Polinom newton gregory

Pendahuluan

Hasil

Materi

Unused Section Space 4

Unused Section Space 1

Unused Section Space 5

Unused Section Space 6

Unused Section Space 3

Unused Section Space 2

POLINOM NEWTON GREGORY

Kelompok 8 :

1. Irma Nur Miyanti

2. Navia Sri Agustin

3. Nurul Febriana

4. Restu Wididawati

Polinom Newton Gregory

Polinom Newton Gregory merupakan kasus khusus dari polinom newton untuk titik-titik yang berjarak sama. Oleh karena itu, rumus polinom newton menjadi lebih sederhana. Selain itu, tabel selisih-terbaginya pun lebih mudah dibentuk.tabel tersebut dinamakan tabel selisih.

Ada dua tabel selisih yaitu tabel selisih maju (forward difference) dan tabel selisih mundur (backward difference). Karena itu, ada dua macam polinom newton gregory yaitu :

1. Polinom Newton Gregory Maju2. Polinom Newton Gregory Mundur

Polinom Newton Gregory Maju

Polinom newton gregory maju diturunkan dari tabel selisih maju.

Tabel Selisih Maju ( lambang )Misal diberi 5 buah titik dengan absis x yang berjarak sama.

x0x

1x

2x

3x

4x

)(xf0f

1f

2f

3f4f

f0f1f2f

3f

f20

2 f1

2 f

22 f

f30

3 f1

3 f

f40

4 f

Rumus Polinom Newton Gregory Maju

Jika titik-titik berjarak sama dinyatakan :

ni ,......,2,1,0, ihxxi 0

Dan nilai x yang diinterpolasikan adalah :shxx 0

Rs,Dengan melalui serangkaian manipulasi aljabar didapatkan rumus :

003

02

00 !

)1)...(2)(1(...

!3

)2)(1(

!2

)1(

!1)( f

n

nssssf

sssf

ssf

sfxp n

n

Contoh :

Bentuklah tabel selisih untuk fungsi

di dalam selang [0.000 , 0.625] dan h = 0,125. Hitunglah f(0.300) dengan polinom newton gregory maju derajat 3?

Penyelesaian :

Tabel Selisih Maju

)1(

1)(

x

xf

0.000 1.000 -0.111 0.022 -0.006

0.125 0.889 -0.089 0.016 -0.003

0.250 0.800 -0.073 0.013 -0.005

0.375 0.727 -0.060 0.008

0.500 0.667 -0.052

0.625 0.615

x )(xf f f2 f3

Ingat!! Polinom newton gregory maju dengan derajat tiga dibutuhkan 4 buah titik.

Menghitung Batas Galat Interpolasi Newton Gregory MajuRumus :

)()!1(

)2)(1()( 3 tfh

n

sssxE

Contoh :Misal diberikan tabel selisih yang diambil dari fungsi f(x)=sin(x) di dalam selang [0.1 , 1.7]dan h=0.4

0.1 0.09983 0.37960 -0.07570 -0.04797

0.5 0.47943 0.30390 -0.12367 -0.02846

0.9 0.78333 0.18023 -0.152134

1.3 0.96356 0.02810

1.7 0.99166

x )(xf f f2 f3

Tentukan f(0.8) dengan polinom newton gregory maju derajat dua dan tentukan batas-batas galatnya!

Polinom Newton Gregory Mundur

Polinom newton gregory mundur dibentuk dari tabel selisih mundur. Polinom ini sering digunakan pada perhitungan nilai turunan secara numerik.Jika titik-titik berjarak sama dinyatakan :

Dan nilai x yang diinterpolasikan adalah :

ni ,......,2,1,0,ihxxi 0

shxx 0Rs,

Tabel Selisih Mundur ( lambang )Misal diberi 4 buah titik dengan absis x

yang berjarak sama.

ix

3x

2x

`1x

0x

)(xf

3f

2f

1f

0f

f

1f2f

0f

f2

02 f1

2 f

f3

03 f

i32

10

Polinom newton gregory mundur yang menginterpolasi (n+1) titik data adalah …

!

)1)...(2)(1(...

!2

)1(

!1)()( 00

20

0 n

fnssssfssfsfxpxf

n

n

Contoh :

Diberikan 4 buah titik data dalam tabel berikut. Hitunglah f(1.72) dengan :a. Polinom newton gregory maju derajat 3

0 1.7 0.3979849 -0.0579985 -0.0001693 0.0004093

1 1.8 0.3399864 -0.0581678 0.0002400

2 1.9 0.2818186 -0.0579278

3 2.0 0.2238908

x )(xf f f2 f3i

b. Polinom newton gregory mundur derajat 3

-3 1.7 0.3979849

-2 1.8 0.3399864 -0.0579985

-1 1.9 0.2818186 -0.0581678 -0.0001693

0 2.0 0.2238908 -0.0579278 0.0002400 0.0004093

ix )(xf f f2 f3i

Kesimpulan

Dari contoh-cotoh diatas memperlihatkan bahwa penyelesaian dengan Newton Gregory Maju dan Newton Gregory Mundur menghasilkan jawaban yang sama.