-
Podstawy działań na wektorach - dodawanie wektorów Strona 1
Podstawy działań na wektorach - dodawanie
Metody dodawania wektorów można podzielić na graficzne i
analityczne (rachunkowe).
1. Graficzne (rysunkowe) dodawanie dwóch wektorów.
Założenia:
dane są dwa wektory i o znanych kierunkach, zwrotach i
wartościach (nie są znane współrzędne obu wektorów). Tym samym jest
określony kąt jaki tworzą ich kierunki - niech mniejszy z kątów
pomiędzy ni-
mi wynosi ( ).
kierunki obu wektorów nie są do siebie równoległe ( ).
Metoda równoległoboku
Na wektorach i (łącząc ich początki) należy zbudować
równoległobok.
Wektor będący sumą wektorów i leży na przekątnej równoległoboku
wychodzącego z wierzchołka, gdzie
wektory i zostały połączone. Koniec (grot) utworzonego wektora
znajduje się w nowoutworzonym wierzchoł-ku równoległoboku.
Jeżeli jest dana skala rysunku „ ”, to wartość wektora można
obliczyć, mnożąc zmierzoną linijką długość tego wektora przez daną
skalę rysunku.
Metoda wieloboku sznurowego
Do końca dowolnego z rozpatrywanych wektorów (dodawanie wektorów
jest przemienne!), na przykład
wektora doczepiamy początek wektora (zachowując kierunki,
wartości i zwroty obu wektorów wyjściowych!).
Aby otrzymać wektor ( ) należy połączyć początek pierwszego z
wektorów ( ) z końcem wekto-
ra . Zwrot (grot) tak otrzymanego wektor znajduje się przy
grocie ostatniego z "doklejonych" wektorów, w
tym przypadku wektora .
Szukany jest wektor:
-
Podstawy działań na wektorach - dodawanie wektorów Strona 2
Uwaga: a. Metodą równoległoboku nie można dodawać wektorów
równoległych do siebie.
b. jeżeli dodajemy więcej niż dwa wektory, to do końca
pierwszego (dowolnie wybranego) wektora docze-
piamy początek kolejnego z wektorów, do końca tego wektora
doczepiamy początek trzeciego itd.. Zaw-sze należy zachować
kierunki, wartości (długości) i zwroty przenoszonych wektorów! Po
zbudowaniu wie-loboku sznurowego („łamanej”), tzn. połączeniu w
wyżej opisany sposób wszystkich dodawanych wekto-rów, należy
połączyć „strzałką” (wektorem) początek rysunku (początek
pierwszego z rysowanych wekto-rów) z końcem ostatniego z dodawanych
wektorów. Zwrot (grot) tak otrzymanego wektora znajduje się przy
grocie ostatniego z rysowanych wektorów. Metoda ta jest szczególnie
użyteczna, jeżeli dodajemy (lub odejmujemy!) więcej niż dwa wektory
o dowolnych kierunkach i zwrotach.
Przykład dla trzech wektorów .
W każdym z trzech pokazanych na rysunku przypadkach, kolejność
dodawania wektorów była inna, ale każdy z otrzymanych wektorów,
będący sumą wektorów wyjściowych ma (na każdym z rysunków) taką
samą długość, kierunek i zwrot. Wynika stąd, że dodawanie wektorów
jest przemienne!
c. Metodę równoległoboku można wykorzystać przy znajdowaniu
składowych wektora o zadanej wartości,
kierunku i zwrocie, jeżeli znane są kierunki tych składowych.
Niech dany będzie wektor oraz kierunki i , na których szukane są
składowe tego wektora (rys. 1), tzn. takie wektory i , że zachodzi:
. 1 1
2 2 rys. 1 rys. 2 Jeżeli wykreślony zostanie równoległobok,
którego przekątną jest wektor (kierunki boków wyznaczają półproste
i ), to wyznaczone boki równoległoboku (wychodzące z początku
wektora ) zawierają szu-kane wektory składowe i . Mierząc długości
obu wektorów i znając skalę rysunku, można wyznaczyć wartość obu
składowych. Na rysunku nr 2 widać wyraźnie, że wartość składowej
jest większa niż war-tość wektora wyjściowego ! (nie jest to
regułą!).
-
Podstawy działań na wektorach - dodawanie wektorów Strona 3
2. Analityczne (rachunkowe) dodawanie dwóch wektorów.
Założenie:
dane są dwa wektory i o dowolnych znanych kierunkach, zwrotach i
wartościach (nie są znane współ-
rzędne obu wektorów). Tym samym jest określony kąt jaki tworzą
ich kierunki - niech mniejszy z kątów
pomiędzy nimi wynosi ( )
Szukaną wartość wektora można znaleźć z zależności:
Uwaga:
a. z wzoru [1] można obliczyć wartość wektora , natomiast nie
wynika z niego zwrot, kierunek i punkt przyłożenia tego
wektora.
b. Konieczna jest znajomość wartości funkcji cosinus dla danego
kąta . Przykłady dla szczególnych przypadków:
(cos0 = 1) wektory mają taki sam kierunek i zwrot
Z [1]:
z wzoru skróconego mnożenia
Wniosek: wartość sumy dwóch wektorów o takich samych kierunkach
i zwrotach jest równa sumie wartości obu wektorów.
Metodą graficzną:
(cos180 = – 1) wektory mają taki sam kierunek i przeciwny
zwrot
Z [1]:
z wzoru skróconego mnożenia
Wniosek: wartość sumy dwóch wektorów o takich samych kierunkach
i przeciwnych zwrotach jest równa war-tości bezwzględnej z różnicy
wartości obu wektorów składowych.
Metodą graficzną:
[1]
-
Podstawy działań na wektorach - dodawanie wektorów Strona 4
(cos90 = 0) wektory mają kierunki wzajemnie prostopadłe
Z [1]: Wniosek: wartość sumy dwóch wektorów o kierunkach
wzajemnie prostopadłych jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z
sumy kwadratów wartości obu wektorów (jak długość
przeciwprostokątnej w trójkącie pro-stokątnym - co wynika z
twierdzenia Pitagorasa).
Metodą graficzną:
lub
metoda wieloboku sznurowego metoda równoległoboku
3. Analityczne (rachunkowe) dodawanie wektorów o znanych
współrzędnych.
Założenie:
danych jest dwuwymiarowych wektorów o znanych współrzędnych
Problem:
jak obliczyć wartość wektora będącego sumą wektorów ?
Aby wyznaczyć wartość wektora wystarczy wyznaczyć wartości jego
współrzędnych i , po czym skorzystać
z zależności:
Można wykazać, że każda ze współrzędnych wektora jest sumą
odpowiednich współrzędnych wektorów skła-dowych, tzn.:
Uwaga: analogicznie postępuje się w przypadku wektora
trójwymiarowego:
[2a]
[2b]
[2c]
-
Podstawy działań na wektorach - dodawanie wektorów Strona 5
-10 -5 -1 1 5 10 X
10
5
1
-5
Przykład. W dwuwymiarowym układzie współrzędnych dane są cztery
wektory: .
a. Oblicz współrzędne każdego z wektorów.
b. Zapisz każdy z wektorów wykorzystując wersory osi.
c. Oblicz długość (wartość) każdego z wektorów.
-
Podstawy działań na wektorach - dodawanie wektorów Strona 6
-10 -5 -1 1 5 10 X
10
5
1
-5
d. Oblicz analitycznie współrzędne wektora będącego sumą tych
wektorów.
e. Oblicz analitycznie wartość wektora .
f. Oblicz graficznie wartość sumy tych wektorów (metoda
wieloboku sznurowego).
Ponieważ przesunięcie równoległe nie zmienia wartości
współrzędnych wektora, to graficzne "skle-janie" wektorów metodą
wieloboku sznurowego można zacząć od dowolnego punktu na układzie
współ-rzędnych. Na przykład od punktu . Dodatkowo dodawanie
wektorów jest przemienne, tzn. można je
dodawać w dowolnej kolejności. Na przykład:
Zgodnie z zasadą wieloboku sznurowego, przesuwamy równolegle do
wybranego punktu (w tym przypad-ku o współrzędnych ) początek
pierwszego z wybranych wektorów (tzn. ). Do grotu tego wektora
docze-piamy początek kolejnego z dodawanych wektorów przesuwając go
równolegle (tzn. ). Do grotu wektora doczepiamy (po równoległym
przesunięciu) początek następnego z dodawanych wektorów, tzn. .
Ostatnim z dodawanych wektorów jest wektor . Tak jak poprzednio
przesuwamy go równolegle, tak by jego początek zna-lazł się przy
grocie poprzednio dodanego wektora (tzn. ). Na koniec łączymy punkt
startowy, tzn. z gro-
tem ostatniego z dodawanych wektorów (tzn. ), jest to
poszukiwany wektor . Grot tak otrzymanego wektora znajduje się
zawsze przy grocie ostatniego z dodawanych wektorów. W
rozpatrywanym przypadku jest to punkt
o współrzędnych . Wartość wektora można odczytać mierząc jego
długość linijką i przeliczając według długości jednostki miary na
osi. W tym przypadku jego długość wynosi , natomiast skala
rysunku:
. Stąd:
Długość wektora także obliczyć jako długość odcinka łączącego
punkt startowy z punktem końcowym. Jak widać z rysunku, współrzędne
poszukiwanego wektora mają takie same wartości, jak otrzymane
metodą analityczną:
-
Podstawy działań na wektorach - dodawanie wektorów Strona 7
Uwagi i wnioski:
a. Metody graficzne są użyteczne przy dodawaniu więcej niż dwóch
wektorów, jeżeli znamy kierunki, zwroty i wartości wektorów
dodawanych, natomiast nie znamy wartości ich składowych (w wybranym
układzie odniesienia).
b. Wynik otrzymany metodami graficznymi jest zazwyczaj
przybliżony, z uwagi na niedokładności związane z rysowaniem
wektorów wyjściowych i ich przesuwaniem równoległym.
c. Metodę równoległoboku można stosować do znajdowania sumy
wektorów, które na żadnym etapie kon-strukcji nie mają kierunków
równoległych.
d. Metoda równoległoboku jest użyteczna przy znajdowaniu
składowych wektora na zadanych kierunkach (nierównoległych).
e. Ogólną metodą znajdowania sumy dowolnych wektorów jest metoda
równoległoboku sznurowego. Jeżeli punkt końcowy konstrukcji jest
tożsamy z punktem początkowym, to wartość sumy tych wektorów
wy-nosi zero. Grot wektora wypadkowego jest położony zawsze przy
grocie ostatniego z dodawanych wekto-rów.
f. Wartość wektora o znanych składowych jest równa pierwiastkowi
kwadratowemu z sumy kwadratów jego składowych.
g. Dodawanie wektorów (tak jak i skalarów) jest przemienne.
h. Jeżeli dodajemy wektory o znanych składowych, to każda ze
składowych wektora wypadkowego jest równa sumie odpowiednich
składowych wektorów wyjściowych.