Pojem topologického prostoru

Obecná topologie 1 - přednáška - první semestr2018/19

Literatura: Je možno užívat knihu R. Engelkinga:General Topology, ev. další knihy autorů Dugund-jiho, Kelleyho, Kuratowského, Nagaty, ...

1. Pojem topologického prostoru

Historie: Maurice Fréchet (1906) definoval met-rické prostory; Felix Hausdorff (1914) definoval Hausdor-ffovy topologické prostory; Kazimierz Kuratowski(1922) studoval i obecnější topologické prostory.Motivace: Např. studium různých konvergencí na

prostorech funkcí.

1.1. Metrické a topologické prostory.Připomenutí definice metrického prostoru: Dvo-

jice (M,ρ), kde M je množina a ρ je zobrazeníM×M do [0,∞), se nazývámetrický prostor (MP),pokud pro všechna x, y, z ∈M platí(M1) ρ(x, y) = 0, právě když x = y;(M2) ρ(x, y) = ρ(y, x);(M3) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z).Pojmy otevřeného okolí U(x, r), ev. Uρ(x, r), se stře-dem x ∈M a poloměrem r > 0 a množina Gρ všechotevřených množin v (M,ρ) definovaných pomocíotevřených okolí.

1

2

Tvrzení 1.1 (vlastnosti Gρ). Nechť (X, ρ) je met-rický prostor. Pak pro množinu G = Gρ všech ote-vřených množin platí(G1) ∅, X ∈ G;(G2) (∀G,H ∈ G) G ∩H ∈ G;(G3) (∀H ⊂ G)

⋃H ∈ G.

Navíc Uρ(x, r) ∈ Gρ pro všechna x ∈ X a r > 0.

Poznámka. Namísto množinyH ⊂ G lze zapisovatve tvaru H = {Ga : a ∈ A}. Pak

⋃H =

⋃a∈AGa.

Užíváme konvenci⋃H = ∅ pro H = ∅ ⊂ G, resp.⋃

a∈AHa = ∅ ⊂ G pro A = ∅.

Definice. Dvojice (X,G), kde X je množina a Gje nějaká množina podmnožin X, tj. G ⊂ P(X), jetopologický prostor (TP), pokud platí (G1), (G2) a(G3). Prvkům G říkáme otevřené množiny.

Definice. Topologický prostor (X,G) je metrizova-telný, pokud existuje metrika ρ na X taková, žeG = Gρ.

Příklady: metrické prostory, diskrétní (největší) aindiskrétní (nejmenší) topologie na množině X ajejich metrizovatelnost.1.2. Generování topologie pomocí báze.

Definice. Množina B ⊂ P(X) je báze topologic-kého prostoru (X,G), pokud

B ⊂ G a (∀G ∈ G) G =⋃{B ∈ B : B ⊂ G}.

3

Poznámky.- Ekvivalentně (∀G ∈ G)(∃H ⊂ B) G =

⋃H, tj.

{⋃H : H ⊂ B} ⊃ G.

- Z (G3) (a B ⊂ G) plyne, že {⋃H : H ⊂ B} ⊂

G.- Jiný zápis (G3): (∀G ∈ G)(∀x ∈ G)(∃B ∈B) x ∈ B ⊂ G.Pro metrický prostor (X, ρ) je {Uρ(x, r) : x ∈

X, r > 0} báze Gρ.

Tvrzení 1.2 (vlastnosti báze a generování topo-logie). Je-li B báze topologického prostoru (X,G),pak(B1)

⋃B = X a

(B2) pro všechna U, V ∈ B platí U ∩ V =⋃{B ∈

B : B ⊂ U ∩ V }.Má-li B ⊂ P(X) vlastnosti (B1) a (B2), je B bázejediné topologie (systému GB otevřených množin)popsané rovností GB = {G ⊂ X : G =

⋃{B ∈

B : B ⊂ G}} je jediná topologie s bází B.

Příklad. Otevřená okolí U(X,ρ)(x, r) v metrickémprostoru (X, ρ) tvoří bázi topologie Gρ. Omezíme-lise na okolí o poloměrech rn = 1/n, jde o bázi téžetopologie.

Definice. S ⊂ P(X) je subbáze topologie G (naX), pokud množina BS konečných průniků prvků Stvoří bázi G.

4

Poznámka. Je-li S subbáze topologie, splňuje (B1).Každá S ⊂ P(X) splňující (B1) je subbází topolo-gie definované BS .Existuje báze s minimální mohutností. Pojmy váha

topologického prostoru, topologický prostor se spo-četnou vahou (resp. "splňující 2. axiom spočetnosti").Cvičení. Existuje minimální báze (tj. taková, ze

které nelze vypustit žádný prvek, aby šlo ještě obázi) pro každý topologický prostor?Definice husté podmnožiny topologického prostoru

a separability topologického prostoru. Nejmenší kar-dinalita husté podmnožiny topologického prostoruse nazývá jeho densita ("hustota"). Topologický pro-stor je separabilní, pokud má spočetnou hustou pod-množinu (má spočetnou densitu.

Tvrzení 1.3 (separabilita a spočetná báze).(a) Topologický prostor, který má (nějakou) spo-

četnou bázi, je separabilní.(b) Metrizovatelný prostor (X,G) je separabilní,

právě když má spočetnou bázi.

Důkaz na cvičení.Příklad. Sorgenfreyova přímka (viz cvičení) je to-

pologický prostor, který je separabilní a nemá spo-četnou bázi.Konec 1. přednášky.

1.3. Okolí a báze okolí bodu.

Definice.

5

(a) Otevřeným okolím bodu x v topologickém pro-storu (X,G) rozumíme libovolnou množinu G ∈G obsahující x. Množinu všech otevřených okolíbodu x značíme G(x).

(b) Množina U je okolí bodu x v (X,G), pokud obsa-huje prvek G(x). Množinu všech okolí x značímeU(x).

(c) Množina B ⊂ U(x) je bází okolí daného boduneboli báze topologie v daném bodě, pokud prokaždé U ∈ U(x) existuje B ∈ B takové, že B ⊂U .

Poznámky. Nechť (X,G) je topologický prostor.- Je-li G metrizovatelný metrikou ρ, pak nejen

Uρ(x, r) jsou otevřená okolí. Sestém Uρ(x, r), r > 0,x ∈ X , tvoří systém bází Uρ(x) pro x ∈ X .- Systémy G(x) (i systémy U(x)) jsou báze sys-

témů okolí U(x) v bodech x ∈ X .- Je-li B báze topologie G na X , je B(x) := {B ∈B : x ∈ B} báze G v x.

Tvrzení 1.4 (vlastnosti B(x), resp. U(x), x ∈ X).Je-li (X,G) topologický prostor a B(x), x ∈ X, jsousystémy bází okolí bodů x v X, platí:(BU1) x ∈

⋂B(x) pro x ∈ X;

(BU2) pokud U1, U2 ∈ B(x), pak existuje U ∈ B(x)takové, že U ⊂ U1 ∩ U2;

(BU3) je-li U ∈ B(x), existuje G ∈ B(x) takové, že

G ⊂ Ua (∗) (∀y ∈ G)(∃W ∈ B(y)) W ⊂ G.

6

Pokud systémy B(x) ⊂ P(x), x ∈ X, splňují (BU1)-(BU3), je

GB := {G ⊂ X : G splňuje (∗)}jediná topologie na X taková, že B(x) je systém bazívšech okolí x (pro každé x ∈ X) v této topologii, tj.systémy {U ⊂ X : (∃B ∈ B(x))B ⊂ U} tvořísystémy všech okolí bodů x ∈ X v topologii GB.Pokud systémy B(x) ⊂ P(x), x ∈ X, splňují

(BU1)-(BU3), jsou systémy U(x) = {U ⊂ X :(∃B ∈ B(x))B ⊂ U} systémy všech okolí x v GB.

Poznámky.- V podmínce (BU2) lze za podmínky(BU4) Je-li U ∈ B(x) a U ⊂ V , pak V ∈ B(x).ekvivalentě volit U = U1 ∩ U2.- Podmínka (BU3) říká jinými slovy, že každé okolí

bodu x v G obsahuje otevřené okolí v GB.

Definice. Charakter topologického prostoru (X,G)v bodě x ∈ X je nejmenší kardinál nějaké báze pro-storu (X,G) v bodě x. Speciálně (X,G) má v boděx ∈ X spočetný charakter, pokud existuje spočetnábáze okolí x. Charakter prostoru je nejmenší hornízávora charakterů v bodech. Tedy prostor má spo-četný charakter ("splňuje 1. axiom spočetnosti"),pokud má spočetný charakter v každém bodě.

Příklady a poznámky.- Prostor se spočetnou bází má spočetný charak-

ter.

7

- Sorgenfreyova přímka má spočetný charakter,ale nemá spočetnou bázi.- Metrizovatelný prostor má spočetný charakter.- Existuje (Hausdorffův) topologický nemetrizo-

vatelný prostor se spočetnou bází i spočetným cha-rakterem (cvičení)?- Další příklady topologií s nespočetným charak-

terem (cvičení)?

1.4. Vnitřek množiny.

Definice. Bod x je vnitřním bodem množiny M ⊂X v topologickém prostoru (X,G), pokud existuje(otevřené) okolí U ∈ U(x), které je podmnožinouM . Množinu všech vnitřních bodůM nazýváme vnitř-kem množiny M , značení A0 (IntA, Int GA ap.).

Poznámka - pozorování. Vnitřek A ⊂ (X,G) jenejvětší otevřená podmnožina A (vzhledem k in-kluzi).Operace vnitřku je zobrazení A ⊂ X 7→ A0.

Tvrzení 1.5 (topologie a operace vnitřku). Nechť(X,G) je topologický prostor. Pak zobrazení Int :A ⊂ X 7→ A0 ⊂ X splňuje následující podmínky.(I1) X0 = X;(I2) A0 ⊂ A pro A ⊂ X;(I3) (A ∩B)0 = A0 ∩B0 pro A,B ⊂ X;(I4) (A0)0 = A0 pro A ⊂ X.Pokud operátor I : P(X) → P(X) splňuje pod-

mínky (I1)-(I4) (pro I namísto Int ), je GI = {G ⊂

8

X : G = I(G)} jediná topologie taková, že I jeoperátor vnitřku vzhledem k této topologii.

Důkaz tvrzení na cvičení.Poznámka. Z vlastností (I1)-(I3) neplyne (I4). Pří-

klad na cvičení.Konec 2. přednášky.

1.5. Uzávěr a uzavřená množina.

Definice. Bod x ∈ X je bodem uzávěru množinyA v topologickém prostoru (X,G), pokud každé jehookolí protíná A. Množinu všech bodů uzávěru A na-zýváme uzávěrem množiny A; značení A.

Poznámka. Náležení x do uzávěru stačí testovatprvky libovolné báze okolí x.

Lemma 1.6 (dualita vnitřku a uzávěru). V topo-logickém prostoru (X,G) platí X \A = (X \A)0 aX \ A0 = X \ A pro všechna A ⊂ X.

Tvrzení 1.7 (topologie a uzávěr). Nechť (X,G) jetopologický prostor. Pak pro všechna A,B ⊂ Xplatí:

(CL1) ∅ = ∅,(CL2) A ⊂ A,(CL3) A ∪B = A ∪B,(CL4) A = A.

Pokud operace A ∈ P(X) 7→ A ∈ P(X) splňujepodmínky (CL1)-(CL4), je to operace uzávěru je-diné topologie GCL := {G ⊂ X : X \G = X \G}.

9

Jde o důsledek vlastností vnitřku a duality. Vlast-nosti (CL1)-(CL3) neimplikují (CL4) (cvičení).

Definice.Množina F v topologickém prostoru (X,G)je uzavřená, pokud obsahuje všechny body svého uzá-věru. Obvyklé značení pro množinu všech uzavře-ných podmnožin je F(X,G) či jen F .

Tvrzení 1.8 (charakterizace uzavřené množiny auzávěru). Pro topologický prostor (X,G) a A ⊂ Xplatí(a) A je uzavřená, právě když X \ A je otevřená.(b) Uzávěr A je nejmenší uzavřená množina, která

obsahuje A.

Jako důsledek předchozího dostáváme

Tvrzení 1.9 (uzavřené množiny). Nechť (X,G) jetopologický prostor. Pak systém F uzavřených mno-žin splňuje:(F1) ∅, X ∈ F ,(F2) Pro E,F ∈ F je E ∪ F ∈ F ,(F3) Pro E ⊂ F je

⋂E ∈ F .

Splňuje-li systém F podmnožin X tyto podmínky,definuje G = {G ⊂ X : X \ G ∈ F} jedno-značně určenou topologii se systémem všech uzavře-ných množin F .

Pro A ⊂ (X,G) definujeme pojmy hromadný bodmnožiny A, izolovaný bod množiny A, pojem hra-nice množiny A - značené např. ∂A. Množina A je

10

hustá, pokud A = X , A je řídká, pokud (A)0 = ∅("není nikde hustá").Cvičení. A = A∪A′ = A∪∂A, A\A′ je množina

izolovaných bodů A, A je řídká, právě když X \ Aje hustá.1.6. Konvergence v topologických prostorech.

Limita posloupnosti v topologickém prostoru.Příklad. Bod uzávěru A nemusí být limitou po-

sloupnosti prvků A. V prostotu RM pro nespočet-nou M platí, že nulová funkce leží v uzávěru mno-žiny{fK ∈ RM : fK = 1− χK, K ⊂M je konečná}.Nulová funkce není limitou žádné posloupnosti funkcítvaru fKn.Pozorování. Systém funkcí fK v jistém smyslu kon-

verguje k nulové funkci. Podobně pro bod x uzá-věru množiny A v topologickém prostoru existujíxU ∈ A∩U , pro každé ("libovolně malé") U ∈ U(x)či U ∈ G(x). Systém bodů xU v jistém smyslu kon-verguje k x.Pojmy usměrněná množina (I,≤), net, resp. zo-

becněná posloupnost (xi)(I,≤) a limita zobecněné po-sloupnosti lim(I,≤) xi.

Tvrzení 1.10 (jednoznačnost zobecněné limity aHausdorffova vlastnost). Každý net v topologickémprostoru (X,G) má nejvýš jednu limitu, právě když(∀x, y ∈ X, x 6= y)(∃U, V ∈ G) x ∈ U, y ∈ V, U∩V = ∅.

11

Takovým prostorům říkáme Hausdorffovy či takéT2-prostory.

Poznámka. Pro uzavřenost jednoprvkové množinystačí slabší podmínka "T1-prostoru".

Tvrzení 1.11 (konečné množiny, uzávěr a zobec-něné posloupnosti).(a) V Hausdorffových prostorech je každá konečná

množina uzavřená.(b) V topologickém prostoru platí, že x ∈ A, právě

když existuje net v A, jehož limita je x.

Cvičení. x ∈ A′, právě když existuje net (xi)(I,≤)v A, xi 6= x pro i ∈ I a x je jeho limitou.Konec 3. přednášky.

1.7. Spojitá zobrazení.Definice. Nechť (X,G), (Y,H) jsou topologické

prostory a f : X → Y je zobrazení.(a) f je spojité, pokud f−1(H) ∈ G pro každouH ∈H.

(b) f je spojité v x ∈ X , jestliže f−1(W ) ∈ U(X,G)(x)pro každé W ∈ U(Y,H)(f (x)).

Poznámka.(1) f : (X,G) → (Y,H) je spojité, právě když

vzory prvků nějaké subbáze topologie Y jsouotevřené.

(2) f : (x,G) → (Y,H) je spojité v x ∈ X ,právě když vzory prvků nějaké báze okolí f (x)v (Y,H) jsou okolí x.

12

(3) Definice jsou konzistentní s těmi, které známepro metrické prostory.

Cvičení.(1) Nechť f : (X,GX) → (Y,GY ) a g : (Y,GY ) →

(Z,GZ) jsou spojitá, pak g ◦ f je spojité.(2) Nechť f, fn : (X,G) → R, fn jsou spojitá a

fn ⇒ f , pak f je spojité.

Tvrzení 1.12 (charakterizace spojitosti - "Heine").(a) Zobrazení f : (X,GX) → (Y,GY ) je spojité,

právě když je spojité v každém bodě x ∈ X.(b) Zobrazení f : (X,GX) → (Y,GY ) je spojité v

x ∈ X, právě když lim(I,≤) f (xi) = f (x) prokaždou zobecněnou posloupnost (xi)I,≤) ⊂ X,pro kterou lim(I,≤) xi = x.

Tvrzení 1.13 (spojitost a uzávěr). Nechť f : (X,G)→(Y,H). Pak f je spojité, právě když f (A) ⊂ f (A)pro všechna A ⊂ X.

Cvičení. Spojitost f je také ekvivalentní tomu, žef−1(B) ⊂ f−1(B) pro všechna B ⊂ Y nebo rovněžtomu, že f−1(B0) ⊂ (f−1(B))0 pro všechna B ⊂ Y .Cvičení∗. Najděte příklady, které vyvracejí obě

implikace mezi spojitostí a libovolnou inkluzí mezif (A0) a f (A)0.

Tvrzení 1.14. Jsou-li f, g : X → Y spojitá, je{x ∈ X : f (x) = g(x)} uzavřená, pokud Y jeHausdorffův.

13

Pojem homeomorfismu a topologické vlastnosti.Zobrazení h : (X,G) → (Y,H) se nazývá homeo-morfismus, pokud je to spojitá bijekce X na Y ajejí inverze f−1 je také spojitá.

1.8. Operace s topologiemi a s topologickýmiprostory.Pojmy hrubší (slabší) topologie a jemnější (sil-

nější) topologie. Na množině X je indiskrétní to-pologie nejhrubší (nejslabší) topologií a diskrétnítopologie je nejjemnější (nejsilnější).Pro topologie Ga, a ∈ A, na X existuje infA Ga =⋂a∈A Ga, což je nejjemnější topologie na X , která

je hrubší než každá Ga. Také existuje supA Ga, cožje nejhrubší topologie na X , která je jemnější nežkaždá Ga (ta je generována subbází

⋃a∈A Ga).

A. Topologická suma.Popis otevřených množin na ⊕a∈A(Xa,Ga) s Xa

po dvou disjunktními; charakterizace jako nejjem-nější (tj. nejsilnější) topologie taková, aby vnořeníjednotlivých Xa do

⋃a∈AXa byla spojitá; spoji-

tost zobrazení na sumě; zachovávání metrizovatel-nosti, zachovávání spočetného charakteru, zachová-vání hausdorffovskosti, nezachovávání separability,nezachovávání spočetné váhy. Pro spočetné sumy sezachovávají všechny vyjmenované vlastnosti.

B. Podprostory.

14

Charakterizace otevřených a uzavřených množinna Y ⊂ (X,G), zachovávání metrizovatelnosti, spo-četné váhy, spočetného charakteru a hausdorffov-skosti; nezachovávání separability (pojem dědičnéseparability).Je to nejhrubší (tj. nejslabší) topologie na Y ta-

ková, aby identita id : Y → (X,G) byla spojitá.f : Z → Y je spojité, právě když f (= id ◦ f ) :

Z → X je spojité.Konec 4. přednášky.

C. Součin topologických prostorů.Definice (součinové) topologie na kartézském sou-

činu X = Πa∈AXa systému topologických prostorů(Xa,Ga) pomocí subbáze z množin tvaru Πa ∈ AGa,kde Ga = Xa pro a 6= a0 a Ga0 ∈ Ga0.Poznámka. Jde o množiny tvaru p−1a (Ga),Ga ∈ Ga

a a ∈ A, kde pa : X → Xa je projekce pa((xa)a∈A) =xa. Množiny Πa ∈ AGa, kde K ⊂ A je konečná,Ga = Xa pro a /∈ K a Ga ∈ Ga pro a ∈ K tvoříbázi.Prostor RM , resp. XM , s topologií bodové kon-

vergence jako speciální případ.

Tvrzení 1.15. Nechť (X,Ga), a ∈ A, jsou topolo-gické prostory.(a) Součinová topologie na Πa∈A(Xa,Ga) je nej-

hrubší taková, aby všechny projekce πa byly spo-jité.

15

(b) Zobrazení f : Y →∏

a∈AXa je spojité, právěkdyž πa ◦ f (= fa) je spojité pro každé a ∈ A.

(c) Net (xi)(I,≤) v∏

a∈AXa konverguje k x, právěkdyž πa(xi) → πa(x) pro všechna a ∈ A ("jdeo konvergenci po složkách").

Důsledek 1.16. Jsou-li f, g : (X,G) → R spojitéfunkce, pak f + g a f · g jsou spojité. Je-li navícg(x) 6= 0 pro všechna x ∈ X, je i f/g spojitá.

Věta 1.17 ((úplná) metrizovatelnost spočetnéhosoučinu). Jsou-li (Xn,Gn), n ∈ N, metrizovatelné(úplně metrizovatelné) topologické prostory, pak Πn∈N(Xn,Gn)je metrizovatelný (úplně metrizovatelný), tj. exis-tuje metrika ρ na Πn∈NXn taková, že součinová to-pologie prostoru Πn∈N(Xn,Gn) je rovna Gρ. V pří-padě úplně metrizovatelných (Xn,Gn) existuje ta-ková úplná metrika ρ.

Příklady: RN, Hilbertova krychle [0, 1]N, {0, 1}N aCantorovo diskontinuum, NN a podprostor iracio-nálních čísel v R; Tichonovova krychle [0, 1]M proM libovolnou.Cvičení. Zachovávání vlastností? Jen hausdorffov-

skost z výše uvažovaných. Pro spočetné součiny (cvi-čení)?Příklady Hilbertova krychle [0, 1]N, "Cantorova krychle"{0, 1}N,

Tichonovova krychle [0, 1], Baireův prostor NN (jehomeomorfní s podprostorem R \Q prostoru eukli-dovského prostoru R.

D.Kvocient topologického prostoru (faktorprostor).

16

Definice topologie na obrazu topologického pro-storu (X,G) při surjekci q : X → Q.Jde o nejsilnější topologii H na Y takovou, aby q

bylo spojité. Zobrazení f kvocientu Y prostoru Xvzhledem ke q : X → Y je spojité, právě když jef ◦ q spojité.Tabulka zachovávání vlastností separability, spo-

četného charakteru, spočetné báze, metrizovatelnostipři přechodu k sumě, k podprostoru, k součinu, ev.ke kvocientu. Postupně doplňujte pro další vlast-nosti (regularita, normalita, úplná regularita, ...).

2. Rozšiřování spojitých funkcí anormální prostory

Poznámka. Kdy lze rozšířit každou spojitou funkcif0 : X0 ⊂ X → R definovanou na X0 na spojitoufunkci f : X → R? Rozmyslete si, že na metrizova-telném prostoru (dědičně normálním prostoru*) tovyžaduje uzavřenost X0. Najděte naopak normálníprostor a hustou vlastní podmnožinu, ze které lzekaždou spojitou rálnou funkci rozšířit na celý pro-stor*.Pozorování. Pokud lze každou spojitou funkci f0 :

X0 ⊂ X → [0, 1] definovanou na uzavřené X0 ⊂ Xrozšířit na spojitou funkci f : X → [0, 1], lze prokaždé dvě uzavřené disjunktní množiny E,F v Xnajít spojitou funkci g : X → [0, 1] takovou, že g jerovna nule na E a jedné na F ("úplná normalita").

17

Pojem normálního prostoru. Hausdorffovy normálníprostory nazýváme T4-prostory.Poznámky.

(a) Metrizovatelné prostory jsou T4-prostory díkytvrzení o oddělování v metrizovatelných prosto-rech.

(b) "Úplná normalita"implikuje normalitu prostoru.(c) Suma normálních prostorů je normální. Podpro-

stor Hausdorffova normálního prostoru nemusíbýt normální. Uzavřený podprostor normálníhoprostoru je normální. Součin dvou Hausdorffo-vých normálních prostorů nemusí být normální.

Konec 5. přednášky.Definice normálního prostoru a T4-prostoru.Poznámka. NormalitaX je ekvivalentní podmínce

(∀E ∈ F(X), U ∈ G(X), E ⊂ U)(∃G ∈ G)E ⊂ G ⊂ G ⊂ U.

Lemma 2.1 (Urysohnovo lemma - oddělování spo-jitou funkcí). Je-li topologický prostor normální, mávlastnost:Pro všechny dvojice uzavřených disjunktních mno-

žin E,F ⊂ X existuje spojitá funkce f : X → [0, 1]taková, že f (x) = 0 pro všechna x ∈ E a f (x) = 1pro všechna x ∈ F .

Poznámky.(a) Pro disjunktní uzavřené E,F v normálním X

a a < b v R existuje f : X → [a, b] spojitátaková, že f (x) = a na E a f (x) = b na F .

18

(b) Každou fF : F ⊂ X → {a, b} spojitou na uza-vřené podmnožině F normálního prostoru lzespojitě rozšířit na funkci f : X → [a, b].

Lemma 2.2 (stejnoměrná limita spojitých funkcí).Stejnoměrná limita spojitých funkcí fn : X → R natopologickém prostoru X je spojitá.

Věta 2.3 (Tietze a Urysohn - rozšiřování spojitýchfunkcí). Je-li X normální a F uzavřená v X, paklze každou spojitou funkci fF : F → R rozšířit naspojitou funkci f : X → R.Poznámka (cvičení). V normálním prostoru X lze

každou spojitou funkci fF : F → [a, b] pro uzavře-nou F v X a a < b v R rozšířit na spojitou funkcif : X → [a, b]. (Návod. Pomocí složení se spojitou"retrakcí"R na [a, b].) Metoda důkazu věty však vy-žadovala opačný postup.Konec 6. přednášky.

3. Tichonovovy prostory a vnoření do[0, 1]T

Lemma 3.1 (o vnoření či o "diagonálním součinuzobrazení"). Nechť X je topologický prostor, T ⊂C(X, [0, 1]). Definujeme v : X → [0, 1]T předpisemv(x) = (vf(x))f∈T , tj vf(x) = πf ◦ v(x) = f (x) prof ∈ T . Pak platí:(a) Zobrazení v je spojité zobrazení prostoru X do

prostoru [0, 1]T .

19

(b) Nechť "T odděluje body", tj.

(∀x, y ∈ X, x 6= y)(∃f ∈ T )f (x) 6= f (y).

Pak je v prosté.(c) Nechť "T odděluje body a uzavřené množiny",

tj.

(∀x /∈ F, F uzavřená v X)(∃f ∈ T )f (x) /∈ f (F ).

Pak je f uzavřené zobrazení prostoru X naprostor f (X).

Speciálně, pokud jsou splněny podmínky na T z(b) i (c), je v homeomorfismus X na v(X), tj. jdeo "topologické vnoření"X do [0, 1]T .

Definice pojmů: T0-prostor, T1-prostor, Hausdor-ffův neboli T2-prostor, regulární prostor, regulárníT2-prostor neboli T3-prostor, úplně regulárního pro-storu, úplně regulární T2-prostor neboli T3,5-prostor,normální prostor, normální T2-prostor neboli T4-prostor.Poznámky.T4-prostory jsou T3,5-prostory, ale obecně ne nao-

pak (viz příklady S2, kde S je Sorgenfreyova přímka,Niemytzkého rovina);T3,5-prostory jsou T3-prostory, ale obecně ne nao-

pak (viz doporučená cvičení 6.5 a 6.6);T3-prostory jsou T2-prostory, ale obecně ne na-

opak (viz cvičení, návod: uvažujte na R topolo-gii generovanou semibází z eukleidovsky otevřenýchmnožin a množin R \ {1/n : n ∈ N}).

20

V T2-prostoru neoddělují obecně spojité reálnéfunkce dvojice různých bodů (viz cvičení 6.5).Formulace oddělování pomocí existence spojité funkce

f : X → [0, 1] s f (x) /∈ f (F ) je ekvivalentní s for-mulací pomocí existence spojité funkce g : X →[0, 1] s g(x) = 0 a g � F = 1.Věta 3.2 (o Tichonovově vnoření). Pro každý Hausdor-ffův úplně regulární prostor existuje množina T azobrazení v : X → [0, 1]T , které je homeomorfis-mem X na v(X). Za T lze zvolit libovolnou mno-žinu spojitých funkcí f : X → [0, 1] takovou, žeT "odděluje body a uzavřené množiny"(viz Lemma1(c)).Víme, že metrické prostory jsou T4.

Věta 3.3 (charakterizace metrizovatelnosti sepa-rabilního prostoru). Následující tvrzení o topologic-kém prostoru X jsou ekvivalentní:(a) X je separabilní a metrizovatelný;(b) X je Hausdorffův, normální (tedy je T4) a má

spočetnou bázi.(c) X homeomorfní s podprostorem [0, 1]N ("Hil-

bertovy krychle").Konec 7. přednášky.Poznámka. Ekvivalence regularity s vepisováním

uzavřených okolí do otevřeného okolí - existencebází okolí bodů složených z uzavřených okolí bodů.Existence spojitých funkcí, které oddělují bod oddoplňků prvků nějaké báze jeho otevřených okolí.

21

Lemma 3.4 (regularita a subbáze). Nechť (X,G)je topologický prostor a S je jeho subbáze. Pak platí:(a) X je regulární, právě když

(∀S ∈ S, x ∈ S) (∃U ∈ U(x)) U = U ⊂ S.

(b) X je úplně regulární, právě když(∀S ∈ S, x ∈ S) (∃f ∈ C(X, [0, 1])) [f (x) = 0 a (∀y ∈ X\S) f (y) = 1)].

Věta 3.5 (o zachovávání regularity).(a) Podprostor regulárního, resp. úplně regulárního,

prostoru je regulární, resp. úplně regulární.(b) Součin regulárních, resp. úplně regulárních, pro-

storů je regulární, resp. úplně regulární.

Důsledek 3.6. Topologický prostor je Tichonovův,právě když je homeomorfní podprostoru [0, 1]T pronějaké T .

4. Kompaktní prostory

4.1. Pojmy kompaktních a Lindelöfových pro-storů. Pokrývací definice kompaktnosti, spočetnékompaktnosti a Lindelöfovy vlastnosti.Poznámka.

(a) Kompaktní prostor je Lindelöfův.(b) Prostor se spočetnou bází je Lindelöfův.(c) Lindelöfův prostor je kompaktní, právě když je

spočetně kompaktní.Vlastnost konečných průniků (centrované systémy).

22

Tvrzení 4.1 (duální charakterizace kompaktnosti).Nechť X je topologický prostor. Pak X je (spočetně)kompaktní, právě když každý (spočetný) centrovanýsystém uzavřených podmnožinX má neprázdný prů-nik.

Konec 8. přednášky.

Věta 4.2 (kompaktnost a Lindelöfova vlastnostpro metrizovatelné prostory). Nachť X je metrizo-vatelný prostor metrikou ρ.(a) Pak následující výroky jsou ekvivalentní:

(i) X je Lindelöfův;(ii) X je separabilní.

(b) a následující výroky jsou též ekvivalentní:(i) X je kompaktní;(ii) X je spočetně kompaktní;(iii) každá posloupnost v X má konvergentní

podposloupnost.

Věta 4.3 (zachovávání kompaktnosti).(a) Spojitý obraz kompaktního (spočetně kompakt-

ního, resp. Lindelöfova) prostoru je kompaktní(spočetně kompaktní, resp. Lindelöfův).

(b) Uzavřený podprostor kompaktního (spočetně kom-paktního, resp. Lindelöfova) prostoru je kom-paktní (spočetně kompaktní, resp. Lindelöfův).

Cvičení. Zkuste dokázat, že součin dvou kompakt-ních, resp. spočetně kompaktních, prostorů je zasetakový. Ukažte, že to pro součin dvou Lindelöfových

23

prostorů neplatí. Co pro jeden kompaktní a jedenLindelöfův?Příklad. Jednoprvková kompaktifikace A(D) ne-

spočetného diskrétního prostoruD není dědičně Lin-delöfův prostor. Podprostor Hausdorffova kompakt-ního prostoru nemusí být Lindelöfův.

Lemma 4.4. V Hausdorffově topologickém prostoruX lze oddělovat body a kompaktní množiny otevře-nými množinami, tj. pro x ∈ X, K ⊂ X kom-paktní, x /∈ K existují otevřené disjunktní G,H ⊂X takové, že x ∈ G a K ⊂ H.Speciálně, kompaktní Hausdorffův prostor je regu-

lární.

Poznámka - cvičení. Opakovanou aplikací re-gularity na oddělování x ∈ E a F lze docílit oddě-lování dvojic disjunktních kompaktních množin E aF , speciálně dokázat přímo, že kompaktní Hausdor-ffův prostor je normální.

Věta 4.5 (topologické vlastnosti kompaktních aLindelöfových prostorů).(a) Kompaktní podprostorK Hausdorffova prostoru

X je uzavřenou podmnožinou X.(b) Lindelöfův regulární prostor je normální. Spec.

kompaktní Hausdorffův prostor je normální.

Podmínku (b) ve Větě 3.3 lze nahradit formálněslabším předpokladem, že prostor je T3 a má spo-četnou bázi:

24

Poznámka. Hausdorffův regulární prostor se spo-četnou bází je normální. Jako důsledek dostávámedodatek k větě 2.3.Věta 2.3*. Topologický prostor je separabilní a

metrizovatelný, právě když je Hausdorffův a regu-lární, tj T3 a má spočetnou bázi.

4.2. Spojité funkce na kompaktních prosto-rech a Stone-Weierstrassova věta.Poznámka o Weierstrassově větě o stejnoměrné

aproximaci spojitých reálných funkcí na kompakt-ním intervalu reálnými polynomy. (Analogie pro kom-plexní funkce a polynomy bez další modifikace ne-platí.) Poznámka o Diniho větě o stejnoměrné kon-vergenci monotónní bodově konvergentní posloup-nosti spojitých funkcí ke spojité funkci na kompakt-ním intervalu.

Věta 4.6 (funkce na spočetně kompaktních prosto-rech).(W) Nechť f : X → R je spojitá funkce na neprázd-

ném spočetně kompaktním prostoru X. Pak fnabývá extrémy na X.

(D) Jsou-li fn, f : X → R spojité na spočetněkompaktním prostoru X, (fn(x))∞n=1 jsou ne-rostoucí posloupnosti pro x ∈ X a posloupnostfunkcí (fn)∞n=1 konverguje bodově k f , pak po-sloupnost (fn)∞n=1 konverguje stejnoměrně k fna X.

25

Lemma 4.7 (Weierstrassova věta o aproximaci proodmocninu). Funkce

√· : x 7→

√x, x ∈ [0, 1], je

stejnoměrnou limitou reálných polynomů (restrin-govaných na [0, 1]).

Pro K Hausdorffův kompaktní prostor značímeC(K) Banachův prostor spojitých reálných funkcína K s normou ‖f‖∞ = max{|f |(x) : x ∈ K}.Je to komutativní Banachova algebra s jednotkou.Příslušná maximová metrika (norma) definuje to-pologii stejnoměrné konvergence. Budeme uvažovati prostor C(K,C) komplexních spojitých funkcí de-finovaný podobně.A ⊂ C(K) je tedy algebra s jednotkou nad R

(resp. C), pokud A obsahuje všechny konstantní(reálné, resp. komplexní) funkce a f + g i fg, jsou-li f, g ∈ A (konstanty tam leží, tedy násobky tamjsou díky násobení dvou funkcí). Normovaný line-ární podprostor B ⊂ C(K) je svaz, pokud obsahujesup(f, g)(x) = max(f (x), g(x)) a inf(f, g)(x) = min(f (x), g(x))pro f, g ∈ A.

Lemma 4.8 (algebry s jednotkou v C(K) a uspo-řádání). Nechť K je Hausdorffův kompaktní prostora A ⊂ C(K) je algebra s jednotkou (nad R). Pakpro f, g ∈ A je |f |, sup{f, g}, inf{f, g} v A.Tedy A je svaz, neboť A je též algebra (speciálně

lineární prostor) s jednotkou.

Věta 4.9 (Stone-Weierstrass; o aproximaci). NechťK je neprázdný Hausdorffův kompaktní prostor.

26

(a) Je-li A ⊂ C(K) reálná algebra s jednotkou,která odděluje body, tj. pro x, y ∈ K, x 6= yexistuje f ∈ A taková, že f (x) 6= f (y), pakA = C(K).

(b) Je-li S ⊂ C(K) reálný vektorový prostor ta-kový, že sup(f, g) ∈ S a inf(f, g) ∈ S (svaz),který odděluje body a obsahuje jednotku, pakS = C(K).

Konec 10. přednášky

Důsledek 4.10 (Weierstrassovy věty a komplexníStone-Weierstrassova věta).(a) Množina restrikcí reálných polynomů n pro-

měnných je hustá v C(K) pro K ⊂ Rn kom-paktní neprázdnou.

(b) Množina reálných trigonometrických polynomů(ekvivalentně: reálných lineárních kombinací funkcícosnx a sinnx pro n = 0, 1, . . . ) na [0, 2π] jehustá v podprostoru 2π-periodických funkcí zC([0, 2π]).

(c) Je-li A ⊂ C(K,C) podalgebra prostoru kom-plexních spojitých funkcí na kompaktním pro-storu K, která je uzavřená na operaci kon-junkce (f ∈ A implikuje f ∈ A), obsahujekonstanty a odděluje body, pak je hustá v C(K,C).

Poznámka. Speciálně komplexní trigonometriké po-lynomy (lineární kombinace funkcí einx, n ∈ Z),tvoří hustou podmnožinu prostoru 2π-periodickýchspojitých komplexních funkcí na [0, 2π].

27

Poznámka. Speciálně komplexní funkce p(z, z), kdep je polynom dvou komplexních proměnných s kom-plexními koeficienty, tvoří hustou podmnožinu pro-storu spojitých komplexních funkcí naK ⊂ C kom-paktní neprázdné.4.3. Součin kompaktních prostorů.Poznámka. Sorgenfreyova přímka S je Lindelöfův

prostor, ale S × S ne. Součin konečně mnoha kom-paktních prostorů je kompaktní. Platí dokonce:

Věta 4.11 (Tichonov). Jsou-li Xa, a ∈ A, kom-paktní, pak je i X = Πa∈AXa kompaktní.

K důkazu užijeme (a) a (b) z následujícího lem-matu o centrovaných systémech:

Lemma 4.12 (o maximálních centrovaných systé-mech).(a) Je-li C ⊂ P(X) centrovaný, existuje C maxi-

mální centrovaný (tj. je-li {C} ∪ C centrovaný,je C ∈ C) takový, že C ⊂ C.

(b) Je-li C ⊂ P(X) maximální centrovaný, C ∈ Ca C ⊂ D, pak D ∈ C. Jsou-li C,D ∈ C, jeC ∩D ∈ C.

Cvičení. Jsou-li C1, C2, . . . , Cn ∈ C, C ⊂ P(X)maximální centrovaný a C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ Cn ∈ C,pak existuje i ∈ {1, 2, . . . , n} takové, že Ci ∈ C.Speciálně, pro A ⊂ X je A ∈ C nebo X \ A ∈ C.Poznámka. Větu lze také vyvodit z Alexandrova

lemmatu:

28

Nechť S je nějaká subbáze topologického prostoruX . Pak X je kompaktní, právě když každé otevřenépokrytí P ⊂ S prostoru X má konečné podpo-krytí, tj. ekvivalentně ("duálně") každý centrovanýsystém uzavřených množin má neprázdný průnik.

Důsledek 4.13 (charakterizace T3,5 a separabilníchmetrizovatelných prostorů).

(a) X je Tichonovův, právě když jej lze homeo-morfně zobrazit do kompaktního Hausdorffovaprostoru.

(b) X je separabilní a metrizovatelný, právě kdyžjej lze homeomorfně zobrazit do metrizovatel-ného kompaktního prostoru.

4.4. Pojem kompaktifikace topologického pro-storu a rozšiřování spojitých funkcí.Definice kompaktifikaceK prostoru jako Hausdor-

ffova nadprostoru X s X = KPříklad. Pro D diskrétní je A(D) kompaktifikace,

pokud je D nekonečná. Poznámka. Pojem kompak-tifikace (K,h) prostoru X , kde h : X → K je ho-meomorfismus X na h(X) a K je kompaktifikaceh(X). Např. známe kompaktifikaci K = R∗ pro-storu X = R (okolí nekonečen generována bází z(a,∞)∪ {+∞} a podobně pro −∞; ale také kom-paktifikace ([0, 1], h) prostoru R, kde h je homeo-morfismus R na (0, 1).Pozorování:

29

(1) Každý prostor, který má kompaktifikaci, je Ti-chonovův.

(2) Má-li X kompaktifikaci K takovou, že K \Xje jednoprvková ("1-prvková kompaktifikace"),má každé x ∈ X kompaktní okolí v X .

Definice. Hausdorffův prostor je lokálně kompaktní,pokud každý bod má bázi okolí z kompaktních okolí.Poznámka. Ekvivalentně Hausdorffův prostor je

lokálně kompaktní, pokud každý bod má kompaktníokolí.Konec 11. přednášky.

Věta 4.14 (o jednoprvkové kompaktifikaci).

(a) Hausdorffův prostorX je lokálně kompaktní, právěkdyž má kompaktifikaci K takovou, že K \X jenejvýš jednoprvková.Speciálně každý (Hausdorffův) lokálně kompaktní

prostor je úplně regulární.(b) Každé dvě jednoprvkové kompaktifikace prostoru

X jsou ekvivalentní.

Cvičení. Jednoprvková kompaktifikace lokálně kom-paktního (nekompaktního) prostoruX je "nejmenšíkompaktifikace"X .Poznámka. Jednoprvková kompaktifikace lokálně

kompaktního Hausdorffova nekompaktního prostoruje jednoznačně určena (až na homeomorfismus) aznačíme ji A(X).

30

Příklad. Neprázdné otevřené podmnožiny Rn jsoulokálně kompaktní a nejsou kompaktní, tedy majíjednoprvkovou kompaktifikaci, např. A(Rn).Existuje homeomorfismus v : Rn → Sn \ {x} pro

x ∈ n, pak "(Sn, v) je kompaktifikace Rn", je ekvi-valentní s jednoprvkovou kompaktifikací;existuje homeomorfismsu v : Rn → (0, 1)n, pak

"([0, 1]n) je kompaktifikace Rn", která není ekviva-lentní s jednoprvkovou.Definice kompaktifikace (K, v) pro T2 prostor X

(v : X → v(X) homeomorfismus a K kompaktifi-kace v(X)).

Důsledek 4.15 (kompaktifikace Tichonovových pro-storů).(a) Prostor X separabilní a metrizovatelný,právě

když má metrizovatelnou kompaktifikaci.(b) Topologický prostorX má kompaktifikaci, právě

když je Tichonovův.

Je-li X Tichonovův (tj. Hausdorffův a úplně re-gulární), pak existuje homeomorfismus vβX(x) =(f (x))f∈CX=C(X,[0,1]) prostoruX na vβX(X) ⊂ [0, 1]CX .Kompaktifikace (vβX(X), vβX) se nazývá β-obal (Čech-Stoneova kompaktifikace) a značíme ji β(X). Mů-žeme o ní mluvit jako o nadprostoru "βX ⊃ X",když prvky x ∈ X nahrazujeme prvky vβX(x) ∈βX ⊂ [0, 1]CX .Cvičení. Je-li X kompaktní Hausdorffův prostor,

je vβX(X) = βX , tj. "X = βX".

31

Lemma 4.16. (rozšiřování do intervalu) Je-li XTichonovův prostor, pak lze každé spojité zobrazeníf0 : X → [0, 1] "rozšířit"(f0 = g◦vβX) jednoznačněna spojité g : βX → Y .

Věta 4.17 (o rozšiřování spojitých zobrazení a β-obalu).(a) Je-liX Tichonovův prostor a Y kompaktní Hausdor-

ffův prostor, pak lze každé spojité zobrazení F :X → Y "rozšířit"jednoznačně (F = G ◦ vβX)na spojité G : βX → Y . Speciálně, βX je"největší"kompaktifikace na X.

(b) Pokud je K kompaktifikace prostoru X a kaž-dou spojitou f0 : X → [0, 1] lze "rozšířit"(f =g ◦ vK) na spojitou g : K → [0, 1], je "Kekvivalentní s βX", tj. existuje homeomorfis-mus h prostoru K na βX, který je "rovenidentitě"(h(vK(x)) = vβX(x)) pro x ∈ X.

Příklad. `(D) je izometricky izomorfní prostoruC(βD), kde D je diskrétní prostor.Konec 12. přednášky.

5. Úplnost

5.1. Úplně metrizovatelné prostory. Topologickýpojem "úplně metrizovatelný prostor".Příklady úplné metrizace (a, b) ⊂ R a neexistence

úplné metrizace Q. `∞(D) je úplný metrický (Ba-nachův prostor) pro všechny množiny D.

32

Věta 5.1 (o zúplnění). Každý metrický prostor Xje izometrický s hustým podprostorem nějakého úpl-ného metrického prostoru (Y, σ).

Zúplnění prostoru Q a zavedení reálných čísel apoznámka o jiných konstrukcích zúplnění např. po-mocí cauchyovských posloupností na X .

Věta 5.2 (úplně metrizovatelné prostory "jsouGδ").Nechť (X, ρ) je úplný a je hustý v Hausdorffově re-gulárním prostoru Y . Pak X je Gδ v Y .

Lemma 5.3 (o grafu spojitého zobrazení). Grafspojitého zobrazení topologického prostoruX do Hausdor-ffova prostoru Y je uzavřený.

Věta 5.4 (Aleksandrov). Nechť X je Gδ množinav úplně metrizovatelném prostoru Y . Pak X jakopodprostor Y je úplně metrizovatelný.

Důsledek 5.5 (charakterizace úplné metrizovatel-nosti). Topologický prostor je úplně metrizovatelný,právě když je Gδ v nějakém (ekvivalentně v každém)úplném metrickém prostoru.

5.2. Čechovsky úplné prostory. Definice. Ticho-novův prostor je čechovsky úplný (dále též jen úplný),je-li Gδ v βX . (Přesněji, je-li v(X) typu Gδ v βX ,kde (βX, v) je Čech-Stoneova kompaktifikace (β-obal) prostoru X .)

Lemma 5.6 (o zbytku). NechťK1 aK2 jsou Hausdor-ffovy kompaktifikace X a f : K1 → K2 je spojité

33

rozšíření identity id : X ⊂ K1 → X ⊂ K2. Pak(f (K1) = K2 a) f (K1 \X) = K2 \X.

Věta 5.7 (Čech). Metrizovatelný prostor je úplněmetrizovatelný, právě když je (čechovsky) úplný.

Věta 5.8. Každý lokálně kompaktní prostor je úplný.Dokonce je otevřenou podmnožinou Čechovy-Stoneovykompaktifikace.

Věta 5.9 ("Baireova"). Každý úplný prostor jeBaireův.

Konec 13. přednášky.

Součástí zkoušky bude otázka na látku před-vedenou na cvičení nebo jiné cvičení k od-přednesené látce. Seznam některých možnýchotázek (témat, ze kterých budou otázky po-loženy):1. Ukažte, že `∞(N) a βN jsou lineárně izomet-

rické Banachovy prostory.2. Příklady Hausdorffových prostorů, které nejsou

regulární.3. Příklady úplně regulárních Hausdorffových pro-

storů, které nejsou normální.4. Zachovávání na podprostor (dědičnost), na sou-

činy dvou a více prostorů pro lindelfovost, separa-bilitu, spočetnost váhy.5. Příklad (spočetného) topologického prostoruX

a bodu x ∈ X , který x leží v uzávěru X \ {x}, alenení limitou posloupnosti prvků X \ {x}.

34

6. Příklad normálního prostoru X , pro který X×X není normální.7. Příklady kompaktního prostoru, který obsahuje

otevřenou podmnožinu, která není normálním pod-prostorem.8. Příklady prostorů s nespočetným charakterem.

Zachovávání spočetného charakteru na operace asouvislost se spočetnou vahou.9. Vlastnosti topologie bodové konvergence pro-

storu RM všech reálných funkcí na množině M (se-parabilita pro M ⊂ R, pro jaká M má spočetnoubázi, spočetný charakter).10. Příklad dokazující, že z vlastností, které cha-

rakterizují operaci uzávěru CL v topologickém pro-storu nelze vynechat CL ◦ CL = CL.11. Jak vypadají spojité reálné funkce na jedno-

prvkové kompaktifikaci diskrétního prostoru?12. Zachovávání Lindelöfovy vlastnosti pro pod-

prostory a na součin.13. Sorgenfreyovy přímka a její vlastnosti.14. "Křížková topologie"a její vlastnosti.15. "Niemytzkého polorovina"a její vlastnosti.16. Vlastnosti lokálně kompaktních prostorů.17. Nutná podmínka pro podmnožinu metrického

prostoru, ze které lze rozšířit každou spojitou re-álnou funkci (či omezenou funkci) spojitě na celýprostor. Příklad neuzavřené podmnožiny kompakt-ního prostoru, ze které lze rozšířit každou spojitou

35

(omezenou a spojitou) funkci spojitě na celý pro-stor.18. Spočetný Hausdorffův kompaktní prostor je

metrizovatelný. Charakterizace metrizovatelnosti prokompaktní Hausdorffovy prostory.19. Ukažte, že topologický prostor [0, ω1] je kom-

paktní. Jak vypadají spojité reálné funkce na něm?