
2
2
2
1
m81
8
1m Verificamos para
118
17
8
18 2 x)(xP 1
8
492 xxP Igualando el
polinomio P a 0 y aplicando la frmula
que resuelve la ecuacin de 2 grado
8
1m
12
1148
49
8
492
21
x
9651 ,x
1702 ,x
11 c
P tiene dos races (grado 2) y si las races son iguales 1 = 2
En la frmula que resuelve la ecuacin de 2 grado a
cabb2
42
042 cab Para que al quedar como soluciones solamente ab
2
sean 1 = 2
ma 8 )m(b 17 1c
042 cab 018417 2 )m()]m([ 032149 2 m)m(
0321249 2 m)mm( 032499849 2 mmm 04913049 2 mm
Resuelvo ahora la ecuacin de 2 grado
492
49494130130 2)(
11 b iii) Dado P = 8 m x2 + 7 (m - 1) x + 1 con m 0, determinar m para que las races de P sean reales e iguales
hacemos
98
7296130
98
2161301
m
98
2161302
m
11 c
11 c i) Para hallar las races de P = 2 x3 - x2 - 18 x + 9 sabiendo que 1 + 2 = 0
Planteamos 2
1
2
1321
Pero si 1 + 2 = 0
2
10 3 entonces 2
13
9
2
1
0 -18
-9 0
0
2 -1 -18
2
1Buscamos las restantes races
0182 2 x 92
182 x
Entonces 1 = 3 y 2 = - 3 Factoreando
2
13329182 23 x)x)(x(xxxP
Aplicamos Ruffini
Podemos escribir
)x)(x(xxxP 1822
19182 223
Recuerde que se trata de un polinomio no mnico (an 0 ) El polinomio factoreado tiene como factor el coeficiente
principal
11 c) ii) Para hallar las races de P = x3 + 2 x2 + 3 x + 2 sabiendo que 1 = 2 + 3
Planteamos 21
2321 Pero si 1 = 2 + 3
211 entonces 22 1
2
1
-1
1 2
-2 -1
0
1 2 3 Buscamos las restantes races
022 xx
Factoreando
ixix)x(P
2
7
2
1
2
7
2
11
luego 11
-1
12
21411 2
2
811
La raz cuadrada de un nmero negativo es un nmero imaginario, que lo resolvemos calculando la raz cuadrada del valor absoluto y agregamos el imaginario i
i2
7
2
12
i2
7
2
13
Aplicamos Ruffini