Poliedros proyectivos muy simétricos Isabel Hubard Monday, March 11, 13
Poliedros proyectivos muy simétricos
Isabel Hubard
Monday, March 11, 13
Poliedros proyectivos muy simétricos
Isabel Hubard
Javier BrachoDaniel Pellicer
Monday, March 11, 13
Polígonos
Monday, March 11, 13
PolígonosUn polígono es una gráfica conexa tal que todos sus vértices tienen grado 2.
Monday, March 11, 13
• Polígonos con el mismo número de vértices...
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Polígonos (geométricamente) regulares
Monday, March 11, 13
Polígonos (geométricamente) regulares
✔ ✗
???
Monday, March 11, 13
Polígonos (geométricamente) regulares
✔ ✗
???
Monday, March 11, 13
Polígonos (geométricamente) regulares
✔ ✗
???
• Lados iguales
Monday, March 11, 13
Polígonos (geométricamente) regulares
✔ ✗
???
• Lados iguales
Monday, March 11, 13
Polígonos (geométricamente) regulares
✔ ✗• Lados iguales
• Vértices iguales
Monday, March 11, 13
Polígonos (geométricamente) regulares
✔ ✗• Lados iguales
• Vértices iguales
✔
Monday, March 11, 13
Polígonos (geométricamente) regulares
✔
✔
Un polígono es regular si su grupo de simetrías es transitivo en arcos
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Poliedro (combinatoriamente)
Monday, March 11, 13
Poliedro (combinatoriamente)
Es una colección de polígonos (que llamamos caras) tal que:
• C a d a a r i s t a e s t á e n exactamente dos caras
Monday, March 11, 13
Poliedro (combinatoriamente)
Es una colección de polígonos (que llamamos caras) tal que:
• C a d a a r i s t a e s t á e n exactamente dos caras
• Todas las figuras de vértice son polígonos
Dado un vértice v, su figura de vértice es la gráfica cuyos vértices son las aristas incidentes a v y entre dos de ellos hay una arista si están en la misma cara.
Monday, March 11, 13
Poliedro (combinatoriamente)
Es una colección de polígonos (que llamamos caras) tal que:
• C a d a a r i s t a e s t á e n exactamente dos caras
• Todas las figuras de vértice son polígonos
Monday, March 11, 13
Poliedro (combinatoriamente)
Es una colección de polígonos (que llamamos caras) tal que:
• C a d a a r i s t a e s t á e n exactamente dos caras
• Todas las figuras de vértice son polígonos
• Conexo
Monday, March 11, 13
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Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
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Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
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BanderasUna bandera de un poliedro es una tercia incidente
(vértice, arista, cara)
Monday, March 11, 13
BanderasUna bandera de un poliedro es una tercia incidente
(vértice, arista, cara)
Monday, March 11, 13
BanderasUna bandera de un poliedro es una tercia incidente
(vértice, arista, cara)
Monday, March 11, 13
BanderasUna bandera de un poliedro es una tercia incidente
(vértice, arista, cara)
Monday, March 11, 13
BanderasUna bandera de un poliedro es una tercia incidente
(vértice, arista, cara)
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BanderasUna bandera de un poliedro es una tercia incidente
(vértice, arista, cara)
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Banderas adyacentesUna bandera de un poliedro es una tercia incidente
(vértice, arista, cara)
La bandera i-adyacente Φi a Φ=(v,a,c) difiere de Φ únicamente en el elemento de dimensión i.
Monday, March 11, 13
Banderas adyacentesUna bandera de un poliedro es una tercia incidente
(vértice, arista, cara)
La bandera i-adyacente Φi a Φ=(v,a,c) difiere de Φ únicamente en el elemento de dimensión i.
Monday, March 11, 13
Banderas adyacentesUna bandera de un poliedro es una tercia incidente
(vértice, arista, cara)
La bandera i-adyacente Φi a Φ=(v,a,c) difiere de Φ únicamente en el elemento de dimensión i.
Monday, March 11, 13
Banderas adyacentesUna bandera de un poliedro es una tercia incidente
(vértice, arista, cara)
La bandera i-adyacente Φi a Φ=(v,a,c) difiere de Φ únicamente en el elemento de dimensión i.
Monday, March 11, 13
Banderas adyacentesUna bandera de un poliedro es una tercia incidente
(vértice, arista, cara)
La bandera i-adyacente Φi a Φ=(v,a,c) difiere de Φ únicamente en el elemento de dimensión i.
Monday, March 11, 13
Banderas adyacentesUna bandera de un poliedro es una tercia incidente
(vértice, arista, cara)
La bandera i-adyacente Φi a Φ=(v,a,c) difiere de Φ únicamente en el elemento de dimensión i.
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Banderas adyacentesUna bandera de un poliedro es una tercia incidente
(vértice, arista, cara)
La bandera i-adyacente Φi a Φ=(v,a,c) difiere de Φ únicamente en el elemento de dimensión i.
Monday, March 11, 13
Automorfismos
Monday, March 11, 13
Automorfismos
Una simetría (o automorfismo) de un poliedro P es una biyección de sus banderas que preserva las adyacencias.
Monday, March 11, 13
Automorfismos
Una simetría (o automorfismo) de un poliedro P es una biyección de sus banderas que preserva las adyacencias.
Monday, March 11, 13
Automorfismos
Una simetría (o automorfismo) de un poliedro P es una biyección de sus banderas que preserva las adyacencias.
Monday, March 11, 13
Automorfismos
Una simetría (o automorfismo) de un poliedro P es una biyección de sus banderas que preserva las adyacencias.
Monday, March 11, 13
Automorfismos
Una simetría (o automorfismo) de un poliedro P es una biyección de sus banderas que preserva las adyacencias.
Monday, March 11, 13
Poliedros regularesUn poliedro es regular si su grupo de automorfismos actúa transitivamente en el conjunto de banderas
Monday, March 11, 13
Poliedros regularesUn poliedro es regular si su grupo de automorfismos actúa transitivamente en el conjunto de banderas
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
(a,a)
(0,2a)
(-a,a)
(0,0)
(a,a)
(a,0)
(0,a)
(0,0)
Monday, March 11, 13
¿Transitivo en banderas?
Monday, March 11, 13
¿Transitivo en banderas?
Monday, March 11, 13
Poliedros regulares en el espacio
1978 Branko Grünbaum Hay 18 poliedros regulares finitos en R3
Monday, March 11, 13
Poliedros regulares en el espacio
1978 Branko Grünbaum Hay 18 poliedros regulares finitos en R3
Monday, March 11, 13
Poliedros regulares en el espacio
1978 Branko Grünbaum Hay 18 poliedros regulares finitos en R3
Monday, March 11, 13
Poliedros regulares en el espacio
1978 Branko Grünbaum Hay 18 poliedros regulares finitos en R3
1982 DressHay 48 poliedros regulares en R3
Monday, March 11, 13
Poliedros regulares en R4
Monday, March 11, 13
Poliedros regulares en R4Poliedros regulares finitos en R4finitos
Clasificar poliedros regulares finitos en Rn+1 es equivalente a clasificar poliedros regulares en Sn
Monday, March 11, 13
Poliedros regulares en R4Poliedros regulares finitos en R4finitos S3
Pn
Rn+1Sn ↪
2-1 Clasificar poliedros regulares finitos en Rn+1 es equivalente a clasificar poliedros regulares en Sn
Monday, March 11, 13
Polígonos proyectivos regulares
Monday, March 11, 13
Polígonos proyectivos regulares
Monday, March 11, 13
Polígonos proyectivos regulares
Monday, March 11, 13
Polígonos proyectivos regulares
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Poliedros proyectivos regulares
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Vol. 59 (2000) Projective polyhedra I 67
Observe that the first argument of the preceding proof holds for any planar-skew polyhedron. Let us state this in general:
Corollary 2. If the planar-skew polyhedron [[p, q; r]] is finite then r/! is rational.!
Observe also that the only case when the polyhedron [[4, 4 ; r]] is an embeddedtorus is when r = !/2k, with integer k > 1. Otherwise the surface which it defineshas selfintersections. See Figure 5.
Figure 5. Stereographic projections of [[4, 4 ;!/6]] and [[4, 4 ;!/5]]. In the first one, the two bound-aries are to be antipodally identified. In the second, also the outermost faces are antipodallyidentified.
The natural geometric way to look at these polyhedra is with their vertices onthe quadric surface Q in P3 defined by the equation x2
1 + x22 = x2
3 + x24, where
[x1 : x2 : x3 : x4] are homogeneous coordinates. In this quadric, the lines ofopposite rulings meet at an angle of !/2, and generate the tangent plane to Qat their intersection point. Thus, the square [[4 ; r]] centered at this point andwith diagonals on the rules has vertices on Q. From this square proceed to build[[4, 4 ; r]]. The diagonal lines at any given vertex become precisely the two rules ofQ. Finally, observe that [[4, 4 ; r]] is isometric (and hence equivalent) to its dual.
Monday, March 11, 13
Vol. 59 (2000) Projective polyhedra I 67
Observe that the first argument of the preceding proof holds for any planar-skew polyhedron. Let us state this in general:
Corollary 2. If the planar-skew polyhedron [[p, q; r]] is finite then r/! is rational.!
Observe also that the only case when the polyhedron [[4, 4 ; r]] is an embeddedtorus is when r = !/2k, with integer k > 1. Otherwise the surface which it defineshas selfintersections. See Figure 5.
Figure 5. Stereographic projections of [[4, 4 ;!/6]] and [[4, 4 ;!/5]]. In the first one, the two bound-aries are to be antipodally identified. In the second, also the outermost faces are antipodallyidentified.
The natural geometric way to look at these polyhedra is with their vertices onthe quadric surface Q in P3 defined by the equation x2
1 + x22 = x2
3 + x24, where
[x1 : x2 : x3 : x4] are homogeneous coordinates. In this quadric, the lines ofopposite rulings meet at an angle of !/2, and generate the tangent plane to Qat their intersection point. Thus, the square [[4 ; r]] centered at this point andwith diagonals on the rules has vertices on Q. From this square proceed to build[[4, 4 ; r]]. The diagonal lines at any given vertex become precisely the two rules ofQ. Finally, observe that [[4, 4 ; r]] is isometric (and hence equivalent) to its dual.
Monday, March 11, 13
Vol. 59 (2000) Projective polyhedra I 67
Observe that the first argument of the preceding proof holds for any planar-skew polyhedron. Let us state this in general:
Corollary 2. If the planar-skew polyhedron [[p, q; r]] is finite then r/! is rational.!
Observe also that the only case when the polyhedron [[4, 4 ; r]] is an embeddedtorus is when r = !/2k, with integer k > 1. Otherwise the surface which it defineshas selfintersections. See Figure 5.
Figure 5. Stereographic projections of [[4, 4 ;!/6]] and [[4, 4 ;!/5]]. In the first one, the two bound-aries are to be antipodally identified. In the second, also the outermost faces are antipodallyidentified.
The natural geometric way to look at these polyhedra is with their vertices onthe quadric surface Q in P3 defined by the equation x2
1 + x22 = x2
3 + x24, where
[x1 : x2 : x3 : x4] are homogeneous coordinates. In this quadric, the lines ofopposite rulings meet at an angle of !/2, and generate the tangent plane to Qat their intersection point. Thus, the square [[4 ; r]] centered at this point andwith diagonals on the rules has vertices on Q. From this square proceed to build[[4, 4 ; r]]. The diagonal lines at any given vertex become precisely the two rules ofQ. Finally, observe that [[4, 4 ; r]] is isometric (and hence equivalent) to its dual.
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Monday, March 11, 13
Arocha, Bracho, Montejano (2000)Todos los toros regulares {4,4}(a,0) son poliedros proyectivos regulares con caras planas
(a,a)
(a,0)
(0,a)
(0,0)
Monday, March 11, 13
Poliedros regulares en P3
2000 Jorge Arocha, Javier Bracho, Luis MontejanoClasificación de los poliedros regulares en P3 con caras planas
2007 Peter McMullenClasificación de los poliedros regulares finitos en R4
Monday, March 11, 13
Poliedros regulares en P3Poliedros regulares finitos en R4&P3
2000 Jorge Arocha, Javier Bracho, Luis MontejanoClasificación de los poliedros regulares en P3 con caras planas
2007 Peter McMullenClasificación de los poliedros regulares finitos en R4
Monday, March 11, 13
Poliedros quiralesUn poliedro es quiral si su grupo de automorfismos tiene dos órbitas en el conjunto de banderas, con banderas adyacentes en diferentes órbitas
Monday, March 11, 13
Poliedros quiralesUn poliedro es quiral si su grupo de automorfismos tiene dos órbitas en el conjunto de banderas, con banderas adyacentes en diferentes órbitas
Monday, March 11, 13
Poliedros quiralesUn poliedro es quiral si su grupo de automorfismos tiene dos órbitas en el conjunto de banderas, con banderas adyacentes en diferentes órbitas
~2004 Egon SchulteNo hay poliedros quirales en R3
¿Hay poliedros quirales en R4 (o en P3)?
Monday, March 11, 13