POLIEDROS
POLIEDROS
POLIEDROS
Poliedros:
Un poliedro es una figura geométrica tridimensional y cerrada, cuyas caras son figuras planas de forma poligonal
ELEMENTOS DE UN POLIEDRO
Tipos de Poliedros:
Poliedros Regulares :•Todas sus caras son polígonos regulares e iguales•En todos sus vértices se unen el mismo número de aristas
Poliedros irregulares•Los demás
POLIEDROS
POLIEDROS
• Tipos de Poliedros:
Poliedros Convexos :•Todos sus ángulos diedros son menores de 180ºCumplen la fórmula de EULER C+V=A+2(nº caras+nº vértices= nº aristas +2)
Poliedros Cóncavos•Tiene algún ángulo diedro mayor de 180º
POLIEDROS REGULARES
PoliedrosRegulares
Sólidos de Platón:
Los sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Sólo existen cinco de ellos:
1.Tetraedro2.Cubo3.Octaedro4.Dodecaedro 5. Icosaedro.
1 2 3 4 5
POLIEDROS REGULARES
Tetraedro: Nº Caras 4
Forma de caras Triangulo Equilátero
Nº Aristas 6
Nº Vértices 4
Nº Caras concurrentes a un vértice 3
Nº Vértices contenidos en cada cara 3
POLIEDROS REGULARES
Cubo (Hexaedro): Nº Caras 6
Forma de caras Cuadrado
Nº Aristas 12
Nº Vértices 8
Nº Caras concurrentes a un vértice 3
Nº Vértices contenidos en cada cara 4
POLIEDROS REGULARES
Octaedro: Nº Caras 8
Forma de caras Triangulo Equilátero
Nº Aristas 12
Nº Vértices 6
Nº Caras concurrentes a un vértice 4
Nº Vértices contenidos en cada cara 3
POLIEDROS REGULARES
Dodecaedro: Nº Caras 12
Forma de caras Pentágono
Nº Aristas 30
Nº Vértices 20
Nº Caras concurrentes a un vértice 3
Nº Vértices contenidos en cada cara 5
POLIEDROS REGULARES
Icosaedro: Nº Caras 20
Forma de caras Triangulo Equilátero
Nº Aristas 30
Nº Vértices 12
Nº Caras concurrentes a un vértice 5
Nº Vértices contenidos en cada cara 3
PRISMASPRISMAS
Un prisma es un poliedro formado por dos caras paralelas iguales, llamadas bases y por polígonos que unen las bases, que son paralelogramos, estos polígonos se llaman caras laterales
Arista básica
Arista lateral
PRISMAS:
• Según sea el polígono de la basePrisma regular :•Las bases son polígonos regulares
Prisma irregular•Las bases son polígonos irregulares
PRISMAS:
• Según sea el polígono de la base
PRISMAS:
• Según la forma de la basePrisma Forma de la baseTriangular Triángulo
Cuadrangular Cuadrado
Rectángular Rectángulo
Pentagonal Pentágono
Hexagonal Hexágono
…. ….
PRISMAS:
• Según sean las caras lateralesPrisma recto :•Caras laterales cuadrados o rectángulos. •Las caras laterales son perpendiculares a la base.
Prisma oblicuo• Algunas caras laterales rombos o romboides.• Algunas caras no son perpendiculares a la base
PRISMAS:
PRISMAS:
• Área de un prismaEl área de un prisma es la superficie de su desarrollo plano, es decir la suma del área de sus caras laterales y del área de sus bases
PRISMAS:
Si PB es el perímetro de la base y h la altura del prisma
Área lateral = PB x h
Área total = A. lateral + 2 x A. bases
h
h
PRISMAS:
• Volumen de un prismaEs la medida del espacio encerrado dentro del prisma
PRISMAS:
Volumen del prisma = ÁreaBase x h
h
PRISMAS:
• Ortoedro
Es un prisma en el que todas sus caras son rectángulos o cuadrados
El volumen de un ortoedro se puede calcular multiplicando sus tres dimensiones
V= Largo x ancho x alto
PRISMAS:
PRISMAS:
• Ortoedro: Teorema de Pitágoras en el espacio
La diagonal de un ortoedro al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de su largo, su ancho y su alto
D2 = a2 + b2 + c2
PRISMAS:
PIRAMIDES
Una pirámide es un poliedro formado por un polígono cualquiera llamado base, siendo el resto de caras triángulos, que se unen en un punto llamado vértice de la pirámide
• Según sea el polígono de la basePirámide regular :•La base es un polígono regular y las caras laterales iguales
Pirámide irregular•La base es un polígono irregular
PIRAMIDES:
• Según sea el polígono de la base
PIRAMIDES:
• Según la forma de la basePirámide Forma de la baseTriangular Triángulo
Cuadrangular Cuadrado
Rectángular Rectángulo
Pentagonal Pentágono
Hexagonal Hexágono
…. ….
• Según sean las caras lateralesPirámide recta :•Las caras laterales son triángulos isósceles
Pirámide oblicua•No todas sus caras laterales son triángulos isósceles
PIRAMIDES:
PIRAMIDES:
• Área de una pirámideEl área de un pirámide es la superficie de su desarrollo plano, es decir la suma del área de sus caras laterales y del área de su base
Área lateral = suma de las áreas de los triángulos laterales
Si la pirámide es regular todas sus caras son igualesSi PB es el perímetro de la base y a apotema de la cara lateral
Area lateral= (PB x a) / 2
Área total = A. lateral + A. base Arista base
Apotema o Altura cara lateral
PIRAMIDE:
• Volumen de una pirámide
Es la medida del espacio encerrado dentro de la pirámideCoincide con la tercera parte del volumen de un prisma de igual base e igual altura que la pirámide
h
AB: área de la baseh: altura de la pirámide
PIRAMIDE:
• Aplicación de T. Pitágoras en la pirámide
En una pirámide podemos relacionar la altura de la pirámide y las apotemas (base y lateral) usando Pitágoras
PIRAMIDE:
PIRAMIDE:
PIRAMIDE:
PIRAMIDE:
• Tronco de pirámide• Es el cuerpo geométrico que resulta al cortar una pirámide por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice.
• Las caras laterales son trapecios (isósceles si la pirámide es recta)
PIRAMIDE: área tronco de pirámide
• Calcular el área de un tronco de pirámide de bases cuadradas de lado 10 y 20 cm respectivamente y cuya arista lateral es de 13 cm.
CUERPOS DE REVOLUCIÓN
•Se llaman cuerpos de revolución a los que se obtienen al girar una figura plana, alrededor de un eje.
CILINDRO:
• Es un cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados
altu
ra
GENERATRIZ
radio
gene
ratr
iz
EJE GIRO
RADIO
BASE
• El desarrollo plano de un cilindro está formado por:
• Dos círculos que son las bases del cilindro•Un rectángulo de base la longitud de la circunferencia de una de las bases del cilindro y altura la del cilindro
• Es un cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados
• El desarrollo plano de un cilindro está formado por:
• Dos círculos que son las bases del cilindro•Un rectángulo de base la longitud de la circunferencia de una de las bases del cilindro y altura la del cilindro
CILINDRO:
• Área y volumen de un cilindro
CONO:•Se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
• El desarrollo plano de un cono está formado por:
• Un círculo que es la base del cono•Un sector circular que es la cara lateral del cono
radio
generatriz
eje
giro
altu
ra
EJE GIRO
GENERATRIZ
RADIO
BASE
CONO:
• Área y volumen del cono
CONO:
• Área y volumen del cono
CONO:
• Aplicación del T. Pitágoras en el cono
En un cono la altura, el radio de la base y la generatriz forman un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa es g
CONO:
CONO:
CONO: Tronco de cono
• Es el cuerpo geométrico que resulta al cortar un cono por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice.
• Las cara lateral es un trapecio circular
• Área del tronco de cono es
Area= Area de las bases + Area lateral
Area lateral = grR )( +π
Para calcular el volumen del tronco de cono
Vtronco= V cono grande – V cono pequeño
Por semejanza de triángulos:
( ) 322 1,9891533063
1
15
45366
15
3
cmV
cmx
xx
xx
tronco =⋅−⋅=
=+=
+=
π
CONO: Tronco de cono
CONO: Tronco de cono
• Aplicación del T. Pitágoras en el tronco de cono
ESFERA:
•Se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro
diám
etro
eje
giro
RADIO
CENTRO
EJE DE GIRO
ESFERA: elementos de la esfera•Superficie esférica: superficie engendrada por una circunferencia que gira sobre su diámetro
•Centro: punto interior que equidista de cualquier punto de la superficie esférica
•Radio: distancia del centro a cualquier punto de la superficie esférica
•Cuerda: segmento que une dos puntos de la superficie esférica
•Diámetro: cuerda que pasa por el centro de la esfera
cuerda
polos•Polos: puntos de corte de la superficie esférica con el eje de giro
•círculo máximo: se obtiene al cortar una esfera por un plano que pasa por el centro. La circunferencia correspondiente a este círculo se denomina circunferencia máxima.•círculo menor: se obtiene si el plano que corta la esfera no pasa por el centro, y la circunferencia correspondiente se denomina circunferencia menor.
• Meridianos: círculos máximos que contiene al eje de giro de la esfera• Paralelos : círculo menores perpendiculares al eje de giro• Ecuador: círculo máximo perpendicular al eje de giro
ESFERA: elementos de la esfera
ESFERA:
• Área y volumen de la esfera
ESFERA:
• Área y volumen de la esferaEl área y el volumen de la esfera coinciden con 2/3 del área y del volumen de un cilindro deradio igual a la esfera, y de altura su diámetro
ESFERA:
• Figuras esféricas
Casquete esférico Cuña esféricaZona esférica Huso esférico
ESFERA:
• Figuras esféricas
ESFERA: casquete esférico
•Un casquete esférico es cada una de las partes de la esfera, obtenidas al cortarla por un plano
•Usando el T. de Pitágoras, podemos relacionar el radio de la esfera “r” con el radio del casquete “a” y la altura del casquete “h”.
Área casquete
Volumen casquete
ESFERA: zona esférica
•Una zona esférica es la parte de la esfera comprendida entre dos planos secantes paralelos
ESFERA: huso y cuña esférica• Huso esférico es la parte de la superficies esférica comprendida entre dos planos secantes que pasan por el centro de la esfera.
• Cuña esférica es la porción de esfera comprendida entre dos planos secantes que pasan por el centro de la esfera.
ESFERA: la esfera terrestre
• Coordenadas geográficas•Por cada punto de la superficie terrestre pasan un meridiano y un paralelo• Su posición angular respecto a dos círculos máximos determinan las coordenadas geográficas del punto• Latitud: es la medida en grados del arco de meridiano comprendido entre el ecuador y el punto correspondiente. Su medida va de 0º a 90º en sentido Norte o Sur.•Longitud: es la medida en grados del arco comprendido entre el meridiano cero (M. de Greenwich) y el que pasa por el punto. Su medida va de 0º a 180º en sentido Este u Oeste.
ESFERA: la esfera terrestre
• Coordenadas geográficas: ejemplos
• Madrid: latitud 40º 28’ N, longitud 3º 42 ‘ O
• Quito: latitud 0º 13 ‘ S, longitud 78º 31’ O
• Helsinki: latitud 60º 10’ N, longitud 24º 56 ‘ E
• Bora Bora: latitud 16º 30’ S, longitud 151º 44’ O
9 4 52,5 cm
2 2
− = =
2 2h 5 2,5 25 6,25 18,75 4,33 cm= − = − = ≈
( ) ( ) 2h 9 4 4,33Área de la base 28,15 cm
2 2
B b+ × + ×− = = ≈
− Volumen = (Área base) · altura = 28,15 · 6,5 ≈ 182,98 cm3
VOLUMENES POLIEDRICOS
Otros poliedros
Icosaedro truncado
Nº Caras 32
Forma de carasPentágonos (12)
Hexágonos (20)
Nº Aristas 90
Nº Vértices 60
Nº Caras concurrentes a un vértice
1pentágonos2 hexágonos