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POLARIZAO E ESPALHAMENTO DE ONDAS ELETROMAGNTICAS; PRINCPIO DE
HUYGENS
METAExplicar aos estudantes o fenmeno de polarizao das ondas
eletromagnticas, as diferenas entre vrios tipos de polarizao e as
maneiras de se produzir este efeito. Discutir o espalhamento da luz
e explicar alguns fenmenos naturais que se baseiam nele. Introduzir
conhecimento bsico sobre ptica ondulatria, descrita atravs do
princpio de Huygens.
OBJETIVOSAo fi nal desta aula, o aluno dever:Entender a descrio
ondulatria da propagao de luz (atravs das frentes de onda), e o
princpio de Huygens.Saber diferena entre ondas polarizadas
linearmente, circularmente e elipticamente. Saber como se pode
produzir uma onda polarizada.Entender o mecanismo de espalhamento
da luz.Entender por que o cu azul e o pr-do-sol vermelho.
PR-REQUISITOTrigonometria bsica; aulas 05-08
Aula
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Introduo
Nessa aula aprofundaremos o conhecimento sobre ondas
eletromagnticas, discutindo o seu efeito de polarizao. O efeito
envolve considerao da direo (ou plano) em que o campo eltrico
oscila durante movimento ondulatrio. Como a onda eletromagntica
interage com a matria atravs do seu campo eltrico (que exerce a
fora sobre partculas carregadas, como eltrons e ons), obvio que o
assunto muito importante. Alm da polarizao, aprenderemos como
ocorre espalhamento das ondas luminosas por molculas do ar na
atmosfera, e quais so consequncias deste efeito na nossa vida
cotidiana. Finalmente, comearemos a estudar a ptica ondulatria
atravs da formulao do princpio de Huygens, que utiliza frentes de
onda em vez de raios para descrever o movimento ondulatrio. Essa
descrio ser til para explicar fenmenos ondulatrios, como
interferncia e difrao, que no podem ser tratados com base na ptica
geomtrica. 9.1 Ondas eletromagnticas no polarizadas e linearmente
polarizadas A polarizao, j discutida nas aulas anteriores, uma
caracterstica de todas as ondas transversais (sejam elas mecnicas
ou eletromagnticas). No caso das ondas eletromagnticas, esta
caracterstica conectada com a direo ao longo d qual o campo eltrico
oscila. Fontes comuns da luz, como Sol ou lmpadas incandescentes e
fluorescentes, emitem luz que no polarizada (digamos: luz natural).
Nesta luz, o campo eltrico oscila aleatoriamente em todas as direes
transversais possveis (figura 9.1 esquerda). Portanto, campo
eltrico que oscila em qualquer determinada direo pode ser
representado como uma combinao linear de duas componentes
perpendiculares entre si, como mostra figura 9.1 direita. Por isso,
considera-se que a luz no-polarizada tem dois graus da
liberdade.
Figura 9.1: Luz natural, no polarizada. Campos eltricos oscilam
no plano YZ, perpendicular a direo de propagao que est saindo do
papel, em todas as direes possveis. Qualquer um desses campos
representado como combinao linear das suas componentes ao longo de
eixos Y e Z.
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A luz no polarizada um resultado de inmeros processos de
irradiao dos tomos ou molculas que constituem a fonte e so
diferentemente ligados e aleatoriamente orientados. Como
consequncia, a luz resultante contm uma mistura de ondas
eletromagnticas com campos eltricos que vibram em vrias direes.
Situao contrria ocorre quando a luz produzida por um s tomo ou
molcula. Neste caso, o campo eltrico oscila em uma s determinada
direo, durante toda propagao, definindo uma onda linearmente
polarizada, que j foi discutida nas aulas anteriores (figura
9.2).
Figura 9.2: Onda linearmente polarizada no plano YZ, ao longo de
eixo Y. Agora, podemos perguntar se existe maneira de se produzir
uma onda linearmente polarizda a partir de um feixe de onda no
polarizada? A resposta positiva, e envolve a utilizao de materiais
com caractersticas especiais, chamados filtros polarizadores. A
construo do filtro polarizador depende, em geral, do comprimento da
onda em questo. Para microondas ( de alguns centimetros) um bom
filtro polarizador uma grade de fios condutores prximos e
paralelos, isolados entre si e igualmente espaados. Quando uma
microonda no polarizada atinge a grade, o componente do campo
eltrico paralelo s grades anulado pela ao dos eltrons livres nos
fios condutores, enquanto o componente perpendicular grade a
atravessa sem qualquer alterao. Como resultado, um feixe de
microondas na sada polarizado perpendicularmente ao plano dos fios
(figura 9.3).
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Figura 9.3: Filtro polarizador para microondas: uma grade de
fios condutores paralelos. No caso da luz, o filtro polarizador
mais conhecido o polaride (nome derivado da empresa Polaroid),
frequentemente usado em culos de Sol. Polaride um tipo de material
com propriedade de dicrosmo: absorve luz seletivamente, muito mais
ao longo de uma determinada direo cristalina do que ao longo da
direo perpendicular a essa (que chamada eixo polarizador). Como
resultado, um polaride transmite mais de 80% da intensidade da luz
polarizada ao longo de eixo polarizador, e menos de 1% da luz
polarizada perpendicularmente a este eixo. Portanto, na sada obtida
luz linearmente polarizada. A figura 9.4 mostra como se produz uma
onda polarizada.
Figura 9.4: Equipamento tpico utilizado para polarizao da luz
natural. O primeiro filtro, o polarizador, permite obter a luz
linearmente polarizada. Como nossos olhos no conseguem diferenciar
a luz natural da luz polarizada, um segundo filtro, chamado
analisador, usado para verificar se a luz est polarizada. Este
segundo filtro tambm um polaride, porm com o eixo polarizador
perpendicular ao eixo do polarizador. Se a luz for eliminada pelo
analisador, ela estava polarizada; caso contrrio, no estava
polarizada. No caso geral, o eixo do analisador faz um ngulo com
eixo do polarizador. Se assumimos que o eixo do analisador est
paralelo ao eixo y (figura 9.5), passar pelo analisador somente o
componente do campo eltrico paralelo ao eixo y : cosyE E = .
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Figura 9.5: A luz linermente polarizada (campo eltrico E
r) est atingindo o analizador,
cujo eixo polarizador est ao longo da direo do eixo y . O que
passa somente a componente yE .
A intensidade da luz que incide no analisador : 20 0 max12
I c E= (aula 06), enquanto a
intensidade que sai do analisador : 2 20 max1 cos2
I c E = . Portanto, a intensidade
transmitida atravs de um analisador cujo eixo deslocado por
ngulo em relao ao polarizador : 20 cosI I = (9.1) conhecida como a
lei de Malus, que vale somente quando o feixe que incide sobre
analisador j est linearmente polarizado. Quando 090 = (i.e., os
eixos polarizadores do polarizador e do analizador so
perpendiculares) nenhuma luz passa e a intensidade na sada igual a
zero (figura 9.6).
Figura 9.6: Dois filtros polarizadores sobrepostos, mostrando
trs situaes: quando seus eixos so paralelos ( 0 = ), inclinados sob
algum ngulo ( ), e perpendiculares
( 090 = ). E o que acontece quando a luz no polarizada incide
sobre um polarizador? Como os campos eltricos desta luz oscilam em
todas as direes possveis, preciso fazer uma
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mdia sobre os ngulos em relao do eixo polarizador. A intensidade
da luz linearmente polarizada na sada :
20 cosI I =
Utilizando a identidade trigonomtrica 2 2 2cos 2 cos sen 2cos 1
= = , podemos expressar 2cos como 2cos 1 2 (cos 2 1) = + .
Segue:
01 1cos(2 )2 2
I I = +
A mdia sobre cos(2 ) igual a zero, pois metade dos ngulos
positiva e outra metade negativa em relao ao eixo polarizador.
Portanto, a intensidade da luz natural transmitida ( I ) atravs de
um polarizador igual:
012
I I= (9.2)
onde 0I a intensidade da luz natural que incide sobre
polarizador. Uma das grandes vantagens de uso dos culos com filtros
polarizadores eliminao do reflexo dos objetos iluminados. A luz
natural, ao ser refletida em placas de vidro, polariza-se. Os culos
polarides, atuando como analisadores, no permitem a passagem da luz
refletida polarizada. O mesmo ocorre com filtros polarides
embutidos em mquinas fotogrficas. Assim, os reflexos podem ser
eliminados (figura 9.7).
Figura 9.7: Eliminao de reflexo usando culos com filtros
polarizadores. Alm da utilizao dos filtros polarizadores, existe
mais uma maneira de se produzir luz linearmente polarizada a partir
de um feixe de luz natural: atravs da reflexo por um determinado
ngulo!
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Pois , analisando o processo de reflexo da luz natural,
observou-se que para maioria dos ngulos de incidncia, os
componentes da onda luminosa com campo eltrico E
r
perpendicular ao plano da incidncia so refletidas mais
acentuadamente do que as componentes com E
r paralelo a este plano. Como resultado, as ondas refletidas
so
parcialmente polarizadas ao longo da direo perpendicular ao
plano da incidncia. Mostra-se, a partir da anlise das equaes de
Maxwell, que existe um ngulo de incidncia especfico, B , que produz
uma situao em que a luz refletida 100% linearmente polarizada.
Neste caso,
(1) as componentes da onda luminosa com Er
paralelo ao plano da incidncia so totalmente refratadas, e (2)
as componentes com E
r perpendicular ao plano de incidncia so parcialmente
refletidas e parcialmente refratadas.
Portanto, a luz refletida linearmente polarizada ao longo da
direo perpendicular ao plano da incidncia (figura 9.8). Ela bem
mais fraca do que a luz incidente, porque grande parte da ltima
refratada!
Figura 9.8: Polarizao da luz atravs da reflexo. Como se
determina esse ngulo especfico, B ? Em 1812, o cientista ingls Sir
David Brewster percebeu que quando o ngulo de incidncia B , os
raios refletidos e refratados so perpendiculares (figura 9.8).
Neste caso, o ngulo de refrao igual a:
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0 02 180 90 2B B
= =
Aplicando a lei de Snell:
1 2 2 2sin sin sin 2B Bn n n = =
segue:
1 2sin cosB Bn n = Portanto, o ngulo B determinado pela
equao:
21
tg Bnn
= , i.e., 21
arctgBnn
=
(9.3)
e depende da razo entre os ndices de refrao do meio da refrao (
2n ) e do meio da incidncia ( 1n ). A equao (9.3), que, alis, pode
ser deduzida a partir das equaes de Maxwell, chama-se lei de
Brewster. O ngulo P chamado ngulo de Brewster. 9.2 Luz
circularmente ou elipticamente polarizada Alm de poder ser
linearmente polarizada, a luz pode estar circularmente ou
elipticamente polarizada tambm. Estes tipos de polarizao podem ser
entendidos atravs da superposio especfica de duas ondas linearmente
polarizadas. Como j foi mencionado na aula 06, as ondas
eletromagnticas obedecem ao princpio de superposio. Isso significa
o seguinte: se duas ondas passam ao mesmo instante ( t ) pelo mesmo
ponto do espao ( rr ), a onda resultante ter seu campo eltrico (
E
r) e
magntico ( Br
) definidos como a soma dos campos eltricos ( 1 2,E Er r
) e magnticos
( 1 2,B Br r
) das ondas individuais:
1 2
1 2
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
E r t E r t E r t
B r t B r t B r t
= +
= +
r r rr r r
r r rr r r (9.4)
Vamos primeiro analisar superposio de duas ondas com as mesmas
amplitudes, que se propagam na direo positiva do eixo z , uma
polarizada ao longo do eixo x e outra ao longo do eixo y . Vamos
tambm supor que estas duas ondas esto em fase (figura 9.9). A
superposio dessas ondas define uma onda resultante com campo
eltrico igual a
x yE E E= +r r r
.
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Figura 9.9: Superposio de duas ondas linearmente polarizadas e
em fase. O resultado
uma onda tambm linearmente polarizada. fcil ver que o resultado
da superposio tambm uma onda linearmente polarizada, cujo plano de
polarizao est inclinado em relao ao plano XZ ou YZ por um ngulo de
045 . A amplitude do campo eltrico resultante 2 vezes maior do que
as amplitudes dos campos eltricos das ondas originais (veja figura
9.9). Podemos generalizar esse caso e alegar que a superposio de
quaisquer duas ondas em fase e linearmente polarizadas, quaisquer
que sejam planos de polarizao delas, resulta em uma onda
linearmente polarizada, porm com plano de polarizao alterado.
Agora, o que aconteceria se somarmos duas ondas linearmente
polarizadas, com a mesma amplitude, mas que no esto em fase?
Veremos que assim geramos uma situao bem diferente! Vamos
primeiramente considerar o caso quando a diferena de fase de um
quarto de ciclo, isto , de 090 . Esse ngulo equivalente ao atraso
de um quarto de ciclo ( 4T ) entre duas ondas idnticas (a primeira
solta em 0t = e outra em 4t T= ), ou equivale diferena de caminhos
entre elas igual a 4 (refresque sua memria sobre essas coisas que
foram consideradas na aula 05). Ento, teremos duas ondas que se
propagam na direo positiva do eixo z , uma polarizada ao longo do
eixo x e outra polarizada ao longo do eixo y , mas de tal maneira
que o valor do campo eltrico xE
r mximo
quando o valor de yEr
igual a zero e vice-versa. Como as funes seno e cosseno so
defasadas por um ngulo de 090 , podemos representar a variao do
campo eltrico ao
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longo do eixo x com uma funo seno, e a variao do campo eltrico
ao longo do eixo y com uma funo cosseno, como foi ilustrado na
figura 9.10.
Figura 9.10: Superposio de duas ondas linearmente polarizadas,
com a mesma amplitude 0E e uma diferena de fase igual a
090 . A superposio das ondas na figura 9.10 resulta em uma onda
cujo campo eltrico E
r
no oscila ao longo de uma direo fixa durante o movimento, mas
muda a direo descrevendo uma trajetria que se assemelha ao
movimento helicoidal. Se ns ficarmos na frente da onda e
projetarmos o vetor ( )E t
r durante o movimento em um plano,
perceberemos que esse vetor tem comprimento fixo (no oscila), e
gira com velocidade constante descrevendo um crculo! Digamos que
esta onda circularmente polarizada. Se o sentido de movimento do (
)E t
r horrio, a onda denominada
dextrgira, no caso contrrio levgira (sempre em relao ao
observador que est na frente da onda, i.e., a onda se aproxima do
observador). Quando a diferena de fase entre as ondas individuais
diferente de 090 , ou as ondas possuem amplitudes diferentes, o
resultado uma onda cujo campo eltrico gira descrevendo uma elipse,
em vez de um crculo. Digamos que esta onda elipticamente
polarizada. Finalmente, como se produz uma onda eletromagntica
circularmente ou elipticamente polarizada? No caso das ondas com
frequncias nas faixas de ondas de rdio e microondas, essa polarizao
feita pelas duas antenas perpendiculares com circuitos eltricos
projetados de tal maneira a produzir uma diferena de fase
apropriada entre as ondas emitidas. No caso das ondas luminosas,
utilizam-se materiais com propriedade de
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215
birrefringncia, aqueles que possuem dois diferentes ndices de
refrao ao longo de dois eixos cristalinos perpendiculares entre si
( 1 2 1 2, ;n n n n ). Neste tipo de materiais a luz polarizada ao
longo de um desses eixos viaja com velocidade 1 1v c n= , enquanto
a luz polarizada ao longo de outro eixo viaja com velocidade 2 2v c
n= . A diferena entre as velocidades 1v e 2v faz com que as duas
ondas que incidiram no material em fase saiam do material com uma
diferena de fase induzida (uma atrasada em relao outra). Quando o
material birrefringente possui espessura apropriada para produzir
uma diferena de fase de 090 (i.e., diferena dos caminhos igual a 4
), o cristal converte a luz linearmente polarizada em luz
circularmente polarizada. O cristal assim chamado de placa de um
quarto de onda. Exemplos de cristais birrefringentes so alumina
(Al2O3) e calcita (CaCO3).
9.3 Espalhamento da luz
Algum de vocs j se perguntou por que o nosso cu azul, o Sol
parece amarelo e o pr-do-sol vermelho? Bom, veremos que todas estas
aparncias ocorrem por conta da maneira em que a luz proveniente do
Sol interage com as partculas da atmosfera. Quando olhamos os
objetos e percebemos suas cores, isso no ocorre porque eles emitem
a luz com aquela cor. porque estes objetos refletem (ou dispersam)
a luz de uma determinada cor associada a um comprimento de onda.
Uma folha, por exemplo, utiliza todas as cores para fazer a
fotossntese menos o verde, pois esta refletida. Por isso ns vemos a
folha com cor verde. Uma camisa vermelha exibe essa cor por que a
tinta da camisa absorve todos os componentes da luz branca, exceto
o componente vermelho que est refletido. A mesma coisa acontece
quando a luz solar atinge a atmosfera. A luz sofre reflexo das
molculas do ar, bem como das pequenas partculas de poeira ou outros
resduos. S que este processo no chamamos de reflexo, mas utilizamos
outro termo: espalhamento da luz. Como funciona esse espalhamento?
Quando um feixe de luz incide sobre um tomo ou molcula, o campo
eltrico oscilante proveniente do feixe exerce uma fora sobre as
partculas carregadas (eltrons). Essas cargas comeam a vibrar com a
mesma frequncia do campo eltrico, produzindo radiao eletromagntica
com exatamente a mesma frequncia que emitida em direes diversas.
Portanto, a luz primeiramente absorvida pelas molculas e depois
re-emitida em todas as direes. Como consequncia, cada molcula do ar
funciona como uma nova fonte de luz, que espalha ou desvia a luz
incidente para outras direes. Nesse processo no h troca de energia
entre molculas e luz, isto , a luz espalhada muda somente sua direo
de propagao e no seu comprimento da onda ou frequncia. O
espalhamento , portanto, elstico, e denominado como espalhamento
Rayleigh. Esse tipo de espalhamento ocorre sempre quando a luz
interage com as partculas com tamanho menor do que o seu
comprimento de onda (que o caso das molculas de ar, usualmente
oxignio e nitrognio).
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OK. E o que tudo isso tem que ver com a cor do cu? Bem, o
espalhamento um processo que no ocorre todas as vezes quando a luz
interage com a molcula. s vezes no acontece nada, e luz passa pela
molcula sem ser espalhada. O processo , portanto, probabilstico e
descrito por alguma probabilidade de ocorrncia (alias como todos os
processos no mundo dos tomos, descritos pela mecnica quntica).
Mostra-se que a probabilidade das molculas espalharem a luz depende
da frequncia da luz: cores distintas so espalhadas em quantidades
diferentes, isto , a intensidade das cores espalhadas no a mesma.
Essa intensidade proporcional frequncia elevada quarta potncia (ou
equivalentemente, inversamente proporcional ao comprimento da onda
elevada quarta potncia): intensidade da luz espalhada: I 4f (ou 4 )
Portanto, as componentes da luz branca com frequncias maiores so
bem mais espalhadas do que componentes com frequncias menores.
Levando em conta que a luz azul tem um comprimento de onda mdio de
400 nm e a luz vermelha de 700 nm, podemos estimar a razo entre
intensidades das cores azul e vermelha espalhadas:
4 4azul
vermelho
400 700 9,4700 400
I nmI nm
= =
Ento, molculas de ar espalham a cor azul quase 10 vezes mais do
que cor vermelha! A luz vermelha muito mais frequentemente
transmitida e continua em sua direo original. Esta situao ilustrada
na figura 9.11.
Figura 9.11: Espalhamento da luz pelas molculas de ar; a cor
azul muito mais espalhada do que outras cores.
Quando olhamos para cu, nossos olhos percebem os raios da luz
espalhada, e como ela consiste predominantemente da luz azul, ns
vemos o cu com esta cor! Por causa disso, o cu azul!
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217
Figura 9.12: Explicao da aparncia azul do cu: no olhando
diretamente para o Sol, ns percebemos a luz espalhada pelas
molculas presentes no ar, e esta consiste
predominantemente das frequncias que correspondem cor azul.
Agora, algum pode perguntar por que no vemos o cu com cor
violeta se a luz violeta tem comprimento de onda menor que a luz
azul, e, portanto se dispersa mais? A resposta a seguinte: porque
no h suficiente luz ultravioleta. O Sol produz muito mais luz azul
que violeta. Onde no h atmosfera (como no espao interestelar, ou na
Lua), os raios do sol no sofrem disperso, logo eles percorrem uma
linha reta do Sol at o observador. Se os astronautas no olharem
diretamente para o Sol, eles vem um cu negro (figura 9.13)!
Figura 9.13: Sem atmosfera ns veramos o cu com cor preta, pois
no haveria efeito de disperso da luz.
Por que o Sol parece amarelo? Porque no caminho para nossos
olhos, muita luz violeta e azul so retiradas devido ao
espalhamento. As outras cores que permaneceram no feixe,
juntamente, tm aparncia de amarelo. No espao interestelar, olhando
diretamente ao Sol, ele pareceria branco, pois nenhuma componente
sua seria retirada devido ausncia de molculas da atmosfera.
Finalmente, por que o pr-do-sol parece avermelhado? Porque o feixe
de luz solar j passou uma grande distncia atravs da atmosfera e
sofreu muitos processos de
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espalhamento. Nestes processos as componentes da luz com
frequncias maiores foram bastante retiradas. At chegar aos nossos
olhos, sobreviveram somente componentes com frequncias menores,
i.e., com a cor predominantemente vermelha (figura 9.14).
Figura 9.14: O pr-do-sol vermelho porque aos nossos olhos chega
luz sem as componentes azuis, retiradas atravs de muitos processos
de espalhamento.
9.4 Princpio de Huygens
At este momento analisvamos a propagao da luz com o auxlio da
ptica geomtrica, que se baseia na utilizao de raios. Mesmo usando
essa descrio simplificada, conseguimos explicar vrios efeitos
ondulatrios, e derivar, por exemplo, leis da reflexo e refrao das
ondas eletromagnticas. Porm, nem todos os efeitos ondulatrios so de
alcance da ptica geomtrica. Interferncia e difrao, que estudaremos
na ltima aula, so exemplos mais bvios. Para que estes fenmenos
pudessem ser analisados, foi preciso desenvolver algum mtodo mais
geral, que levasse em conta explicitamente a natureza ondulatria da
propagao das ondas. Em 1678 o cientista holands Christian Huygens
formulou um principio que permite a construo geomtrica de uma nova
frente de onda a partir do conhecimento da frente de onda em um
instante anterior. Ele descobriu que todos os pontos de uma frente
de onda podem ser considerados como fontes pontuais de ondas
secundrias, que se espalham na frente com uma velocidade igual
velocidade de propagao da onda. A nova frente de onda em um
instante posterior determinada pela construo de uma superfcie que
tangencie as ondas secundrias. O princpio de Huygens ilustrado na
figura 9.15. fcil se convencer que a forma da frente de onda
permanece constante desde que o meio seja isotrpico e que no haja
nenhum obstculo na trajetria da onda (figura 9.16).
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219
O princpio de Huygens especialmente til quando uma onda encontra
um obstculo no seu caminho. Nesse caso o princpio permite prever o
comportamento ondulatrio complexo depois do encontro. A figura 9.17
esquerda mostra a passagem de uma onda plana atravs de uma fenda
estreita. De acordo com Huygens, a fenda pode ser considerada como
uma fonte pontual de ondas secundrias, de modo que a onda atrs da
fenda j no plana, mas sim esfrica. Para uma abertura mais larga, o
que temos de
Figura 9.15: Ilustrao de aplicao do princpio de Huygens para a
construo de uma nova frente de onda no instante t t+ , a partir do
conhecimento da posio da frente de onda no instante anterior t .
Vamos supor que a velocidade da onda v , portanto, depois do
intervalo de tempo t , ela se deslocou a uma distncia v t . Na
curva que descreve a frente de onda no instante t (curva azul)
escolhem-se vrios pontos (representados na figura com cor
vermelha). Depois disso, constroem-se diversas circunferncias com
centros nos pontos vermelhos, e com raios v t , que so ondas
secundrias. A envoltria dessas ondas secundrias fornece a nova
frente da onda, no instante t t+ .
Figura 9.16: Aplicao do princpio de Huygens no caso da propagao
de uma onda plana (esquerda) e uma onda circular ou esfrica (
direita). Se a velocidade de propagao a mesma em todas as direes
(meio homogneo e isotrpico), ento as novas frentes de onda
permanecem com a mesma forma como as velhas. Uma onda plana
continua ser uma onda plana, e a onda esfrica continua a ser
esfrica.
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fazer divid-la em partes pequenas, e considerar cada uma como
uma fonte pontual. A onda atrs do obstculo resulta da sobreposio
das ondas esfricas emitidas por todo o conjunto dessas fontes
pontuais, como a figura 9.17 direita mostra.
Figura 9.17: Aplicao do princpio de Huygens no caso quando uma
onda plana encontra obstculos em forma de uma fenda pequena (
esquerda) ou uma fenda maior ( direita). O princpio de Huygens
permite tambm descrever os processos de reflexo e de refrao das
ondas numa superfcie que separa dois meios. No texto a seguir,
vamos considerar uma onda plana que incide sobre uma superfcie de
separao entre dois meios, nos quais as velocidades de propagao das
ondas so diferentes. Suponhamos que a velocidade da onda no meio 1
(parte de cima nas figuras abaixo) igual a 1v (ndice de refrao 1n )
e no meio 2 (em baixo) igual a 2v (ndice de refrao 2n ). A figura
9.18 representa a reflexo da onda incidente sobre a interface entre
os dois meios. O que nos interessa a relao entre os ngulos de
incidncia i e de reflexo
r (ambos contados a partir da normal da superfcie).
Figura 9.18: Aplicao do princpio de Huygens no caso da reflexo
das ondas.
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221
As retas AB e AB correspondem posio da frente da onda num
instante 0t e algum tempo mais tarde, 0t t+ . Ao analisar os
tringulos ABB e AAB, podemos concluir o seguinte: (1) ambos os
tringulos so tringulos retngulos (a frente de onda sempre
perpendicular aos raios), (2) ambos tm a hipotenusa AB comum, e (3)
AA = BB porque AA = 1v t e BB = 1v t tambm. Portanto, os tringulos
tm as hipotenusas e um dos dois catetos iguais. Pelo teorema de
Pitgoras conclumos que os outros catetos tambm so iguais, o que
significa que os tringulos ABB e AAB so congruentes. Portanto, os
ngulos BAB e ABA devem ser iguais. Percebam que esses ngulos so
iguais aos ngulos i e r , respectivamente, pois so ngulos com
catetos perpendiculares. Daqui segue que: i r = isto , o ngulo de
reflexo igual ao ngulo de incidncia, que a j conhecida lei de
reflexo. Essa lei consequncia direta do fato de que a onda se
propaga sempre no mesmo meio, com a mesma velocidade. Se isso no
fosse verdade, as distncias percorridas por diferentes partes da
onda seriam diferentes e a distncia AA seria diferente do que BB.
precisamente isso que acontece no caso da refrao das ondas quando
as velocidades nos dois meios no so iguais. A figura 9.19 est
ilustrando essa situao.
Figura 9.19: Aplicao do princpio de Huygens no caso da refrao
das ondas. Vamos considerar os tringulos retngulos ABB e AAB. Estes
tringulos no so congruentes porque BB = 1v t e AA = 2v t . Porm,
podemos expressar os catetos
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222
AA e BB em termos dos ngulos e que eles formam com a hipotenusa
comum AB: AA = AB cos BB = AB cos
Portanto, AA cosBB cos
= .
Por outro lado, 2 21 1
AABB
v t vv t v
= =
.
Igualando o lado direito de ambas, segue: 21
coscos
vv
=
Como 12 = , 22
= e cos( ) sin2 = para qualquer ngulo , o resultado
:
2 2
1 1
sinsin
vv
=
Sabendo que o ndice de refrao do meio definido como n c v= , a
ltima frmula pode ser escrita como:
2 21 1
sinsin
nn
= , ou 1 1 2 2sin sinn n =
onde 1 e 2 so ngulos de incidncia e refrao, e 1n e 2n ndices da
refrao dos dois meios. a conhecida lei de Snell. No final, deve ser
ressaltado que as leis de reflexo e de refrao acima derivadas
aplicam-se s ondas de qualquer natureza, incluindo ondas da luz. A
ptica ondulatria, baseada na aplicao de princpio de Huygens, mais
geral do que ptica geomtrica. Isso quer dizer que todos os fenmenos
explicados pela ptica geomtrica tambm podem ser explicados pela
ptica ondulatria. O inverso no vale: alguns fenmenos que podem ser
explicados pela ptica ondulatria, no podem ser explicados pela
ptica geomtrica.
Bibliografia consultada
Alonso, M. S. e Finn, E. J., Fsica, Ed. Edgard Blucher Editora,
So Paulo, 1999. Young, H. D. e Freedman, R. A. Fsica IV tica e
Fsica Moderna, Pearson Education do Brasil (qualquer edio).
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223
Serway, R. A. e Jewett, J. W. Princpios de Fsica, vol. 4,
editora Thomson (qualquer edio).
Questes
1. Como podemos observar, as ondas de rdio so quase sempre
polarizadas e a luz visvel quase sempre no polarizada. Por qu?
Resposta As ondas de rdio so produzidas por oscilao das cargas
em antenas. Esta oscilao realizada ao longo de um eixo bem definido
(eixo de antena) e, portanto, produz onda eletromagntica, cujo
campo eltrico oscila ao longo do mesmo eixo durante a propagao.
Isto , a onda de rdio linearmente polarizada. Por outro lado, a luz
visvel usualmente criada por muitos processos que no so
relacionados entre si (emisso de muitos tomos ou molculas nos
corpos quentes, diferentemente ligados e orientados no espao).
Portanto, a onda de luz branca consiste da superposio de muitas
ondas polarizadas, que no final resulta em uma onda no
polarizada.
2. Quando o ngulo entre duas direes polarizadoras girado de 0 a
45, a intensidade do feixe transmitido cai para a metade de seu
valor inicial. O que acontece com a energia que no transmitida? 3.
Por que as ondas sonoras no so polarizadas?
Resposta So ondas longitudinais, nos quais oscilao sempre ocorre
ao longo da direo de propagao. Para esse tipo de ondas no tem
sentido se definir polarizao.
4. Luz no-polarizada incide sobre duas placas polarizadoras
orientadas de tal modo que nenhuma luz transmitida. Colocando-se
entre elas uma terceira placa polarizadora, poder a luz ser
transmitida? Em caso afirmativo, explique como.
Resposta Sim. Passando pelo primeiro polarizador, a luz natural
sai linearmente polarizada ao longo do eixo polarizador, com alguma
intensidade 0I . Se a segunda placa estiver com eixo perpendicular
primeira, nenhuma luz aparecer depois da segunda placa, pois,
segundo a lei do Malus, a intensidade seria 2 00 cos 90 0I I= = .
Porm, se colocarmos uma nova placa entre a primeira e a segunda,
com eixo polarizador
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inclinado pelo ngulo em relao a primeira placa, na sada da nova
placa apareceria luz polarizada ao longo de novo eixo, com
intensidade 21 0 cosI I = . Esta luz incidiria agora sobre terceira
placa no sob ngulo de 2 , como no primeiro caso, mas sob o ngulo 2
em relao ao eixo polarizador. Portanto, na sada do terceiro
polarizador apareceria a luz com intensidade no zero:
2 2 2 2 21 0 0cos ( 2 ) cos cos ( 2 ) cos sinI I I I = = = .
5. Descreva com suas palavras o princpio de Huygens. 6. Ondas
sonoras podem ser refletidas? E refratadas? O princpio de Huygens
pode ser aplicado a ondas sonoras? 7. Por que o Universo visto
pelos astronautas na rbita da Terra escuro?
Exerccios
1. Um feixe de luz no polarizada incide sobre duas placas
polarizadoras superpostas. Qual dever ser o ngulo entre as direes
de polarizao das placas a fim de que a intensidade do feixe
transmitido seja um tero da intensidade do feixe incidente?
Resposta A intensidade da luz no polarizada que incide sobre a
primeira placa 0I . Na sada da primeira placa luz linearmente
polarizada, com intensidade 1 0 2I I= (veja frmula 9.2). Ela ento
incide sobre segunda placa, cujo eixo polarizador faz um ngulo com
eixo polarizador da primeira placa. Na sada da segunda placa, a
intensidade da luz :
2 202 1 cos cos2
II I = =
Fazendo 02 3II = 20 0 cos
3 2I I = 02arccos 35,3
3 = =
2. Trs placas polarizadoras esto superpostas. A primeira e a
terceira esto cruzadas; a direo de polarizao da placa do meio faz
45 com as direes de polarizao das outras duas. Que frao da
intensidade de um feixe inicialmente no polarizado transmitida por
este sistema de placas?
Resposta Intensidade da luz que incide sobre primeira placa:
0I
Intensidade entre a primeira e a segunda placa: 01 2II =
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Intensidade entre a segunda e a terceira placa: 2 0 2 002 1 cos
(45 ) cos (45 )2II I= =
Intens. depois da terceira placa: 2 0 0 2 0 2 003 2 cos (90 45 )
cos (45 ) cos (45 )2II I= =
4 030
1 cos (45 ) 0,1252
II
= =
3. Um feixe de luz polarizada incide sobre duas placas
polarizadoras. A direo de polarizao da primeira placa faz um ngulo
com a direo de vibrao da luz enquanto a direo de polarizao da
segunda placa perpendicular a esta mesma direo de vibrao. Se 10% da
intensidade incidente transmitida por este sistema, qual o valor de
?
Resposta Antes da primeira placa, a luz polarizada tem
intensidade 0I . Depois da primeira placa, a intensidade 21 0 cosI
I = . Depois da segunda placa, a intensidade
2 2 22 1 0cos ( 2 ) cos sinI I I = = . Ento:
2 2 2 2 2 42
0
0,10 sin cos (1 cos ) cos cos cosII
= = = =
Efetuando a substituio da varivel: 2cos t = , chegamos a equao
simples quadrtica 4 2 0,1 0t t + = , cujas duas solues determinam
dois ngulos possveis:
019,6 = ou 070 = 4. Deseja-se girar em 90 a direo de polarizao
de um feixe de luz polarizada fazendo-a passar atravs de uma ou
mais placas polarizadoras. Qual o nmero mnimo necessrio de placas?
Justifique sua resposta.
Resposta: 2 placas 5. Numa praia, a luz , de modo geral,
parcialmente polarizada devido s reflexes na areia e na gua. Numa
praia particular, em determinado dia, prximo ao pr-do-sol, a
componente horizontal do vetor campo eltrico 2,3 vezes maior do que
a componente vertical. Um banhista em p coloca seus culos de sol
polarizadores; os culos eliminam o componente horizontal do campo.
(a) Que frao da intensidade luminosa recebida antes da colocao dos
culos atinge agora os olhos do banhista? (b) O banhista, ainda
usando os culos, deita-se de lado. Que frao da intensidade luminosa
recebida antes da colocao dos culos atinge agora seus olhos?
Resposta
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a) A intensidade da luz dada pela equao: 20 0 max12
I c E= , onde o quadrado da
amplitude de campo eltrico pode ser escrito como soma dos
quadrados de suas componentes horizontal ( horE ) e vertical ( verE
):
2 2 2max hor verE E E= + . Como
hor ver2,3E E= , segue: 2 2 2
0 0 ver ver 01 1(2,3 ) 6,292 2 ver
I c E E c E = + = . A
intensidade da luz que atinge olho do banhista depois dele
colocar os culos
polarizadores : 20 ver12
I c E= , pois a luz que ele recebe tem somente a componente
vertical. A frao , portanto: 0
1 0,1596,29
II
= = .
b) 0,841
6. Um feixe de luz que se propaga na gua, de ndice de refrao
1,33, incide sobre uma placa de vidro, de ndice de refrao 1,53.
Para que ngulo de incidncia a luz refletida ficar totalmente
polarizada? (Resposta: ngulo de Brewster, de 49) 7. Quando a luz
vermelha, no vcuo, incide sobre um determinado bloco de vidro, com
o ngulo de Brewster, o ngulo de refrao 32. (a) Qual o ndice de
refrao do vidro? (b) Qual o ngulo de Brewster? Dica: Combine a lei
de Snell e a lei de Brewster. (Resposta: (a) 1,6; (b) 58) Resumo da
aula Polarizao uma caracterstica importante das ondas
eletromagnticas, e envolve a determinao da direo ao longo da qual o
campo eltrico oscila durante a propagao. Fontes comuns de luz
produzem ondas no polarizadas (luz natural), que contm muitos
campos eltricos oscilando em todas as direes possveis (no plano
perpendicular a direo de propagao da luz). A luz linearmente
polarizada possui uma nica direo determinada ao longo da qual o
campo eltrico oscila. Um feixe de luz no polarizada pode ser
convertido em um feixe de luz linearmente polarizada se o primeiro
atravessar materiais com propriedade de dicrosmo. Estes materiais
absorvem luz seletivamente, i.e., absorvem totalmente os
componentes de luz com campo eltrico polarizado ao longo de um
determinado eixo cristalino, e deixam parcialmene passar os
componentes com campo eltrico polarizado ao longo da direo
perpendicular a essa
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(que chamada eixo polarizador). Na sada obtida luz linearmente
polarizada, com intensidade:
012
I I=
caso a luz no polarizada com intensidade 0I incidisse no
material polarizador. Quando a luz linearmente polarizada com mesma
intensidade 0I incide sobre material polarizador, a intensidade da
luz na sada :
20 cosI I =
onde o ngulo entre direo de polarizao da luz incidente e o eixo
polarizador do material (lei do Malus). Existe mais uma maneira de
produzir a luz linearmente polarizada a partir da luz no
polarizada: atravs da reflexo. Mostra-se que a luz refletida sempre
parcialmente polarizada: contm mais componentes de onda com campo
eltrico perpendicular ao plano da incidncia do que as componentes
com campo paralelo a este plano. A polarizao linear realizada
completamente quando o ngulo de incidncia igual ao ngulo de
Brewster B :
2
1
arctgBnn
=
igual a razo entre os ndices de refrao do meio da refrao ( 2n )
e do meio de incidncia ( 1n ). Alm da polarizao linear, existem
mais dois tipos de polarizao: polarizao circular e polarizao
elptica. A primeira ocorre quando o campo eltrico da onda efetua um
movimento helicoidal durante a propagao, de tal maneira que a sua
projeo no plano perpendicular em relao direo da propagao executa um
movimento circular. No segundo caso, a projeo do campo eltrico
descreve uma elipse no plano, de vez de um crculo. Um feixe de luz
linearmente polarizado pode ser convertido em um feixe
circularmente ou elipticamente polarizado ao atravessar os
materiais com propriedade de birrefringncia. Esses materiais
possuem dois ndices de refrao diferentes ao longo de dois eixos
cristalinos mutuamente perpendiculares. Os componentes da luz
polarizadas ao longo destes eixos propagam-se atravs do material
com velocidades diferentes, e esse fato causa uma diferena de fase
entre eles na sada do material. Se esta diferena igual a 090 , a
luz na sada circularmente polarizada. Outra diferena de fase produz
a luz elipticamente polarizada. Processo de espalhamento elstico da
luz ocorre sempre quando a luz incide sobre partculas cujo tamanho
menor do que o seu comprimento da onda (espalhamento de Rayleigh).
Isso o caso quando a luz solar interage com as molculas presentes
na nossa atmosfera. Nesse processo a luz primeiramente absorvida
pelas molculas, e depois reemitida com mesmo comprimento da onda,
mas com direo de propagao diferente. A intensidade da luz espalhada
depende da sua frequncia: componentes de luz com frequncias maiores
(como azul) so muito mais espalhadas do que os componentes com
frequncias menores (como vermelho). Como consequncia deste fato, o
cu azul e o pr-do-sol vermelho.
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O princpio de Huygens oferece construo geomtrica de uma nova
frente da onda a partir de conhecimento da frente da onda em um
instante anterior. Ele afirma que todos os pontos de uma frente da
onda podem ser considerados como fontes pontuais de ondas
secundrias que se espalham na frente com uma velocidade igual
velocidade de propagao da onda. A nova frente da onda em um
instante posterior determinada pela construo de uma superfcie que
tangencie as ondas secundrias. Este princpio constitui uma base da
ptica ondulatria, usada para descrever e explicar fenmenos de
incidncia das ondas nos obstculos, bem como a interferncia e
difrao. Concluso Essa aula foi dedicada ao estudo de trs assuntos
importantes: (1) polarizao das ondas eletromagnticas, (2)
espalhamento elstico da luz e (3) o princpio de Huygens. Com este
estudo, enriquecemos nosso entendimento das propriedades das ondas
eletromagnticas e dos efeitos que elas causam. Assim, estamos
prontos para enfrentar os ltimos assuntos neste curso: interferncia
e difrao. Informaes sobre a prxima aula
A prxima aula a ltima do curso. Ser dedicada ao estudo dos
efeitos ondulatrios provocados pelas ondas eletromagnticas: so
interferncia e difrao.