Poglavlje 5 - Kvantifikatorski Račun Prvog Reda

Prof. dr Esad Jakupović

U uvodnom odjeljku 1.1. predikat dužine n smo definisali kao afirmativnu rečenicu koja ima smisla, koja sadrži n promjenljivih parametara i koja postaje sud uvek kada parametri iz rečenice dobiju konkretne vrijednosti, tj. zamjene se sa konkretnim objektima. Ovo je opisna definicija predikata. Istom pojmu pristupamo sada na formalan način.Posmatrajmo predikat dužine n. Podrazumjeva se da je zadat jedan skup D pri čemu se parametri predikata smatraju elementima skupa D. Za izvjesne n-torke predikat P( ) postaje tačan sud dok za ostale n-torke predikat postaje netačan sud. Skup n-torki za koje predikat postaje tačan sud definiše jednu n-arnu relaciju u skupu D. Obrnuto, ako je zadata jedna n-arna relacija u skupu D postoji predikat dužine n (shvaćen kao rečenica sa n parametara koja opisuje osobine n-torki iz te relacije) koji je tačan baš za n-torke iz te relacije. Stoga je opravdano predikat, izjednačiti sa relacijom.

1 2, ,..., nP x x x

1 2, ,..., nx x x 1 2, ,..., n

nx x x D 1 2, ,..., nx x x

Definicija 1. Predikat dužine n skupa D je svaka n-arna relacija skupa D.n-arna relacija ρ u skupu D određuje i jedno preslikavanje

Definišimo

Funkcija naziva se iskazna funkcija. Predikat se može definisati i kao iskazna funkcija.U okviru matematičke logike razvijena je teorija predikata koja se naziva predikatski ili kvantifikatorski račun. Objekti ove teorije su formule kvantifikatorskog računa ili kvantifikatorske formule koje predstavljaju predikate. U verziji kvantifikatorskog računa koji izlažemo u ovoj knjizi, kvantifikatori u formulama deluju samo na tzv. promjenljive a ne na funkcijska ili relacijska slova. Zbog toga se ovakav kvantifikatorski račun naziva kvantifikatorski račun prvog reda.

: 0,1 .nf D

1 21 2

1 ako x , ,...,, ,...,

0 u suprotnom slučajun

n

x xf x x x

Formule kvantifikatorskog računa definišemo najprije kao izvjesne nizove simbola.Formule kvantifikatorskog računa se grade po određenim pravilima od tzv. osnovnih simbola kvantifikatorskog računa.Definicija 1. Osnovni simboli kvantifikatorskog računa su:

1. promjenljive :

2. konstante:

3. operacijska ili funkcijska slova:

4. relacijska slova:

5. operacijski simboli:

6. zagrade i zarezi.Kod operacijskih i relacijskih slova gornji indeks j se naziva dužina slova.

1 1 1, , , , , ,..., , , ,...;n n nx y z x y z x y z

1 2, ,..., ,...;na a a

, 1,2,...jif i j

, 1,2,...jiR i j

, ,

Definicija 2. 1° Svaku promenljivu i svaku konstantu nazivamo termom.2° Ako su , t2, . . . , tn termi, onda je za svako i niz simbola ( , t2, . . . , tn) term.3° Termi se dobijaju samo pomoću konačno mnogo primjena odredbi 1° i 2° ove definicije.

Primjer 3. Nizovi simbola su termi.

Naprotiv , nizovi simbola nisu termi.

Pomoću terma i relacijskih slova obrazuju se nizovi simbola koje nazivamo elementarnim formulama kvantifikatorskog računa.

1tnif 1t

1 2 2 1 23 2 1 3 1 1 1 2 3, , , , , , ,x a f x f x y f f a f a x

1 21 1 1 2, , , , , .f x y f x x x itd

Definicija 3. Ako su , t2, . . . , tn termi, onda je, za svako i, niz simbola elementarna formula kvantifikatorskog računa.Na kraju smo u situaciji da definišemo i formule kvantifikatorskog računa (kratko, formule).

Definicija 4. 1° Elementarna formula kvantifikatorskog računa je formula.2° Ako su nizovi simbola A i B formule i ako je u promenljiva, onda su i nizovi simbola formule.3° Formule se dobijaju samo pomoću konačno mnogo primjena odredbi 1° i 2° ove definicije.

Primjer 2. Nizovi simbola predstavljaju formule od kojih su prve dve elementarne.

1 2, ,...,ni nR t t t

1t

, ,A B A u A

Interpretacija formule kvantifikatorskog računa je složen pojam koji najprije objašnjavamo opisno a zatim formalno definišemo.Za domen interpretacije usvaja se neki neprazni skup D. Promjenljive se interpretiraju kao promjenljive koje variraju u skupu D.Konstante se interpretiraju kao određeni elementi skupa D. Funkcijska slova označavaju izvesne konkretne operacije skupa D odgovarajućih dužina. Zbog toga termi predstavljaju »algebarske izraze« promenljivih skupa D.Ako se zamisli da promjenljive za momenat postanu konkretni objekti iz D tada term označava takođe jedan konkretni objekt iz D.

Primjer 1. Term može se interpretirati u skupu realnih brojeva R kao izraz x+5y gdje je konstanta interpretirana kao broj 5 i operacijska slova redom kao operacije sabiranja i množenja. x i y su onda realne promjenljive. Isti term se u skupu djelova nekog skupa može interpretirati kao »skupovni izraz« gdje je interpretirano kao prazan skup a operacijski simboli kao unija i simetrična diferencija. x i y označavaju tada skupovne promjenljive.

2 21 2 1, ,f x f a y

2 21 2,f f1a

Relacijsko slovo dužine n interpretira se kao n-arna relacija skupa D, odnosno kao predikat dužine n. Elementarna formula označava stoga reče nicu: , t2, . . . , tn su u relacijiSimboli interpretiraju se kao implikacija, negacija i univerzalni kvantifikator, respektivno. Stoga, proizvoljna formula kvantifikatorskog računa predstavlja složenu rečenicu komponovanu po pravilima opisanim u odjeljku 1.1 od rečenica koje odgovaraju elementarnim formulama od kojih je posmatrana formula sastavljena. Složena rečenica koja se na opisani način dobija kao interpre tacija kvantifkatorske formule je predikat čija dužina, zavisi od broja promjenljivih u formuli ali i od prisustva i rasporeda kvantifikatora što će biti objašnjeno kasnije.Primjer 2. Formuli mogućno je dati sledeću interpretaciju.Neka je domen interpretacije skup realnih brojeva R, neka , označava sabiranje realnih brojeva i neka je Rt relacija jednakosti. Tada je interpretacija formule sledeća rečenica: “Za sve realne brojeve x i y važi x+y=y+x.”

1 1 2, ,...,nnR t t t

1nR

1t

, ,

2 2 21 1 1, , ,x y R f x y f y x

21f

Definicija 1. Interpretacija I formule F kvantifikatorskog računa je definisana pomoću ,gdje je D neprazan skup a φ preslikavanje čiji je domen skup konstanti, operacijskih slova i relacijskih slova formule F, pri čemu je slika konstante element skupa D, slika funkcijskog slova operacija skupa D odgovarajuće dužine i slika rela cijskog slova relacija skupa D odgovarajuće dužine.Interpretacija formule F određuje tri međusobno ekvivalentna ob jekta u vezi sa skupom D od kojih svaki možemo po potrebi uzeti za opisnu inter pretaciju formule F:

1° jednu rečenicu (predikat) koja govorio elementima skupa D..2° jednu relaciju određene dužine u D, definisanu predikatom 1°,3° odgovarajuću iskaznu funkciju.

Vrijednost formule F definiše se pomoću odgovarajuće iskazne funkcije, vrijednost formule zavisi od parametara odgovarajućeg predikata koji se pojavljuju kao argumenti iskazne funkcije. Vrijednost formule je po definiciji jednaka vrijednosti odgovarajuće iskazne funkcije.

,I D

,I D

Definicija 2. Formula F je tačna pri interpretaciji I ako pri toj interpretaciji ima, uvek vrednost 1 (nezavisno od parametara odgovarajućeg predikata).

Primjer 3. Navešćemo dve interpretacije formule .

1° Domen interpretacije je skup cjelih brojeva Z a , se interpretira kao relacija kongruencije po modulu m. Stoga formula označava rečenicu:

Ova rečenica je tačna za svako x, y Z. Stoga je navedena formula tačna pri interpretaciji .2° Neka je interpretacija kod koje je domen skup prirodnih brojeva N a relacija djeljivosti |. Pri formula predstavlja rečenicu koja je tačna, na primjer, za x=3, y=5 a netačna, na primjer, za x= 3, y=6.

Uopšte, formula je tačna za sve interpretacije u kojima se interpretira kao simetrična binarna relacija.Postoje, međutim, i formule koje su tačne pri svim interpretacijama.

2 21 1, ,R x y R y x

1I21R

mod m mod m .x y y x

1I

2I21R | |x y y x

21R

Primjer 4. Formula je tačna pri svakoj interpretaciji. Posmatrajmo proizvoljnu interpretaciju. Podformula može pri datoj interpretaciji biti ili netačna ili tačna (može da predstavlja neistinit ili istinit sud). Ako je ona netačna, formula (l)je tačna jer implikacija ima vrijednost 1 bez obzira na vrijednost Ako je pak tačno, onda za svako x iz domena važi pa mora da važi i za x =.y Stoga (1) opet ima vrednost 1.

Definicija 3. Formula koja je tačna pri svim interpretacijama naziva se valjana formula.Činjenicu daje formul F valjana obilježavamo sa |=F a to čitamo: F jc valjana formula. Simbol |=ne pripada skupu simbola kvantifikalorskog računa.Valjane formule su od posebnog značaja. One u kvantifikatorskom računu igraju onu ulogu koju tautologije igraju u iskaznoj algebri.

1 11 1x R x R y

11x R x

11R y

11x R x 1

1R x

Valjane formule predstavljaju, kao i tautologije, modele uvek istinitih rečenica, te stoga izražavaju za kone ispravnog zaključivanja. Kvantifikatorske formule su u odnosu na iskazne formule izražajnije jer se pomoću predikata i kvantifikatora mogu da izraze i analiziraju unutrašnja svojstva rečenica što nije mogućno pomoću sudova.S obzirom na značaj valjanih formula od interesa su postupci za utvrđivanje da li je zadata formula valjana. U iskaznoj algebri postoji efektivan postupak (tablice istinitosti) za analogan problem (utvrđivanje da li je zadata iskazna formula (antologija) jer se ispitivanje svodi na proveravanje konačno mnogo slučajeva.U kvantifikatorskom računu valjanost formule zavisi od vrijednosti formule pri beskonačno mnogo mogućih interpretacija a i pri jednoj jedinoj interpretaciji, ako je domen inter pretacije beskonačan, problem utvrđivanja tačnosti formule može da bude veoma težak. Stoga nije iznenađujuće da opšti i efektivan postupak za utvrđivanje valjanosti formule kvantifikatorskog računa ne postoji.

Među osnovnim simbolima kvantifikatorskog računa nalaze se simboli samo dve operacije iskazne algebre: .No uzimajući u obzir činjenicu daje ( , =>) baza iskazne algebre sve druge logičke operacije se mogu ipak izraziti. S obzirom na sledeće jednakosti u iskaznoj algebri 

- sledećom definicijom se uvode neki novi simboli kvantifikatorskog računa koji predstavljaju »skraćenice« za izvjesne nizove osnovnih simbola.

Definicija 4. Ako su A i B formule kvantifikatorskog računa, onda se

1° niz ( ) zamjenjuje sa (A\/B),

2° niz zamjenjuje sa ( ),

3° niz zamjenjuje sa (A<=>B).

i

, p q= p q ,

,

p q p q

p q p q q p

A B

A B A B

A B B A

Pri pisanju formula kvantifikatorskog računa služimo se konvencijama o izostavljanju zagrada kao u iskaznoj algebri.Egzistencijalni kvantifikator takođe nije predviđen u skupu osnovnih simbola kvantifikatorskog računa. Međutim, i on se može na pogodan način izraziti pomoću drugih simbola.Ako je P proizvoljna rečenica, onda rečenice:

1° Postoji x takvo da važi P;2° Nije tačno da za svako x ne važi P; očigledno imaju isto značenje. Stoga se uvodi sleđeća definicija.

Definicija 5. Ako je A formula kvantifikatorskog računa i u promjenljiva, onda se niz simbolu zamjenjuje sa ( u) A.Novouvedeni simbol interpretira se na isti način kako je to objašnjeno u odjeljeku 1.1.

u A

Jedna promenljiva u može u izvesnoj formuli F kvantifikatorskog računa da se pojavi više puta. Pojavljivanja promjenljivih djelimo na vezana i slobodna.Pojavljivanje promjenljive u je vezano ako je ono locirano neposredno iza kvantifikatora ili ako se nalazi u zoni dejstva nekog kvantifikatora koji je spregnutDiskretne matematičke strukture sa u, drugim riječima, vezano pojavljivanje promjenljive u je oblika , gde je A formula u kojoj u ima pojavljivanje a formula , odnosno , je podformula formule F.Sva pojavljivanja promjenljive u u formuli F koja nisu vezana, nazivamo slobodna pojavljivanja.Primjer 1. U formuli prvo i drugo pojavljivanje promjenljive x i drugo i treće pojavljivanje promjenljive y su vezana pojavljivanja. Ostala pojavljivanja promjenljivih su slobodna.Promjenljive čija su sva pojavljivanja vezana (vezane promenljive) ne pojav ljuju se kao parametri predikata koji predstavlja interpretaciju formule.Intepretacija formule je predikat čija je dužina jednaka broju promjenljivih koje imaju slobodna pojavljivanja (slobodne promjenljive).

, , ili u ,u u A u A u A u A

2 21 1, ,x R x y y R x y

Primjer 2. Interpretacija formule (\/x) (x) je predikat dužine 0, tj. sud, jer je x vezana promjenIjiva. Formula određuje jednu unarnu relaciju, tj. predikat dužine 1 (pa rametar je z).Ako formula F nema slobodno pojavljivanje promenljive x, formula (V x)F ima u interpretaciji isto značenje kao formula F. Na primjer u formuli ,promjenljiva x je vezana a y slobodna. U interpretaciji dobijamo predikat koji zavisi od parametra y sa istim značenjem kao predikat dobijen interpretacijom formule .U svim svojim vezanim pojavljivanjima promjenljiva se može označiti simbo lom neke druge promjenljive koja se ne pojavljuje u formuli . Pri tome se u interpre tacijama značenje formule ne mjenja. Na primjer, formula ima isto značenje kao . Situacija je slična onima kod određenog inte grala ili sumiranja članova jednog niza. Poznato je, naime, da vrijednost određenog integrala ne zavisi od toga kojim simbolom je označena integraciona promjenljiva. Isto tako vrijednost sume ne zavisi od oznake za indeks sumiranja. Ove činjenice se izražavaju formulama

11R

31 , ,x y R x y z

11x R y

11R y

n

i=1 1

, b b n

i jja a

f x dx f t dt a a

Definicija 1. Formula u kojoj su sve promjenljive vezane naziva se zatvorena formula.Zatvorena formula se interpretira kao predikat dužine 0, tj. kao sud.

Definicija 2. Ako je F formula u kojoj se pojavljuju slobodne promjenljive (gdje navedeni redoslijed odgovara redosljedu navođenja tih simbola u listi osnovnih simbola), onda je zatvorenje formule F formula . Za zatvorene formule F važi F=F.Neka je t term čije su promenljive . Neka je A{x) formula u kojoj se pojavljuje promjenljiva x. A(t) se dobija od A(x) kada se svako slobodno pojavljivanje promjenljive x zamjeni termom t.Term t je slobodan za promjenljivu x u formuli A(x) ako se nijedno slobodno pojavljivanje promjenljive x u A(x) ne nalazi u zoni dejstva nekog od kvantifikatora kojise eventualno nalaze u A(x). Drugim rječima, nijedna promjenljiva terma t ne smije da se veže nekim od kvantifikatora iz A(x) poslije zamjene x sa t.

^

F 1 2 ... ku u u F

1 2, ,..., nu u u

1 2 1 2, ,..., , u , ,...,k ku u u u u

1° Jednu klasu valjanih formula predstavljaju formule izvedene iz tautologija iskazne algebre.

Ako se u jednoj tautologiji svako iskazno slovo zamjeni nekom formulom kvantifikatorskog računa, dobijena formula kvantifikatorskog računa je valjana jer pri svakoj interpretaciji ona ima vrijednost 1. Očigledno su interesantnije one valjane formule koje se ne mogu izvesti iz tautologija.

2° Na osnovu definicije 5 iz odjeljka 5.3. očigledno su valjane sljedeće formule

(1)

gdje je A(x) formula koja sadrži slobodnu promjenljivu x. Ove formule pokazuju kako se mjenja karakter kvantifikatora kada on zamjeni redoslijed sa znakom negacije. Na osnovu toga negacija rečenice glasi .

,

,

x A x x A x

x A x x A x

21 ,x y R x y 2

1 ,x y R x y

Navedene formule predstavljaju u suštini generalizovane De Morganove formule iz iskazne algebre (videti odjeljak 3.2.). U stvari, ako je domen interpretacije D formula (1) konačan, one se i svode na De Morganove formule. Zaista, ako je onda u interpretaciji znači isto što i konjukcija a, ima značenje kao disjunkcija .

Stoga se formula (1) svede na

- a to su De Morganove formule.Redoslijed navođenja istorodnih kvantifikatora očigledno nema posebaa značaj. Na primjer, formula znači isto što i formula pa je formula <=> valjana. Nasuprot tome, redoslijed navođenja raznorodnih kvantifikatora je bitan.Posmatrajmo formule

1 2, ,..., nD x x x x A x

11

n

iA x

x A x

1

n

iiA x

1 2 1 2

1 2 1 2

... ...

... ...

n n

n n

A x A x A x A x A x A x

A x A x A x A x A x A x

21 ,x y R x y 2

1 ,y x R x y 2

1 ,y x R x y 21 ,x y R x y

2 21 1, i y ,x y R x y x R x y

Interpretirajmo ove formule na skupu prirodnih brojeva N i neka označava relaciju <. Tada prva formula znači: »Za svaki prirodan broj x postoji prirodan broj y takav da je y veće od x«, a druga: »Postoji prirodan broj y takav daje svaki prirodan broj x manji od y«. Prvi sud je tačan a drugi nije, jer bi to značilo da postoji najveći prirodan broj.Na osnovu ovog primjera interesantno je ispitati da li su sledeće formule valjane

Formula (2) nije valjana jer ako za svako x postoji y lako da važi (x,y) to ne znači da postoji jedinstveno y tako da za svako x važi (x, y). Formula (3) je pak valjana jer ako postoji y tako da za svako x važi (x,y) onda sigurno za svako x postoji y (i to jedno te isto) tako da važi (x, y). U ovom slučaju uspjeva da jedinstvenim razmatranjem obuhvatimo sve interpretacije formule!

21R

2 21 1

2 21 1

(2) x , , ,

(3) ( y) x , , .

y R x y y x R x y

R x y x y R x y

21R

21R

21R

21R

Na sl. 1 prikazan je jednim digrafom odnos formula oblika

gdje su i K2 kvantifikatori (univerzalni ili egzistencijalni) spregnuti sa x ili y.Ovakvih formula ima 8 i one su reprezentovane čvorovima digrafa. Za dve formule ovog tipa i F2 formula Fl=>F2 je valjana ako i samo ako u digrafu sa sl. 1 postoji put iz čvora F1 u čvor F2.4° Formula , gde je t term slobodan za protmjenljivu x u formuli A{x), je valjana.

21 2 1 ,F K K R x y

x A x A t

I u kvantifikatorskom računu kao i u iskaznoj algebri (vidjeti odjeljak 3.3) mogućno je uvesti pojam hipoteza i posljedica.

Definicija 1. Formula F kvantifikatorskog računa je (semantička) posledica kvantifikatorskih formula , F2, ... . , Fn ako je formula F tačna pri svakoj interpretaciji pri kojoj su sve formule , F2, . . . , Fn tačne.Činjenica da je F posljedica formula , F2, ..., Fn obilježava se sa , F2, . . . , Fn |=F

Modus ponens pojavljuje se kao pravilo izvođenja i u kvantifikatorskom računu jer očigledno važi , .U kvantifikatorskom računu veliku ulogu igra pravilo izvođenja izraženo pomoću . Ovo pravilo ne postoji u iskaznoj algebri. Ono se naziva generalizacija.Na osnovu pravila generalizacije svaka formula F ima za posljedicu svoje zatvorenje F. Takođe se lako uviđa da važi F F.

1F1F

1F

1F

2 2|F F 1F 1F

|F x F

|

Jedna od primjena kvantifikatorskog računa se sastoji u tome što se rečenice koje izražavaju matematičke misli mogu predstavljati formulama kvantifikatorskog računa. To se postiže na taj način što se rečenice (predikati) koje želimo da predstavimo shvataju kao interpretacije nekih kvantifikatorskih fomula koje se naknadno konstruišu.Na primjer, posmatrajmo rečenicu: »Za svaki cjeli broj x postoji cijeli broj y takav da je x+y=0«. Jedna od kvantifikatorskih formula za koju ova rečenica može da posluži kao interpretacija je . Do navedene interpretacije se dolazi ako se za domen interpretacije uzme skup cijelih brojeva Z, relacijsko slovo interpretira kao jednakost, funkcijsko slovo kao operacija sabiranja + a konstanta kao broj 0.U matematičkoj praksi rjetko se rečenice predstavljaju kvantifikatorskim formulama u obliku u kome su ove striktno definisane.

2 21 1 1, .x y R f x y a

21R

21f 1a

Formule se modifikuju korišćenjem simbola iz »svakodnevnog« matematičkog jezika. Funkcijska slova se zamjenjuju odgovarajućim simbolima operacija, relacijska slova se zamjenjuju oznakama za relacije, koriste se slova koja se ne nalaze u spisku osnovnih simbola kvan tifikatorskog računa a domen interpretacije se indicira oznakom odgovarajućeg skupa odmah iza kvantifikatora. Tako se spomenuta rečenica obično izražava u oblikuUmjerena upotreba kvantifikatorskih ili modifikovanih kvantifikatorskih formula u označavanju matematičkog teksta doprinosi jasnosti , kratkoći i elegantnosti formulacija.

Primjer 1. Po definiciji niz (an) (n = l, 2,. . .) je konvergentan ako (i samo ako) postoji broj a takav da za svako >0 postoji N tako da je kad god je n>N. Dakle, ( )je konvergentan . Niz je divergentan ako nije konvergentan. Ako negiramo rečenicu na desnoj strani ekvivalencije pa znak negacije smjestimo iza kvantifikatora, kvantifikatori mjenjaju karakter.Na kraju rečenicu možemo da zamjenimo da tj. . Stoga važi: ( ) je divergentan

x+y=0x Z y Z

na a

0 na N n n N a a na

P Q P Q P Q na 0 .na N n n N a a