POLGONOS REGULARES 1.INTRODUO: Os Polgonos Regulares so bastante
aplicados emvriassituaesprticas,comoporexemplo,
norevestimentodepisosouparedes,em calamento de ruas etc. 2.POLGONO
REGULAR: Umpolgonoregularquandotemoslados congruentes e os ngulos
congruentes. VEJA: s Congruente nguloss Congruente LadosREGULAR
QUADRADO) 2) 1) ( :
s Congruente ngulosDiferentes LadosIRREGULAR RETNGULO) 2) 1) ( :
s Congruente nguloss Congruente LadosREGULAR EQUILTEROTRINGULO) 2)
1) ( : 3.POLGONO REGULAR INSCRITO ECIRCUNSCRITO:
Jvimosqueopolgonoregulartemosladosiguais e os ngulos tambm iguais.
Polgonoinscritonocrculoopolgono,cujos
vrticesficamnacircunferncia.Osladosso cordas. O crculo diz-se
circunscrito ao polgono. Polgonocircunscritoaocrculoopolgono,
cujosladossotangentescircunferncia.Os
ladossocordas.Ocrculodiz-seinscritoao polgono.
3. 1GENERALIDADES: A inscrio de polgonosregulares baseia-se no
teorema,ondearcosiguaissubtendemcordas iguais;
Centrodeumpolgonoregularocentroda circunferncia circunscrita;
Raiodeumpolgonoregularoraioda circunferncia circunscrita; Aptema de
um polgono regular a distncia do centro a qualquer lado. APTEMA O
Aptema sempre perpendicular ao lado.
ngulocntricodopolgonoregularongulo
formadopordoisraiosconsecutivosdomesmo polgono.Ovalordongulocntrico
n0360, sendo n o nmero de lados. Todos os polgonos regulares so
inscritveis e circunscritveis. 4.RELAES MTRICAS NOS POLGONOS
REGULARES INSCRITO: ) 1 QUADRADO: Clculo da medida do lado ( )4L
:F
OR E C R 4L
D Clculo da medida do aptema ( )4AP : E C 4L 4AP F D NoCOD A ,
temos: 2224242 242 2 24RR LR LR R LL ===+ = Na figura, observe que:
22:224444REntoR L ComoLAPAP == = Exemplo:
Ex:Calcularamedidadoladoedoaptemado
quadradoinscritonumacircunfernciaderaio8cm. 4L 8 4AP ) 2 HEXGONO
REGULAR : Clculo da medida do lado ( )6L : O RR A B 6LClculo da
medida do aptema ( )6AP : O R
6AP A M B
2R
Exemplo: Ex:Calcularamedidadoladoedoaptemado hexgono
regularinscrito numa circunferncia de raio 12 cm. 8 ) 3 TRINGULO
EQUILTERO: Clculo da medida do lado ( )3L : A
3LO 2R CB R D Clculo da medida do aptema ( )3AP : A O
3AP BC D
Exemplo: Ex:Calcularamedidadoladoedoaptemado
tringuloeqilteroinscritonumacircunferncia de raio 10 cm. 10 Soluo:
2 422 822)2 82 )4444= === =APRAP bLR L a OAOB A Eqiltero. Logo:AB
OB OA = = Ento: RL =6 NoMOB A , temos: 23434262622 262226RRAPRR
APRRAPAP == == |.|
\|+
SOLUO: Como a)3 623 1223)12 : ,666 6== == =APRAP bL ento R L No
ABD A ,temos: ( )33 3423232 232 2 232 2 23RR L R LR R LR R LL == ==
+= + O quadrilteroBCDO um losango, pois os lados so congruentes
(medem R). Logo:2 233R ODAPAP = = SOLUO: 52102)3 10 3 )3 33 3= = ==
=APRAP bL R L a FRMULASMACETE PARA POLGONOS INSCRITOS:
||.|
\|||.|
\|==nRAPnsen RLnn00180cos .180. . 2 Onde: lados de nmero n =
OBSERVE: : ) QUADRADO A ( ) 4 = n Clculo do lado: ( )( )2 .22. . 2:
;2245 :45 . . 24180. . 24 40004R Rento sen Sendosen R sen RL LL=
===||.|
\|= Clculo do aptema: ( )( )22 .22.: ;2245 cos :45 cos .4180cos
.4 40004RRento SendoR RAP APAP= ===||.|
\|= : ) REGULAR HEXGONO B ( ) 6 = n Clculo do lado: ( )( )R
Rento sen Sendosen R sen RL LL= ===||.|
\|=4 6000621. . 2: ;2130 :30 . . 26180. . 2 Clculo do aptema: (
)( )23.: ;2330 cos :30 cos .6180cos .60006Rento SendoR
RAPAP===||.|
\|= : ) EQUILTERO TRINGULO C ( ) 3 = n Clculo do lado: ( )( )3
.23. . 2: ;2360 :60 . . 23180. . 24 30003R Rento sen Sendosen R sen
RL LL= ===||.|
\|= Clculo do aptema: ( )( )2 21.: ;2160 cos :60 cos .3180cos .3
30003RRento SendoR RAP APAP= ===||.|
\|= 5.RELAES MTRICAS NOS POLGONOS REGULARES CIRCUNSCRITO: ) 1
QUADRADO: R RAP L= =4 4. 2 ) 2 HEXGONO REGULAR: RRAP L= =6 633 . .
2 ) 3 TRINGULO EQUILTERO: R RAP L= =3 33 . . 2 FRMULASMACETE PARA
POLGONOS CIRCUNSCRITOS:
R APntg RLnn==||.|
\|0180. . 2 EXERCCIOS PROPOSTOS
1.(FRANCO)Calculeoaptemadeumquadrado inscrito numa circunferncia de
raio2 7 cm. Resp:7 cm 2.(FRANCO)O ladode um quadrado inscrito numa
circunferncia mede2 10cm. Calcule o raio da circunferncia. Resp:10
cm 3.(FRANCO) A medida do aptema de um quadrado
inscritonumacircunferncia25cm.Calculeo raio da circunferncia. Resp:
2 25cm 4.(FRANCO)Calculeoaptemadeumquadrado inscrito numa
circunferncia de raio2 8cm.Resp:8 cm 5.(FRANCO)O ladode um quadrado
inscrito numa circunfernciamede4cm.Calculeoraioda circunferncia.
Resp: 2 2cm 6.(FRANCO) Um quadrado tem o aptema medindo 5cm.
Calcule o permetro desse quadrado inscrito na circunferncia.
Resp:40 cm 7.(FRANCO)Calcularamedidadoraioedo
aptemanoquadradoinscritonuma circunferncia, cujo o lado mede 12cm.
Resp: 2 6 cme6 cm 8.(FRANCO) A diagonal de um quadrado inscrito em
uma circunferncia mede 5cm. Calcule o lado do
hexgonoregularinscritonessamesma circunferncia. Resp:2,5 cm
9.(FRANCO)Oladodeumquadradoinscritoem umacircunfernciamede2 10
cm.Calculea medida do lado do tringulo eqiltero inscrito na mesma
circunferncia. Resp: 3 10cm 10.(FRANCO) O lado de um quadrado
inscrito numa circunfernciamede2 12 cm.Calcularolado do quadrado
circunscrito ao mesmo crculo. Resp:24 cm
11.(FRANCO)Emumcrculo,estoinscritosumquadrado e um tringulo
eqiltero. Se o lado do tringulomede12cm,quantomedeoladodo quadrado?
Resp: 6 4cm 12.(FRANCO)Opermetrodeumquadradoinscrito mede2 32
cm.Calcularamedidadoraiodo crculo de inscrio. Resp:8 cm
13.(FRANCO)Determineopermetrodeum hexgono regularinscrito numa
circunferncia de 5cm de raio. Resp:30 cm
14.(FRANCO)Oaptemadeumhexgonoregular inscrito numa circunferncia
mede15cm.Quanto mede o seu lado? Resp: 3 10cm
15.(FRANCO)Oaptemadeumhexgonoregular inscritonumacircunfernciamede3
7 cm. Determine o permetro do hexgono. Resp:84 cm
16.(FRANCO)Oraiodeumhexgonoregular inscrito numa circunferncia mede
5cm. Calcule o permetro do hexgono. Resp:30 cm
17.(FRANCO)Oladodeumhexgonoregular inscrito numa circunferncia
mede26cm.Quanto mede o seu aptema? Resp: 3 13cm
18.(FRANCO)Acharoladodohexgonoregular, inscrito num crculo, onde a
diagonal do quadrado circunscrito mede 8cm. Resp:2,828 cm
19.(FRANCO)Emumcrculoestinscrito,um
quadradoeumhexgonoregular.Seoaptema do hexgono mede 12cm, quanto
mede o lado do quadrado? Resp: 6 8cm
20.(FRANCO)Numcrculoestoinscritosumhexgonoregulareumtringuloeqiltero.A
somadoquadradodonmeroquerepresentaa
medidadoaptemadohexgonocomonmero que representa o aptema do
tringulo, vale 310. Calcular o lado do hexgono e o do tringulo.
Resp:20 cme34,6 cm 21.(FRANCO)Emummesmocrculoestinscrito,
umtringuloeqiltero,umquadradoeum
hexgonoregular.Calculeoraiodocrculo, sabendo-se que 6 4 3L L L +
+mede 33,12cm. Resp:8 cm 22.(FRANCO)Calculeoaptemadeumtringulo
eqiltero inscrito numa circunferncia de raio28 cm. Resp:14 cm 23.
(FRANCO) O aptema de um tringulo eqiltero
inscritonumacircunfernciamede3 cm. Quanto mede o seu lado? Resp:6
cm 24.(FRANCO)Numcrculoestoinscritosumquadrado, um tringulo
eqiltero e um hexgono regularcujasomadeseuspermetrosvale 168,3m.
Calcular os aptemas das trs figuras. Resp: m AP m AP m AP 65 , 8 /
5 / 05 , 76 3 4= = = T E S T E S
1.(FRANCO)Numacircunfernciaestinscritoum
tringuloeqilterocujoaptemamede3cm.A medida do dimetro dessa
circunferncia : a)10cmb)12cm c)14cm d)16cm
2.(FRANCO)Opermetrodeumhexgonoregular inscrito numa circunferncia
de 14cm de dimetro : a)36cmb)42cmc)48cmd)54cm
3.(FRANCO)Amedidadodimetrodeuma circunferncia36cm.Amedidadoladodeum
quadrado inscrito nessa circunferncia : a) 9cm b)cm 2 12 c)cm 3
12d)cm 2 18 4.(FRANCO)Opermetrodeumquadradoinscrito
numacircunferncia40cm.Ento,oraioda circunferncia mede: a) cm 2 5 b)
cm 3 5c) cm 2 10 d) cm 3 10 5.(FRANCO)Opermetrodeumhexgonoregular
cujo aptema medecm 3 5: a)58cmb)60cm c)62cmd)64cm
6.(FRANCO)Oraiodeumacircunfernciaondese
inscreveumtringuloeqilterode3cmdelado: a)1b) 3c)23 d)43
7.(FRANCO)Opermetrodeumquadradoinscrito numa circunferncia
cujoaptema medecm213: a)24cm b)26cmc)28cm d)30cm
8.(FRANCO)Oladodoquadradoinscritonuma
circunfernciamede4cm.Oladodotringulo
eqilteroinscritonamesmacircunferncia mede: a) 3 2b) 6 2 c) 2 3 d) 2
6 9.(FRANCO)Adistnciaentredoisladosparalelos
deumhexgonoregularinscritonuma circunferncia definida por( ) m a 3
. 2 + . Assim sendo,oraiodessacircunfernciatempor expresso: a) m 3
2 b) m a 3c) ( )m a 2 + d) ma22 +
10.(FRANCO)Numacircunfernciainscreve-seumtringuloeqilterocujoladomedem
3 10 .Em seguida,nointeriordotringuloconstri-seoutro
tringulo,tambmeqiltero,cujosladosficam
afastados1mdosladosdoprimeiro.Oaptema do tringulo menor mede:
a)4mb) m 3 2c) m 2 3 d) m 3 5 G A B A R I T O 1.B 3.D 5.B 7.C 9.C
2.B 4.A 6.B 8.B 10.A