PO ÍTA OVÉ ALGEBRAICKÉ SYSTÉMY: … · E e D eno o výrazech, se týká jejich vnit ní reprezentace, nikoliv jejich vstupního nebo výstupního tvaru, které jsou pokud možno

PO ÍTA OVÉ ALGEBRAICKÉ SYSTÉMY:

-MATHEMATICA 5-Voj t

�ch Bartík

ást 2Dokumenty v prost� edí MS Windows � Základní prvky jazyka � Prom� nné, okamžité a odložené p� i � azení (definice) � Používání d� ívejších výsledk� � Relace a logické operace � � ísla � Matematické konstanty �

Aritmetické operace � Elementární funkce � N� které další funkce

Dokumenty v prost edí MS Windows

Po � uknutí na ikonu programu Mathematica 5 se nejprve spustí tzv. FRONTEND - uživatelské rozhraní, jehož prost � ednictvím s programem Mathematica v prost � edí MS Windows komunikujeme. Na jeho konfiguraci záleží, zda-li se vlastní program Mathematica, zv. KERNEL, na� te do pam ti po� íta� e ihned nebo až po odeslání prvního p � íkazu, kterým m že být také kliknutí na položku " Star t Kernel � Local" v rolet " Kernel" v nabídkové lišt .P� i práci se systémem Mathematica 5 v prost � edí MS Windows obvykle vytvá� íme dokument, kterému se v tomto systému � íká NOTEBOOK. Extenze každého dokumentu je " nb" . Uživatelské rozhraní nám po star tu nabídne � istý dokument nazvaný " Untitled-1" , ale m žeme si také vybrat z j iž existuj ících dokument .

� Bu ky a skupiny bun�k

Základními jednotkou dokumentu je BU � KA (CELL). Nová bu � ka se otevírá napsáním jakéhokoliv znaku mimo oblast j iž existuj ících bun k a má automaticky styl " Input" a atr ibuty " Editable" a " Evaluatable" .

Bu � ky m žeme v p � ípad pot � eby d lit na menší nebo spojovat ve v tší a také je sdružovat do skupin pomocí p � íkaz v okénku " Cell Grouping" rolety " Cell" . Zvolíme-li " Automatic Grouping" , sdružování do skupin provádí FrontEnd automaticky podle schématu

{Title,

{Subtitle,

{Subsubtitle,

{Section,

{Subsection,

{Subsubsection,

{Text, Small Text, {Input, Output}}

}

}

}

}

}

}

Každá bu � ka a skupina bun k je u pravého okraje obrazovky vyzna� ena hranatou závorkou.

1 Math50-LS04-2.nb

� Atr ibuty a stylové parametry bu � ky

Každá bu � ka má své ATRIBUTY a STYL. Atr ibuty m� žeme specifikovat pomocí p � íkaz� v okénku " Cell � Cell Proper ties" . Styl a r � zné parametry stylu m� žeme m� nit pomocí p � íkaz� v okénku " Style" rolety " Format" , editací stylového archu (Style Sheet), který otev � ete kliknutím na položku " Edit Style Sheet" v rolet � " Format" a pomocí utility" Option Inspector" , kterou najdeme v rolet � " Format" nabídkové lišty a kterou m� žeme otev � ít také kliknutím na poslední položku " Preferences" v rolet � " Edit" .

Bu � ky, jej ichž obsah vidíte na obrazovce, maj í atr ibut " Open" . P� ítomnost bu � ky, které tento atr ibut odeberete, signalizuje pouze malá závorka u pravého okraje obrazovky. Nap � . následuj ící textová bu � ka obsahuje stejný text jako tato, ale je uzav � ená a proto žádný text nevidíme:

Bu � ky s atr ibutem " Editable" m� žeme editovat, bu � ky bez tohoto atr ibutu se editovat nedaj í a nelze m� nit ani jej ich atr ibuty a stylové parametry krom� atr ibutu " Editable" . Bu � ky s atr ibutem " Edit Duplicate" p � i jakémkoliv pokusu o jej ich editaci automaticky produkuj í editovatelnou kopii. Tento atr ibut je implicitn � nastaven u všech výstupních bun � k, tj . u bun � k maj ících styl " Output" .

Bu � ky s atr ibutem " Evaluatable" Mathematica vyhodnocuje, bu � ky bez tohoto atr ibutu ignoruje. Bu � ky s atr ibutem " Initialization" mohou být vyhodnoceny automaticky p � i na� ítání dokumentu. Ze styl � , které m� že bu � ka mít, j sou pro nás zatím d � ležité pouze " Input" a " Output" , jej ichž význam je jasný. Každá bu � ka maj ící styl " Input" má automaticky atr ibut " Evaluatable" . Z obsahu vstupní bu � ky Mathematica ignoruje pouze text za� ínaj ící znakem (* a kon � ící znakem * ). Chceme-li zj istit, jaké atr ibuty, styl a stylové parametry bu � ka má, ozna� íme j i kliknutím na jej í závorku a podíváme se do p � íslušných okének: atr ibuty, styl a stylové parametry bu � ky jsou v t � chto okéncích zaškr tnuty. Podobn � postupujeme, chceme-li n � které atr ibuty bu � ky zm� nit.

Atr ibut " Active" aktivuje n � které prvky bu � ky, jako jsou nap � . tla� ítka, palety a hyper linky. Nap � . následuj ící dv � bu � ky obsahuj í totéž tla� ítko

Expand �Expand �

První bu � ka je neaktivní, a proto po kliknutí na tla� ítko v ní obsažené se nic ned � je. Druhá bu � ka je aktivní a proto kliknutí na ni okopíruje jej í obsah na místo, kde se nachází kurzor . Aktivní elementy bu � ky nelze editovat, pokud má bu � ka atr ibut " Active" .

U vstupních a výstupních bun � k m� žeme m� nit ješt � " Input Format" resp. " Output Format" . Pro každý z nich máme t � i možnosti: " Input Form" , " Standard Form" a " Traditional Form" . Format ur � uje zp � sob formátování matematických formulí. Implicitn � je formát u vstupních i výstupních bun � k nastaven na " Standard Form" , což je forma p � esn � odpovídaj ící syntaktickým pravidl � m jazyka systému Mathematica. " Traditional Form" je bližší obvyklé matematické symbolice, ale na rozdíl od " Standard Form" ne vždy jednozna� n � p � eložitelná do " Input Form" , kterou umí Mathematica jednozna� n � interpretovat.

N � které atr ibuty a formát bu � ky lze poznat z tvaru jej í závorky. Vid � li j sme nap � ., že u závorky aktivní bu � ky je písmeno " A" . Všechny bu � ky, které nemaj í atr ibut " Evaluateble" , maj í stejnou závorku jako tato textová bu � ka. Závorka 1. bu � ky v následuj ící skupin � signalizuje, že je to vstupní bu � ka s atr ibuty " Editable" a " Evaluatable" a formátem " Standard Form" , a závorka 2. bu � ky � íká, že jde o výstupní bu � ku s atr ibutem " Editable" a formátem " Standard Form" :

Sin � 2 � 1� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � �ArcCos � 2 � 1

Sin 1 � � 2! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! !ArcCos " 1 �$# 2

Math50-LS04-2.nb 2

Závorka 1. bu % ky v další skupin & ' íká, že bu % ka má atr ibuty " Editable" a " Evaluatable" a formát " Input Form" , a závorka 2. bu % ky ukazuje na výstupní bu % ku s atr ibutem " Editable" a formátem " Traditional Form" :

Sin[Pi^2 + 1]/ArcCos[E^2 - 1]

Sin 1 ( ) 2* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ** * * * * * * *ArcCos + 1 ($, 2

Atr ibut " Edit Duplicate" nelze z tvaru závorky vy - íst. Následuj ící bu % ka má podle závorky formát " Standard Form" a chybí j í jak atr ibut " Editable" , tak atr ibut " Evaluatable" :

Sin . 2 / 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0ArcCos Exp 2 1 1

2 Vyhodnocení (evaluace) bu 3 ky nebo skupiny bun 4 kK vyhodnocení (evaluaci) j sou ur - eny pouze vstupní bu % ky, tj . s atr ibuty " Input" a " Evaluatable" .

Chceme-li nechat takovou bu % ku vyhodnotit, umístíme do ní kurzor nebo j i ozna- íme kliknutím na jej í závorku a pak stiskneme sou - asn & klávesy 576 8 nebo pouze klávesu 8 v pravém dolním rohu rozší ' ené klávesnice. Stejnými klávesami dáme p ' íkaz k vyhodnocení všech vstupních bun & k s atr ibutem " Evaluatable" obsažených v ozna- ené skupin & bun & k.

Evaluaci lze p ' erušit nebo zrušit kliknutím na nabídku " Inter rupt Evaluation" resp." Abor t Evaluation" v rolet & " Kernel" . Totéž lze ud & lat také z klávesnice pomocí 9 +, resp. 9 +. . N & kdy však trvá dosti dlouho, než Mathematica zareaguje.

2 Používání palet

Mathematica 5 nabízí celkem 9 palet, které usnad % uj í jak používání mnoha matematických a technických symbol : , které nenajdete na klávesnici, tak používání nejb & žn & j ších vestav & ných funkcí - i operací. Jsou to tyto palety:

1. OpenAuthorTools

2. AlgebraicManipulation

3. BasicCalculations

4. BasicInput

5. BasicTypesetting

6. CompleteCharacters

7. CreateSlideShow

8. InternationalCharacters

9. NotebookLauncher

Další palety si m: žete vytvá' et sami.

Palety 4, 5, 6, 8 obsahuj í r : zné typy písma, ' ecká a j iná písmena, nej r : zn & j ší matematické a technické symboly a šablony pro psaní zlomk : , mocnin, odmocnin, der ivací, neur - itých i ur - itých integrál : , sou - t : , sou - in : , matic a j iných matematických výraz: . K liknutím na " tla- ítko" palety se objekt na ní zobrazený okopíruje na poslední pozici kurzoru.

Palety nejsou jediným prost ' edkem, jak r : zné typy písma a symboly za' adit do textu. Nap ' . ;=<?> dostanete také v p ' ípad & , že napíšete bez mezer za zp & tnými lomítky nap ' . ' et & zec " \ [Alpha]\ [Beta]\ [Gamma]" . Písmeno @ m: žete získat také napsáním ' et & zce A alphaA , symbol B získáte napsáním A inf A , dvoj itou hranatou závorku získáte napsáním A [[ A , atd. Jak lze to - i onen znak tímto zp : sobem získat, se v & tšinou dozvíte, když si ho najdete v palet & a ukážete na n & j kurzorem.

3 Math50-LS04-2.nb

Paleta 2 obsahuje názvy n C kterých nej D ast C j i používaných algebraických úprav spolu s volným místem pro argument a funguje odlišn C . Nap E . v ní najdete tlaD ítko s nápisem Expand F , které funguje

takto: vyberu pomocí kurzoru formuli nebo jej í podformuli, nap E . a G b 2 G c 3

Potom kliknu na uvedené tlaD ítko a dostanu na stejném míst Ca2 G 2 a b G b2 G c 3

Formule se mH že nacházet v jakékoliv bu I ce.

Stejná a další tlaD ítka najdete v palet C 3, která však funguje j inak. Vyberu-li nap E . pomocí kurzoru stejnou formuli jako výše a pak kliknu na tlaD ítko Expand[ F ] v této palet C , dostanu na stejném míst C

Expand a G b 2 G c 3

Kliknu-li místo toho na tlaD ítko FKJKL , dostanu

a G b 2 G$MNG c 3

Umístím-li však kurzor za podformuli a J b 2 a pak kliknu na toto tlaD ítko, dostanu

a G b 2 M$G$MNG c 3

p E i D emž kurzor je na pozici D erného (prvního) D tvereD ku.

Poslední paleta 9 slouží k otevírání nových dokument H s p E eddefinovaným stylem. Nap E . tento dokument má sv H j vlastní stylový arch, který vznikl impor továním stylu " Textbook" a jeho následnou úpravou.

Základní prvky jazyka

Základními prvky jazyka jsou symboly, celá D ísla, reálná D ísla, komplexní D ísla a E et C zce. Tyto prvky se souhrnn C nazývaj í ATOMY. Symbolem je každé slovo sestávaj ící z D íslic, písmen a libovolných grafických znak H , které maj í charakter písmen (letter -like forms) a které Mathematica rozpoznává, jehož první znak není D íslicí. Co jsou celá D ísla je jasné, o reálných D íslech a komplexních D íslech si povíme za chvíli a E et C zec je libovolná posloupnost písmen, D íslic a libovolných grafických znak H , které Mathematica rozpoznává, zaD ínaj ící a kon D ící uvozovkami. Znak " mH že být v E et C zci zastoupen jako \" , znak \ mH že být zadán jako \\.

Z atomH vytváE íme rekurzivn C VÝRAZY (EXPRESSIONS). Výraz je bu O atom nebo posloupnost znak H tvaru f a1, a2, ..., an kde f , a1, a2, ..., an j sou výrazy. Výraz f se nazývá ZÁHLAVÍ nebo HLAVI P KA (HEAD), výrazy a1, a2, ..., an j sou jeho ARGUMENTY nebo prvky. P íslo n se nazývá DÉLKA (LENGTH) výrazu a mH že být rovno nule, tj . výraz mH že mít tvar f[ ].

Hlavi D ka n C kteréch výrazH mH že být skrytá. Nap E . symboly maj í skrytou hlavi D ku Symbol, textové E et C zce maj í skrytou hlavi D ku Str ing. Skryté hlavi D ky maj í i r H zné typy D ísel.

To, co bylo práv C E eD eno o výrazech, se týká jej ich vnit E ní reprezentace, nikoliv jej ich vstupního nebo výstupního tvaru, které jsou pokud možno uzp H sobeny matematickým zvyklostem a závisej í také na tom, zda formát bu I ky je " InputForm" , " OutputForm" , " StandardForm" nebo " TraditionalForm" . Nap E . f expr mH žeme zadat v tzv. prefixové notaci jako f Q expr nebo v tzv. postfixové notaci jako expr f a f expr1, expr2 mH žeme zadat v prefixové notaci jako

f #, expr2 & Q expr1, f expr1, # & Q expr2

nebo v postfixové notaci jako

expr1 f #, expr2 &, expr2 f expr1, # &

nebo v infixové notaci jako expr1 R f R expr2.

Math50-LS04-2.nb 4

Vnit S ní tvar každého výrazu mT žeme získat p S íkazem FullForm a jeho záhlaví p S íkazem Head.

Expression FullForm Head

a2b27 a2b27 Symbol

3.14 3.14 Real

2 7 Rational 2, 7 InputForm7U U U2 Rational 7, 2 Rational

2 V 3 I Complex 2, 3 Complex

a, b, c List a, b, c List

23abc7e "23abc7e" String2 x 2 x 2a V b Plus a, b Plus

a b Times a, b Times1U U Ua Power a, W 1 Power

a2 Power a, 2 PowerbU U Ua Times Power a, W 1 , b Times

a 2 4 a, b, c a 2 4 a, b, c a 2 4

a 2 4 a V b, 2 c a 2 4 Plus a, b , Times 2, c a 2 4X \[Alpha] SymbolY\[CapitalPhi] Symbol

Existuje S ada p S íkazT , jej ichž pomocí mT žeme získávat r T zné informace o struktu S e výrazT . Nap S . TreeForm[expr] nám ukáže stromovou strukturu výrazu expr :

TreeFormSin x2Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z

Cos x 3 [ 1Times

Power

Plus 1,

Power

Cos x

, 3

, W 1,

Sin

Power x, 2

Prom nné, okamžité a odložené p i azení (definice)

V zásad \ lze jako prom\ nnou použít jakýkoliv výraz. Mohou však nastat potíže, pokud záhlaví obsahuje jméno, které používá Mathematica. K ur ] itým ú ] el T m však lze použít pouze symboly.

JMÉNA VŠECH VESTAV ^ NÝCH FUNKCÍ, OPERACÍ A P_ ÍKAZ ` ZA a ÍNAJÍ VELKÝM PÍSMENEM.

a Plus b 4, a c a Plus 2, c Times b 5, c c Times , a Plus c Times

4, 16 a, 5,cU U U U5, 20

x, y, z b 1, 2, a2

1, 2, a2

5 Math50-LS04-2.nb

2 a d 6Set : : wr i t e : Tag I nt eger i n 2 a i s Pr ot ect ed. Mor e…

6

Okamžité p e i e azení má tvar expr1 = expr2 nebo ekvivalentn f Set[expr1, expr2] .

Odložené p e i e azení má tvar expr1 := expr2 nebo ekvivalentn f SetDelayed[expr1, expr2] .

Pe i expr1 = expr2 se expr2 vyhodnotí okamžit f , p e i expr1 := expr2 až p e i použití.

Clear a, b, c ;

x1 d Expand a g b 2 ; x2 : d Expand a g b 2 ; x1, x2

a2 h 2 a b h b2, a2 h 2 a b h b2

a d c g 1; x1, x2

b2 h 2 b 1 h c h 1 h c 2, 1 h 2 b h b2 h 2 c h 2 b c h c2

random1 d Random Integer, 0, 100 ; Table random1, 10

47, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 47

random2 : d Random Integer, 0, 100 ; Table random2, 10

7, 22, 36, 74, 45, 18, 31, 51, 72, 56

Odložené p e i e azení je nutné, závisí-li na podmínce.

Clear y1 ;

y1 : d If a i 0, 1, j 1, 0 ;

a d 1; y1, a dKj 1; y1, a d .; y1

1, k 1, 0

Clear y1 ;

y1 d If a i 0, 1, j 1, 0 ;

a d 1; y1, a dKj 1; y1, a d .; y1

0, 0, 0

Pe i e azení zrušíme p e íkazem expr = . nebo ekvivalentn f Unset[expr ].

Pe íkaz Clear [symbol] ruší všechna p e i e azení a definice spojené se symbolem kromf atr ibut l .

Pe íkaz ClearAll[symbol] ruší i atr ibuty.

f 1 d 1; f 2 d 2; f 3 d 3; f 1 , f 2 , f 3

1, 2, 3

Math50-LS04-2.nb 6

f 1 m 1; f 2 m . ; f 3 m 3; f 1 , f 2 , f 3

1, f 2 , 3

Cl ear f ; f 1 , f 2 , f 3

f 1 , f 2 , f 3

Používání d ív jších výsledk

Mathematica n ísluje všechny vstupy a výstupy a ur n itý pon et posledních vstup o a výstup o , který je dán hodnotou globálního parametru $HistoyLength, si pamatuje. Implicitní nastavení je $HistoyLength=Infinity. K liknutím na položku " Show In/Out Names" v rolet p " Kernel" lze zaq ídit, aby toto n íslování bylo resp. nebylo vid p t ar už na obrazovce nebo na tiskárn p . Pq íkazem In[n] lze použít n-tý vstup a p q íkazem Out[n] nebo %n n-tý výstup. Na poslední výstup se lze odkázat p q íkazem % nebo Out[-1], na p q edposlední p q íkazem %% nebo Out[-2], na p q edp q edposlední p q íkazem %%% nebo Out[-3], atd.

Textový tvar n-tého vstupu lze získat p q íkazem InStr ing[n].

a m 4

4

c m 5

5

%, %, I nSt r i ng s 1 , %%, %%, I nSt r i ng s 2

5 , 5 , \ c t \u 5\ , 4, 4, \ a t 4\

Relace a logické operace

v Relace

Rel ace Ful l For m Význam

x twt y Equal x, y x serovnáyx x y Unequal x, y x senerovnáyx twtyt y SameQ x, y x , y jsouidentické

x t{z|t y UnsameQ x, y x , y nejsouidentické

7 Math50-LS04-2.nb

Cl ear x, y, z ;

x } y, x ~w~y~ y, x ~ 1, y ~ 2, z ~ 2. , x ~w~ y, y } z, y ~w~y~ z

x � y, False, 1, 2, 2., False, True, False

Rel ace Ful l For m Význam

x � y Greater x, y x jev� tší než yx � y GreaterEqual x, y x jev� tší neborovnoy

x � y Less x, y x jemenší než y

x � y LessEqual x, y x jemenší neborovnoy

x �w� y �w� z Equal x, y, z x, y , z serovnají

x � y � z Unequal x, y, z x, y , z jsouvzájemn� r � zné

x � y � z x � y � z z� ejmý

� Logické operace

Oper ace Ful l For m Význam

�p, � p Not p logickánegace

p && q, p q And p, q konjunkce

p q r And p, q, r konjunkce

p q, p q Or p, q disjunkce

p q r Or p, q, r disjunkce

Xor p, q Xor p, q vylu� ovací disjunkce

Xor p, q, r Xor p, q, r vylu� ovací disjunkceIf p, t, f If p, t, f t pro p �w� True, f pro p �w� FalseIf p, t, f, u If p, t, f, u t pro p �w� True, f pro p �w� False, j inak u

P� íklady:

Cl ear p, q, r ;

p && q && r , p q r , p ~ Tr ue, q ~ Tr ue, r ~ Fal se, p q r

p && q && r, p && q && r, True, True, False, False

Cl ear p, q, r ;

p q r , p q r , p ~ Tr ue, q ~ Fal se, r ~ Fal se, p q r

p q r, p q r, True, False, False, True

Cl ear p, q, r , s, t ;

Xor p, q, r , p ~ q ~ r ~ Tr ue, s ~ t ~ u ~ Fal se,

Xor p, q, r , Xor p, r , s , Xor p, s, t , Xor s, t , u

p � q � r, True, False, True, False, True, False

Math50-LS04-2.nb 8

ísla a matematické konstanty

� Typy � ísel

I nt eger . . . . . . . . . . celá � ísla s libovolným po� tem ciferRat i onal . . . . . . . . . racionální � ísla, tj . zlomky integer integer v základním tvaru

Real . . . . . . . . . . . . . � ísla ve tvaru kone� ného dekadického rozvojesdesetinnou te� kou,nap � . 5. , 0. 786, 556. 9998

Compl ex . . . . . . . . . . � ísla tvaru number � number � I , kde number je typuI nt eger , Rat i onal nebo Real a I jesymbol proimaginární jednotku

Chceme-li zj istit, k jakému typu Mathematica � íslo x � adí, m� žeme to zj istit p � íkazem Head[x] nebo Head[x]===type:

Head 13 , Head2� � � �3

, Head6� � � �3

, Head 13.

Integer, Rational, Integer, Real

Head 13 � 0 I , Head 13. � 0 I , Head 13 � 0. I

Integer, Real, Complex

Celá a racionální � ísla jsou tzv. exaktní � i p � esná � ísla, s nimiž Mathematica provádí všechny operace p � esn � . �

ísla typu Real jsou p � ibližná � ísla. P� ibližná � ísla jsou vlastn � dvoj ího druhu: machine-precision numbers - strojov � p � esná � ísla a arbitrary-precision numbers - � ísla se zadanou p � esností. P� i po� ítání s � ísly se zadanou p � esností Mathematica sleduje vliv zaokrouhlovacích chyb , p � i práci se strojov � p � esnými se o to nestará.

Komplexní � ísla mohou být jak exaktní, tak p � ibližná.

123. 4 . . . . . . . . . . . . . strojov � p � esné � íslo na tomto po� ita� ipo� et cifer � $Machi nePr eci s i on � 15. 9546

123. 457` . . . . . . . . . . . strojov � p � esné � íslo na všech po� ita� ích123. 4567` 100 . . . . . . � íslo se zadanou p � esností se100 platnými ciframi123. 4567` ` 100 . . . . . � íslo se zadanou p � esností se100 platnými ciframi za desetinnou

te� kou1. 234* ^6 . . . . . . . . . . strojov � p � esné � íslo1 . 234 � 10^6 v tzv. v � deckénotaci1. 234` 100* ^6 . . . . . . � íslo v tzv. v � deckénotaci se100 platnými ciframi

9 Math50-LS04-2.nb

� Symboly pro n � které � íselné množiny

Algebraics ........ reprezentujemnožinu všech algebraických � ísel, tj . � ísel,která jsou ko  eny polynom¡ s racionálními koeficienty

Complexes ......... reprezentujemnožinu všech komplexních � íselIntegers .......... reprezentujemnožinu všech celých � íselPrimes .......... reprezentujemnožinu všech prvo� íselRationals ......... reprezentujemnožinu všech racionálních � íselReals ............. reprezentujemnožinu všech reálných � ísel

Výsledkem test ¡

expr ¢ domain, expr ¢ domain Simplify, expr ¢ domain FullSimplify

kde domain je n £ který z výše uvedených symbol ¡ , je True nebo False, pokud je Mathematica schopna rozhodnout, zda expr reprezentuje � íslo pat   ící do množiny reprezentované tímto symbolem:

1¤ ¤ ¤ ¤2¥§¦ 3¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

2

3 ¨Integers,

1¤ ¤ ¤ ¤2¥§¦ 3¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

2

3 ¨Integers Simplify

1© © © ©2 ª

«3© © © © © © © © © © © © ©

2

3 ¢ Integers, True

expr ¬ 1¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤7

¥ 2¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤Sin ­ 12

3

;

expr, expr

¨Rationals, expr

¨Algebraics

1© © © © © © © © ©7 ª 2 21 4© © © © © © © © © © © © © © © ©© © © © © © © © © ©® 1 ª 3

3

,1© © © © © © © © ©7 ª 2 21 4© © © © © © © © © © © © © © © ©© © © © © © © © © ©® 1 ª 3

3

¢ Rationals, True

expr

¨Rationals Simplify, expr

¨Rationals FullSimplify

1© © © © © © © © ©7 ª 2 21 4© © © © © © © © © © © © © © © ©© © © © © © © © © ©® 1 ª 3

3

¢ Rationals, False

� Matematické konstanty

Infinity,̄ ........ nevlastní � íslo ¥ ¯I,¦ ............... imaginární jednotkaPi,­ .............. � íslo " pí"E,° ............... základ p   irozených logar itm¡

Math50-LS04-2.nb 10

Degr ee, ° . . . . . . . . . . . ± 180, p ² evodní koeficient zestup ³ ovédo obloukovémíry

Gol denRat i o . . . . . . . 1́ 5 2 µ 1. 61803, pom¶ r délek · ástí tzv. zlatého ² ezu úse· ky

I ndet er mi nat e . . . . . symbol pro neur · iténumer ickévýrazy jako nap ² . 0 0

Krom¶ t ¶ chto konstant zná Mathematica ješt ¶ n ¶ které další matematické konstanty, nap ² . Eul er Gamma ¸ l i m

n¹»ºk ¼ 1

n 1½ ½ ½ ½k ¾ l n n µ 0. 577216,

Cat al an ¸k ¼ 0º

¾ 1 k½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½2 k ¿ 1 2

µ 0. 915966

a j iné, viz Help/Mathematical Functions/Mathematical Constants. Konstanta EulerGamma je známa jako Eulerova konstanta a zpravidla se zna· í C.

S matematickými konstantami Mathematica po· ítá jako se symboly resp. formálními výrazy, ví však, že až na symboly pro nevlastní · ísla a neur · ité výrazy reprezentuj í p ² esn ¶ definovaná exaktní reálná · ísla:

Head À Á , Â , Degr ee, Gol denRat i o, I ndet er mi nat e

Symbol, Symbol, Symbol, Symbol, Symbol

Numer i cQ À Á , Â , Degr ee, Gol denRat i o, I ndet er mi nat e

True, True, True, True, False

Symbol I je zkratka pro Complex[0,1] a Infinity je zkratka pro DirectedInfinity[1]. Proto

Head I , Head Uneval uat ed I , Numer i cQ I

Complex, Symbol, True

à Funkce N a p Ä ibližné hodnoty exaktních Å ísel a konstant

P² ibližnou hodnotu exaktního · ísla, matematické konstanty nebo matematického výrazu expr reprezentuj ícího exaktní reálné nebo komplexní · íslo najdeme pomocí funkce N, která mÆ že mít jeden nebo dva argumenty.

P² íkaz N expr znamená, že Mathematica použije k výpo· tu strojov ¶ p ² esná · ísla (machine-precision numbers). Ta jsou reprezentována jako " double-precision floating-point numbers" opera· ního systému, jež jsou ukládána v 64 binárních bitech a zpravidla vedou k mantise s 16-ti dekadickými ciframi. P² i práci s nimi Mathematica pln ¶ využívá možnosti, které pro po· ítání s " double-precision floating-point numbers" nabízí opera· ního systém a hardware po· íta· e.

Hlavní p ² edností výpo· t Æ provád ¶ ných se strojov ¶ p ² esnými · ísly je rychlost. Nevýhodou jsou absence informace o po· tu platných cifer výsledku a jeho závislost na použitém po· íta· i: s hlediska matematiky stejný výpo· et mÆ že vést na r Æ zných po· íta· ích k pon ¶ kud odlišným výsledk Æ m.

P² íkaz N expr , n naproti tomu znamená, že Mathematica se bude provád ¶ t numer ické výpo· ty tak, aby výsledek m¶ l pokud možno n platných cifer . Aby Mathematica usp ¶ la, musí n ¶ kdy provád ¶ t interní mezivýpo· ty s p ² esností NÇ n. Rozdíl N¾ n je omezen hodnotou globálního parametru $MaxExt r aPr eci s i on, kterou lze ale m¶ nit:

11 Math50-LS04-2.nb

N È , N È , 50

3. 14159, 3. 1415926535897932384626433832795028841971693993751

N É Si n 1040 , N #, 30 & É Si n 1040

0. , Ê 0. 569633400953636327308034181574

Si n 10100 N, Si n 10100 N #, 30 &

N: : mepr ec : I nt er nal pr eci s i on l i mi t $MaxExt r aPr eci s i on Ë 50. `

r eached whi l e eval uat i ng Si n 1000000000000000000000000000000000Ì 32 Í 00000000000000000000000000000000000 . Mor e…

0. , 0.

$MaxExt r aPr eci s i on Î 100; N Si n 10100 , 30 , $MaxExt r aPr eci s i on Î 50.

N: : mepr ec : I nt er nal pr eci s i on l i mi t $MaxExt r aPr eci s i on Ë 100. `

r eached whi l e eval uat i ng Si n 1000000000000000000000000000000000Ì 32 Í 00000000000000000000000000000000000 . Mor e…

Ê 0. 372376123661276688262086695553, 50.

$MaxExt r aPr eci s i on Î 101; N Si n 10100 , 30 , $MaxExt r aPr eci s i on Î 50.

Ê 0. 372376123661276688262086695553, 50.

Funkci N lze aplikovat i na výrazy nereprezentuj ící reálná nebo komplexní Ï ísla. V takovém p Ð ípad Ñ se N aplikuje na všechny podvýrazy reprezentuj ící Ï ísla:

x Î . ; N ÈÓÒ Ô 2 x2 , N ÈÕÒ§Ô 2 x2, 20

3. 14159 Ö 7. 38906 x2,

3. 1415926535897932385 Ö 7. 3890560989306502272 x2

Pokud výraz resp. podvýraz reprezentuj ící Ï íslo obsahuje alespo× jedno p Ð ibližné Ï íslo, funkce N se aplikuje automaticky:

x Î . ; 3. 14159` 20 Ò§Ô 2, 3. 14159 Ò§Ô 2 x2, 3. 14159` 20 Ò§Ô 2 x2

10. 5306460989306502272, 3. 14159 Ö$Ø 2 x2, 3. 1415900000000000000 Ö$Ø 2 x2

Ù PÚ esnost p Ú ibližných výsledk Û a funkce Accuracy a Precision

Je-li x exaktní Ï íslo nebo matematická konstanta, je Accur acy x Î Pr eci s i on x Î Ü .

Je-li x p Ð ibližné reálné Ï íslo se zadanou p Ð esností, pak Accur acy x Î a znamená, že reálné Ï íslo, které x aproximuje, leží v intervalu x Ý Þ 2, x Ò Þ 2 , kde Þ Î 10 ß a, a Pr eci s i on x Î p znamená, že reálné Ï íslo, které x aproximuje, leží v intervalu x Ý Þ 2, x Ò Þ 2 , kde Þ Î x 10 ß a.

Pro strojov Ñ p Ð esná Ï ísla x má Pr eci s i on x vždy hodnotu Machi nePr eci s i on, kde

Math50-LS04-2.nb 12

N MachinePrecision à $MachinePrecision á 15.9546,a pro Accur acy x platí vztah

Accuracy x à $MachinePrecision â Log 10, Abs x ,

kde Log 10, Abs x je dekadický logar itmus absolutní hodnoty ã ísla x . Oznaã íme-li n celou ã ást reálného ã ísla n, pak lze ä íci, že podle Mathematica 5 Book platí:

Accur acy x å a . . . . a æ poã et cifer za desetinnou teã kou v p ä ibližném ã íslex , kteréMathematica považujeza platné, pokud Pr eci s i on x jev ç tší

než Machi nePr eci s i on

Pr eci s i on x å p . . . p æ poã et cifer v p ä ibližném ã íslex , které Mathematica považujeza platné, pokud Pr eci s i on x jev ç tší nežMachi nePr eci s i on

x å N è , Accur acy x , Pr eci s i on x

3.14159, 15.4574, MachinePrecision

x å N è , 30 , Accur acy x , Pr eci s i on x

3.14159265358979323846264338328, 29.5029, 30.

x å 3. 1420, Accur acy x , Pr eci s i on x

8.68146 é 109, 6.016, MachinePrecision

x å 3. 14` 2020, Accur acy x , Pr eci s i on x

8.68146385599365499 é 109, 8.76038, 18.699

x å Si n 1040 N #, 30 &, Accur acy x , Pr eci s i on x

â 0.569633400953636327308034181574, 30.2444, 30.

ê Zvýšení p ë esnosti numer ických výpoì t íMaj í-li vstupní data výpoã tu p ä esnost nejvýše n, t ç žko mî žeme požadovat, aby výsledek mç l p ä esnost vyšší:

x å 3. 14, x30, Pr eci s i on x , Accur acy x

3.14, 8.0889 é 1014, MachinePrecision, 15.4577

Chceme-li tedy zvýšit p ä esnost výpoã tu, musíme zvýšit p ä esnost vstupních dat.

Pä esnost p ä ibližného ã ísla zv ç tšíme p ä ipsáním nul do jeho rozvoje nebo p ä íkazem Set Pr eci s i on x, n . Po tomto p ä íkazu Mathematica p ä idá do binárního rozvoje ã ísla x pot ä ebný poã et nul a považuje x za ã íslo s p ä esností n. Uvedené možnosti nejsou ale ekvivalentní, tj . vedou k

13 Math50-LS04-2.nb

r ï zným ð ísl ï m s p ñ esností n.

Pñ íkazem Set Pr eci s i on x, n však mï žeme p ñ esnost ð ísla x také snížit.

x1 ò Set Pr eci s i on 3. 14, 30 , Pr eci s i on x1 , Accur acy x1

3.14000000000000012434497875802, 30., 29.5031

x2 ò 3. 14` 30, Pr eci s i on x2 , Accur acy x2

3.14000000000000000000000000000, 30., 29.5031

x1 ò x130, Pr eci s i on x1 , Accur acy x1

8.088899548610033695819838868 ó 1014, 28.5229, 13.615

x2 ò x230, Pr eci s i on x2 , Accur acy x2

8.088899548610024086131534273 ó 1014, 28.5229, 13.615

x1 ô x2, x130 ô x230

False, False

Set Pr eci s i on expr , n automaticky mõ ní p ñ esnost každého ð ísla ve výrazu expr :

Cl ear x ;

Set Pr eci s i on 3. 25 x ö§÷ x2 ø Si n 2. 17 x , 25

3.250000000000000000000000 x ù 3.141592653589793238462643 x2 ú1.000000000000000000000000 Sin 2.169999999999999928945726 x

Set Pr eci s i on 3. 25` 25 x ö ÷ x2 ø Si n 2. 17` 50 x , 10

3.250000000 x ù 3.141592654 x2 ú 1.000000000 Sin 2.170000000 x

Set Pr eci s i on 3. 25` 25 x ö ÷ x2 ø Si n 2. 17` 50 x , Machi nePr eci s i on

3.25 x ù 3.14159 x2 ú 1. Sin 2.17 x

û Parametr Pr intPrecision a funkce AccountingForm, InputForm a NumberForm

Poð et cifer strojov õ p ñ esných ð ísel, které Mathematica zobrazuje, je ur ð en skrytým parametrem Pr i nt Pr eci s i on grafického rozhraní. Jeho nastavení zj istíme p ñ íkazem

Opt i ons $Fr ont End, Pr i nt Pr eci s i on

PrintPrecision ü 6

Math50-LS04-2.nb 14

a zmý níme je p þ íkazem Set Opt i ons $Fr ont End, Pr i nt Pr eci s i on ÿ n . Zmý na ovšem ovlivní všechny výstupní bu � ky. Po� et zobrazovaných cifer strojov ý p þ esných � ísel m� žeme zmý nit i v jednotlivých výstupních bu � kách tak, že je ozna� íme, otev þ eme Option Inspector v rolet ý Format a zmý níme hodnotu položky

Sel ect i on Expr essi on For mat i ng Di spl ay Opt i ons Pr i nt Pr eci s i on.

Parametr Pr i nt Pr eci s i on se však uplat � uje pouze v p þ ípad ý , že j iný parametr grafického rozhraní, NumberMarks, je nastaven na hodnotu False. Tu lze též mý nit globáln ý i lokáln ý podobn ý jako po� et zobrazovaných cifer .

Po� et zobrazovaných p þ ibližných � ísel s p þ esností v ý tší než Machi nePr eci s i on je dán jej ich p þ esností.

I nput For m nám ukáže všechny cifry � ísla x , které Mathematica uchovává v pamý ti. Je-li x � íslo se zadanou p þ esností, obsahuje I nput For m x také údaj o jeho p þ esnosti.

Account i ngFor m zobrazí všechny cifry nalevo od desetinné te� ky.

Number For m x, n zobrazí n cifer � ísla x, pokud j ich x nemá mén ý ; druhý argument lze vynechat, není však jasné, co za n ý j Mathematica dosadí.

Aplikujeme-li n ý kterou z uvedených t þ í funkcí na libovolný výraz, aplikuje se automaticky na na každé � íslo ve výrazu.

Example 1

x � 3. 1420, I nput For m x

8. 68146 � 109, 8. 681463855993662* ^9

Account i ngFor m x , Account i ngFor m x, 12 , Account i ngFor m x, 20

8681463856. , 8681463855. 99, 8681463855. 99366

Number For m x , Number For m x, 6 ,

Number For m x, 12 , Number For m x, 20

8. 68146 � 109, 8. 68146 � 109,

8. 68146385599 � 109, 8. 68146385599366 � 109

I nput For m x Head,

Account i ngFor m x Head, Number For m x Head

I nput For m, Account i ngFor m, Number For m

Example 2

x � 3. 14` 2020, I nput For m x

8. 68146385599365499 � 109,

8. 6814638559936549923536940561` 18. 69897000433602* ^9

15 Math50-LS04-2.nb

Account i ngFor m x , Account i ngFor m x, 15 , Account i ngFor m x, 25

8681463855. 99365499, 8681463855. 99365, 8681463855. 99365499

Number For m x , Number For m x, 20 ,

Number For m x, 15 , Number For m x, 25

8. 68146385599365499 � 109, 8. 68146385599365499 � 109,

8. 68146385599365 � 109, 8. 68146385599365499 � 109

Example 3

Cl ear x ;

expr � 3. 1420 � 3. 14` 2020 x � Si n 13 17 x2

8. 68146 � 109 8. 68146385599365499 � 109 x x2 Si n13� � � � � � �17

I nput For m expr

8. 681463855993662* ^9 +

8. 6814638559936549923536940561` 18. 69897000433602* ^9* x - x^2* Si n[ 13/ 17]

Out � 1

8. 68146 � 109 8. 68146385599365499 � 109 x x2 Si n13� � � � � � �17

Account i ngFor m expr

8681463856. 8681463855. 99365499 x x2 Si n13� � � � � � �17

Out � 1

8. 68146 � 109 8. 68146385599365499 � 109 x x2 Si n13� � � � � � �17

Number For m expr

8. 68146 � 109 8. 68146385599365499 � 109 x x2 Si n13� � � � � � �17

Out � 1

8. 68146 � 109 8. 68146385599365499 � 109 x x2 Si n13� � � � � � �17

Math50-LS04-2.nb 16

�� ísla v � íselných soustavách o základu b � 10 a funkce BaseForm�

íslo lze zadat i v j iné než dekadické soustav � . Základem m� že být kterékoliv � íslo z množiny {2,3,…36}. Je-li základ v � tší než 10, jako dodate� né � íslice slouží písmena a - z nebo A - Z.

2^^101001 . . . . . . . . . celé � íslo v binární soustav �2^^101. 101 . . . . . . . . strojov � p � esné � íslo na tomto po� ita� i v binární soustav �2^^101. 101` . . . . . . . . strojov � p � esné � íslo na všech po� ita� ích v binární soustav �2^^101. 101` 50 . . . . . � íslo se zadanou p � esností s50� ti platnými binárními ciframi2^^101. 101` ` 50 . . . . � íslo se zadanou p � esností s50� ti platnými binárními ciframi

za � ádovou te� kou

2^^101. 101^6 . . . . . . strojov � p � esné � íslo 111.1112 � 26 v tzv. v � deckénotaci

2^^101. 101` 50^6 . . . � íslo 111.1112 � 26 s50� ti platnými binárními ciframi za� ádovou te� kou v tzv. v � deckénotaci

x1, x2 � 23^^aCgh438ghhk, 23^^aCgh4357. 8ghhk` 20

437190415766530, 3.59324743003795329117792510 � 1010

BaseFor m x, b . . . . . representace � ísla x v soustav � o základu b

BaseFor m 23^^aCgh438ghhk, 23 , BaseFor m 23^^aCgh4357. 8ghhk` 20, 23

acgh438ghhk23, a.cgh43578ghhk000000023 � 237

BaseFor m x1, 23 , BaseFor m x2, 23

acgh438ghhk23, a.cgh43578ghhk000000023 � 237

Ar itmetické operace

Oper ace Ful l For m I nput f or ms

Sou � et . . . . . . Pl us[ 2, 3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2+3 Pl us[ a, b, c] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a+b+c Rozdí l . . . . . . Pl us[ 2, - 3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2- 3 Pl us[ Ti mes[ - 1, a] , b] . . . . . . . . . . . . . . b- a Pl us[ Rat i onal [ - 1, 3] , a] . . . . . . . . . . . a- 1/ 3, a � 1� � �

3

Sou � i n . . . . . . Ti mes[ 2, 3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2* 3, 2 3 Ti mes[ a, b, c] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a* b* c, a b c Podí l . . . . . . . Rat i onal [ 2, - 3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2� � �

3, - 2/ 3

Ti mes[ a, Power [ b, - 1] . . . . . . . . . . . . . . a/ b, a� � � �b

17 Math50-LS04-2.nb

Mocni na . . . . . Power [ 2, 3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2^3, 23

Power [ x, - 2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x � 2, x^2 Power [ x, Ti mes[ - 1, y] ] . . . . . . . . . . . . . x^ - y, x � y Power [ x, Power [ y, z] ] . . . . . . . . . . . . . . x^y^z, xyz

Odmocni na . . . Power [ x, Rat i onal [ 1, 2] ] . . . . . . . . . . . Sqr t [ x] , x , x1 2

Power [ x, Rat i onal [ 1, 3] ] . . . . . . . . . . . x1 3, x3

235 456� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �237

, 235 456 237,235� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

456 237, 235 456 237,

1� � � �0

Power : : i nf y : I nf i ni t e expr essi on1� � � �0

encount er ed. Mor e…

35720 79

,35720

79,

235 108072

,18565

152, Compl exI nf i ni t y

42 3, 4 23

, 423

4096, 65536, 65536

2. 173293, 2. 17329` 253, 23. 1` 25

10. 2649, 10. 26486034350228900000000, 8. 57418770029034531370405

! 2 , ! 2. , ! 2. ` 25

"2 , 0. # 1. 41421

", 1. 4142135623730950488016887

"

! 83

, ! 83

Compl exExpand, ! 8.3

, ! 8. ` 253

2 $ 1 1 3, 1 # " 3 , 1. # 1. 73205",

1. 000000000000000000000000 # 1. 732050807568877293527446"

21 % I , 21 % I Compl exExpand

21 & ' , 2 Cos Log 2 # 2"

Si n Log 2

2. 1 % I , 21. % I , 21 % 1. I

1. 53848 # 1. 27792", 1. 53848 # 1. 27792

", 1. 53848 # 1. 27792

"

2. ` 251 % I , 21. ` 25 % I , 21 % 1. ` 25 I

1. 538477802727944253156660 # 1. 277922552627269602300066",

1. 538477802727944253156660 # 1. 277922552627269602300066",

1. 538477802727944253156660 # 1. 277922552627269602300066"

Math50-LS04-2.nb 18

( 2 1 ) I , ( 2 1 ) I Compl exExpand

* 2 1+ , , * 2 -/.10 Cos Log 2 * 2 23-/.10 Sin Log 2

( 2. 1 ) I , ( 2 1. ) I , ( 2 1 ) 1. I

* 0.0664837 * 0.055224 2 ,* 0.0664837 * 0.055224 2 , * 0.0664837 * 0.055224 2

( 2. ` 25 1 ) I , ( 2 1. ` 25 ) I , ( 2 1 ) 1. ` 25 I

* 0.0664836540177133105180358 * 0.0552240407366660199016493 2 ,* 0.0664836540177133105180358 * 0.0552240407366660199016493 2 ,* 0.0664836540177133105180358 * 0.0552240407366660199016493 2

Mocninu Power [x,y] pro x záporné a komplexní Mathematica po4 ítá pomocí hlavní v 5 tve p 6 irozeného logar itmu.

Elementární funkce

Exp x , Ex , 7 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . exponenciální funkceLog x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p 6 irozený logar itmusLog b, x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ogar itmuso základu b

Power x, a , xa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . obecná mocnina, a nemusí být celé 4 íslo

Si n x . . . . . s i n x Ar cSi n x . . . . ar csi n xCos x . . . . . cos x Ar cCos x . . . . ar ccos x

Tan x . . . . . t g x Ar cTan x . . . . ar ct g xCot x . . . . . cot g x Ar cCot x . . . . ar ccot g x

Sec x . . . . . sec x 8 1 cos x Ar cSec x . . . . ar ccos 1 x

Csc x . . . . . cosec x 8 1 si n x Ar cCsc x . . . . ar csi n 1 x

Ar cTan x, y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . argument komplexního 4 ísla x 9 I y ,

leží v intervalu (;: , : a nerovná se (;:

Si nh x . . . . s i nh x Ar cSi nh x . . . ar gsi nh1 xCosh x . . . . cosh x Ar cCosh x . . . ar gcosh x

Tanh x . . . . t gh x Ar cTanh x . . . ar gt gh x

Cot h x . . . . cot gh x Ar cCot h x . . . ar gcot gh x

Všechny tyto funkce mohou mít komplexní argument. Obecná mocnina, logar itmus, cyklometr ické a hyperbolometr ické funkce jsou v komplexním oboru vícezna4 néfunkce. Výše uvedené funkce znamenaj í ve skute4 nosti jej ich hlavní v 5 tve.

19 Math50-LS04-2.nb

N které další funkce

< Numer ické funkce reálné prom= nné

Abs x ........................... absolutní hodnota > ísla xSign x .......................... 1 pro x ? 0, 0 pro x @ 0, A 1 pro x B 0IntegerPart x ................... celá > ást > ísla xFractionalPart x ................ zlomková > ást > ísla xFloor x ......................... nejv C tší celé > íslo ne v C tší než xCeiling x ....................... nejmenší celé > íslo ne menší než xRound x ......................... celé > íslo nejbližší > íslu x

x @ 4 3, Abs x , Sign x , IntegerPart x ,

FractionalPart x , Floor x , Ceiling x , Round x

4D D D D3,

4D D D D3, 1, 1,

1D D D D3, 1, 2, 1

x @ N 4 3 , Abs x , Sign x , IntegerPart x ,

FractionalPart x , Floor x , Ceiling x , Round x

1.33333, 1.33333, 1, 1, 0.333333, 1, 2, 1

x @FE 4 3, Abs x , Sign x , IntegerPart x ,

FractionalPart x , Floor x , Ceiling x , Round x

G 4D D D D3,

4D D D D3, G 1, G 1, G 1D D D D

3, G 2, G 1, G 1

x @FE N 4 3 , Abs x , Sign x , IntegerPart x ,

FractionalPart x , Floor x , Ceiling x , Round x

G 1.33333, 1.33333, G 1, G 1, G 0.333333, G 2, G 1, G 1

x @ 7 H , Abs x , Sign x , Round x , Floor x , Ceiling x

7 I , 7 I , 1, 22, 21, 22

x @ 7 H , Abs x , Sign x , IntegerPart x ,

FractionalPart x , Floor x , Ceiling x , Round x

7 I , 7 I , 1, 21, G 21 J 7 I , 21, 22, 22

Math50-LS04-2.nb 20

x KFL 7 M , Abs x , Sign x , IntegerPart x ,

FractionalPart x , Floor x , Ceiling x , Round x

N 7 O , 7 O , N 1, N 21, 21 N 7 O , N 22, N 21, N 22

Max x,y,z,... ............... maximum P ísel x,y,z,...Max x,y,z,... ............. maximum P ísel x,y,z,...Min x,y,z,... ............... minimum P ísel x,y,z,...Min x,y,z,... ............. minimum P ísel x,y,z,...

x, y, z K 1 3, 9 7, M 2 , Max x, y, z , Min x, y, z

1Q Q Q Q3,

9Q Q Q Q7,OQ Q Q Q2

,OQ Q Q Q2,

1Q Q Q Q3

x, y, z K M , M N, N M , 20 , Max x, y, z , Min x, y, z

O , 3.14159, 3.1415926535897932385 , 3.14159, O

R Numer ické funkce komplexní promS nné

Abs z ....................... absolutní hodnota komplexního P íslazRe z ........................ reálná P ást P íslazIm z ........................ imaginární P ást P ísla zArg z ....................... argument komplexního P ísla zSign z ...................... z Abs z pro z T 0Conjugate z ................. komplexn U sdružené P íslo zV

z K 1 W 3 X , Abs z , Re z , Im z , Arg z , Sign z , Conjugate z

1 Y[Z 3 , 2, 1, 3 ,OQ Q Q Q3,

1Q Q Q Q2

1 Y[Z 3 , 1 N Z 3

z K Exp 1 W\M3X 4 , Abs z , Re z ,

Im z , Arg z , Sign z , Conjugate z

] 1̂`_bac c c c c c c4 , ] ,]Q Q Q Q Q Q Q Q Q2,

]Q Q Q Q Q Q Q Q Q2,OQ Q Q Q4, ] _bac c c c c c c4 , ] 1d`_bac c c c c c c4

z K Exp 1 W\M3X 4 N, Abs z ,

Re z , Im z , Arg z , Sign z , Conjugate z

1.92212 Y 1.92212 Z , 2.71828, 1.92212, 1.92212,0.785398, 0.707107 Y 0.707107 Z , 1.92212 N 1.92212 Z

21 Math50-LS04-2.nb

e Funkce celých f ísel

Mod m,n ............ zbytek p g i d h lení i ísla m i íslem n, má vždy stejnéznaménkojakon

Quotient m,n ....... celá i ást i ísla m n , i ástei ný podíl p g i d h lení i ísla k i íslem nGCD n1,n2,n3,... ... nejv h tší spolei ný d h litel i ísel k,m,n,...LCM n1,n2,n3,... ... nejmenší spolei ný násobek i ísel k,m,n,...

Argumenty funkcí Mod a Quotient mohou být i reálná i ísla a matematické konstanty.

Argumenty funkcí GCD a LCM mohou být i racionální i ísla r1, r2, r3, . . . GCD je pak nejv h tší kladné racionální i íslo r, pro n h ž jsou všechna i ísla ri r celá a LCM je nejmenší kladné racionální i íslo r, pro n h ž jsou všechna i ísla r ri celá.

Quotient 17, 4 , Mod 17, 4 , Quotient 17, j 4 , Mod 17, j 4

4, 1, k 5, k 3

Quotient j 17, 4 , Mod j 17, 4 , Quotient j 17, j 4 , Mod j 17, j 4

k 5, 3, 4, k 1

Quotient 17 l , m , Mod 17 l , m , Quotient 17 l , jnm , Mod 17 l , jnm

19, k 19 o[p 17 q , k 20, k 20 o[p 17 q

Quotient j 17 l , m , Mod j 17 l , m , Quotient j 17 l , jnm , Mod j 17 l , jnm

k 20, 20 o[k 17 q , 19, 19 o[k 17 q

Quotient 17. l , m , Mod 17. l , m , Quotient 17. l , jnm , Mod 17. l , jnm

19, 1.75972, k 20, k 0.958561

Quotient j 17. l , m , Mod j 17. l , m ,

Quotient j 17. l , jnm , Mod j 17. l , jnm

k 20, 0.958561, 19, k 1.75972

GCD 12, 18, 24 , LCM 12, 18, 24

6, 72

GCD 12 7, 18 23, 24 31 , LCM 12 7, 18 23, 24 31

6r r r r r r r r r r r r r4991

, 72

Math50-LS04-2.nb 22

Prime n ............ n s téprvot ísloPrimePi x .......... pot et prvot ísel menších než x

PrimeQ n ........... testuje, zda n jeprvot ísloFactorInteger n .... seznam prvot initel uvt ísla n a jej ich exponent uDivisors n ......... seznam kladných d w litel uxt isla n

Prime 103 , Prime 106 , Prime 109 , Prime 1012

7919, 15485863, 22801763489, 29996224275833

PrimePi 103 , PrimePi 106 , PrimePi 109 , PrimePi 1012

168, 78498, 50847534, 37607912018

n y 8468, FactorInteger n , FactorInteger s n

8468, 2, 2 , 29, 1 , 73, 1 , z 1, 1 , 2, 2 , 29, 1 , 73, 1

n y 8468, Divisors n

8468, 1, 2, 4, 29, 58, 73, 116, 146, 292, 2117, 4234, 8468

{ Kombinator ické funkce

Factorial n , n | ........... faktor iál t ísla n,n |Factorial2 n , n |}| ......... dvojný faktor iál t íslan, n |}|Binomial n,m ............... binomický koeficient n ~� � � � � � � � � � � � � � � � � �

m � n � m �Multinomial n1,n1,... ... multinomický koeficient n1 � n2 � ... ~� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � �

n1 � n2 � ...Signature i1,i2, ... .... znaménko permutace i1,i2,... vzhledem

ke standardnímu uspo� ádání

3 | , 4 | , 5 | , 6 | , 7 | , 8 | , 9 | , 10 | , 11 | , 12 |

6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600

3 |}| , 4 |}| , 5 |}| , 6 |}| , 7 |}| , 8 |}| , 9 |}| , 10 |}| , 11 |}| , 12 |}|

3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, 46080

23 Math50-LS04-2.nb

� Prvních 10 � ádk � Pascalova trojúhelníku �Table Gr idBox Table Binomial n, k , k, 0, n , ColumnSpacings � 1.5

DisplayForm, n, 0, 9 ColumnForm #, Center &

1

1 11 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

Table Multinomial i, j, 4 � i � j , i, 0, 4 , j, 0, Max 0, 4 � i

1, 4, 6, 4, 1 , 4, 12, 12, 4 , 6, 12, 6 , 4, 4 , 1

tbl � Table Multinomial i, j, 4 � i � j ci bj a4 � i � j,i, 0, 4 , j, 0, Max 0, 4 � i

256, 256 b, 96 b2, 16 b3, b4 , 256 5 , 192 5 b, 48 5 b2, 4 5 b3 ,

480, 240 b, 30 b2 , 80 5 , 20 5 b , 25

tbl . a b c � 1

256, 256, 96, 16, 1 ,256, 192, 48, 1 , 480, 240, 30 , 80, 20 , 25

tbl . List � Plus

761 � 336 5 � 496 b � 212 5 b � 126 b2 � 48 5 b2 � 16 b3 � 4 5 b3 � b4

a � b � c 4 Expand

761 � 336 5 � 496 b � 212 5 b � 126 b2 � 48 5 b2 � 16 b3 � 4 5 b3 � b4

Signature 1, 3, � 2, 9, 8, 7, 6 , Signature 1, 3, 2, 9, 8, 7, 6

1, � 1

Math50-LS04-2.nb 24

� Pseudonáhodná � ísla

Random Integer ............... 0 nebo 1 spravd � podobností 1 2

Random Integer,xmax .......... pseudonáhodnécelé � íslo z intervalu 0,xmax

spravd � podobností 1 � xmax � 1Random Integer, xmin,xmax ... pseudonáhodnécelé � íslo z intervalu

xmin,xmax spravd � podobností

1 � xmax � xmin � 1

Random Integer & � Range 10

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1

Table Random Integer, 50 , 10

41, 4, 19, 12, 27, 20, 40, 42, 14, 13

Table Random Integer, � 50 , 10

� 2, � 15, � 42, � 37, � 49, � 10, � 36, � 12, � 11, � 33

Table Random Integer, � 40, 50 , 10

� 4, 11, 44, � 4, 42, � 30, � 2, � 16, 49, 6

Table Random Integer, 50, � 40 , 10

24, � 16, � 13, � 38, � 28, � 37, 38, � 16, 7, 28

Random ....................... pseudonáhodnéreálné � íslo s rovnom� rnýmrozd � lením na intervalu 0,1

Random Real,xmax .............. pseudonáhodnéreálné � íslo s rovnom� rnýmrozd � lením na intervalu 0,xmax

Random Real, xmin,xmax ....... pseudonáhodnéreálné � íslo s rovnom� rnýmrozd � lením na intervalu xmin,xmax

Random & � Range 6

0.815683, 0.0288905, 0.565634, 0.80977, 0.206337, 0.189548

Table Random Real, 50 , 6

18.0572, 40.1076, 35.2316, 30.4681, 38.9395, 45.7966

25 Math50-LS04-2.nb

Table Random Real, � 50 , 6

� 48.5915, � 34.6397, � 32.0005, � 49.4719, � 26.3528, � 3.20218

Table Random Real, � 40, 50 , 6

� 12.8843, 23.1044, 8.39251, 2.27825, 26.048, � 5.38425

Table Random Real, 50, � 40 , 6

24.981, � 0.321897, � 24.8591, 11.7364, 6.41065, � 17.3812

Random Complex ................ pseudonáhodnékomplexní � íslo s rovnom� rnýmrozd � lením na � tverci 0,1 ��� 0,1

Random Complex,zmax ........... pseudonáhodnékomplexní � íslo s rovnom� rnýmrozd � lením na obdélníku sprotilehlými vrcholyv bodech 0 a zmax

Random Complex, zmin,zmax .... pseudonáhodnékomplexní � íslo s rovnom� rnýmrozd � lením na obdélníku sprotilehlými vrcholyv bodech zmin a zmax

Random Complex & � Range 3

0.807088 � 0.772697   , 0.811042 � 0.641958   , 0.0282979 � 0.856765  

Table Random Complex, 1 � 2 I , 3

0.839213 � 1.89833   , 0.388287 � 1.73465   , 0.312158 � 1.77024  

Table Random Complex, � 1 � 2 I , 3

� 0.0870016 � 0.332333   , � 0.774463 � 0.830725   , � 0.353135 � 1.56309  

Table Random Complex, � 9 � 5 I, 15 � 7 I , 3

� 7.74116 � 6.69394   , � 4.56233 � 2.51962   , 3.88267 � 3.6781  

Table Random Complex, 15 � 7 I, � 9 � 5 I , 3

0.0675645 � 0.208007   , 8.41765 � 4.02539   , � 0.611585 � 1.92683  

Table Random Complex, 2 I , 3

0.264105   , 1.41982   , 0.493864  

Math50-LS04-2.nb 26

Tabl e Random Compl ex, ¡ 9 ¡ 5 I , ¡ 9 ¢ 7 I , 3

£ 9 ¤ 1.52491 ¥ , £ 9 ¤ 4.97883 ¥ , £ 9 ¤ 4.14634 ¥

Random t ype, r ange, n . . . . . . . . . . . n ¡ cifernépseudonáhodnéreálné ¦ íslo typut ype s rovnom§ rným rozd § lením na oborur ange

SeedRandom i nt eger . . . . . . . . . . . . nastavení generátoru pseudonáhodných ¦ ísel

SeedRandom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nastavení generátoru pseudonáhodných ¦ ísel¦ asovým údajem

$RandomSt at e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . systémová prom§ nná charakter izuj ící okamžitýstav pseudonáhodného generátoru

st at e ¨ $RandomSt at e

435467973736986379511646398731226755448206569846937064468345051736 ©20177243693163638630036095669813249469694089118979166574414048973 ©69699387008205773333858969841560265884643904867679879811429255435 ©03995458099330412947700910830981436415841180692523877043458635034 ©10211554167220631598608199681751771778013507425800637761781352697 ©10988150089372710364407125514585033267190520565946983190607118069 ©72785144322009812634343178812103377175788767467627594674938061210 ©61711112623456016486215120457057164034508313705496918775025816070 ©

91222146466887683626091097643715305876496952967756551494

$RandomSt at e ¨ st at e;

Tabl e Random Real , 0, 10 , 10 , 5

5.506809392, 5.540581629, 8.086704316, 3.284436911, 6.569530091

$RandomSt at e ¨ st at e;

Tabl e Random Real , 0, 10 , 10 , 5

5.506809392, 5.540581629, 8.086704316, 3.284436911, 6.569530091

SeedRandom 123456789 ;

Tabl e Random I nt eger , 0, 100 , 10

78, 14, 62, 30, 44, 52, 31, 79, 98, 56

SeedRandom 123456789 ;

Tabl e Random I nt eger , 0, 100 , 10

78, 14, 62, 30, 44, 52, 31, 79, 98, 56

Remove ª}ª Names " Gl obal ` « " ;

27 Math50-LS04-2.nb