Polgonos
Un polgono es una figura plana cerrada delimitada por segmentos.
A estos segmentos se les llama lados.
La palabra polgono est formada por dos voces de origen griego:
polys: muchos y gona: ngulos; por lo tanto, es una figura con
varios ngulos. Tambin se define como una poligonal cerrada.El
polgono ms pequeo es el tringulo, que tiene tres lados y tres
ngulos.El polgono es la frontera que separa al plano en dos
regiones: una que est dentro, llamada regin interior del polgono y
una exterior, llamada regin exterior del polgono. El plano es la
unin de estos tres subconjuntos.
Un polgono est formado por elementos bsicos. stos son:1.
vrtice2. lado3. ngulo interior4. ngulo exterior5. diagonal1.
Vrtice: es el punto de interseccin de dos segmentos contiguos. Se
designan con una letra mayscula A, B, C, D... 2. Lados: es cada uno
de los segmentos de recta que forman el polgono. Se designa con dos
letras maysculas ubicadas en sus extremos, o con una letra minscula
en correspondencia con el vrtice opuesto: AB = d, BC = e , CD = a,
DE = b, EA = c 3. ngulo interior: es el ngulo formado por dos lados
del polgono. El ngulo interior se designa con una letra griega o
con las tres letras maysculas de los vrtices que correspondan.4.
Angulo exterior: es el ngulo formado por un lado y la prolongacin
de otro contiguo hacia la regin exterior. Generalmente se designa
con la letra griega del ngulo interior adyacente acompaada de un
subndice 5. Diagonal: es el trazo que une dos vrtices no
consecutivos del polgono. Se designa con las dos letras maysculas
correspondientes a los vrtices que se unen, o por una letra d con
subndice: AC =d1, AD = d2. Apotema de un polgono regularLa apotema
de un polgono regular es el segmento perpendicular a un lado desde
el centro del polgono. Es bsica para conocer el rea del polgono ya
que es la altura de cada uno de los tringulos formados por cada dos
radios y el lado.Elementos secundarios de un polgonoEn todo polgono
(el tringulo es un polgono) podemos obtener elementos secundarios
como:Bisectrices, se denomina bisectriz al rayo que dimidia al
ngulo, es decir, lo divide en 2 partes iguales.Simetrales, la
simetral es una recta perpendicular que dimidia a un trazo.Alturas,
una altura, cuyo smbolo es h, es el trazo perpendicular que une un
lado del tringulo con el vrtice opuesto.Transversales, la
transversal es el segmento que une el punto medio de un lado con el
vrtice opuesto.Medianas, son los segmentos que unen los puntos
medios del tringulo.Ver Polgono inscrito y circunscrito.
Crculo y Circunferencia
Una de las formas ms difundidas de la Naturaleza es la circular.
Casi todas las formas tienden a hacerse ms o menos
"redondeadas".Desde la antigedad, el hombre se ha inquietado por
conocer cul es el permetro de una rueda o de un platillo circular,
para esto ha utilizado su ingenio; por ejemplo, ide un
procedimiento para trazar un crculo sin comps. Cmo funciona este
procedimiento? En primer lugar se requiere tener un cordel y dos
estacas con punta; en segundo lugar, se determina un punto a partir
del cual se trazar el crculo. A dicho punto se le identificar con
el nombre de centro del crculo. El cordel debe amarrarse a ambas
puntas de las estacas y una de stas se clavar en el punto escogido
como centro. La otra estaca, con el cordel bien estirado marcar,
entre el centro y la punta de la estaca, el radio del crculo que
trazaremos haciendo girar la estaca hasta que se dibuje claramente,
en el suelo o en la superficie elegida. la circunferencia.
Llamaremos crculo a la superficie interior que se encuentra
limitada por la circunferencia trazada por el cordel
(Ver: Elementos de la circunferencia y del crculo Ver, en
Internet, apuntes gratuitos:http://www.eneayudas.cl/apt.htm)
.Si ste es un crculo, entonces, qu es una circunferencia?Una
circunferencia es una lnea curva y cerrada, en la cual todos los
puntos que la conforman se encuentran a la misma distancia de un
punto llamado centro.
A partir del centro se haba estirado un cordel al que se le
identific con el nombre de radio. Qu es el radio? Radio es un
segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un
punto cualquiera de ella.
Si el segmento de recta llamada radio se prolonga, se tendrn dos
radios o bien un dimetro, entonces, qu es un dimetro? Dimetro es la
recta que, pasando por el centro de la circunferencia, une dos
puntos de ella.
Elaborados los conceptos de crculo y de circunferencia pensemos
en el problema de cmo saber las medidas de una rueda.Una rueda, al
dar una vuelta completa, describe una trayectoria cuya longitud es
el permetro de la circunferencia de la rueda.
Si dividimos la longitud entre el dimetro de la rueda obtenemos
un valor que es independiente del tamao de la rueda. Es decir,
cualquier rueda, del tamao que sea, al dar una vuelta completa
recorre un camino de una determinada longitud. Si dividimos dicha
longitud entre el dimetro de la rueda siempre obtenemos el mismo
valor. Este hecho era conocido por los babilonios y ya se
encuentran noticias sobre el mismo en los papiros egipcios que se
conservan en el Museo Britnico.Esta relacin entre la longitud de la
circunferencia y su dimetro es, posiblemente, la ms popular de
todas las constantes matemticas: el nmero (pi). Dicho nmero,
irracional, ha ocupado a generaciones de matemticos y su atractivo
perdura en nuestros das, y para fines prcticos se considera que su
valor es de 3,1416.Conocemos el valor del nmero , pero cmo podramos
demostrar prcticamente que en todo crculo existe una relacin
constante entre el dimetro y la circunferencia.Para hacerlo debemos
operar de la siguiente manera: Tomamos dos crculos (a y b), que son
de diferente tamao y diferente dimetro. Pero sabemos que en ambos
casos el dimetro cabe tres veces y una pequea fraccin (equivalente
ms o menos a un sptimo) en toda la circunferencia.
Luego tomaremos dos trozos de cordel, cada uno del tamao del
dimetro de cada crculo, y con ellos podremos comprobar lo anterior
al colocarlos en forma sucesiva sobre las circunferencias.
Una vez comprobado lo anterior, y sabiendo que el valor
representado con la letra griega es de 3,1416, tenemos que:El
permetro del crculo o bien la longitud de la circunferencia ser
siempre igual al producto de (pi) por el dimetro de la misma. O
bien, ser igual al producto de por el doble del radio. Quedando la
frmula de la siguiente manera:
Veamos ahora cmo se utiliza el valor de (pi)Problema:La boca de
un pozo mide 0,75 metro de radio, cul es su permetro?P = d P = 2 rd
= 2 r = 2 (0,75) = 1,50 m P = 2 (3,1416) (0,75)P = (3,1416) (1,50)
P = (6,289) (0,75)P = 4,71 m P = 4,71 mDe esta manera se tiene que
la longitud de la boca del pozo es de 4,71 m. Ver: Elementos de la
circunferencia y del crculo Ver, en Internet, apuntes
gratuitos:http://www.eneayudas.cl/apt.htm
NotaCOLEGIO PARTICULAR LEONARDO DA VINCIUNIDAD ACADMICA
IICALAMAPROFESORA: Rossana Herrera C.
Nombre: ..Curso: 8 A BFecha: 14/06/2006Puntaje ideal: __15__
Puntaje real: _____ Puntaje obtenido: _____
Contenido:Circunferencia (rea y permetro).
Para realizar cada uno de los ejercicios. Considera = 3.
I. tem de desarrollo (15 puntos)
1. Lee y luego responde.
Cuando realizaste la actividad del cordel (ver figura). Qu
relacin o razn estableciste entre el largo de una circunferencia y
la medida de su dimetro? Explica.
(1 punto)
2. Calcula el permetro de cada circunferencia, sabiendo la
medida del radio (r).
a) r = 25 cm___________d) r = 15 m___________
b) r = 55 cm___________e) r = 10 km___________
c) r = 30 m___________f) r = 22 km___________
(3 puntos)
3. Calcula el radio de cada circunferencia, sabiendo la medida
del permetro (P).
a) P = 18 cm___________c) P = 30 m___________
b) P = 24 cm___________d) P = 12 m___________
(2 puntos)
4. Calcula el rea de cada circunferencia, sabiendo la medida del
radio (r).
a) r = 4 cm___________d) r = 11 m___________
b) r = 8 cm___________e) r = 12 km___________
c) r = 9 m___________f) r = 15 km___________
(3 puntos)
5. Calcula el radio de cada crculo, sabiendo la medida del rea
(A).
a) A = 12 cm2 _________c) A = 27 m2 _________
b) A = 300 cm2 _________d) A = 48 m2 _________
(2 puntos)
6. Observa la figura. Luego calcula rea y permetro de ambas
circunferencias y/o crculos, segn corresponda.
G F
E D20 cm
10 cm
A B C
20 cm 10 cm
Permetro circunferencia menor _________ Permetro circunferencia
mayor _________ rea circunferencia menor _________ rea
circunferencia mayor _________
Puedes utilizar este espacio para hacer tus clculos.(4
puntos)
Nombre: ....Curso: 8 A Fecha: 19/10/2006Puntaje ideal: __40__
Puntaje real: _____ Puntaje obtenido: _____
Contenido:Superficies y volmenes.
Lee atentamente cada una de las preguntas y revisa tus
respuestas antes de entregar la evaluacin.I. tem de desarrollo (15
puntos)
1. Calcula la superficie total de los siguientes poliedros.
10 cm10 cm6 cm15 cm 27 cm5 cm 8 cm
ST ST
(6 puntos)
2. Calcula el volumen de los siguientes prismas.
12 m 2 m2 m 4 m6 m 2 m
V V
(4 puntos)3. Observa la figura que muestra una pirmide de base
cuadrada. Luego responde las preguntas.
Determina el volumen de la pirmide de la figura.
(5 puntos)
Determina la superficie de la pirmide de la figura.
(5 puntos)
4. Determina la superficie y el volumen de una esfera de dimetro
12 cm.
(5 puntos)
Lee y luego responde las preguntas 5, 6 y 7.
Una figura esta compuesta por un cubo de arista 12 cm, un
cilindro y un cono. Uno sobre otro, coincidiendo todas las bases y
alturas
5. Cul es el volumen del cono?
(5 puntos)
6. Cul es el volumen del cilindro?
(5 puntos)
7. Cul es el volumen del cono?
(5 puntos)
Da lo mejor de ti!Captulo 10: Ejercicios prcticosEn esta unidad
didctica le adjuntamos algunos ejercicios para que practique los
conceptos que hemos tratado durante este curso. Veamos:1.Calcule en
un tringulo el ngulo x teniendo en cuenta que los otros miden 43 y
105. Seleccione una respuesta:a)60b)32c)422.Cul es el tipo de
tringulo que tiene tres ngulos agudos? Seleccione una
respuesta:a)Rectngulob)Acutnguloc)Obtusngulo3.Qu es un
paralelogramo? Seleccione una respuesta:a)Polgono de cuatro lados
iguales dos a dosb)Polgono de cuatro lados paralelos dos a dos
c)Polgono que tiene dos pares de lados consecutivos4. Qu es el
dimetro? Seleccione una respuesta:a)Trazo que une dos puntos de la
circunferencia y pasa por el centrob)Segmento que une dos puntos de
la circunferenciac)Segmento que une el punto centro con cualquier
punto de la circunferencia5.Calcula el permetro de una
circunferencia tomando como referencia que la medida del radio es
22,6 cm. Seleccione una respuesta:a)141,928 cmb)140,753 cmc)137,053
cm6.Un tringulo rectngulo tiene catetos de 3 y 4 unidades de
longitud. Halla la longitud de la hipotenusa. Seleccione una
respuesta:a)7b)6c)5
7.Halla la circunferencia de un crculo de 8,74 cm de radio.
Seleccione una respuesta:a)60,3b)54,9c)44,88.Halla el rea del
crculo del ejercicio anterior tomando como referencia la medida de
su radio. Seleccione una respuesta:A)300 cm cuadradosb)205 cm
cuadradosc)240 cm cuadrados9.Halla el rea de un rectngulo de 3 y 7
cm. Seleccione una respuesta:a)32b)21c)1810.Halla el rea de un
cuadrado de 2 cm por 2 cm. Seleccione una
respuesta:a)3b)6c)4Geometra plana. Ejercicios 1Determinar el lado
de un tringulo equiltero cuyo permetro es igual al de un cuadrado
de 12 cm de lado. Sern iguales sus reas?2Calcular el rea de un
tringulo equiltero inscrito en una circunferencia de radio 6
cm.3Dado un tringulo equiltero de 6 m de lado, hallar el rea de uno
de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y
por los radios que pasan por los vrtices.4Determinar el rea del
cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.5 En un
cuadrado de 2 m de lado se inscribe un crculo y en este crculo un
cuadrado y en este otro crculo. Hallar el rea comprendida entre el
ltimo cuadrado y el ltimo crculo.6 Calcular el rea de la corona
circular determinada por las circunferencias inscrita y
circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.7 En una
circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre
los lados de este y hacia el exterior se construyen tringulos
equilteros. Hallar el rea de la estrella as formada.8 El permetro
de un trapecio issceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m
respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el rea.9 Si los
lados no paralelos de un trapecio issceles se prolongan, quedara
formado un tringulo equiltero de 6 cm de lado. Sabiendo que el
trapecio tiene la mitad de la altura del tringulo, calcular el rea
del trapecio.10 El rea de un cuadrado es 2304 cm. Calcular el rea
del hexgono regular que tiene su mismo permetro.11 La superficie de
una mesa est formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado
y dos semicrculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el
rea.12Hallar el rea de un sector circular cuya cuerda es el lado
del tringulo equiltero inscrito, siendo 2 cm el radio de la
circunferencia.13 Hallar el rea del sector circular cuya cuerda es
el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de la
circunferencia.14Dadas dos circunferencias concntricas de radio 8 y
5 cm, respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un
ngulo de 60. Calcular el rea del trapecio circular
formado.15Calcula el rea sombreada, sabiendo que el lado de
cuadrado es 8 cm y el radio del crculo menor mide 2 cm.
16Calcula el rea de la parte sombreada, si el radio del crculo
mayor mide 6 cm y el radio de los crculos pequeos mide 2 cm.
17 Calcula el rea de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCD
un cuadrado y APC Y AQC arcos de circunferencia de centros B y
D.
18A un hexgono regular 4 cm de lado se le inscribe una
circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el rea de la
corona circular as formada.19 En una circunferencia una cuerda de
48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el rea del crculo.20Los
catetos de un tringulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm
y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la
circunferencia y el rea del crculo.
Geometra plana. Ejercicios resueltos 1Determinar el lado de un
tringulo equiltero cuyo permetro es igual al de un cuadrado de 12
cm de lado. Sern iguales sus reas?Pcuadrado = 12 4 = 48 Ptringulo =
48 l = 48 : 3 = 16
A = 122 = 144 m
Geometra plana. Ejercicios resueltos2Calcular el rea de un
tringulo equiltero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.El
centro de la circunferencia es el baricentro. Por tanto:
Geometra plana. Ejercicios resueltos3Dado un tringulo equiltero
de 6 m de lado, hallar el rea de uno de los sectores determinado
por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por
los vrtices.El centro de la circunferencia es el baricentro. Por
tanto:
Geometra plana. Ejercicios resueltos4Determinar el rea del
cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.
Geometra plana. Ejercicios resueltos5En un cuadrado de 2 m de
lado se inscribe un crculo y en este crculo un cuadrado y en este
otro crculo. Hallar el rea comprendida entre el ltimo cuadrado y el
ltimo crculo.
Geometra plana. Ejercicios resueltos6Calcular el rea de la
corona circular determinada por las circunferencias inscrita y
circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.
Geometra plana. Ejercicios resueltos7En una circunferencia de
radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este
y hacia el exterior se construyen tringulos equilteros. Hallar el
rea de la estrella as formada.
Geometra plana. Ejercicios resueltos8El permetro de un trapecio
issceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente.
Calcular los lados no paralelos y el rea.
Geometra plana. Ejercicios resueltos9Si los lados no paralelos
de un trapecio issceles se prolongan, quedara formado un tringulo
equiltero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad
de la altura del tringulo, calcular el rea del trapecio.
Geometra plana. Ejercicios resueltos10El rea de un cuadrado es
2304 cm. Calcular el rea del hexgono regular que tiene su mismo
permetro.
Geometra plana. Actividades11La superficie de una mesa est
formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos
semicrculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el rea.
Geometra plana. Actividades12Hallar el rea de un sector circular
cuya cuerda es el lado del tringulo equiltero inscrito, siendo 2 cm
el radio de la circunferencia.
Geometra plana. Actividades13Hallar el rea del sector circular
cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio
de la circunferencia.
Geometra plana. Actividades14Dadas dos circunferencias
concntricas de radio 8 y 5 cm, respectivamente, se trazan los
radios OA y OB, que forman un ngulo de 60. Calcular el rea del
trapecio circular formado.
Geometra plana. Actividades15Calcula el rea sombreada, sabiendo
que el lado de cuadrado es 8 cm y el radio del crculo mide 2
cm.
Geometra plana. Ejercicios resueltos16Calcula el rea de la parte
sombreada, si el radio del crculo mayor mide 6 cm y el radio de los
crculos pequeos mide 2 cm.
Geometra plana. Ejercicios resueltos17Calcula el rea de la parte
sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos de
circunferencia de centros B y D.
La parte sombreada se compone de dos segmentos circulares.
rea del segmento circular = rea del sector circular rea del
tringulo.
Geometra plana. Actividades18A un hexgono regular 4 cm de lado
se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar
el rea de la corona circular as formada.
Geometra plana. Actividades19En una circunferencia una cuerda de
48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el rea del crculo.
Geometra plana. Actividades20Los catetos de un tringulo inscrito
en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente.
Calcular la longitud de la circunferencia y el rea del crculo.