poisson and binomial

Universidad Autónoma

del Carmen

Dependencia Académica de CienciasQuímicas y Petrolera

(DACQYP)

Facultad de QuímicaINTEGRANTES

Montserrat Peralta Farfán Christian González Nolasco

MATERIAProbabilidad y estadística

PROFESOR

Elda Noelia Robles Torres

Introducción Una distribución de probabilidad indica toda la gamade valores que pueden representarse como resultadode un experimento si éste se llevase a cabo. 

Es decir, describe la probabilidad de que un eventose realice en el futuro, constituye una herramientafundamental para la prospectiva, puesto que se puedediseñar un escenario de acontecimientos futurosconsiderando las tendencias actuales de diversosfenómenos naturales.Toda distribución de probabilidad es generada poruna variable (porque puede tomar diferentes valores)aleatoria x (porque el valor tomado es totalmente alazar).

Distribución Binomial

El cálculo de probabilidades tuvo un notabledesarrollo con el trabajo del matemático suizo JacobBernoulli (1654-1705).

Bernoulli definió el proceso conocido por su nombreel cual establece las bases para el desarrollo yutilización de la distribución binomial.

 La distribución binomial es una distribución deprobabilidad discreta que cuenta el número de éxitosen una secuencia de n ensayosde Bernoulli independientes entre sí, con unaprobabilidad fija p de ocurrencia del éxito entrelos ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por serdicotómico, esto es, sólo son posibles dosresultados.

A uno de estos se denomina éxito y tiene unaprobabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, conuna probabilidad q = 1 - p.

En la distribución binomial el anterior experimentose repite n veces, de forma independiente, y setrata de calcular la probabilidad de un determinadonúmero de éxitos.

Experimento binomial

Existen muchas situaciones en las que se presentauna experiencia binomial. Cada uno de losexperimentos es independiente de los restantes (laprobabilidad del resultado de un experimento nodepende del resultado del resto).

El resultado de cada experimento ha de admitir sólodos categorías (a las que se denomina éxito yfracaso). Las probabilidades de ambas posibilidadeshan de ser constantes en todos los experimentos (sedenotan como p y q o p y 1-p).

Fórmula distribución binomial

Donde despejada la formula, queda:

k - es el número de aciertos. n - es el número de experimentos. p - es la probabilidad de éxito 1-p - también se le denomina como “q ”

Parámetros de la distribución binomial

Media: medida de centralización.μ=n∗p

Varianza: media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribuciónestadística

σ2=n∗p∗q

Desviación Típica: medida de dispersión y mide lo alejados que están los datos de la media.

σ=√n∗p∗q 

Tablas de distribución binomialLa distribución binomial se encuentra tabulada, porlo cual se facilita el cálculo de las probabilidadessin necesidad de hacer demasiadas cuentas. Para usarlas tablas de la distribución binomial es necesarioconocer:

El número de veces que se realiza el experimento(n), (valores desde 2 a 10)

La probabilidad de éxito (p), (valores desde0,01 hasta 0,5).

El número de éxitos (k).

Ejemplo

Ejercicios de Tarea (Distribución Binomial) Resueltos

1.- ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras al lanzar una misma moneda 6 veces?

Donde:

P(X)= Probabilidad de que ocurra el eventop = (0.5)q = (se define como q = 1 – p ) (0.5)X = 2n = 6Al sustituir los valores en la fórmula obtenemos:

La posibilidad de obtener dos caras al lanzar una moneda 6 veces es de 0.234375

2.- Supongamos que la probabilidad de que una parejatenga un hijo o una hija es igual. Calcular laprobabilidad de que una familia con 6 descendientestenga 2 hijos.

p (X=2 )=(62).(0,5)2.(0,5)(6−2)

n= 6

k= 2 p(x=2) = 0,2343

p=0,5

q=0,5

La probabilidad de que una familia con 6 descendientes tengan 2 hijos es de 0,2334.

3.- La probabilidad de que una tubería deperforación sea defectuosa es 0.02. Se envió uncargamento de 100 tubos a una instalación de Casabe.Hallar la media, la varianza y la desviación típica.

μ=100∗0,02=2

σ2=100∗0,02∗0,98=1,96

σ=√100∗0,02∗0,98=1,4

Distribución de Poisson“La probabilidad de obtener “X” éxitos en unintervalo continuo”

La distribución de Poisson es también un casoparticular de probabilidad de variable aleatoriadiscreta. Es útil cuando tratamos con sucesosimpredecibles o de ocurrencia aleatoria.

Características:

El número medio (promedio) de eventos en elespacio temporal o región específica de interés,

por lo general esta media se representa por lalambda griega (λ)

El número de resultados que ocurren en unintervalo de tiempo o región específicos esindependiente del número que ocurre en cualquierotro intervalo de tiempo o región

La probabilidad de que un resultado muy pequeñoocurra en un intervalo de tiempo muy corto o enuna región pequeña es proporcional a la longituddel intervalo de tiempo o al tamaño de la región

La probabilidad de que más de un resultadoocurra en un intervalo de tiempo tan corto o enesa región tan pequeña es inapreciable, que sepuede asignar el valor de 0

Usos:

Se emplea para describir varios procesos:

Distribución de las llamadas telefónicas quellagan a un conmutador

La demanda de servicios en un hospital por partede los pacientes

Los arribos de los camiones y automóviles a lacaseta de cobro

El número de accidentes en un cruce El número de defectos en una tela por m2 El número de bacterias por cm2

Formula de PoissonPara determinar la probabilidad de que ocurran xéxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la

fórmula a utilizar sería:

P (x I λ) = la probabilidad de que ocurran Xéxitos cuando el número promedio de ocurrenciade ellos es λ

λ media o promedio de éxitos por unidad detiempo, área o producto

e es la constante 2.7183, base de los logaritmosnaturales, en tanto que los valores de e -λpueden obtenerse de tablas.

X señala un valor específico que la variablepueda tomar (el número de éxitos que deseamosocurran)

Por definición, el valor esperado (media en elintervalo o región de interés) de unadistribución de probabilidad de Poisson es iguala la media de la distribución. E(X) = λ

La varianza del número de eventos de unadistribución de probabilidad de Poisson tambiénes igual a la media de la distribución λ. Deeste modo, la desviación estándar es la raízcuadrada de λ.

V(X) = λ σ = √λ

Ejemplos Supóngase que estamos investigando la seguridad deun crucero muy peligroso. Los archivos de la policíaindican una media de cinco accidentes por mes en él.El número de accidentes está distribuido conforme ala distribución de Poisson, y la división deseguridad en carreteras quiere calcular laprobabilidad de exactamente 0,1,2,3 y 4 accidentesen un mes determinado.

P(0) = (5)0 (e-5) /0! = 0.00674

P(1) = (5)1 (e-5) /1! = 0.03370

P(2) = (5)2 (e-5) /2! = 0.08425

P(3) = (5)3 (e-5) /3! = 0.14042

P(4) = (5)4 (e-5) /4! = 0.17552

Para saber cual es la probabilidad en 3 o menos (X ≤3), sumaremos las probabilidades de 0,1,2,3 lo queserá igual a :

P(X ≤ 3) = P(0)+P(1)+P(2)+P(3) = 0.26511

Dado que la probabilidad de que haya 3 o menosaccidentes es de 0.26511 entonces la probabilidad deque ocurran más de tres (X > 3) debe ser = 1 –0.26511 = 0.73489.

Ejemplo 2

Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondopor día, ¿cuáles son las probabilidades de quereciba,

a) Cuatro cheques sin fondo en un día dado,

b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos díasconsecutivos? (e= 2.718281828)

Por lo tanto la probabilidad de que el banco recibacuatro cheques sin fondo en un día dado es de0.133853 (13.39%)

Aproximación de la distribución binomial por una de Poisson

Algunas veces, si se desea evitar el tedioso trabajode calcular las distribuciones binomiales, sobre

todo si n (ensayos) es muy grande y p o q (éxito yfracaso) es muy pequeña, se puede usar a cambio lade Poisson, pero debe cumplir con ciertascondiciones como:

n ≥ 30 np ó nq < 5

En los casos en que se satisfacen talescondiciones, podemos sustituir la media de ladistribución binomial en lugar de la media de ladistribución de Poisson de modo:

λ=np

Ejemplo:

Se sabe que 1% de los artículos de un gran embarquede transistores procedente de un proveedor sondefectuosos. Si se selecciona aleatoriamente unamuestra de 30 transistores, la probabilidad de quedos o más de ellos sean defectuosos.

P (X ≥ 2 I n=30, p= 0.01) = P (X=2) + P (X=3) + …=0.0328+0.0031+0.0002 = 0.0361

Si λ=np=30(0.01) = 0.3, la aproximación de Poissondel anterior valor de probabilidad es

P (X ≥ 2 I λ = 0.3) = P (X=2) + P (X=3) + …= 0.0333+ 0.0033 + 0.0002 = 0.0368

Así la diferencia entre la aproximación de Poisson yel valor de probabilidad binomial real es de sólo0.0007

Ejercicio de Tarea resuelto (Poisson)

4. En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto.

Determine las probabilidades de identificar

a) una imperfección en 3 minutos,

b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos,

c) cuando más una imperfección en 15 minutos.

Solución:

a)      x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.

l = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada3 minutos en la hojalata

b)      x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2, 3, ...., etc., etc.

l = 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata

            =1-(0.367918+0.367918) = 0.26416

 c)      x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos = 0, 1, 2, 3, ....., etc., etc.

l = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada15 minutos en la hojalata

                                                                                                                  = 0.0498026 + 0.149408 = 0.1992106

Bibliografía

http://metodoscuantitativo2.galeon.com/enlaces2218784.html

Bejar, N. H. (2002). estadística aplicada. Lima, Perú: Vicerrectorado de investigación.

DURA PEIRO, J. M. y LOPEZ CUÑAT, J.M. (1992) Fundamentos de Estadística. Estadística Descriptiva y Modelos Probabilísticos para la Inferencia. Madrid: Ariel Editorial.

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/05Distr%20Poisson.htm

http://www.virtual.sepi.upiicsa.ipn.mx/mdid/poisson.pdf

http://metodoscuantitativo2.galeon.com/enlaces2218784.html